Concept of limits, Evaluation of algebric limits Questions in Hindi

(A) $R$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंकित एक नियमित $n$-भुज का परिमाप $P_n = 2nR \sin(\frac{\pi}{n})$ द्वारा दिया जाता है।
जैसे $n \to \infty$,हम सीमा $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ का उपयोग करते हैं।
$x = \frac{\pi}{n}$ प्रतिस्थापित करने पर,जैसे $n \to \infty$,$x \to 0$ होता है।
अतः,$\lim_{n \to \infty} P_n = \lim_{n \to \infty} 2nR \sin(\frac{\pi}{n}) = \lim_{n \to \infty} 2\pi R \frac{\sin(\pi/n)}{\pi/n} = 2\pi R(1) = 2\pi R$.
इसलिए,परिमाप वृत्त की परिधि के बराबर हो जाता है,जो $2\pi R$ है।

(D) हमें सीमा का मान ज्ञात करना है: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x({e^x} - 1)}}{{1 - \cos x}}$.
मानक सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} = 1$ और सर्वसमिका $1 - \cos x = 2 \sin^2(x/2)$ का उपयोग करते हुए:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x({e^x} - 1)}}{{2 \sin^2(x/2)}}$.
$x$ और $(x/2)^2$ से गुणा और भाग करने पर:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{{{e^x} - 1}}{x} \right) \cdot \frac{x^2}{2 \sin^2(x/2)}$.
$= 1 \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x^2}{2 (x/2)^2 \cdot (\frac{\sin(x/2)}{x/2})^2}$.
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x^2}{2 (x^2/4) \cdot 1^2} = \frac{1}{2/4} = 2$.

(D) सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{|1 - x|}$ ज्ञात करने के लिए,हम बाएँ और दाएँ पक्ष की सीमाओं की जाँच करते हैं।
बाएँ पक्ष की सीमा: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^-} \frac{1}{|1 - x|} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0^+} \frac{1}{|1 - (1 - h)|} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0^+} \frac{1}{|h|} = \infty$.
दाएँ पक्ष की सीमा: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^+} \frac{1}{|1 - x|} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0^+} \frac{1}{|1 - (1 + h)|} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0^+} \frac{1}{|-h|} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0^+} \frac{1}{h} = \infty$.
चूँकि दोनों एक-पक्षीय सीमाएँ $\infty$ की ओर अग्रसर हैं,इसलिए सीमा $\infty$ है।

(C) हमें सीमा का मान ज्ञात करना है: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n{{(2n + 1)}^2}}}{{(n + 2)({n^2} + 3n - 1)}}$.
अंश का विस्तार करने पर: $n(2n+1)^2 = n(4n^2 + 4n + 1) = 4n^3 + 4n^2 + n$.
हर का विस्तार करने पर: $(n+2)(n^2 + 3n - 1) = n^3 + 3n^2 - n + 2n^2 + 6n - 2 = n^3 + 5n^2 + 5n - 2$.
अब,सीमा इस प्रकार होगी: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{4n^3 + 4n^2 + n}}{{n^3 + 5n^2 + 5n - 2}}$.
अंश और हर दोनों को $n^3$ से विभाजित करने पर:
$= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{4 + \frac{4}{n} + \frac{1}{n^2}}}{{1 + \frac{5}{n} + \frac{5}{n^2} - \frac{2}{n^3}}}$.
जैसे $n \to \infty$,हर में $n$ वाले सभी पद $0$ के करीब पहुँच जाएंगे:
$= \frac{{4 + 0 + 0}}{{1 + 0 + 0 - 0}} = 4$.

