De Broglie's principle Questions in Gujarati

(A) બોહરની ક્વોન્ટાઈઝેશન શરત મુજબ, કક્ષાનો પરિઘ એ ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનો પૂર્ણાંક ગુણાંક છે: $2 \pi r = n \lambda$.
$n^{th}$ બોહર કક્ષા માટે, ત્રિજ્યા $r = n^{2} a_{0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $a_{0}$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે।
$4^{th}$ કક્ષા $(n = 4)$ માટે, ત્રિજ્યા $r = 4^{2} a_{0} = 16 a_{0}$ છે।
આ કિંમતોને ક્વોન્ટાઈઝેશન સમીકરણમાં મૂકતા: $2 \pi (16 a_{0}) = 4 \lambda$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા: $\lambda = \frac{32 \pi a_{0}}{4} = 8 \pi a_{0}$.

(A) ડી બ્રોગ્લી સમીકરણ મુજબ: $\lambda = \frac{h}{mv}$
આપેલ છે: $h = 6.626 \times 10^{-34} \,J \,s$,$m = 0.1 \,kg$,$v = 10 \,m \,s^{-1}$
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \,J \,s}{(0.1 \,kg)(10 \,m \,s^{-1})}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1} \,m = 6.626 \times 10^{-34} \,m$

ગતિ ઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર: $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$.
પ્રથમ,વેગ $(v)$ ની ગણતરી કરો:
$v = \sqrt{\frac{2 \times K.E.}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 3.0 \times 10^{-25} \ J}{9.1 \times 10^{-31} \ kg}} \approx 812 \ m \ s^{-1}$.
હવે,ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈના સૂત્રનો ઉપયોગ કરો: $\lambda = \frac{h}{mv}$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \ s}{(9.1 \times 10^{-31} \ kg) \times (812 \ m \ s^{-1})}$.
$\lambda \approx 8.967 \times 10^{-7} \ m = 896.7 \ nm$.

આપેલ તરંગલંબાઈ $\lambda = 3.6 \, \mathring{A} = 3.6 \times 10^{-10} \, \text{m}$.
ફોટોનનો વેગ $v$ એ પ્રકાશની ગતિ $c = 3 \times 10^8 \, \text{m s}^{-1}$ જેટલો હોય છે.
ડી-બ્રોગ્લી સંબંધ $m = \frac{h}{\lambda v}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $h = 6.626 \times 10^{-34} \, \text{J s}$ છે:
$m = \frac{6.626 \times 10^{-34} \, \text{J s}}{(3.6 \times 10^{-10} \, \text{m})(3 \times 10^8 \, \text{m s}^{-1})}$
$m = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{10.8 \times 10^{-2}} \, \text{kg}$
$m = 6.135 \times 10^{-33} \, \text{kg}$.

(A) ડી બ્રોગ્લીના સમીકરણ મુજબ,$\lambda = \frac{h}{mv}$.
આપેલ છે:
$h = 6.626 \times 10^{-34} \,J s$
$m = 9.109 \times 10^{-31} \,kg$
$v = 2.05 \times 10^{7} \,m s^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{(9.109 \times 10^{-31})(2.05 \times 10^{7})}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{18.673 \times 10^{-24}}$
$\lambda = 0.3548 \times 10^{-10} \,m = 3.548 \times 10^{-11} \,m$.

(N/A) ડી બ્રોગ્લીના સમીકરણ મુજબ,$\lambda = \frac{h}{mv}$.
આપેલ છે,ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $(K.E.) = 3.0 \times 10^{-25} \ J$.
$K.E. = \frac{1}{2} mv^{2}$ હોવાથી,વેગ $(v) = \sqrt{\frac{2 K.E.}{m}}$.
$v = \sqrt{\frac{2(3.0 \times 10^{-25} \ J)}{9.1 \times 10^{-31} \ kg}} = \sqrt{6.5934 \times 10^{5}} \approx 812 \ ms^{-1}$.
$\lambda$ ના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ Js}{(9.1 \times 10^{-31} \ kg)(812 \ ms^{-1})} \approx 8.96 \times 10^{-7} \ m$.
આમ,ઇલેક્ટ્રોનની તરંગલંબાઈ $8.96 \times 10^{-7} \ m$ છે.

ડી બ્રોગ્લીના સમીકરણ મુજબ,$\lambda = \frac{h}{mv}$.
આપેલ છે,ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $(K.E) = 3.0 \times 10^{-25} \ J$.
$K.E = \frac{1}{2} mv^2$ હોવાથી,વેગ $(v) = \sqrt{\frac{2 K.E}{m}}$.
$v = \sqrt{\frac{2(3.0 \times 10^{-25} \ J)}{9.1 \times 10^{-31} \ kg}} = \sqrt{6.5934 \times 10^5} \approx 812 \ ms^{-1}$.
$\lambda$ ના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ Js}{(9.1 \times 10^{-31} \ kg)(812 \ ms^{-1})} \approx 8.96 \times 10^{-7} \ m$.
આમ,ઇલેક્ટ્રોનની તરંગલંબાઈ $8.96 \times 10^{-7} \ m$ છે.

