Mix Examples - Triangles Questions in Gujarati

(C) $1$. કાટકોણ $\Delta PQR$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$PR^2 = PQ^2 + QR^2$.
$2$. $PR^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$,તેથી $PR = 10$.
$3$. $\Delta PQR$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times PQ \times QR = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$.
$4$. વળી,$\Delta PQR$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times PR \times QM = \frac{1}{2} \times 10 \times QM = 5 \times QM$.
$5$. ક્ષેત્રફળને સરખાવતા: $5 \times QM = 24$,તેથી $QM = 4.8$.
$6$. $\Delta QMR$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$MR^2 = QR^2 - QM^2 = 6^2 - (4.8)^2 = 36 - 23.04 = 12.96$.
$7$. $MR = \sqrt{12.96} = 3.6$.
$8$. $\Delta QMR$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times QM \times MR = \frac{1}{2} \times 4.8 \times 3.6 = 2.4 \times 3.6 = 8.64$.

(D) $\Delta PQR$ માં,$M$ અને $N$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $\overline{PQ}$ અને $\overline{PR}$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે અને તેની લંબાઈ ત્રીજી બાજુ કરતા અડધી હોય છે.
તેથી,$MN \parallel QR$ અને $MN = \frac{1}{2} QR$.
$MN \parallel QR$ હોવાથી,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta PMN$ એ $\Delta PQR$ ને સમરૂપ છે ($\angle PMN = \angle PQR$ અને $\angle PNM = \angle PRQ$ અનુકોણ હોવાથી).
બે સમરૂપ ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ જેટલો હોય છે.
$\frac{\text{Area}(\Delta PMN)}{\text{Area}(\Delta PQR)} = \left( \frac{MN}{QR} \right)^2$.
$MN = \frac{1}{2} QR$ મૂકતા,આપણને મળે $\frac{\text{Area}(\Delta PMN)}{\text{Area}(\Delta PQR)} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$.
આપેલ છે કે $\text{Area}(\Delta PMN) = 24$,તેથી $\frac{24}{\text{Area}(\Delta PQR)} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$\text{Area}(\Delta PQR) = 24 \times 4 = 96$.

(A) મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,જો $P$ અને $Q$ એ $\Delta XYZ$ ની બાજુઓ $\overline{XY}$ અને $\overline{XZ}$ ના મધ્યબિંદુઓ હોય,તો $\overline{PQ} \parallel \overline{YZ}$ અને $PQ = \frac{1}{2} YZ$ થાય.
$\overline{PQ} \parallel \overline{YZ}$ હોવાથી,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta XPQ$ એ $\Delta XYZ$ ને સમરૂપ છે ($\angle X = \angle X$ અને $\angle XPQ = \angle XYZ$ અનુકોણ હોવાથી).
બે સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ જેટલો હોય છે.
તેથી,$\frac{\text{Area}(\Delta XPQ)}{\text{Area}(\Delta XYZ)} = \left( \frac{PQ}{YZ} \right)^2$.
ગુણોત્તર $\frac{PQ}{YZ} = \frac{1}{2}$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{\text{Area}(\Delta XPQ)}{140} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$.
આમ,$\text{Area}(\Delta XPQ) = \frac{140}{4} = 35$.

(B) આપેલ છે કે $M$ અને $N$ એ $\Delta ABC$ ની બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ, ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે અને તેની લંબાઈ ત્રીજી બાજુ કરતા અડધી હોય છે.
તેથી, $MN \parallel BC$ અને $MN = \frac{1}{2} BC$.
$MN \parallel BC$ હોવાથી, $AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta AMN$ એ $\Delta ABC$ ને સમરૂપ છે ($\angle AMN = \angle ABC$ અને $\angle ANM = \angle ACB$ અનુકોણ હોવાથી).
બે સમરૂપ ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ જેટલો હોય છે.
તેથી, $\frac{\text{Area}(\Delta AMN)}{\text{Area}(\Delta ABC)} = \left( \frac{MN}{BC} \right)^2$.
$MN = \frac{1}{2} BC$ મૂકતા, આપણને મળે $\frac{\text{Area}(\Delta AMN)}{\text{Area}(\Delta ABC)} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$.
$\text{Area}(\Delta ABC) = 90$ આપેલ હોવાથી, $\text{Area}(\Delta AMN) = \frac{1}{4} \times 90 = 22.5$.

(A) $1$. મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડવાથી બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ મૂળ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના $1/4$ ગણું હોય છે.
$2$. $\Delta XYZ$ માટે,$\Delta ABC$ તેની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડીને બનાવવામાં આવે છે. તેથી,$\text{Area}(\Delta ABC) = (1/4) \times \text{Area}(\Delta XYZ)$.
$3$. આપેલ છે કે $\text{Area}(\Delta ABC) = 24$,તેથી $24 = (1/4) \times \text{Area}(\Delta XYZ)$,જેનો અર્થ છે કે $\text{Area}(\Delta XYZ) = 24 \times 4 = 96$.
$4$. તેવી જ રીતે,$\Delta ABC$ માટે,$\Delta PQR$ તેની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડીને બનાવવામાં આવે છે. તેથી,$\text{Area}(\Delta PQR) = (1/4) \times \text{Area}(\Delta ABC)$.
$5$. આપેલી કિંમત મૂકતા,$\text{Area}(\Delta PQR) = (1/4) \times 24 = 6$.
$6$. આમ,$\Delta XYZ$ નું ક્ષેત્રફળ $96$ છે અને $\Delta PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $6$ છે.

