Textbook - Statistics Questions in Hindi

(A) माध्य ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक अंक $(x_{i})$ का उसकी संगत बारंबारता $(f_{i})$ के साथ गुणनफल ज्ञात करते हैं।

प्राप्त अंक $(x_{i})$	विद्यार्थियों की संख्या $(f_{i})$	$f_{i}x_{i}$
$10$	$1$	$10$
$20$	$1$	$20$
$36$	$3$	$108$
$40$	$4$	$160$
$50$	$3$	$150$
$56$	$2$	$112$
$60$	$4$	$240$
$70$	$4$	$280$
$72$	$1$	$72$
$80$	$1$	$80$
$88$	$2$	$176$
$92$	$3$	$276$
$95$	$1$	$95$
योग	$\Sigma f_{i} = 30$	$\Sigma f_{i}x_{i} = 1779$

माध्य $\bar{x}$ का सूत्र है:
$\bar{x} = \frac{\Sigma f_{i}x_{i}}{\Sigma f_{i}} = \frac{1779}{30} = 59.3$
अतः,विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त अंकों का माध्य $59.3$ है।

(B) माध्य ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक वर्ग के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ निर्धारित करते हैं।
माना कल्पित माध्य $a = 50$ और वर्ग अंतराल की माप $h = 10$ है। तब $d_i = x_i - 50$ और $u_i = \frac{x_i - 50}{10}$ होगा।

महिला शिक्षकों का प्रतिशत	राज्यों/के.शा.प्र. की संख्या $(f_i)$	$x_i$	$d_i = x_i - 50$	$u_i = \frac{x_i - 50}{10}$	$f_i x_i$	$f_i d_i$	$f_i u_i$
$15$-$25$	$6$	$20$	-$30$	-$3$	$120$	-$180$	-$18$
$25$-$35$	$11$	$30$	-$20$	-$2$	$330$	-$220$	-$22$
$35$-$45$	$7$	$40$	-$10$	-$1$	$280$	-$70$	-$7$
$45$-$55$	$4$	$50$	$0$	$0$	$200$	$0$	$0$
$55$-$65$	$4$	$60$	$10$	$1$	$240$	$40$	$4$
$65$-$75$	$2$	$70$	$20$	$2$	$140$	$40$	$4$
$75$-$85$	$1$	$80$	$30$	$3$	$80$	$30$	$3$
कुल	$35$	-	-	-	$1390$	-$360$	-$36$

तालिका से,हमें $\Sigma f_i = 35, \Sigma f_i x_i = 1390, \Sigma f_i d_i = -360, \Sigma f_i u_i = -36$ प्राप्त होता है।
$1$. प्रत्यक्ष विधि: $\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i} = \frac{1390}{35} \approx 39.71$.
$2$. कल्पित माध्य विधि: $\bar{x} = a + \frac{\Sigma f_i d_i}{\Sigma f_i} = 50 + \frac{-360}{35} = 50 - 10.29 = 39.71$.
$3$. पद-विचलन विधि: $\bar{x} = a + \left(\frac{\Sigma f_i u_i}{\Sigma f_i}\right) \times h = 50 + \left(\frac{-36}{35}\right) \times 10 = 50 - 10.29 = 39.71$.
अतः,महिला शिक्षकों का माध्य प्रतिशत $39.71$ है।

(C) माध्य ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक वर्ग के लिए वर्ग-चिह्न $(x_i)$ की गणना करते हैं।

विकेटों की संख्या	गेंदबाजों की संख्या $(f_i)$	वर्ग-चिह्न $(x_i)$	$f_i x_i$
$20$-$60$	$7$	$40$	$280$
$60$-$100$	$5$	$80$	$400$
$100$-$150$	$16$	$125$	$2000$
$150$-$250$	$12$	$200$	$2400$
$250$-$350$	$2$	$300$	$600$
$350$-$450$	$3$	$400$	$1200$
कुल	$\sum f_i = 45$		$\sum f_i x_i = 6880$

माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{6880}{45} \approx 152.89$.
यह माध्य दर्शाता है कि,औसतन,गेंदबाजों ने दी गई एक-दिवसीय क्रिकेट मैचों में $152.89$ विकेट लिए हैं।

(D) प्रत्येक वर्ग के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ ज्ञात करने के लिए,निम्नलिखित संबंध का उपयोग किया जाता है:
वर्ग चिह्न $(x_i) = \frac{\text{ऊपरी वर्ग सीमा} + \text{निचली वर्ग सीमा}}{2}$
$x_i$ और $f_ix_i$ के मानों की गणना इस प्रकार है:

पौधों की संख्या	घरों की संख्या $(f_i)$	$x_i$	$f_ix_i$
$0-2$	$1$	$1$	$1 \times 1 = 1$
$2-4$	$2$	$3$	$2 \times 3 = 6$
$4-6$	$1$	$5$	$1 \times 5 = 5$
$6-8$	$5$	$7$	$5 \times 7 = 35$
$8-10$	$6$	$9$	$6 \times 9 = 54$
$10-12$	$2$	$11$	$2 \times 11 = 22$
$12-14$	$3$	$13$	$3 \times 13 = 39$
कुल	$\sum f_i = 20$		$\sum f_ix_i = 162$

सारणी से,हमारे पास $\sum f_i = 20$ और $\sum f_ix_i = 162$ है।
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_ix_i}{\sum f_i}$ द्वारा दिया जाता है।
माध्य $= \frac{162}{20} = 8.1$.
अतः,प्रति घर पौधों की माध्य संख्या $8.1$ है।
यहाँ प्रत्यक्ष विधि (Direct Method) का उपयोग किया गया है क्योंकि $x_i$ और $f_i$ के मान छोटे हैं,जिससे गणना सरल हो जाती है।

(A) प्रत्येक वर्ग के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ ज्ञात करने के लिए,निम्नलिखित संबंध का उपयोग किया जाता है:
$x_i = \frac{\text{वर्ग की ऊपरी सीमा} + \text{वर्ग की निचली सीमा}}{2}$
यहाँ वर्ग माप $(h) = 20$ है।
कल्पित माध्य $(a) = 150$ मानते हुए,$d_i$,$u_i$ और $f_i u_i$ की गणना इस प्रकार की जा सकती है:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{दैनिक वेतन} & f_i & x_i & d_i = x_i - 150 & u_i = \frac{d_i}{20} & f_i u_i \\ \hline 100-120 & 12 & 110 & -40 & -2 & -24 \\ \hline 120-140 & 14 & 130 & -20 & -1 & -14 \\ \hline 140-160 & 8 & 150 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 160-180 & 6 & 170 & 20 & 1 & 6 \\ \hline 180-200 & 10 & 190 & 40 & 2 & 20 \\ \hline \text{कुल} & 50 & & & & -12 \\ \hline \end{array}$
सारणी से,हमारे पास है:
$\sum f_i = 50$
$\sum f_i u_i = -12$
पद-विचलन विधि का उपयोग करते हुए,माध्य $\bar{x}$ इस प्रकार है:
$\bar{x} = a + \left( \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \right) \times h$
$\bar{x} = 150 + \left( \frac{-12}{50} \right) \times 20$
$\bar{x} = 150 - \frac{240}{50} = 150 - 4.8$
$\bar{x} = 145.2$
अतः,फैक्ट्री के श्रमिकों का माध्य दैनिक वेतन $Rs. 145.20$ है।

(B) प्रत्येक वर्ग के लिए वर्ग चिह्न $(x_{i})$ ज्ञात करने के लिए,निम्नलिखित संबंध का उपयोग किया जाता है:
$x_{i} = \frac{\text{वर्ग की ऊपरी सीमा} + \text{वर्ग की निचली सीमा}}{2}$
दिया गया है कि,माध्य जेब भत्ता,$\bar{x} = Rs. 18$.
कल्पित माध्य $(a) = 18$ लेते हुए,$d_{i}$ और $f_{i}d_{i}$ की गणना इस प्रकार है:

