Mix Examples - Triangles Questions in Gujarati

(N/A) આપેલ છે: $AB + BC = 23$ $(i)$,$BC + AC = 32$ $(ii)$ અને $AB + AC = 25$ $(iii)$.
$(i)$,$(ii)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા: $2(AB + BC + AC) = 23 + 32 + 25 = 80$.
તેથી,$AB + BC + AC = 40$ $(iv)$.
$(iv)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા: $AB = 40 - 32 = 8$.
$(iv)$ માંથી $(iii)$ બાદ કરતા: $BC = 40 - 25 = 15$.
$(iv)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા: $AC = 40 - 23 = 17$.
હવે,બાજુઓ તપાસતા: $AB^2 + BC^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$.
વળી,$AC^2 = 17^2 = 289$.
અહીં $AB^2 + BC^2 = AC^2$ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેયના પ્રતિપ મુજબ,$\Delta ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle B = 90^\circ$ છે.

(A) $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ છે.
ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય (અથવા સમરૂપ ત્રિકોણ $\Delta AMB \sim \Delta BMC$ ના ગુણધર્મો) મુજબ,$BM^2 = AM \cdot MC$ થાય.
આપેલ છે કે $AM = 12$ અને $BM = 12$,આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$12^2 = 12 \cdot MC$
$144 = 12 \cdot MC$
$MC = \frac{144}{12} = 12$.
કારણ કે $AC = AM + MC$,તેથી:
$AC = 12 + 12 = 24$.

(A) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પર દોરેલો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણ અને એકબીજાને સમરૂપ હોય છે.
ભૌમિતિક મધ્યક પ્રમેય મુજબ,કર્ણ $\overline{XZ}$ પરનો વેધ $\overline{YM}$ નીચે મુજબનો સંબંધ ધરાવે છે: $YM^2 = XM \cdot ZM$.
અહીં $XM = \sqrt{12}$ અને $ZM = \sqrt{3}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$YM^2 = \sqrt{12} \cdot \sqrt{3}$
$YM^2 = \sqrt{12 \cdot 3}$
$YM^2 = \sqrt{36}$
$YM^2 = 6$
તેથી,$YM = \sqrt{6}$.

(B) ધારો કે $PD = x$. કારણ કે $PR = 34$,તેથી $DR = 34 - x$.
$\Delta PQR$ માં,$\overline{QD}$ એ કર્ણ $PR$ પરનો વેધ છે. ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય (અથવા સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મો) મુજબ,$QD^2 = PD \cdot DR$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $15^2 = x(34 - x)$.
$225 = 34x - x^2$.
$x^2 - 34x + 225 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીને ઉકેલતા:
$x = \frac{34 \pm \sqrt{34^2 - 4(1)(225)}}{2} = \frac{34 \pm \sqrt{1156 - 900}}{2} = \frac{34 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{34 \pm 16}{2}$.
$x$ ની બે શક્ય કિંમતો $x = 25$ અથવા $x = 9$ મળે છે.
$\Delta PQD$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$PQ^2 = QD^2 + PD^2$.
જો $PD = 9$ હોય,તો $PQ^2 = 15^2 + 9^2 = 306$,એટલે કે $PQ = 3 \sqrt{34}$.
જો $PD = 25$ હોય,તો $PQ^2 = 15^2 + 25^2 = 850$,એટલે કે $PQ = 5 \sqrt{34}$.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$5 \sqrt{34}$ એ સાચો જવાબ છે.

(C) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં જ્યાં $\angle B = 90^{\circ}$ છે,$\overline{BM}$ એ કર્ણ $AC$ પરનો વેધ છે.
ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય મુજબ,કર્ણ પરનો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે.
ખાસ કરીને,$\Delta BMC \sim \Delta AMB$.
સમરૂપતાના ગુણધર્મ મુજબ: $BM^2 = AM \cdot CM$.
અહીં $BM = \sqrt{30}$ અને $CM = 3$ આપેલ છે,તેથી:
$(\sqrt{30})^2 = AM \cdot 3$
$30 = AM \cdot 3$
$AM = 10$.
કર્ણ $AC$ ની લંબાઈ એ $AM$ અને $CM$ ના સરવાળા જેટલી થાય છે:
$AC = AM + CM = 10 + 3 = 13$.
તેથી,સાચો જવાબ $13$ છે.

