Mix Examples - Triangles Questions in Gujarati

(A) પ્રમેય (થેલ્સના પ્રમેય) મુજબ,જો ત્રિકોણની એક બાજુને સમાંતર રેખા બાકીની બે બાજુઓને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે,તો તે બાજુઓનું સમાન ગુણોત્તરમાં વિભાજન થાય છે.
$\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ હોવાથી,$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{AM}{MB} = \frac{4}{13}$,તેથી $\frac{AN}{NC} = \frac{4}{13}$.
ધારો કે $AN = 4x$ અને $NC = 13x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $AC = AN + NC$.
કિંમતો મૂકતા,$20.4 = 4x + 13x$.
$20.4 = 17x$.
$x = \frac{20.4}{17} = 1.2$.
હવે,$AN = 4x = 4 \times 1.2 = 4.8$.

(B) પ્રમેય (થેલ્સના પ્રમેય) મુજબ,જો ત્રિકોણની એક બાજુને સમાંતર રેખા બાકીની બે બાજુઓને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે,તો તે બાકીની બે બાજુઓનું સમાન ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
$\Delta XYZ$ માં $\overline{PQ} \parallel \overline{YZ}$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{XP}{PY} = \frac{XQ}{QZ} = \frac{3}{5}$.
ધારો કે $XQ = 3k$ અને $QZ = 5k$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $XZ = XQ + QZ = 5.6$.
કિંમતો મૂકતા,$3k + 5k = 5.6$.
$8k = 5.6$.
$k = \frac{5.6}{8} = 0.7$.
હવે,$QZ = 5k = 5 \times 0.7 = 3.5$.

(C) પ્રમેય (થેલ્સના પ્રમેય) મુજબ,જો ત્રિકોણની એક બાજુને સમાંતર રેખા દોરવામાં આવે જે બાકીની બે બાજુઓને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે,તો તે બાકીની બે બાજુઓનું સમાન ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
$\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ હોવાથી,$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$ થાય.
અહીં $AM = x+3$ અને $AB = 2x$ આપેલ છે,તેથી $MB = AB - AM = 2x - (x+3) = x-3$.
તે જ રીતે $AN = x+5$ અને $AC = 2x+3$ આપેલ છે,તેથી $NC = AC - AN = (2x+3) - (x+5) = x-2$.
આ કિંમતો ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\frac{x+3}{x-3} = \frac{x+5}{x-2}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $(x+3)(x-2) = (x+5)(x-3)$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 2x + 3x - 6 = x^2 - 3x + 5x - 15$.
સાદુરૂપ આપતા: $x^2 + x - 6 = x^2 + 2x - 15$.
બંને બાજુથી $x^2$ બાદ કરતા: $x - 6 = 2x - 15$.
પદોની ગોઠવણી કરતા: $15 - 6 = 2x - x$.
આમ,$x = 9$ મળે છે.

(N/A) $1$. આપેલ છે: $\square ABCD$ માં,$\overline{AB} \parallel \overline{CD}$. $M$ એ $\overline{AD}$ પરનું બિંદુ છે અને $N$ એ $\overline{BC}$ પરનું બિંદુ છે જેથી $\overline{MN} \parallel \overline{AB}$ થાય.
$2$. $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ અને $\overline{MN} \parallel \overline{AB}$ હોવાથી,$\overline{MN} \parallel \overline{CD}$ થશે.
$3$. વિકર્ણ $\overline{AC}$ દોરો જે $\overline{MN}$ ને બિંદુ $P$ માં છેદે છે.
$4$. $\triangle ADC$ માં,$\overline{MP} \parallel \overline{DC}$ હોવાથી,પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેય (થેલ્સના પ્રમેય) મુજબ,$\frac{DM}{MA} = \frac{CP}{PA}$ મળે.
$5$. $\triangle ABC$ માં,$\overline{PN} \parallel \overline{AB}$ હોવાથી,પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેય મુજબ,$\frac{CP}{PA} = \frac{CN}{NB}$ મળે.
$6$. બંને સમીકરણો પરથી,$\frac{CP}{PA}$ સમાન હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $\frac{DM}{MA} = \frac{CN}{NB}$. આમ સાબિત થાય છે.