(B) सीमा $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt n }}{{\sqrt n + \sqrt {n + 1} }}$ का मूल्यांकन करने के लिए,अंश और हर दोनों को $\sqrt{n}$ से विभाजित करें:
$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}}}{\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}} + \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{1 + \sqrt{1 + \frac{1}{n}}}$
जैसे $n \to \infty$,पद $\frac{1}{n} \to 0$ हो जाता है।
अतः,सीमा $\frac{1}{1 + \sqrt{1 + 0}} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$ है।

(A) $\lim_{x \to 1} f(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम $x = 1$ पर वाम-पक्ष सीमा $(LHL)$ और दक्षिण-पक्ष सीमा $(RHL)$ का मूल्यांकन करते हैं।
वाम-पक्ष सीमा $(LHL)$:
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x) = 1$
दक्षिण-पक्ष सीमा $(RHL)$:
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2 - x) = 2 - 1 = 1$
चूंकि वाम-पक्ष सीमा और दक्षिण-पक्ष सीमा बराबर हैं,इसलिए सीमा का अस्तित्व है और यह $1$ के बराबर है।

(B) हम मानक सीमा सूत्र जानते हैं: $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x - a}} = n \cdot a^{n-1}$.
दी गई अभिव्यक्ति: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^n} - {2^n}}}{{x - 2}} = 80$.
$a = 2$ के साथ सूत्र का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $n \cdot 2^{n-1} = 80$.
हम $80$ को $5 \cdot 16 = 5 \cdot 2^4$ के रूप में लिख सकते हैं।
$n \cdot 2^{n-1} = 5 \cdot 2^4$ की तुलना करने पर,हमें $n = 5$ प्राप्त होता है।

(C) हम मानक सीमा सूत्र का उपयोग करते हैं: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{a}{x}} \right)^x} = e^a$.
दिए गए व्यंजक $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)^x}$ के साथ इसकी तुलना करने पर,हमें $a = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,सीमा का मान $e^2$ है।

(A) हमें सीमा का मूल्यांकन करना है: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{(2x - 3)(\sqrt{x} - 1)}{2x^2 + x - 3}$.
सबसे पहले,हर का गुणनखंड करें: $2x^2 + x - 3 = (2x + 3)(x - 1)$.
इसे सीमा में प्रतिस्थापित करें: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{(2x - 3)(\sqrt{x} - 1)}{(2x + 3)(x - 1)}$.
चूंकि $(x - 1) = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)$,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{(2x - 3)(\sqrt{x} - 1)}{(2x + 3)(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}$.
उभयनिष्ठ गुणनखंड $(\sqrt{x} - 1)$ को रद्द करने पर: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{2x - 3}{(2x + 3)(\sqrt{x} + 1)}$.
अब,$x = 1$ रखने पर: $\frac{2(1) - 3}{(2(1) + 3)(\sqrt{1} + 1)} = \frac{-1}{(5)(2)} = -\frac{1}{10}$.

(D) माना $f(x) = \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1}$.
दाहिनी ओर की सीमा के लिए $(x \to 0^+)$:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{e^{1/h} - 1}{e^{1/h} + 1} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1 - e^{-1/h}}{1 + e^{-1/h}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$.
बाईं ओर की सीमा के लिए $(x \to 0^-)$:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^-} \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{e^{-1/h} - 1}{e^{-1/h} + 1} = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1$.
चूंकि दाहिनी ओर की सीमा $(1)$ और बाईं ओर की सीमा $(-1)$ बराबर नहीं हैं,इसलिए सीमा का अस्तित्व नहीं है।

(D) सीमा का अस्तित्व तभी होता है जब बाएँ हाथ की सीमा और दाएँ हाथ की सीमा बराबर हों।
बाएँ हाथ की सीमा के लिए: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = -1$.
दाएँ हाथ की सीमा के लिए: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1$.
चूँकि बाएँ हाथ की सीमा $(-1)$ और दाएँ हाथ की सीमा $(1)$ बराबर नहीं हैं,इसलिए सीमा का अस्तित्व नहीं है।

(C) सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \sqrt x (\sqrt {x + 5} - \sqrt x )$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम व्यंजक का परिमेयकरण करते हैं:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \sqrt x (\sqrt {x + 5} - \sqrt x ) \times \frac{\sqrt {x + 5} + \sqrt x}{\sqrt {x + 5} + \sqrt x}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{\sqrt x (x + 5 - x)}{\sqrt {x + 5} + \sqrt x}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{5\sqrt x}{\sqrt x(\sqrt {1 + 5/x} + 1)}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{5}{\sqrt {1 + 5/x} + 1}$
जैसे $x \to \infty$,$5/x \to 0$,इसलिए व्यंजक $\frac{5}{\sqrt{1+0} + 1} = \frac{5}{2}$ हो जाता है।

