Triangle and Parallelogram Questions in Hindi

(A) माना समांतर चतुर्भुज के शीर्ष $A(x, -1)$,$B(3, y)$,$C(-2, 3)$ और $D(-3, -2)$ हैं।
समांतर चतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,जिसका अर्थ है कि विकर्णों के मध्य-बिंदु समान होते हैं।
विकर्ण $AC$ का मध्य-बिंदु $\left( \frac{x - 2}{2}, \frac{-1 + 3}{2} \right) = \left( \frac{x - 2}{2}, 1 \right)$ है।
विकर्ण $BD$ का मध्य-बिंदु $\left( \frac{3 - 3}{2}, \frac{y - 2}{2} \right) = \left( 0, \frac{y - 2}{2} \right)$ है।
मध्य-बिंदुओं की तुलना करने पर: $\frac{x - 2}{2} = 0 \Rightarrow x = 2$.
और $1 = \frac{y - 2}{2}$ $\Rightarrow y - 2 = 2$ $\Rightarrow y = 4$.
अतः,$x = 2$ और $y = 4$.

(B) माना $A = (3, -4)$ और $C = (-6, 5)$ समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के एक विकर्ण के अंतिम बिंदु हैं। माना $B = (-2, 1)$ तीसरा शीर्ष है और $D = (x, y)$ चौथा शीर्ष है।
समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,जिसका अर्थ है कि विकर्ण $AC$ का मध्यबिंदु,विकर्ण $BD$ के मध्यबिंदु के समान होता है।
$AC$ का मध्यबिंदु $= \left( \frac{3 + (-6)}{2}, \frac{-4 + 5}{2} \right) = \left( -\frac{3}{2}, \frac{1}{2} \right)$.
$BD$ का मध्यबिंदु $= \left( \frac{-2 + x}{2}, \frac{1 + y}{2} \right)$.
मध्यबिंदुओं की तुलना करने पर:
$\frac{-2 + x}{2} = -\frac{3}{2} \implies -2 + x = -3 \implies x = -1$.
$\frac{1 + y}{2} = \frac{1}{2} \implies 1 + y = 1 \implies y = 0$.
अतः,चौथा शीर्ष $D$ $(-1, 0)$ है।

(D) एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,विकर्ण $AC$ और $BD$ एक-दूसरे को समान मध्यबिंदु $M$ पर समद्विभाजित करते हैं।
विकर्ण $AC$ का मध्यबिंदु $M$ है:
$M = \left( \frac{3+7}{2}, \frac{5+10}{2} \right) = \left( 5, \frac{15}{2} \right)$
माना कि चौथा शीर्ष $D(x, y)$ है। चूँकि $M$,विकर्ण $BD$ का भी मध्यबिंदु है:
$\frac{-5+x}{2} = 5 \implies -5+x = 10 \implies x = 15$
$\frac{-4+y}{2} = \frac{15}{2} \implies -4+y = 15 \implies y = 19$
अतः,चौथे शीर्ष $D$ के निर्देशांक $(15, 19)$ हैं।

(B) माना शीर्ष $A(0, 1, 2)$,$B(2, -1, 3)$ और $C(1, -3, 1)$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें।
$AB = \sqrt{(2-0)^2 + (-1-1)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
$BC = \sqrt{(1-2)^2 + (-3 - (-1))^2 + (1-3)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
$AC = \sqrt{(1-0)^2 + (-3-1)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{1^2 + (-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 16 + 1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
चूंकि $AB = BC = 3$,त्रिभुज समद्विबाहु है।
समकोण की स्थिति की जाँच करें: $AB^2 + BC^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$,और $AC^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18$.
चूंकि $AB^2 + BC^2 = AC^2$,त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।
अतः,त्रिभुज एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है।

(D) माना बिंदु $A(-1, 3, 2)$,$B(-4, 2, -2)$ और $C(5, 5, \lambda)$ हैं।
चूंकि बिंदु संरेख हैं,रेखाखंड $AB$ के दिक अनुपात रेखाखंड $BC$ के दिक अनुपातों के समानुपाती होने चाहिए।
$AB$ के दिक अनुपात $(-4 - (-1), 2 - 3, -2 - 2) = (-3, -1, -4)$ हैं।
$BC$ के दिक अनुपात $(5 - (-4), 5 - 2, \lambda - (-2)) = (9, 3, \lambda + 2)$ हैं।
संरेखता के लिए,संगत दिक अनुपातों का अनुपात समान होना चाहिए:
$\frac{-3}{9} = \frac{-1}{3} = \frac{-4}{\lambda + 2}$.
$\frac{-1}{3} = \frac{-4}{\lambda + 2}$ से,हमें प्राप्त होता है:
$-1(\lambda + 2) = -4 \times 3$
$-\lambda - 2 = -12$
$-\lambda = -10$
$\lambda = 10$.

(C) त्रिभुज जिसके शीर्ष $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ और $(x_3, y_3, z_3)$ हैं,उसका केंद्रक $(G)$ निकालने का सूत्र $G = (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3})$ है।
चूंकि केंद्रक मूलबिंदु $(0, 0, 0)$ है,इसलिए:
$\frac{a - 2 + 4}{3} = 0 \Rightarrow a + 2 = 0 \Rightarrow a = -2$.
$\frac{1 + b + 7}{3} = 0 \Rightarrow b + 8 = 0 \Rightarrow b = -8$.
$\frac{3 - 5 + c}{3} = 0 \Rightarrow c - 2 = 0 \Rightarrow c = 2$.
अतः,$a, b, c$ के मान $a = -2, b = -8, c = 2$ हैं।

(C) बिंदु $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,और $C(x_3, y_3, z_3)$ संरेख होते हैं यदि $AB$ के दिक अनुपात $BC$ के दिक अनुपात के समानुपाती हों।
विकल्प $(A)$ के लिए: बिंदु $(1, -1, 1), (-1, 1, 1), (0, 0, 1)$ हैं। $AB$ के दिक अनुपात $(-2, 2, 0)$ और $BC$ के $(1, -1, 0)$ हैं। चूँकि $(-2)/1 = 2/(-1)$,ये बिंदु संरेख हैं।
विकल्प $(B)$ के लिए: बिंदु $(1, 2, 3), (3, 2, 1), (2, 2, 2)$ हैं। $AB$ के दिक अनुपात $(2, 0, -2)$ और $BC$ के $(-1, 0, 1)$ हैं। चूँकि $2/(-1) = -2/1$,ये बिंदु संरेख हैं।
विकल्प $(C)$ के लिए: बिंदु $A(-2, 4, -3), B(4, -3, -2), C(-3, -2, 4)$ हैं। $AB$ के दिक अनुपात $(6, -7, 1)$ और $BC$ के $(-7, 1, 6)$ हैं। चूँकि $6/(-7) \neq -7/1 \neq 1/6$,ये बिंदु असंरेख हैं।
विकल्प $(D)$ के लिए: बिंदु $(2, 0, -1), (3, 2, -2), (5, 6, -4)$ हैं। $AB$ के दिक अनुपात $(1, 2, -1)$ और $BC$ के $(2, 4, -2)$ हैं। चूँकि $1/2 = 2/4 = -1/(-2)$,ये बिंदु संरेख हैं।