दैनिक जेब भत्ता (in $Rs.$)	बच्चों की संख्या $(f_{i})$	वर्ग चिह्न $(x_{i})$	$d_{i} = x_{i} - 18$	$f_{i}d_{i}$
$11-13$	$7$	$12$	$-6$	$-42$
$13-15$	$6$	$14$	$-4$	$-24$
$15-17$	$9$	$16$	$-2$	$-18$
$17-19$	$13$	$18$	$0$	$0$
$19-21$	$f$	$20$	$2$	$2f$
$21-23$	$5$	$22$	$4$	$20$
$23-25$	$4$	$24$	$6$	$24$
कुल	$\sum f_{i} = 44 + f$			$\sum f_{i}d_{i} = 2f - 40$

तालिका से,हमें प्राप्त होता है:
$\sum f_{i} = 44 + f$
$\sum f_{i}d_{i} = 2f - 40$
माध्य के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\bar{x} = a + \frac{\sum f_{i}d_{i}}{\sum f_{i}}$
$18 = 18 + \left(\frac{2f - 40}{44 + f}\right)$
$0 = \frac{2f - 40}{44 + f}$
$2f - 40 = 0$
$2f = 40$
$f = 20$
अतः,लुप्त बारंबारता $f$ का मान $20$ है।

(C) प्रत्येक वर्ग के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ ज्ञात करने के लिए,निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया जाता है:
$x_i = \frac{\text{वर्ग की ऊपरी सीमा} + \text{वर्ग की निचली सीमा}}{2}$
इस डेटा के लिए वर्ग का आकार $(h) = 3$ है।
कल्पित माध्य $(a) = 75.5$ लेते हुए,$d_i, u_i,$ और $f_i u_i$ की गणना इस प्रकार है:

प्रति मिनट हृदय की धड़कन	महिलाओं की संख्या $(f_i)$	$x_i$	$d_i = x_i - 75.5$	$u_i = \frac{d_i}{3}$	$f_i u_i$
$65$-$68$	$2$	$66.5$	-$9$	-$3$	-$6$
$68$-$71$	$4$	$69.5$	-$6$	-$2$	-$8$
$71$-$74$	$3$	$72.5$	-$3$	-$1$	-$3$
$74$-$77$	$8$	$75.5$	$0$	$0$	$0$
$77$-$80$	$7$	$78.5$	$3$	$1$	$7$
$80$-$83$	$4$	$81.5$	$6$	$2$	$8$
$83$-$86$	$2$	$84.5$	$9$	$3$	$6$
कुल	$30$	-	-	-	$4$

तालिका से,हमें $\sum f_i = 30$ और $\sum f_i u_i = 4$ प्राप्त होता है।
माध्य $\bar{x}$ की गणना पद-विचलन विधि द्वारा की जाती है:
$\bar{x} = a + \left( \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \right) \times h$
$\bar{x} = 75.5 + \left( \frac{4}{30} \right) \times 3$
$\bar{x} = 75.5 + 0.4 = 75.9$
अतः,इन महिलाओं के लिए प्रति मिनट माध्य हृदय धड़कन $75.9$ है।

(D) वर्ग अंतराल सतत नहीं हैं। दो क्रमिक वर्ग अंतरालों के बीच का अंतर $1$ है। उन्हें सतत बनाने के लिए,हम प्रत्येक वर्ग की निचली सीमा से $0.5$ घटाते हैं और ऊपरी सीमा में $0.5$ जोड़ते हैं।

