Mix Examples - Triangles Questions in Gujarati

(A) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta PQR$ માં,જ્યાં $\angle Q = 90^{\circ}$ છે,બાજુ $PR$ એ કર્ણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $(PR)^2 = (PQ)^2 + (QR)^2$.
આપેલ કિંમતો $PQ = 33$ અને $PR = 65$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(65)^2 = (33)^2 + (QR)^2$.
$4225 = 1089 + (QR)^2$.
$(QR)^2 = 4225 - 1089$.
$(QR)^2 = 3136$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $QR = \sqrt{3136} = 56$.
તેથી,$QR$ ની લંબાઈ $56$ છે.

(A) ધારો કે ચતુષ્કોણ $PQRS$ ના વિકર્ણો $PR$ અને $QS$ બિંદુ $O$ પર કાટખૂણે છેદે છે.
તેથી,$\angle POQ = \angle QOR = \angle ROS = \angle SOP = 90^{\circ}$.
કાટકોણ $\triangle POQ$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $PQ^{2} = PO^{2} + OQ^{2}$.
કાટકોણ $\triangle ROS$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $RS^{2} = RO^{2} + OS^{2}$.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $PQ^{2} + RS^{2} = PO^{2} + OQ^{2} + RO^{2} + OS^{2}$ --- (સમીકરણ $1$).
કાટકોણ $\triangle SOP$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $PS^{2} = SO^{2} + OP^{2}$.
કાટકોણ $\triangle QOR$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $QR^{2} = OQ^{2} + OR^{2}$.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $PS^{2} + QR^{2} = SO^{2} + OP^{2} + OQ^{2} + OR^{2}$ --- (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે જમણી બાજુઓ સમાન છે.
તેથી,$PQ^{2} + RS^{2} = PS^{2} + QR^{2}$.

(N/A) આપેલ છે: $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$. $N$ એ $AB$ પરનું બિંદુ છે અને $M$ એ $BC$ પરનું બિંદુ છે.
પગલું $1$: $\Delta ABM$ અને $\Delta CBN$ માં પાયથાગોરસનો પ્રમેય લાગુ કરો.
$\Delta ABM$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,$AM^{2} = AB^{2} + BM^{2}$ મળે.
$\Delta CBN$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,$CN^{2} = CB^{2} + BN^{2}$ મળે.
પગલું $2$: બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરો.
$AM^{2} + CN^{2} = (AB^{2} + BM^{2}) + (CB^{2} + BN^{2})$.
પગલું $3$: પદોને ફરીથી ગોઠવો.
$AM^{2} + CN^{2} = (AB^{2} + CB^{2}) + (BM^{2} + BN^{2})$.
પગલું $4$: $\Delta ABC$ અને $\Delta MBN$ માટે પાયથાગોરસનો પ્રમેય વાપરો.
$\Delta ABC$ માં,$AC^{2} = AB^{2} + CB^{2}$.
$\Delta MBN$ માં,$MN^{2} = BM^{2} + BN^{2}$.
પગલું $5$: આ કિંમતોને પગલું $3$ ના સમીકરણમાં મૂકો.
$AM^{2} + CN^{2} = AC^{2} + MN^{2}$.
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક લંબચોરસ છે જેની બાજુઓ $AB = CD = l$ અને $BC = DA = b$ છે.
ધારો કે વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ છે.
લંબચોરસમાં,બધા આંતરિક ખૂણાઓ $90^{\circ}$ હોય છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ ધ્યાનમાં લો. પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = l^2 + b^2$.
તે જ રીતે,કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle BCD$ માં:
$BD^2 = BC^2 + CD^2 = b^2 + l^2$.
વિકર્ણોના વર્ગોનો સરવાળો = $AC^2 + BD^2 = (l^2 + b^2) + (b^2 + l^2) = 2l^2 + 2b^2$.
બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો = $AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = l^2 + b^2 + l^2 + b^2 = 2l^2 + 2b^2$.
આમ,બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો એ વિકર્ણોના વર્ગોના સરવાળા જેટલો છે.

(N/A) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = m^{2}-n^{2}$,$b = 2mn$ અને $c = m^{2}+n^{2}$ છે.
ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે તે સાબિત કરવા માટે,આપણે તપાસવું પડશે કે સૌથી મોટી બાજુનો વર્ગ અન્ય બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો છે કે નહીં (પાયથાગોરસનો પ્રમેય).
અહીં,$c = m^{2}+n^{2}$ એ સૌથી મોટી બાજુ છે કારણ કે $m > n > 0$.
$a^{2} + b^{2}$ ની ગણતરી કરીએ:
$a^{2} + b^{2} = (m^{2}-n^{2})^{2} + (2mn)^{2}$
$= (m^{4} - 2m^{2}n^{2} + n^{4}) + 4m^{2}n^{2}$
$= m^{4} + 2m^{2}n^{2} + n^{4}$
$= (m^{2}+n^{2})^{2}$
$= c^{2}$
આમ,$a^{2} + b^{2} = c^{2}$ હોવાથી,ત્રિકોણ પાયથાગોરસના પ્રમેયનું પાલન કરે છે.
તેથી,આ ત્રિકોણ એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(N/A) આપેલ છે: $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ (કારણ કે $\overline{AC}$ કર્ણ છે),અને $\overline{BE}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરની મધ્યગા છે.
$\overline{BE}$ મધ્યગા હોવાથી,$E$ એ $\overline{AC}$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$AE = EC = \frac{1}{2} AC$,જેનો અર્થ છે કે $AC = 2AE$.
કાટકોણ $\Delta ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AB^{2} + BC^{2} = AC^{2}$.
આપણે સાબિત કરવાનું છે: $AB^{2} + BC^{2} + AC^{2} = 8AE^{2}$.
$AB^{2} + BC^{2} = AC^{2}$ ને પદાવલિમાં મૂકતા:
$AC^{2} + AC^{2} = 2AC^{2}$.
$AC = 2AE$ હોવાથી,તેને પદાવલિમાં મૂકતા:
$2(2AE)^{2} = 2(4AE^{2}) = 8AE^{2}$.
આમ,$AB^{2} + BC^{2} + AC^{2} = 8AE^{2}$ સાબિત થાય છે.