(C) दिया गया सीमा: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{x - 1}{2x^2 - 7x + 5}$.
$x = 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{0}{0}$ अनिर्धारित रूप प्राप्त होता है।
हर का गुणनखंड करने पर: $2x^2 - 7x + 5 = (x - 1)(2x - 5)$.
अतः,$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{x - 1}{(x - 1)(2x - 5)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{2x - 5}$.
$x = 1$ रखने पर: $\frac{1}{2(1) - 5} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$.
वैकल्पिक रूप से,$L$-Hospital नियम का उपयोग करने पर: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{\frac{d}{dx}(x - 1)}{\frac{d}{dx}(2x^2 - 7x + 5)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{4x - 7} = \frac{1}{4(1) - 7} = -\frac{1}{3}$.

(A) हम सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to n + 0} (x - [x])$ का मूल्यांकन कर रहे हैं।
चूंकि $x \to n + 0$,$x$ का मान $n$ से थोड़ा अधिक है।
किसी भी $x$ के लिए जहाँ $n < x < n + 1$,महत्तम पूर्णांक फलन $[x] = n$ होता है।
अतः,$\mathop {\lim }\limits_{x \to n + 0} (x - [x]) = \mathop {\lim }\limits_{x \to n + 0} (x - n) = n - n = 0$.

(D) माना $f(x) = \frac{x}{|x| + x^2}$.
बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ के लिए:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^-} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{-h}{|-h| + (-h)^2} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{-h}{h + h^2} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{-1}{1 + h} = -1$.
दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ के लिए:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{h}{|h| + h^2} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{h}{h + h^2} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{1 + h} = 1$.
चूँकि $LHL \neq RHL$,इसलिए सीमा का अस्तित्व नहीं है।

(C) हम बीजीय सर्वसमिका $x^2 - a^2 = (x - a)(x + a)$ का उपयोग करते हैं।
$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^2} - {a^2}}}{{x - a}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{(x - a)(x + a)}{x - a}$
चूंकि $x \to a$,इसलिए $x - a \neq 0$,अतः हम $(x - a)$ पद को काट सकते हैं।
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to a} (x + a) = a + a = 2a.$

(A) हम मानक सीमा सूत्र का उपयोग करते हैं: $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{x^n - a^n}}{{x - a}} = na^{n-1}$.
माना $u = x + 2$ है। जैसे $x \to a$,वैसे ही $u \to a + 2$ होगा।
व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: $\mathop {\lim }\limits_{u \to a+2} \frac{{u^{5/3} - (a+2)^{5/3}}}{{u - (a+2)}}$.
$n = 5/3$ और चर $u$ के $a+2$ की ओर अग्रसर होने पर सूत्र का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{5}{3}(a+2)^{(5/3) - 1} = \frac{5}{3}(a+2)^{2/3}$.

(C) $x = 3$ पर सीमा ज्ञात करने के लिए,हम बाएँ हाथ की सीमा और दाएँ हाथ की सीमा का अलग-अलग मूल्यांकन करते हैं।
दाएँ हाथ की सीमा $(x \to 3^+)$ के लिए,हम $f(x) = 5 - x$ परिभाषा का उपयोग करते हैं:
$\lim_{x \to 3^+} f(x) = 5 - 3 = 2$.
बाएँ हाथ की सीमा $(x \to 3^-)$ के लिए,हम $f(x) = \frac{2}{5-x}$ परिभाषा का उपयोग करते हैं:
$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \frac{2}{5 - 3} = \frac{2}{2} = 1$.
चूँकि $2 \neq 1$,इसलिए $\lim_{x \to 3^+} f(x) \neq \lim_{x \to 3^-} f(x)$।

(B) दिया गया सीमा है: $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to \pi /6} \frac{{\cot^2 \theta - 3}}{{\csc \theta - 2}}$.
सर्वसमिका $\cot^2 \theta = \csc^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{\theta \to \pi /6} \frac{{\csc^2 \theta - 1 - 3}}{{\csc \theta - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{\theta \to \pi /6} \frac{{\csc^2 \theta - 4}}{{\csc \theta - 2}}$.
अंश का गुणनखंड करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{\theta \to \pi /6} \frac{{(\csc \theta - 2)(\csc \theta + 2)}}{{\csc \theta - 2}}$.
समान पद $(\csc \theta - 2)$ को काटने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{\theta \to \pi /6} (\csc \theta + 2) = \csc(\pi /6) + 2$.
चूंकि $\csc(\pi /6) = 2$,इसलिए $2 + 2 = 4$ प्राप्त होता है।

