De Broglie's principle Questions in Gujarati

(C) ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
અહીં વેગ $(v)$ અને પ્લાન્કનો અચળાંક $(h)$ સમાન હોવાથી,તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ એ દળ $(m)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\lambda \propto \frac{1}{m}$.
તેથી,જે કણનું દળ સૌથી ઓછું હશે તેની તરંગલંબાઈ સૌથી વધુ હશે.
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $\approx 9.11 \times 10^{-31} \ kg$ છે,જે પ્રોટોન અને અન્ય અણુઓ કરતા ઘણું ઓછું છે.
આમ,ઇલેક્ટ્રોનનું દળ લઘુત્તમ હોવાથી તેની ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ સૌથી વધુ હશે.

(C) ડી બ્રોગ્લી સમીકરણ મુજબ,$\lambda = \frac{h}{mv}$.
વેગ માટે સૂત્ર ગોઠવતા,$v = \frac{h}{m \lambda}$.
આપેલ કિંમતો: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ Js$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,અને $\lambda = 58 \ nm = 58 \times 10^{-9} \ m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$v = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{(9.1 \times 10^{-31}) \times (58 \times 10^{-9})}$
$v = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{527.8 \times 10^{-40}}$
$v = 1.256 \times 10^4 \ ms^{-1}$.
તેથી,સાચો જવાબ $1.26 \times 10^4 \ ms^{-1}$ છે.

(B) ડી બ્રોગ્લીના સમીકરણ મુજબ,$\lambda = \frac{h}{p}$.
તેથી,વેગમાન $p = \frac{h}{\lambda}$.
અહીં,$h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \ s$ અને $\lambda = 6.0 \ \mathring{A} = 6.0 \times 10^{-10} \ m$.
કિંમતો મૂકતા,$p = \frac{6.63 \times 10^{-34} \ J \ s}{6.0 \times 10^{-10} \ m} = 1.105 \times 10^{-24} \ kg \ m \ s^{-1} \approx 1.1 \times 10^{-24} \ kg \ m \ s^{-1}$.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
આપેલ છે: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 6.64 \times 10^{-27} \ kg$,અને $v = 3 \times 10^3 \ ms^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{6.64 \times 10^{-27} \times 3 \times 10^3} \ m$.
$\lambda = \frac{6.63}{19.92} \times 10^{-34 - (-27) - 3} \ m$.
$\lambda \approx 0.333 \times 10^{-10} \ m = 0.0333 \times 10^{-9} \ m$.
$1 \ nm = 10^{-9} \ m$ હોવાથી,$\lambda = 0.0333 \ nm$ મળે છે.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $p$ ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન છે.
$p = mv$ અને ગતિઊર્જા $E_K = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,$p = \sqrt{2mE_K}$ મળે.
આમ,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE_K}}$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v_n = \frac{v_0 Z}{n}$ છે.
$p = mv$ હોવાથી,વેગમાન $p_n$ એ $\frac{1}{n}$ ના પ્રમાણમાં છે.
તેથી,$\lambda_n = \frac{h}{p_n} \propto n$.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n = 4)$ થી ધરા અવસ્થા $(n = 1)$ માં જાય છે,ત્યારે તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{n=1}}{\lambda_{n=4}} = \frac{1}{4}$ થાય છે.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિ ઉર્જા $K = qV = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,વેગમાન $p = \sqrt{2mqV}$ થાય.
આમ,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$.
ઇલેક્ટ્રોન માટે: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mVq}}$.
$M$ દળ ધરાવતા પ્રોટોન માટે જે $9 \ V$ દ્વારા પ્રવેગિત થાય છે: $\lambda_{p} = \frac{h}{\sqrt{2M(9 \ V)q}} = \frac{h}{3\sqrt{2MVq}}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{\lambda}{\lambda_{p}} = \frac{\sqrt{2M(9 \ V)q}}{\sqrt{2mVq}} = 3 \sqrt{\frac{M}{m}}$.
તેથી,$\lambda_{p} = \frac{\lambda}{3} \sqrt{\frac{m}{M}}$.