(A) $\Delta GBS$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ અને $BM \perp GS$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ પર વેધ દોરવામાં આવે ત્યારે બનતા ત્રિકોણો મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે.
તેથી,$\Delta GMB \sim \Delta GBS$ અને $\Delta BMS \sim \Delta GBS$ થાય.
$\Delta GMB \sim \Delta GBS$ પરથી,$\frac{GB}{GS} = \frac{GM}{GB}$,એટલે કે $GB^{2} = GM \cdot GS$ (સમીકરણ $1$).
$\Delta BMS \sim \Delta GBS$ પરથી,$\frac{BS}{GS} = \frac{SM}{BS}$,એટલે કે $BS^{2} = SM \cdot GS$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ ને સમીકરણ $2$ વડે ભાગતા:
$\frac{GB^{2}}{BS^{2}} = \frac{GM \cdot GS}{SM \cdot GS} = \frac{GM}{SM}$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) $1$. $\Delta PQR$ માં,$\angle Q = 90^{\circ}$ અને $\overline{QD} \perp \overline{PR}$.
$2$. કાટકોણ ત્રિકોણમાં સમાનતાના ગુણધર્મ મુજબ,$\Delta PDQ \sim \Delta PQR$ અને $\Delta RDQ \sim \Delta RQP$.
$3$. કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ પરનો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને અને એકબીજાને સમરૂપ હોય છે.
$4$. તેથી,$\Delta PDQ \sim \Delta QDR$.
$5$. સમરૂપતા $\Delta PDQ \sim \Delta QDR$ પરથી,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર: $\frac{PD}{QD} = \frac{QD}{RD} = \frac{PQ}{QR}$.
$6$. આપણને આપેલ છે કે $PQ = 3QR$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{PQ}{QR} = 3$.
$7$. $\frac{PD}{QD} = \frac{PQ}{QR}$ પરથી,આપણને $PD = 3QD$ મળે છે.
$8$. $\frac{QD}{RD} = \frac{PQ}{QR}$ પરથી,આપણને $QD = 3RD$ મળે છે.
$9$. $PD = 3QD$ માં $QD = 3RD$ ની કિંમત મૂકતા,$PD = 3(3RD) = 9RD$ મળે છે.
$10$. આમ,$PD = 9RD$ સાબિત થાય છે.

(N/A) $\Delta XYZ$ માં,$\angle Y = 90^{\circ}$ અને $\overline{YM} \perp \overline{XZ}$ છે.
ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય (Geometric Mean Theorem) મુજબ,કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ પરનો વેધ મૂળ ત્રિકોણને બે સમાન ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે.
ખાસ કરીને,$\Delta XMY \sim \Delta YMZ$.
સમરૂપતા $\Delta XMY \sim \Delta YMZ$ પરથી,આપણને અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર મળે છે:
$\frac{XY}{YZ} = \frac{XM}{YM} = \frac{YM}{ZM}$.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં વેધના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$XY^2 = XM \cdot XZ$ અને $YZ^2 = ZM \cdot XZ$.
આ બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{XY^2}{YZ^2} = \frac{XM \cdot XZ}{ZM \cdot XZ} = \frac{XM}{ZM}$.
આપેલ છે કે $XM = 16ZM$,તેથી:
$\frac{XY^2}{YZ^2} = \frac{16ZM}{ZM} = 16$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{XY}{YZ} = \sqrt{16} = 4$.
તેથી,$XY = 4YZ$ સાબિત થાય છે.

(N/A) $\Delta ABC$ માં,$m\angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સૂત્ર મુજબ,$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ બે રીતે લખી શકાય:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AB \times BC$ (બાજુઓને પાયો અને વેધ ગણતા)
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AC \times BM$ (કર્ણને પાયો અને વેધ ગણતા)
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times AC \times BM \implies AB \times BC = AC \times BM$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $AB^2 \times BC^2 = AC^2 \times BM^2$.
$\Delta ABC$ કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
$AC^2$ ની કિંમત મૂકતા: $AB^2 \times BC^2 = (AB^2 + BC^2) \times BM^2$.
$BM^2$ ને કર્તા બનાવતા: $BM^2 = \frac{AB^2 \times BC^2}{AB^2 + BC^2}$.
બંને બાજુ વ્યસ્ત લેતા: $\frac{1}{BM^2} = \frac{AB^2 + BC^2}{AB^2 \times BC^2}$.
અપૂર્ણાંકને અલગ પાડતા: $\frac{1}{BM^2} = \frac{AB^2}{AB^2 \times BC^2} + \frac{BC^2}{AB^2 \times BC^2}$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{1}{BM^2} = \frac{1}{BC^2} + \frac{1}{AB^2}$.