(C) मानक सीमा सूत्र $\mathop {\lim }\limits_{u \to a} \frac{u^n - a^n}{u - a} = n a^{n-1}$ का उपयोग करते हुए:
माना $u = 1 + x$. जैसे ही $x \to 0$,$u \to 1$.
व्यंजक $\mathop {\lim }\limits_{u \to 1} \frac{u^5 - 1^5}{u^3 - 1^3}$ हो जाता है।
अंश और हर को $(u - 1)$ से विभाजित करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{u \to 1} \frac{(u^5 - 1^5)/(u - 1)}{(u^3 - 1^3)/(u - 1)} = \frac{5(1)^{5-1}}{3(1)^{3-1}} = \frac{5}{3}$.
वैकल्पिक रूप से,$L$-Hospital नियम लागू करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}((1+x)^5 - 1)}{\frac{d}{dx}((1+x)^3 - 1)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{5(1+x)^4}{3(1+x)^2} = \frac{5(1)^4}{3(1)^2} = \frac{5}{3}$.

(A) दिया गया सीमा: $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^9} + {a^9}}}{{x + a}} = 9$
चूंकि व्यंजक $x = a$ पर सतत है,हम सीधे $x = a$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$\frac{{{a^9} + {a^9}}}{{a + a}} = 9$
$\frac{{2{a^9}}}{{2a}} = 9$
${a^8} = 9$
$a = \pm 9^{1/8}$

(A) सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{x e^{1/x}}{1 + e^{1/x}}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम अंश और हर को $e^{1/x}$ से विभाजित करते हैं:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{x}{\frac{1}{e^{1/x}} + 1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{x}{e^{-1/x} + 1}$
जैसे $x \to 0^ +$,पद $1/x \to \infty$,इसलिए $e^{-1/x} \to 0$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{0}{0 + 1} = 0$ प्राप्त होता है।

(C) सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} [x]$ ज्ञात करने के लिए,हम वामपक्ष सीमा और दक्षिणपक्ष सीमा का मूल्यांकन करते हैं।
वामपक्ष सीमा: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^-} [x] = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} [1 - h] = 0$.
दक्षिणपक्ष सीमा: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^+} [x] = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} [1 + h] = 1$.
चूंकि वामपक्ष सीमा $(0)$ दक्षिणपक्ष सीमा $(1)$ के बराबर नहीं है,इसलिए सीमा का अस्तित्व नहीं है।

(B) सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{{x^2} + bx + 4}}{{{x^2} + ax + 5}}} \right)$ ज्ञात करने के लिए,अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करें:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{1 + \frac{b}{x} + \frac{4}{{{x^2}}}}}{{1 + \frac{a}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}}}} \right)$
जैसे $x \to \infty$,पद $\frac{b}{x}$,$\frac{4}{x^2}$,$\frac{a}{x}$,और $\frac{5}{x^2}$ सभी $0$ की ओर अग्रसर होते हैं।
अतः,सीमा $\frac{1 + 0 + 0}{1 + 0 + 0} = 1$ है।

(B) हमें दिया गया सीमा: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{a^x} - {b^x}}}{x}$ है।
इसे हल करने के लिए,अंश में $1$ जोड़ते और घटाते हैं:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{a^x} - 1 - ({b^x} - 1)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{{{a^x} - 1}}{x} - \frac{{{b^x} - 1}}{x} \right)$।
मानक सीमा सूत्र $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{k^x} - 1}}{x} = \log k$ का उपयोग करते हुए:
$= \log a - \log b$।
लघुगणक के गुणधर्म $\log m - \log n = \log \left( \frac{m}{n} \right)$ का उपयोग करते हुए:
$= \log \left( \frac{a}{b} \right)$।