(D) $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ છે.
ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય (અથવા સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મો) મુજબ,કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ પરનો વેધ મૂળ ત્રિકોણને બે સમરૂપ ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે.
ખાસ કરીને,$\Delta ABM \sim \Delta ACB$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં વેધના ગુણધર્મ મુજબ: $AB^2 = AM \cdot AC$.
અહીં $AB = 2\sqrt{10}$ આપેલ છે,તેથી $AB^2 = (2\sqrt{10})^2 = 4 \cdot 10 = 40$.
$AM = 5$ આપેલ છે,તેથી સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $40 = 5 \cdot AC$.
$AC$ માટે ઉકેલતા: $AC = 40 / 5 = 8$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $AC = AM + CM$,તેથી $8 = 5 + CM$.
આમ,$CM = 8 - 5 = 3$.

(A) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ $\overline{BM}$ હોય,તો ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય મુજબ $BM^2 = AM \cdot CM$ થાય.
અહીં $AM = x + 7$,$BM = x + 2$ અને $CM = x$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $(x + 2)^2 = (x + 7)(x)$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + 4x + 4 = x^2 + 7x$.
બંને બાજુથી $x^2$ બાદ કરતા: $4x + 4 = 7x$.
પદોને ગોઠવતા: $4 = 7x - 4x$,જેનું સાદું રૂપ $4 = 3x$ થાય.
તેથી,$x = \frac{4}{3}$.

(A) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પરનો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને અને એકબીજાને સમરૂપ હોય છે.
ભૌમિતિક મધ્યકના પ્રમેય મુજબ,$BM^2 = AM \cdot CM$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $BM^2 = (2x^2)(8x^2) = 16x^4$.
વર્ગમૂળ લેતા: $BM = 4x^2$.
$\Delta ABM$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $AB^2 = AM^2 + BM^2 = (2x^2)^2 + (4x^2)^2 = 4x^4 + 16x^4 = 20x^4$.
તેથી,$AB = \sqrt{20x^4} = 2\sqrt{5}x^2$.
$\Delta BCM$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $BC^2 = CM^2 + BM^2 = (8x^2)^2 + (4x^2)^2 = 64x^4 + 16x^4 = 80x^4$.
તેથી,$BC = \sqrt{80x^4} = 4\sqrt{5}x^2$.

(C) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta PQR$ માં જ્યાં $\angle Q = 90^{\circ}$ છે, $\overline{QM}$ એ કર્ણ $PR$ પરનો વેધ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટેના ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય મુજબ, કર્ણ પરનો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે.
ખાસ કરીને, $\Delta QMR \sim \Delta PMQ$.
સમરૂપતા $\Delta QMR \sim \Delta PMQ$ પરથી, આપણને અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર મળે છે: $\frac{QM}{RM} = \frac{PM}{QM}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{14}{7} = \frac{PM}{14}$.
$PM = \frac{14 \times 14}{7} = 2 \times 14 = 28$.
હવે, કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta PMQ$ માં, પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $PQ^2 = PM^2 + QM^2$.
$PQ^2 = 28^2 + 14^2$.
$PQ^2 = 784 + 196 = 980$.
$PQ = \sqrt{980} = \sqrt{196 \times 5} = 14 \sqrt{5}$.

(A) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ $\overline{BM}$ હોય,તો ભૂમિતિના મધ્યક ગુણધર્મ મુજબ: $BM^2 = AM \cdot CM$.
આપેલ છે કે $BM = 6$,તેથી $AM \cdot CM = 6^2 = 36$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $AM + CM = AC = 13$.
ધારો કે $AM = x$ અને $CM = y$. તેથી $x + y = 13$ અને $xy = 36$.
આ કિંમતો દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - 13t + 36 = 0$ ના બીજ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(t - 9)(t - 4) = 0$,તેથી $t = 9$ અથવા $t = 4$.
$AM < CM$ હોવાથી,$AM = 4$ અને $CM = 9$ મળે.
$\Delta ABM$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AB^2 = AM^2 + BM^2$.
$AB^2 = 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52$.
$AB = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2 \sqrt{13}$.

(A) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta XYZ$ માં જ્યાં $\angle Y = 90^{\circ}$ છે,$\overline{YM}$ એ કર્ણ $\overline{XZ}$ પરનો વેધ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટેના ભૂમિતિ મધ્યક પ્રમેય મુજબ,કર્ણ પરનો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે.
ચોક્કસ રીતે,$YM^2 = XM \cdot MZ$ થાય.
અહીં $YM = 12$ અને $XM = 8$ આપેલ છે,તેથી:
$12^2 = 8 \cdot MZ$
$144 = 8 \cdot MZ$
$MZ = 144 / 8 = 18$.
કર્ણ $XZ$ ની લંબાઈ એ $XM$ અને $MZ$ ના સરવાળા જેટલી થાય:
$XZ = XM + MZ = 8 + 18 = 26$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પરનો વેધ મૂળ ત્રિકોણને બે સમાન ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે.
વેધ માટેના ભૂમિતિ મધ્યક પ્રમેય મુજબ: $BM^2 = AM \cdot CM$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $BM^2 = 4 \cdot 5 = 20$.
તેથી,$BM = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$\Delta ABM$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AB^2 = AM^2 + BM^2$.
$AB^2 = 4^2 + (2\sqrt{5})^2 = 16 + 20 = 36$.
તેથી,$AB = \sqrt{36} = 6$.