(A) मान लीजिए कि बिंदु $A(-2, 4, 7)$,$B(3, -6, -8)$ और $C(1, -2, -2)$ हैं।
यह जांचने के लिए कि क्या बिंदु संरेख हैं,हम रेखाओं $AB$ और $BC$ के दिक्-अनुपात की गणना करते हैं।
रेखा $AB$ के दिक्-अनुपात $(3 - (-2), -6 - 4, -8 - 7) = (5, -10, -15)$ हैं।
रेखा $BC$ के दिक्-अनुपात $(1 - 3, -2 - (-6), -2 - (-8)) = (-2, 4, 6)$ हैं।
हम देखते हैं कि दिक्-अनुपातों का अनुपात $\frac{5}{-2} = \frac{-10}{4} = \frac{-15}{6} = -2.5$ है।
चूंकि दिक्-अनुपात समानुपाती हैं,इसलिए रेखाएं $AB$ और $BC$ समांतर हैं।
चूंकि वे एक उभयनिष्ठ बिंदु $B$ साझा करते हैं,इसलिए बिंदु $A, B$ और $C$ संरेख हैं।

(B) मान लीजिए शीर्ष $A(1, 1, 1)$,$B(-2, 4, 1)$,$C(-1, 5, 5)$,और $D(2, 2, 5)$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{(-2-1)^2 + (4-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$BC = \sqrt{(-1-(-2))^2 + (5-4)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{1+1+16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$CD = \sqrt{(2-(-1))^2 + (2-5)^2 + (5-5)^2} = \sqrt{3^2 + (-3)^2 + 0^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$DA = \sqrt{(1-2)^2 + (1-2)^2 + (1-5)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{1+1+16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
चूंकि सभी भुजाएं समान हैं,हम विकर्णों $AC$ और $BD$ की जांच करते हैं:
$AC = \sqrt{(-1-1)^2 + (5-1)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{4+16+16} = \sqrt{36} = 6$.
$BD = \sqrt{(2-(-2))^2 + (2-4)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{16+4+16} = \sqrt{36} = 6$.
चूंकि सभी भुजाएं समान $(3\sqrt{2})$ हैं और दोनों विकर्ण भी समान $(6)$ हैं,इसलिए यह आकृति एक वर्ग है।

(D) मान लीजिए त्रिभुज के शीर्ष $A(0, 7, 10)$,$B(-1, 6, 6)$,और $C(-4, 9, 6)$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ का उपयोग करते हुए:
$AB = \sqrt{(-1-0)^2 + (6-7)^2 + (6-10)^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(-4 - (-1))^2 + (9-6)^2 + (6-6)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 9 + 0} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$AC = \sqrt{(-4-0)^2 + (9-7)^2 + (6-10)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$
अब,पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके समकोण त्रिभुज की स्थिति की जाँच करें:
$AB^2 + BC^2 = (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 = 18 + 18 = 36$
$AC^2 = 6^2 = 36$
चूँकि $AB^2 + BC^2 = AC^2$,इसलिए त्रिभुज समकोण है।
साथ ही,चूँकि $AB = BC = 3\sqrt{2}$,इसलिए त्रिभुज समद्विबाहु है।
अतः,यह त्रिभुज एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है।

(D) मान लीजिए कि दिए गए बिंदु $A(5, -4, 2)$,$B(4, -3, 1)$,$C(7, -6, 4)$ और $D(8, -7, 5)$ हैं।
सदिशों की गणना करने पर:
$\vec{AB} = (4-5, -3-(-4), 1-2) = (-1, 1, -1)$
$\vec{BC} = (7-4, -6-(-3), 4-1) = (3, -3, 3)$
$\vec{CD} = (8-7, -7-(-6), 5-4) = (1, -1, 1)$
$\vec{DA} = (5-8, -4-(-7), 2-5) = (-3, 3, -3)$
ध्यान दें कि $\vec{BC} = -3\vec{AB}$ और $\vec{DA} = 3\vec{AB}$ है।
चूंकि सदिश संरेख हैं,इसलिए बिंदु $A, B, C, D$ एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं।
अतः,वे कोई बहुभुज (आयत,वर्ग या समांतर चतुर्भुज) नहीं बनाते हैं।
इसलिए,विकल्प $(d)$ सही है।

(D) रेखा $AB$ के दिक अनुपात $(2 - (-1), 3 - 3, 5 - 2) = (3, 0, 3)$ हैं।
रेखा $AC$ के दिक अनुपात $(3 - (-1), 5 - 3, -2 - 2) = (4, 2, -4)$ हैं।
मान लीजिए $AB$ और $AC$ के बीच का कोण $\theta$ है। दो रेखाओं जिनके दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,उनके बीच के कोण का सूत्र $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ है।
मान रखने पर: $\cos A = \frac{|(3)(4) + (0)(2) + (3)(-4)|}{\sqrt{3^2 + 0^2 + 3^2} \sqrt{4^2 + 2^2 + (-4)^2}}$.
$\cos A = \frac{|12 + 0 - 12|}{\sqrt{18} \sqrt{16 + 4 + 16}} = \frac{0}{\sqrt{18} \sqrt{36}} = 0$.
चूंकि $\cos A = 0$,इसलिए $A = 90^o$ है।