(A) આપેલ છે: $ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે,$P$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $\overline{DP}$ ને લંબાવતા તે $\overline{AB}$ ને $Q$ માં મળે છે.
સાબિત કરવાનું છે: $AB = 2CD$.
સાબિતી:
$1$. $\triangle DCP$ અને $\triangle QBP$ લો.
$2$. $\angle DCP = \angle QBP$ (યુગ્મકોણ,કારણ કે $AB \parallel CD$).
$3$. $CP = BP$ (આપેલ છે,$P$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે).
$4$. $\angle DPC = \angle QPB$ (અભિકોણ).
$5$. તેથી,$ASA$ એકરૂપતાની શરત મુજબ $\triangle DCP \cong \triangle QBP$.
$6$. $CPCT$ મુજબ,$CD = BQ$.
$7$. $ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$AB = CD$ અને $AB \parallel CD$.
$8$. આકૃતિ પરથી,$AQ = AB + BQ$.
$9$. $BQ = CD$ અને $CD = AB$ હોવાથી,$AQ = AB + AB = 2AB$ થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: $\Delta ABC$ માં,$\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ અને $\overline{EF} \parallel \overline{CD}$ છે.
પગલું $1$: $\Delta ABC$ માં,$\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ હોવાથી,પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેય $(BPT)$ મુજબ,$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$ મળે.
પગલું $2$: $\Delta ADC$ માં,$\overline{EF} \parallel \overline{CD}$ હોવાથી,પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેય $(BPT)$ મુજબ,$\frac{AF}{AD} = \frac{AE}{AC}$ મળે.
પગલું $3$: પગલું $1$ અને પગલું $2$ ના સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $\frac{AD}{AB} = \frac{AF}{AD}$ મળે છે.
પગલું $4$: ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$AD^2 = AB \times AF$ સાબિત થાય છે.

(A) આપેલ છે: $\frac{AP}{AB} = \frac{AS}{AD} = \frac{1}{3}$.
$\triangle ABD$ માં,પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેય $(BPT)$ ના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,કારણ કે $\frac{AP}{AB} = \frac{AS}{AD} = \frac{1}{3}$,તેથી $\frac{AP}{PB} = \frac{AS}{SD} = \frac{1}{2}$ થાય. આમ,$PS \parallel BD$ અને $PS = \frac{1}{3} BD$ મળે.
તે જ રીતે,$\triangle BCD$ માં,કારણ કે $\frac{CQ}{BC} = \frac{CR}{CD} = \frac{1}{3}$,તેથી $\frac{CQ}{QB} = \frac{CR}{RD} = \frac{1}{2}$ થાય. આમ,$QR \parallel BD$ અને $QR = \frac{1}{3} BD$ મળે.
આ બે પરિણામો પરથી,$PS \parallel QR$ અને $PS = QR$ સાબિત થાય છે.
ચતુષ્કોણ $PQRS$ ની સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર હોવાથી,$\square PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ અને $\Delta PQR$ સમબાજુ ત્રિકોણ છે,તેથી તેઓ $AAA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ સમરૂપ છે $(\Delta ABC \sim \Delta PQR)$.
બે સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના ગુણોત્તરના પ્રમેય મુજબ,તેમના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ જેટલો હોય છે.
તેથી,$\frac{\text{Area}(\Delta ABC)}{\text{Area}(\Delta PQR)} = \left( \frac{AB}{PQ} \right)^2$.
અહીં $\frac{AB}{PQ} = \frac{3}{2}$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{\text{Area}(\Delta ABC)}{\text{Area}(\Delta PQR)} = \left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,આપણને મળે છે: $4 \times \text{Area}(\Delta ABC) = 9 \times \text{Area}(\Delta PQR)$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(A) આપેલ છે: $\Delta ABC \sim \Delta PQR$.
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓ પ્રમાણમાં હોય છે અને તેમના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
તેથી,$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR}$ અને $\angle B = \angle Q$.
$\overline{AD}$ અને $\overline{PM}$ મધ્યગાઓ હોવાથી,$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $M$ એ $QR$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$BC = 2BD$ અને $QR = 2QM$.
આ કિંમતો ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\frac{AB}{PQ} = \frac{2BD}{2QM} = \frac{BD}{QM}$.
હવે,$\Delta ABD$ અને $\Delta PQM$ માં:
$1$. $\frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM}$ (ઉપર સાબિત કર્યું)
$2$. $\angle B = \angle Q$ (સમરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ ખૂણાઓ)
$SAS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABD \sim \Delta PQM$.
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે: $\frac{AB}{PQ} = \frac{AD}{PM}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,આપણને $AB \times PM = PQ \times AD$ મળે છે.
આમ,સાબિત થાય છે.

(B) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ માં $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મો મુજબ,$\Delta AMN \sim \Delta ABC$ થાય.
તેથી,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC}$.
અહીં $AM = 2$ અને $MB = 5$ આપેલ છે.
તેથી,$AB = AM + MB = 2 + 5 = 7$.
ગુણોત્તરમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2}{7} = \frac{4}{BC}$.
$BC$ માટે ઉકેલતા:
$2 \times BC = 4 \times 7$
$2 \times BC = 28$
$BC = \frac{28}{2} = 14$.
આમ,$BC$ ની લંબાઈ $14$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\Delta PQR$ માં $\overline{XY} \parallel \overline{QR}$ છે.
પ્રમેય (થેલ્સના પ્રમેય) અને સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,$\Delta PXY \sim \Delta PQR$ થાય.
સમરૂપ ત્રિકોણ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{XY}{QR} = \frac{PY}{PR}$.
અહીં $PY = 4$ અને $YR = 7$ આપેલ છે.
તેથી,$PR = PY + YR = 4 + 7 = 11$.
આ કિંમતોને ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{11}{QR} = \frac{4}{11}$.
$QR$ શોધવા માટે ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$4 \times QR = 11 \times 11$.
$4 \times QR = 121$.
$QR = \frac{121}{4} = 30.25$.