(N/A) બોહરના અભિધારણા મુજબ,હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન નીચે મુજબ છે:
$mvr = n \frac{h}{2\pi}$ ........$(1)$
જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$
ડી-બ્રોગ્લીના સમીકરણ મુજબ,તરંગલંબાઇ $\lambda$ નીચે મુજબ છે:
$\lambda = \frac{h}{mv}$
તેને ફરીથી ગોઠવતા:
$mv = \frac{h}{\lambda}$ ........$(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $mv$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$r \left( \frac{h}{\lambda} \right) = n \frac{h}{2\pi}$
બંને બાજુથી $h$ દૂર કરતા અને ફરીથી ગોઠવતા:
$2\pi r = n\lambda$ ........$(3)$
$2\pi r$ એ બોહર કક્ષાનો પરિઘ દર્શાવે છે,તેથી સમીકરણ $(3)$ સાબિત કરે છે કે બોહર કક્ષાનો પરિઘ એ ઇલેક્ટ્રોન સાથે સંકળાયેલ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇનો પૂર્ણાંક ગુણાંક છે.

ડી બ્રોગ્લીના સમીકરણ મુજબ, $\lambda = \frac{h}{mv}$.
આપેલ છે:
$h = 6.626 \times 10^{-34} \,Js$
$m = 9.109 \times 10^{-31} \,kg$
$v = 1.6 \times 10^{6} \,ms^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \,Js}{(9.109 \times 10^{-31} \,kg)(1.6 \times 10^{6} \,ms^{-1})}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1.4574 \times 10^{-24}} \,m$
$\lambda = 4.546 \times 10^{-10} \,m \approx 4.55 \times 10^{-10} \,m$
પીકોમીટરમાં રૂપાંતર કરતા:
$\lambda = 455 \,pm$.

દ બ્રોગ્લીના સમીકરણ મુજબ, $\lambda = \frac{h}{mv}$.
વેગ માટે સૂત્ર ગોઠવતા, $v = \frac{h}{m\lambda}$.
આપેલ છે:
$h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$
$m = 1.67493 \times 10^{-27} \, kg$ (ન્યુટ્રોનનું દળ)
$\lambda = 800 \, pm = 800 \times 10^{-12} \, m$
કિંમતો મૂકતા:
$v = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{(1.67493 \times 10^{-27}) \times (800 \times 10^{-12})}$
$v = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1.339944 \times 10^{-36}}$
$v \approx 494.5 \, m \cdot s^{-1}$.
આમ, ન્યુટ્રોન સાથે સંકળાયેલ લાક્ષણિક વેગ આશરે $494.5 \, m \cdot s^{-1}$ છે.

ડી-બ્રોગ્લીના સમીકરણ મુજબ, $\lambda = \frac{h}{mv}$.
જ્યાં:
$\lambda = \text{ઈલેક્ટ્રોન સાથે સંકળાયેલ તરંગલંબાઈ}$
$h = 6.626 \times 10^{-34} \, J s \text{ (પ્લાન્કનો અચળાંક)}$
$m = 9.109 \times 10^{-31} \, kg \text{ (ઈલેક્ટ્રોનનું દળ)}$
$v = 2.19 \times 10^{6} \, m s^{-1} \text{ (ઈલેક્ટ્રોનનો વેગ)}$
$\lambda$ ના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \, J s}{(9.109 \times 10^{-31} \, kg)(2.19 \times 10^{6} \, m s^{-1})}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1.9948 \times 10^{-24}} \, m$
$\lambda \approx 3.32 \times 10^{-10} \, m$
$1 \, pm = 10^{-12} \, m$ હોવાથી:
$\lambda = 332 \times 10^{-12} \, m = 332 \, pm$.
તેથી, ઈલેક્ટ્રોન સાથે સંકળાયેલ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $332 \, pm$ છે.