(C) माना बिंदु के निर्देशांक $P(x, y, z)$ हैं।
$xy$-समतल से बिंदु $P(x, y, z)$ की दूरी $|z|$ है।
$yz$-समतल से बिंदु $P(x, y, z)$ की दूरी $|x|$ है।
$zx$-समतल से बिंदु $P(x, y, z)$ की दूरी $|y|$ है।
प्रश्न के अनुसार,$xy$-समतल और $yz$-समतल से उसकी दूरियों का योग $zx$-समतल से उसकी दूरी के बराबर है:
$|z| + |x| = |y|$.
यह मानते हुए कि बिंदु प्रथम अष्टांश में स्थित है जहाँ $x, y, z > 0$,हमारे पास $z + x = y$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $x - y + z = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के शीर्ष $A(-1, 0), B(3, 1), C(2, 2)$ और $D(x, y)$ हैं।
चूंकि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए $AC$ का मध्य-बिंदु और $BD$ का मध्य-बिंदु समान होगा।
$AC$ का मध्य-बिंदु $= (\frac{-1+2}{2}, \frac{0+2}{2}) = (\frac{1}{2}, 1).$
$BD$ का मध्य-बिंदु $= (\frac{3+x}{2}, \frac{1+y}{2}).$
मध्य-बिंदुओं की तुलना करने पर: $(\frac{3+x}{2}, \frac{1+y}{2}) = (\frac{1}{2}, 1).$
$x$-निर्देशांक के लिए: $\frac{3+x}{2} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow 3+x = 1$ $\Rightarrow x = -2.$
$y$-निर्देशांक के लिए: $\frac{1+y}{2} = 1$ $\Rightarrow 1+y = 2$ $\Rightarrow y = 1.$
अतः,चौथा शीर्ष $(-2, 1)$ है।

(A) विकल्प $A$ के लिए: विकर्ण $AC$ का मध्य बिंदु $(\frac{-2+4}{2}, \frac{-1+3}{2}) = (1, 1)$ है। विकर्ण $BD$ का मध्य बिंदु $(\frac{1+1}{2}, \frac{0+2}{2}) = (1, 1)$ है। चूंकि विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
विकल्प $B$ के लिए: भुजाओं की लंबाई की गणना करने पर,$AB = \sqrt{13}$ और $BC = \sqrt{52}$। चूंकि $AB \neq BC$,यह वर्ग नहीं है।
विकल्प $C$ के लिए: सभी भुजाएँ समान हैं $(AB=BC=CD=DA=\sqrt{8})$,लेकिन विकर्ण भी समान हैं $(AC=BD=4)$,इसलिए यह एक वर्ग है,समचतुर्भुज नहीं।
अतः,केवल कथन $A$ सत्य है।

(B) माना समांतर चतुर्भुज के शीर्ष $A(1, 3)$,$B(2, 0)$,$C(5, 1)$ और $D(x, y)$ हैं।
चूँकि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए विकर्ण $AC$ का मध्यबिंदु विकर्ण $BD$ के मध्यबिंदु के समान होता है।
$AC$ का मध्यबिंदु $= (\frac{1+5}{2}, \frac{3+1}{2}) = (3, 2)$.
$BD$ का मध्यबिंदु $= (\frac{2+x}{2}, \frac{0+y}{2})$.
मध्यबिंदुओं की तुलना करने पर:
$\frac{2+x}{2} = 3$ $\Rightarrow 2+x = 6$ $\Rightarrow x = 4$.
$\frac{0+y}{2} = 2 \Rightarrow y = 4$.
अतः,चौथा शीर्ष $(4, 4)$ है।

(C) मान लीजिए $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है। $D$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$D = \left( \frac{\lambda - 1}{2}, \frac{5 + 3}{2}, \frac{\mu + 2}{2} \right) = \left( \frac{\lambda - 1}{2}, 4, \frac{\mu + 2}{2} \right)$
माध्यिका $AD$ के दिक्-अनुपात हैं:
$AD = \left( \frac{\lambda - 1}{2} - 2, 4 - 3, \frac{\mu + 2}{2} - 5 \right) = \left( \frac{\lambda - 5}{2}, 1, \frac{\mu - 8}{2} \right)$
चूंकि माध्यिका $AD$ निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है,इसलिए इसके दिक्-अनुपातों का परिमाण समान होना चाहिए:
$\left| \frac{\lambda - 5}{2} \right| = |1| = \left| \frac{\mu - 8}{2} \right|$
इसका अर्थ है:
$\frac{\lambda - 5}{2} = \pm 1 \Rightarrow \lambda - 5 = \pm 2 \Rightarrow \lambda = 7 \text{ या } 3$
$\frac{\mu - 8}{2} = \pm 1 \Rightarrow \mu - 8 = \pm 2 \Rightarrow \mu = 10 \text{ या } 6$
माध्यिका के समान कोण बनाने के लिए दिक्-अनुपात समान होने चाहिए,अर्थात $\frac{\lambda - 5}{2} = 1 = \frac{\mu - 8}{2}$.
अतः,$\lambda = 7$ और $\mu = 10$.
विकल्पों की जांच करने पर,$\lambda = 7$ और $\mu = 10$ के लिए:
$10\lambda - 7\mu = 10(7) - 7(10) = 70 - 70 = 0$.
इसलिए,सही संबंध $10\lambda - 7\mu = 0$ है।

(B) दूरी सूत्र $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$ का उपयोग करके,हम भुजाओं के वर्गों की गणना करते हैं:
$AB^2 = (10 - 3)^2 + (20 - 6)^2 + (30 - 9)^2 = 7^2 + 14^2 + 21^2 = 49 + 196 + 441 = 686$
$BC^2 = (25 - 10)^2 + (-41 - 20)^2 + (5 - 30)^2 = 15^2 + (-61)^2 + (-25)^2 = 225 + 3721 + 625 = 4571$
$CA^2 = (3 - 25)^2 + (6 - (-41))^2 + (9 - 5)^2 = (-22)^2 + 47^2 + 4^2 = 484 + 2209 + 16 = 2709$
एक समकोण त्रिभुज के लिए,दो भुजाओं के वर्गों का योग तीसरी भुजा के वर्ग के बराबर होना चाहिए (पाइथागोरस प्रमेय)।
योग की जाँच करने पर:
$AB^2 + CA^2 = 686 + 2709 = 3395 \neq 4571 (BC^2)$
$AB^2 + BC^2 = 686 + 4571 = 5257 \neq 2709 (CA^2)$
$BC^2 + CA^2 = 4571 + 2709 = 7280 \neq 686 (AB^2)$
चूंकि कोई भी संयोजन $a^2 + b^2 = c^2$ की शर्त को पूरा नहीं करता है,इसलिए बिंदु $A, B, C$ एक समकोण त्रिभुज नहीं बनाते हैं।

माना बिंदु $A(0, 7, -10)$,$B(1, 6, -6)$ और $C(4, 9, -6)$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$ का उपयोग करने पर:
$AB = \sqrt{(1 - 0)^2 + (6 - 7)^2 + (-6 - (-10))^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$BC = \sqrt{(4 - 1)^2 + (9 - 6)^2 + (-6 - (-6))^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$CA = \sqrt{(0 - 4)^2 + (7 - 9)^2 + (-10 - (-6))^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
चूंकि $AB = BC = 3\sqrt{2}$ और $AB \neq CA$,त्रिभुज की दो भुजाएँ समान हैं।
अतः,दिए गए बिंदु एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