(D) સમરૂપ ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળના પ્રમેય મુજબ,બે સમરૂપ ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ જેટલો હોય છે.
ધારો કે અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર $a:b = 4:9$ છે.
તેથી,તેમના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $a^2:b^2 = 4^2:9^2$ થશે.
વર્ગની ગણતરી કરતા,આપણને $16:81$ મળે છે.
આમ,તેમના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $16:81$ છે.

(A) સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના પ્રમેય મુજબ,બે સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ બરાબર હોય છે.
ધારો કે બે ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ $A_1 = 9$ અને $A_2 = 16$ છે.
ધારો કે તેમની અનુરૂપ બાજુઓ $s_1$ અને $s_2$ છે.
તેથી,$\frac{A_1}{A_2} = (\frac{s_1}{s_2})^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{9}{16} = (\frac{s_1}{s_2})^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{s_1}{s_2}$.
આમ,$\frac{s_1}{s_2} = \frac{3}{4}$.
તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર $3:4$ છે.

(B) સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના પ્રમેય મુજબ,બે સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ જેટલો હોય છે.
ધારો કે બે ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ $A_1 = 144$ અને $A_2 = 81$ છે.
ધારો કે તેમની અનુરૂપ સૌથી મોટી બાજુઓ $s_1 = 36$ અને $s_2 = x$ છે.
પ્રમેય મુજબ: $\frac{A_1}{A_2} = (\frac{s_1}{s_2})^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{144}{81} = (\frac{36}{x})^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\sqrt{\frac{144}{81}} = \frac{36}{x}$.
આથી: $\frac{12}{9} = \frac{36}{x}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{4}{3} = \frac{36}{x}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $4x = 36 \times 3$.
$4x = 108$.
$x = \frac{108}{4} = 27$.
તેથી,બીજા ત્રિકોણની સૌથી મોટી બાજુની લંબાઈ $27$ છે.

(C) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ ની બાજુની લંબાઈ $s_1 = BC = a$ છે.
કારણ કે $D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી સમબાજુ ત્રિકોણ $\Delta BDE$ ની બાજુની લંબાઈ $s_2 = BD = \frac{a}{2}$ થશે.
$s$ બાજુની લંબાઈ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $Area = \frac{\sqrt{3}}{4} s^2$ છે.
તેથી,$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $Area(ABC) = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ થાય.
$\Delta BDE$ નું ક્ષેત્રફળ $Area(BDE) = \frac{\sqrt{3}}{4} (\frac{a}{2})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a^2}{4} = \frac{1}{4} \cdot Area(ABC)$ થાય.
$\Delta ABC$ અને $\Delta BDE$ ના ક્ષેત્રફળોનો ગુણોત્તર $\frac{Area(ABC)}{Area(BDE)} = \frac{Area(ABC)}{\frac{1}{4} Area(ABC)} = \frac{4}{1}$ મળે.
આમ,ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(D) બે સમરૂપ ત્રિકોણો માટે,તેમના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમના અનુરૂપ વેધના ગુણોત્તરના વર્ગ જેટલો હોય છે.
ધારો કે ક્ષેત્રફળ $A_1 = 200$ અને $A_2 = 128$ છે.
ધારો કે અનુરૂપ વેધ $h_1$ અને $h_2$ છે.
પ્રમેય મુજબ,$\frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{h_1}{h_2}\right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{200}{128} = \left(\frac{h_1}{h_2}\right)^2$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{200}{128} = \frac{100}{64} = \frac{25}{16}$.
તેથી,$\left(\frac{h_1}{h_2}\right)^2 = \frac{25}{16}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{h_1}{h_2} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.
આમ,તેમના અનુરૂપ વેધનો ગુણોત્તર $5:4$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\Delta ABC \sim \Delta PQR$.
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે.
તેથી,$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR}$.
આપેલ છે કે $2 AB = PQ$,તેથી આપણે લખી શકીએ કે $\frac{AB}{PQ} = \frac{1}{2}$.
ગુણોત્તરમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} = \frac{10}{QR}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$QR = 10 \times 2 = 20$.
આમ,$QR = 20$.