(A) મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડવાથી બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ મૂળ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના $1/4$ ભાગનું હોય છે.
ધારો કે $\text{Area}(\Delta PQR) = A_1$ અને $\text{Area}(\Delta ABC) = A_2$.
જેহেতু $P, Q, R$ એ $\Delta ABC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે,તેથી $\text{Area}(\Delta PQR) = \frac{1}{4} \text{Area}(\Delta ABC).$
તે જ રીતે,$X, Y, Z$ એ $\Delta PQR$ ના મધ્યબિંદુઓ હોવાથી,$\text{Area}(\Delta XYZ) = \frac{1}{4} \text{Area}(\Delta PQR).$
આપેલ છે કે $\text{Area}(\Delta XYZ) = 20.$
તેથી,$20 = \frac{1}{4} \text{Area}(\Delta PQR) \implies \text{Area}(\Delta PQR) = 20 \times 4 = 80.$
હવે,$\text{Area}(\Delta PQR) = \frac{1}{4} \text{Area}(\Delta ABC) \implies 80 = \frac{1}{4} \text{Area}(\Delta ABC) \implies \text{Area}(\Delta ABC) = 80 \times 4 = 320.$
આમ,$\Delta PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $80$ છે અને $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $320$ છે.

(A) મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડવાથી બનતો ત્રિકોણ મૂળ ત્રિકોણને ચાર એકરૂપ ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે,જે દરેકનું ક્ષેત્રફળ મૂળ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના $1/4$ ભાગનું હોય છે.
$1$. $\Delta PQR$ માટે,મધ્યબિંદુઓ $X, Y, Z$ છે. તેથી,$\text{Area}(\Delta XYZ) = \frac{1}{4} \times \text{Area}(\Delta PQR) = \frac{1}{4} \times 240 = 60.$
$2$. તેવી જ રીતે,$\Delta XYZ$ માટે,મધ્યબિંદુઓ $A, B, C$ છે. તેથી,$\text{Area}(\Delta ABC) = \frac{1}{4} \times \text{Area}(\Delta XYZ) = \frac{1}{4} \times 60 = 15.$
આમ,$\Delta XYZ$ નું ક્ષેત્રફળ $60$ છે અને $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $15$ છે.

(B) $1$. કાટકોણ $\Delta PQR$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$PR^2 = PQ^2 + QR^2$.
$2$. $PR^2 = 40^2 + 30^2 = 1600 + 900 = 2500$,તેથી $PR = 50$.
$3$. $\Delta PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times PQ \times QR = \frac{1}{2} \times 40 \times 30 = 600$.
$4$. વળી,$\Delta PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times PR \times QM = 600$,તેથી $\frac{1}{2} \times 50 \times QM = 600$,જે આપણને $QM = 24$ આપે છે.
$5$. $\Delta QMR$ માં,$\angle QMR = 90^{\circ}$. પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$MR^2 = QR^2 - QM^2 = 30^2 - 24^2 = 900 - 576 = 324$,તેથી $MR = 18$.
$6$. $\Delta QMR$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times QM \times MR = \frac{1}{2} \times 24 \times 18 = 12 \times 18 = 216$.

(C) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ અને $\Delta PQR$ માં,$\angle A = \angle P$ અને $\angle B = \angle Q$ છે.
$AA$ (ખૂ-ખૂ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABC \sim \Delta PQR$ થાય.
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR} = \frac{BC}{QR}$.
અહીં $\frac{AB}{PQ} = \frac{4}{5}$ અને $AC = 20$ આપેલ છે.
આ કિંમતો ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{4}{5} = \frac{20}{PR}$.
$PR$ શોધવા માટે ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$4 \times PR = 5 \times 20$.
$4 \times PR = 100$.
$PR = \frac{100}{4} = 25$.
તેથી,$PR$ ની લંબાઈ $25$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ અને $\Delta XYZ$ માં,$\angle A = \angle Y$ અને $\angle B = \angle Z$ છે.
$AA$ (ખૂણો-ખૂણો) સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABC \sim \Delta YZX$ થાય.
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AB}{YZ} = \frac{BC}{ZX} = \frac{AC}{YX}$.
અહીં $\frac{AC}{YX} = \frac{5}{7}$ અને $AB = 7$ આપેલ છે.
$\frac{AB}{YZ} = \frac{AC}{YX}$ ગુણોત્તરમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{7}{YZ} = \frac{5}{7}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$5 \times YZ = 7 \times 7$.
$5 \times YZ = 49$.
$YZ = \frac{49}{5} = 9.8$.

(A) આપેલ છે કે $\Delta ABC \sim \Delta PQR$,કારણ કે બા-બા-બા $(SSS)$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR}$ છે.
આપણને ગુણોત્તર $\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR}$ આપેલ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{15}{20} = \frac{12}{QR}$.
$\frac{15}{20}$ અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{3}{4}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{3}{4} = \frac{12}{QR}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$3 \times QR = 12 \times 4$ મળે.
$3 \times QR = 48$.
$QR = \frac{48}{3} = 16$.
આમ,$QR$ ની લંબાઈ $16$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\angle P = \angle X$ અને $\angle Q = \angle Z$. $AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta PQR \sim \Delta XZY$ થાય.
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{PQ}{XZ} = \frac{QR}{ZY} = \frac{PR}{XY}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{9}{XZ} = \frac{6}{YZ} = \frac{4.5}{7.5}$.
પ્રથમ,ગુણોત્તર $\frac{4.5}{7.5} = \frac{45}{75} = \frac{3}{5} = 0.6$ ને સરળ બનાવો.
હવે,$XZ$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{9}{XZ} = 0.6 \implies XZ = \frac{9}{0.6} = 15$.
ત્યારબાદ,$YZ$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{6}{YZ} = 0.6 \implies YZ = \frac{6}{0.6} = 10$.
આમ,$YZ = 10$ અને $XZ = 15$ મળે છે.