(N/A) माना बिंदु $A(0, 7, 10)$,$B(-1, 6, 6)$ और $C(-4, 9, 6)$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ का उपयोग करते हुए:
$AB = \sqrt{(-1-0)^2 + (6-7)^2 + (6-10)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(-4 - (-1))^2 + (9-6)^2 + (6-6)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (3)^2 + (0)^2} = \sqrt{9 + 9 + 0} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$CA = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (7-9)^2 + (10-6)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-2)^2 + (4)^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$
अब,पाइथागोरस प्रमेय की शर्त $AB^2 + BC^2 = AC^2$ की जाँच करें:
$AB^2 + BC^2 = (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 = 18 + 18 = 36$
$AC^2 = (6)^2 = 36$
चूँकि $AB^2 + BC^2 = AC^2$,अतः बिंदु $A, B$ और $C$ एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं।

(N/A) माना कि दिए गए बिंदु $A(-1, 2, 1)$,$B(1, -2, 5)$,$C(4, -7, 8)$,और $D(2, -3, 4)$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं:
$AB = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-2 - 2)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$
$BC = \sqrt{(4 - 1)^2 + (-7 - (-2))^2 + (8 - 5)^2} = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 25 + 9} = \sqrt{43}$
$CD = \sqrt{(2 - 4)^2 + (-3 - (-7))^2 + (4 - 8)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$
$DA = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (2 - (-3))^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 5^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 25 + 9} = \sqrt{43}$
चूंकि $AB = CD = 6$ और $BC = DA = \sqrt{43}$ है,इसलिए सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं।
अतः,चतुर्भुज $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है।

यह दर्शाने के लिए कि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,हमें यह दिखाना होगा कि सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं।
$AB = \sqrt{(-1-1)^{2} + (-2-2)^{2} + (-1-3)^{2}} = \sqrt{4 + 16 + 16} = 6$
$BC = \sqrt{(2 - (-1))^{2} + (3 - (-2))^{2} + (2 - (-1))^{2}} = \sqrt{9 + 25 + 9} = \sqrt{43}$
$CD = \sqrt{(4-2)^{2} + (7-3)^{2} + (6-2)^{2}} = \sqrt{4 + 16 + 16} = 6$
$DA = \sqrt{(1-4)^{2} + (2-7)^{2} + (3-6)^{2}} = \sqrt{9 + 25 + 9} = \sqrt{43}$
चूँकि $AB = CD$ और $BC = DA$,इसलिए $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अब,यह सिद्ध करने के लिए कि $ABCD$ एक आयत नहीं है,हम दिखाते हैं कि विकर्ण $AC$ और $BD$ असमान हैं।
$AC = \sqrt{(2-1)^{2} + (3-2)^{2} + (2-3)^{2}} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$
$BD = \sqrt{(4 - (-1))^{2} + (7 - (-2))^{2} + (6 - (-1))^{2}} = \sqrt{25 + 81 + 49} = \sqrt{155}$
चूँकि $AC \neq BD$,इसलिए $ABCD$ एक आयत नहीं है।

(A) माना कि $C$ के निर्देशांक $(x, y, z)$ हैं।
दिया गया है कि केंद्रक $G(1,1,1)$ है और शीर्ष $A(3,-5,7)$ और $B(-1,7,-6)$ हैं।
त्रिभुज के केंद्रक का सूत्र $G = (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3})$ है।
मान रखने पर:
$\frac{x+3-1}{3} = 1 \implies x+2 = 3 \implies x = 1$.
$\frac{y-5+7}{3} = 1 \implies y+2 = 3 \implies y = 1$.
$\frac{z+7-6}{3} = 1 \implies z+1 = 3 \implies z = 2$.
अतः,बिंदु $C$ के निर्देशांक $(1,1,2)$ हैं।

(A) माना चौथे शीर्ष $D$ के निर्देशांक $(x, y, z)$ हैं।
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,विकर्ण $AC$ और $BD$ एक-दूसरे को समान मध्य-बिंदु पर समद्विभाजित करते हैं।
$AC$ का मध्य-बिंदु $= \left(\frac{3 + (-1)}{2}, \frac{-1 + 1}{2}, \frac{2 + 2}{2}\right) = \left(\frac{2}{2}, \frac{0}{2}, \frac{4}{2}\right) = (1, 0, 2)$.
$BD$ का मध्य-बिंदु $= \left(\frac{x + 1}{2}, \frac{y + 2}{2}, \frac{z - 4}{2}\right)$.
मध्य-बिंदुओं की तुलना करने पर:
$\frac{x + 1}{2} = 1$ $\Rightarrow x + 1 = 2$ $\Rightarrow x = 1$.
$\frac{y + 2}{2} = 0$ $\Rightarrow y + 2 = 0$ $\Rightarrow y = -2$.
$\frac{z - 4}{2} = 2$ $\Rightarrow z - 4 = 4$ $\Rightarrow z = 8$.
अतः,चौथे शीर्ष $D$ के निर्देशांक $(1, -2, 8)$ हैं।

(A) माना $AD, BE,$ और $CF$ दिए गए त्रिभुज $ABC$ की माध्यिकाएँ हैं,जिसके शीर्ष $A(0,0,6)$,$B(0,4,0)$,और $C(6,0,0)$ हैं।
चूँकि $AD$ माध्यिका है,$D, BC$ का मध्य-बिंदु है।
बिंदु $D$ के निर्देशांक $= \left(\frac{0+6}{2}, \frac{4+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (3,2,0)$.
$AD = \sqrt{(0-3)^{2} + (0-2)^{2} + (6-0)^{2}} = \sqrt{9+4+36} = \sqrt{49} = 7$.
चूँकि $BE$ माध्यिका है,$E, AC$ का मध्य-बिंदु है।
बिंदु $E$ के निर्देशांक $= \left(\frac{0+6}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{6+0}{2}\right) = (3,0,3)$.
$BE = \sqrt{(3-0)^{2} + (0-4)^{2} + (3-0)^{2}} = \sqrt{9+16+9} = \sqrt{34}$.
चूँकि $CF$ माध्यिका है,$F, AB$ का मध्य-बिंदु है।
बिंदु $F$ के निर्देशांक $= \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+4}{2}, \frac{6+0}{2}\right) = (0,2,3)$.
$CF = \sqrt{(6-0)^{2} + (0-2)^{2} + (0-3)^{2}} = \sqrt{36+4+9} = \sqrt{49} = 7$.
अतः,$\Delta ABC$ की माध्यिकाओं की लंबाई $7, \sqrt{34},$ और $7$ है।