वर्ग अंतराल	$f_i$	$x_i$	$d_i = x_i - 57$	$u_i = d_i / 3$	$f_i u_i$
$49.5-52.5$	$15$	$51$	$-6$	$-2$	$-30$
$52.5-55.5$	$110$	$54$	$-3$	$-1$	$-110$
$55.5-58.5$	$135$	$57$	$0$	$0$	$0$
$58.5-61.5$	$115$	$60$	$3$	$1$	$115$
$61.5-64.5$	$25$	$63$	$6$	$2$	$50$
कुल	$400$				$25$

यहाँ,$\sum f_i = 400$,$\sum f_i u_i = 25$,कल्पित माध्य $a = 57$,और वर्ग माप $h = 3$ है।
पद-विचलन (Step-deviation) विधि का उपयोग करते हुए:
$\bar{x} = a + \left( \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \right) \times h$
$\bar{x} = 57 + \left( \frac{25}{400} \right) \times 3 = 57 + \frac{75}{400} = 57 + 0.1875 = 57.1875 \approx 57.19$.
हमने पद-विचलन विधि का चयन किया क्योंकि $f_i$ और $d_i$ के मान बड़े हैं और एक सामान्य गुणनखंड $h=3$ मौजूद है।

(A) प्रत्येक वर्ग के लिए वर्ग चिह्न $(x_{i})$ ज्ञात करने के लिए,निम्नलिखित संबंध का उपयोग किया जाता है:
$x_{i} = \frac{\text{वर्ग की ऊपरी सीमा} + \text{वर्ग की निचली सीमा}}{2}$
वर्ग का आकार $(h) = 50$ है।
कल्पित माध्य $(a) = 225$ मानकर,$d_i$,$u_i$,और $f_iu_i$ की गणना इस प्रकार की जाती है:

दैनिक व्यय (रु. में)	$f_{i}$	$x_{i}$	$d_{i} = x_{i} - 225$	$u_{i} = \frac{d_{i}}{50}$	$f_{i}u_{i}$
$100-150$	$4$	$125$	$-100$	$-2$	$-8$
$150-200$	$5$	$175$	$-50$	$-1$	$-5$
$200-250$	$12$	$225$	$0$	$0$	$0$
$250-300$	$2$	$275$	$50$	$1$	$2$
$300-350$	$2$	$325$	$100$	$2$	$4$
कुल	$\Sigma f_{i} = 25$				$\Sigma f_{i}u_{i} = -7$

पद-विचलन विधि का उपयोग करते हुए:
माध्य $(\bar{x}) = a + \left(\frac{\Sigma f_{i}u_{i}}{\Sigma f_{i}}\right) \times h$
$\bar{x} = 225 + \left(\frac{-7}{25}\right) \times 50$
$\bar{x} = 225 + (-7 \times 2)$
$\bar{x} = 225 - 14 = 211$
अतः,भोजन पर माध्य दैनिक व्यय $Rs. 211$ है।

(B) प्रत्येक वर्ग के लिए वर्ग चिह्न $(x_{i})$ ज्ञात करने के लिए,हम इस सूत्र का उपयोग करते हैं:
$x_{i} = \frac{\text{वर्ग की ऊपरी सीमा} + \text{वर्ग की निचली सीमा}}{2}$
वर्ग का आकार $(h)$ = $0.04 - 0.00 = 0.04$ है।
कल्पित माध्य $(a)$ = $0.14$ मान लेते हैं।
हम $d_{i} = x_{i} - a$ और $u_{i} = \frac{d_{i}}{h}$ की गणना करते हैं।

$SO_{2}$ की सांद्रता $(ppm)$	बारंबारता $(f_{i})$	वर्ग चिह्न $(x_{i})$	$d_{i} = x_{i} - 0.14$	$u_{i} = \frac{d_{i}}{0.04}$	$f_{i}u_{i}$
$0.00-0.04$	$4$	$0.02$	$-0.12$	$-3$	$-12$
$0.04-0.08$	$9$	$0.06$	$-0.08$	$-2$	$-18$
$0.08-0.12$	$9$	$0.10$	$-0.04$	$-1$	$-9$
$0.12-0.16$	$2$	$0.14$	$0$	$0$	$0$
$0.16-0.20$	$4$	$0.18$	$0.04$	$1$	$4$
$0.20-0.24$	$2$	$0.22$	$0.08$	$2$	$4$
कुल	$\Sigma f_{i} = 30$				$\Sigma f_{i}u_{i} = -31$