ડી બ્રોગ્લીના સમીકરણ મુજબ,$\lambda = \frac{h}{mv}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$
$m = 0.1 \, kg$
$v = 4.37 \times 10^{5} \, ms^{-1}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s}{(0.1 \, kg)(4.37 \times 10^{5} \, ms^{-1})}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4.37 \times 10^{4}} \, m$
$\lambda = 1.516 \times 10^{-38} \, m$

(N/A) દ-બ્રોગ્લીનો સિદ્ધાંત: ફ્રેન્ચ ભૌતિકશાસ્ત્રી દ-બ્રોગ્લીએ $1924$ માં સૂચવ્યું હતું કે દ્રવ્ય,વિકિરણની જેમ,દ્વૈત સ્વભાવ એટલે કે કણ અને તરંગ બંનેના ગુણધર્મો ધરાવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે જેમ ફોટોન વેગમાન અને તરંગલંબાઈ ધરાવે છે,તેમ ઈલેક્ટ્રોન પણ વેગમાન અને તરંગલંબાઈ ધરાવતા હોવા જોઈએ.
દ-બ્રોગ્લી સિદ્ધાંતની સામ્યતા: દ્રવ્યના કણની તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ અને વેગમાન $(p)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{h}{p} \quad (Eq. -2.30)$
દ-બ્રોગ્લીના દ્વૈત સ્વભાવનો પુરાવો: દ-બ્રોગ્લીની આગાહી પ્રાયોગિક રીતે ત્યારે સાબિત થઈ જ્યારે જાણવા મળ્યું કે ઈલેક્ટ્રોન કિરણાવલી વિવર્તન (diffraction) અનુભવે છે,જે તરંગોની લાક્ષણિકતા છે.
મર્યાદા: દ-બ્રોગ્લી અનુસાર,ગતિમાં રહેલી દરેક વસ્તુ તરંગ સ્વભાવ ધરાવે છે. સામાન્ય વસ્તુઓ સાથે સંકળાયેલી તરંગલંબાઈ એટલી ટૂંકી હોય છે (તેમના મોટા દળને કારણે) કે તેમના તરંગ ગુણધર્મો શોધી શકાતા નથી.
જોકે,ઈલેક્ટ્રોન અને અન્ય અપરમાણ્વીય કણો (ખૂબ ઓછા દળ ધરાવતા) સાથે સંકળાયેલી તરંગલંબાઈ પ્રાયોગિક રીતે શોધી શકાય છે.

(N/A) ડી-બ્રોગ્લીનો સિદ્ધાંત: ફ્રેન્ચ ભૌતિકશાસ્ત્રી ડી-બ્રોગ્લીએ $1924$ માં સૂચવ્યું હતું કે દ્રવ્ય,વિકિરણની જેમ,દ્વૈત વર્તણૂક એટલે કે કણ અને તરંગ બંનેના ગુણધર્મો દર્શાવે છે. આનો અર્થ એ છે કે જેમ ફોટોન પાસે વેગમાન અને તરંગલંબાઈ હોય છે,તેમ ઇલેક્ટ્રોન પાસે પણ વેગમાન અને તરંગલંબાઈ હોવી જોઈએ.
ગાણિતિક સંબંધ: પદાર્થ કણની તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ અને વેગમાન $(p)$ વચ્ચે નીચે મુજબનો સંબંધ છે:
$\lambda = \frac{h}{m v} = \frac{h}{p} \quad$ (Eq. $- 2.30$)
ડી-બ્રોગ્લીની દ્વૈત વર્તણૂકનો પુરાવો: ડી-બ્રોગ્લીની આગાહી પ્રાયોગિક રીતે ત્યારે સાબિત થઈ જ્યારે જાણવા મળ્યું કે ઇલેક્ટ્રોન બીમ વિવર્તન (diffraction) અનુભવે છે,જે તરંગોની લાક્ષણિકતા છે.
મર્યાદા: ડી-બ્રોગ્લી અનુસાર,ગતિમાં રહેલી દરેક વસ્તુ તરંગ સ્વભાવ ધરાવે છે. સામાન્ય વસ્તુઓ સાથે સંકળાયેલી તરંગલંબાઈ એટલી ટૂંકી હોય છે (તેમના મોટા દળને કારણે) કે તેમના તરંગ ગુણધર્મો શોધી શકાતા નથી.
જોકે,ઇલેક્ટ્રોન અને અન્ય અપરમાણ્વીય કણો (ખૂબ જ ઓછા દળ ધરાવતા) સાથે સંકળાયેલી તરંગલંબાઈ પ્રાયોગિક રીતે શોધી શકાય છે.

(A) ડી બ્રોગ્લીના સંબંધ મુજબ,તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,વેગ $v = \frac{h}{m \lambda}$ થાય.
આપેલ છે: $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 9.11 \times 10^{-31} \ kg$,અને $\lambda = 5200 \ \mathring{A} = 5.2 \times 10^{-7} \ m$.
કિંમતો મૂકતા:
$v = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{(9.11 \times 10^{-31}) \times (5.2 \times 10^{-7})}$
$v = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{47.372 \times 10^{-38}}$
$v = 0.1398 \times 10^4 \ m/s \approx 1400 \ m/s$.