(C) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કાટખૂણાના શિરોબિંદુમાંથી કર્ણ પર દોરેલો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને અને એકબીજાને સમરૂપ હોય છે.
ભૌમિતિક મધ્યક પ્રમેય મુજબ,કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ $\overline{BM}$ નીચે મુજબનો સંબંધ ધરાવે છે: $BM^2 = AM \times CM$.
અહીં $AM = 12$ અને $CM = 3$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $BM^2 = 12 \times 3 = 36$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $BM = \sqrt{36} = 6$.

(A) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પરનો વેધ મૂળ ત્રિકોણ સાથે સમરૂપ હોય તેવા બે ત્રિકોણ બનાવે છે. ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય મુજબ,$BM^2 = AM \cdot CM$.
અહીં $AM = 4$ અને $CM = 12$ આપેલ છે,તેથી $BM^2 = 4 \cdot 12 = 48$,એટલે કે $BM = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$.
$\Delta ABM$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AB^2 = AM^2 + BM^2 = 4^2 + (4\sqrt{3})^2 = 16 + 48 = 64$. તેથી,$AB = \sqrt{64} = 8$.
$\Delta CBM$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$BC^2 = CM^2 + BM^2 = 12^2 + (4\sqrt{3})^2 = 144 + 48 = 192$. તેથી,$BC = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$.

(A) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં જ્યાં $\angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ છે,વેધના ગુણધર્મ મુજબ $BM^2 = AM \cdot CM$ થાય.
આપેલ છે કે $AM = 9$ અને $CM = 16$,તેથી $BM^2 = 9 \cdot 16 = 144$,એટલે કે $BM = 12$.
હવે,$\Delta AMB$ અને $\Delta BMC$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને બાજુઓ $AB$ અને $BC$ ની લંબાઈ શોધીએ:
$AB = \sqrt{AM^2 + BM^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$.
$BC = \sqrt{CM^2 + BM^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$.
કર્ણ $AC = AM + CM = 9 + 16 = 25$.
$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ = $AB + BC + AC = 15 + 20 + 25 = 60$.

(B) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં કર્ણ $\overline{BC}$ પરનો વેધ $\overline{AM}$ હોય,તો ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય મુજબ: $AM^2 = BM \cdot CM$.
અહીં $BM = 6$ અને $CM = 2$ આપેલ છે,તેથી $AM^2 = 6 \cdot 2 = 12$,એટલે કે $AM = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
હવે,$\Delta ABC$ ની બાજુઓ શોધીએ:
$BC = BM + CM = 6 + 2 = 8$.
$\Delta ABM$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AB^2 = AM^2 + BM^2 = 12 + 36 = 48$,તેથી $AB = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$.
$\Delta ACM$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AC^2 = AM^2 + CM^2 = 12 + 4 = 16$,તેથી $AC = \sqrt{16} = 4$.
$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ = $AB + AC + BC = 4\sqrt{3} + 4 + 8 = 12 + 4\sqrt{3}$.

(C) $\Delta ABC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $m \angle A + m \angle B + m \angle C = 180^{\circ}$ થાય.
આપેલ છે કે $m \angle A = m \angle B + m \angle C$,તેથી $m \angle A + m \angle A = 180^{\circ}$,એટલે કે $2m \angle A = 180^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $m \angle A = 90^{\circ}$.
$\overline{AM}$ એ $\overline{BC}$ પરનો વેધ હોવાથી,$\Delta ABM$ અને $\Delta ACM$ એ $M$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
ધારો કે $BM = x$. તો $MC = 8 - x$.
$\Delta ABM$ માં,$AB^2 = AM^2 + BM^2 = 12 + x^2$.
$\Delta ACM$ માં,$AC^2 = AM^2 + MC^2 = 12 + (8 - x)^2$.
$\Delta ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AB^2 + AC^2 = BC^2$,તેથી $(12 + x^2) + (12 + (8 - x)^2) = 8^2$.
$24 + x^2 + 64 - 16x + x^2 = 64$.
$2x^2 - 16x + 24 = 0$.
$x^2 - 8x + 12 = 0$.
$(x - 6)(x - 2) = 0$.
આમ,$x = 6$ અથવા $x = 2$.