पद-विचलन विधि का उपयोग करते हुए:
माध्य $\bar{x} = a + \left( \frac{\Sigma f_{i}u_{i}}{\Sigma f_{i}} \right) \times h$
$\bar{x} = 0.14 + \left( \frac{-31}{30} \right) \times 0.04$
$\bar{x} = 0.14 - \frac{1.24}{30}$
$\bar{x} = 0.14 - 0.04133...$
$\bar{x} \approx 0.09867 \approx 0.099\, ppm$.
अतः,हवा में $SO_{2}$ की माध्य सांद्रता $0.099\, ppm$ है।

(C) अनुपस्थित दिनों की माध्य संख्या ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक अंतराल के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ की गणना करते हैं,जिसका सूत्र है: $x_i = \frac{\text{वर्ग की ऊपरी सीमा} + \text{वर्ग की निचली सीमा}}{2}$।
कल्पित माध्य विधि का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 17$ है,हम $d_i = x_i - a$ और $f_i d_i$ की गणना इस प्रकार करते हैं:

दिनों की संख्या	छात्रों की संख्या $(f_i)$	$x_i$	$d_i = x_i - 17$	$f_i d_i$
$0-6$	$11$	$3$	$-14$	$-154$
$6-10$	$10$	$8$	$-9$	$-90$
$10-14$	$7$	$12$	$-5$	$-35$
$14-20$	$4$	$17$	$0$	$0$
$20-28$	$4$	$24$	$7$	$28$
$28-38$	$3$	$33$	$16$	$48$
$38-40$	$1$	$39$	$22$	$22$
कुल	$\sum f_i = 40$			$\sum f_i d_i = -181$

माध्य $\bar{x}$ का सूत्र $\bar{x} = a + \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}$ है।
मान रखने पर: $\bar{x} = 17 + \frac{-181}{40} = 17 - 4.525 = 12.475$।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,छात्रों के अनुपस्थित रहने के दिनों की माध्य संख्या $12.48$ दिन है।

(D) वर्ग चिह्न $(x_i)$ ज्ञात करने के लिए,निम्नलिखित संबंध का उपयोग किया जाता है:
$x_i = \frac{\text{वर्ग की ऊपरी सीमा} + \text{वर्ग की निचली सीमा}}{2}$
इस डेटा के लिए वर्ग माप $(h)$ $= 10$ है।
कल्पित माध्य $(a)$ $= 70$ मानते हुए,$d_i$,$u_i$,और $f_i u_i$ की गणना इस प्रकार है:

साक्षरता दर (में $\%$)	शहरों की संख्या $(f_i)$	$x_i$	$d_i = x_i - 70$	$u_i = \frac{d_i}{10}$	$f_i u_i$
$45-55$	$3$	$50$	$-20$	$-2$	$-6$
$55-65$	$10$	$60$	$-10$	$-1$	$-10$
$65-75$	$11$	$70$	$0$	$0$	$0$
$75-85$	$8$	$80$	$10$	$1$	$8$
$85-95$	$3$	$90$	$20$	$2$	$6$
कुल	$\sum f_i = 35$				$\sum f_i u_i = -2$

तालिका से,हमें प्राप्त होता है:
$\sum f_i = 35$
$\sum f_i u_i = -2$
माध्य,$\bar{x} = a + \left(\frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}\right) \times h$
$= 70 + \left(\frac{-2}{35}\right) \times 10$
$= 70 - \frac{20}{35}$
$= 70 - \frac{4}{7}$
$= 70 - 0.5714...$
$\approx 69.43$
अतः,साक्षरता दर का माध्य $69.43 \%$ है।