(C) हम जानते हैं कि प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ होता है।
इस मान को सीमा व्यंजक में रखने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{{6{n^3}}}} \right]$
$= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{n}{n} \cdot \frac{(n + 1)}{n} \cdot \frac{(2n + 1)}{n} \cdot \frac{1}{6}$
$= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( 1 \right) \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \left( 2 + \frac{1}{n} \right) \cdot \frac{1}{6}$
$= 1 \cdot (1 + 0) \cdot (2 + 0) \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} - \sqrt {{x^2} + {b^2}} }}{{\sqrt {{x^2} + {c^2}} - \sqrt {{x^2} + {d^2}} }}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम अंश और हर का परिमेयकरण करते हैं:
अंश और हर को उनके संयुग्मी (conjugates) से गुणा करने पर:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{(\sqrt {x^2 + a^2} - \sqrt {x^2 + b^2})(\sqrt {x^2 + a^2} + \sqrt {x^2 + b^2})}{(\sqrt {x^2 + c^2} - \sqrt {x^2 + d^2})(\sqrt {x^2 + c^2} + \sqrt {x^2 + d^2})} \times \frac{(\sqrt {x^2 + c^2} + \sqrt {x^2 + d^2})}{(\sqrt {x^2 + a^2} + \sqrt {x^2 + b^2})} $
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{(x^2 + a^2) - (x^2 + b^2)}{(x^2 + c^2) - (x^2 + d^2)} \times \frac{\sqrt {x^2 + c^2} + \sqrt {x^2 + d^2}}{\sqrt {x^2 + a^2} + \sqrt {x^2 + b^2}} $
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{a^2 - b^2}{c^2 - d^2} \times \frac{x\sqrt {1 + c^2/x^2} + x\sqrt {1 + d^2/x^2}}{x\sqrt {1 + a^2/x^2} + x\sqrt {1 + b^2/x^2}} $
जैसे $x \to \infty$,पद $a^2/x^2, b^2/x^2, c^2/x^2, d^2/x^2$ शून्य $(0)$ की ओर अग्रसर होते हैं।
$= \frac{a^2 - b^2}{c^2 - d^2} \times \frac{1 + 1}{1 + 1} = \frac{a^2 - b^2}{c^2 - d^2}$.

(A) सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{x - 3}{\sqrt{x - 2} - \sqrt{4 - x}}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हर का परिमेयकरण करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{(x - 3)(\sqrt{x - 2} + \sqrt{4 - x})}{(\sqrt{x - 2} - \sqrt{4 - x})(\sqrt{x - 2} + \sqrt{4 - x})}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{(x - 3)(\sqrt{x - 2} + \sqrt{4 - x})}{(x - 2) - (4 - x)}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{(x - 3)(\sqrt{x - 2} + \sqrt{4 - x})}{2x - 6}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{(x - 3)(\sqrt{x - 2} + \sqrt{4 - x})}{2(x - 3)}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{\sqrt{x - 2} + \sqrt{4 - x}}{2}$
$= \frac{\sqrt{3 - 2} + \sqrt{4 - 3}}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1$.
वैकल्पिक रूप से,$L$-Hospital नियम का उपयोग करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{\frac{d}{dx}(x - 3)}{\frac{d}{dx}(\sqrt{x - 2} - \sqrt{4 - x})} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2\sqrt{x - 2}} - \frac{-1}{2\sqrt{4 - x}}} = \frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 1$.

(C) हमें सीमा का मूल्यांकन करना है: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{(x - 1)(2x + 3)}}{{{x^2}}}$.
सबसे पहले,अंश का विस्तार करें: $(x - 1)(2x + 3) = 2x^2 + 3x - 2x - 3 = 2x^2 + x - 3$.
अब,इस मान को सीमा व्यंजक में रखें: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2x^2 + x - 3}}{{x^2}}$.
अंश के प्रत्येक पद को $x^2$ से विभाजित करें: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (\frac{{2x^2}}{{x^2}} + \frac{x}{{x^2}} - \frac{3}{{x^2}}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (2 + \frac{1}{x} - \frac{3}{{x^2}})$.
जैसे-जैसे $x \to \infty$,$\frac{1}{x} \to 0$ और $\frac{3}{{x^2}} \to 0$.
अतः,सीमा का मान $2 + 0 - 0 = 2$ है।

(C) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$.
इसे सीमा व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{n^2(n+1)^2}{4n^4} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{n^2(n^2 + 2n + 1)}{4n^4}$.
$= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{n^4 + 2n^3 + n^2}{4n^4}$.
अंश और हर को $n^4$ से विभाजित करने पर:
$= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}{4} = \frac{1 + 0 + 0}{4} = \frac{1}{4}$.

