De Broglie's principle Questions in Gujarati

(A) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ શોધવાનું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{mv}$
આપેલ છે:
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
$m = 66 \ g = 66 \times 10^{-3} \ kg = 6.6 \times 10^{-2} \ kg$
$v = 10 \ m/s$
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{6.6 \times 10^{-2} \times 10} \ m$
$\lambda \approx \frac{6.626 \times 10^{-34}}{6.6 \times 10^{-1}} \ m$
$\lambda \approx 1.004 \times 10^{-33} \ m$
આમ,જવાબ આશરે $10^{-33} \ m$ છે.

(A) ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇના સૂત્ર મુજબ,$\lambda = \frac{h}{mv}$.
અહીં વેગ $v$ બધા કણો માટે સમાન હોવાથી,$\lambda \propto \frac{1}{m}$.
કણોના દળનો ક્રમ $m_{\text{electron}} < m_{\text{hydrogen}} < m_{\text{helium}} < m_{\text{neon}}$ છે.
તેથી,તેમની તરંગલંબાઇનો ક્રમ $\lambda_{\text{electron}} > \lambda_{\text{hydrogen}} > \lambda_{\text{helium}} > \lambda_{\text{neon}}$ થશે.

(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
આપેલ છે:
દળ $m = 60 \, g = 60 \times 10^{-3} \, kg = 0.06 \, kg$.
વેગ $v = 10 \, m/s$.
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.63 \times 10^{-34} \, J \cdot s$.
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{0.06 \times 10} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{0.6} \approx 1.1 \times 10^{-33} \, m$.
આમ,તેનું મૂલ્ય આશરે $10^{-33} \, m$ છે.

(C) ડી-બ્રોગ્લી સમીકરણ મુજબ,તરંગલંબાઈ $\lambda$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\lambda = \frac{h}{mv}$
આપેલ છે:
$h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$
$m = 0.66 \ kg$
$v = 100 \ m/s$
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{0.66 \times 100} = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{66} = 0.1 \times 10^{-34} = 1.0 \times 10^{-35} \ m$

(A) ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ નું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{mv}$
આપેલ છે:
$h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \ s$
$m = 1.67 \times 10^{-27} \ kg$
$v = 1.0 \times 10^3 \ m \ s^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{1.67 \times 10^{-27} \times 1.0 \times 10^3} \ m$
$\lambda = \frac{6.63}{1.67} \times 10^{-34 + 27 - 3} \ m$
$\lambda \approx 3.97 \times 10^{-10} \ m$
$1 \ nm = 10^{-9} \ m$ હોવાથી:
$\lambda \approx 0.397 \times 10^{-9} \ m \approx 0.40 \ nm$

(B) $V$ સ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા પ્રાપ્ત ગતિ ઊર્જા $K.E. = eV = \frac{1}{2}mu^2$ છે, જ્યાં $u$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ છે.
વેગ માટે ગોઠવતા: $u = \sqrt{\frac{2eV}{m}}$.
ડી બ્રોગ્લી સંબંધ મુજબ, તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{mu}$ છે, જેનો અર્થ છે કે $\frac{h}{\lambda} = mu$.
$\frac{h}{\lambda}$ ના સમીકરણમાં $u$ નું પદ મૂકતા:
$\frac{h}{\lambda} = m \times \sqrt{\frac{2eV}{m}} = \sqrt{m^2 \times \frac{2eV}{m}} = \sqrt{2meV}$.

(A) આપેલ કક્ષક માટે,ચુંબકીય ક્વોન્ટમ આંક $m$ એ $-l$ થી $+l$ સુધી હોય છે. $m = +2$ આપેલ હોવાથી,એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ આંક $l$ ઓછામાં ઓછો $2$ હોવો જોઈએ.
કોષની સૌથી બહારની કક્ષા માટે $l = n - 1$ હોવાથી,ન્યૂનતમ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = l + 1 = 2 + 1 = 3$ થાય.
બોહર-ડી-બ્રોગ્લી સંબંધ મુજબ,કક્ષાનો પરિઘ એ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇનો પૂર્ણાંક ગુણાંક છે: $2\pi r = n\lambda$.
$n$ મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r = 0.529 \times n^2 \,\mathring{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંબંધમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા: $\lambda = \frac{2\pi r}{n} = \frac{2\pi \times 0.529 \times n^2}{n} = 2\pi \times 0.529 \times n$.
$n = 3$ માટે,$\lambda = 2 \times 3.1416 \times 0.529 \times 3 \approx 9.97 \,\mathring{A}$.