(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક $(6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s)$,$m$ એ પ્રોટોનનું દળ $(1.67 \times 10^{-27} \ kg)$ અને $K$ એ જુલમાં ગતિઊર્જા છે.
પ્રથમ,ગતિઊર્જાને $eV$ માંથી જુલમાં ફેરવો: $K = 500 \ eV \times 1.602 \times 10^{-19} \ J/eV = 8.01 \times 10^{-17} \ J$.
હવે,કિંમતો સૂત્રમાં મૂકો: $\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 8.01 \times 10^{-17}}}$.
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2.675 \times 10^{-43}}} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1.635 \times 10^{-22}} \approx 4.05 \times 10^{-12} \ m$.

ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v = (\frac{1}{100}) \times (3.00 \times 10^8 \ m \ s^{-1}) = 3.00 \times 10^6 \ m \ s^{-1}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન $p = m \times v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $(m = 9.11 \times 10^{-31} \ kg)$ મૂકતા:
$p = (9.11 \times 10^{-31} \ kg) \times (3.00 \times 10^6 \ m \ s^{-1}) = 2.733 \times 10^{-24} \ kg \ m \ s^{-1}$.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે,જ્યાં $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$ છે.
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \ s}{2.733 \times 10^{-24} \ kg \ m \ s^{-1}} = 2.424 \times 10^{-10} \ m$.

આપેલ છે: $KE = 4.55 \times 10^{-25} \ J$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$.
$1$. વેગ $(v)$:
$KE = \frac{1}{2} mv^2$
$4.55 \times 10^{-25} = \frac{1}{2} \times 9.1 \times 10^{-31} \times v^2$
$v^2 = \frac{2 \times 4.55 \times 10^{-25}}{9.1 \times 10^{-31}} = 10^6$
$v = 10^3 \ m \ s^{-1}$.
$2$. વેગમાન $(p)$:
$p = mv = 9.1 \times 10^{-31} \ kg \times 10^3 \ m \ s^{-1} = 9.1 \times 10^{-28} \ kg \ m \ s^{-1}$.
$3$. તરંગલંબાઈ $(\lambda)$:
ડી-બ્રોગ્લી સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$\lambda = \frac{h}{p}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \ s}{9.1 \times 10^{-28} \ kg \ m \ s^{-1}} \approx 7.28 \times 10^{-7} \ m$.

(A) $1$. ગતિઊર્જા $(KE)$: $KE = e \times V = (1.602 \times 10^{-19} \ C) \times (1.0 \times 10^4 \ V) = 1.602 \times 10^{-15} \ J$.
$2$. આવૃત્તિ $(\nu)$: $KE = h\nu$ નો ઉપયોગ કરતા,$\nu = \frac{KE}{h} = \frac{1.602 \times 10^{-15} \ J}{6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s} = 2.418 \times 10^{18} \ Hz$.
$3$. તરંગલંબાઇ $(\lambda)$: ડી બ્રોગ્લી સમીકરણ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(KE)}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 1.602 \times 10^{-15}}} = 1.227 \times 10^{-11} \ m$.

(A) ડી બ્રોગ્લીના સંબંધ મુજબ,તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p}$ છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $p$ એ વેગમાન છે.
વેગમાન માટે સૂત્ર: $p = \frac{h}{\lambda}$.
આપેલ છે: $\lambda = 1 \ \mathring{A} = 10^{-10} \ m$ અને $h = 6.625 \times 10^{-34} \ J \ s$.
કિંમતો મૂકતા: $p = \frac{6.625 \times 10^{-34} \ J \ s}{10^{-10} \ m} = 6.625 \times 10^{-24} \ kg \ m/s$.

(A) ડી બ્રોગ્લી સંબંધ મુજબ,તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
આપેલ છે કે $1 \ s$ માં કાપેલું અંતર તરંગલંબાઇ જેટલું છે,તેથી $d = v \times t = v \times 1 = v$.
આમ,$\lambda = v$.
આ કિંમત ડી બ્રોગ્લી સમીકરણમાં મૂકતા: $v = \frac{h}{mv}$,જેનો અર્થ છે $v^2 = \frac{h}{m}$.
અહીં,$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$ અને $m = 9.11 \times 10^{-31} \ kg$.
$v^2 = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{9.11 \times 10^{-31}} \approx 7.27 \times 10^{-4} \ m^2 \ s^{-2}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$v = \sqrt{7.27 \times 10^{-4}} \approx 2.7 \times 10^{-2} \ m \ s^{-1}$.