(A) त्रिभुज के केंद्रक के निर्देशांक,जिसके शीर्ष $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ और $(x_3, y_3, z_3)$ हैं,$\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ द्वारा दिए जाते हैं।
दिए गए शीर्ष $P(2a, 2, 6)$,$Q(-4, 3b, -10)$ और $R(8, 14, 2c)$ के लिए,केंद्रक है:
$\left(\frac{2a - 4 + 8}{3}, \frac{2 + 3b + 14}{3}, \frac{6 - 10 + 2c}{3}\right) = \left(\frac{2a + 4}{3}, \frac{3b + 16}{3}, \frac{2c - 4}{3}\right)$।
चूंकि मूलबिंदु $(0, 0, 0)$ केंद्रक है,हम निर्देशांकों की तुलना करते हैं:
$\frac{2a + 4}{3} = 0$ $\Rightarrow 2a = -4$ $\Rightarrow a = -2$.
$\frac{3b + 16}{3} = 0$ $\Rightarrow 3b = -16$ $\Rightarrow b = -\frac{16}{3}$.
$\frac{2c - 4}{3} = 0$ $\Rightarrow 2c = 4$ $\Rightarrow c = 2$.
अतः,$a, b$ और $c$ के मान $a = -2, b = -\frac{16}{3}, c = 2$ हैं।

(N/A) माना कि चौथे शीर्ष $D$ के निर्देशांक $(x, y, z)$ हैं।
समांतर चतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,जिसका अर्थ है कि उनका मध्य-बिंदु $P$ समान होता है।
विकर्ण $AC$ का मध्य-बिंदु $P\left(\frac{6-2}{2}, \frac{-2+2}{2}, \frac{4+4}{2}\right) = P(2, 0, 4)$ है।
विकर्ण $BD$ का मध्य-बिंदु $P\left(\frac{x+2}{2}, \frac{y+4}{2}, \frac{z-8}{2}\right)$ है।
मध्य-बिंदुओं की तुलना करने पर:
$\frac{x+2}{2} = 2$ $\Rightarrow x+2 = 4$ $\Rightarrow x = 2$
$\frac{y+4}{2} = 0$ $\Rightarrow y+4 = 0$ $\Rightarrow y = -4$
$\frac{z-8}{2} = 4$ $\Rightarrow z-8 = 8$ $\Rightarrow z = 16$
अतः,चौथे शीर्ष $D$ के निर्देशांक $(2, -4, 16)$ हैं।

(A) माना त्रिभुज का तीसरा शीर्ष $A(x, y, z)$ है।
दिए गए शीर्ष $B(2, 4, 6)$ और $C(0, -2, -5)$ हैं।
त्रिभुज का केंद्रक $G$ का सूत्र $G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ है।
चूंकि केंद्रक मूलबिंदु $(0, 0, 0)$ है,इसलिए:
$(0, 0, 0) = \left(\frac{2+0+x}{3}, \frac{4-2+y}{3}, \frac{6-5+z}{3}\right)$.
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$\frac{2+x}{3} = 0 \implies x = -2$.
$\frac{2+y}{3} = 0 \implies y = -2$.
$\frac{1+z}{3} = 0 \implies z = -1$.
अतः,तीसरा शीर्ष $(-2, -2, -1)$ है।

(A) मान लीजिए कि त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$ और $C(x_3, y_3, z_3)$ हैं।
भुजाओं के मध्य-बिंदु $D(1, 2, -3)$,$E(3, 0, 1)$ और $F(-1, 1, -4)$ दिए गए हैं।
हम जानते हैं कि किसी त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं से बने त्रिभुज का केंद्रक,मूल त्रिभुज के केंद्रक के समान ही होता है।
$\Delta DEF$ का केंद्रक $G(x, y, z)$ इस प्रकार परिकलित किया जाता है:
$x = \frac{1 + 3 + (-1)}{3} = \frac{3}{3} = 1$
$y = \frac{2 + 0 + 1}{3} = \frac{3}{3} = 1$
$z = \frac{-3 + 1 + (-4)}{3} = \frac{-6}{3} = -2$
अतः,त्रिभुज का केंद्रक $G(1, 1, -2)$ है।

(N/A) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$ और $C(x_3, y_3, z_3)$ हैं।
दिए गए मध्य-बिंदु $D(5,7,11)$ भुजा $BC$ पर,$E(0,8,5)$ भुजा $AC$ पर और $F(2,3,-1)$ भुजा $AB$ पर हैं।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर:
$1) \frac{x_2+x_3}{2} = 5, \frac{y_2+y_3}{2} = 7, \frac{z_2+z_3}{2} = 11 \Rightarrow x_2+x_3=10, y_2+y_3=14, z_2+z_3=22$
$2) \frac{x_1+x_3}{2} = 0, \frac{y_1+y_3}{2} = 8, \frac{z_1+z_3}{2} = 5 \Rightarrow x_1+x_3=0, y_1+y_3=16, z_1+z_3=10$
$3) \frac{x_1+x_2}{2} = 2, \frac{y_1+y_2}{2} = 3, \frac{z_1+z_2}{2} = -1 \Rightarrow x_1+x_2=4, y_1+y_2=6, z_1+z_2=-2$
$x$ के लिए सभी समीकरणों को जोड़ने पर:
$(x_2+x_3) + (x_1+x_3) + (x_1+x_2) = 10+0+4 = 14$ $\Rightarrow 2(x_1+x_2+x_3) = 14$ $\Rightarrow x_1+x_2+x_3 = 7$
$x_1 = (x_1+x_2+x_3) - (x_2+x_3) = 7-10 = -3$
$x_2 = (x_1+x_2+x_3) - (x_1+x_3) = 7-0 = 7$
$x_3 = (x_1+x_2+x_3) - (x_1+x_2) = 7-4 = 3$
इसी प्रकार $y$ के लिए:
$y_1+y_2+y_3 = (14+16+6)/2 = 18$
$y_1 = 18-14 = 4, y_2 = 18-16 = 2, y_3 = 18-6 = 12$
इसी प्रकार $z$ के लिए:
$z_1+z_2+z_3 = (22+10-2)/2 = 15$
$z_1 = 15-22 = -7, z_2 = 15-10 = 5, z_3 = 15-(-2) = 17$
अतः,शीर्ष $A(-3, 4, -7)$,$B(7, 2, 5)$ और $C(3, 12, 17)$ हैं।