(D) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta PQR$ માં જ્યાં $\angle Q = 90^{\circ}$ છે,$\overline{QM}$ એ કર્ણ $\overline{PR}$ પરનો વેધ છે.
ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય (અથવા સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મો) મુજબ,$QM^2 = PM \cdot MR$ થાય.
ધારો કે $PM = x$. કારણ કે $PR = 10$ છે,તેથી $MR = 10 - x$ થાય.
આપેલ છે કે $QM = 4$,આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$4^2 = x(10 - x)$
$16 = 10x - x^2$
$x^2 - 10x + 16 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(x - 2)(x - 8) = 0$
આમ,$x = 2$ અથવા $x = 8$.
તેથી,$PM$ ની કિંમત $2$ અથવા $8$ હોઈ શકે છે.

(A) ધારો કે $AM = x$. કારણ કે $AC = 25$,તેથી $MC = 25 - x$.
$\Delta ABC$ માં,$\overline{BM}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ છે. ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય મુજબ,$BM^2 = AM \cdot MC$.
કિંમતો મૂકતા: $12^2 = x(25 - x) \implies 144 = 25x - x^2$.
આને દ્વિઘાત સમીકરણ તરીકે ગોઠવતા: $x^2 - 25x + 144 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(x - 16)(x - 9) = 0$,તેથી $x = 16$ અથવા $x = 9$.
આપેલ છે કે $AM > CM$,તેથી આપણે $AM = 16$ અને $MC = 9$ લઈશું.
$\Delta ABM$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $AB^2 = AM^2 + BM^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400 \implies AB = 20$.
$\Delta CBM$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $BC^2 = MC^2 + BM^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \implies BC = 15$.
આમ,$AB = 20$ અને $BC = 15$ મળે છે.

(B) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પર દોરેલો વેધ બે ત્રિકોણ બનાવે છે જે મૂળ ત્રિકોણ અને એકબીજાને સમરૂપ હોય છે.
ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય (અથવા સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મો) મુજબ,આપણી પાસે સંબંધ છે: $YZ^2 = ZM \cdot XZ$.
પ્રથમ,કર્ણ $XZ$ ની કુલ લંબાઈની ગણતરી કરો:
$XZ = XM + ZM = 5 + 4 = 9$.
હવે,સૂત્રમાં કિંમતો મૂકો:
$YZ^2 = 4 \cdot 9 = 36$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$YZ = \sqrt{36} = 6$.
આમ,$YZ$ ની લંબાઈ $6$ છે.

(C) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,જો કાટખૂણાના શિરોબિંદુમાંથી કર્ણ પર વેધ દોરવામાં આવે,તો વેધની બંને બાજુના ત્રિકોણ મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે.
મુખ્યત્વે,$\Delta RMQ \sim \Delta RQP$.
સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{RM}{RQ} = \frac{RQ}{RP}$.
અહીં $QR = 9$ અને $PR = 13.5$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{RM}{9} = \frac{9}{13.5}$.
$RM = \frac{9 \times 9}{13.5}$.
$RM = \frac{81}{13.5}$.
$RM = 6$.

(A) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં જ્યાં $\angle B = 90^{\circ}$ છે,$\overline{BM}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ છે.
ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય મુજબ,આપણી પાસે સંબંધ $BM^2 = AM \cdot CM$ છે.
અહીં $BM = 12$ અને $CM = 18$ આપેલ છે,તેથી:
$12^2 = AM \cdot 18$
$144 = AM \cdot 18$
$AM = \frac{144}{18} = 8$.
હવે,$\Delta ABM$ નો વિચાર કરો,જે $M$ આગળ કાટખૂણો ધરાવે છે $(\angle AMB = 90^{\circ})$.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $AB^2 = AM^2 + BM^2$.
$AB^2 = 8^2 + 12^2$
$AB^2 = 64 + 144$
$AB^2 = 208$
$AB = \sqrt{208} = \sqrt{16 \cdot 13} = 4 \sqrt{13}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ધારો કે નિસરણીની લંબાઈ કર્ણ $c = 6 \,m$ છે.
ધારો કે દીવાલ પર પહોંચેલી ઊંચાઈ એક બાજુ $a = 3.6 \,m$ છે.
ધારો કે દીવાલના પાયાથી નિસરણીના નીચેના છેડા સુધીનું અંતર $b$ છે.
દીવાલ,જમીન અને નિસરણી દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણ માટે પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$a^2 + b^2 = c^2$
$(3.6)^2 + b^2 = 6^2$
$12.96 + b^2 = 36$
$b^2 = 36 - 12.96$
$b^2 = 23.04$
$b = \sqrt{23.04} = 4.8 \,m$.
આમ,અંતર $4.8 \,m$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\Delta PQR$ માં,$m \angle P = m \angle Q + m \angle R$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^\circ$ થાય છે,તેથી $m \angle P + m \angle Q + m \angle R = 180^\circ$.
$m \angle Q + m \angle R = m \angle P$ મૂકતા,આપણને $m \angle P + m \angle P = 180^\circ$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2(m \angle P) = 180^\circ$,તેથી $m \angle P = 90^\circ$.
આમ,$\Delta PQR$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં કર્ણ $QR = 25$ અને એક બાજુ $PQ = 7$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$PQ^2 + PR^2 = QR^2$.
$7^2 + PR^2 = 25^2$.
$49 + PR^2 = 625$.
$PR^2 = 625 - 49 = 576$.
$PR = \sqrt{576} = 24$.
$\Delta PQR$ ની પરિમિતિ = $PQ + QR + PR = 7 + 25 + 24 = 56$.