(B) આપેલ છે કે $\frac{PQ}{XY} = \frac{QR}{YZ} = \frac{PR}{XZ} = \frac{2}{5}$.
$SSS$ (બાજુ-બાજુ-બાજુ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta PQR \sim \Delta XYZ$ થાય.
બે સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના ગુણોત્તરના પ્રમેય મુજબ,તેમના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ જેટલો હોય છે.
તેથી,$\frac{\text{Area}(\Delta PQR)}{\text{Area}(\Delta XYZ)} = \left( \frac{PQ}{XY} \right)^2$.
આપેલ કિંમત મૂકતા: $\left( \frac{2}{5} \right)^2 = \frac{4}{25}$.
આમ,ગુણોત્તર $4:25$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\Delta ABC \sim \Delta PQR$.
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે.
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR} = k$.
આપેલ છે કે $AB = 5, BC = 7, AC = 10$ અને $PR = 15$.
ગુણોત્તર $\frac{AC}{PR} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$ નો ઉપયોગ કરતા.
તેથી,બાજુઓનો ગુણોત્તર $k = \frac{2}{3}$ છે.
હવે,$\Delta PQR$ ની બાજુઓ શોધો:
$PQ = AB \times \frac{3}{2} = 5 \times 1.5 = 7.5$.
$QR = BC \times \frac{3}{2} = 7 \times 1.5 = 10.5$.
$PR = 15$.
$\Delta PQR$ ની પરિમિતિ $= PQ + QR + PR = 7.5 + 10.5 + 15 = 33$.

(D) બે સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના ગુણોત્તરના પ્રમેય મુજબ,જો $\Delta ABC \sim \Delta XZY$ હોય,તો તેમના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના વર્ગોના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે.
ચોક્કસપણે,$\frac{\text{Area}(\Delta ABC)}{\text{Area}(\Delta XZY)} = \frac{AB^2}{XZ^2} = \frac{BC^2}{ZY^2} = \frac{AC^2}{XY^2}$.
સંગતતા $ABC \leftrightarrow XZY$ મુજબ,બાજુ $BC$ એ બાજુ $ZY$ (અથવા $YZ$) ને અનુરૂપ છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $BC^2 : YZ^2$ થાય.
આમ,ખૂટતું પદ $YZ^2$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ અને $\Delta PQR$ માં,$\angle A = \angle P$ અને $\angle B = \angle R$ છે.
ખૂણા-ખૂણા $(AA)$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,જો એક ત્રિકોણના બે ખૂણા બીજા ત્રિકોણના બે ખૂણાઓને સમાન હોય,તો તે બે ત્રિકોણો સમરૂપ છે.
અહીં $\angle A$ એ $\angle P$ ને સંગત છે અને $\angle B$ એ $\angle R$ ને સંગત છે,તેથી ત્રીજો ખૂણો $\angle C$ એ $\angle Q$ ને સંગત હોવો જોઈએ (કારણ કે ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે).
તેથી,સંગતતા $ABC \leftrightarrow PRQ$ એ સમરૂપતા $\Delta ABC \sim \Delta PRQ$ દર્શાવે છે.

(B) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ માં,$\overline{PQ} \parallel \overline{BC}$ છે.
પ્રમેય $6.1$ (થેલ્સના પ્રમેય) મુજબ,$\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$ થાય.
વળી,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta APQ \sim \Delta ABC$ થાય (કારણ કે $\angle APQ = \angle ABC$ અને $\angle AQP = \angle ACB$ સમાંતર રેખાઓને લીધે),
તેથી તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AP}{AB} = \frac{AQ}{AC} = \frac{PQ}{BC}$.
આપેલા વિકલ્પો તપાસતા,$\frac{PQ}{BC} = \frac{AQ}{AC}$ સાચું છે.

(C) આપેલ છે કે સંગતતા $ABC \leftrightarrow RPQ$ હેઠળ $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ છે. આનો અર્થ એ છે કે $\angle A = \angle R$,$\angle B = \angle P$,અને $\angle C = \angle Q$ થાય.
$\Delta ABC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $m \angle A + m \angle B + m \angle C = 180^{\circ}$ થાય છે.
આપેલ છે કે $m \angle A + m \angle C = m \angle B$,તેથી આ કિંમત સરવાળાના સમીકરણમાં મૂકતા: $m \angle B + m \angle B = 180^{\circ}$,જે $2(m \angle B) = 180^{\circ}$ આપે છે,તેથી $m \angle B = 90^{\circ}$ થાય.
સંગતતા મુજબ $\angle B = \angle P$ હોવાથી,$m \angle P = 90^{\circ}$ થાય.
તેથી,$\angle P$ એ કાટખૂણો છે.

(D) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ અને $\Delta PQR$ માં,$\angle A = \angle R$ અને $\angle B = \angle P$ છે.
$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABC \sim \Delta R P Q$ થાય.
સમરૂપ ત્રિકોણ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AB}{RP} = \frac{BC}{PQ} = \frac{AC}{RQ}$.
અહીં $AB = 6$,$BC = 8$ અને $PR = 9$ આપેલ છે.
ગુણોત્તર $\frac{AB}{RP} = \frac{BC}{PQ}$ માં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{6}{9} = \frac{8}{PQ}$.
$\frac{6}{9}$ નું સાદું રૂપ આપતા $\frac{2}{3}$ મળે.
તેથી,$\frac{2}{3} = \frac{8}{PQ}$.
$2 \times PQ = 8 \times 3$.
$2 \times PQ = 24$.
$PQ = \frac{24}{2} = 12$.
આમ,$PQ = 12$.