(C) दिया गया व्यंजक $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{y^2}}}{x}$ है जहाँ ${y^2} = ax + b{x^2} + c{x^3}$.
सीमा में ${y^2}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ax + b{x^2} + c{x^3}}}{x}$
अंश के प्रत्येक पद को $x$ से विभाजित करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (a + bx + c{x^2})$
अब,सीमा $x \to 0$ लागू करने पर:
$a + b(0) + c(0)^2 = a$.

(B) सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} + 5x - 6}}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम पहले $x = 1$ प्रतिस्थापित करके रूप की जाँच करते हैं।
$x = 1$ रखने पर $\frac{1^3 - 1}{1^2 + 5(1) - 6} = \frac{0}{0}$ प्राप्त होता है,जो एक अनिर्धारित रूप है।
हम अंश और हर का गुणनखंड करते हैं:
अंश: $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$
हर: $x^2 + 5x - 6 = (x - 1)(x + 6)$
अब,सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x - 1)(x + 6)}$ हो जाती है।
उभयनिष्ठ गुणनखंड $(x - 1)$ को हटाने पर,हमें $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{x^2 + x + 1}{x + 6}$ प्राप्त होता है।
$x = 1$ रखने पर $\frac{1^2 + 1 + 1}{1 + 6} = \frac{3}{7}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया सीमा: $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sqrt {a + 2x} - \sqrt {3x} }}{{\sqrt {3a + x} - 2\sqrt x }}$
अंश और हर का परिमेयकरण करने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{a - x}{3(a - x)} \times \frac{\sqrt {3a + x} + 2\sqrt x}{\sqrt {a + 2x} + \sqrt {3x}}$
$L = \frac{1}{3} \times \frac{2\sqrt{4a} + 2\sqrt{a}}{2\sqrt{3a}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(B) दिया गया सीमा मान: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 - {x^{ - 1/3}}}}{{1 - {x^{ - 2/3}}}}$.
हर का गुणनखंड करने पर: $1 - {x^{ - 2/3}} = (1 - {x^{ - 1/3}})(1 + {x^{ - 1/3}})$.
सीमा में मान रखने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 - {x^{ - 1/3}}}}{{(1 - {x^{ - 1/3}})(1 + {x^{ - 1/3}})}}$.
समान पद $(1 - {x^{ - 1/3}})$ को काटने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{1 + {x^{ - 1/3}}}} = \frac{1}{{1 + 1^{ - 1/3}}} = \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2}$.
वैकल्पिक रूप से,$L$-Hospital नियम का उपयोग करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{\frac{d}{dx}(1 - x^{-1/3})}{\frac{d}{dx}(1 - x^{-2/3})} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3}x^{-4/3}}{\frac{2}{3}x^{-5/3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{2}x^{1/3} = \frac{1}{2}$.

(B) दिया गया सीमा: $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x({2^x} - 1)}}{{1 - \cos x}}$
मानक सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{2^x} - 1}}{x} = \log 2$ और $1 - \cos x = 2\sin^2(\frac{x}{2})$ का उपयोग करते हुए:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x({2^x} - 1)}}{{2\sin^2(\frac{x}{2})}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{{{2^x} - 1}}{x} \right) \cdot \left( \frac{x^2}{2\sin^2(\frac{x}{2})} \right)$
$L = (\log 2) \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{2 \left( \frac{\sin(x/2)}{x} \right)^2}$
चूंकि $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin(x/2)}{x/2} = 1$,इसलिए $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin(x/2)}{x} = \frac{1}{2}$:
$L = (\log 2) \cdot \frac{1}{2 \cdot (1/2)^2} = (\log 2) \cdot \frac{1}{2 \cdot (1/4)} = (\log 2) \cdot 2 = 2\log 2 = \log 4$.