(N/A) $1$. $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BD} \perp \overline{AC}$ છે.
$2$. કાટકોણ ત્રિકોણમાં વેધના ગુણધર્મ મુજબ,$BD^2 = AD \cdot CD$ થાય.
$3$. આપેલ છે કે $BD = 2CD$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $(2CD)^2 = AD \cdot CD$.
$4$. આનું સાદું રૂપ આપતા $4CD^2 = AD \cdot CD$ મળે.
$5$. બંને બાજુ $CD$ વડે ભાગતા ($CD \neq 0$ હોવાથી),આપણને $AD = 4CD$ મળે છે.
$6$. આપણે જાણીએ છીએ કે $AC = AD + CD$,તેથી $AD = 4CD$ ની કિંમત મૂકતા: $AC = 4CD + CD$.
$7$. આમ,$AC = 5CD$ સાબિત થાય છે.

(N/A) $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^\circ$ અને $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં ભૂમિતિના મધ્યકના ગુણધર્મ મુજબ,$\Delta AMB \sim \Delta BMC$ થાય.
તેથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય: $\frac{AB}{BC} = \frac{AM}{BM} = \frac{BM}{CM}$.
$\frac{AB}{BC} = \frac{BM}{CM}$ પરથી,આપણને $BM = \frac{AB \cdot CM}{BC}$ મળે.
વળી,$\Delta AMB \sim \Delta ABC$ હોવાથી,$\frac{AB}{AC} = \frac{AM}{AB}$,જેનો અર્થ છે કે $AB^2 = AM \cdot AC$.
તે જ રીતે,$\Delta BMC \sim \Delta ABC$ હોવાથી,$\frac{BC}{AC} = \frac{CM}{BC}$,જેનો અર્થ છે કે $BC^2 = CM \cdot AC$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AM \cdot AC}{CM \cdot AC} = \frac{AM}{CM}$.
આપેલ છે કે $AM = 4CM$,તેથી આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{4CM}{CM} = 4$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{AB}{BC} = \sqrt{4} = 2$.
આમ,$AB = 2BC$ સાબિત થાય છે.

(N/A) $\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$ થાય. (સમીકરણ $1$)
$\Delta ABD$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AD^{2} = AB^{2} + BD^{2}$ થાય. (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ પરથી,આપણે $AB^{2} = AD^{2} - BD^{2}$ લખી શકીએ.
$AB^{2}$ ની આ કિંમતને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$AC^{2} = (AD^{2} - BD^{2}) + BC^{2}$.
પદોની ગોઠવણી કરતા,આપણને $AC^{2} + BD^{2} = AD^{2} + BC^{2}$ મળે છે.
આમ,વિધાન સાબિત થાય છે.

(A) આપેલ છે: $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{AD}$ એ બાજુ $\overline{BC}$ પરની મધ્યગા છે.
$\overline{AD}$ મધ્યગા હોવાથી,$D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$BD = DC = \frac{1}{2} BC$,જેનો અર્થ છે કે $BC = 2BD$.
કાટકોણ $\Delta ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$.
$BC = 2BD$ મૂકતા,આપણને મળે $AC^{2} = AB^{2} + (2BD)^{2} = AB^{2} + 4BD^{2}$. (સમીકરણ $1$)
કાટકોણ $\Delta ABD$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AD^{2} = AB^{2} + BD^{2}$,જેનો અર્થ છે કે $AB^{2} = AD^{2} - BD^{2}$. (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$AC^{2} = (AD^{2} - BD^{2}) + 4BD^{2}$
$AC^{2} = AD^{2} + 3BD^{2}$.
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.

(C) $\Delta PQR$ માં,$\overline{PM}$ મધ્યગા છે.
એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ:
$PQ^{2} + PR^{2} = 2(PM^{2} + QM^{2})$
અહીં $PQ^{2} + PR^{2} = 148$ અને $PM = 7$ આપેલ છે:
$148 = 2(7^{2} + QM^{2})$
$74 = 49 + QM^{2}$
$QM^{2} = 74 - 49$
$QM^{2} = 25$
$QM = 5$
$\overline{PM}$ મધ્યગા હોવાથી,$M$ એ $\overline{QR}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$QR = 2 \times QM = 2 \times 5 = 10$.

(D) $\Delta XYZ$ માં,$\overline{XN}$ મધ્યગા છે.
એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ:
$XY^2 + XZ^2 = 2(XN^2 + YN^2)$
$200 = 2(8^2 + YN^2)$
$100 = 64 + YN^2$
$YN^2 = 36$
$YN = 6$
$\overline{XN}$ મધ્યગા હોવાથી,$N$ એ $\overline{YZ}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$YZ = 2 \times YN = 2 \times 6 = 12$.