(A) આપેલ છે કે $\angle A \cong \angle E$,તેથી $m \angle A = m \angle E$.
સમીકરણ $m \angle A + m \angle B = m \angle D + m \angle E$ આપેલ છે.
સમીકરણમાં $m \angle A = m \angle E$ મૂકતા,આપણને $m \angle E + m \angle B = m \angle D + m \angle E$ મળે છે.
બંને બાજુથી $m \angle E$ બાદ કરતા,$m \angle B = m \angle D$ મળે છે.
$\Delta ABC$ ના બે ખૂણાઓ $\Delta DEF$ ના બે ખૂણાઓ સાથે એકરૂપ હોવાથી (ખાસ કરીને $\angle A \cong \angle E$ અને $\angle B \cong \angle D$),$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,ત્રિકોણો સમરૂપ છે.
સંગતતાએ એકરૂપ ખૂણાઓને અનુરૂપ હોવી જોઈએ: $A$ એ $E$ ને સંગત છે,$B$ એ $D$ ને સંગત છે,અને તેથી $C$ એ $F$ ને સંગત હોવો જોઈએ.
આમ,સંગતતા $ABC \leftrightarrow EDF$ છે.

(D) આપેલ ત્રિકોણની બાજુઓનો ગુણોત્તર: $\frac{AB}{XZ} = \frac{BC}{XY} = \frac{AC}{YZ}$ છે.
$SSS$ (બાજુ-બાજુ-બાજુ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,જો બે ત્રિકોણની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય,તો તે બે ત્રિકોણ સમરૂપ છે.
ગુણોત્તર જોતા:
$AB$ ને અનુરૂપ $XZ$ છે.
$BC$ ને અનુરૂપ $XY$ છે.
$AC$ ને અનુરૂપ $YZ$ છે.
તેથી,$\Delta ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ એ $\Delta XYZ$ ના શિરોબિંદુઓ $X, Z, Y$ ને અનુરૂપ છે.
આમ,સંગતતા $\Delta ABC \sim \Delta XZY$ છે.

(C) પ્રમેય (થેલ્સના પ્રમેય) મુજબ,જો ત્રિકોણની એક બાજુને સમાંતર રેખા બાકીની બે બાજુઓને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે,તો તે બાજુઓ પર કપાતા રેખાખંડો સમપ્રમાણમાં હોય છે.
આપેલ છે કે $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$,તેથી ગુણોત્તર: $\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{5}{8} = \frac{10}{NC}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $5 \times NC = 8 \times 10$.
$5 \times NC = 80$.
$NC = \frac{80}{5} = 16$.
આમ,$NC$ ની કિંમત $16$ છે.

(D) થેલ્સના પ્રમેય (સમપ્રમાણતાનું મૂળભૂત પ્રમેય) મુજબ,જો ત્રિકોણની એક બાજુને સમાંતર રેખા બાકીની બે બાજુઓને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે,તો તે બાજુઓ પર કપાતા રેખાખંડો સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ હોવાથી:
$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x+1}{x} = \frac{3x-3}{4x-10}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$(x+1)(4x-10) = x(3x-3)$
$4x^2 - 10x + 4x - 10 = 3x^2 - 3x$
$4x^2 - 6x - 10 = 3x^2 - 3x$
$x^2 - 3x - 10 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(x-5)(x+2) = 0$
તેથી $x = 5$ અથવા $x = -2$ મળે.
લંબાઈ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 5$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $\square ABCD$ એક ચતુષ્કોણ છે જેમાં $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ છે.
$\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ હોવાથી,યુગ્મકોણો સમાન થાય,એટલે કે $\angle MAB = \angle MCD$ અને $\angle MBA = \angle MDC$.
$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle MAB \sim \triangle MCD$.
સમરૂપ ત્રિકોણો માટે,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે: $\frac{MA}{MC} = \frac{MB}{MD}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{6}{8} = \frac{9}{MD}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $6 \times MD = 8 \times 9$.
$6 \times MD = 72$.
$MD = \frac{72}{6} = 12$.

(B) ત્રિકોણના ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ,જો કોઈ કિરણ ત્રિકોણના ખૂણાને દુભાગે,તો તે સામેની બાજુને અન્ય બે બાજુઓના પ્રમાણમાં વિભાજિત કરે છે.
$\Delta ABC$ માં,$AD$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,આપણી પાસે ગુણોત્તર છે: $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{8}{10} = \frac{3.2}{DC}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $8 \times DC = 10 \times 3.2$.
$8 \times DC = 32$.
$DC = \frac{32}{8} = 4$.
તેથી,$DC$ ની લંબાઈ $4$ છે.

(C) ત્રિકોણના ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ,જો કોઈ કિરણ ત્રિકોણના ખૂણાને દુભાગે છે,તો તે સામેની બાજુને અન્ય બે બાજુઓના પ્રમાણમાં વિભાજિત કરે છે.
$\Delta PQR$ માં,$PS$ એ $\angle P$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,આપણી પાસે ગુણોત્તર છે:
$\frac{PQ}{PR} = \frac{QS}{SR}$
આપેલ કિંમતો $PQ = 15$,$QS = 10$ અને $SR = 8$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{15}{PR} = \frac{10}{8}$
$10 \times PR = 15 \times 8$
$10 \times PR = 120$
$PR = \frac{120}{10} = 12$
તેથી,$PR = 12$.