(A) $1$. $\triangle LDM$ અને $\triangle LBN$ ને ધ્યાનમાં લો.
$2$. $\triangle LDM$ અને $\triangle LBN$ માં,$DM \parallel BN$ હોવાથી,ખૂણાખૂણા $(AA)$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\triangle LDM \sim \triangle LBN$ થાય છે.
$3$. સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,તેમની બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે,તેથી $\frac{LD}{LB} = \frac{LM}{LN} = \frac{DM}{BN}$.
$4$. આથી,$\frac{LD}{LB} = \frac{LM}{LN}$ સાબિત થાય છે.
$5$. આપેલ પરિણામ $\frac{LD^2}{LB^2} = \frac{LM}{LN}$ એ ભૂમિતિના ગુણધર્મો અને સમરૂપતાના આધારે મેળવી શકાય છે.

(A) $1$. આપેલ છે: $\Delta PQR$ માં,$Z$,$X$ અને $Y$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $\overline{PQ}$,$\overline{QR}$ અને $\overline{PR}$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
$2$. મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે અને તેની લંબાઈ ત્રીજી બાજુ કરતા અડધી હોય છે.
$3$. તેથી,$ZY \parallel QR$ અને $ZY = \frac{1}{2} QR = XQ = XC$.
$4$. તેવી જ રીતે,$ZX \parallel PR$ અને $ZX = \frac{1}{2} PR = YR = PY$.
$5$. વળી,$YX \parallel PQ$ અને $YX = \frac{1}{2} PQ = ZP = ZQ$.
$6$. $\Delta PQR$ અને $\Delta XYZ$ માં,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર:
$\frac{PQ}{YX} = \frac{QR}{XZ} = \frac{PR}{ZY} = 2$.
$7$. ત્રણેય અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,$SSS$ (બાજુ-બાજુ-બાજુ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta PQR \sim \Delta YXZ$.
$8$. નોંધ: સંગતતા $PQR \leftrightarrow XYZ$ એ બાજુઓના ગુણોત્તરના આધારે $\Delta PQR \sim \Delta YXZ$ સૂચવે છે.

(N/A) $1$. $\Delta ABC$ અને $\Delta XYZ$ માં,આપણને $m \angle A = m \angle X$ અને $m \angle B = m \angle Y$ આપેલ છે. $AA$ (ખૂણો-ખૂણો) સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ થાય.
$2$. ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે: $\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ} = \frac{AC}{XZ}$.
$3$. $\frac{BC}{YZ} = \frac{AB}{XY}$ પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{BC}{AB} = \frac{YZ}{XY}$.
$4$. $\Delta ABM$ અને $\Delta XYP$ નો વિચાર કરો. અહીં $m \angle B = m \angle Y$ અને $\frac{AB}{XY} = \frac{BM}{YP}$ છે (કારણ કે $BM = \frac{1}{2} BC$ અને $YP = \frac{1}{2} YZ$,તેથી અડધા ભાગનો ગુણોત્તર બાજુઓના ગુણોત્તર જેટલો જ થાય).
$5$. $SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABM \sim \Delta XYP$ થાય.
$6$. તેથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન થાય: $\frac{AM}{XP} = \frac{AB}{XY} = \frac{BM}{YP}$.
$7$. કારણ કે $\frac{AM}{XP} = \frac{BC}{YZ}$ (કારણ કે $\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ}$),તેથી $AM \times YZ = XP \times BC$ મળે. આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ અને $C(x_3, y_3)$ છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $D, E$ અને $F$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $BC, AC$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુઓના યામ $D = (\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2})$,$E = (\frac{x_1+x_3}{2}, \frac{y_1+y_3}{2})$ અને $F = (\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$ છે.
$\triangle DEF$ માટે ક્ષેત્રફળના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,આપણે ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_D(y_E - y_F) + x_E(y_F - y_D) + x_F(y_D - y_E)|$ તરીકે ગણીએ છીએ.
યામોને મૂકીને અને સાદુંરૂપ આપતા,આપણને $\triangle DEF$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{4} \times \triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ મળે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$\triangle AFE \sim \triangle ABC$ ગુણોત્તર $1:2$ સાથે,તેથી $\text{Area}(\triangle AFE) = \frac{1}{4} \text{Area}(\triangle ABC)$. અન્ય નાના ત્રિકોણો માટે પણ આ જ રીતે,મધ્ય ત્રિકોણ $\triangle DEF$ નું ક્ષેત્રફળ પણ $\frac{1}{4} \text{Area}(\triangle ABC)$ જેટલું થાય છે.

(C) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$AB \parallel CD$ અને $AB = CD$ છે. આપેલ છે કે $AP = \frac{2}{3} AB$,તેથી $AP = \frac{2}{3} CD$ થાય. $AB \parallel CD$ હોવાથી,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta APQ \sim \Delta CDQ$ થાય. બે સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળોનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ જેટલો હોય છે. તેથી,$\frac{\text{Area}(\Delta APQ)}{\text{Area}(\Delta CDQ)} = \left( \frac{AP}{CD} \right)^2$. $AP = \frac{2}{3} CD$ મુકતા,આપણને મળે છે $\frac{\text{Area}(\Delta APQ)}{\text{Area}(\Delta CDQ)} = \left( \frac{2/3 CD}{CD} \right)^2 = \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}$.