(A) આપેલ છે: ગતિઊર્જા $(KE) = 4.55 \times 10^{-25} \ J$,ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $(m) = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,પ્લાન્કનો અચળાંક $(h) = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$.
ગતિઊર્જાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $KE = \frac{1}{2} mv^2$.
$4.55 \times 10^{-25} = \frac{1}{2} \times 9.1 \times 10^{-31} \times v^2$.
$v^2 = \frac{2 \times 4.55 \times 10^{-25}}{9.1 \times 10^{-31}} = 10^6$.
$v = 10^3 \ m \ s^{-1}$.
ડી-બ્રોગ્લી સમીકરણ લાગુ પાડતા: $\lambda = \frac{h}{mv}$.
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{9.1 \times 10^{-31} \times 10^3} = 7.28 \times 10^{-7} \ m$.

આપેલ છે: દળ $m = 100 \ g = 0.1 \ kg$.
વેગ $v = 100 \ km/h = \frac{100 \times 1000 \ m}{3600 \ s} = 27.78 \ m/s$.
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.
ડી બ્રોગ્લી સમીકરણ મુજબ,$\lambda = \frac{h}{mv}$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s}{0.1 \ kg \times 27.78 \ m/s} = 2.385 \times 10^{-34} \ m$.
ગણતરી કરેલ તરંગલંબાઈ અત્યંત નાની $(2.385 \times 10^{-34} \ m)$ છે,જે કોઈપણ માપી શકાય તેવી મર્યાદાની બહાર છે. તેથી,ક્રિકેટના દડા જેવી મેક્રોસ્કોપિક વસ્તુઓની તરંગ પ્રકૃતિ અવલોકનક્ષમ નથી.

(A) ડી બ્રોગ્લીના સંબંધ મુજબ,તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ એ કણનું દળ છે અને $v$ એ તેનો વેગ છે.
બંને કણો માટે તરંગલંબાઇ $\lambda$ સમાન હોવાથી,$mv$ નો ગુણાકાર અચળ હોવો જોઈએ $(mv = \frac{h}{\lambda} = \text{constant})$.
આનો અર્થ એ છે કે $v \propto \frac{1}{m}$.
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $(m_e \approx 9.11 \times 10^{-31} \ kg)$ પ્રોટોનના દળ $(m_p \approx 1.67 \times 10^{-27} \ kg)$ કરતા ઘણું ઓછું હોવાથી,સમાન તરંગલંબાઇ જાળવી રાખવા માટે ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ વધારે હોવો જોઈએ.

(A) દ્દ-બ્રોગ્લીનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે તમામ દ્રવ્ય,ખાસ કરીને ઇલેક્ટ્રોન જેવા સૂક્ષ્મ કણો,દ્વૈત વર્તણૂક એટલે કે કણ અને તરંગ બંને પ્રકારના ગુણધર્મો ધરાવે છે.
આ સંબંધ નીચેના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda = \frac{h}{mv}$,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ એ કણનું દળ છે અને $v$ એ તેનો વેગ છે.

(B) વિવર્તનની ઘટના એ તરંગોનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે. ઇલેક્ટ્રોન પુંજ વિવર્તન અનુભવે છે,તે સૂચવે છે કે ઇલેક્ટ્રોન તરંગ જેવો સ્વભાવ ધરાવે છે,જે $De \ Broglie$ ના ઉત્કલ્પના મુજબ છે.

(N/A) ઇલેક્ટ્રોન માઇક્રોસ્કોપ દ્વારા $150$ લાખ ગણું આવર્ધન મેળવી શકાય છે.
સિદ્ધાંત: તે ઇલેક્ટ્રોનના તરંગ સ્વભાવ પર આધારિત છે,જે ડી-બ્રોગ્લીના સિદ્ધાંત મુજબ ગતિશીલ ઇલેક્ટ્રોન ખૂબ જ ટૂંકી તરંગલંબાઇ ધરાવતા તરંગ તરીકે વર્તે છે.

(B) સામાન્ય પદાર્થોની તરંગ પ્રકૃતિ પારખી શકાતી નથી.
ડી-બ્રોગ્લીના સમીકરણ $\lambda = \frac{h}{mv}$ મુજબ,
સામાન્ય પદાર્થોનું દળ $(m)$ ખૂબ વધારે હોવાથી,તેમની સાથે સંકળાયેલી તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ અત્યંત ટૂંકી હોય છે.
આ તરંગલંબાઈ એટલી નાની હોય છે કે તેને કોઈ પણ પ્રાયોગિક સાધન દ્વારા માપી કે પારખી શકાતી નથી.

(A) દ-બ્રોગ્લી સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\lambda = \frac{h}{mv}$.
આપેલ છે: $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 0.1 \ kg$,$v = 10 \ m/s$.
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{0.1 \times 10} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1} = 6.626 \times 10^{-34} \ m$.
આ મૂલ્ય અત્યંત નાનું છે,જે સૂચવે છે કે મેક્રોસ્કોપિક પદાર્થોની તરંગ પ્રકૃતિ નગણ્ય છે અને તેને શોધી શકાતી નથી.

