Triangle and Parallelogram Questions in Hindi

(C) माना शीर्ष $A(1,2,3), B(3,-1,5),$ और $C(4,0,-3)$ हैं।
सबसे पहले,हम भुजाओं के दिक्-अनुपात की गणना करते हैं:
$\overrightarrow{AB} = (3-1, -1-2, 5-3) = (2, -3, 2)$
$\overrightarrow{BC} = (4-3, 0+1, -3-5) = (1, 1, -8)$
$\overrightarrow{AC} = (4-1, 0-2, -3-3) = (3, -2, -6)$
अब,लंबवतता की जाँच करें:
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (2)(3) + (-3)(-2) + (2)(-6) = 6 + 6 - 12 = 0$.
चूँकि डॉट प्रोडक्ट $0$ है,$\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}$,जिसका अर्थ है कि $\angle A = 90^{\circ}$.
समकोण त्रिभुज में,परिकेंद्र कर्ण $BC$ का मध्य-बिंदु होता है।
परिकेंद्र $(\alpha, \beta, \gamma) = \left(\frac{3+4}{2}, \frac{-1+0}{2}, \frac{5-3}{2}\right) = \left(\frac{7}{2}, -\frac{1}{2}, 1\right)$.
अतः,$\alpha = \frac{7}{2}, \beta = -\frac{1}{2}, \gamma = 1$.
तब,$|\alpha| + |\beta| = |\frac{7}{2}| + |-\frac{1}{2}| = \frac{7}{2} + \frac{1}{2} = 4$.
चूँकि $|\gamma| = |1| = 1$,हमें $4 = 4|\gamma|$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए बिंदु $A(1, 3, 5)$,$B(2, 4, 6)$ और $C(4, 5, k)$ हैं।
सबसे पहले,बिंदुओं के बीच की दूरी का वर्ग ज्ञात करें:
$AB^2 = (2-1)^2 + (4-3)^2 + (6-5)^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3$
$BC^2 = (4-2)^2 + (5-4)^2 + (k-6)^2 = 4 + 1 + (k-6)^2 = k^2 - 12k + 41$
$AC^2 = (4-1)^2 + (5-3)^2 + (k-5)^2 = 9 + 4 + (k-5)^2 = k^2 - 10k + 38$
स्थिति $1$: $A$ पर समकोण $(AB^2 + AC^2 = BC^2)$
$3 + k^2 - 10k + 38 = k^2 - 12k + 41$
$41 - 10k = 41 - 12k$
$2k = 0 \Rightarrow k = 0$
स्थिति $2$: $B$ पर समकोण $(AB^2 + BC^2 = AC^2)$
$3 + k^2 - 12k + 41 = k^2 - 10k + 38$
$44 - 12k = 38 - 10k$
$6 = 2k \Rightarrow k = 3$
स्थिति $3$: $C$ पर समकोण $(AC^2 + BC^2 = AB^2)$
$k^2 - 10k + 38 + k^2 - 12k + 41 = 3$
$2k^2 - 22k + 76 = 0$
$k^2 - 11k + 38 = 0$
यहाँ विविक्तकर $D = (-11)^2 - 4(1)(38) = 121 - 152 = -31 < 0$ है। अतः $k$ का कोई वास्तविक मान नहीं है।
इस प्रकार,$k$ के संभावित मान $0$ और $3$ हैं। अतः संभावित मानों की कुल संख्या $2$ है।