(A) बहुलक ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले दिए गए आँकड़ों को एक बारंबारता बंटन सारणी में व्यवस्थित करते हैं:

विकेटों की संख्या	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
मैचों की संख्या	$1$	$1$	$3$	$2$	$1$	$1$	$1$

बहुलक वह प्रेक्षण है जो सबसे अधिक बार आता है। सारणी से स्पष्ट है कि $2$ विकेट सबसे अधिक $3$ मैचों में लिए गए हैं।
अतः,दिए गए आँकड़ों का बहुलक $2$ है।

(B) यहाँ,अधिकतम वर्ग बारंबारता $8$ है और इस बारंबारता के संगत वर्ग $3-5$ है।
अतः,बहुलक वर्ग $3-5$ है।
अब,
बहुलक वर्ग $= 3-5$,बहुलक वर्ग की निम्न सीमा $(l) = 3$,वर्ग माप $(h) = 2$.
बहुलक वर्ग की बारंबारता $(f_1) = 8$.
बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता $(f_0) = 7$.
बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता $(f_2) = 2$.
अब,इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
बहुलक $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$
बहुलक $= 3 + \left( \frac{8 - 7}{2 \times 8 - 7 - 2} \right) \times 2 = 3 + \frac{2}{7} = 3 + 0.286 = 3.286$.
अतः,उपरोक्त आँकड़े का बहुलक $3.286$ है।

(52) माध्य ज्ञात करने के लिए,हम वर्ग चिह्न $(x_i)$ और $f_i x_i$ की गणना करते हैं:

वर्ग अंतराल	छात्रों की संख्या $(f_i)$	वर्ग चिह्न $(x_i)$	$f_i x_i$
$10-25$	$2$	$17.5$	$35.0$
$25-40$	$3$	$32.5$	$97.5$
$40-55$	$7$	$47.5$	$332.5$
$55-70$	$6$	$62.5$	$375.0$
$70-85$	$6$	$77.5$	$465.0$
$85-100$	$6$	$92.5$	$555.0$
कुल	$\Sigma f_i = 30$		$\Sigma f_i x_i = 1860.0$

माध्य $\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i} = \frac{1860}{30} = 62$.
बहुलक के लिए,अधिकतम आवृत्ति $7$ है,जो बहुलक वर्ग $40-55$ के संगत है।
यहाँ,$l = 40$,$h = 15$,$f_1 = 7$,$f_0 = 3$,$f_2 = 6$.
बहुलक $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h = 40 + \left( \frac{7 - 3}{14 - 3 - 6} \right) \times 15 = 40 + \left( \frac{4}{5} \right) \times 15 = 40 + 12 = 52$.
व्याख्या: अधिकतम छात्रों ने $52$ अंक प्राप्त किए (बहुलक),जबकि औसतन एक छात्र ने $62$ अंक प्राप्त किए (माध्य)।

(N/A) वर्ग चिह्नों $(x_{i})$ को ज्ञात करने के लिए,निम्नलिखित संबंध का उपयोग किया जाता है:
$x_{i} = \frac{\text{वर्ग की ऊपरी सीमा} + \text{वर्ग की निचली सीमा}}{2}$
कल्पित माध्य $(a) = 30$ लेने पर,$d_i$ और $f_id_i$ की गणना इस प्रकार है:

आयु (वर्षों में)	रोगियों की संख्या $(f_i)$	वर्ग चिह्न $(x_i)$	$d_i = x_i - 30$	$f_i d_i$
$5$-$15$	$6$	$10$	-$20$	-$120$
$15$-$25$	$11$	$20$	-$10$	-$110$
$25$-$35$	$21$	$30$	$0$	$0$
$35$-$45$	$23$	$40$	$10$	$230$
$45$-$55$	$14$	$50$	$20$	$280$
$55$-$65$	$5$	$60$	$30$	$150$
कुल	$80$	-	-	$430$

