Triangle and Parallelogram Questions in Hindi

(D) माना शीर्ष $B$ के निर्देशांक $(x_1, y_1, z_1)$ हैं।
त्रिभुज के शीर्ष $A(x_A, y_A, z_A)$,$B(x_B, y_B, z_B)$ और $C(x_C, y_C, z_C)$ के लिए केंद्रक $G$ के निर्देशांक $\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \frac{y_A+y_B+y_C}{3}, \frac{z_A+z_B+z_C}{3}\right)$ होते हैं।
दिया है $A(1,4,2)$,$C(5,-7,1)$ और $G\left(\frac{4}{3}, 0, \frac{-2}{3}\right)$,अतः:
$\frac{1+x_1+5}{3} = \frac{4}{3} \Rightarrow 6+x_1 = 4 \Rightarrow x_1 = -2$
$\frac{4+y_1-7}{3} = 0 \Rightarrow y_1-3 = 0 \Rightarrow y_1 = 3$
$\frac{2+z_1+1}{3} = \frac{-2}{3} \Rightarrow 3+z_1 = -2 \Rightarrow z_1 = -5$
अतः,$B = (-2, 3, -5)$ है।
भुजा $BC$ का मध्य बिंदु $\left(\frac{x_B+x_C}{2}, \frac{y_B+y_C}{2}, \frac{z_B+z_C}{2}\right)$ होगा।
मध्य बिंदु $= \left(\frac{-2+5}{2}, \frac{3-7}{2}, \frac{-5+1}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, -2, -2\right)$.

(D) शीर्षों $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ और $(x_3, y_3, z_3)$ वाले त्रिभुज का केंद्रक $G$ सूत्र $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3})$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $A(7, -8, 1)$,$B(p, q, 5)$,$C(q+1, 5p, 0)$ और $G(3, -5, r)$।
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$x$-निर्देशांक: $\frac{7+p+q+1}{3} = 3 \Rightarrow p+q+8 = 9 \Rightarrow p+q = 1$ (समीकरण $1$)
$y$-निर्देशांक: $\frac{-8+q+5p}{3} = -5 \Rightarrow 5p+q-8 = -15 \Rightarrow 5p+q = -7$ (समीकरण $2$)
$z$-निर्देशांक: $\frac{1+5+0}{3} = r \Rightarrow r = \frac{6}{3} = 2$
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ घटाने पर: $(5p+q) - (p+q) = -7 - 1 \Rightarrow 4p = -8 \Rightarrow p = -2$।
$p = -2$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर: $-2 + q = 1 \Rightarrow q = 3$।
अतः,मान $p = -2, q = 3, r = 2$ हैं।

(D) मान लीजिए $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है। $D$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$D = \left( \frac{\lambda - 1}{2}, \frac{5 + 3}{2}, \frac{\mu + 2}{2} \right) = \left( \frac{\lambda - 1}{2}, 4, \frac{\mu + 2}{2} \right)$.
माध्यिका $AD$ के दिक-अनुपात $D$ और $A$ के निर्देशांकों के अंतर द्वारा प्राप्त होते हैं:
$AD = \left( \frac{\lambda - 1}{2} - 2, 4 - 3, \frac{\mu + 2}{2} - 5 \right) = \left( \frac{\lambda - 5}{2}, 1, \frac{\mu - 8}{2} \right)$.
चूंकि माध्यिका $AD$ निर्देशांक अक्षों के साथ समान रूप से झुकी हुई है,इसलिए इसके दिक-अनुपात $(1, 1, 1)$ या $(\pm 1, \pm 1, \pm 1)$ के अनुपात में होने चाहिए।
अतः,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\lambda - 5}{2} = 1 \implies \lambda - 5 = 2 \implies \lambda = 7$.
$\frac{\mu - 8}{2} = 1 \implies \mu - 8 = 2 \implies \mu = 10$.
इसलिए,$\lambda = 7$ और $\mu = 10$ है।

(D) दिए गए शीर्ष $A \equiv(0,3,0), B \equiv(0,0,4)$,और $C \equiv(0,3,4)$ हैं।
सबसे पहले,भुजाओं की लंबाई की गणना करें:
$a = BC = \sqrt{(0-0)^2 + (3-0)^2 + (4-4)^2} = \sqrt{0+9+0} = 3$
$b = CA = \sqrt{(0-0)^2 + (3-3)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{0+0+16} = 4$
$c = AB = \sqrt{(0-0)^2 + (0-3)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{0+9+16} = \sqrt{25} = 5$
अब,अंतःकेंद्र $I = \left(\frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c}, \frac{az_1+bz_2+cz_3}{a+b+c}\right)$:
$I = \left(\frac{3(0)+4(0)+5(0)}{3+4+5}, \frac{3(3)+4(0)+5(3)}{3+4+5}, \frac{3(0)+4(4)+5(4)}{3+4+5}\right)$
$I = \left(\frac{0}{12}, \frac{9+0+15}{12}, \frac{0+16+20}{12}\right) = \left(0, \frac{24}{12}, \frac{36}{12}\right) = (0, 2, 3)$
केंद्रक $G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$:
$G = \left(\frac{0+0+0}{3}, \frac{3+0+3}{3}, \frac{0+4+4}{3}\right) = \left(0, \frac{6}{3}, \frac{8}{3}\right) = \left(0, 2, \frac{8}{3}\right)$
अतः,अंतःकेंद्र और केंद्रक क्रमशः $(0, 2, 3)$ और $\left(0, 2, \frac{8}{3}\right)$ हैं।

(C) $\triangle ABP$ और $\triangle CDP$ में,$AB \parallel DC$ और $AB = DC$ है। चूँकि $P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AP = PB = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} DC$ है।
$\triangle APR$ और $\triangle CPD$ पर विचार करें:
$\angle PAR = \angle PCD$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AB \parallel DC$)
$\angle APR = \angle CPD$ (शीर्षाभिमुख कोण)
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी से $\triangle APR \sim \triangle CPD$ है।
इसलिए,संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा:
$\frac{AR}{CR} = \frac{AP}{CD} = \frac{\frac{1}{2} AB}{AB} = \frac{1}{2}$.
अतः,$R$,$AC$ को $1: 2$ के अनुपात में विभाजित करता है।

(A) दिए गए त्रिभुज के शीर्ष $P(3,2,6), Q(1,4,5)$ और $R(3,5,3)$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिशों $\vec{QP}$ और $\vec{QR}$ के दिक अनुपात ज्ञात करते हैं।
सदिश $\vec{QP} = (3-1, 2-4, 6-5) = (2, -2, 1)$ है।
सदिश $\vec{QR} = (3-1, 5-4, 3-5) = (2, 1, -2)$ है।
अब,हम $\vec{QP}$ और $\vec{QR}$ का अदिश गुणनफल (dot product) ज्ञात करते हैं:
$\vec{QP} \cdot \vec{QR} = (2)(2) + (-2)(1) + (1)(-2) = 4 - 2 - 2 = 0$ है।
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए सदिश $\vec{QP}$ और $\vec{QR}$ एक-दूसरे पर लंबवत हैं।
अतः,$m \angle PQR = 90^{\circ}$ है।