(C) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $a$ છે.
ચોરસમાં,વિકર્ણ $d$ અને બાજુ $a$ વચ્ચેનો સંબંધ $d = a \sqrt{2}$ છે.
આપેલ છે કે વિકર્ણ $d = 8$,તેથી $8 = a \sqrt{2}$.
બાજુની લંબાઈ $a$ શોધવા માટે,બંને બાજુને $\sqrt{2}$ વડે ભાગતા:
$a = \frac{8}{\sqrt{2}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$a = \frac{8}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{8 \sqrt{2}}{2} = 4 \sqrt{2}$.
આમ,ચોરસની બાજુની લંબાઈ $4 \sqrt{2}$ છે.

(D) $1$. સમબાજુ ચતુષ્કોણની પરિમિતિ $4 \times \text{બાજુ}$ દ્વારા મળે છે। ધારો કે બાજુની લંબાઈ $s$ છે. તેથી, $4s = 116$, જે $s = 29$ આપે છે.
$2$. સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં, વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે $(90^{\circ})$ દુભાગે છે.
$3$. ધારો કે વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ પર છેદે છે. તેથી $AO = AC / 2 = 42 / 2 = 21$.
$4$. કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle AOB$ માં, પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AO^2 + BO^2 = AB^2$.
$5$. કિંમતો મૂકતા: $21^2 + BO^2 = 29^2$.
$6$. $441 + BO^2 = 841$.
$7$. $BO^2 = 841 - 441 = 400$.
$8$. $BO = \sqrt{400} = 20$.
$9$. વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગતા હોવાથી, $BD = 2 \times BO = 2 \times 20 = 40$.

(A) લંબચોરસમાં વિકર્ણોની લંબાઈ સમાન હોય છે,તેથી $XZ = YW$. આપેલ છે કે $XZ + YW = 26$,તેથી $2XZ = 26$,જેનો અર્થ છે કે $XZ = 13$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle XYZ$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$XY^2 + YZ^2 = XZ^2 = 13^2 = 169$.
આપણને $XY + YZ = 17$ આપેલ છે. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(XY + YZ)^2 = 17^2 = 289$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$XY^2 + YZ^2 + 2(XY \cdot YZ) = 289$.
$XY^2 + YZ^2 = 169$ મૂકતા,આપણને $169 + 2(XY \cdot YZ) = 289$ મળે છે,તેથી $2(XY \cdot YZ) = 120$,જેનો અર્થ છે કે $XY \cdot YZ = 60$.
આપણને એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ છે જેનો સરવાળો $17$ અને ગુણાકાર $60$ થાય. આ સંખ્યાઓ $12$ અને $5$ છે.
$XY > YZ$ હોવાથી,$XY = 12$ અને $YZ = 5$ મળે છે.

(B) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પરની મધ્યગાની લંબાઈ કર્ણની લંબાઈ કરતા અડધી હોય છે.
અહીં,$\angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી $\overline{BE}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરની મધ્યગા છે.
તેથી,$BE = \frac{1}{2} AC$.
આપેલ છે કે $BE = 8.5$,તેથી $8.5 = \frac{1}{2} AC$,જેનો અર્થ છે કે $AC = 17$.
$\Delta ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AB^2 + BC^2 = AC^2$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા: $15^2 + BC^2 = 17^2$.
$225 + BC^2 = 289$.
$BC^2 = 289 - 225 = 64$.
$BC = \sqrt{64} = 8$.

(C) ધારો કે સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણની બે સમાન બાજુઓ $x$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ, $x^2 + x^2 = (\text{કર્ણ})^2$.
અહીં કર્ણ $24$ આપેલ છે, તેથી $2x^2 = 24^2$.
$2x^2 = 576$.
$x^2 = 288$.
કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં, પાયો $= x$ અને વેધ $= x$ છે, તેથી ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times x \times x = \frac{1}{2}x^2$.
$x^2$ ની કિંમત મૂકતા, ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 288 = 144$.

