दी गई शर्तों को संतुष्ट करने वाले अतिपरवलय का | vedclass

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Question

(A) नाभियाँ $(0, \pm \sqrt{10})$ हैं,जो $y$-अक्ष पर स्थित हैं। अतः,समीकरण $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ के रूप में है। यहाँ,$c = \sq

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$\frac{y^{2}}{5} - \frac{x^{2}}{5} = 1$

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(A) नाभियाँ $(0, \pm \sqrt{10})$ हैं,जो $y$-अक्ष पर स्थित हैं। अतः,समीकरण $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ के रूप में है। यहाँ,$c = \sqrt{10}$,इसलिए $c^{2} = 10$ है। हम जानते हैं कि $c^{2} = a^{2} + b^{2}$,इसलिए $a^{2} + b^{2} = 10$,जिसका अर्थ है $b^{2} = 10 - a^{2}$। अतिपरवलय $(2, 3)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{9}{a^{2}} - \frac{4}{b^{2}} = 1$। $b^{2} = 10 - a^{2}$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{9}{a^{2}} - \frac{4}{10 - a^{2}} = 1$। $9(10 - a^{2}) - 4a^{2} = a^{2}(10 - a^{2})$। $90 - 13a^{2} = 10a^{2} - a^{4}$। $a^{4} - 23a^{2} + 90 = 0$। $(a^{2} - 18)(a^{2} - 5) = 0$। चूँकि $c^{2} > a^{2}$,इसलिए $10 > a^{2}$,अतः $a^{2} = 5$। तब $b^{2} = 10 - 5 = 5$। अतिपरवलय का समीकरण $\frac{y^{2}}{5} - \frac{x^{2}}{5} = 1$ है।

दी गई शर्तों को संतुष्ट करने वाले अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए: नाभियाँ $(0, \pm \sqrt{10})$,जो $(2, 3)$ से होकर गुजरता है।

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