(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ છે.
તેને ગોઠવતા,$\lambda = \left(\frac{h}{\sqrt{2mq}}\right) V^{-1/2}$ મળે છે.
$\lambda$ વિરુદ્ધ $V^{-1/2}$ ના આલેખનો ઢાળ $\tan \theta = \frac{h}{\sqrt{2mq}}$ છે.
આપેલ છે કે $\tan \theta = 0.5$,$h = 6.0 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,અને $q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$.
$0.5 = \frac{6.0 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times m \times 1.6 \times 10^{-19}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $0.25 = \frac{36 \times 10^{-68}}{2 \times m \times 1.6 \times 10^{-19}}$.
$m = \frac{36 \times 10^{-68}}{0.25 \times 3.2 \times 10^{-19}} = \frac{36 \times 10^{-68}}{0.8 \times 10^{-19}} = 45 \times 10^{-49} \ kg$.

(A) બોહરના અભિધારણા મુજબ,કોણીય વેગમાન $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે --- $(1)$
ડી-બ્રોગ્લીના સંબંધ મુજબ,વેગમાન $p = mv = \frac{h}{\lambda}$ છે --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $mv$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$\frac{h}{\lambda} \times r_n = \frac{nh}{2\pi}$
$\lambda = \frac{2\pi r_n}{n}$
બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 3$ છે.
$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = n^2 a_0$ છે. $n = 3$ માટે,$r_3 = 3^2 a_0 = 9 a_0$.
આ કિંમતોને $\lambda$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\lambda = \frac{2\pi \times 9 a_0}{3} = 6\pi a_0$.

(B) ડી બ્રોગ્લીના સિદ્ધાંત મુજબ,કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુ માટે,વેગ $v$ એ $\frac{Z}{n}$ ના પ્રમાણમાં હોય છે,જ્યાં $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે.
આમ,$\lambda \propto \frac{n}{Z}$.
આપેલ પરમાણુ માટે ($Z$ અચળ છે),$\lambda \propto n$.
$L, M, N$ ઉર્જા સ્તરો અનુક્રમે $n = 2, 3, 4$ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક ધરાવે છે.
તેથી,$n_L < n_M < n_N$ હોવાથી,તરંગલંબાઇનો ક્રમ $\lambda _L < \lambda _M < \lambda _N$ થાય.
પ્રશ્નમાં ઉતરતો ક્રમ પૂછ્યો હોવાથી,તે $\lambda _N > \lambda _M > \lambda _L$ થશે.

(C) ડી બ્રોગ્લી સંબંધ મુજબ,ગતિશીલ કણની તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\lambda = \frac{h}{mv}$
અહીં,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે,અને $v$ એ તેનો વેગ છે.
જેમ કે $\lambda \propto \frac{1}{v}$,તરંગલંબાઈ એ ઇલેક્ટ્રોનના વેગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
તેથી,જેમ ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $(v)$ વધે છે,તેમ તેની તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ ઘટે છે.

(A) ડી બ્રોગ્લી સમીકરણ મુજબ,તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા એક સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર તેના વેગ $v$ જેટલું છે (કારણ કે $d = v \times t$ અને $t = 1 \ s$).
આપેલ છે કે તરંગલંબાઈ એ એક સેકન્ડમાં કાપેલા અંતર જેટલી છે,તેથી $\lambda = v$.
આ કિંમત ડી બ્રોગ્લી સમીકરણમાં મૂકતા: $v = \frac{h}{mv}$.
સમીકરણને ગોઠવતા: $v^2 = \frac{h}{m}$.
તેથી,વેગ $v = \sqrt{\frac{h}{m}}$ થાય.