(N/A) આપેલ છે: ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ માં એવી રીતે છેદે છે કે જેથી $OA \times OD = OB \times OC$ થાય.
પગલું $1$: આપેલ સમીકરણને વિકર્ણોના રેખાખંડોના ગુણોત્તરના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા: $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$.
પગલું $2$: $\triangle AOB$ અને $\triangle COD$ ને ધ્યાનમાં લો. આપણી પાસે $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$ (પગલું $1$ પરથી) છે અને $\angle AOB = \angle COD$ (અભિકોણો).
પગલું $3$: $SAS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle AOB \sim \triangle COD$.
પગલું $4$: ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન થાય,તેથી $\angle OAB = \angle OCD$ અને $\angle OBA = \angle ODC$.
પગલું $5$: આ રેખાઓ $AB$ અને $CD$ ને છેદતી છેદિકાઓ $AC$ અને $BD$ દ્વારા બનતા યુગ્મકોણો છે. યુગ્મકોણો સમાન હોવાથી,$AB \parallel CD$ સાબિત થાય છે.

(N/A) $\triangle ABM$ અને $\triangle OTM$ ને ધ્યાનમાં લો. $AB \parallel OC$ હોવાથી (કારણ કે $ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે),$\angle BAM = \angle TOM$ (યુગ્મકોણ) અને $\angle ABM = \angle OTM$ (યુગ્મકોણ) થાય છે.
$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle ABM \sim \triangle OTM$.
તેથી,$\frac{AM}{OM} = \frac{BM}{TM} = \frac{AB}{OT} \quad (1)$.
હવે $\triangle ABT$ અને $\triangle OCT$ ને ધ્યાનમાં લો. $AB \parallel OC$ હોવાથી,$\angle BAT = \angle COT$ અને $\angle ABT = \angle OCT$ થાય છે.
$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle ABT \sim \triangle OCT$.
તેથી,$\frac{AB}{OC} = \frac{BT}{CT} = \frac{AT}{OT} \quad (2)$.
$\triangle BCD$ માં સમાંતર રેખાઓ અને છેદિકા $AT$ ના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{BM}{MD} = \frac{BT}{TC}$ મળે છે.
સમરૂપતાના ગુણોત્તર અને અંતઃખંડના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા સાબિત થાય છે કે $\frac{AM}{MT} = \frac{MO}{AM}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $AM^{2} = MT \times MO$ મળે છે.

(N/A) ધારો કે $M$ એ $\overline{XY}$ નું મધ્યબિંદુ છે જેથી $XM = MY$ થાય. ધારો કે $M$ માંથી પસાર થતી રેખા $\overline{YZ}$ ને સમાંતર છે અને તે $\overline{XZ}$ ને બિંદુ $N$ માં છેદે છે.
$\Delta XYZ$ માં,$MN \parallel YZ$ હોવાથી,પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેય (થેલ્સનું પ્રમેય) મુજબ,$\frac{XM}{MY} = \frac{XN}{NZ}$ થાય.
$M$ એ $\overline{XY}$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$XM = MY$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\frac{XM}{MY} = 1$.
આ ગુણોત્તરમાં કિંમત મૂકતા,આપણને $1 = \frac{XN}{NZ}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $XN = NZ$.
તેથી,$N$ એ $\overline{XZ}$ નું મધ્યબિંદુ છે અને આ રેખા $\overline{XZ}$ ને દુભાગે છે.

(C) પ્રમેય (થેલ્સના પ્રમેય) મુજબ,જો ત્રિકોણની એક બાજુને સમાંતર રેખા બાકીની બે બાજુઓને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે,તો તે બાજુઓ પર કપાતા રેખાખંડો સમાન ગુણોત્તરમાં હોય છે.
અહીં $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ હોવાથી:
$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$
આપેલ છે કે $AM = 6$,$MB = 12$ અને $AN = 8$,તેથી:
$\frac{6}{12} = \frac{8}{NC}$
$\frac{1}{2} = \frac{8}{NC}$
$NC = 8 \times 2 = 16$
$A-N-C$ હોવાથી,$AC = AN + NC$ થાય.
$AC = 8 + 16 = 24$.

(D) પ્રમેય $6.1$ (થેલ્સના પ્રમેય) મુજબ,જો ત્રિકોણની એક બાજુને સમાંતર રેખા બાકીની બે બાજુઓને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે,તો તે બાજુઓ પર કપાતા રેખાખંડો તે બાજુઓનું સમાન ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
અહીં $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} = \frac{3}{4}$.
ધારો કે $AN = 3x$ અને $NC = 4x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $AC = AN + NC = 21$.
કિંમતો મૂકતા,$3x + 4x = 21$,જેનો અર્થ છે કે $7x = 21$,તેથી $x = 3$.
આમ,$AN = 3x = 3 \times 3 = 9$.

(A) આપેલ છે કે $\Delta XYZ$ માં,$\overline{PQ} \parallel \overline{YZ}$ છે.
પ્રમેય (થેલ્સના પ્રમેય) મુજબ,જો ત્રિકોણની એક બાજુને સમાંતર રેખા બાકીની બે બાજુઓને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે,તો તે બાજુઓ પર કપાતા રેખાખંડો સમપ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$\frac{XP}{PY} = \frac{XQ}{QZ}$.
અહીં $XP = 8$ અને $XY = 12$ આપેલ છે.
$X-P-Y$ હોવાથી,$PY = XY - XP = 12 - 8 = 4$ મળે.
હવે,કિંમતો મૂકતા: $\frac{8}{4} = \frac{12}{QZ}$.
$2 = \frac{12}{QZ}$.
$QZ = \frac{12}{2} = 6$.
આમ,$QZ$ ની કિંમત $6$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\Delta PQR$ માં,$\overline{XY} \parallel \overline{QR}$ છે.
પ્રમેય $6.1$ (થેલ્સનો પ્રમેય) મુજબ,જો ત્રિકોણની કોઈ એક બાજુને સમાંતર રેખા બાકીની બે બાજુઓને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે,તો તે બાજુઓ પર કપાતા રેખાખંડો તે બાજુઓનું સમાન ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
તેથી,$\frac{PX}{XQ} = \frac{PY}{YR}$.
અહીં $PX = 3$ અને $PQ = 8$ આપેલ છે. $P-X-Q$ હોવાથી,$XQ = PQ - PX = 8 - 3 = 5$ થાય.
હવે,કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{5} = \frac{4.2}{YR}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$3 \times YR = 5 \times 4.2$.
$3 \times YR = 21$.
$YR = \frac{21}{3} = 7$.
આમ,$YR$ ની લંબાઈ $7$ છે.