(N/A) ઇલેક્ટ્રોનની તરંગલંબાઈ $de \, Broglie$ ના સંબંધ $\lambda = \frac{h}{mv}$ નો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે.
આ તરંગલંબાઈ દ્રવ્યની તરંગલંબાઈની સાપેક્ષમાં લાંબી છે અને તે સૂચવે છે કે ઇલેક્ટ્રોન તરંગ-કણ દ્વૈતતા ધરાવે છે,જે ખાસ કરીને તેની તરંગ પ્રકૃતિ દર્શાવે છે.

(B) આપાત ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3.0 \times 10^{8}}{248 \times 10^{-9}} \, J$
$eV$ માં રૂપાંતરિત કરતા: $E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3.0 \times 10^{8}}{248 \times 10^{-9} \times 1.6 \times 10^{-19}} \approx 5.0 \, eV$
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $E = \phi + K.E.$
$5.0 \, eV = 3.0 \, eV + K.E. \implies K.E. = 2.0 \, eV$
$K.E. = 2.0 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J = 3.2 \times 10^{-19} \, J$
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK.E.}}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 3.2 \times 10^{-19}}}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{58.24 \times 10^{-50}}} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{7.63 \times 10^{-25}} \approx 0.868 \times 10^{-9} \, m$
$\lambda \approx 8.68 \times 10^{-10} \, m = 8.68 \, \mathring{A}$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $9 \, \mathring{A}$ મળે છે.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ છે.
સમાન પોટેન્શિયલ $V$ દ્વારા પ્રવેગિત પ્રોટોન $(P)$ અને $Li^{3+}$ ન્યુક્લિયસ માટે:
$\frac{\lambda_{Li}}{\lambda_{P}} = \sqrt{\frac{m_{P} \times q_{P}}{m_{Li} \times q_{Li}}} = \sqrt{\frac{m_{P} \times e}{8.3 m_{P} \times 3e}} = \sqrt{\frac{1}{8.3 \times 3}} = \sqrt{\frac{1}{24.9}} \approx 0.2004$.
આપેલ છે કે $\frac{\lambda_{Li}}{\lambda_{P}} = x \times 10^{-1}$,તેથી $0.2004 = x \times 10^{-1}$,એટલે કે $x \approx 2.004$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$x = 2$.

(D) ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(KE)}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન સ્થિર સ્થિતિમાંથી પ્રવેગિત થતો હોવાથી,$KE = qV$.
તેથી,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$.
આપેલ મૂલ્યો મૂકતા:
ટૂંકી રીત: $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \, \mathring{A} = \frac{12.27}{\sqrt{40000}} \, \mathring{A} = 0.06135 \, \mathring{A}$.
મીટરમાં રૂપાંતર: $0.06135 \times 10^{-10} \, m = 6.135 \times 10^{-12} \, m$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં,$X = 6$.

(B) આપેલ છે કે ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ સમાન છે: $\lambda_{e} = \lambda_{N}$.
ડી બ્રોગ્લી સંબંધ $\lambda = \frac{h}{mv}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{h}{m_{e} v_{e}} = \frac{h}{m_{N} v_{N}}$.
આ સમીકરણ $m_{e} v_{e} = m_{N} v_{N}$ અથવા $v_{e} = \frac{m_{N}}{m_{e}} v_{N}$ માં પરિણમે છે.
આપેલ છે કે $v_{e} = x \ v_{N}$,તેથી $x = \frac{m_{N}}{m_{e}}$.
કિંમતો મૂકતા: $x = \frac{1.6 \times 10^{-27} \ kg}{9.1 \times 10^{-31} \ kg}$.
$x = \frac{1.6}{9.1} \times 10^{4} = 0.175824 \times 10^{4} = 1758.24$.
$x$ નું નજીકનું પૂર્ણાંક મૂલ્ય $1758$ છે.

(C) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{660 \times 10^{-9}} = 3.01 \times 10^{-19} \, J$.
કાર્ય વિધેય $\Phi = 1.0 \, eV = 1.6 \times 10^{-19} \, J$.
ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા $KE = E - \Phi = 3.01 \times 10^{-19} - 1.6 \times 10^{-19} = 1.41 \times 10^{-19} \, J$.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m KE}}$ છે.
$m = 9.1 \times 10^{-31} \, kg$ અને $h = 6.63 \times 10^{-34} \, J \cdot s$ મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 1.41 \times 10^{-19}}} \approx 1.32 \times 10^{-9} \, m$.