(A) ડી બ્રોગ્લી સંબંધ મુજબ,તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ $\lambda = h / p = h / (mv)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ દળ છે અને $v$ વેગ છે.
કારણ કે ઝડપ $v$ બધા કણો માટે સમાન છે,તેથી તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ કણના દળ $m$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(\lambda \propto 1/m)$.
દળની સરખામણી કરતા: $m_{\text{electron}} < m_{\text{proton}} \approx m_{\text{neutron}} < m_{\alpha \text{-particle}}$.
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ સૌથી ઓછું હોવાથી,તેની તરંગલંબાઈ સૌથી લાંબી હશે.

(C) આપેલ છે કે,
બોલનું દળ $m = 60 \ g = 60 \times 10^{-3} \ kg$
વેગ $v = 10 \ m/s$
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \ s$
આપણે જાણીએ છીએ કે,દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{60 \times 10^{-3} \times 10}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{0.6}$
$\lambda \approx 1.1 \times 10^{-33} \ m$
તેથી,તરંગલંબાઈ આશરે $10^{-33} \ m$ છે.

(A) ડી બ્રોગ્લીના ઉત્કલ્પના મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન સ્થાયી કક્ષામાં રહેવા માટે,કક્ષાનો પરિઘ તેની તરંગલંબાઈનો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ.
ગાણિતિક રીતે,આને $2\pi r = n\lambda$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ પૂર્ણાંક છે $(n = 1, 2, 3, ...)$,$r$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે અને $\lambda$ એ ઇલેક્ટ્રોન તરંગની તરંગલંબાઈ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,પ્રમાણિત સ્વરૂપ $n\lambda = 2\pi r$ છે.

(D) ડી બ્રોગ્લીના સિદ્ધાંત મુજબ,$n^{th}$ કક્ષાનો પરિઘ એ ઈલેક્ટ્રોનની તરંગલંબાઈના $n$ ગણા જેટલો હોય છે: $2 \pi r_n = n \lambda$.
ત્રીજી કક્ષા માટે,$n = 3$ છે.
તેથી,પરિઘ $2 \pi r_3 = 3 \lambda$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે ઈલેક્ટ્રોન ત્રીજી કક્ષામાં એક પરિભ્રમણમાં $3$ સંપૂર્ણ તરંગો બનાવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને પ્રવેગક પોટેન્શિયલ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_p e V}}$.
$V$ માટે સૂત્ર: $V = \frac{h^2}{2m_p e \lambda^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{(6.626 \times 10^{-34})^2}{2 \times 1.672 \times 10^{-27} \times 1.602 \times 10^{-19} \times (5 \times 10^{-12})^2} \approx 3.28 \times 10^4 \ V$. આપેલ વિકલ્પોમાંથી નજીકનો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ડી બ્રોગ્લી સમીકરણ મુજબ,$\lambda = \frac{h}{mv}$.
આપેલ છે: ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m = 9.11 \times 10^{-31} \ kg$,વેગ $v = c = 3 \times 10^8 \ m/s$,પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{9.11 \times 10^{-31} \times 3 \times 10^8}$.
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{27.33 \times 10^{-23}} \approx 0.2424 \times 10^{-11} \ m = 2.424 \times 10^{-12} \ m$.
નજીકના વિકલ્પને ધ્યાનમાં લેતા,સાચો જવાબ આશરે $2.43 \times 10^{-12} \ m$ છે.

(A) આપેલ છે: $K.E. = 4.55 \times 10^{-25} \,J$,ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m = 9.1 \times 10^{-31} \,kg$,પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.626 \times 10^{-34} \,J \cdot s$.
સંબંધ $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ નો ઉપયોગ કરીને,વેગ $v = \sqrt{\frac{2 \times K.E.}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 4.55 \times 10^{-25}}{9.1 \times 10^{-31}}} = 1000 \,m/s$ મળે છે.
ડી બ્રોગ્લીના સમીકરણ $\lambda = \frac{h}{mv}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{9.1 \times 10^{-31} \times 1000} = 7.28 \times 10^{-7} \,m$ મળે છે.