(N/A) ધારો કે સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણની બે સમાન બાજુઓ $x$ છે. પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ, $x^2 + x^2 = (20)^2$.
$2x^2 = 400$, જેનો અર્થ છે કે $x^2 = 200$.
તેથી, $x = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$.
ત્રિકોણની પરિમિતિ એ બધી બાજુઓનો સરવાળો છે: $P = x + x + 20 = 2x + 20 = 2(10\sqrt{2}) + 20 = 20\sqrt{2} + 20$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times x \times x = \frac{1}{2} \times x^2$ દ્વારા મળે છે.
$x^2 = 200$ મૂકતા, આપણને ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 200 = 100$ મળે છે.

(A) સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે $(90^{\circ})$ દુભાગે છે.
ધારો કે વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ પર છેદે છે.
તેથી,$AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8$ અને $BO = OD = \frac{BD}{2} = \frac{30}{2} = 15$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle AOB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 = AO^2 + BO^2$
$AB^2 = 8^2 + 15^2$
$AB^2 = 64 + 225 = 289$
$AB = \sqrt{289} = 17$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણની પરિમિતિ $= 4 \times \text{બાજુ}$.
પરિમિતિ $= 4 \times 17 = 68$.

(B) વાંસના ઝાડની કુલ ઊંચાઈ $8 \, m$ છે.
તે જમીનથી $3 \, m$ ની ઊંચાઈએથી તૂટે છે.
ધારો કે કુલ ઊંચાઈ $H = 8 \, m$ છે અને જે ઊંચાઈએથી તે તૂટે છે તે $h = 3 \, m$ છે.
તૂટેલા ભાગની લંબાઈ (કાટકોણ ત્રિકોણનો કર્ણ) $L = H - h = 8 - 3 = 5 \, m$ છે.
બાકી રહેલા થડની ઊંચાઈ $h = 3 \, m$ છે.
ધારો કે ઝાડની ટોચ અને ઝાડના પાયા વચ્ચેનું અંતર $x$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટે પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$x^2 + h^2 = L^2$
$x^2 + 3^2 = 5^2$
$x^2 + 9 = 25$
$x^2 = 25 - 9 = 16$
$x = \sqrt{16} = 4 \, m$.
આમ,અંતર $4 \, m$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $m \angle C = 90^\circ$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણનો વર્ગ એ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
અહીં,$AB$ એ કર્ણ છે,અને $AC$ તથા $BC$ એ બાકીની બે બાજુઓ છે.
તેથી,$AB^2 = AC^2 + BC^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(12.5)^2 = AC^2 + (12)^2$.
$156.25 = AC^2 + 144$.
$AC^2 = 156.25 - 144$.
$AC^2 = 12.25$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$AC = \sqrt{12.25} = 3.5$.

(D) $\Delta ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $m \angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,આપણે પાયથાગોરસનો પ્રમેય વાપરી શકીએ:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
અહીં $AB = 4$ અને $BC = 7.5$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$AC^2 = 4^2 + (7.5)^2$
$AC^2 = 16 + 56.25$
$AC^2 = 72.25$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$AC = \sqrt{72.25} = 8.5$
આમ,$AC$ ની લંબાઈ $8.5$ છે.

(A) આપેલ છે કે $m \angle A + m \angle B = m \angle C$.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$m \angle A + m \angle B + m \angle C = 180^{\circ}$.
$m \angle A + m \angle B = m \angle C$ મૂકતા,આપણને $m \angle C + m \angle C = 180^{\circ}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2m \angle C = 180^{\circ}$,તેથી $m \angle C = 90^{\circ}$.
આમ,$\Delta ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં કર્ણ $AB = 17.5$ છે.
આપેલ છે કે $AC : BC = 3 : 4$,તેથી ધારો કે $AC = 3x$ અને $BC = 4x$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^2 + BC^2 = AB^2$.
$(3x)^2 + (4x)^2 = (17.5)^2$.
$9x^2 + 16x^2 = 306.25$.
$25x^2 = 306.25$.
$x^2 = 12.25$,તેથી $x = 3.5$.
આમ,$AC = 3(3.5) = 10.5$ અને $BC = 4(3.5) = 14$.
$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ = $AC + BC + AB = 10.5 + 14 + 17.5 = 42$.