(A) દ બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
પ્રથમ,એક $C_{60}$ અણુનું દળ $kg$ માં ગણો:
$C_{60}$ નું દળ $= 60 \times 12 \ \text{amu} = 720 \ \text{amu}$.
$1 \ \text{amu} = 1.66 \times 10^{-27} \ kg$ હોવાથી,દળ $m = 720 \times 1.66 \times 10^{-27} \ kg \approx 1.195 \times 10^{-24} \ kg$.
આપેલ છે $\lambda = 11.0 \ \mathring{A} = 11.0 \times 10^{-10} \ m$ અને $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$.
$v$ માટે સૂત્ર: $v = \frac{h}{m \lambda} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1.195 \times 10^{-24} \times 11.0 \times 10^{-10}}$.
$v \approx \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1.3145 \times 10^{-33}} \approx 0.504 \ m \ s^{-1}$.
આ મૂલ્ય $0.5 \ m \ s^{-1}$ ની નજીક છે,જે વિકલ્પ $(A)$ દર્શાવે છે.

(A) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ શોધવાનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
આપેલ છે: દળ $m = 20 \, g = 20 \times 10^{-3} \, kg = 0.02 \, kg$.
વેગ $v = 100 \, ms^{-1}$.
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.626 \times 10^{-34} \, Js$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \, Js}{0.02 \, kg \times 100 \, ms^{-1}}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{2} \, m$
$\lambda = 3.313 \times 10^{-34} \, m$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mKE}}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times (9 \times 10^{-31} \ kg) \times (4.50 \times 10^{-29} \ J)}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{81 \times 10^{-60}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{9 \times 10^{-30}}$
$\lambda = 0.733 \times 10^{-4} \ m = 7.33 \times 10^{-5} \ m$.
નજીકનો પૂર્ણાંક $7$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = a_0 n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
$3^{rd}$ કક્ષા $(n = 3)$ માટે, ત્રિજ્યા $r_3 = a_0 \times 3^2 = 9 a_0$ છે।
બોહરના અભિધારણા મુજબ, કક્ષાનો પરિઘ એ ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનો પૂર્ણાંક ગુણાંક છે: $2 \pi r_n = n \lambda$.
$3^{rd}$ કક્ષા માટે કિંમતો મૂકતા: $2 \pi (9 a_0) = 3 \lambda$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા: $\lambda = \frac{18 \pi a_0}{3} = 6 \pi a_0$.

(A) ડી-બ્રોગ્લીના સંબંધ મુજબ,તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ એ વેગમાન $(p)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે:
$\lambda = \frac{h}{p}$
જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
આ સમીકરણને $\lambda p = h$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
$h$ અચળ હોવાથી,$\lambda$ અને $p$ નો ગુણાકાર અચળ રહે છે.
આ લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) નું સમીકરણ દર્શાવે છે.
તેથી,$\lambda$ વિરુદ્ધ $p$ નો આલેખ લંબચોરસ અતિવલય છે.

(D) બોહરના ક્વોન્ટાઈઝેશનના નિયમ મુજબ:
$2 \pi r_n = n \lambda$
$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા,$r_n = a_0 \frac{n^2}{Z}$
હાઈડ્રોજન પરમાણુ માટે,$Z = 1$ અને આપેલ $n = 4$.
$2 \pi \left(a_0 \frac{4^2}{1}\right) = 4 \lambda$
$2 \pi a_0 (16) = 4 \lambda$
$32 \pi a_0 = 4 \lambda$
$\lambda = 8 \pi a_0$
તેથી,મૂલ્ય $8$ છે.

(C) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આવૃત્તિ $\nu = \frac{v}{\lambda}$ છે.
$\lambda = \frac{h}{mv}$ મૂકતા,$\nu = \frac{v \cdot mv}{h} = \frac{mv^2}{h}$ મળે છે.
બોહરના મોડેલ મુજબ,ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2}mv^2 = 2.18 \times 10^{-18} \ J$.
તેથી,$mv^2 = 2 \times 2.18 \times 10^{-18} = 4.36 \times 10^{-18} \ J$.
હવે,આવૃત્તિની ગણતરી કરતા: $\nu = \frac{4.36 \times 10^{-18}}{6.6 \times 10^{-34}} \ Hz$.
$\nu = 0.6606 \times 10^{16} \ Hz = 660.6 \times 10^{13} \ Hz$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$661 \times 10^{13} \ Hz$ મળે છે.

(C) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(KE)}}$ છે.
$KE = \frac{3}{2}kT$ હોવાથી,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{mT}}$ થાય.
$He$ માટે $-73^{\circ} C$ $(200 \ K)$: $m_{He} = 4$,$T_{He} = 200 \ K$.
$Ne$ માટે $727^{\circ} C$ $(1000 \ K)$: $m_{Ne} = 20$,$T_{Ne} = 1000 \ K$.
$\frac{\lambda_{He}}{\lambda_{Ne}} = \sqrt{\frac{m_{Ne} T_{Ne}}{m_{He} T_{He}}} = \sqrt{\frac{20 \times 1000}{4 \times 200}} = \sqrt{\frac{20000}{800}} = \sqrt{25} = 5$.
આમ,$M = 5$.