(A) $A(-1, 2, 3)$,$B(3, -2, 1)$,$C(2, 1, 3)$ और $D(-1, -2, 4)$ शीर्षों वाले चतुष्फलक का केंद्रक $(G)$ ज्ञात करने का सूत्र है:
$G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}, \frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}, \frac{z_1+z_2+z_3+z_4}{4}\right)$
दिए गए निर्देशांकों के मान रखने पर:
$G = \left(\frac{-1+3+2-1}{4}, \frac{2-2+1-2}{4}, \frac{3+1+3+4}{4}\right)$
$G = \left(\frac{3}{4}, \frac{-1}{4}, \frac{11}{4}\right)$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) एक त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने से बनने वाले त्रिभुज का केंद्रक,मूल त्रिभुज के केंद्रक के समान ही होता है।
माना मध्य बिंदु $M_1 = (1, 5, -1)$,$M_2 = (0, 4, -2)$ और $M_3 = (2, 3, 4)$ हैं।
इन मध्य बिंदुओं द्वारा बने त्रिभुज का केंद्रक $G(x, y, z)$ उनके निर्देशांकों के औसत द्वारा प्राप्त होता है:
$x = \frac{1 + 0 + 2}{3} = \frac{3}{3} = 1$
$y = \frac{5 + 4 + 3}{3} = \frac{12}{3} = 4$
$z = \frac{-1 - 2 + 4}{3} = \frac{1}{3}$
अतः,केंद्रक $(1, 4, 1/3)$ है।

(D) त्रिभुज के शीर्ष $O(0,0,0)$,$A(3,0,0)$,और $B(0,4,0)$ हैं।
मान लीजिए भुजाओं की लंबाई $a, b, c$ है जो क्रमशः शीर्ष $A, B, O$ के सम्मुख हैं।
$a = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(0-3)^2 + (4-0)^2 + (0-0)^2} = 5$.
$b = |\overrightarrow{OB}| = 4$.
$c = |\overrightarrow{OA}| = 3$.
अंतःकेंद्र $I$ के निर्देशांक $\left( \frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a+b+c}, \frac{az_1 + bz_2 + cz_3}{a+b+c} \right)$ सूत्र द्वारा दिए जाते हैं।
मान रखने पर: $I = \left( \frac{5(0) + 4(3) + 3(0)}{5+4+3}, \frac{5(0) + 4(0) + 3(4)}{5+4+3}, \frac{5(0) + 4(0) + 3(0)}{5+4+3} \right)$.
$I = \left( \frac{12}{12}, \frac{12}{12}, \frac{0}{12} \right) = (1, 1, 0)$.

(C) $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ और $(x_3, y_3, z_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का केंद्रक $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ होता है।
दिए गए शीर्षों $(a, 1, 3)$,$(-2, b, -5)$ और $(4, 7, c)$ के लिए केंद्रक $(0, 0, 0)$ है:
$\frac{a-2+4}{3} = 0 \Rightarrow a = -2$
$\frac{1+b+7}{3} = 0 \Rightarrow b = -8$
$\frac{3-5+c}{3} = 0 \Rightarrow c = 2$
अतः,$a^2 + b^2 + c^2 = (-2)^2 + (-8)^2 + (2)^2 = 4 + 64 + 4 = 72$.

(C) माना शीर्षों के निर्देशांक $O(0, 0, 0)$,$A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,और $C(x_3, y_3, z_3)$ हैं।
चतुष्फलक $OABC$ का केंद्रक $G = \left(\frac{0+x_1+x_2+x_3}{4}, \frac{0+y_1+y_2+y_3}{4}, \frac{0+z_1+z_2+z_3}{4}\right) = (2, -1, 2)$ है।
इसका अर्थ है $\frac{x_1+x_2+x_3}{4} = 2 \Rightarrow x_1+x_2+x_3 = 8$,$\frac{y_1+y_2+y_3}{4} = -1 \Rightarrow y_1+y_2+y_3 = -4$,और $\frac{z_1+z_2+z_3}{4} = 2 \Rightarrow z_1+z_2+z_3 = 8$ है।
$\triangle ABC$ का केंद्रक $G_1 = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ है।
मान रखने पर,$G_1 = \left(\frac{8}{3}, \frac{-4}{3}, \frac{8}{3}\right)$ प्राप्त होता है।
दूरी $\left|\overline{O G_1}\right| = \sqrt{\left(\frac{8}{3}\right)^2 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2 + \left(\frac{8}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{64}{9} + \frac{16}{9} + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{144}{9}} = \sqrt{16} = 4$।

(A) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(0,0,0), B(3,0,0)$ और $C(0,4,0)$ हैं।
सबसे पहले,हम शीर्षों $A, B$ और $C$ के सम्मुख भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं:
$a = BC = \sqrt{(0-3)^2 + (4-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{9+16} = 5$
$b = AC = \sqrt{(0-0)^2 + (4-0)^2 + (0-0)^2} = 4$
$c = AB = \sqrt{(3-0)^2 + (0-0)^2 + (0-0)^2} = 3$
अंतःकेंद्र $(x, y, z)$ के निर्देशांक निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिए जाते हैं:
$x = \frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c}, y = \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a+b+c}, z = \frac{az_1 + bz_2 + cz_3}{a+b+c}$
मान रखने पर:
$x = \frac{5(0) + 4(3) + 3(0)}{5+4+3} = \frac{12}{12} = 1$
$y = \frac{5(0) + 4(0) + 3(4)}{5+4+3} = \frac{12}{12} = 1$
$z = \frac{5(0) + 4(0) + 3(0)}{5+4+3} = 0$
अतः,अंतःकेंद्र $(1, 1, 0)$ है।

(A) दिए गए बिंदु $P(0, 7, 10)$,$Q(-1, 6, 6)$ और $R(-4, 9, 6)$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ का उपयोग करने पर:
$PQ = \sqrt{(-1-0)^2 + (6-7)^2 + (6-10)^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$QR = \sqrt{(-4 - (-1))^2 + (9-6)^2 + (6-6)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 9 + 0} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$PR = \sqrt{(-4-0)^2 + (9-7)^2 + (6-10)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
चूंकि $PQ = QR = 3\sqrt{2}$,त्रिभुज समद्विबाहु है।
साथ ही,$PQ^2 + QR^2 = 18 + 18 = 36 = PR^2$। पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से,$\triangle PQR$ एक समकोण त्रिभुज है।
अतः,$\triangle PQR$ एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है।

(A) $\triangle ABC$ का केंद्रक $G = \left(\frac{3+4+6}{3}, \frac{2+1+2}{3}, \frac{-1+1+5}{3}\right) = \left(\frac{13}{3}, \frac{5}{3}, \frac{5}{3}\right)$ है।
चूंकि $D, E, F$ भुजाओं $BC, CA, AB$ को समान अनुपात $k:1$ (जहाँ $k=2$) में विभाजित करते हैं,इसलिए $\triangle DEF$ का केंद्रक $\triangle ABC$ के केंद्रक के समान ही होता है।
अतः,$\triangle DEF$ का केंद्रक $\left(\frac{13}{3}, \frac{5}{3}, \frac{5}{3}\right)$ है।