(A) $\Delta ABC$ માં,$\overline{AD}$ એ બાજુ $\overline{BC}$ પરની મધ્યગા છે.
તેથી,$D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$BD = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2}(16) = 8$.
$\Delta ABC$ માટે એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ,મધ્યગા $\overline{AD}$ માટે:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$10^2 + AC^2 = 2((\sqrt{58})^2 + 8^2)$
$100 + AC^2 = 2(58 + 64)$
$100 + AC^2 = 2(122)$
$100 + AC^2 = 244$
$AC^2 = 244 - 100$
$AC^2 = 144$
$AC = \sqrt{144} = 12$.

(B) $\Delta ABC$ માં,$\overline{AD}$ મધ્યગા છે.
તેથી $D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી $BC = 2BD = 2(4) = 8.$
$\Delta ABC$ માટે એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ,મધ્યગા $\overline{AD}$ માટે:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
$AB^2 + 7^2 = 2(7^2 + 4^2)$
$AB^2 + 49 = 2(49 + 16)$
$AB^2 + 49 = 2(65)$
$AB^2 + 49 = 130$
$AB^2 = 130 - 49 = 81$
$AB = 9$
$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ $= AB + BC + AC = 9 + 8 + 7 = 24.$

(N/A) $\Delta ABC$ માં,$\overline{AD}$,$\overline{BE}$ અને $\overline{CF}$ મધ્યગાઓ છે. તેથી,$D$,$E$ અને $F$ એ અનુક્રમે $\overline{BC}$,$\overline{AC}$ અને $\overline{AB}$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
$\Delta ABC$ માં મધ્યગા $\overline{AD}$ માટે એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
$BD = \frac{1}{2}BC$ હોવાથી:
$AB^2 + AC^2 = 2AD^2 + 2(\frac{BC}{2})^2 = 2AD^2 + \frac{BC^2}{2}$
$2AD^2 = AB^2 + AC^2 - \frac{BC^2}{2} \quad \dots(1)$
તે જ રીતે,મધ્યગાઓ $\overline{BE}$ અને $\overline{CF}$ માટે:
$2BE^2 = AB^2 + BC^2 - \frac{AC^2}{2} \quad \dots(2)$
$2CF^2 = AC^2 + BC^2 - \frac{AB^2}{2} \quad \dots(3)$
સમીકરણો $(1)$,$(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$2(AD^2 + BE^2 + CF^2) = (AB^2 + AB^2 - \frac{AB^2}{2}) + (BC^2 + BC^2 - \frac{BC^2}{2}) + (AC^2 + AC^2 - \frac{AC^2}{2})$
$2(AD^2 + BE^2 + CF^2) = \frac{3}{2}AB^2 + \frac{3}{2}BC^2 + \frac{3}{2}AC^2$
$2(AD^2 + BE^2 + CF^2) = \frac{3}{2}(AB^2 + BC^2 + AC^2)$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$4(AD^2 + BE^2 + CF^2) = 3(AB^2 + BC^2 + AC^2)$

(D) એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માટે જેમાં $\overline{BC}$ પર $\overline{AD}$ મધ્યગા હોય,તો નીચે મુજબનો સંબંધ મળે છે:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
અહીં $AB^2 + AC^2 = 122$ અને $AD = 6$ આપેલ છે,આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$122 = 2(6^2 + BD^2)$
$122 = 2(36 + BD^2)$
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા:
$61 = 36 + BD^2$
$BD^2 = 61 - 36$
$BD^2 = 25$
$BD = \sqrt{25} = 5$
કારણ કે $\overline{AD}$ મધ્યગા છે,તેથી $D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે,માટે $BC = 2 \times BD$.
$BC = 2 \times 5 = 10$.

(A) $\Delta ABC$ માં મધ્યગા $\overline{AD}$ માટે એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $18^2 + 14^2 = 2(14^2 + BD^2)$
$324 + 196 = 2(196 + BD^2)$
$520 = 2(196 + BD^2)$
$260 = 196 + BD^2$
$BD^2 = 260 - 196 = 64$
$BD = 8$
$\overline{AD}$ મધ્યગા હોવાથી,$BD = DC = 8$ થાય.
તેથી,$BC = BD + DC = 8 + 8 = 16$.
$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ $= AB + AC + BC = 18 + 14 + 16 = 48$.

(B) એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માટે જેમાં $\overline{BC}$ પરની મધ્યગા $\overline{AD}$ હોય,ત્યારે નીચે મુજબનો સંબંધ મળે છે:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
અહીં $AD = 7$ અને $AB^2 + AC^2 = 148$ આપેલ છે,તેથી આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$148 = 2(7^2 + BD^2)$
$148 = 2(49 + BD^2)$
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા:
$74 = 49 + BD^2$
$BD^2 = 74 - 49 = 25$
$BD = \sqrt{25} = 5$
$\overline{AD}$ એ મધ્યગા હોવાથી,$D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $BC = 2 \times BD$.
$BC = 2 \times 5 = 10$.

(C) એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માટે જેમાં $\overline{BC}$ પર $\overline{AD}$ મધ્યગા હોય:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
અહીં $AB = 8, AC = 15$ અને $AD = 8.5$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$8^2 + 15^2 = 2(8.5^2 + BD^2)$
$64 + 225 = 2(72.25 + BD^2)$
$289 = 2(72.25 + BD^2)$
$144.5 = 72.25 + BD^2$
$BD^2 = 144.5 - 72.25 = 72.25$
$BD = \sqrt{72.25} = 8.5$
કારણ કે $\overline{AD}$ મધ્યગા છે,$D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $BC = 2 \times BD$.
$BC = 2 \times 8.5 = 17$.

