$9x^2 + 16y^2 = 144$,$y^2 - x + 4 = 0$ અને $x^2 + y^2 - 12x + 32 = 0$ નો સામાન્ય સ્પર્શક કયો છે?

$P(a, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખા,જ્યાં $a \neq 0$,જે $X$-અક્ષની ધન દિશા સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તે વક્ર $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ ને $A$ અને $D$ માં અને યામ અક્ષોને $B$ અને $C$ માં મળે છે. જો $PA, PB, PC$ અને $PD$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય,તો $2a=$

વક્રો $C_1: y^2=4x$ અને $C_2: x^2+y^2-6x+1=0$ ધ્યાનમાં લો. વિધાન $(A)$: વક્રો $C_1$ અને $C_2$ ના સામાન્ય સ્પર્શકો લંબ છે. કારણ $(R)$: $x-y+1=0$ અને $x+y+1=0$ એ વક્રો $C_1$ અને $C_2$ ના સામાન્ય સ્પર્શકો છે.

વર્તુળ $x^2 + y^2 - ax - by = 0$ ની જીવાઓ જે $\left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2} \right)$ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે,તેના મધ્યબિંદુઓનો બિંદુપથ શોધો:

રેખા $x=2y$ એ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ ને બિંદુઓ $P$ અને $Q$ માં છેદે છે. $PQ$ ને વ્યાસ તરીકે લેતા વર્તુળનું સમીકરણ શું થાય?

ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{4} = 1$ પરના બિંદુ $(3 \sqrt{3}, 1)$ આગળનો સ્પર્શક અને અભિલંબ $y$-અક્ષને અનુક્રમે $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં મળે છે. ધારો કે $AB$ ને વ્યાસ તરીકે લઈને વર્તુળ $C$ દોરવામાં આવે છે અને રેખા $x = 2 \sqrt{5}$ એ વર્તુળ $C$ ને $P$ અને $Q$ બિંદુઓમાં છેદે છે. જો વર્તુળ પરના બિંદુઓ $P$ અને $Q$ આગળના સ્પર્શકો બિંદુ $(\alpha, \beta)$ માં છેદતા હોય,તો $\alpha^2 - \beta^2$ ની કિંમત શોધો.