(D) माना $A(1, 2, 3), B(3, -1, 5), C(4, 0, -3)$ त्रिभुज के शीर्ष हैं। माना $O(x, y, z)$ परिकेंद्र है। तब $OA = OB = OC$,जिसका अर्थ है $OA^2 = OB^2 = OC^2$।
$OA^2 = OB^2 \Rightarrow (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = (x-3)^2 + (y+1)^2 + (z-5)^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 + z^2 - 6z + 9 = x^2 - 6x + 9 + y^2 + 2y + 1 + z^2 - 10z + 25$
$4x - 6y + 4z = 20 \Rightarrow 2x - 3y + 2z = 10 \quad \dots (i)$
$OB^2 = OC^2 \Rightarrow (x-3)^2 + (y+1)^2 + (z-5)^2 = (x-4)^2 + y^2 + (z+3)^2$
$x^2 - 6x + 9 + y^2 + 2y + 1 + z^2 - 10z + 25 = x^2 - 8x + 16 + y^2 + z^2 + 6z + 9$
$2x + 2y - 16z = -10 \Rightarrow x + y - 8z = -5 \quad \dots (ii)$
$OA^2 = OC^2 \Rightarrow (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = (x-4)^2 + y^2 + (z+3)^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 + z^2 - 6z + 9 = x^2 - 8x + 16 + y^2 + z^2 + 6z + 9$
$6x - 4y - 12z = 11 \quad \dots (iii)$
समीकरणों $(i), (ii),$ और $(iii)$ को हल करने पर,हमें $x = \frac{7}{2}, y = -\frac{1}{2}, z = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,परिकेंद्र $\left(\frac{7}{2}, -\frac{1}{2}, 1\right)$ है।

(A) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$,और $(x_3, y_3, z_3)$ के लिए केंद्रक $G = (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3})$ होता है।
शीर्षों $(2, 3, -1)$,$(5, 6, 3)$,$(2, -3, 1)$ के लिए:
$G = (\frac{2+5+2}{3}, \frac{3+6-3}{3}, \frac{-1+3+1}{3}) = (\frac{9}{3}, \frac{6}{3}, \frac{3}{3}) = (3, 2, 1)$। अतः,$A-s$।
$(B)$ एक समबाहु त्रिभुज के लिए,परिकेंद्र केंद्रक के समान होता है।
शीर्षों $(1, 2, 3)$,$(2, 3, 1)$,$(3, 1, 2)$ के लिए:
$C = (\frac{1+2+3}{3}, \frac{2+3+1}{3}, \frac{3+1+2}{3}) = (\frac{6}{3}, \frac{6}{3}, \frac{6}{3}) = (2, 2, 2)$। अतः,$B-p$।
$(C)$ एक समबाहु त्रिभुज के लिए,लंबकेंद्र केंद्रक के समान होता है।
शीर्षों $(2, 1, 5)$,$(3, 2, 3)$,$(4, 0, 4)$ के लिए:
$O = (\frac{2+3+4}{3}, \frac{1+2+0}{3}, \frac{5+3+4}{3}) = (\frac{9}{3}, \frac{3}{3}, \frac{12}{3}) = (3, 1, 4)$। अतः,$C-q$।
$(D)$ एक समकोण त्रिभुज के लिए जिसके शीर्ष $(0, 0, 0)$,$(a, 0, 0)$,और $(0, b, 0)$ हैं,अंतःकेंद्र $(\frac{ab}{a+b+\sqrt{a^2+b^2}}, \frac{ab}{a+b+\sqrt{a^2+b^2}}, 0)$ होता है।
यहाँ,शीर्ष $(0, 0, 0)$,$(3, 0, 0)$,$(0, 4, 0)$ हैं। अतः,$a=3, b=4$। कर्ण $c = \sqrt{3^2+4^2} = 5$।
$I = (\frac{3 \times 4}{3+4+5}, \frac{3 \times 4}{3+4+5}, 0) = (\frac{12}{12}, \frac{12}{12}, 0) = (1, 1, 0)$। अतः,$D-r$।

(A) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ और $(x_3, y_3, z_3)$ के लिए केंद्रक $G$ का सूत्र $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ है।
दिए गए $G = \left(5, -1, \frac{2}{3}\right)$ से:
$\frac{1+h-4}{3} = 5$ $\Rightarrow h-3 = 15$ $\Rightarrow h = 18$.
$\frac{2-3+k}{3} = -1$ $\Rightarrow k-1 = -3$ $\Rightarrow k = -2$.
अतः,शीर्ष $A(1, 2, 3)$,$B(18, -3, 0)$ और $C(-4, -2, -1)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई के वर्गों की गणना करने पर:
$AB^2 = (18-1)^2 + (-3-2)^2 + (0-3)^2 = 17^2 + (-5)^2 + (-3)^2 = 289 + 25 + 9 = 323$.
$BC^2 = (-4-18)^2 + (-2-(-3))^2 + (-1-0)^2 = (-22)^2 + 1^2 + (-1)^2 = 484 + 1 + 1 = 486$.
$CA^2 = (-4-1)^2 + (-2-2)^2 + (-1-3)^2 = (-5)^2 + (-4)^2 + (-4)^2 = 25 + 16 + 16 = 57$.
यहाँ $BC^2 = 486$ और $AB^2 + CA^2 = 323 + 57 = 380$ है,इसलिए $BC^2 > AB^2 + CA^2$ प्राप्त होता है।
अतः,त्रिभुज $ABC$ एक अधिककोणीय त्रिभुज है।

(A) माना बिंदु $A(2, 3, 4)$,$B(-1, -2, 1)$ और $C(5, 8, 7)$ हैं।
दूरी सूत्र का उपयोग करके हम जाँचते हैं कि क्या बिंदु संरेख हैं।
$AB = \sqrt{(-1-2)^2 + (-2-3)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{9 + 25 + 9} = \sqrt{43}$.
$BC = \sqrt{(5-(-1))^2 + (8-(-2))^2 + (7-1)^2} = \sqrt{36 + 100 + 36} = \sqrt{172} = 2\sqrt{43}$.
$AC = \sqrt{(5-2)^2 + (8-3)^2 + (7-4)^2} = \sqrt{9 + 25 + 9} = \sqrt{43}$.
चूँकि $AB + AC = \sqrt{43} + \sqrt{43} = 2\sqrt{43} = BC$,इसलिए बिंदु $A, B, C$ संरेख हैं।

(C) समांतर चतुर्भुज $PQRS$ के दिए गए शीर्ष $P(1, 2)$,$Q(4, 6)$,$R(5, 7)$ और $S(a, b)$ हैं।
एक समांतर चतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,जिसका अर्थ है कि उनका मध्यबिंदु समान होता है।
मान लीजिए $A$ विकर्णों $PR$ और $QS$ का मध्यबिंदु है।
विकर्ण $PR$ का मध्यबिंदु $A$ इस प्रकार है:
$A = \left( \frac{1 + 5}{2}, \frac{2 + 7}{2} \right) = \left( \frac{6}{2}, \frac{9}{2} \right) = \left( 3, 4.5 \right)$.
विकर्ण $QS$ का मध्यबिंदु $A$ इस प्रकार है:
$A = \left( \frac{4 + a}{2}, \frac{6 + b}{2} \right)$.
मध्यबिंदुओं के निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$\frac{4 + a}{2} = 3 \implies 4 + a = 6 \implies a = 2$.
$\frac{6 + b}{2} = 4.5 \implies 6 + b = 9 \implies b = 3$.
अतः,$a = 2$ और $b = 3$ है।

(A) माना समांतर चतुर्भुज के शीर्ष $A(2,4,-1)$,$B(3,6,-1)$ और $C(4,5,1)$ हैं।
माना चौथा शीर्ष $D(x, y, z)$ है।
समांतर चतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,जिसका अर्थ है कि विकर्ण $AC$ का मध्य-बिंदु,विकर्ण $BD$ के मध्य-बिंदु के समान है।
$AC$ का मध्य-बिंदु $= \left( \frac{2+4}{2}, \frac{4+5}{2}, \frac{-1+1}{2} \right) = \left( 3, \frac{9}{2}, 0 \right)$.
$BD$ का मध्य-बिंदु $= \left( \frac{3+x}{2}, \frac{6+y}{2}, \frac{-1+z}{2} \right)$.
मध्य-बिंदुओं की तुलना करने पर:
$\frac{3+x}{2} = 3 \Rightarrow 3+x = 6 \Rightarrow x = 3$.
$\frac{6+y}{2} = \frac{9}{2} \Rightarrow 6+y = 9 \Rightarrow y = 3$.
$\frac{-1+z}{2} = 0 \Rightarrow -1+z = 0 \Rightarrow z = 1$.
अतः,चौथा शीर्ष $D$ $(3,3,1)$ है।