(D) આપેલ છે,ફોટોનની તરંગલંબાઈ,$\lambda = 2.2 \times 10^{-11} \ m$.
પ્લાન્કનો અચળાંક,$h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$.
ડી બ્રોગ્લી સંબંધ મુજબ,$\lambda = \frac{h}{p}$.
તેથી,વેગમાન $p = \frac{h}{\lambda}$.
કિંમતો મૂકતા: $p = \frac{6.6 \times 10^{-34} \ J \ s}{2.2 \times 10^{-11} \ m} = 3 \times 10^{-23} \ kg \ m \ s^{-1}$.

(A) ડી બ્રોગ્લી સમીકરણ મુજબ,$\lambda = h / p$,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $p$ એ વેગમાન છે.
આપેલ છે કે $\lambda_{A} = 5 \times 10^{-8} \ m$ અને $p_{B} = 0.5 \ p_{A}$.
$\lambda \propto 1 / p$ હોવાથી,$\lambda_{B} / \lambda_{A} = p_{A} / p_{B}$ થાય.
$p_{B} = 0.5 \ p_{A}$ મૂકતા,$\lambda_{B} / \lambda_{A} = p_{A} / (0.5 \ p_{A}) = 2$ મળે.
તેથી,$\lambda_{B} = 2 \times \lambda_{A} = 2 \times 5 \times 10^{-8} \ m = 10^{-7} \ m$.
$\mathring{A}$ માં રૂપાંતર કરતા: $1 \ m = 10^{10} \ \mathring{A}$,તેથી $10^{-7} \ m = 10^{-7} \times 10^{10} \ \mathring{A} = 1000 \ \mathring{A}$.

(A) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
દળ $m$ શોધવા માટે સૂત્રને ગોઠવતા,$m = \frac{h}{\lambda v}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો $h = 6.62 \times 10^{-34} \text{ } Js$,$\lambda = 6.62 \times 10^{-35} \text{ } m$,અને $v = 100 \text{ } ms^{-1}$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$m = \frac{6.62 \times 10^{-34}}{6.62 \times 10^{-35} \times 100}$.
$m = \frac{10^{-34}}{10^{-35} \times 10^2} = \frac{10^{-34}}{10^{-33}} = 10^{-1} = 0.1 \text{ } kg$.
તેથી,$x = 0.1 \text{ } kg$.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 10 \ mg = 10 \times 10^{-6} \ kg = 10^{-5} \ kg$.
વેગ $v = 100 \ ms^{-1} = 10^2 \ ms^{-1}$.
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.63 \times 10^{-34} \ Js$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\lambda = \frac{h}{mv}$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{10^{-5} \times 10^2} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{10^{-3}} = 6.63 \times 10^{-31} \ m$.

(B) ડી-બ્રોગ્લીના સમીકરણ મુજબ,$\lambda = \frac{h}{mv}$.
આપેલ છે:
$h = 6.6 \times 10^{-34} \ Js$
$m = 9.0 \times 10^{-31} \ kg$
$v = 2.2 \times 10^6 \ ms^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{9.0 \times 10^{-31} \times 2.2 \times 10^6}$
$\lambda = \frac{6.6}{19.8} \times 10^{-34+31-6} \ m$
$\lambda = 0.333 \times 10^{-9} \ m$
કારણ કે $1 \ nm = 10^{-9} \ m$,તેથી તરંગલંબાઇ $0.33 \ nm$ છે.

(A) ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝની $n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોન માટે,વેગ $v$ એ $\frac{Z}{n}$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
કક્ષાનો પરિઘ $2 \pi r = n \lambda$ હોવાથી અને $r \propto \frac{n^2}{Z}$ હોવાથી,$\lambda = \frac{2 \pi r}{n} \propto \frac{n^2/Z}{n} = \frac{n}{Z}$ મળે છે.
$H$-પરમાણુ $(Z=1)$ માટે ધરા અવસ્થામાં $(n=1)$: $\lambda_1 \propto \frac{1}{1} = 1$. આપેલ છે કે $\lambda_1 = y$.
$He^{+}$ આયન $(Z=2)$ માટે ચોથી કક્ષામાં $(n=4)$: $\lambda_2 \propto \frac{4}{2} = 2$.
તેથી,$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{2}{1} = 2$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda_2 = 2 y$.