(D) તરંગલંબાઈની ગણતરી ડી-બ્રોગ્લી સમીકરણ: $\lambda = \frac{h}{m \times u}$ નો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.
પ્રથમ,એક $CO_2$ અણુનું દળ શોધો: $m = \frac{44 \ g/mol}{6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}} = 7.306 \times 10^{-23} \ g = 7.306 \times 10^{-26} \ kg$.
હવે,કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s}{(7.306 \times 10^{-26} \ kg) \times (440 \ m/s)} = 2.06 \times 10^{-11} \ m$.
આમ,$CO_2$ અણુની તરંગલંબાઈ $2.06 \times 10^{-11} \ m$ છે.

(A) બોહરના અભિધારણા મુજબ,કક્ષામાં ઈલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $2\pi r = \frac{nh}{mv}$ મળે છે.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ હોવાથી,આપણે સમીકરણમાં આ કિંમત મૂકી શકીએ: $2\pi r = n\lambda$,અથવા $\lambda = \frac{2\pi r}{n}$.
$2^{nd}$ બોહર કક્ષા માટે,$n = 2$.
$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = n^2 r_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r_1$ એ પ્રથમ બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યા છે.
$n = 2$ માટે,$r_2 = 2^2 r_1 = 4r_1$.
તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{2\pi (4r_1)}{2} = 4\pi r_1$.

(D) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{1240 \ eV \cdot nm}{\lambda (nm)} = \frac{1240}{124} = 10 \ eV$.
વર્ક ફંક્શન $\Phi = 4 \ eV$.
મહત્તમ ગતિજ ઉર્જા $K.E._{max} = E - \Phi = 10 \ eV - 4 \ eV = 6 \ eV$.
ઇલેક્ટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \sqrt{\frac{150}{K.E. (eV)}} \ \mathring{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\lambda = \sqrt{\frac{150}{6}} \ \mathring{A} = \sqrt{25} \ \mathring{A} = 5 \ \mathring{A}$.
$1 \ nm = 10 \ \mathring{A}$ હોવાથી,$\lambda = 0.5 \ nm$ થાય.

(D) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક,$m$ દળ અને $E$ ગતિઊર્જા છે.
$\lambda$ સમાન હોવાથી,$E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ મળે.
આથી $E \propto \frac{1}{m}$.
કણોના દળ: $m_p = m$,$m_d = 2m$,અને $m_{\alpha} = 4m$.
તેથી,ગતિઊર્જા $E_p = \frac{k}{m}$,$E_d = \frac{k}{2m}$,અને $E_{\alpha} = \frac{k}{4m}$ થાય (જ્યાં $k = \frac{h^2}{2\lambda^2}$).
આમ,$E_{\alpha} < E_d < E_p$ સાચો ક્રમ છે.

(A) ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણમાં ઉત્પન્ન થતા તરંગોની સંખ્યા એ કક્ષાના પરિઘ અને ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈના ગુણોત્તર જેટલી હોય છે.
તરંગોની સંખ્યા $= \frac{\text{પરિઘ}}{\lambda} = \frac{2 \pi r}{\lambda}$
ડી-બ્રોગ્લીના સિદ્ધાંત મુજબ,$\lambda = \frac{h}{mv}$.
આ કિંમત મૂકતા: તરંગોની સંખ્યા $= \frac{2 \pi r}{(h / mv)} = \frac{2 \pi mvr}{h}$.
બોહરના અભિધારણા મુજબ,કોણીય વેગમાન $mvr = \frac{nh}{2 \pi}$.
તેથી,$mvr$ ની કિંમત મૂકતા: તરંગોની સંખ્યા $= \frac{2 \pi}{h} \times \frac{nh}{2 \pi} = n$.
આમ,તરંગોની સંખ્યા મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ જેટલી હોય છે.

(B) $H$ પરમાણુની પ્રથમ બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યા $r = 0.529 \ \mathring{A}$ છે.
બોહરના અભિધારણા મુજબ,કોણીય વેગમાન $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ તરીકે ક્વોન્ટાઈઝ્ડ છે.
પ્રથમ કક્ષા માટે,$n = 1$,તેથી $mvr = \frac{h}{2\pi}$.
આને ફરીથી ગોઠવતા $2\pi r = \frac{h}{mv}$ મળે છે.
દ-બ્રોગ્લી સંબંધ મુજબ,$\lambda = \frac{h}{mv}$.
તેથી,$\lambda = 2\pi r$.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\lambda = 2\pi \times 0.529 \ \mathring{A}$ મળે છે.