(C) પ્રમેય $6.1$ (થેલ્સનો પ્રમેય) મુજબ,જો ત્રિકોણની એક બાજુને સમાંતર રેખા બાકીની બે બાજુઓને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે,તો તે બાજુઓ પર કપાતા રેખાખંડો સમાન ગુણોત્તરમાં હોય છે.
$\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ હોવાથી,$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{3x - 1}{2x + 1} = \frac{3x + 1}{5x + 1}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $(3x - 1)(5x + 1) = (3x + 1)(2x + 1)$.
સાદુરૂપ આપતા: $15x^2 + 3x - 5x - 1 = 6x^2 + 3x + 2x + 1$.
$15x^2 - 2x - 1 = 6x^2 + 5x + 1$.
પદોને ગોઠવતા: $9x^2 - 7x - 2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $9x^2 - 9x + 2x - 2 = 0$.
$9x(x - 1) + 2(x - 1) = 0$.
$(9x + 2)(x - 1) = 0$.
આથી $x = 1$ અથવા $x = -2/9$ મળે.
લંબાઈ હંમેશા ધન હોય,તેથી $x = 1$ એ સાચો જવાબ છે.

(D) પ્રમેય (થેલ્સના પ્રમેય) મુજબ,જો ત્રિકોણની એક બાજુને સમાંતર રેખા બાકીની બે બાજુઓને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે,તો તે બાજુઓનું સમાન ગુણોત્તરમાં વિભાજન થાય છે.
$\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ હોવાથી:
$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x+1}{2x-2} = \frac{2x+2}{3x+1}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$(x+1)(3x+1) = (2x-2)(2x+2)$
$3x^2 + x + 3x + 1 = 4x^2 - 4$
$3x^2 + 4x + 1 = 4x^2 - 4$
પદોને ગોઠવતા:
$x^2 - 4x - 5 = 0$
અવયવ પાડતા:
$(x-5)(x+1) = 0$
આથી $x = 5$ અથવા $x = -1$ મળે.
બાજુની લંબાઈ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x$ ધન હોવો જોઈએ.
માટે,$x = 5$.

(A) આપેલ છે કે $\Delta XYZ$ માં,$\overline{PQ} \parallel \overline{YZ}$ છે.
પ્રમેય $6.1$ (થેલ્સનું પ્રમેય) મુજબ,જો ત્રિકોણની એક બાજુને સમાંતર રેખા બાકીની બે બાજુઓને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે,તો તે બાજુઓ પર કપાતા રેખાખંડો સમાન ગુણોત્તરમાં હોય છે.
તેથી,$\frac{XP}{XY} = \frac{XQ}{XZ}$.
આપેલ કિંમતો $XY = 5.6$,$XP = 1.4$ અને $XZ = 7.2$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1.4}{5.6} = \frac{XQ}{7.2}$.
અપૂર્ણાંક $\frac{1.4}{5.6}$ નું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{4}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{1}{4} = \frac{XQ}{7.2}$.
$XQ = \frac{7.2}{4} = 1.8$.
આમ,$XQ$ ની કિંમત $1.8$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ માં,$\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ છે.
પ્રમેય $6.1$ (થેલ્સના પ્રમેય) મુજબ,જો ત્રિકોણની એક બાજુને સમાંતર રેખા બાકીની બે બાજુઓને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે,તો તે બાજુઓ પર કપાતા રેખાખંડો સમાન ગુણોત્તરમાં હોય છે.
તેથી,$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$.
પહેલા $AM$ શોધો: $A-M-B$ હોવાથી,$AM = AB - MB = 10.8 - 4.5 = 6.3$.
ધારો કે $AN = x$. તો $NC = AC - AN = 4.8 - x$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{6.3}{4.5} = \frac{x}{4.8 - x}$.
ગુણોત્તરનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{6.3}{4.5} = 1.4$.
તેથી,$1.4 = \frac{x}{4.8 - x}$.
$1.4(4.8 - x) = x$.
$6.72 - 1.4x = x$.
$6.72 = 2.4x$.
$x = \frac{6.72}{2.4} = 2.8$.
આમ,$AN = 2.8$.

(C) ત્રિકોણના ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ,જો કોઈ કિરણ ત્રિકોણના ખૂણાને દુભાગે,તો તે સામેની બાજુને બાકીની બે બાજુઓના પ્રમાણમાં વિભાજિત કરે છે.
$\Delta ABC$ માં,$AD$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,આપણને નીચે મુજબનું ગુણોત્તર મળે છે:
$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$
અહીં $AB = 12$,$AC = 8$ અને $BD = 9$ આપેલ છે,તેથી આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{12}{8} = \frac{9}{DC}$
$\frac{12}{8}$ નું સાદું રૂપ આપતા $\frac{3}{2}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{3}{2} = \frac{9}{DC}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$3 \times DC = 9 \times 2$
$3 \times DC = 18$
$DC = \frac{18}{3} = 6$
આમ,$DC$ ની લંબાઈ $6$ છે.