(C) ડી-બ્રોગ્લીના સમીકરણ મુજબ,$\lambda = \frac{h}{m_e v}$.
આપેલ કિંમતો $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$,$m_e = 9 \times 10^{-31} \ kg$,અને $v = x \times 10^6 \ m \ s^{-1}$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{9 \times 10^{-31} \times x \times 10^6} \ m$
$\lambda = \frac{6.6}{9} \times 10^{-34 + 31 - 6} \times \frac{1}{x} \ m$
$\lambda = 0.733 \times 10^{-9} \times \frac{1}{x} \ m$
$1 \ m = 10^9 \ nm$ હોવાથી:
$\lambda = 0.733 \times 10^{-9} \times \frac{1}{x} \times 10^9 \ nm$
$\lambda = \frac{0.733}{x} \ nm \approx \frac{0.73}{x} \ nm$.

(A) ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા શોષાયેલી ઉર્જા $= 1.5 \times 2.18 \times 10^{-18} \ J = 3.27 \times 10^{-18} \ J$.
મુક્ત થવા માટે જરૂરી ઉર્જા $= 2.18 \times 10^{-18} \ J$.
ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા $(KE)$ $= 3.27 \times 10^{-18} - 2.18 \times 10^{-18} = 1.09 \times 10^{-18} \ J$.
ડી-બ્રોગ્લી સમીકરણ મુજબ,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_e KE}}$.
કિંમતો મૂકતા,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 \times 9 \times 10^{-31} \times 1.09 \times 10^{-18}}}$.
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{19.62 \times 10^{-49}}} = \frac{h \times 10^{24}}{\sqrt{1.962}} \ m$.

(C) બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ, $n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા, આપણને $2\pi r = \frac{nh}{mv}$ મળે છે.
ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ હોવાથી, આપણે આને સમીકરણમાં મૂકીને $2\pi r = n\lambda$ અથવા $\lambda = \frac{2\pi r}{n}$ મેળવી શકીએ છીએ.
$H$-પરમાણુ માટે, $n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = n^2 \times a_0$ છે, જ્યાં $a_0 = 52.9 \ pm$ છે.
ત્રીજી કક્ષા $(n = 3)$ માટે, $r_3 = 3^2 \times 52.9 \ pm = 9 \times 52.9 \ pm$.
$n = 3$ અને $r_3$ ની કિંમત તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા: $\lambda = \frac{2\pi \times (9 \times 52.9 \ pm)}{3} = 6\pi \times 52.9 \ pm$.

(B) દ બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ દળ છે અને $K$ ગતિઊર્જા છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\lambda^2 = \frac{h^2}{2mK}$,જેનો અર્થ છે કે $K = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$.
આપેલ છે કે $\lambda_X = 1 \ nm$,$\lambda_Y = 3 \ nm$,અને $m_X = 9m_Y$.
ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_X}{K_Y} = \frac{h^2}{2m_X\lambda_X^2} \times \frac{2m_Y\lambda_Y^2}{h^2} = \frac{m_Y}{m_X} \times \left(\frac{\lambda_Y}{\lambda_X}\right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{K_X}{K_Y} = \frac{m_Y}{9m_Y} \times \left(\frac{3}{1}\right)^2 = \frac{1}{9} \times 9 = 1$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 1$ છે.

(A) ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ નું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{mv}$
આપેલ છે:
દળ $(m) = 1 \ mg = 1 \times 10^{-6} \ kg$
વેગ $(v) = 10 \ m \ s^{-1}$
પ્લાન્કનો અચળાંક $(h) = 6.63 \times 10^{-34} \ J \ s$
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34} \ J \ s}{(1 \times 10^{-6} \ kg) \times (10 \ m \ s^{-1})}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{10^{-5}} \ m$
$\lambda = 6.63 \times 10^{-29} \ m$

(A) ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈના સમીકરણ મુજબ,$\lambda = \frac{h}{mv}$.
ગતિ ઉર્જા $KE = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$v = \sqrt{\frac{2 \times KE}{m}}$.
આ કિંમત તરંગલંબાઈના સમીકરણમાં મૂકતા: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m \times KE}}$.
ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરના સમીકરણ મુજબ,$KE = hv - hv_0 = h(v - v_0)$.
તેથી,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mh(v - v_0)}} = \sqrt{\frac{h}{2m(v - v_0)}}$.
આમ,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{v - v_0}}$.