(D) $\Delta XYZ$ માટે એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ,જ્યાં $\overline{XM}$ એ બાજુ $\overline{YZ}$ પરની મધ્યગા છે:
$XY^2 + XZ^2 = 2(XM^2 + YM^2)$
આપેલ છે કે $XY = 20$,$XZ = 21$ અને $XM = 14.5$.
કિંમતો મૂકતા:
$20^2 + 21^2 = 2(14.5^2 + YM^2)$
$400 + 441 = 2(210.25 + YM^2)$
$841 = 2(210.25 + YM^2)$
$420.5 = 210.25 + YM^2$
$YM^2 = 420.5 - 210.25 = 210.25$
$YM = \sqrt{210.25} = 14.5$
$\overline{XM}$ મધ્યગા હોવાથી,$M$ એ $\overline{YZ}$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $YZ = 2 \times YM$.
$YZ = 2 \times 14.5 = 29$.

(A) $\Delta PQR$ માટે એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ,જ્યાં $\overline{PS}$ મધ્યગા છે:
$PQ^2 + PR^2 = 2(PS^2 + QS^2)$
અહીં $PQ = 9$,$PR = 40$ અને $PS = 20.5$ આપેલ છે:
$9^2 + 40^2 = 2(20.5^2 + QS^2)$
$81 + 1600 = 2(420.25 + QS^2)$
$1681 = 2(420.25 + QS^2)$
$840.5 = 420.25 + QS^2$
$QS^2 = 840.5 - 420.25 = 420.25$
$QS = \sqrt{420.25} = 20.5$
$\overline{PS}$ મધ્યગા હોવાથી,$S$ એ $\overline{QR}$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $QR = 2 \times QS = 2 \times 20.5 = 41$.

(B) એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ત્રિકોણ $ABC$ માટે જેમાં $BC$ પરની મધ્યગા $AD$ હોય:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
અહીં $AB = 10$,$AC = 24$ અને $AD = 13$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$10^2 + 24^2 = 2(13^2 + BD^2)$
$100 + 576 = 2(169 + BD^2)$
$676 = 2(169 + BD^2)$
$338 = 169 + BD^2$
$BD^2 = 338 - 169 = 169$
$BD = \sqrt{169} = 13$
$AD$ એ મધ્યગા હોવાથી,$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $BC = 2 \times BD$.
$BC = 2 \times 13 = 26$.

(C) આપેલ છે કે $\overline{AD}$ એ બાજુ $\overline{BC}$ પરની મધ્યગા છે,તેથી $D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$\Delta ABD$ માં $AD = BD = 8.5$ હોવાથી,$AD = BD = DC = 8.5$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $D$ એ $\Delta ABC$ નું પરિકેન્દ્ર છે અને $\overline{BC}$ એ પરિવર્તુળનો વ્યાસ છે.
તેથી,$\angle BAC = 90^\circ$ (અર્ધવર્તુળમાં બનેલો ખૂણો).
કાટકોણ $\Delta ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^2 + AB^2 = BC^2$.
અહીં $AB = 8$ અને $BC = BD + DC = 8.5 + 8.5 = 17$.
$AC^2 + 8^2 = 17^2$
$AC^2 + 64 = 289$
$AC^2 = 225$
$AC = 15$.

(D) $\Delta XYZ$ માં,$\overline{XM}$ એ બાજુ $\overline{YZ}$ પરની મધ્યગા છે.
મધ્યગાની વ્યાખ્યા મુજબ,$M$ એ $\overline{YZ}$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $YM = MZ = 30.5$.
આમ,બાજુ $YZ$ ની લંબાઈ $YZ = YM + MZ = 30.5 + 30.5 = 61$ થાય.
આપણે $\Delta XYZ$ માટે મધ્યગા $\overline{XM}$ સાથે એપોલોનિયસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$XY^2 + XZ^2 = 2(XM^2 + YM^2)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $11^2 + XZ^2 = 2(30.5^2 + 30.5^2)$.
$121 + XZ^2 = 2(930.25 + 930.25)$.
$121 + XZ^2 = 2(1860.5)$.
$121 + XZ^2 = 3721$.
$XZ^2 = 3721 - 121$.
$XZ^2 = 3600$.
$XZ = \sqrt{3600} = 60$.

(A) આપેલ છે કે $\overline{PS}$ એ $\Delta PQR$ ની મધ્યગા છે,તેથી તે બાજુ $QR$ ને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે. આમ,$QS = SR = 18.5.$
અહીં $PS = QS = SR = 18.5$ હોવાથી,બિંદુ $S$ એ બાજુ $QR$ ના સંદર્ભમાં $\Delta PQR$ નું પરિકેન્દ્ર છે,જે સૂચવે છે કે $\angle QPR = 90^\circ$ (ગુણધર્મ મુજબ કે જો કોઈ બાજુ પરની મધ્યગા તે બાજુની લંબાઈ કરતા અડધી હોય,તો તે ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ હોય છે).
કાટકોણ $\Delta PQR$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$PQ^2 + PR^2 = QR^2$
$QR = QS + SR = 18.5 + 18.5 = 37$
$12^2 + PR^2 = 37^2$
$144 + PR^2 = 1369$
$PR^2 = 1369 - 144 = 1225$
$PR = \sqrt{1225} = 35.$