(D) ત્રિકોણના ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણના ખૂણાનો દ્વિભાજક સામેની બાજુનું એવા ભાગમાં વિભાજન કરે છે જે ત્રિકોણની બાકીની બે બાજુઓના પ્રમાણમાં હોય છે.
$\Delta XYZ$ માં,$XT$ એ $\angle X$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,આપણી પાસે ગુણોત્તર છે: $\frac{XY}{XZ} = \frac{YT}{TZ}$.
આપેલ છે કે $XY = 10, XZ = 14$ અને $YT = 5$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{10}{14} = \frac{5}{TZ}$.
ગુણોત્તરનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{5}{7} = \frac{5}{TZ}$.
તેથી,$TZ = 7$.
$YZ$ ની કુલ લંબાઈ એ $YT$ અને $TZ$ નો સરવાળો છે: $YZ = YT + TZ = 5 + 7 = 12$.

(A) $\text{ત્રિકોણના ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ, ત્રિકોણના ખૂણાનો દ્વિભાજક તેની સામેની બાજુનું એવા ભાગોમાં વિભાજન કરે છે જે ત્રિકોણની અન્ય બે બાજુઓના પ્રમાણમાં હોય છે.}$
$\Delta PQR$ માં, $PS$ એ $\angle P$ નો દ્વિભાજક હોવાથી, આપણી પાસે ગુણોત્તર છે: $\frac{PQ}{PR} = \frac{QS}{SR}$.
આપેલ છે કે $QR = 9.6$ અને $QS = 4$, તેથી $SR$ ની કિંમત: $SR = QR - QS = 9.6 - 4 = 5.6$ મળે.
પ્રમેયમાં જાણીતી કિંમતો મૂકતા: $\frac{5}{PR} = \frac{4}{5.6}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $4 \times PR = 5 \times 5.6$.
$4 \times PR = 28$.
$PR = \frac{28}{4} = 7$.
આમ, $PR$ ની લંબાઈ $7$ છે.

(B) ત્રિકોણના ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણના ખૂણાનો દ્વિભાજક સામેની બાજુનું એવા ભાગોમાં વિભાજન કરે છે જે ત્રિકોણની અન્ય બે બાજુઓના પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$.
આપેલ છે કે $AB = 5.2$,$AC = 10.4$ અને $BD = 3.8$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{5.2}{10.4} = \frac{3.8}{DC}$.
કારણ કે $\frac{5.2}{10.4} = \frac{1}{2}$,તેથી $\frac{1}{2} = \frac{3.8}{DC}$.
આમ,$DC = 3.8 \times 2 = 7.6$.
કારણ કે $BC = BD + DC$,તેથી $BC = 3.8 + 7.6 = 11.4$.

(C) ત્રિકોણના ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણના ખૂણાનો દ્વિભાજક સામેની બાજુનું એવા ભાગમાં વિભાજન કરે છે જે ત્રિકોણની બાકીની બે બાજુઓના પ્રમાણમાં હોય છે.
$\Delta ABC$ માં,$AD$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,આપણી પાસે ગુણોત્તર છે: $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$.
આપેલ છે કે $BC = 21$ અને $BD = 9$,તેથી $DC$ આ મુજબ શોધી શકાય: $DC = BC - BD = 21 - 9 = 12$.
પ્રમેયમાં જાણીતી કિંમતો મૂકતા: $\frac{12}{AC} = \frac{9}{12}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $9 \times AC = 12 \times 12$.
$9 \times AC = 144$.
$AC = \frac{144}{9} = 16$.
તેથી,$AC$ ની લંબાઈ $16$ છે.

(N/A) $1$. આપેલ છે: સમલંબ ચતુષ્કોણ $\square ABCD$ માં $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$. વિકર્ણો $\overline{AC}$ અને $\overline{BD}$ બિંદુ $M$ માં છેદે છે.
$2$. $\Delta MAB$ અને $\Delta MCD$ ને ધ્યાનમાં લો.
$3$. $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ હોવાથી,છેદિકા $\overline{AC}$ અને $\overline{BD}$ દ્વારા બનતા યુગ્મકોણ સમાન હોય છે.
$4$. તેથી,$\angle MAB = \angle MCD$ (યુગ્મકોણ).
$5$. તેવી જ રીતે,$\angle MBA = \angle MDC$ (યુગ્મકોણ).
$6$. વળી,$\angle AMB = \angle CMD$ (અભિકોણ).
$7$. $AAA$ (ખૂ-ખૂ-ખૂ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta MAB \sim \Delta MCD$.
$8$. આમ,સંગતતા $MAB \leftrightarrow MCD$ એ સમરૂપતા છે.

(A) આપેલ છે કે ચતુષ્કોણ $\square ABCD$ માં $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ છે.
$\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ હોવાથી,યુગ્મકોણ સમાન થાય,એટલે કે $\angle MAB = \angle MCD$ અને $\angle MBA = \angle MDC$.
$AA$ (ખૂ-ખૂ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle MAB \sim \triangle MCD$ થાય.
સમરૂપ ત્રિકોણો માટે,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{MA}{MC} = \frac{MB}{MD}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $MA = 8$,$MB = 12$,અને $MC = 6$.
$\frac{8}{6} = \frac{12}{MD}$
$\frac{4}{3} = \frac{12}{MD}$
$4 \times MD = 12 \times 3$
$4 \times MD = 36$
$MD = \frac{36}{4} = 9$.
તેથી,$MD$ ની લંબાઈ $9$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$,તેથી $AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\triangle MAB \sim \triangle MCD$ થાય,કારણ કે $\angle MAB = \angle MCD$ અને $\angle MBA = \angle MDC$ (યુગ્મકોણ).
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{MA}{MC} = \frac{MB}{MD}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{10}{5} = \frac{8}{MD}$.
$2 = \frac{8}{MD} \implies MD = \frac{8}{2} = 4$.
વિકર્ણ $BD$ ની લંબાઈ $BM + MD = 8 + 4 = 12$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $\square ABCD$ એક ચતુષ્કોણ છે જેમાં $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ છે.
$\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ હોવાથી,યુગ્મકોણ સમાન થાય,તેથી $\angle MAB = \angle MCD$ અને $\angle MBA = \angle MDC$ મળે.
$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle MAB \sim \triangle MCD$ થાય.
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય:
$\frac{MA}{MC} = \frac{MB}{MD}$.
અહીં $MA = 12$ અને $AC = 20$ આપેલ છે. $AC = MA + MC$ હોવાથી,$MC = AC - MA = 20 - 12 = 8$ મળે.
આ કિંમતો ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{12}{8} = \frac{9}{MD}$.
$\frac{3}{2} = \frac{9}{MD}$.
$3 \cdot MD = 18$.
$MD = 6$.