(B) ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2m \cdot KE}}$ છે.
આપેલ છે $KE = 2.5 \ eV = 2.5 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 4 \times 10^{-19} \ J$.
આપેલ છે $m_{e} = 9 \times 10^{-31} \ kg$.
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 \times 9 \times 10^{-31} \times 4 \times 10^{-19}}}$
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{72 \times 10^{-50}}}$
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{72} \times 10^{-25}}$
$\lambda = \frac{h \times 10^{25}}{\sqrt{72}}$.

(B) પ્રકાશનો વેગ $c = 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v = 20 \% \text{ of } c = \frac{20}{100} \times 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1} = 6 \times 10^7 \ m \ s^{-1}$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{m_{e} v}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \ s}{(9.1 \times 10^{-31} \ kg) \times (6 \times 10^7 \ m \ s^{-1})}$.
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{54.6 \times 10^{-24}} \ m \approx 1.213 \times 10^{-11} \ m$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે.
આપેલ છે: $\lambda = 1000 \ nm = 1000 \times 10^{-9} \ m = 1.0 \times 10^{-6} \ m$ અને $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$.
વેગમાન માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $p = \frac{h}{\lambda}$.
કિંમતો મૂકતા: $p = \frac{6.6 \times 10^{-34} \ J \ s}{1.0 \times 10^{-6} \ m} = 6.6 \times 10^{-28} \ kg \ m \ s^{-1}$.

(C) ડી-બ્રોગ્લીના સમીકરણ મુજબ:
$p = \frac{h}{\lambda}$ અથવા $v = \frac{h}{m \lambda}$
ગતિઊર્જા ($K$.$E$.) $= \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} m \left(\frac{h}{m \lambda}\right)^2 = \frac{h^2}{2m \lambda^2}$
આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$K$.$E$. $= \frac{(6.6 \times 10^{-34})^2}{2 \times 9.0 \times 10^{-31} \times (3.3 \times 10^{-10})^2}$
$K$.$E$. $= \frac{43.56 \times 10^{-68}}{18.0 \times 10^{-31} \times 10.89 \times 10^{-20}}$
$K$.$E$. $= \frac{43.56 \times 10^{-68}}{196.02 \times 10^{-51}} \approx 0.222 \times 10^{-17} \ J$
$K$.$E$. $= 2.22 \times 10^{-18} \ J$

(B) ડી બ્રોગ્લીના સંબંધ મુજબ,તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
આપેલ છે કે બંને કણોનો વેગ સમાન છે $(v_A = v_B = v)$,તેથી તરંગલંબાઈ દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે: $\lambda \propto \frac{1}{m}$.
આપણને $\lambda_A = 2\lambda_B$ આપેલ છે.
સંબંધ મૂકતા: $\frac{h}{m_A v} = 2 \times \frac{h}{m_B v}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$\frac{1}{m_A} = \frac{2}{m_B}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $m_B = 2m_A$ અથવા $m_A = \frac{1}{2}m_B$.
તેથી,કણ $A$ નું દળ કણ $B$ કરતા અડધું છે.

(D) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે.
ગતિઊર્જા $E = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,$p = \sqrt{2mE}$ મળે.
આ કિંમત તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ મળે.
અહીં $h$ અને $E$ અચળ હોવાથી,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ થાય.
$m_1 = m$ અને $m_2 = 2m$ માટે,તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{\sqrt{m_2}}{\sqrt{m_1}} = \frac{\sqrt{2m}}{\sqrt{m}} = \frac{\sqrt{2}}{1}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $\sqrt{2}: 1$ છે.