(D) કણની ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{3}{2} KT = \frac{1}{2} mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$v = \sqrt{\frac{3KT}{m}}$.
ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{h}{m \sqrt{\frac{3KT}{m}}} = \frac{h}{\sqrt{3KTm}}$ છે.
આ સૂચવે છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
ફોટોનનું દળ નહિવત હોવાથી તેની તરંગલંબાઇ સૌથી વધુ હોય છે.
કણોની સરખામણી કરતા,$m_{\text{electron}} < m_{\text{neutron}} < m_{\text{proton}}$.
તેથી,$\lambda_{\text{electron}} > \lambda_{\text{neutron}} > \lambda_{\text{proton}}$.
ફોટોનને ધ્યાનમાં લેતા,સાચો ક્રમ $\lambda_{\text{photon}} > \lambda_{\text{electron}} > \lambda_{\text{neutron}}$ છે.

(A) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
આપેલ છે:
દળ $m = 6.63 \ g = 6.63 \times 10^{-3} \ kg$
વેગ $v = 100 \ ms^{-1}$
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s}{(6.63 \times 10^{-3} \ kg) \times (100 \ ms^{-1})}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{6.63 \times 10^{-1}} \ m$
$\lambda = 10^{-33} \ m$

(B) દ બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
આપેલ દળ $m = 1000 \ kg = 10^3 \ kg$.
વેગ $v = 36 \ km/hr = \frac{36 \times 1000 \ m}{3600 \ s} = 10 \ m/s$.
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$.
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{10^3 \times 10} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{10^4} = 6.626 \times 10^{-38} \ m$.

(C) $n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = a_0 n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રીજી કક્ષા $(n = 3)$ માટે, ત્રિજ્યા $r = a_0 \times (3)^2 = 9 a_0$ છે.
બોહરના અભિધારણા મુજબ, કોણીય વેગમાન $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ છે.
કિંમતો મૂકતા, $mv = \frac{nh}{2\pi r} = \frac{3h}{2\pi \times 9 a_0} = \frac{h}{6\pi a_0}$ મળે છે.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$mv$ ની કિંમત મૂકતા, $\lambda = \frac{h}{h / (6\pi a_0)} = 6\pi a_0$ મળે છે.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2m(KE)}}$.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{KE}}$.
ધારો કે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $KE_1$ છે અને અંતિમ ગતિઊર્જા $KE_2 = 4 \times KE_1$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક તરંગલંબાઈ $\lambda_1$ છે અને અંતિમ તરંગલંબાઈ $\lambda_2$ છે.
તેથી,$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{KE_1}{KE_2}} = \sqrt{\frac{KE_1}{4 \times KE_1}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
આમ,નવી તરંગલંબાઈ મૂળ તરંગલંબાઈ કરતા અડધી થશે.

(D) ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ફોટોઈલેક્ટ્રોનનો વેગ છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$hv = hv_0 + KE$
$hv - hv_0 = \frac{1}{2}mv^2$
$2h(v - v_0) = mv^2$
આના પરથી,વેગ $v$ એ $(v - v_0)^{\frac{1}{2}}$ ના પ્રમાણમાં છે:
$v = \sqrt{\frac{2h(v - v_0)}{m}} \propto (v - v_0)^{\frac{1}{2}}$
આને ડી બ્રોગ્લી સમીકરણમાં મૂકતા:
$\lambda = \frac{h}{mv} \propto \frac{1}{(v - v_0)^{\frac{1}{2}}}$
આમ,$\lambda \propto \frac{1}{(v - v_0)^{\frac{1}{2}}}$.