(B) $\triangle ABC$ के शीर्ष $A(2, -1, 1)$,$B(1, -3, -5)$,और $C(3, -4, -4)$ हैं।
सबसे पहले,हम दूरी सूत्र का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं:
$AB = \sqrt{(1-2)^2 + (-3 - (-1))^2 + (-5-1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 4 + 36} = \sqrt{41}$.
$BC = \sqrt{(3-1)^2 + (-4 - (-3))^2 + (-4 - (-5))^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$.
$CA = \sqrt{(2-3)^2 + (-1 - (-4))^2 + (1 - (-4))^2} = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 9 + 25} = \sqrt{35}$.
अब,पाइथागोरस प्रमेय की जाँच करते हैं:
$BC^2 + CA^2 = 6 + 35 = 41 = AB^2$.
चूँकि $AB^2 = BC^2 + CA^2$,इसलिए त्रिभुज समकोण त्रिभुज की शर्त को पूरा करता है।
अतः,$\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है।

(D) माना कि $C$ के निर्देशांक $(x, y, z)$ हैं।
चूंकि $G(1,0,1)$ $\triangle ABC$ का केंद्रक है,हमारे पास है:
$\frac{1+3+x}{3} = 1 \implies 4+x = 3 \implies x = -1$
$\frac{-4+1+y}{3} = 0 \implies -3+y = 0 \implies y = 3$
$\frac{2+0+z}{3} = 1 \implies 2+z = 3 \implies z = 1$
अतः,$C = (-1, 3, 1)$ है।
अब,$AG^2$ की गणना करें:
$AG^2 = (1-1)^2 + (0-(-4))^2 + (1-2)^2 = 0^2 + 4^2 + (-1)^2 = 16 + 1 = 17$.
$CG^2$ की गणना करें:
$CG^2 = (-1-1)^2 + (3-0)^2 + (1-1)^2 = (-2)^2 + 3^2 + 0^2 = 4 + 9 = 13$.
इस प्रकार,$AG^2 + CG^2 = 17 + 13 = 30$.
$BG^2$ की गणना करें:
$BG^2 = (3-1)^2 + (1-0)^2 + (0-1)^2 = 2^2 + 1^2 + (-1)^2 = 4 + 1 + 1 = 6$.
मानों की तुलना करने पर,$AG^2 + CG^2 = 30 = 5 \times 6 = 5 BG^2$।

(D) बिंदुओं $A(-1, 2, 3)$,$B(2, -3, 1)$ और $C(3, 1, -2)$ द्वारा निर्मित त्रिभुज की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं।
$1$. $AB$ की लंबाई:
$AB = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-3 - 2)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 25 + 4} = \sqrt{38}$.
$2$. $BC$ की लंबाई:
$BC = \sqrt{(3 - 2)^2 + (1 - (-3))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 16 + 9} = \sqrt{26}$.
$3$. $AC$ की लंबाई:
$AC = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (1 - 2)^2 + (-2 - 3)^2} = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 1 + 25} = \sqrt{42}$.
चूंकि सभी भुजाएं $AB = \sqrt{38}$,$BC = \sqrt{26}$ और $AC = \sqrt{42}$ असमान हैं,इसलिए यह त्रिभुज एक विषमबाहु त्रिभुज है।

(D) माना शीर्ष $A(2, -1, 1)$,$B(1, -3, -5)$ और $C(3, -4, -4)$ हैं।
सबसे पहले,भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{(1-2)^2 + (-3-(-1))^2 + (-5-1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 4 + 36} = \sqrt{41}$.
$BC = \sqrt{(3-1)^2 + (-4-(-3))^2 + (-4-(-5))^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$.
$AC = \sqrt{(3-2)^2 + (-4-(-1))^2 + (-4-1)^2} = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 9 + 25} = \sqrt{35}$.
यहाँ $AB^2 = 41$ और $BC^2 + AC^2 = 6 + 35 = 41$ है।
चूंकि $AB^2 = BC^2 + AC^2$,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है जिसमें कोण $C$ समकोण है।
समकोण त्रिभुज के लिए,परिवृत्त त्रिज्या $R$ कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
यहाँ कर्ण $AB = \sqrt{41}$ है।
अतः,$R = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{41}}{2}$.

(C) माना $\triangle ABC$ के शीर्ष $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,और $C(x_3, y_3, z_3)$ हैं।
दिया गया है कि $AB, BC, CA$ के मध्य-बिंदु क्रमशः $(l, 0, 0), (0, m, 0), (0, 0, n)$ हैं।
$AB$ के मध्य-बिंदु के लिए: $\frac{x_1+x_2}{2}=l, \frac{y_1+y_2}{2}=0, \frac{z_1+z_2}{2}=0 \Rightarrow x_1+x_2=2l, y_1+y_2=0, z_1+z_2=0$ ... $(i)$
$BC$ के मध्य-बिंदु के लिए: $\frac{x_2+x_3}{2}=0, \frac{y_2+y_3}{2}=m, \frac{z_2+z_3}{2}=0 \Rightarrow x_2+x_3=0, y_2+y_3=2m, z_2+z_3=0$ ... (ii)
$CA$ के मध्य-बिंदु के लिए: $\frac{x_3+x_1}{2}=0, \frac{y_3+y_1}{2}=0, \frac{z_3+z_1}{2}=n \Rightarrow x_3+x_1=0, y_3+y_1=0, z_3+z_1=2n$ ... (iii)
इन समीकरणों को हल करने पर:
समीकरणों $(i)$,(ii) और (iii) को हल करने पर हमें प्राप्त होता है: $x_1=l, y_1=m, z_1=-n$,$x_2=l, y_2=-m, z_2=n$,$x_3=-l, y_3=m, z_3=n$.
अतः,$A(l, m, -n), B(l, -m, n), C(-l, m, n)$.
$AB^2 = (l-l)^2 + (m-(-m))^2 + (-n-n)^2 = 4m^2 + 4n^2$.
$BC^2 = (l-(-l))^2 + (-m-m)^2 + (n-n)^2 = 4l^2 + 4m^2$.
$CA^2 = (-l-l)^2 + (m-m)^2 + (n-(-n))^2 = 4l^2 + 4n^2$.
$AB^2+BC^2+CA^2 = 8(l^2+m^2+n^2)$.
इसलिए,$\frac{AB^2+BC^2+CA^2}{l^2+m^2+n^2} = \frac{8(l^2+m^2+n^2)}{l^2+m^2+n^2} = 8$.

