दी गई शर्तों को संतुष्ट करने वाले अतिपरवलय का | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि नाभियाँ $(\pm 3 \sqrt{5}, 0)$ हैं। चूँकि नाभियाँ $x$-अक्ष पर स्थित हैं,अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}

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$\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{20} = 1$

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(A) दिया गया है कि नाभियाँ $(\pm 3 \sqrt{5}, 0)$ हैं। चूँकि नाभियाँ $x$-अक्ष पर स्थित हैं,अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ के रूप का है।यहाँ,$c = 3 \sqrt{5}$,इसलिए $c^{2} = 45$.नाभिलंब की लंबाई $8$ है,इसलिए $\frac{2b^{2}}{a} = 8$,जिसका अर्थ है $b^{2} = 4a$.हम जानते हैं कि $c^{2} = a^{2} + b^{2}$। मान रखने पर,$a^{2} + 4a = 45$,या $a^{2} + 4a - 45 = 0$.गुणनखंड करने पर: $(a + 9)(a - 5) = 0$। चूँकि $a > 0$,इसलिए $a = 5$.तब $b^{2} = 4 	imes 5 = 20$.अतः,अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{20} = 1$ है।

दी गई शर्तों को संतुष्ट करने वाले अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए: नाभियाँ $(\pm 3 \sqrt{5}, 0)$,नाभिलंब की लंबाई $8$ है।

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यदि अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की उत्केंद्रता $e = \frac{5}{4}$ है और नाभिलंब की लंबाई $9$ है,तो $ab$ का मान ज्ञात कीजिए।

$k$ के विभिन्न मानों के लिए रेखाओं $\sqrt{3}x - y - 4\sqrt{3}k = 0$ और $\sqrt{3}kx + yk - 4\sqrt{3} = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए।

यदि अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ के अनंतस्पर्शी (asymptotes) के बीच का कोण $2 \tan^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$ है और $a^2-b^2=45$ है,तो $ab=$

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