(N/A) समांतर चतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। इसलिए,विकर्ण $AC$ का मध्य-बिंदु,विकर्ण $BD$ के मध्य-बिंदु के समान होता है।
$AC$ का मध्य-बिंदु $= \left(\frac{1+2}{2}, \frac{2+3}{2}, \frac{3+2}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}, \frac{5}{2}\right)$
$BD$ का मध्य-बिंदु $= \left(\frac{x-1}{2}, \frac{y-2}{2}, \frac{z-1}{2}\right)$
मध्य-बिंदुओं की तुलना करने पर:
$\frac{x-1}{2} = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow x-1 = 3$ $\Rightarrow x = 4$
$\frac{y-2}{2} = \frac{5}{2}$ $\Rightarrow y-2 = 5$ $\Rightarrow y = 7$
$\frac{z-1}{2} = \frac{5}{2}$ $\Rightarrow z-1 = 5$ $\Rightarrow z = 6$
अतः,चौथे शीर्ष $D$ के निर्देशांक $(4, 7, 6)$ हैं।

(A) त्रिभुज $ABC$ के शीर्ष $A(a, 1, 3)$,$B(-2, b, -5)$ और $C(4, 7, c)$ हैं।
त्रिभुज का केंद्रक $G$ ज्ञात करने का सूत्र $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ है।
यहाँ केंद्रक मूलबिंदु $G(0, 0, 0)$ दिया गया है,इसलिए:
$G(0, 0, 0) = \left(\frac{a-2+4}{3}, \frac{1+b+7}{3}, \frac{3-5+c}{3}\right)$.
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$0 = \frac{a+2}{3} \implies a+2 = 0 \implies a = -2$.
$0 = \frac{b+8}{3} \implies b+8 = 0 \implies b = -8$.
$0 = \frac{c-2}{3} \implies c-2 = 0 \implies c = 2$.
अतः,$a = -2, b = -8, c = 2$ प्राप्त होता है।

(N/A) मान लीजिए कि $D$ के निर्देशांक $(x, y, z)$ हैं।
सबसे पहले,भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई की गणना करें:
$AB = \sqrt{(5-2)^2 + (6-2)^2 + (9 - (-3))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$
$AC = \sqrt{(2-2)^2 + (7-2)^2 + (9 - (-3))^2} = \sqrt{0^2 + 5^2 + 12^2} = \sqrt{0 + 25 + 144} = \sqrt{169} = 13$
चूंकि $AB = AC = 13$,इसलिए $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
एक समद्विबाहु त्रिभुज में,शीर्ष कोण का समद्विभाजक आधार पर माध्यिका भी होता है।
इसलिए,$AD$,$BC$ पर माध्यिका है,जिसका अर्थ है कि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है।
$D$ के निर्देशांक मध्य-बिंदु सूत्र द्वारा प्राप्त होते हैं:
$D = \left(\frac{5+2}{2}, \frac{6+7}{2}, \frac{9+9}{2}\right) = \left(\frac{7}{2}, \frac{13}{2}, 9\right)$

(N/A) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1, z_1), B(x_2, y_2, z_2)$ और $C(x_3, y_3, z_3)$ हैं।
मध्य-बिंदु $D(1, 5, -1)$ भुजा $BC$ पर,$E(0, 4, -2)$ भुजा $AC$ पर,और $F(2, 3, 4)$ भुजा $AB$ पर स्थित हैं।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{x_1+x_2}{2} = 2, \frac{y_1+y_2}{2} = 3, \frac{z_1+z_2}{2} = 4 \implies x_1+x_2 = 4, y_1+y_2 = 6, z_1+z_2 = 8$ $(i)$
$\frac{x_1+x_3}{2} = 0, \frac{y_1+y_3}{2} = 4, \frac{z_1+z_3}{2} = -2 \implies x_1+x_3 = 0, y_1+y_3 = 8, z_1+z_3 = -4$ (ii)
$\frac{x_2+x_3}{2} = 1, \frac{y_2+y_3}{2} = 5, \frac{z_2+z_3}{2} = -1 \implies x_2+x_3 = 2, y_2+y_3 = 10, z_2+z_3 = -2$ (iii)
$(i)$,(ii),और (iii) को जोड़ने पर: $2(x_1+x_2+x_3) = 6 \implies x_1+x_2+x_3 = 3$. इसी प्रकार,$y_1+y_2+y_3 = 12$ और $z_1+z_2+z_3 = 1$.
योग में से (iii) घटाने पर: $x_1 = 3-2 = 1, y_1 = 12-10 = 2, z_1 = 1-(-2) = 3$. अतः,$A = (1, 2, 3)$.
योग में से (ii) घटाने पर: $x_2 = 3-0 = 3, y_2 = 12-8 = 4, z_2 = 1-(-4) = 5$. अतः,$B = (3, 4, 5)$.
योग में से $(i)$ घटाने पर: $x_3 = 3-4 = -1, y_3 = 12-6 = 6, z_3 = 1-8 = -7$. अतः,$C = (-1, 6, -7)$.
केंद्रक $G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right) = \left(\frac{3}{3}, \frac{12}{3}, \frac{1}{3}\right) = (1, 4, 1/3)$.

(A) माना कि दिए गए बिंदु $A(-1, -1, 2), B(2, m, 5)$ और $C(3, 11, 6)$ हैं।
चूंकि बिंदु संरेख हैं,इसलिए सदिश $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{BC}$ समानांतर होने चाहिए।
$\overrightarrow{AB} = (2 - (-1))\hat{i} + (m - (-1))\hat{j} + (5 - 2)\hat{k} = 3\hat{i} + (m + 1)\hat{j} + 3\hat{k}$.
$\overrightarrow{BC} = (3 - 2)\hat{i} + (11 - m)\hat{j} + (6 - 5)\hat{k} = 1\hat{i} + (11 - m)\hat{j} + 1\hat{k}$.
चूंकि $\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{BC}$,हमारे पास है:
$3 = k(1) \Rightarrow k = 3$.
$\hat{j}$ घटकों की तुलना करने पर: $m + 1 = k(11 - m)$.
$k = 3$ प्रतिस्थापित करने पर: $m + 1 = 3(11 - m)$.
$m + 1 = 33 - 3m$.
$4m = 32$.
$m = 8$.