(N/A) $\Delta ABC$ માં,$m\angle B = 90^\circ$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^2 = AB^2 + BC^2$.
$AC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$.
$AC = 10$.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times AC \times BM$.
$\frac{1}{2} \times 8 \times 6 = \frac{1}{2} \times 10 \times BM$.
$48 = 10 \times BM \implies BM = 4.8$.
$\Delta AMB$ માં,$m\angle M = 90^\circ$. પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AB^2 = AM^2 + BM^2$.
$8^2 = AM^2 + (4.8)^2$.
$64 = AM^2 + 23.04$.
$AM^2 = 64 - 23.04 = 40.96$.
$AM = \sqrt{40.96} = 6.4$.
કારણ કે $AC = AM + CM$,તેથી $10 = 6.4 + CM$.
$CM = 10 - 6.4 = 3.6$.
આમ,$AM = 6.4$,$BM = 4.8$ અને $CM = 3.6$.

(N/A) $\Delta PQR$ માં,$m\angle Q = 90^{\circ}$ અને $\overline{QM}$ એ કર્ણ $\overline{PR}$ પરનો વેધ છે.
$M$ એ $\overline{PR}$ પર આવેલું હોવાથી,$PR = PM + RM = x + y$ થાય.
કર્ણ પરના વેધ માટેના ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$QM^2 = PM \cdot RM = x \cdot y$
$\therefore QM = \sqrt{xy}$.
$\Delta PQR$ માટે બાજુના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$PQ^2 = PM \cdot PR = x(x + y) = x^2 + xy$
$\therefore PQ = \sqrt{x^2 + xy}$.
તે જ રીતે,બીજી બાજુ માટે:
$QR^2 = RM \cdot PR = y(x + y) = y^2 + xy$
$\therefore QR = \sqrt{y^2 + xy}$.
આમ,લંબાઈઓ $PQ = \sqrt{x^2 + xy}$,$QR = \sqrt{y^2 + xy}$,$PR = x + y$ અને $QM = \sqrt{xy}$ છે.

(B) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કાટખૂણાના શિરોબિંદુમાંથી કર્ણ પર દોરેલો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં ભૂમિતિ મધ્યકના ગુણધર્મ મુજબ,કર્ણ $AC$ પરનો વેધ $BD$ નીચે મુજબનો સંબંધ ધરાવે છે:
$BD^2 = AD \times CD$
અહીં $AD = 9$ અને $CD = 4$ આપેલ છે,તેથી:
$BD^2 = 9 \times 4$
$BD^2 = 36$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$BD = \sqrt{36} = 6$
આમ,$BD$ ની લંબાઈ $6$ છે.

(C) $\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BD}$ એ કર્ણ $AC$ પરનો વેધ છે.
અહીં $D$ એ $AC$ પર આવેલું હોવાથી,$AC = AD + CD = 9 + 27 = 36$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ પરના વેધના પ્રમેય મુજબ,$AB^2 = AD \times AC$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$AB^2 = 9 \times 36 = 324$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$AB = \sqrt{324} = 18$.
આમ,$AB = 18$.

(N/A) $\Delta ABC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
$m \angle A + m \angle C + m \angle B = 180^{\circ}$
આપેલ છે કે $m \angle A + m \angle C = m \angle B$,તેથી:
$m \angle B + m \angle B = 180^{\circ}$
$2 m \angle B = 180^{\circ}$
$m \angle B = 90^{\circ}$
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં,કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ $\overline{BM}$ હોય,તો ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય મુજબ:
$BM^2 = AM \times CM$
$BM^2 = 16 \times 9 = 144$
$BM = 12$
હવે,કાટકોણ ત્રિકોણના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા:
$AC = AM + CM = 16 + 9 = 25$
$AB^2 = AM \times AC = 16 \times 25 = 400 \implies AB = 20$
$BC^2 = CM \times AC = 9 \times 25 = 225 \implies BC = 15$
આમ,$BM = 12$,$AB = 20$ અને $BC = 15$.

(A) $\Delta ABC$ માં,$\overline{AD}$ એ પાયા $\overline{BC}$ પરની મધ્યગા છે.
$\Delta ABC$ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,જેમાં $\overline{AB} \cong \overline{AC}$ છે,પાયા પરની મધ્યગા $\overline{AD}$ એ પાયા પરનો વેધ પણ છે.
તેથી,$\overline{AD} \perp \overline{BC}$ અને $\angle ADB = 90^{\circ}$ થાય.
ધારો કે $AB = AC = x$. $\Delta ABC$ ની પરિમિતિ $AB + AC + BC = 36$ છે.
$x + x + BC = 36 \implies BC = 36 - 2x$.
$D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$BD = \frac{BC}{2} = \frac{36 - 2x}{2} = 18 - x$.
કાટકોણ $\Delta ABD$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 = AD^2 + BD^2$
$x^2 = 12^2 + (18 - x)^2$
$x^2 = 144 + 324 - 36x + x^2$
$36x = 468$
$x = 13$.
આમ,$BD = 18 - 13 = 5$,તેથી $BC = 2 \times 5 = 10$.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times BC \times AD$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 10 \times 12 = 60$.