(C) शीर्षों $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$ और $C(x_3, y_3, z_3)$ वाले त्रिभुज के केंद्रक $G$ के निर्देशांक $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ द्वारा दिए जाते हैं।
दिया गया है $A(4, x, 1)$,$B(y, -5, 2)$,$C(7, 8, 3)$ और $G(3, 5, 2)$,अतः:
$G = \left(\frac{4+y+7}{3}, \frac{x-5+8}{3}, \frac{1+2+3}{3}\right) = (3, 5, 2)$
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$\frac{11+y}{3} = 3 \Rightarrow 11+y = 9 \Rightarrow y = -2$
$\frac{x+3}{3} = 5 \Rightarrow x+3 = 15 \Rightarrow x = 12$
चूंकि $CG$ एक माध्यिका है,$F$,$AB$ का मध्य-बिंदु है। $F$ के निर्देशांक हैं:
$F = \left(\frac{4+y}{2}, \frac{x-5}{2}, \frac{1+2}{2}\right)$
$x=12$ और $y=-2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$F = \left(\frac{4-2}{2}, \frac{12-5}{2}, \frac{3}{2}\right) = \left(\frac{2}{2}, \frac{7}{2}, \frac{3}{2}\right) = \left(1, \frac{7}{2}, \frac{3}{2}\right)$.

(D) $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ और $(x_3, y_3, z_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का केंद्रक $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए शीर्षों $(4, p, -3)$,$(-1, -1, 2)$ और $(3, 5, -8)$ के लिए,केंद्रक $\left(\frac{4-1+3}{3}, \frac{p-1+5}{3}, \frac{-3+2-8}{3}\right) = \left(2, \frac{p+4}{3}, -3\right)$ है।
$(1, 4, -2)$ और $(q, 2, -4)$ का मध्य-बिंदु $\left(\frac{1+q}{2}, \frac{4+2}{2}, \frac{-2-4}{2}\right) = \left(\frac{1+q}{2}, 3, -3\right)$ है।
केंद्रक और मध्य-बिंदु के निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$2 = \frac{1+q}{2} \Rightarrow 4 = 1+q \Rightarrow q = 3$.
$\frac{p+4}{3} = 3 \Rightarrow p+4 = 9 \Rightarrow p = 5$.
अतः,$p^2 + q^2 = 5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34$.

(A) माना कि त्रिभुज के शीर्ष $A(x, y, z)$,$B(-2, 3, 4)$ और $C(3, -1, 5)$ हैं।
त्रिभुज का केंद्रक $G$,जिसके शीर्ष $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ और $(x_3, y_3, z_3)$ हैं,का सूत्र $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ होता है।
दिया गया है कि केंद्रक मूलबिंदु $(0, 0, 0)$ है,इसलिए:
$\frac{x-2+3}{3} = 0 \Rightarrow x+1 = 0 \Rightarrow x = -1$
$\frac{y+3-1}{3} = 0 \Rightarrow y+2 = 0 \Rightarrow y = -2$
$\frac{z+4+5}{3} = 0 \Rightarrow z+9 = 0 \Rightarrow z = -9$
अतः,तीसरा शीर्ष $(-1, -2, -9)$ है।

(C) त्रिभुज के शीर्षों $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ और $(x_3, y_3, z_3)$ के लिए केंद्रक $(x, y, z)$ इस प्रकार दिया जाता है:
$x = \frac{x_1+x_2+x_3}{3}$,$y = \frac{y_1+y_2+y_3}{3}$,$z = \frac{z_1+z_2+z_3}{3}$
चूंकि मूलबिंदु $(0, 0, 0)$ केंद्रक है,इसलिए:
$0 = \frac{2a - 4 + 8}{3} \Rightarrow 2a + 4 = 0 \Rightarrow a = -2$
$0 = \frac{2 + 3b + 14}{3} \Rightarrow 3b + 16 = 0 \Rightarrow b = -\frac{16}{3}$
$0 = \frac{6 - 10 + 2c}{3} \Rightarrow 2c - 4 = 0 \Rightarrow c = 2$
अतः,$a = -2, b = -\frac{16}{3}, c = 2$ है।

(A) मान लीजिए बिंदु $A(5, -4, 5)$,$B(-3, -3, 2)$ और $C(-1, -6, 8)$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं।
$AB = \sqrt{(-3-5)^2 + (-3-(-4))^2 + (2-5)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{64 + 1 + 9} = \sqrt{74}$.
$BC = \sqrt{(-1-(-3))^2 + (-6-(-3))^2 + (8-2)^2} = \sqrt{(2)^2 + (-3)^2 + (6)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
$CA = \sqrt{(5-(-1))^2 + (-4-(-6))^2 + (5-8)^2} = \sqrt{(6)^2 + (2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$.
चूंकि $BC = CA = 7$,त्रिभुज की दो भुजाएँ समान हैं।
अतः,ये बिंदु एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाते हैं।

(D) माना समांतर चतुर्भुज के शीर्ष $A(2, 4, -1)$,$B(3, 6, -1)$,$C(4, 5, 1)$ और $D(x, y, z)$ हैं।
चूँकि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए विकर्ण $AC$ का मध्य-बिंदु विकर्ण $BD$ के मध्य-बिंदु के समान होता है।
$AC$ का मध्य-बिंदु $= \left( \frac{2+4}{2}, \frac{4+5}{2}, \frac{-1+1}{2} \right) = \left( 3, \frac{9}{2}, 0 \right)$.
$BD$ का मध्य-बिंदु $= \left( \frac{3+x}{2}, \frac{6+y}{2}, \frac{-1+z}{2} \right)$.
मध्य-बिंदुओं की तुलना करने पर:
$\frac{3+x}{2} = 3 \implies 3+x = 6 \implies x = 3$.
$\frac{6+y}{2} = \frac{9}{2} \implies 6+y = 9 \implies y = 3$.
$\frac{-1+z}{2} = 0 \implies -1+z = 0 \implies z = 1$.
अतः,चौथा शीर्ष $D(3, 3, 1)$ है।
इसलिए,विकल्प $(D)$ सही है।

(D) दिए गए बिंदु $A(2, -1, 4)$,$B(1, 0, -1)$,$C(1, 2, 3)$ और $D(2, 1, 8)$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं।
$AB = \sqrt{(1-2)^2 + (0-(-1))^2 + (-1-4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-5)^2} = \sqrt{1+1+25} = \sqrt{27}$.
$BC = \sqrt{(1-1)^2 + (2-0)^2 + (3-(-1))^2} = \sqrt{0^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{0+4+16} = \sqrt{20}$.
$CD = \sqrt{(2-1)^2 + (1-2)^2 + (8-3)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 5^2} = \sqrt{1+1+25} = \sqrt{27}$.
$DA = \sqrt{(2-2)^2 + (-1-1)^2 + (4-8)^2} = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{0+4+16} = \sqrt{20}$.
यहाँ $AB = CD = \sqrt{27}$ और $BC = DA = \sqrt{20}$ है,इसलिए सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं।
अब,विकर्णों $AC$ और $BD$ की लंबाई की जाँच करते हैं।
$AC = \sqrt{(1-2)^2 + (2-(-1))^2 + (3-4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+9+1} = \sqrt{11}$.
$BD = \sqrt{(2-1)^2 + (1-0)^2 + (8-(-1))^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 9^2} = \sqrt{1+1+81} = \sqrt{83}$.
चूँकि $AC \neq BD$,विकर्ण बराबर नहीं हैं।
अतः,बिंदु $A, B, C$ और $D$ एक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं।