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ માં છેદે છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના નિયમ મુજબ,ચાર બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો બે વિકર્ણોના વર્ગોના સરવાળા બરાબર હોય છે.
ધારો કે બાજુઓ $AB$,$BC$,$CD$ અને $DA$ છે. $ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$AB = CD$ અને $BC = DA$ થાય.
$\triangle ABC$ અને $\triangle ADC$ માં એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ,જ્યાં $BO$ મધ્યગા છે ($O$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે):
$AB^2 + BC^2 = 2(BO^2 + AO^2)$
$AD^2 + CD^2 = 2(DO^2 + AO^2)$
$O$ એ $BD$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$BO = DO$ થાય.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = 2(BO^2 + AO^2 + DO^2 + AO^2) = 2(2BO^2 + 2AO^2) = 4BO^2 + 4AO^2$.
$BD = 2BO$ અને $AC = 2AO$ હોવાથી,$BD^2 = 4BO^2$ અને $AC^2 = 4AO^2$ થાય.
તેથી,$AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = AC^2 + BD^2$.

(C) આપેલ છે કે $\Delta PQR$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $m \angle Q = 90^\circ$ છે.
$PQ$ અને $QR$ એ કાટખૂણો બનાવતી બાજુઓ છે અને $PR$ એ કર્ણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $PQ^2 + QR^2 = PR^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $5^2 + QR^2 = 13^2$.
$25 + QR^2 = 169$.
$QR^2 = 169 - 25 = 144$.
$QR = \sqrt{144} = 12$.
કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ દ્વારા મળે છે.
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times PQ \times QR = \frac{1}{2} \times 5 \times 12$.
$\text{Area} = 5 \times 6 = 30$.

(D) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $m \angle B = 90^{\circ}$ છે.
અહીં,$AC$ એ કર્ણ છે અને $AB$ એ એક બાજુ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $10^2 = 6^2 + BC^2$.
$100 = 36 + BC^2$.
$BC^2 = 100 - 36 = 64$.
$BC = \sqrt{64} = 8$.
કાટકોણ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
અહીં,પાયો $BC = 8$ અને વેધ $AB = 6$ છે.
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 4 \times 6 = 24$.

(A) $1$. $\Delta ABC$ માં,$m\angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને $BC$ ની લંબાઈ શોધી શકાય: $AB^2 + BC^2 = AC^2$.
$2$. આપેલી કિંમતો મૂકતા: $3^2 + BC^2 = 5^2$,જે $9 + BC^2 = 25$ આપે છે.
$3$. તેથી,$BC^2 = 25 - 9 = 16$,એટલે કે $BC = 4$.
$4$. $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ બે રીતે ગણી શકાય: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times AB \times BC$ અથવા $\text{Area} = \frac{1}{2} \times AC \times BM$.
$5$. બંને પદોને સરખાવતા: $\frac{1}{2} \times 3 \times 4 = \frac{1}{2} \times 5 \times BM$.
$6$. સાદું રૂપ આપતા: $12 = 5 \times BM$,જે દર્શાવે છે કે $BM = \frac{12}{5} = 2.4$.

(B) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે જ્યાં $m \angle B = 90^{\circ}$ છે.
$\overline{AB} \cong \overline{BC}$ હોવાથી,ધારો કે $AB = BC = x$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^2 = AB^2 + BC^2$.
કિંમતો મૂકતા,$AC^2 = x^2 + x^2 = 2x^2$.
તેથી,$AC = \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2}$.
આપણે $AB : AC$ ગુણોત્તર શોધવાનો છે.
$AB : AC = x : x\sqrt{2} = 1 : \sqrt{2}$.

(C) $\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^2 = AB^2 + BC^2$.
અહીં $AB = 20$ અને $AC = 29$ આપેલ છે,તેથી $29^2 = 20^2 + BC^2$.
$841 = 400 + BC^2$.
$BC^2 = 841 - 400 = 441$.
$BC = \sqrt{441} = 21$.
$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ $= AB + BC + AC$.
પરિમિતિ $= 20 + 21 + 29 = 70$.

(B) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $s$ છે.
ચોરસની પરિમિતિ $4s$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $4s = 40$, તેથી $s = 10$.
ચોરસના વિકર્ણો સમાન લંબાઈના હોય છે.
$s$ બાજુવાળા ચોરસના વિકર્ણ $d$ ની લંબાઈ $d = s \sqrt{2}$ દ્વારા મળે છે.
આમ, $AC = BD = 10 \sqrt{2}$.
તેથી, $AC + BD = 10 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2} = 20 \sqrt{2}$.

(A) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પરની મધ્યગાની લંબાઈ કર્ણની લંબાઈ કરતાં અડધી હોય છે.
સૌ પ્રથમ,પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને કર્ણ $AC$ ની લંબાઈ શોધો: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
$AC^2 = (3.6)^2 + (4.8)^2 = 12.96 + 23.04 = 36$.
$AC = \sqrt{36} = 6$.
અહીં $\overline{BE}$ એ કર્ણ $AC$ પરની મધ્યગા હોવાથી,તેની લંબાઈ $BE = \frac{1}{2} AC$ થશે.
$BE = \frac{1}{2} \times 6 = 3$.