(D) બોહર મોડેલ મુજબ,$n^{th}$ કક્ષાનો પરિઘ $2 \pi r_n = n \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ છે.
$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = a_0 \frac{n^2}{Z}$ મૂકતા:
$2 \pi \left( a_0 \frac{n^2}{Z} \right) = n \lambda$
$\lambda = \frac{2 \pi a_0 n^2}{n Z} = 2 \pi a_0 \frac{n}{Z}$
આપેલ છે કે $\lambda = 1.5 \pi a_0$,તેથી બંને પદોને સરખાવતા:
$2 \pi a_0 \frac{n}{Z} = 1.5 \pi a_0$
$\frac{n}{Z} = \frac{1.5 \pi a_0}{2 \pi a_0} = \frac{1.5}{2} = 0.75$

(B) બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $2\pi r = \frac{nh}{mv}$ મળે છે.
દ-બ્રોગ્લીના સંબંધ મુજબ,તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $2\pi r = n\lambda$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = \frac{2\pi r}{n}$.
બીજી કક્ષા માટે,$n = 2$.
તેથી,$\lambda = \frac{2\pi r}{2} = \pi r$.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે, $n$ મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = n^2 a_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે, મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 4$ છે (કારણ કે ધરા અવસ્થા $n=1$ છે, પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n=2$, બીજી $n=3$ અને ત્રીજી $n=4$ છે)।
ચોથી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_4 = 4^2 a_0 = 16 a_0$ થાય।
બોહરના અભિધારણા મુજબ, કક્ષાનો પરિઘ એ દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇનો પૂર્ણાંક ગુણાંક છે: $2\pi r_n = n \lambda$.
$n=4$ માટે કિંમતો મૂકતા: $2\pi (16 a_0) = 4 \lambda$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા: $\lambda = \frac{32\pi a_0}{4} = 8\pi a_0$.

(D) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ અને ગતિઊર્જા $K$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$.
આ સંબંધ પરથી કહી શકાય કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$.
ધારો કે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_1$ છે અને અંતિમ ગતિઊર્જા $K_2 = 4K_1$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક તરંગલંબાઇ $\lambda_1$ છે અને અંતિમ તરંગલંબાઇ $\lambda_2$ છે.
તેથી,$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{K_1}{K_2}} = \sqrt{\frac{K_1}{4K_1}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = 0.5$.
આમ,નવી તરંગલંબાઇ પ્રારંભિક તરંગલંબાઇ કરતા $0.5$ ગણી થશે.

(A) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
ધારો કે કણ $A$ નું દળ $m_A = m$ અને વેગ $v_A = 8v$ છે.
તો કણ $B$ નું દળ $m_B = 4m$ અને વેગ $v_B = v$ થશે.
કણ $A$ ની તરંગલંબાઇ $\lambda_A = \frac{h}{m_A v_A} = \frac{h}{m \times 8v} = \frac{h}{8mv}$ છે.
કણ $B$ ની તરંગલંબાઇ $\lambda_B = \frac{h}{m_B v_B} = \frac{h}{4m \times v} = \frac{h}{4mv}$ છે.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{h / 8mv}{h / 4mv} = \frac{4mv}{8mv} = \frac{1}{2}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $1 : 2$ છે.

(B) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = h / p = h / \sqrt{2mE_k}$ છે.
પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત વીજભારિત કણ માટે,ગતિઊર્જા $E_k = qV$ થાય છે.
તેથી,$\lambda = h / \sqrt{2mqV}$.
પ્રોટોન માટે,$m = 1.67 \times 10^{-27} \ kg$ અને $q = 1.602 \times 10^{-19} \ C$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\lambda = 6.626 \times 10^{-34} / \sqrt{2 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 1.602 \times 10^{-19} \times V}$.
$\lambda \approx 0.286 / \sqrt{V} \ \mathring{A}$.

(A) દ-બ્રોગ્લીના અધિતર્ક મુજબ,તરંગલંબાઈ $\lambda = h/mv$ છે.
$v$ વેગથી ગતિ કરતા કણ માટે,સંકળાયેલ દ-બ્રોગ્લી તરંગનો ફેઝ વેગ (અથવા તરંગ વેગ) $u = E/p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ કુલ ઉર્જા છે અને $p$ એ વેગમાન છે.
આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સંબંધ $E = mc^2$ અને વેગમાન $p = mv$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $u = (mc^2)/(mv) = c^2/v$ મળે છે.
આમ,દ-બ્રોગ્લી તરંગનો વેગ $c^2/v$ છે.