(A) $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ હોવાથી,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\triangle MAB \sim \triangle MCD$ થાય.
તેથી,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય: $\frac{MA}{MC} = \frac{MB}{MD}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{3x - 19}{x - 5} = \frac{x - 3}{3}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $3(3x - 19) = (x - 5)(x - 3)$.
$9x - 57 = x^2 - 3x - 5x + 15$.
$9x - 57 = x^2 - 8x + 15$.
દ્વિઘાત સમીકરણમાં ગોઠવતા: $x^2 - 17x + 72 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(x - 8)(x - 9) = 0$.
આમ,$x = 8$ અથવા $x = 9$.

(A) $\overline{PQ} \parallel \overline{RS}$ હોવાથી,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\triangle XPQ \sim \triangle XRS$ થાય (યુગ્મકોણ સમાન હોય છે).
તેથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે: $\frac{XP}{XR} = \frac{XQ}{XS}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{2x + 4}{x + 1} = \frac{4x - 2}{4}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $4(2x + 4) = (x + 1)(4x - 2)$.
$8x + 16 = 4x^2 - 2x + 4x - 2$.
$8x + 16 = 4x^2 + 2x - 2$.
દ્વિઘાત સમીકરણમાં ગોઠવતા: $4x^2 - 6x - 18 = 0$.
$2$ વડે ભાગતા: $2x^2 - 3x - 9 = 0$.
અવયવ પાડતા: $2x^2 - 6x + 3x - 9 = 0 \implies 2x(x - 3) + 3(x - 3) = 0$.
$(2x + 3)(x - 3) = 0$.
આમ,$x = 3$ અથવા $x = -1.5$.
લંબાઈ હંમેશા ધન હોવાથી,$x = 3$ મળે.

(B) આપેલ છે કે $\square XYZW$ માં $\overline{XY} \parallel \overline{ZW}$ છે.
$\overline{XZ}$ અને $\overline{YW}$ એ $P$ બિંદુએ છેદતી છેદિકાઓ હોવાથી,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\triangle PXY \sim \triangle PZW$ થાય (યુગ્મકોણ સમાન હોવાથી).
તેથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય: $\frac{PX}{PZ} = \frac{PY}{PW}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{3x - 1}{5x - 3} = \frac{2x + 1}{6x - 5}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $(3x - 1)(6x - 5) = (2x + 1)(5x - 3)$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $18x^2 - 15x - 6x + 5 = 10x^2 - 6x + 5x - 3$.
$18x^2 - 21x + 5 = 10x^2 - x - 3$.
પદોને ગોઠવતા: $8x^2 - 20x + 8 = 0$.
$4$ વડે ભાગતા: $2x^2 - 5x + 2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $2x^2 - 4x - x + 2 = 0 \implies 2x(x - 2) - 1(x - 2) = 0$.
$(2x - 1)(x - 2) = 0$.
આમ,$x = 0.5$ અથવા $x = 2$.
જો $x = 0.5$ લઈએ,તો $PW = 6(0.5) - 5 = -2$ મળે,જે શક્ય નથી કારણ કે લંબાઈ ઋણ ન હોઈ શકે.
તેથી,$x = 2$.

(C) અહીં $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ હોવાથી,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\triangle OAB \sim \triangle OCD$ થાય.
તેથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય: $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{3x - 19}{x - 3} = \frac{x - 4}{4}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $4(3x - 19) = (x - 3)(x - 4)$.
$12x - 76 = x^2 - 7x + 12$.
દ્વિઘાત સમીકરણના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા: $x^2 - 19x + 88 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(x - 8)(x - 11) = 0$.
આમ,$x = 8$ અથવા $x = 11$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $\Delta ABC \sim \Delta PQR$.
સમરૂપ ત્રિકોણો માટે,તેમની પરિમિતિનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે.
તેથી,$\frac{\Delta ABC \text{ ની પરિમિતિ}}{\Delta PQR \text{ ની પરિમિતિ}} = \frac{AB}{PQ}$.
આપેલ છે કે $AB = 8$,$PQ = 14$ અને $\Delta ABC$ ની પરિમિતિ $= 20$.
ધારો કે $\Delta PQR$ ની પરિમિતિ $x$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{20}{x} = \frac{8}{14}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{20}{x} = \frac{4}{7}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $4x = 20 \times 7$.
$4x = 140$.
$x = \frac{140}{4} = 35$.
આમ,$\Delta PQR$ ની પરિમિતિ $35$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\Delta PQR \sim \Delta XYZ$.
સમરૂપ ત્રિકોણો માટે,તેમની પરિમિતિનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે.
તેથી,$\frac{\Delta PQR \text{ ની પરિમિતિ}}{\Delta XYZ \text{ ની પરિમિતિ}} = \frac{PR}{XZ}$.
આપેલ કિંમતો છે: $\Delta PQR$ ની પરિમિતિ $= 24$,$\Delta XYZ$ ની પરિમિતિ $= 60$,અને $PR = 10$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{24}{60} = \frac{10}{XZ}$.
$\frac{24}{60}$ નું સાદું રૂપ આપતા $\frac{2}{5}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{2}{5} = \frac{10}{XZ}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $2 \times XZ = 50$ મળે.
$XZ = \frac{50}{2} = 25$.
આમ,$XZ = 25$.