(C) मान लीजिए वर्गाकार आधार की भुजा की लंबाई $x$ है और घनाभ की ऊँचाई $y$ है,जहाँ $x, y \in \mathbb{Z}^+$.
घनाभ की सभी भुजाओं का योग $4x + 4x + 4y = 8x + 4y$ है।
सभी छह सतहों के क्षेत्रफल का योग $2x^2 + 4xy$ है।
प्रश्न के अनुसार,भुजाओं का योग = क्षेत्रफल का योग:
$8x + 4y = 2x^2 + 4xy$
$2$ से भाग देने पर:
$4x + 2y = x^2 + 2xy$
$y$ के लिए हल करने पर:
$2y - 2xy = x^2 - 4x$
$2y(1 - x) = x(x - 4)$
$y = \frac{x(4 - x)}{2(x - 1)}$
चूँकि $y > 0$,इसलिए $1 < x < 4$ होना चाहिए। अतः,$x$ का मान $2$ या $3$ हो सकता है।
यदि $x = 2$,तो $y = \frac{2(4 - 2)}{2(2 - 1)} = 2$.
भुजाओं का योग $= 8(2) + 4(2) = 24$.
यदि $x = 3$,तो $y = \frac{3}{4}$,जो पूर्णांक नहीं है।
अतः,एकमात्र पूर्णांक हल $x = 2, y = 2$ है और भुजाओं का योग $24$ है।

(B) चूंकि $A(x, y, z)$ $xy$-समतल में स्थित है,इसलिए $z = 0$ होगा। अतः,$A = (x, y, 0)$ है।
दिया गया है कि $AP^2 = AQ^2 = AR^2$ है।
$AR^2 = x^2 + y^2 + (0 - 1)^2 = x^2 + y^2 + 1$ है।
$AP^2 = x^2 + (y - 3)^2 + (0 - 2)^2 = x^2 + y^2 - 6y + 9 + 4 = x^2 + y^2 - 6y + 13$ है।
$AQ^2 = (x - 2)^2 + y^2 + (0 - 3)^2 = x^2 - 4x + 4 + y^2 + 9 = x^2 + y^2 - 4x + 13$ है।
$AP^2 = AR^2$ को बराबर करने पर: $x^2 + y^2 - 6y + 13 = x^2 + y^2 + 1 \implies 6y = 12 \implies y = 2$ है।
$AQ^2 = AR^2$ को बराबर करने पर: $x^2 + y^2 - 4x + 13 = x^2 + y^2 + 1 \implies 4x = 12 \implies x = 3$ है।
अतः,$A = (3, 2, 0)$ है।
अब,$A(3, 2, 0)$,$B(1, 4, -1)$ और $C(2, 0, -2)$ के साथ $\triangle ABC$ की भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें:
$AB^2 = (3 - 1)^2 + (2 - 4)^2 + (0 - (-1))^2 = 2^2 + (-2)^2 + 1^2 = 4 + 4 + 1 = 9 \implies AB = 3$ है।
$AC^2 = (3 - 2)^2 + (2 - 0)^2 + (0 - (-2))^2 = 1^2 + 2^2 + 2^2 = 1 + 4 + 4 = 9 \implies AC = 3$ है।
$BC^2 = (1 - 2)^2 + (4 - 0)^2 + (-1 - (-2))^2 = (-1)^2 + 4^2 + 1^2 = 1 + 16 + 1 = 18 \implies BC = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ है।
चूंकि $AB = AC = 3$ और $AB^2 + AC^2 = 9 + 9 = 18 = BC^2$ है,इसलिए $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है। अतः,$(S1)$ सही है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = \frac{9}{2}$ है।
चूंकि $\frac{9}{2} \neq \frac{9\sqrt{2}}{2}$ है,इसलिए $(S2)$ गलत है।
अतः,केवल $(S1)$ सही है।

(D) $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल सारणिक सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$.
$\text{Area} = \frac{1}{2} |4(1 - (-3)) + 1(-3 - (-2)) + 9(-2 - 1)|$.
$\text{Area} = \frac{1}{2} |4(4) + 1(-1) + 9(-3)| = \frac{1}{2} |16 - 1 - 27| = \frac{1}{2} |-12| = 6$ वर्ग इकाई।
त्रिभुज $ABC$ के भीतर बने समांतर चतुर्भुज $AFDE$ के लिए,जहाँ $D$ भुजा $BC$ पर,$E$ भुजा $CA$ पर और $F$ भुजा $AB$ पर स्थित है,इसका अधिकतम क्षेत्रफल त्रिभुज $ABC$ के क्षेत्रफल का आधा होता है।
$\text{Maximum Area} = \frac{1}{2} \times \text{Area}(\triangle ABC) = \frac{1}{2} \times 6 = 3$ वर्ग इकाई।

(B) त्रिभुज जिसके शीर्ष $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ और $(x_3, y_3, z_3)$ हैं,उसका केंद्रक $(G)$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$G = (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3})$
दिए गए शीर्ष $P(1, -2, 1)$,$Q(2, 3, -1)$ और $R(1, -1, -1)$ हैं।
मान रखने पर:
$x$-निर्देशांक $= \frac{1 + 2 + 1}{3} = \frac{4}{3}$
$y$-निर्देशांक $= \frac{-2 + 3 - 1}{3} = \frac{0}{3} = 0$
$z$-निर्देशांक $= \frac{1 - 1 - 1}{3} = -\frac{1}{3}$
अतः,केंद्रक $(\frac{4}{3}, 0, -\frac{1}{3})$ है।

(C) $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$ और $C(x_3, y_3, z_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का केंद्रक $G$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3} \right)$.
चूँकि $G = (0,0,0)$,$A = (1,1,1)$ और $B = (2,1,2)$ दिया गया है:
$\frac{1 + 2 + x}{3} = 0 \implies 3 + x = 0 \implies x = -3$.
$\frac{1 + 1 + y}{3} = 0 \implies 2 + y = 0 \implies y = -2$.
$\frac{1 + 2 + z}{3} = 0 \implies 3 + z = 0 \implies z = -3$.
अतः,$(x, y, z) = (-3, -2, -3)$.

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि बिंदु $A(1, 1, 2), B(2, 1, 2)$ और $C(2, 2, 1)$ संरेख हैं या नहीं,हम सदिशों $\vec{AB}$ और $\vec{BC}$ की गणना करते हैं।
$\vec{AB} = (2-1)\hat{i} + (1-1)\hat{j} + (2-2)\hat{k} = 1\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k} = \hat{i}$.
$\vec{BC} = (2-2)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (1-2)\hat{k} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k} = \hat{j} - \hat{k}$.
चूंकि $\vec{AB}$ और $\vec{BC}$ समानांतर नहीं हैं (वे एक-दूसरे के अदिश गुणज नहीं हैं),इसलिए बिंदु संरेख नहीं हैं।
अंतरिक्ष में तीन असंरेख बिंदु हमेशा एक त्रिभुज के शीर्ष बनाते हैं।
अतः,$A, B, C$ एक त्रिभुज के शीर्ष हैं।

(A) दिए गए शीर्ष $A(-4, 5, p)$,$B(3, 1, 4)$ और $C(-2, 0, q)$ हैं।
त्रिभुज का केंद्रक $G(r, q, 1)$,$\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$r = \frac{-4+3-2}{3} = -1$
$q = \frac{5+1+0}{3} = 2$
$1 = \frac{p+4+q}{3} \Rightarrow p+4+q = 3$
$q=2$ रखने पर: $p+4+2 = 3 \Rightarrow p = -3$.
अब,$2p + q - r$ का मान:
$2(-3) + 2 - (-1) = -6 + 2 + 1 = -3$.