तालिका से,हमें $\Sigma f_{i} = 80$ और $\Sigma f_{i} d_{i} = 430$ प्राप्त होता है।
माध्य,$\bar{x} = a + \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}} = 30 + \frac{430}{80} = 30 + 5.375 = 35.375 \simeq 35.38$.
रोगियों की औसत आयु $35.38 \text{ वर्ष}$ है। यह दर्शाता है कि अस्पताल में भर्ती होने वाले रोगी की औसत आयु $35.38 \text{ वर्ष}$ थी।
यह देखा जा सकता है कि अधिकतम वर्ग आवृत्ति $23$ है,जो वर्ग अंतराल $35-45$ में आती है।
बहुलक वर्ग $= 35-45$,निचली सीमा $(l) = 35$,वर्ग माप $(h) = 10$,आवृत्ति $(f_1) = 23$,आवृत्ति $(f_0) = 21$,आवृत्ति $(f_2) = 14$.
बहुलक $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h = 35 + \left( \frac{23 - 21}{2(23) - 21 - 14} \right) \times 10 = 35 + \left( \frac{2}{46 - 35} \right) \times 10 = 35 + \frac{20}{11} = 35 + 1.81 = 36.81$.
बहुलक $36.81$ है। यह दर्शाता है कि अस्पताल में भर्ती होने वाले अधिकतम रोगियों की आयु $36.81 \text{ वर्ष}$ थी।

(A) ऊपर दिए गए डेटा से,यह देखा जा सकता है कि अधिकतम वर्ग आवृत्ति $61$ है,जो वर्ग अंतराल $60-80$ के अंतर्गत आती है।
इसलिए,बहुलक वर्ग $= 60-80$ है।
बहुलक वर्ग की निचली सीमा $(l) = 60$ है।
बहुलक वर्ग की आवृत्ति $(f_1) = 61$ है।
बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की आवृत्ति $(f_0) = 52$ है।
बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की आवृत्ति $(f_2) = 38$ है।
वर्ग का आकार $(h) = 20$ है।
बहुलक के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\text{बहुलक} = l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$
$= 60 + \left( \frac{61 - 52}{2(61) - 52 - 38} \right) \times 20$
$= 60 + \left( \frac{9}{122 - 90} \right) \times 20$
$= 60 + \left( \frac{9}{32} \right) \times 20$
$= 60 + \frac{180}{32} = 60 + 5.625 = 65.625$.
अतः,विद्युत घटकों का बहुलक जीवनकाल $65.625 \text{ घंटे}$ है।

(N/A) दिए गए डेटा से यह देखा जा सकता है कि अधिकतम वर्ग आवृत्ति $40$ है,जो $1500-2000$ अंतराल में है।
इसलिए,बहुलक वर्ग $= 1500-2000$ है।
बहुलक वर्ग की निचली सीमा $(l) = 1500$ है।
बहुलक वर्ग की आवृत्ति $(f_1) = 40$ है।
बहुलक वर्ग से पहले के वर्ग की आवृत्ति $(f_0) = 24$ है।
बहुलक वर्ग के बाद के वर्ग की आवृत्ति $(f_2) = 33$ है।
वर्ग का आकार $(h) = 500$ है।
बहुलक $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$
$= 1500 + \left( \frac{40 - 24}{2(40) - 24 - 33} \right) \times 500 = 1500 + \frac{8000}{23} \approx 1847.83$.
अतः,बहुलक मासिक खर्च रु. $1847.83$ है।
माध्य ज्ञात करने के लिए,हम पद-विचलन विधि का उपयोग करते हैं:
माध्य $(\bar{x}) = a + h \times \left( \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \right)$
$a = 2750$ और $h = 500$ का उपयोग करने पर,$\sum f_i u_i = -35$ और $\sum f_i = 200$ प्राप्त होता है।
माध्य $= 2750 + 500 \times \left( \frac{-35}{200} \right) = 2750 - 87.5 = 2662.5$.
अतः,औसत मासिक खर्च रु. $2662.5$ है।