(B) $\Delta ABC$ માં,આપણને $AC - AB = 27$ અને $AC - BC = 6$ આપેલ છે.
તેથી,$AB = AC - 27$ અને $BC = AC - 6$.
$\Delta ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = (AC - 27)^2 + (AC - 6)^2$
$AC^2 = (AC^2 - 54AC + 729) + (AC^2 - 12AC + 36)$
$AC^2 = 2AC^2 - 66AC + 765$
$0 = AC^2 - 66AC + 765$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(AC - 51)(AC - 15) = 0$
તેથી,$AC = 51$ અથવા $AC = 15$.
જો $AC = 15$ હોય,તો $AB = 15 - 27 = -12$ થાય,જે શક્ય નથી કારણ કે બાજુની લંબાઈ ઋણ ન હોઈ શકે.
તેથી,$AC = 51$.
હવે,$AB = 51 - 27 = 24$ અને $BC = 51 - 6 = 45$.
$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ $= AB + BC + AC = 24 + 45 + 51 = 120$.

(D) $\Delta PQR$ માં,બાજુઓના માપ $PQ = 15$,$QR = 17$ અને $PR = 8$ છે.
તે કાટકોણ ત્રિકોણ છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે પાયથાગોરસના પ્રમેયના પ્રતિપનો ઉપયોગ કરીશું.
સૌથી મોટી બાજુ $QR = 17$ છે.
સૌથી મોટી બાજુનો વર્ગ શોધો: $QR^2 = 17^2 = 289$.
બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો કરો: $PQ^2 + PR^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$.
અહીં $PQ^2 + PR^2 = QR^2$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ પાયથાગોરસના પ્રમેયનું પાલન કરે છે.
તેથી,$\Delta PQR$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે અને કર્ણ $QR$ ની સામેનો ખૂણો $\angle P = 90^\circ$ એ કાટખૂણો છે.

(D) $\Delta PQR$ માં,બાજુઓના માપ $PQ = 8$,$QR = 6$ અને $PR = 12$ છે.
સૌથી મોટી બાજુ $\overline{PR}$ છે.
સૌથી મોટી બાજુનો વર્ગ ગણો: $PR^2 = 12^2 = 144$.
બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો ગણો: $PQ^2 + QR^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$.
પાયથાગોરસના પ્રમેયના પ્રતિજ્ઞા મુજબ,જો ત્રિકોણમાં સૌથી મોટી બાજુનો વર્ગ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય,તો તે કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
અહીં,$PQ^2 + QR^2 = 100$ અને $PR^2 = 144$ છે.
તેથી,$PQ^2 + QR^2 \neq PR^2$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણની શરતનું પાલન કરતું નથી.
આમ,$\Delta PQR$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ નથી.

(D) $\Delta PQR$ માં,બાજુઓના માપ $PQ = 7$,$QR = 24$ અને $PR = 25$ છે.
સૌથી મોટી બાજુ $PR = 25$ છે.
સૌથી મોટી બાજુનો વર્ગ શોધો:
$PR^2 = 25^2 = 625$
બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો શોધો:
$PQ^2 + QR^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$
અહીં $PQ^2 + QR^2 = PR^2$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ પાયથાગોરસના પ્રમેયના પ્રતિપનું પાલન કરે છે.
તેથી,$\Delta PQR$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે અને કર્ણ $PR$ ની સામેનો ખૂણો,એટલે કે $\angle Q$,કાટખૂણો છે.

(B) ધારો કે $\overline{AB}$ દીવાલ દર્શાવે છે,$\overline{AC}$ નિસરણી દર્શાવે છે અને $C$ એ જમીન પર નિસરણીનો નીચેનો છેડો છે.
આપેલ છે: $AB = 12 \, m$,$BC = 9 \, m$ અને $\angle B = 90^{\circ}$.
કાટકોણ $\Delta ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = 12^2 + 9^2$
$AC^2 = 144 + 81$
$AC^2 = 225$
$AC = \sqrt{225} = 15 \, m$.
આમ,નિસરણીની લંબાઈ $15 \, m$ છે.

(C) સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે.
ધારો કે વિકર્ણો $\overline{AC}$ અને $\overline{BD}$ બિંદુ $M$ માં છેદે છે.
તેથી,$m\angle AMB = 90^{\circ}$.
વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગતા હોવાથી,$AM = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2}(12) = 6$ અને $BM = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2}(16) = 8$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta AMB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 = AM^2 + BM^2$
$AB^2 = 6^2 + 8^2$
$AB^2 = 36 + 64 = 100$
$AB = \sqrt{100} = 10$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણની પરિમિતિ $= 4 \times \text{બાજુનું માપ}$.
પરિમિતિ $= 4 \times AB = 4 \times 10 = 40$.
આમ,સમબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની પરિમિતિ $40$ છે.