(B) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ માં,$m\angle B = 90^{\circ}$ છે.
ધારો કે કોઈ અચળાંક $x > 0$ માટે $AB = 3x$ અને $BC = 4x$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^2 = AB^2 + BC^2$.
$AC^2 = (3x)^2 + (4x)^2 = 9x^2 + 16x^2 = 25x^2$.
વર્ગમૂળ લેતા,$AC = \sqrt{25x^2} = 5x$.
આપણે $AB : AC$ ગુણોત્તર શોધવાનો છે.
$AB : AC = 3x : 5x = 3 : 5$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પરની મધ્યગાની લંબાઈ કર્ણની લંબાઈ કરતા અડધી હોય છે.
અહીં,$\Delta ABC$ એ $m\angle B = 90^{\circ}$ વાળો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
$\overline{BM}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરની મધ્યગા હોવાથી,$BM = \frac{1}{2} AC$ થાય.
આપેલ છે કે $BM = 12.5$,તેથી $12.5 = \frac{1}{2} AC$,જેનો અર્થ છે કે $AC = 25$.
હવે,$\Delta ABC$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
$15^2 + BC^2 = 25^2$
$225 + BC^2 = 625$
$BC^2 = 625 - 225 = 400$
$BC = \sqrt{400} = 20$.

(D) $\Delta ABC$ માં $\overline{AD}$ મધ્યગા માટે એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
અહીં $AB^2 + AC^2 = 338$ અને $AD = 5$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$338 = 2(5^2 + BD^2)$
$338 = 2(25 + BD^2)$
$169 = 25 + BD^2$
$BD^2 = 169 - 25 = 144$
$BD = \sqrt{144} = 12$
$\overline{AD}$ મધ્યગા હોવાથી,$D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $BC = 2 \times BD$.
$BC = 2 \times 12 = 24$.

(A) સમબાજુ ત્રિકોણની પરિમિતિનું સૂત્ર $P = 3a$ છે, જ્યાં $a$ એ બાજુની લંબાઈ છે.
અહીં $P = 24$ આપેલ છે, તેથી $3a = 24$, જેનો અર્થ છે કે $a = 8$.
સમબાજુ ત્રિકોણના વેધ $h$ નું સૂત્ર $h = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ છે.
સૂત્રમાં $a = 8$ મૂકતા, આપણને $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 8 = 4 \sqrt{3}$ મળે છે.
તેથી, વેધની લંબાઈ $4 \sqrt{3}$ છે.

(B) $\Delta ABC$ માં,આપણને $m \angle B = 90^{\circ}$ આપેલ છે.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$m \angle A + m \angle B + m \angle C = 180^{\circ}$ થાય.
$m \angle B = 90^{\circ}$ મૂકતા,$m \angle A + m \angle C = 90^{\circ}$ મળે.
ગુણોત્તર $m \angle A : m \angle C = 1 : 2$ આપેલ છે,તેથી ધારો કે $m \angle A = x$ અને $m \angle C = 2x$.
આમ,$x + 2x = 90^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $3x = 90^{\circ}$,તેથી $x = 30^{\circ}$.
તેથી,$m \angle A = 30^{\circ}$ અને $m \angle C = 60^{\circ}$ મળે.
$30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ ત્રિકોણમાં,$30^{\circ}$ ની સામેની બાજુ કર્ણ કરતા અડધી હોય છે.
અહીં,$BC$ એ $\angle A = 30^{\circ}$ ની સામેની બાજુ છે,તેથી $BC = \frac{1}{2} AC$.
$BC = 4$ આપેલ હોવાથી,$4 = \frac{1}{2} AC$,જેનો અર્થ છે કે $AC = 8$.

(D) $\Delta ABC$ માં,આપણને $m \angle B = 90^{\circ}$ અને $m \angle C = 30^{\circ}$ આપેલ છે.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$m \angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$.
$30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ ત્રિકોણમાં,$30^{\circ}$ ની સામેની બાજુ કર્ણ કરતા અડધી હોય છે.
અહીં,$AB$ એ $30^{\circ}$ (ખૂણા $C$ પર) ની સામેની બાજુ છે,તેથી $AB = \frac{1}{2} AC$.
$AB = 5$ આપેલ છે,તેથી $5 = \frac{1}{2} AC$,જેનો અર્થ છે કે $AC = 10$.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પરની મધ્યગાની લંબાઈ કર્ણની લંબાઈ કરતા અડધી હોય છે.
તેથી,$BD = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 10 = 5$.

(D) આપેલ છે કે $\Delta XYZ$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $m \angle Y = 90^{\circ}$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$XY^2 + YZ^2 = XZ^2$.
ધારો કે $XY = 15k$ અને $XZ = 17k$,જ્યાં $k > 0$ એક અચળાંક છે.
આ કિંમતોને પ્રમેયમાં મૂકતા: $(15k)^2 + 4^2 = (17k)^2$.
$225k^2 + 16 = 289k^2$.
$16 = 289k^2 - 225k^2$.
$16 = 64k^2$.
$k^2 = \frac{16}{64} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$k = \frac{1}{2} = 0.5$.
હવે,બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ:
$XY = 15 \times 0.5 = 7.5$.
$XZ = 17 \times 0.5 = 8.5$.
$YZ = 4$.
$\Delta XYZ$ ની પરિમિતિ = $XY + YZ + XZ = 7.5 + 4 + 8.5 = 20$.