(A) माना $\triangle ABC$ के शीर्ष $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$ और $C(x_3, y_3, z_3)$ हैं।
दिया गया है कि $D, E, F$ क्रमशः $AB, BC, CA$ के मध्य बिंदु हैं:
$D = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2}\right) = (1, 2, -3) \Rightarrow x_1+x_2=2, y_1+y_2=4, z_1+z_2=-6$
$E = \left(\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2}, \frac{z_2+z_3}{2}\right) = (3, 0, 1) \Rightarrow x_2+x_3=6, y_2+y_3=0, z_2+z_3=2$
$F = \left(\frac{x_1+x_3}{2}, \frac{y_1+y_3}{2}, \frac{z_1+z_3}{2}\right) = (-1, 1, -4) \Rightarrow x_1+x_3=-2, y_1+y_3=2, z_1+z_3=-8$
$x_1, x_2, x_3$ के लिए हल करने पर: $(x_1+x_2)+(x_2+x_3)+(x_1+x_3) = 2+6-2 = 6 \Rightarrow 2(x_1+x_2+x_3)=6 \Rightarrow x_1+x_2+x_3=3$. अतः $x_3=3-2=1, x_1=3-6=-3, x_2=3-(-2)=5$.
इसी प्रकार $y$ के लिए: $y_1+y_2+y_3 = \frac{4+0+2}{2} = 3$. अतः $y_3=3-4=-1, y_1=3-0=3, y_2=3-2=1$.
इसी प्रकार $z$ के लिए: $z_1+z_2+z_3 = \frac{-6+2-8}{2} = -6$. अतः $z_3=-6-(-6)=0, z_1=-6-2=-8, z_2=-6-(-8)=2$.
अतः,$A(-3, 3, -8)$,$D(1, 2, -3)$,और $F(-1, 1, -4)$.
$\triangle ADF$ का केंद्रक $\left(\frac{-3+1-1}{3}, \frac{3+2+1}{3}, \frac{-8-3-4}{3}\right) = \left(\frac{-3}{3}, \frac{6}{3}, \frac{-15}{3}\right) = (-1, 2, -5)$ है।

(A) $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$ और $C(x_3, y_3, z_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का केंद्रक $(G)$ सूत्र $G = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए शीर्ष $A(3,4,5)$,$B(6,7,2)$ और $C(x, y, z)$ हैं और केंद्रक $(3,2,3)$ है।
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$3 = \frac{3+6+x}{3} \implies 9 = 9+x \implies x = 0$.
$2 = \frac{4+7+y}{3} \implies 6 = 11+y \implies y = -5$.
$3 = \frac{5+2+z}{3} \implies 9 = 7+z \implies z = 2$.
अतः,$x+y+z = 0 + (-5) + 2 = -3$.
इस प्रकार,सही विकल्प $A$ है।

(C) मान लीजिए कि शीर्ष $A(1,2,5), B(-1,6,1), C(3,4,-3)$ और $D(5,0,1)$ हैं।
सबसे पहले,हम दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं:
$AB = \sqrt{(-1-1)^2 + (6-2)^2 + (1-5)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$
$BC = \sqrt{(3-(-1))^2 + (4-6)^2 + (-3-1)^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$
$CD = \sqrt{(5-3)^2 + (0-4)^2 + (1-(-3))^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$
$DA = \sqrt{(1-5)^2 + (2-0)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$
चूंकि सभी भुजाएं समान हैं $(AB = BC = CD = DA = 6)$,इसलिए यह चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है।
अब,हम विकर्णों की जांच करते हैं:
$AC = \sqrt{(3-1)^2 + (4-2)^2 + (-3-5)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-8)^2} = \sqrt{4 + 4 + 64} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$
$BD = \sqrt{(5-(-1))^2 + (0-6)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{6^2 + (-6)^2 + 0^2} = \sqrt{36 + 36 + 0} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$
चूंकि विकर्ण भी समान हैं $(AC = BD = 6\sqrt{2})$,इसलिए यह चतुर्भुज एक वर्ग है।

(B) माना $\triangle ABC$ की भुजाओं के मध्य-बिंदु $D(1,0,3)$,$E(2,1,5)$ और $F(-2,3,6)$ हैं।
त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं से बने त्रिभुज का केंद्रक,मूल त्रिभुज के केंद्रक के समान ही होता है।
इसलिए,$\triangle ABC$ का केंद्रक $\triangle DEF$ के केंद्रक के समान है।
शीर्षों $(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2), (x_3, y_3, z_3)$ वाले त्रिभुज के केंद्रक का सूत्र $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ है।
दिए गए मध्य-बिंदुओं का उपयोग करने पर:
केंद्रक $= \left(\frac{1+2-2}{3}, \frac{0+1+3}{3}, \frac{3+5+6}{3}\right)$
$= \left(\frac{1}{3}, \frac{4}{3}, \frac{14}{3}\right)$.