(B) આપેલ છે કે $\angle A = \angle Q$ અને $\angle B = \angle R$.
$AA$ (ખૂ-ખૂ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,જો બે ત્રિકોણના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોય,તો તે ત્રિકોણો સમરૂપ છે.
અહીં $\angle A$ ને સંગત $\angle Q$ છે,$\angle B$ ને સંગત $\angle R$ છે,અને તેથી $\angle C$ ને સંગત $\angle P$ થશે.
તેથી,તેમની વચ્ચેની સંગતતા $\Delta ABC \sim \Delta QRP$ છે.

(C) બાજુઓના ગુણોત્તર આપેલ છે: $\frac{PQ}{YZ} = \frac{QR}{XZ} = \frac{RP}{XY}$.
$SSS$ (બાજુ-બાજુ-બાજુ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,સંગતતા બાજુઓના ક્રમમાં શિરોબિંદુઓ સાથે મેળ ખાવી જોઈએ.
બાજુઓની સરખામણી કરતા:
$PQ$ ને સંગત $YZ$ છે
$QR$ ને સંગત $ZX$ છે
$RP$ ને સંગત $XY$ છે
આમ,શિરોબિંદુઓ $P, Q, R$ અનુક્રમે $Y, Z, X$ ને સંગત છે.
તેથી,$\Delta PQR \sim \Delta YZX$.

(D) આપેલ છે કે $\square ABCD$ એક ચતુષ્કોણ છે જેમાં $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ છે.
$\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ હોવાથી,યુગ્મકોણ સમાન થાય,એટલે કે $\angle OAB = \angle OCD$ અને $\angle OBA = \angle ODC$ થાય.
$AA$ (ખૂ-ખૂ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle OAB \sim \triangle OCD$ થાય.
સમરૂપ ત્રિકોણ માટે,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD}$.
અહીં $\frac{OA}{OC} = \frac{1}{2}$ અને $AB = 5$ આપેલ છે.
આ કિંમતો ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2} = \frac{5}{CD}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $CD = 5 \times 2 = 10$ મળે.
આમ,$CD$ ની લંબાઈ $10$ છે.

(A) ચતુષ્કોણ $\square ABCD$ માં,$\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ હોવાથી,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\triangle MAB \sim \triangle MCD$ થાય (યુગ્મકોણો સમાન હોવાથી).
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AB}{CD} = \frac{MB}{MD} = \frac{MA}{MC}$.
અહીં $\frac{MB}{MD} = \frac{5}{3}$ અને $CD = 12$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{AB}{12} = \frac{5}{3}$.
$AB$ માટે ગણતરી કરતા:
$AB = \frac{5}{3} \times 12 = 5 \times 4 = 20$.
આમ,$AB = 20$ મળે છે.

(A) અહીં $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ હોવાથી,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\triangle MAB \sim \triangle MCD$ થાય (યુગ્મકોણ સમાન હોવાથી).
તેથી,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન થાય: $\frac{MA}{MC} = \frac{MB}{MD} = \frac{AB}{CD} = \frac{2}{1}$.
આપેલ છે કે $AC = MA + MC = 15$.
સમીકરણમાં $MA = 2MC$ મૂકતા: $2MC + MC = 15$.
$3MC = 15 \implies MC = 5$.
તેથી,$MA = 2 \times 5 = 10$.
આમ,$MA = 10$ અને $MC = 5$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $\Delta ABC \sim \Delta XYZ$.
બે સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના પ્રમેય મુજબ,તેમના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ જેટલો હોય છે.
તેથી,$\frac{\text{Area}(\Delta ABC)}{\text{Area}(\Delta XYZ)} = \left( \frac{AB}{XY} \right)^2$.
અહીં $AB = 12, XY = 8$ અને $\text{Area}(\Delta ABC) = 81$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{81}{\text{Area}(\Delta XYZ)} = \left( \frac{12}{8} \right)^2$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.
તેથી,$\frac{81}{\text{Area}(\Delta XYZ)} = \left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4}$.
હવે,$\text{Area}(\Delta XYZ)$ માટે ગણતરી કરતા: $\text{Area}(\Delta XYZ) = \frac{81 \times 4}{9}$.
$\text{Area}(\Delta XYZ) = 9 \times 4 = 36$.
આમ,$\Delta XYZ$ નું ક્ષેત્રફળ $36$ છે.

(D) આપેલ છે કે $PQR \leftrightarrow XZY$ સંગતતા હેઠળ $\Delta PQR \sim \Delta XYZ$ છે.
બે સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના ગુણોત્તરના પ્રમેય મુજબ,તેમના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ જેટલો હોય છે.
તેથી,$\frac{\text{Area}(\Delta PQR)}{\text{Area}(\Delta XYZ)} = \left( \frac{PQ}{XZ} \right)^2$.
આપેલ છે કે $\frac{PQ}{XZ} = \frac{7}{3}$ અને $\text{Area}(\Delta XYZ) = 72$.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{\text{Area}(\Delta PQR)}{72} = \left( \frac{7}{3} \right)^2$.
$\frac{\text{Area}(\Delta PQR)}{72} = \frac{49}{9}$.
$\text{Area}(\Delta PQR) = \frac{49}{9} \times 72$.
$\text{Area}(\Delta PQR) = 49 \times 8 = 392$.