(A) ફોટોનનું વેગમાન $p = \frac{h}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,વેગમાન $p = mv$ છે.
બંનેને સરખાવતા,$mv = \frac{h}{\lambda}$,જેનો અર્થ છે $v = \frac{h}{m \lambda}$.
આપેલ છે:
$h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
$m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$
$\lambda = 663 \ nm = 663 \times 10^{-9} \ m = 6.63 \times 10^{-7} \ m$
કિંમતો મૂકતા:
$v = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{(9.1 \times 10^{-31}) \times (6.63 \times 10^{-7})}$
$v = \frac{10^{-34}}{9.1 \times 10^{-31} \times 10^{-7}} = \frac{10^{-34}}{9.1 \times 10^{-38}}$
$v = \frac{10^4}{9.1} \approx 1098.9 \ m/s$.
આમ,વેગ આશરે $1098 \ m/s$ છે.

(C) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ મુજબ,$\lambda = \frac{h}{mv}$.
કણ $A$ માટે,$\lambda_A = \frac{h}{m_A v_A}$.
કણ $B$ માટે,$\lambda_B = \frac{h}{m_B v_B}$.
તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{2}{1}$ આપેલ છે.
સૂત્રો મૂકતા,$\frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{m_B v_B}{m_A v_A} = 2$.
$v_A = 0.05 \ ms^{-1}$ અને $v_B = 0.02 \ ms^{-1}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{m_B \times 0.02}{m_A \times 0.05} = 2$.
$\frac{m_B}{m_A} \times \frac{2}{5} = 2$.
$\frac{m_B}{m_A} = 2 \times \frac{5}{2} = 5$.
તેથી,$\frac{m_A}{m_B} = \frac{1}{5}$,એટલે કે $1: 5$.

(B) સ્થિર કક્ષા માટે ડી-બ્રોગ્લી પૂર્વધારણા મુજબ,કક્ષાનો પરિઘ એ તરંગલંબાઈનો પૂર્ણાંક ગુણાંક છે:
$n \lambda = 2 \pi r$
$\lambda = \frac{2 \pi r}{n}$
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$n$મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r = a_0 \times n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ કિંમતને તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\lambda = \frac{2 \pi (a_0 \times n^2)}{n} = 2 \pi a_0 n$
અહીં $n = 2$ અને $a_0 = 0.529 \ \mathring{A}$ આપેલ છે:
$\lambda = 2 \times \pi \times 0.529 \times 2 \ \mathring{A}$
$\lambda = 2.116 \pi \ \mathring{A}$

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગ સમીકરણ $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
આપેલ છે:
દળ $(m)$ = $60 \ g = 0.06 \ kg$.
વેગ $(v)$ = $10 \ ms^{-1}$.
પ્લાન્કનો અચળાંક $(h)$ = $6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{0.06 \times 10} = 1.105 \times 10^{-33} \ m$.
આમ,તરંગલંબાઈ આશરે $1.1 \times 10^{-33} \ m$ છે.

(C) ડી-બ્રોગ્લી સમીકરણ મુજબ,$\lambda = \frac{h}{mv}$.
દળ માટે પુનઃગોઠવણ કરતા,$m = \frac{h}{\lambda v}$ મળે છે.
આપેલ છે: $h = 6.626 \times 10^{-34} \ kg \ m^2 \ s^{-1}$,$\lambda = 0.35 \ nm = 0.35 \times 10^{-9} \ m$,અને $v = c = 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $m = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{0.35 \times 10^{-9} \times 3 \times 10^8} \ kg$.
$m = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1.05 \times 10^{-1}} \ kg = 6.31 \times 10^{-33} \ kg$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ છે,કણનું દળ $(m) = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$.
તરંગલંબાઈ $(\lambda) = 182 \ nm = 182 \times 10^{-9} \ m$.
ડી-બ્રોગ્લી સમીકરણ મુજબ,$\lambda = \frac{h}{mv}$,તેથી વેગ $v = \frac{h}{m \lambda}$.
કિંમતો મૂકતા: $v = \frac{6.625 \times 10^{-34}}{9.1 \times 10^{-31} \times 182 \times 10^{-9}} \ m/s$.
$v = 4 \times 10^3 \ m/s$.
ગતિઊર્જા $(KE) = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \times (9.1 \times 10^{-31}) \times (4 \times 10^3)^2 \ J$.
$KE = 7.28 \times 10^{-24} \ J$.