(A) माना $A = (1,2,3)$,$B = (3,-1,5)$,और $C = (4,0,-3)$ है।
सबसे पहले,हम भुजाओं के दिक्-अनुपात ज्ञात करते हैं:
$\overline{AB}$ के दिक्-अनुपात $= (3-1, -1-2, 5-3) = (2, -3, 2)$ हैं।
$\overline{AC}$ के दिक्-अनुपात $= (4-1, 0-2, -3-3) = (3, -2, -6)$ हैं।
लंबवतता की जाँच: $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (2)(3) + (-3)(-2) + (2)(-6) = 6 + 6 - 12 = 0$ है।
चूँकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए $\overline{AB} \perp \overline{AC}$,जिसका अर्थ है कि $\angle A = 90^{\circ}$ है।
समकोण त्रिभुज में,लंबकेंद्र $H$ वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है। अतः,$H = A = (1, 2, 3)$ है।
समकोण त्रिभुज का परिकेंद्र $S$,कर्ण $\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु होता है।
$S = \left( \frac{3+4}{2}, \frac{-1+0}{2}, \frac{5-3}{2} \right) = \left( \frac{7}{2}, -\frac{1}{2}, 1 \right)$ है।
दूरी सूत्र द्वारा $HS$ की दूरी:
$HS = \sqrt{\left( \frac{7}{2} - 1 \right)^2 + \left( -\frac{1}{2} - 2 \right)^2 + (1 - 3)^2}$
$HS = \sqrt{\left( \frac{5}{2} \right)^2 + \left( -\frac{5}{2} \right)^2 + (-2)^2}$
$HS = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25}{4} + 4} = \sqrt{\frac{50}{4} + \frac{16}{4}} = \sqrt{\frac{66}{4}} = \sqrt{\frac{33}{2}}$ है।
अतः,सही विकल्प $(A)$ है।

(D) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,और $C(x_3, y_3, z_3)$ हैं।
भुजाओं $AB, BC, CA$ के मध्य-बिंदु $D(1, 5, -1)$,$E(0, 4, -2)$,और $F(2, 3, 4)$ दिए गए हैं।
मध्य-बिंदु सूत्र के अनुसार:
$AB$ के लिए: $\frac{x_1+x_2}{2} = 1, \frac{y_1+y_2}{2} = 5, \frac{z_1+z_2}{2} = -1 \Rightarrow x_1+x_2 = 2, y_1+y_2 = 10, z_1+z_2 = -2$.
$BC$ के लिए: $\frac{x_2+x_3}{2} = 0, \frac{y_2+y_3}{2} = 4, \frac{z_2+z_3}{2} = -2 \Rightarrow x_2+x_3 = 0, y_2+y_3 = 8, z_2+z_3 = -4$.
$CA$ के लिए: $\frac{x_3+x_1}{2} = 2, \frac{y_3+y_1}{2} = 3, \frac{z_3+z_1}{2} = 4 \Rightarrow x_3+x_1 = 4, y_3+y_1 = 6, z_3+z_1 = 8$.
इन समीकरणों को जोड़ने पर:
$2(x_1+x_2+x_3) = 2+0+4 = 6 \Rightarrow x_1+x_2+x_3 = 3$.
$2(y_1+y_2+y_3) = 10+8+6 = 24 \Rightarrow y_1+y_2+y_3 = 12$.
$2(z_1+z_2+z_3) = -2-4+8 = 2 \Rightarrow z_1+z_2+z_3 = 1$.
अब,$C(x_3, y_3, z_3)$ ज्ञात करने के लिए,$AB$ के समीकरणों को योग से घटाने पर:
$x_3 = (x_1+x_2+x_3) - (x_1+x_2) = 3 - 2 = 1$.
$y_3 = (y_1+y_2+y_3) - (y_1+y_2) = 12 - 10 = 2$.
$z_3 = (z_1+z_2+z_3) - (z_1+z_2) = 1 - (-2) = 3$.
अतः,$C = (1, 2, 3)$ है।
$C$ से $AB$ पर माध्यिका रेखाखंड $CD$ है,जहाँ $D$ भुजा $AB$ का मध्य-बिंदु $D(1, 5, -1)$ है।
लंबाई $CD = \sqrt{(1-1)^2 + (5-2)^2 + (-1-3)^2} = \sqrt{0^2 + 3^2 + (-4)^2} = \sqrt{0 + 9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

(D) मान लीजिए बिंदु $A(2, 3, 5)$,$B(-1, 5, -1)$ और $C(4, -3, 2)$ हैं।
दूरी सूत्र $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$ का उपयोग करके बिंदुओं के बीच की दूरी के वर्गों की गणना करें:
$AB^2 = (-1 - 2)^2 + (5 - 3)^2 + (-1 - 5)^2 = (-3)^2 + (2)^2 + (-6)^2 = 9 + 4 + 36 = 49$.
$BC^2 = (4 - (-1))^2 + (-3 - 5)^2 + (2 - (-1))^2 = (5)^2 + (-8)^2 + (3)^2 = 25 + 64 + 9 = 98$.
$AC^2 = (4 - 2)^2 + (-3 - 3)^2 + (2 - 5)^2 = (2)^2 + (-6)^2 + (-3)^2 = 4 + 36 + 9 = 49$.
चूंकि $AB^2 = AC^2 = 49$,इसलिए $AB = AC = 7$ है,अतः त्रिभुज समद्विबाहु है।
समकोण त्रिभुज की स्थिति की जाँच करें: $AB^2 + AC^2 = 49 + 49 = 98 = BC^2$.
चूंकि दो भुजाओं के वर्गों का योग तीसरी भुजा के वर्ग के बराबर है,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है।
अतः,यह त्रिभुज एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है।

(C) माना परिकेंद्र $P(x, y, z)$ है। परिकेंद्र शीर्षों $A, B$ और $C$ से समान दूरी पर होता है। अतः,$PA^2 = PB^2 = PC^2$ है।
$PA^2 = (x-3)^2 + (y-4)^2 + (z-5)^2$
$PB^2 = (x-2)^2 + (y-3)^2 + (z-1)^2$
$PC^2 = (x+1)^2 + (y-6)^2 + (z-1)^2$
$PB^2 = PC^2$ को बराबर करने पर:
$(x-2)^2 + (y-3)^2 + (z-1)^2 = (x+1)^2 + (y-6)^2 + (z-1)^2$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = x^2 + 2x + 1 + y^2 - 12y + 36$
$-6x + 6y = 24 \implies -x + y = 4 \implies y = x + 4$.
$PA^2 = PB^2$ को बराबर करने पर:
$(x-3)^2 + (y-4)^2 + (z-5)^2 = (x-2)^2 + (y-3)^2 + (z-1)^2$
$y = x+4$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(x-3)^2 + (x+4-4)^2 + (z-5)^2 = (x-2)^2 + (x+4-3)^2 + (z-1)^2$
$(x-3)^2 + x^2 + (z-5)^2 = (x-2)^2 + (x+1)^2 + (z-1)^2$
$x^2 - 6x + 9 + x^2 + z^2 - 10z + 25 = x^2 - 4x + 4 + x^2 + 2x + 1 + z^2 - 2z + 1$
$-6x - 10z + 34 = -2x - 2z + 6$
$-4x - 8z = -28 \implies x + 2z = 7 \implies z = \frac{7-x}{2}$.
विकल्प $C(1, 5, 3)$ के लिए जाँच करने पर:
$y = 1+4 = 5$ (सही है)।
$z = (7-1)/2 = 3$ (सही है)।
अतः,परिकेंद्र $(1, 5, 3)$ है।