(C) माना कि तीसरे शीर्ष $C$ के निर्देशांक $(x, y, z)$ हैं।
दिए गए शीर्ष $A(5, 4, 6)$ और $B(1, -1, 3)$ हैं।
त्रिभुज के केंद्रक $G$ का सूत्र $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ होता है।
दिया गया केंद्रक $G = \left(\frac{10}{3}, 2, \frac{11}{3}\right)$ है।
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$\frac{5+1+x}{3} = \frac{10}{3} \Rightarrow 6+x = 10 \Rightarrow x = 4$.
$\frac{4-1+y}{3} = 2 \Rightarrow 3+y = 6 \Rightarrow y = 3$.
$\frac{6+3+z}{3} = \frac{11}{3} \Rightarrow 9+z = 11 \Rightarrow z = 2$.
अतः,तीसरा शीर्ष $C$ $(4, 3, 2)$ है।

(B) माना $\triangle ABC$ के शीर्ष $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$ और $C(x_3, y_3, z_3)$ हैं।
चूंकि $D(2, 1, 0)$ भुजा $BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए:
$\frac{x_2+x_3}{2} = 2 \implies x_2+x_3 = 4$
$\frac{y_2+y_3}{2} = 1 \implies y_2+y_3 = 2$
$\frac{z_2+z_3}{2} = 0 \implies z_2+z_3 = 0$
चूंकि $E(2, 0, 0)$ भुजा $AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए:
$\frac{x_1+x_3}{2} = 2 \implies x_1+x_3 = 4$
$\frac{y_1+y_3}{2} = 0 \implies y_1+y_3 = 0$
$\frac{z_1+z_3}{2} = 0 \implies z_1+z_3 = 0$
चूंकि $F(0, 1, 0)$ भुजा $AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए:
$\frac{x_1+x_2}{2} = 0 \implies x_1+x_2 = 0$
$\frac{y_1+y_2}{2} = 1 \implies y_1+y_2 = 2$
$\frac{z_1+z_2}{2} = 0 \implies z_1+z_2 = 0$
इन समीकरणों को जोड़ने पर:
$2(x_1+x_2+x_3) = 4+4+0 = 8 \implies x_1+x_2+x_3 = 4$
$2(y_1+y_2+y_3) = 2+0+2 = 4 \implies y_1+y_2+y_3 = 2$
$2(z_1+z_2+z_3) = 0+0+0 = 0 \implies z_1+z_2+z_3 = 0$
$\triangle ABC$ का केंद्रक $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,केंद्रक $\left(\frac{4}{3}, \frac{2}{3}, 0\right)$ प्राप्त होता है।

(D) माना त्रिभुज के शीर्ष $A = (1, 0, 0)$,$B = (0, 1, 0)$,और $C = (0, 0, 1)$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ का उपयोग करके,हम भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं:
$AB = \sqrt{(0-1)^2 + (1-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
$BC = \sqrt{(0-0)^2 + (0-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
$CA = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
त्रिभुज का परिमाप उसकी भुजाओं की लंबाई का योग है:
$\text{परिमाप} = AB + BC + CA = \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.

(A) माना समांतर चतुर्भुज के शीर्ष $O(0,0)$,$A(a \cos \theta, b \sin \theta)$,$B(a \cos \theta, -b \sin \theta)$ और $C(x, y)$ हैं।
समांतर चतुर्भुज $OABC$ का क्षेत्रफल $= 2 \times \triangle OAB$ का क्षेत्रफल।
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_A y_B - x_B y_A| = \frac{1}{2} |(a \cos \theta)(-b \sin \theta) - (a \cos \theta)(b \sin \theta)| = ab |\sin \theta \cos \theta| = \frac{ab}{2} |\sin 2\theta|$.
अतः,समांतर चतुर्भुज $OABC$ का क्षेत्रफल $= 2 \times \frac{ab}{2} |\sin 2\theta| = ab |\sin 2\theta|$.
$|\sin 2\theta|$ का अधिकतम मान $1$ है,जो $\theta = \pi / 4$ पर प्राप्त होता है।
इस प्रकार,अधिकतम क्षेत्रफल $ab$ है जब $\theta = \pi / 4$।