(D) ચોરસની પરિમિતિનું સૂત્ર $4 \times \text{બાજુ}$ છે.
ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $s$ છે.
$4s = 48$
$s = 12$
ચોરસ $ABCD$ માં, બધી બાજુઓ $12$ છે અને દરેક ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં, પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = 12^2 + 12^2$
$AC^2 = 144 + 144 = 288$
$AC = \sqrt{288} = \sqrt{144 \times 2} = 12 \sqrt{2}$.
આમ, ચોરસ $ABCD$ ના વિકર્ણ $\overline{AC}$ ની લંબાઈ $12 \sqrt{2}$ છે.

(A) $\Delta ABC$ માં,$m\angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$(3x - 1)^2 = (2x + 3)^2 + (x + 2)^2$
$9x^2 - 6x + 1 = (4x^2 + 12x + 9) + (x^2 + 4x + 4)$
$9x^2 - 6x + 1 = 5x^2 + 16x + 13$
$4x^2 - 22x - 12 = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$2x^2 - 11x - 6 = 0$
$2x^2 - 12x + x - 6 = 0$
$2x(x - 6) + 1(x - 6) = 0$
$(x - 6)(2x + 1) = 0$
આમ,$x = 6$ અથવા $x = -\frac{1}{2}$.
બાજુની લંબાઈ હંમેશા ધન હોવી જોઈએ,તેથી $x = -\frac{1}{2}$ શક્ય નથી કારણ કે તે બાજુની લંબાઈ ઋણ બનાવે છે.
તેથી,$x = 6$.

(B) આપેલ છે કે $AB : AC = 24 : 25$.
ધારો કે $AB = 24k$ અને $AC = 25k$,જ્યાં $k > 0$.
કાટકોણ $\Delta ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$(25k)^2 = (24k)^2 + (14)^2$
$625k^2 = 576k^2 + 196$
$625k^2 - 576k^2 = 196$
$49k^2 = 196$
$k^2 = 4$
કારણ કે $k > 0$,તેથી $k = 2$.
હવે,$AB = 24 \times 2 = 48$ અને $AC = 25 \times 2 = 50$.
$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ = $AB + BC + AC = 48 + 14 + 50 = 112$.
આમ,$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ $112$ છે.

(C) $\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$
$AC^{2} = 20^{2} + 21^{2}$
$AC^{2} = 400 + 441$
$AC^{2} = 841$
$AC = \sqrt{841} = 29$.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પરની મધ્યગાની લંબાઈ કર્ણની લંબાઈ કરતા અડધી હોય છે.
તેથી,$BM = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 29 = 14.5$.
આમ,$BM = 14.5$.

(N/A) આપેલ છે: $\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM} \perp \overline{AC}$.
સાબિત કરવાનું છે: $\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AM}{CM}$.
સાબિતી: $\Delta ABC$ માં,$\overline{BM}$ એ કર્ણ પરનો વેધ હોવાથી,આપણને બે સમરૂપ ત્રિકોણ મળે છે:
$1$. $\Delta AMB \sim \Delta ABC$,જે દર્શાવે છે કે $\frac{AB}{AC} = \frac{AM}{AB}$,તેથી $AB^2 = AM \times AC$.
$2$. $\Delta BMC \sim \Delta ABC$,જે દર્શાવે છે કે $\frac{BC}{AC} = \frac{CM}{BC}$,તેથી $BC^2 = CM \times AC$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AM \times AC}{CM \times AC}$
તેથી,$\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AM}{CM}$.

(N/A) આપેલ છે: $\Delta PQR$ માં,$m \angle Q = 90^{\circ}$,$\overline{QD}$ એ કર્ણ $PR$ પરનો વેધ છે અને $PD = 9RD$ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $PQ = 3QR$.
સાબિતી: $\Delta PQR$ માં,$m \angle Q = 90^{\circ}$ અને $\overline{QD} \perp \overline{PR}$ હોવાથી,કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ પરના વેધના ગુણધર્મ મુજબ:
$PQ^2 = PD \times PR$ અને $QR^2 = RD \times PR$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{PQ^2}{QR^2} = \frac{PD \times PR}{RD \times PR} = \frac{PD}{RD}$.
$PD = 9RD$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{PQ^2}{QR^2} = \frac{9RD}{RD} = 9$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{PQ}{QR} = 3$.
તેથી,$PQ = 3QR$.

(B) $\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM}$ એ કર્ણ $AC$ પરનો વેધ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણના ગુણધર્મો મુજબ:
$AB^{2} = AM \times AC$
$BC^{2} = CM \times AC$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$AB^{2} - BC^{2} = (AM \times AC) - (CM \times AC)$
$AB^{2} - BC^{2} = AC(AM - CM)$
આપેલ છે કે $AB^{2} - BC^{2} = 260$ અને $AM - CM = 10$:
$260 = AC(10)$
$AC = \frac{260}{10} = 26$
આમ,$AC = 26$.