(C) બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,કક્ષાનો પરિઘ એ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇનો પૂર્ણાંક ગુણાંક છે:
$2 \pi r_n = n \lambda$
$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = n^2 a_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમીકરણમાં $r_n$ ની કિંમત મૂકતા:
$2 \pi (n^2 a_0) = n \lambda$
$\lambda$ માટે ઉકેલતા:
$\lambda = \frac{2 \pi n^2 a_0}{n} = 2 \pi n a_0$

(B) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK.E.}}$
આપેલ છે:
$h = 6.6 \times 10^{-34} \ Js$
$m = 9 \times 10^{-31} \ kg$
$K.E. = 1.25 \times 10^{-28} \ J$
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9 \times 10^{-31} \times 1.25 \times 10^{-28}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{22.5 \times 10^{-59}}} = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{225 \times 10^{-60}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{15 \times 10^{-30}} = 0.44 \times 10^{-4} \ m = 4.4 \times 10^{-5} \ m$

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ શોધવાનું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{mv}$
જ્યાં:
$h$ (પ્લાન્કનો અચળાંક) = $6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
$m$ (દળ) = $10^{-6} \ kg$
$v$ (વેગ) = $10 \ ms^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{10^{-6} \times 10} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{10^{-5}} = 6.63 \times 10^{-29} \ m$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ છે.
પ્રોટોન માટે,$\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2 m_p q_p V}}$.
$\alpha$-કણ માટે,દળ $m_{\alpha} = 4 m_p$ અને વીજભાર $q_{\alpha} = 2 q_p$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$\lambda_{\alpha} = \frac{h}{\sqrt{2 (4 m_p) (2 q_p) V}} = \frac{h}{\sqrt{16 m_p q_p V}} = \frac{1}{4} \frac{h}{\sqrt{m_p q_p V}}$.
$\lambda_p$ સાથે સરખામણી કરતા,આપણને $\lambda_{\alpha} = \frac{\lambda}{2 \sqrt{2}}$ મળે છે.

(B) વિભાજન ઉર્જા $E_{\text{sep}} = \frac{13.6 \ Z^2}{n^2} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$Z = 1$. આપેલ $E_{\text{sep}} = 3.4 \ eV$ પરથી,$3.4 = \frac{13.6}{n^2}$,જે $n^2 = 4$ આપે છે,તેથી $n = 2$.
બોહરના અધિતર્ક મુજબ,કક્ષાનો પરિઘ એ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇનો પૂર્ણાંક ગુણાંક છે: $2 \pi r_n = n \lambda$.
$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = r_1 \times n^2$ છે,જ્યાં $r_1 = 0.53 \ \mathring{A}$.
કિંમતો મૂકતા: $2 \pi \times (0.53 \times n^2) = n \lambda$.
$\lambda$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $\lambda = 2 \pi \times 0.53 \times n$.
$n = 2$ હોવાથી,$\lambda = 2 \times 3.14159 \times 0.53 \times 2 \approx 6.66 \ \mathring{A}$.

(B) $n^{th}$ બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = a_0 n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $a_0$ એ પ્રથમ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે。
બીજી કક્ષા $(n = 2)$ માટે, ત્રિજ્યા $r_2 = a_0 \times (2)^2 = 4 a_0$ થાય。
બોહરની ક્વોન્ટાઈઝેશન શરત મુજબ, કક્ષાનો પરિઘ એ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનો પૂર્ણાંક ગુણાંક છે: $n \lambda = 2 \pi r_n$.
$n = 2$ માટે, $2 \lambda = 2 \pi r_2$ મળે。
$r_2 = 4 a_0$ મૂકતા, $2 \lambda = 2 \pi (4 a_0)$ મળે。
તેથી, $\lambda = 4 \pi a_0$.

(A) દ-બ્રોગ્લી સંબંધ મુજબ,વેગમાન $P$ એ $P = \frac{h}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,$\lambda = 1 \ \mathring{A} = 10^{-8} \ cm$ અને $h = 6.6252 \times 10^{-27} \ erg \ s$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $P = \frac{6.6252 \times 10^{-27} \ erg \ s}{10^{-8} \ cm}$.
$P = 6.6252 \times 10^{-19} \ g \ cm / s$ (કારણ કે $1 \ erg = 1 \ g \ cm^2 / s^2$,તેથી $1 \ erg \ s / cm = 1 \ g \ cm / s$).