(B) $\Delta ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $m \angle A = 90^{\circ}$ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 + AC^2 = BC^2$
આપેલ પદોની કિંમત મૂકતા:
$(3x - 2)^2 + (5x + 4)^2 = (6x + 2)^2$
વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(9x^2 - 12x + 4) + (25x^2 + 40x + 16) = (36x^2 + 24x + 4)$
ડાબી બાજુના સમાન પદોનો સરવાળો કરતા:
$34x^2 + 28x + 20 = 36x^2 + 24x + 4$
બધા પદોને એક બાજુ લાવતા:
$36x^2 - 34x^2 + 24x - 28x + 4 - 20 = 0$
$2x^2 - 4x - 16 = 0$
સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા:
$x^2 - 2x - 8 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(x - 4)(x + 2) = 0$
તેથી $x = 4$ અથવા $x = -2$ મળે.
લંબાઈ હંમેશા ધન હોવી જોઈએ,તેથી $3x - 2 > 0$ એટલે કે $x > 2/3$. આમ,$x = 4$ એ જ સાચો ઉકેલ છે.

(C) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પરની મધ્યગાની લંબાઈ કર્ણની લંબાઈ કરતા અડધી હોય છે.
સૌ પ્રથમ,પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને કર્ણ $PR$ ની લંબાઈ શોધો: $PR^2 = PQ^2 + QR^2$.
$PR^2 = 20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$.
$PR = \sqrt{841} = 29$.
અહીં $\overline{QM}$ એ કર્ણ $PR$ પરની મધ્યગા હોવાથી,તેની લંબાઈ $QM = \frac{1}{2} \times PR$ થશે.
$QM = \frac{29}{2} = 14.5$.

(D) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં જ્યાં $\angle B = 90^{\circ}$ છે,ત્યાં કર્ણ $AC$ ની લંબાઈ પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$
$AC = \sqrt{625} = 25$.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પરની મધ્યગાની લંબાઈ કર્ણની લંબાઈ કરતાં અડધી હોય છે.
તેથી,$BM = \frac{1}{2} \times AC = \frac{1}{2} \times 25 = 12.5$.

(A) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta XYZ$ માં,જ્યાં $m\angle Y = 90^{\circ}$ છે,બાજુ $XZ$ એ કર્ણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$(XZ)^{2} = (XY)^{2} + (YZ)^{2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(XZ)^{2} = (a^{2} - b^{2})^{2} + (2ab)^{2}$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $(XZ)^{2} = (a^{4} - 2a^{2}b^{2} + b^{4}) + 4a^{2}b^{2}$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $(XZ)^{2} = a^{4} + 2a^{2}b^{2} + b^{4}$.
આ એક પૂર્ણવર્ગ પદાવલિ છે: $(XZ)^{2} = (a^{2} + b^{2})^{2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $XZ = a^{2} + b^{2}$ મળે છે.

(B) ધારો કે સીડીની લંબાઈ કર્ણ $h = 4 \,m$ છે.
ધારો કે દીવાલ પર પહોંચેલી ઊંચાઈ વેધ $p = 3.2 \,m$ છે.
ધારો કે દીવાલના પાયા અને સીડીના નીચેના છેડા વચ્ચેનું અંતર પાયો $b$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$h^2 = p^2 + b^2$.
કિંમતો મૂકતા: $4^2 = (3.2)^2 + b^2$.
$16 = 10.24 + b^2$.
$b^2 = 16 - 10.24 = 5.76$.
$b = \sqrt{5.76} = 2.4 \,m$.

(C) લંબચોરસ $ABCD$ માં,ખૂણો $\angle ABC = 90^{\circ}$ થાય.
તેથી,$\triangle ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $AC$ કર્ણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AB^2 + BC^2 = AC^2$.
અહીં $AB = 7.5$ અને $AC = 19.5$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(7.5)^2 + BC^2 = (19.5)^2$.
$56.25 + BC^2 = 380.25$.
$BC^2 = 380.25 - 56.25$.
$BC^2 = 324$.
$BC = \sqrt{324} = 18$.

(D) $\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^2 = AB^2 + BC^2$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$AC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ મળે.
આમ,$AC = \sqrt{169} = 13$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પરની મધ્યગાની લંબાઈ કર્ણની લંબાઈથી અડધી હોય છે.
તેથી,$BD = \frac{1}{2} \times AC = \frac{1}{2} \times 13 = 6.5$.

(A) ધારો કે $AB = x$ અને $BC = y$. આપેલ છે કે $x + y = 47$ અને $x^2 + y^2 = AC^2 = 37^2 = 1369$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$.
કિંમતો મૂકતા: $47^2 = 1369 + 2xy$.
$2209 = 1369 + 2xy$,જેથી $2xy = 840$,એટલે કે $xy = 420$.
હવે,આપણી પાસે $x + y = 47$ અને $xy = 420$ છે. આ દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - 47t + 420 = 0$ ના બીજ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $t^2 - 35t - 12t + 420 = 0$.
$t(t - 35) - 12(t - 35) = 0$,તેથી $(t - 35)(t - 12) = 0$.
બીજ $t = 35$ અને $t = 12$ મળે છે.
$AB > BC$ હોવાથી,$AB = 35$ અને $BC = 12$ થાય.