(B) माना $A \equiv (x_1, y_1, z_1)$,$B \equiv (x_2, y_2, z_2)$ और $C \equiv (x_3, y_3, z_3)$ है।
चूंकि $F(0, 1, 0)$ भुजा $AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए:
$x_1 + x_2 = 0, y_1 + y_2 = 2, z_1 + z_2 = 0$ $(1)$
चूंकि $D(2, 1, 0)$ भुजा $BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए:
$x_2 + x_3 = 4, y_2 + y_3 = 2, z_2 + z_3 = 0$ $(2)$
चूंकि $E(2, 0, 0)$ भुजा $AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए:
$x_3 + x_1 = 4, y_3 + y_1 = 0, z_3 + z_1 = 0$ $(3)$
$(1)$,$(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$2(x_1 + x_2 + x_3) = 8 \implies x_1 + x_2 + x_3 = 4$
$2(y_1 + y_2 + y_3) = 4 \implies y_1 + y_2 + y_3 = 2$
$2(z_1 + z_2 + z_3) = 0 \implies z_1 + z_2 + z_3 = 0$
$\triangle ABC$ का केंद्रक $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ होता है।
मान रखने पर,केंद्रक $\left(\frac{4}{3}, \frac{2}{3}, 0\right)$ प्राप्त होता है।

(C) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,और $C(x_3, y_3, z_3)$ हैं।
दिया गया है कि $AB, BC, CA$ के मध्य बिंदु क्रमशः $(l, 0, 0), (0, m, 0), (0, 0, n)$ हैं।
मध्य बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर:
$x_1+x_2=2l, y_1+y_2=0, z_1+z_2=0$
$x_2+x_3=0, y_2+y_3=2m, z_2+z_3=0$
$x_1+x_3=0, y_1+y_3=0, z_1+z_3=2n$
इन समीकरणों को हल करने पर:
$x$ के लिए: $x_1+x_2=2l, x_2+x_3=0, x_1+x_3=0 \implies x_1=l, x_2=l, x_3=-l$
$y$ के लिए: $y_1+y_2=0, y_2+y_3=2m, y_1+y_3=0 \implies y_1=-m, y_2=m, y_3=m$
$z$ के लिए: $z_1+z_2=0, z_2+z_3=0, z_1+z_3=2n \implies z_1=n, z_2=-n, z_3=n$
अतः,शीर्ष $A(l, -m, n), B(l, m, -n), C(-l, m, n)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई का वर्ग ज्ञात करने पर:
$AB^2 = (l-l)^2 + (m-(-m))^2 + (-n-n)^2 = 0 + (2m)^2 + (-2n)^2 = 4m^2 + 4n^2$
$BC^2 = (-l-l)^2 + (m-m)^2 + (n-(-n))^2 = (-2l)^2 + 0 + (2n)^2 = 4l^2 + 4n^2$
$CA^2 = (l-(-l))^2 + (-m-m)^2 + (n-n)^2 = (2l)^2 + (-2m)^2 + 0 = 4l^2 + 4m^2$
इनका योग करने पर:
$AB^2+BC^2+CA^2 = (4m^2+4n^2) + (4l^2+4n^2) + (4l^2+4m^2) = 8(l^2+m^2+n^2)$
इसलिए,$\frac{AB^2+BC^2+CA^2}{l^2+m^2+n^2} = \frac{8(l^2+m^2+n^2)}{l^2+m^2+n^2} = 8$.

(A) माना $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है। $D$ के निर्देशांक $\left(\frac{\alpha+7}{2}, \frac{3+5}{2}, \frac{3+\beta}{2}\right) = \left(\frac{\alpha+7}{2}, 4, \frac{3+\beta}{2}\right)$ हैं।
माध्यिका $AD$ के दिक अनुपात $D$ और $A$ के निर्देशांकों के अंतर द्वारा प्राप्त होते हैं:
$\left(\frac{\alpha+7}{2} - 2, 4 - 3, \frac{3+\beta}{2} - 5\right) = \left(\frac{\alpha+3}{2}, 1, \frac{\beta-7}{2}\right)$.
चूँकि माध्यिका $AD$ निर्देशांक अक्षों के साथ समान रूप से झुकी हुई है,इसलिए इसके दिक कोज्या समान हैं,जिसका अर्थ है कि इसके दिक अनुपात $(1, 1, 1)$ के समानुपाती होने चाहिए।
अतः,$\frac{\alpha+3}{2} = 1$ और $\frac{\beta-7}{2} = 1$.
$\alpha$ के लिए हल करने पर: $\alpha+3 = 2 \Rightarrow \alpha = -1$.
$\beta$ के लिए हल करने पर: $\beta-7 = 2 \Rightarrow \beta = 9$.
इसलिए,$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{9}{-1} = -9$.

(D) माना $A=(2,3,-4), B=(-3,3,-2), C=(-1,4,2), D=(3,5,1)$ है।
$G_1$ फलक $ABD$ का केंद्रक है: $G_1 = \left(\frac{2-3+3}{3}, \frac{3+3+5}{3}, \frac{-4-2+1}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}, \frac{11}{3}, -\frac{5}{3}\right)$।
$G_2$ फलक $BCD$ का केंद्रक है: $G_2 = \left(\frac{-3-1+3}{3}, \frac{3+4+5}{3}, \frac{-2+2+1}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3}, 4, \frac{1}{3}\right)$।
$G_3$ फलक $ACD$ का केंद्रक है: $G_3 = \left(\frac{2-1+3}{3}, \frac{3+4+5}{3}, \frac{-4+2+1}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}, 4, -\frac{1}{3}\right)$।
माना $G$ त्रिभुज $\Delta G_1 G_2 G_3$ का केंद्रक है:
$G = \left(\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{3} + \frac{4}{3}}{3}, \frac{\frac{11}{3} + 4 + 4}{3}, \frac{-\frac{5}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3}}{3}\right)$
$G = \left(\frac{\frac{5}{3}}{3}, \frac{\frac{11+24}{3}}{3}, \frac{-\frac{5}{3}}{3}\right) = \left(\frac{5}{9}, \frac{35}{9}, -\frac{5}{9}\right)$।

(D) मान लीजिए चतुष्फलक के शीर्ष $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,$C(x_3, y_3, z_3)$ और $D(x_4, y_4, z_4)$ हैं।
चूंकि प्रत्येक शीर्ष के निर्देशांक समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $y_i = x_i + d$ और $z_i = x_i + 2d$ है।
केंद्रक $G = \left(\frac{\sum x_i}{4}, \frac{\sum y_i}{4}, \frac{\sum z_i}{4}\right) = (2, 3, k)$ है।
$x$-निर्देशांक से: $\frac{\sum x_i}{4} = 2 \implies \sum x_i = 8$.
$y$-निर्देशांक से: $\frac{\sum x_i + 4d}{4} = 3 \implies \frac{8 + 4d}{4} = 3 \implies d = 1$.
$z$-निर्देशांक से: $k = \frac{\sum x_i + 8d}{4} = \frac{8 + 8(1)}{4} = 4$.
अतः,$G = (2, 3, 4)$ है।
मूल बिंदु से दूरी $= \sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{29}$.