(A) हमारे पास $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan x - \sin x}}{{{x^3}}}$ है।
$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \dots$ और $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \dots$ के विस्तार का उपयोग करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(x + \frac{x^3}{3} + \dots) - (x - \frac{x^3}{6} + \dots)}}{{{x^3}}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{x^3}{3} + \frac{x^3}{6}}}{{{x^3}}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{3x^3}{6}}}{{{x^3}}} = \frac{1}{2}$.

(C) त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin C - \sin D = 2 \cos \left( \frac{C+D}{2} \right) \sin \left( \frac{C-D}{2} \right)$ का उपयोग करते हुए:
माना $C = 2+x$ और $D = 2-x$ है।
अतः $\sin(2+x) - \sin(2-x) = 2 \cos \left( \frac{2+x+2-x}{2} \right) \sin \left( \frac{2+x-(2-x)}{2} \right) = 2 \cos(2) \sin(x)$।
इस मान को सीमा में रखने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2 \cos 2 \sin x}{x} = 2 \cos 2 \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$।
चूंकि $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$,इसलिए परिणाम $2 \cos 2 \cdot 1 = 2 \cos 2$ प्राप्त होता है।

(B) सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{{x^2} - 1}}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम अंश और हर को $x$ की उच्चतम घात,जो कि ${x^2}$ है,से विभाजित करते हैं।
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2 - (3/x) + (1/{x^2})}}{{1 - (1/{x^2})}}$
जैसे $x \to \infty$,पद $(3/x)$,$(1/{x^2})$,और $(1/{x^2})$ $0$ की ओर अग्रसर होते हैं।
अतः,सीमा $\frac{{2 - 0 + 0}}{{1 - 0}} = \frac{2}{1} = 2$ प्राप्त होती है।

(C) सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{3{x^2} + 2x - 1}}{{2{x^2} - 3x - 3}}$ का मूल्यांकन करने के लिए,अंश और हर को $x$ की उच्चतम घात,जो कि $x^2$ है,से विभाजित करें।
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{3 + \frac{2}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}}}{{2 - \frac{3}{x} - \frac{3}{{{x^2}}}}}$
जैसे $x \to \infty$,पद $\frac{2}{x}$,$\frac{1}{{{x^2}}}$,$\frac{3}{x}$,और $\frac{3}{{{x^2}}}$ का मान $0$ की ओर अग्रसर होता है।
अतः,सीमा $\frac{{3 + 0 - 0}}{{2 - 0 - 0}} = \frac{3}{2}$ है।

(C) सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{|x - 2|}{x - 2}$ ज्ञात करने के लिए,हम बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ और दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ का मूल्यांकन करते हैं।
बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2^-} \frac{|x - 2|}{x - 2} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{|2 - h - 2|}{2 - h - 2} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{|-h|}{-h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{h}{-h} = -1$.
दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2^+} \frac{|x - 2|}{x - 2} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{|2 + h - 2|}{2 + h - 2} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{|h|}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{h}{h} = 1$.
चूँकि बाएँ पक्ष की सीमा $(-1)$ दाएँ पक्ष की सीमा $(1)$ के बराबर नहीं है,इसलिए सीमा का अस्तित्व नहीं है।

(C) सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{{(2x + 1)}^{40}}{{(4x - 1)}^5}}}{{{{(2x + 3)}^{45}}}}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम प्रत्येक पद से $x$ की उच्चतम घात को उभयनिष्ठ लेते हैं:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{{[x(2 + \frac{1}{x})]}^{40}}{{[x(4 - \frac{1}{x})]}^5}}}{{{{[x(2 + \frac{3}{x})]}^{45}}}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^{45}}{{(2 + \frac{1}{x})}^{40}}{{(4 - \frac{1}{x})}^5}}}{{{x^{45}}{{(2 + \frac{3}{x})}^{45}}}}$
$= \frac{{{2^{40}} \cdot {4^5}}}{{{2^{45}}}} = \frac{{{2^{40}} \cdot {2^{10}}}}{{{2^{45}}}} = {2^5} = 32$