(C) આપેલ છે,\\ ગતિઊર્જા $(KE) = 2.0 \times 10^{-25} \ J$ \\ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $(m) = 9.0 \times 10^{-31} \ kg$ \\ પ્લાન્કનો અચળાંક $(h) = 6.63 \times 10^{-34} \ Js$ \\ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈના સૂત્ર મુજબ: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(KE)}}$ \\ કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.0 \times 10^{-31} \times 2.0 \times 10^{-25}}}$ \\ $\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{36 \times 10^{-56}}} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{6.0 \times 10^{-28}}$ \\ $\lambda = 1.105 \times 10^{-6} \ m$ \\ $nm$ માં ફેરવતા: $\lambda = 1.105 \times 10^{-6} \times 10^9 \ nm = 1105 \ nm$ \\ સૌથી નજીકની અંદાજિત કિંમત $1104.3 \ nm$ છે.

(C) ડી-બ્રોગ્લી સંબંધ મુજબ: $\lambda = \frac{h}{mv}$.
અહીં,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક $(6.626 \times 10^{-34} \ J \ s)$ છે,$v$ એ કણની ઝડપ છે,$m$ એ દળ છે અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે.
દળ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $m = \frac{h}{\lambda \times v}$.
આપેલ કિંમતો:
$v = 2.0 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$
$\lambda = 3.313 \mathring{A} = 3.313 \times 10^{-10} \ m$
સમીકરણમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$m = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \ s}{(3.313 \times 10^{-10} \ m) \times (2.0 \times 10^8 \ m \ s^{-1})}$
$m = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{6.626 \times 10^{-2}} \ kg = 1.0 \times 10^{-32} \ kg$.
તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$p = \sqrt{2mK}$ હોવાથી,જ્યાં $m$ એ દળ અને $K$ એ ગતિઊર્જા છે,તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{p_2}{p_1} = \sqrt{\frac{2m_2 K_2}{2m_1 K_1}}$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{3}$ અને $\frac{K_1}{K_2} = \frac{2}{1}$,તેથી $\frac{m_2}{m_1} = 3$ અને $\frac{K_2}{K_1} = \frac{1}{2}$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{3 \times \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \sqrt{3}:\sqrt{2}$.

(C) ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ છે,તેથી $v = \sqrt{\frac{2 \times K.E.}{m}}$.
કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{\frac{2 \times 8.0 \times 10^{-25}}{9.0 \times 10^{-31}}} = \sqrt{\frac{16}{9} \times 10^6} = \frac{4}{3} \times 10^3 \ m/s$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 9.0 \times 10^{-31} \ kg$,અને $v = \frac{4}{3} \times 10^3 \ m/s$ મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{9.0 \times 10^{-31} \times (4/3) \times 10^3} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{12 \times 10^{-28}} = 0.55216 \times 10^{-6} \ m$.
$nm$ માં ફેરવતા: $\lambda = 0.55216 \times 10^{-6} \times 10^9 \ nm = 552.16 \ nm \approx 552.2 \ nm$.

(B) ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 m K E}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ દળ ગુણોત્તર $\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{3}$ અને ગતિ ઊર્જા ગુણોત્તર $\frac{K E_1}{K E_2} = \frac{2}{1}$ છે.
તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{m_2 \times K E_2}{m_1 \times K E_1}}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{3 \times 1}{1 \times 2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.
આમ,ગુણોત્તર $\sqrt{3} : \sqrt{2}$ છે.

