मान लीजिए कि परवलय $y^2 = 24x$ पर बिंदु $(\alpha, \beta)$ पर खींची गई स्पर्श रेखा,रेखा $2x + 2y = 5$ के लंबवत है। तो अतिपरवलय $\frac{x^2}{\alpha^2} - \frac{y^2}{\beta^2} = 1$ के बिंदु $(\alpha + 4, \beta + 4)$ पर अभिलंब निम्नलिखित में से किस बिंदु से $\text{नहीं}$ गुजरता है?

मान लीजिए $a>0, b>0$ है। मान लीजिए $e$ और $\ell$ क्रमशः अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ की उत्केंद्रता और नाभिलंब की लंबाई हैं। मान लीजिए $e^{\prime}$ और $\ell^{\prime}$ क्रमशः इसके संयुग्मी अतिपरवलय की उत्केंद्रता और नाभिलंब की लंबाई हैं। यदि $e^{2}=\frac{11}{14} \ell$ और $(e^{\prime})^{2}=\frac{11}{8} \ell^{\prime}$ है,तो $77a+44b$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि अतिपरवलय $H : \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर बिंदु $P(4,3)$ की नाभीय दूरियों का योग $8 \sqrt{\frac{5}{3}}$ है। यदि $H$ के लिए,नाभिलंब की लंबाई $l$ है और बिंदु $P$ की नाभीय दूरियों का गुणनफल $m$ है,तो $9l^2 + 6m$ का मान ज्ञात कीजिए :-

उस अतिपरवलय (hyperbola) का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी उत्केंद्रता (eccentricity) $e = 2$ है और जिसकी नाभियों के बीच की दूरी $8$ है।

अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण ज्ञात कीजिए।

एक अतिपरवलय $H$ के शीर्ष $(\pm 6, 0)$ हैं और इसकी उत्केंद्रता $\frac{\sqrt{5}}{2}$ है। मान लीजिए $N$,प्रथम चतुर्थांश में स्थित एक बिंदु पर $H$ का अभिलंब है और रेखा $\sqrt{2} x + y = 2 \sqrt{2}$ के समांतर है। यदि $d$,$H$ और $y$-अक्ष के बीच $N$ के रेखाखंड की लंबाई है,तो $d^2$ का मान $............$ है।