(B) माना कि $\tan^{-1} 2x = \theta$ है।
तब $2x = \tan \theta$,जिसका अर्थ है $x = \frac{1}{2} \tan \theta$।
जैसे $x \to 0$,वैसे ही $\theta \to 0$।
इन मानों को सीमा में रखने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{\tan^{-1} 2x} = \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\frac{1}{2} \tan \theta}{\theta} = \frac{1}{2} \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\tan \theta}{\theta}$।
चूंकि $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\tan \theta}{\theta} = 1$,इसलिए परिणाम $\frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$ है।

(D) माना $\theta = \pi - 2x$ है। जैसे $x \to \frac{\pi}{2}$,वैसे ही $\theta \to 0$।
तब $2x = \pi - \theta$,इसलिए $\cos 2x = \cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$।
व्यंजक $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos \theta}{\theta^2}$ बन जाता है।
सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\frac{\theta}{2})$ का उपयोग करने पर,हमें $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{2 \sin^2(\frac{\theta}{2})}{\theta^2}$ प्राप्त होता है।
इसका सरलीकरण $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} 2 \cdot \frac{\sin^2(\frac{\theta}{2})}{4(\frac{\theta}{2})^2} = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ है।

(A) हमें सीमा का मूल्यांकन करना है: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /2} \frac{\tan 3x}{x}$.
जैसे $x \to \pi /2$,अंश $\tan 3x$ का मान $\tan(3\pi / 2)$ की ओर जाता है,जो अपरिभाषित है।
हर $x$ का मान $\pi / 2$ की ओर जाता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {3 + x} - \sqrt {3 - x} }}{x}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम अंश का परिमेयकरण करते हैं:
अंश और हर को $(\sqrt{3+x} + \sqrt{3-x})$ से गुणा करने पर:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{(\sqrt{3+x} - \sqrt{3-x})(\sqrt{3+x} + \sqrt{3-x})}{x(\sqrt{3+x} + \sqrt{3-x})}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{(3+x) - (3-x)}{x(\sqrt{3+x} + \sqrt{3-x})}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2x}{x(\sqrt{3+x} + \sqrt{3-x})}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{3+x} + \sqrt{3-x}}$
$= \frac{2}{\sqrt{3+0} + \sqrt{3-0}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(A) माना $f(x) = \log x$. तब $f'(x) = \frac{1}{x}$ है।
पहली सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\log (a + x) - \log a}}{x} = f'(a) = \frac{1}{a}$ है।
दूसरी सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to e} \frac{{\log x - 1}}{{x - e}}$ है। चूँकि $\log e = 1$,यह $\mathop {\lim }\limits_{x \to e} \frac{{\log x - \log e}}{{x - e}} = f'(e) = \frac{1}{e}$ है।
इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{a} + k \cdot \frac{1}{e} = 1$।
$\frac{k}{e} = 1 - \frac{1}{a} = \frac{a - 1}{a}$।
अतः,$k = e \left( \frac{a - 1}{a} \right) = e \left( 1 - \frac{1}{a} \right)$।

(D) हम जानते हैं कि $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें $\sqrt{\frac{1}{2}(2 \sin^2 x)} = \sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|$ प्राप्त होता है।
अतः,सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{|\sin x|}{x}$ हो जाती है।
दाहिनी सीमा के लिए $(x \to 0^+)$,$|\sin x| = \sin x$,इसलिए $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$.
बाईं सीमा के लिए $(x \to 0^-)$,$|\sin x| = -\sin x$,इसलिए $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^-} \frac{-\sin x}{x} = -1$.
चूंकि बाईं सीमा और दाहिनी सीमा बराबर नहीं हैं,इसलिए सीमा का अस्तित्व नहीं है।

(D) हम मानक सीमा सूत्र $\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = 1$ का उपयोग करते हैं।
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{\alpha x}} - {e^{\beta x}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{\alpha x}} - 1 - ({e^{\beta x}} - 1)}}{x}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{{{e^{\alpha x}} - 1}}{x} - \frac{{{e^{\beta x}} - 1}}{x} \right)$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \alpha \cdot \frac{{{e^{\alpha x}} - 1}}{{\alpha x}} - \beta \cdot \frac{{{e^{\beta x}} - 1}}{{\beta x}} \right)$
$= \alpha(1) - \beta(1) = \alpha - \beta$.