(D) ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે,જ્યાં $v$ એ કણનો વેગ છે.
$v$ માટે સૂત્ર ગોઠવતા: $v = \frac{h}{m \lambda} = \frac{6.62 \times 10^{-34} \ J \ s}{(4.5 \times 10^{-31} \ kg) \times (1000 \times 10^{-9} \ m)} \approx 1.471 \times 10^{-6} \ m/s$.
ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $KE = 0.5 \times (4.5 \times 10^{-31} \ kg) \times (1.471 \times 10^{-6} \ m/s)^2 \approx 4.87 \times 10^{-43} \ J$.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પો ગણતરી સાથે મેળ ખાતા નથી,જે પ્રશ્નમાં એકમની ભૂલ સૂચવે છે.

(C) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે અને $K$ ગતિઊર્જા છે.
આપેલ છે: $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,$K = 18.2 \times 10^{-25} \ J$.
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 18.2 \times 10^{-25}}}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{331.24 \times 10^{-56}}}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{18.2 \times 10^{-28}}$
$\lambda = 0.364 \times 10^{-6} \ m = 364 \times 10^{-9} \ m = 364 \ nm$.

(A) ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે,જ્યાં $K$ એ ગતિ ઊર્જા છે.
$K$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$K = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ મળે છે.
આપેલ છે: $\lambda = 728.14 \ nm = 728.14 \times 10^{-9} \ m$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,અને $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$.
કિંમતો મૂકતા:
$K = \frac{(6.626 \times 10^{-34})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times (728.14 \times 10^{-9})^2}$
ગણતરી કરતા $K \approx 4.55 \times 10^{-25} \ J$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ડી બ્રોગ્લી સમીકરણ મુજબ,તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
દળ $(m)$ = $1.67 \times 10^{-27} \ kg$
વેગ $(v)$ = $3.97 \times 10^6 \ m \ s^{-1}$
પ્લાન્કનો અચળાંક $(h)$ = $6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1.67 \times 10^{-27} \times 3.97 \times 10^6}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{6.63 \times 10^{-21}}$
$\lambda \approx 1 \times 10^{-13} \ m$.

(D) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને ગતિઊર્જા $K.E.$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(K.E.)}}$ છે.
આથી $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K.E.}}$
આપેલ છે કે ગતિઊર્જા અડધી થાય છે,એટલે કે $(K.E.)_2 = \frac{(K.E.)_1}{2}$.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{(K.E.)_1}{(K.E.)_2}} = \sqrt{\frac{(K.E.)_1}{(K.E.)_1 / 2}} = \sqrt{2}$.
તેથી,$\lambda_2 = \sqrt{2} \lambda_1$.

(C) બોહરના અભિધારણા મુજબ,કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ તરીકે ક્વોન્ટાઈઝ્ડ હોય છે.
ડી-બ્રોગ્લી સંબંધ મુજબ,તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $mv = \frac{h}{\lambda}$.
કોણીય વેગમાનના સમીકરણમાં $mv$ ની કિંમત મૂકતા: $r = \frac{n}{2\pi} \times \frac{h}{mv} = \frac{n\lambda}{2\pi}$.
કક્ષાનો પરિઘ $C = 2\pi r$ છે.
$r$ માટેનું સમીકરણ મૂકતા: $C = 2\pi \times \frac{n\lambda}{2\pi} = n\lambda$.
ચોથી કક્ષા માટે $n = 4$,તેથી પરિઘ $4\lambda$ થશે.

(C) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇના સંબંધ મુજબ,તરંગલંબાઇ $\lambda$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ: $\lambda = \frac{h}{p}$ છે.
આપેલ કિંમતો: $h = 6.625 \times 10^{-34} \ J \ s$ અને $\lambda = 10^3 \ nm = 10^3 \times 10^{-9} \ m = 10^{-6} \ m$.
વેગમાન માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $p = \frac{h}{\lambda}$.
કિંમતો મૂકતા: $p = \frac{6.625 \times 10^{-34} \ J \ s}{10^{-6} \ m} = 6.625 \times 10^{-28} \ kg \ m \ s^{-1}$.