(C) બોહરના અભિધારણા મુજબ,$n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ છે.
આને ગોઠવતા,આપણને $2\pi r = \frac{nh}{mv}$ મળે છે.
દ-બ્રોગ્લીના સંબંધ મુજબ,તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,$2\pi r = n\lambda$ અથવા $\lambda = \frac{2\pi r}{n}$ મળે છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$n$ મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = 0.529 \times 10^{-8} \times n^2 \ cm$ છે.
$\lambda$ ના સમીકરણમાં $r_n$ મૂકતા: $\lambda = \frac{2 \times 3.1416 \times 0.529 \times 10^{-8} \times n^2}{n} = 3.32 \times 10^{-8} \times n \ cm$.
આપેલા વિકલ્પો અંદાજિત હોવાથી,સૌથી નજીકનો વિકલ્પ $3.14 \times 10^{-8} \times n \ cm$ છે.

(A) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ શોધવાનું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{mv}$
આપેલ છે:
દળ $(m)$ = $120 \ g = 0.120 \ kg$
વેગ $(v)$ = $44.7 \ m \ s^{-1}$
પ્લાન્કનો અચળાંક $(h)$ = $6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{0.120 \times 44.7} \ m$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{5.364} \ m$
$\lambda \approx 1.24 \times 10^{-34} \ m$.

(C) આપેલ છે: દળ $(m)$ = $200 \ g = 0.2 \ kg$.
વેગ $(v)$ = $5 \ m/hr = 5 / 3600 \ m/s = 1.389 \times 10^{-3} \ m/s$.
પ્લાન્કનો અચળાંક $(h)$ = $6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.
ડી-બ્રોગ્લીના સમીકરણ મુજબ: $\lambda = h / (mv)$.
$\lambda = (6.626 \times 10^{-34}) / (0.2 \times 1.389 \times 10^{-3})$.
$\lambda = (6.626 \times 10^{-34}) / (2.778 \times 10^{-4})$.
$\lambda \approx 2.385 \times 10^{-30} \ m$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,નજીકની કિંમત $2.37 \times 10^{-30} \ m$ છે.

(B) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
પ્રથમ,એક $CO_2$ અણુનું દળ $kg$ માં શોધો:
$\text{આણ્વિય }\, \text{દળ }= 44 \, g/mol = 0.044 \, kg/mol$.
$\text{એક }\, \text{અણુનું }\, \text{દળ }\, (m) = \frac{0.044 \, kg/mol}{6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}} \approx 7.306 \times 10^{-26} \, kg$.
હવે,કિંમતોને દ-બ્રોગ્લી સમીકરણમાં મૂકો:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s}{(7.306 \times 10^{-26} \, kg) \times (440 \, m/s)}$.
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{3.2146 \times 10^{-23}} \, m$.
$\lambda \approx 2.061 \times 10^{-11} \, m$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,સાચો જવાબ $2.063 \times 10^{-11} \, m$ છે.

(A) ડી બ્રોગ્લીના સમીકરણ મુજબ,તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
આપેલ છે:
દળ $m = 9.109 \times 10^{-31} \ kg$.
વેગ $v = 1.20 \times 10^5 \ m/s$.
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{(9.109 \times 10^{-31}) \times (1.20 \times 10^5)}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{10.9308 \times 10^{-26}}$
$\lambda \approx 6.062 \times 10^{-9} \ m$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,નજીકની કિંમત $6.044 \times 10^{-9}$ છે.

(A) દ બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(K.E.)}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાયુના અણુની ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{3}{2}kT$ હોવાથી,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = T$ અને અંતિમ તાપમાન $T_2 = 2T$ છે.
તેથી,$\lambda_1 = \frac{k'}{\sqrt{T}}$ અને $\lambda_2 = \frac{k'}{\sqrt{2T}} = \frac{\lambda_1}{\sqrt{2}}$.
ટકાવારીમાં ફેરફાર $\frac{\lambda_2 - \lambda_1}{\lambda_1} \times 100 = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} - 1 \right) \times 100$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$ લેતા,ફેરફાર $(0.707 - 1) \times 100 = -29.3 \%$ થાય.
આમ,ટકાવારી તફાવતનું આશરે મૂલ્ય $30 \%$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ $E_n = -3.4 \text{ eV}$ માટે,$-\frac{13.6}{n^2} = -3.4$,તેથી $n^2 = 4$ અને $n = 2$ મળે છે.
બોહરના અધિતર્ક મુજબ,$mvr = \frac{nh}{2\pi}$,તેથી દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{2\pi r}{n}$.
હાઇડ્રોજન માટે,$n$ મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = 0.529 \times n^2 \text{ Å}$ છે. $n = 2$ માટે,$r_2 = 0.529 \times 2^2 = 2.116 \text{ Å}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$\lambda = \frac{2 \times \pi \times 2.116}{2} = 6.64 \text{ Å} = 6.64 \times 10^{-10} \text{ m}$.