(B) त्रिभुज के शीर्षों $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,और $C(x_3, y_3, z_3)$ के लिए केंद्रक $G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ होता है।
यहाँ $A(x, 4, -1)$,$B(3, x, -5)$,$C(2, -2, 3)$,और $G(2, 1, -1)$ दिया गया है।
$x$-निर्देशांकों की तुलना करने पर: $\frac{x+3+2}{3} = 2$.
$x + 5 = 6$.
$x = 1$.
$y$-निर्देशांकों के लिए जाँच करने पर: $\frac{4+x-2}{3} = 1$ $\Rightarrow 2+x = 3$ $\Rightarrow x = 1$.
अतः,$x$ का मान $1$ है।

(D) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ और $(x_3, y_3, z_3)$ के लिए केंद्रक $G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ होता है।
दिए गए $G = (r, -\frac{4}{3}, \frac{1}{3})$ की तुलना करने पर:
$r = \frac{5+1+1}{3} = \frac{7}{3}$
$-\frac{4}{3} = \frac{1+q-2}{3}$ $\Rightarrow -4 = q-1$ $\Rightarrow q = -3$
$\frac{1}{3} = \frac{p+p+3}{3}$ $\Rightarrow 1 = 2p+3$ $\Rightarrow 2p = -2$ $\Rightarrow p = -1$
अतः,$p = -1, q = -3, r = \frac{7}{3}$ है।

(D) त्रिभुज के केंद्रक $G(x, y, z)$ का सूत्र $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3})$ है।
दिया गया है कि $G(4, 3, 3)$,$A(a, 3, 1)$,$B(4, 5, b)$ और $C(6, c, 5)$ है।
$\frac{a+4+6}{3} = 4$ $\Rightarrow a+10 = 12$ $\Rightarrow a = 2$.
$\frac{3+5+c}{3} = 3$ $\Rightarrow 8+c = 9$ $\Rightarrow c = 1$.
$\frac{1+b+5}{3} = 3$ $\Rightarrow 6+b = 9$ $\Rightarrow b = 3$.
अतः,$a=2, b=3, c=1$.

(A) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$,और $(x_3, y_3, z_3)$ के लिए केंद्रक $G$ का सूत्र $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3})$ है।
दिया है $A(7, -8, 1)$,$B(p, q, 5)$,$C(q+1, 5p, 0)$,और $G(3, -5, r)$।
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$3 = \frac{7 + p + q + 1}{3} \implies 9 = 8 + p + q \implies p + q = 1 \quad (1)$
$-5 = \frac{-8 + q + 5p}{3} \implies -15 = -8 + q + 5p \implies 5p + q = -7 \quad (2)$
$r = \frac{1 + 5 + 0}{3} = \frac{6}{3} = 2$
समीकरण $(2)$ में से $(1)$ घटाने पर:
$(5p + q) - (p + q) = -7 - 1$
$4p = -8 \implies p = -2$
$p = -2$ को $(1)$ में रखने पर:
$-2 + q = 1 \implies q = 3$
अतः,$p = -2, q = 3, r = 2$।

(C) शीर्ष $A(0,4,0)$,$B(0,0,3)$ और $C(0,4,3)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई की गणना:
$a = BC = \sqrt{(0-0)^2 + (4-0)^2 + (3-3)^2} = 4$.
$b = AC = \sqrt{(0-0)^2 + (4-4)^2 + (3-0)^2} = 3$.
$c = AB = \sqrt{(0-0)^2 + (0-4)^2 + (3-0)^2} = 5$.
अंतःकेंद्र $I(x, y, z)$ का सूत्र:
$I = \left( \frac{ax_A + bx_B + cx_C}{a+b+c}, \frac{ay_A + by_B + cy_C}{a+b+c}, \frac{az_A + bz_B + cz_C}{a+b+c} \right)$.
मान रखने पर:
$x = \frac{4(0) + 3(0) + 5(0)}{12} = 0$.
$y = \frac{4(4) + 3(0) + 5(4)}{12} = \frac{36}{12} = 3$.
$z = \frac{4(0) + 3(3) + 5(3)}{12} = \frac{24}{12} = 2$.
अतः,अंतःकेंद्र $(0,3,2)$ है।

(D) $A(2, p, -3)$,$B(q, -2, 5)$ और $C(-5, 1, r)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का केंद्रक $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3})$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि मूलबिंदु $(0, 0, 0)$ केंद्रक है:
$x$-निर्देशांक के लिए: $\frac{2+q-5}{3} = 0$ $\Rightarrow q-3 = 0$ $\Rightarrow q = 3$.
$y$-निर्देशांक के लिए: $\frac{p-2+1}{3} = 0$ $\Rightarrow p-1 = 0$ $\Rightarrow p = 1$.
$z$-निर्देशांक के लिए: $\frac{-3+5+r}{3} = 0$ $\Rightarrow r+2 = 0$ $\Rightarrow r = -2$.
अतः,$p=1, q=3, r=-2$.

(B) $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$,$(x_3, y_3, z_3)$,और $(x_4, y_4, z_4)$ शीर्षों वाले चतुष्फलक का केंद्रक $G$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$G = \left( \frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}, \frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}, \frac{z_1+z_2+z_3+z_4}{4} \right)$
दिए गए शीर्षों $A(3, -5, x)$,$B(5, 4, 2)$,$C(7, -7, y)$,$D(1, 0, z)$ और केंद्रक $G(4, -2, 2)$ के लिए,हम निर्देशांकों की तुलना करते हैं:
$z$-निर्देशांक के लिए:
$\frac{x + 2 + y + z}{4} = 2$
$x + y + z + 2 = 8$
$x + y + z = 8 - 2$
$x + y + z = 6$

(B) मान लीजिए कि तीसरे शीर्ष $C$ के निर्देशांक $(x, y, z)$ हैं।
चूंकि $G$,$\triangle ABC$ का केंद्रक है,इसलिए $G$ के निर्देशांक निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिए जाते हैं:
$G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3} \right)$
यहाँ $A(3, 1, 4)$,$B(-4, 5, -3)$ और $G(-1, 2, 1)$ दिए गए हैं:
$-1 = \frac{3 - 4 + x}{3} \implies -3 = -1 + x \implies x = -2$
$2 = \frac{1 + 5 + y}{3} \implies 6 = 6 + y \implies y = 0$
$1 = \frac{4 - 3 + z}{3} \implies 3 = 1 + z \implies z = 2$
अतः,तीसरा शीर्ष $C$ $(-2, 0, 2)$ है।