(A) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $m \angle B = 90^{\circ}$ અને $AB = BC$ છે.
ધારો કે $AB = BC = x$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AB^2 + BC^2 = AC^2$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $x^2 + x^2 = (14\sqrt{2})^2$.
$2x^2 = 196 \times 2$.
$2x^2 = 392$.
$x^2 = 196$.
$x = 14$.
આમ,પાયો $BC = 14$ અને વેધ $AB = 14$ છે.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 14 \times 14 = 98$ ચોરસ એકમ.

(B) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,જો કાટખૂણાના શિરોબિંદુમાંથી કર્ણ પર વેધ દોરવામાં આવે,તો તે વેધ એ કર્ણના બે ભાગોનો ભૂમિતિ મધ્યક (geometric mean) હોય છે.
ભૂમિતિ મધ્યકના પ્રમેય મુજબ: $BM^2 = AM \cdot CM$.
આપેલ છે કે $AM = 2x$,$BM = 3x + 5$ અને $CM = 8x$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $(3x + 5)^2 = (2x)(8x)$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $9x^2 + 30x + 25 = 16x^2$.
પદોને ગોઠવીને દ્વિઘાત સમીકરણ બનાવતા: $7x^2 - 30x - 25 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $7x^2 - 35x + 5x - 25 = 0$.
$7x(x - 5) + 5(x - 5) = 0$.
$(7x + 5)(x - 5) = 0$.
આથી $x = 5$ અથવા $x = -5/7$ મળે.
લંબાઈ હંમેશા ધન હોવાથી,$x = 5$ લેતા.

(C) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં જ્યાં $\angle B = 90^{\circ}$ હોય અને $\overline{BM}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ હોય,તો સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ $(\Delta AMB \sim \Delta ABC)$ મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે: $AB^2 = AM \cdot AC$.
આપેલ કિંમતો $AB = x - 2$,$AM = x - 6$ અને $AC = 2x - 4$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $(x - 2)^2 = (x - 6)(2x - 4)$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 4x + 4 = 2x^2 - 4x - 12x + 24$.
સાદું રૂપ આપતા: $x^2 - 4x + 4 = 2x^2 - 16x + 24$.
પદોને ગોઠવીને દ્વિઘાત સમીકરણ મેળવતા: $x^2 - 12x + 20 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x - 10)(x - 2) = 0$.
આથી $x = 10$ અથવા $x = 2$ મળે છે.
જો $x = 2$ લઈએ,તો $AB = 2 - 2 = 0$ થાય,જે ત્રિકોણની બાજુ માટે શક્ય નથી. તેથી,$x = 10$ એ જ સાચો જવાબ છે.

(D) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં જ્યાં $\angle B = 90^{\circ}$ છે,જો $\overline{BM}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ હોય,તો ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય મુજબ,$BM^2 = AM \cdot CM$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(x + 1)^2 = (x - 1)(x + 4)$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + 2x + 1 = x^2 + 4x - x - 4$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $x^2 + 2x + 1 = x^2 + 3x - 4$.
બંને બાજુથી $x^2$ બાદ કરતા: $2x + 1 = 3x - 4$.
પદોની ગોઠવણી કરતા: $3x - 2x = 1 + 4$.
આમ,$x = 5$.

(A) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં જ્યાં $\angle B = 90^\circ$ છે,જો $\overline{BM}$ એ કર્ણ $AC$ પરનો વેધ હોય,તો ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય (અથવા સમરૂપ ત્રિકોણો $\Delta BMC \sim \Delta BCA$ ના ગુણધર્મો) મુજબ,આપણી પાસે સંબંધ છે: $BC^2 = CM \cdot AC$.
અહીં $BC = 2x + 2$,$CM = x + 1$ અને $AC = 5x$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $(2x + 2)^2 = (x + 1)(5x)$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $(2(x + 1))^2 = 4(x + 1)^2 = 4(x^2 + 2x + 1)$.
તેથી,$4(x^2 + 2x + 1) = 5x^2 + 5x$.
$4x^2 + 8x + 4 = 5x^2 + 5x$.
પદોને ગોઠવીને દ્વિઘાત સમીકરણ બનાવતા: $x^2 - 3x - 4 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x - 4)(x + 1) = 0$.
આથી $x = 4$ અથવા $x = -1$ મળે છે.
કારણ કે $x$ એ લંબાઈનો ભાગ દર્શાવે છે અને $BC, CM, AC$ ધન હોવા જોઈએ,તેથી આપણે $x = -1$ ને અવગણીએ છીએ.
તેથી,$x = 4$.

(B) સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે $(90^{\circ})$ દુભાગે છે.
ધારો કે વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ પર છેદે છે.
$AC = 24$ હોવાથી,$AO = AC / 2 = 24 / 2 = 12$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle AOB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AB^2 = AO^2 + BO^2$.
અહીં $AB = 13$ અને $AO = 12$ આપેલ છે,તેથી $13^2 = 12^2 + BO^2$.
$169 = 144 + BO^2$.
$BO^2 = 169 - 144 = 25$.
$BO = \sqrt{25} = 5$.
વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગતા હોવાથી,$BD = 2 \times BO = 2 \times 5 = 10$ થાય.