(A) दिया गया है कि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है और $E$,$AB$ का मध्य-बिंदु है।
चूंकि $AB \parallel CD$,इसलिए $AE \parallel CD$ है।
$\triangle PAE$ और $\triangle PCD$ में,
$\angle PAE = \angle PCD$ (एकांतर अंतः कोण)
$\angle APE = \angle CPD$ (शीर्षाभिमुख कोण)
इसलिए,$AA$ समरूपता द्वारा $\triangle PAE \sim \triangle PCD$ है।
समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म से,हमारे पास है:
$\frac{PA}{PC} = \frac{PE}{PD} = \frac{AE}{CD}$.
चूंकि $E$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,$AE = \frac{1}{2} AB$ है। साथ ही,समांतर चतुर्भुज में $AB = CD$ होता है,इसलिए $AE = \frac{1}{2} CD$ है।
अतः,$\frac{PA}{PC} = \frac{PE}{PD} = \frac{1}{2}$।
इसका अर्थ है $\frac{PA}{PC} = \frac{1}{2}$ और $\frac{PD}{PE} = 2$।
इसलिए,$\frac{DP}{PE} + \frac{AP}{PC} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$।

(C) दिया गया है,$ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है जिसके शीर्ष $A(4,4,-1)$,$B(5,6,-1)$,$C(6,5,1)$ और $D(x, y, z)$ हैं।
हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
इसलिए,$AC$ का मध्य-बिंदु = $BD$ का मध्य-बिंदु।
$\left(\frac{4+6}{2}, \frac{4+5}{2}, \frac{-1+1}{2}\right) = \left(\frac{x+5}{2}, \frac{y+6}{2}, \frac{z-1}{2}\right)$
$\left(\frac{10}{2}, \frac{9}{2}, 0\right) = \left(\frac{x+5}{2}, \frac{y+6}{2}, \frac{z-1}{2}\right)$
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x+5}{2} = \frac{10}{2}$ $\Rightarrow x+5 = 10$ $\Rightarrow x = 5$
$\frac{y+6}{2} = \frac{9}{2}$ $\Rightarrow y+6 = 9$ $\Rightarrow y = 3$
$\frac{z-1}{2} = 0$ $\Rightarrow z-1 = 0$ $\Rightarrow z = 1$
अतः,शीर्ष $D(x, y, z)$ का मान $(5, 3, 1)$ है।

(B) सबसे पहले,$\triangle ABC$ की भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें:
$c = AB = \sqrt{(2-1)^2 + (3-2)^2 + (-1 - (-3))^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6}$
$a = BC = \sqrt{(3-2)^2 + (1-3)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$
$b = AC = \sqrt{(3-1)^2 + (1-2)^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{21}$
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए:
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{21 + 6 - 9}{2 \times \sqrt{21} \times \sqrt{6}} = \frac{18}{2 \sqrt{126}} = \frac{9}{3 \sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$
$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{9 + 6 - 21}{2 \times 3 \times \sqrt{6}} = \frac{-6}{6 \sqrt{6}} = -\frac{1}{\sqrt{6}}$
अतः,$\left|\frac{\cos A}{\cos B}\right| = \left|\frac{3}{\sqrt{14}} \div \left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right)\right| = \left| -\frac{3 \sqrt{6}}{\sqrt{14}} \right| = \frac{3 \sqrt{3 \times 2}}{\sqrt{7 \times 2}} = \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{7}}$.

(B) माना कि दिए गए बिंदु $A(2,-1,3), B(4,-2,1), C(4,5,-7)$ और $D(2,6,-5)$ हैं।
सबसे पहले,हम विकर्णों $AC$ और $BD$ के मध्य-बिंदु ज्ञात करते हैं:
$AC$ का मध्य-बिंदु $= \left(\frac{2+4}{2}, \frac{-1+5}{2}, \frac{3-7}{2}\right) = (3, 2, -2)$.
$BD$ का मध्य-बिंदु $= \left(\frac{4+2}{2}, \frac{-2+6}{2}, \frac{1-5}{2}\right) = (3, 2, -2)$.
चूंकि विकर्णों के मध्य-बिंदु समान हैं,इसलिए चतुर्भुज $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अब,भुजाओं की लंबाई की जाँच करते हैं:
$AB = \sqrt{(4-2)^2 + (-2 - (-1))^2 + (1-3)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$.
$BC = \sqrt{(4-4)^2 + (5 - (-2))^2 + (-7-1)^2} = \sqrt{0^2 + 7^2 + (-8)^2} = \sqrt{0+49+64} = \sqrt{113}$.
चूंकि $AB \neq BC$,यह वर्ग या समचतुर्भुज नहीं है।
अब,आसन्न भुजाओं का डॉट गुणनफल ज्ञात करके जाँचें कि क्या यह एक आयत है:
$\vec{AB} = 2\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{BC} = 0\hat{i} + 7\hat{j} - 8\hat{k}$.
$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = (2)(0) + (-1)(7) + (-2)(-8) = 0 - 7 + 16 = 9 \neq 0$.
चूंकि डॉट गुणनफल शून्य नहीं है,इसलिए भुजाएं लंबवत नहीं हैं।
अतः,$ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है।

(B) दिया गया है कि $AB = AC$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए,$AB^2 = AC^2$।
$AB^2 = (2 - (-1))^2 + (3 - k)^2 + (k - (-1))^2 = 3^2 + (3 - k)^2 + (k + 1)^2 = 9 + 9 - 6k + k^2 + k^2 + 2k + 1 = 2k^2 - 4k + 19$।
$AC^2 = (2 - 4)^2 + (3 - (-3))^2 + (k - 2)^2 = (-2)^2 + 6^2 + (k - 2)^2 = 4 + 36 + k^2 - 4k + 4 = k^2 - 4k + 44$।
$AB^2 = AC^2$ को बराबर करने पर:
$2k^2 - 4k + 19 = k^2 - 4k + 44$।
$k^2 = 25$।
चूंकि $k > 0$ है,इसलिए $k = 5$ है।
अब,भुजाओं की लंबाई की गणना करते हैं:
$AB^2 = 2(5)^2 - 4(5) + 19 = 50 - 20 + 19 = 49 \Rightarrow AB = 7$।
$AC^2 = 49 \Rightarrow AC = 7$।
$BC^2 = (-1 - 4)^2 + (5 - (-3))^2 + (-1 - 2)^2 = (-5)^2 + 8^2 + (-3)^2 = 25 + 64 + 9 = 98$।
चूंकि $AB^2 + AC^2 = 49 + 49 = 98 = BC^2$ है,त्रिभुज पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है।
अतः,$\triangle ABC$ एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है।

(D) मान लीजिए त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,और $C(x_3, y_3, z_3)$ हैं।
दिया गया है कि $AB, BC, CA$ के मध्य बिंदु क्रमशः $M_1(3,0,0)$,$M_2(0,4,0)$,और $M_3(0,0,5)$ हैं।
मध्य बिंदु सूत्र का उपयोग करते हुए:
$x_1+x_2=6, x_2+x_3=0, x_3+x_1=0$
इन्हें हल करने पर,हमें $x_1=3, x_2=3, x_3=-3$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार $y$ निर्देशांक के लिए:
$y_1+y_2=0, y_2+y_3=8, y_3+y_1=0$
इन्हें हल करने पर,हमें $y_1=-4, y_2=4, y_3=4$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार $z$ निर्देशांक के लिए:
$z_1+z_2=0, z_2+z_3=0, z_3+z_1=10$
इन्हें हल करने पर,हमें $z_1=5, z_2=-5, z_3=5$ प्राप्त होता है।
अतः,शीर्ष $A(3, -4, 5)$,$B(3, 4, -5)$,और $C(-3, 4, 5)$ हैं।
अब,भुजाओं की लंबाई के वर्गों की गणना करें:
$AB^2 = (3-3)^2 + (4-(-4))^2 + (-5-5)^2 = 0^2 + 8^2 + (-10)^2 = 64 + 100 = 164$.
$BC^2 = (-3-3)^2 + (4-4)^2 + (5-(-5))^2 = (-6)^2 + 0^2 + 10^2 = 36 + 100 = 136$.
$CA^2 = (3-(-3))^2 + (-4-4)^2 + (5-5)^2 = 6^2 + (-8)^2 + 0^2 = 36 + 64 = 100$.
अंत में,$AB^2+BC^2+CA^2 = 164 + 136 + 100 = 400$.