(C) ડી બ્રોગ્લી ઉત્કલ્પના સૂચવે છે કે તમામ દ્રવ્ય તરંગ જેવા ગુણધર્મો દર્શાવે છે અને દ્રવ્યની તરંગલંબાઈને તેના વેગમાન સાથે સંબંધિત કરે છે.
$\lambda = \frac{h}{mv}$,જ્યાં $\lambda$ એ કણના તરંગની તરંગલંબાઈ છે અને $v$ એ કણનો વેગ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે આવૃત્તિ $u = \frac{C}{\lambda}$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = \frac{C}{u}$.
ડી બ્રોગ્લી સમીકરણમાં $\lambda$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{C}{u} = \frac{h}{mv}$.
વેગ $v$ માટે આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$v = \frac{hu}{mC}$

(D) ડી-બ્રોગ્લી સમીકરણ મુજબ: $\lambda = \frac{h}{mv}$.
આપેલ છે કે તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ એ ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા એક સેકન્ડમાં કાપેલા અંતર જેટલી છે,તેથી $\lambda = v \times 1 = v$.
ડી-બ્રોગ્લી સમીકરણમાં $\lambda = v$ મૂકતા: $v = \frac{h}{mv}$.
પદોને ગોઠવતા: $v^2 = \frac{h}{m}$,જે આપે છે $v = \sqrt{\frac{h}{m}}$.
કારણ કે $\lambda = v$,તેથી આપણને મળે છે $\lambda = \sqrt{\frac{h}{m}}$.
આમ,સાચો સંબંધ $\lambda = \sqrt{\frac{h}{m}}$ છે.

(C) ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ છે.
અહીં,$E = 1.65 \ eV = 1.65 \times 1.602 \times 10^{-19} \ J = 2.6433 \times 10^{-19} \ J$.
પ્રોટોનનું દળ $m = 1.6726 \times 10^{-27} \ kg$.
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$.
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 1.6726 \times 10^{-27} \times 2.6433 \times 10^{-19}}}$
$\lambda = 7.046 \times 10^{-12} \ m = 0.007046 \ nm$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકનો જવાબ $0.022 \ nm$ છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ડી-બ્રોગ્લી સમીકરણ મુજબ,$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2m \times KE}}$.
ઇલેક્ટ્રોન માટે $h$ અને $m$ અચળ હોવાથી,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{KE}}$.
તેથી,તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{KE_2}{KE_1}}$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{KE_1}{KE_2} = \frac{16}{9}$,તેથી $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$ અથવા $3:4$.

(C) ડી-બ્રોગ્લીના સમીકરણ મુજબ,$\lambda = \frac{h}{mv}$.
આપેલ છે:
$h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
$m = 11.043 \times 10^{-26} \ kg$
$v = 6.0 \times 10^7 \ ms^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{(11.043 \times 10^{-26}) \times (6.0 \times 10^7)}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{66.258 \times 10^{-19}}$
$\lambda \approx 0.10006 \times 10^{-15} \ m = 1.0 \times 10^{-16} \ m$.

(C) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇનું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(K.E.)}} = \frac{h}{\sqrt{2m}} \times \frac{1}{\sqrt{K.E.}}$
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = \lambda$ અને $x = \frac{1}{\sqrt{K.E.}}$,ઢાળ $\text{slope} = \frac{h}{\sqrt{2m}}$ મળે છે.
જેમ કે ઢાળ એ દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(\text{slope} \propto \frac{1}{\sqrt{m}})$,તેથી મોટો ઢાળ નાનું દળ સૂચવે છે.
આલેખ પરથી,રેખા $B$ નો ઢાળ રેખા $A$ ના ઢાળ કરતા વધારે છે $(\text{slope}_B > \text{slope}_A)$.
તેથી,$m_B < m_A$ અથવા $m_A > m_B$.

(C) પરમાણુનું ક્વોન્ટમ યાંત્રિક મોડેલ $de \text{ } Broglie$ દ્વારા સૂચિત દ્રવ્યના દ્વૈત સ્વરૂપ (તરંગ-કણ દ્વૈતતા) પર આધારિત છે.
આ મોડેલ ઇલેક્ટ્રોનને કણ અને તરંગ બંને તરીકે ગણે છે,જેનું ગાણિતિક વર્ણન $Schrodinger$ તરંગ સમીકરણ દ્વારા કરવામાં આવે છે.