(B) સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે $(90^{\circ})$ દુભાગે છે.
ધારો કે વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ પર છેદે છે.
તેથી,$AO = \frac{AC}{2} = \frac{18}{2} = 9$ અને $BO = \frac{BD}{2} = \frac{24}{2} = 12$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle AOB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 = AO^2 + BO^2$
$AB^2 = 9^2 + 12^2$
$AB^2 = 81 + 144 = 225$
$AB = \sqrt{225} = 15$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણની પરિમિતિ $= 4 \times \text{બાજુ}$.
પરિમિતિ $= 4 \times 15 = 60$.

(C) સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે $(90^{\circ})$ દુભાગે છે.
ધારો કે વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ માં છેદે છે.
તેથી,$AO = \frac{AC}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$ અને $BO = \frac{BD}{2} = \frac{36}{2} = 18$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle AOB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 = AO^2 + BO^2$
$AB^2 = (7.5)^2 + (18)^2$
$AB^2 = 56.25 + 324 = 380.25$
$AB = \sqrt{380.25} = 19.5$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણની પરિમિતિ $= 4 \times \text{બાજુ}$.
પરિમિતિ $= 4 \times 19.5 = 78$.

(D) સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે $(90^{\circ})$ દુભાગે છે.
ધારો કે વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ પર છેદે છે.
આપેલ છે કે $AB = 25$ અને $AC = 14$.
વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગતા હોવાથી,$AO = OC = AC / 2 = 14 / 2 = 7$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle AOB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AO^2 + OB^2 = AB^2$
$7^2 + OB^2 = 25^2$
$49 + OB^2 = 625$
$OB^2 = 625 - 49 = 576$
$OB = \sqrt{576} = 24$.
તેથી $BD = 2 \times OB$,એટલે કે $BD = 2 \times 24 = 48$.

(A) સમબાજુ ચતુષ્કોણ એ એવો ચતુષ્કોણ છે જેની બધી બાજુઓ સમાન હોય છે. ધારો કે બાજુની લંબાઈ $s$ છે.
પરિમિતિ $68$ આપેલી હોવાથી,$4s = 68$,જેનો અર્થ છે કે $s = 17$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે $(90^{\circ})$ દુભાગે છે.
ધારો કે વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ પર છેદે છે.
$AC = 30$ હોવાથી,$AO = AC / 2 = 15$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle AOB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AO^2 + BO^2 = AB^2$.
કિંમતો મૂકતા: $15^2 + BO^2 = 17^2$.
$225 + BO^2 = 289$.
$BO^2 = 289 - 225 = 64$.
$BO = \sqrt{64} = 8$.
વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગતા હોવાથી,$BD = 2 \times BO = 2 \times 8 = 16$.

(B) ચોરસની પરિમિતિ $4 \times \text{બાજુ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,$4 \times \text{બાજુ} = 20$.
તેથી,$\text{બાજુ} = 20 / 4 = 5$.
ચોરસ $ABCD$ માં,વિકર્ણ $AC$ એ બાજુઓ $AB$ અને $BC$ સાથે કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ બનાવે છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^2 = AB^2 + BC^2$.
અહીં $AB = BC = 5$ હોવાથી,$AC^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$.
આમ,$AC = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$.

(C) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેમાં $\overline{AB} \cong \overline{AC}$ છે.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં,પાયા પરની મધ્યગા એ પાયા પરનો વેધ પણ હોય છે.
અહીં $\overline{AD}$ એ પાયા $\overline{BC}$ પરની મધ્યગા હોવાથી,$\overline{AD} \perp \overline{BC}$ થાય અને $D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$BD = DC = \frac{BC}{2} = \frac{12}{2} = 6$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABD$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 = AD^2 + BD^2$
$AB^2 = 8^2 + 6^2$
$AB^2 = 64 + 36$
$AB^2 = 100$
$AB = \sqrt{100} = 10$.
આમ,$AB$ ની લંબાઈ $10$ છે.

(A) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં,જ્યાં $\angle B = 90^{\circ}$ છે,બાજુઓ $AB$ અને $BC$ એ કાટખૂણો બનાવતી બાજુઓ છે અને $AC$ એ કર્ણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
આપેલ છે કે $AB = 11$ અને $BC = 60$,તેથી $AC^2 = 11^2 + 60^2$.
$AC^2 = 121 + 3600 = 3721$.
વર્ગમૂળ લેતા,$AC = \sqrt{3721} = 61$.
$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ તેની બધી બાજુઓનો સરવાળો છે: $P = AB + BC + AC$.
$P = 11 + 60 + 61 = 132$.