(B) દ બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 m KE}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{A}}{\lambda_{B}} = \sqrt{\frac{m_{B} KE_{B}}{m_{A} KE_{A}}}$ થાય.
આપેલ છે કે $\lambda_{A} = 1 \ nm$,$\lambda_{B} = 5 \ nm$,અને $m_{A} = 4 m_{B}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{5} = \sqrt{\frac{m_{B}}{4 m_{B}} \times \frac{KE_{B}}{KE_{A}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{25} = \frac{1}{4} \times \frac{KE_{B}}{KE_{A}}$.
તેથી,$\frac{KE_{A}}{KE_{B}} = \frac{25}{4}$.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -13.6 / n^2 \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $E_n = -3.4 \ eV$,તેથી $-3.4 = -13.6 / n^2$,જે $n^2 = 4$ આપે છે,તેથી $n = 2$.
$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = 0.529 \times n^2 \ \mathring{A} = 0.529 \times 4 \times 10^{-8} \ cm = 2.116 \times 10^{-8} \ cm$ છે.
બોહરના અભિધારણા મુજબ,કક્ષાનો પરિઘ એ દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇના પૂર્ણાંક ગુણાંક જેટલો હોય છે: $2\pi r = n\lambda$.
આમ,$\lambda = (2 \times 3.1416 \times 2.116 \times 10^{-8}) / 2 \ cm$.
$\lambda = 3.1416 \times 2.116 \times 10^{-8} \ cm \approx 6.64 \times 10^{-8} \ cm$.

(B) ઉત્તેજિત અવસ્થામાં અલગ થવાની ઉર્જા $E_n = 13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV = 3.4 \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,$\frac{Z^2}{n^2} = \frac{3.4}{13.6} = \frac{1}{4}$,તેથી $\frac{n}{Z} = 2$.
$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = 0.53 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$ છે.
ડી-બ્રોગ્લી પૂર્વધારણા મુજબ,કક્ષાનો પરિઘ $2 \pi r_n = n \lambda$ છે.
$r_n$ ની કિંમત મૂકતા: $2 \pi \times 0.53 \times \frac{n^2}{Z} = n \lambda$.
$\lambda$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $\lambda = 2 \pi \times 0.53 \times \frac{n}{Z}$.
$\frac{n}{Z} = 2$ મૂકતા: $\lambda = 2 \times 3.14159 \times 0.53 \times 2 \approx 6.66 \ \mathring{A}$.

(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે.
ગતિઊર્જા $E = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,$p = \sqrt{2mE}$ મળે.
આ કિંમત ડી-બ્રોગ્લી સમીકરણમાં મૂકતા: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$.
અહીં $m = 1 \, kg$,$E = 0.5 \, J$,અને $h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$ છે:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 1 \times 0.5}} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{1}} = 6.626 \times 10^{-34} \, m$.

(B) બોહરના અભિધારણા મુજબ,કક્ષાનો પરિઘ એ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇનો પૂર્ણાંક ગુણાંક છે: $n \lambda = 2 \pi r_n$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = a_0 \times n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a_0 = 52.9 \; pm$ અને $Z = 1$ છે।
બીજી કક્ષા માટે $n = 2$ મૂકતા: $r_2 = a_0 \times (2)^2 = 4 a_0$.
હવે,આ કિંમતને તરંગલંબાઇના સૂત્રમાં મૂકતા: $2 \lambda = 2 \pi (4 a_0)$.
તેથી,$\lambda = 4 \pi a_0$.
કિંમતની ગણતરી કરતા: $\lambda = 4 \times \pi \times 52.9 \; pm = 211.6 \pi \; pm$.