(N/A) दिए गए डेटा से यह देखा जा सकता है कि अधिकतम वर्ग आवृत्ति $10$ है जो वर्ग अंतराल $30-35$ में आती है।
इसलिए,बहुलक वर्ग $= 30-35$ है।
वर्ग का आकार $(h) = 5$ है।
बहुलक वर्ग की निचली सीमा $(l) = 30$ है।
बहुलक वर्ग की आवृत्ति $(f_1) = 10$ है।
बहुलक वर्ग से ठीक पहले के वर्ग की आवृत्ति $(f_0) = 9$ है।
बहुलक वर्ग के ठीक बाद के वर्ग की आवृत्ति $(f_2) = 3$ है।
बहुलक $= l + \left(\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2}\right) \times h = 30 + \left(\frac{10 - 9}{2(10) - 9 - 3}\right) \times 5 = 30 + \left(\frac{1}{8}\right) \times 5 = 30 + 0.625 = 30.625$ है।
बहुलक $\approx 30.6$ है।
यह दर्शाता है कि अधिकांश राज्यों/केंद्र शासित प्रदेशों में शिक्षक-छात्र अनुपात लगभग $30.6$ है।
माध्य ज्ञात करने के लिए,हम पद-विचलन विधि का उपयोग करते हैं।
माध्य $\bar{x} = a + \left(\frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}\right) \times h$ है।
कल्पित माध्य $a = 32.5$ और $h = 5$ लेने पर,$\sum f_i u_i = -23$ और $\sum f_i = 35$ प्राप्त होता है।
माध्य $\bar{x} = 32.5 + \left(\frac{-23}{35}\right) \times 5 = 32.5 - \frac{23}{7} = 32.5 - 3.2857 \approx 29.21$ है।
अतः,डेटा का माध्य लगभग $29.2$ है।

(D) दिए गए आंकड़ों से,अधिकतम वर्ग आवृत्ति $18$ है,जो वर्ग अंतराल $4000-5000$ से संबंधित है।
अतः,बहुलक वर्ग $4000-5000$ है।
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा $(l) = 4000$.
बहुलक वर्ग की आवृत्ति $(f_1) = 18$.
बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की आवृत्ति $(f_0) = 4$.
बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की आवृत्ति $(f_2) = 9$.
वर्ग माप $(h) = 1000$.
बहुलक का सूत्र है:
$\text{बहुलक} = l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$
मान रखने पर:
$\text{बहुलक} = 4000 + \left( \frac{18 - 4}{2(18) - 4 - 9} \right) \times 1000$
$\text{बहुलक} = 4000 + \left( \frac{14}{36 - 13} \right) \times 1000$
$\text{बहुलक} = 4000 + \left( \frac{14}{23} \right) \times 1000$
$\text{बहुलक} = 4000 + \frac{14000}{23}$
$\text{बहुलक} = 4000 + 608.695...$
$\text{बहुलक} \approx 4608.7$
अतः,दिए गए आंकड़ों का बहुलक $4608.7$ रन है।

(A) दिए गए डेटा से, यह देखा जा सकता है कि अधिकतम वर्ग बारंबारता $20$ है, जो $40-50$ वर्ग अंतराल में आती है।
इसलिए, बहुलक वर्ग $= 40-50$ है।
बहुलक वर्ग की निचली सीमा $(l) = 40$ है।
बहुलक वर्ग की बारंबारता $(f_1) = 20$ है।
बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता $(f_0) = 12$ है।
बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता $(f_2) = 11$ है।
वर्ग माप $(h) = 10$ है।
बहुलक सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{Mode} = l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$.
$\text{Mode} = 40 + \left( \frac{20 - 12}{2(20) - 12 - 11} \right) \times 10$.
$\text{Mode} = 40 + \left( \frac{8}{40 - 23} \right) \times 10$.
$\text{Mode} = 40 + \left( \frac{8}{17} \right) \times 10$.
$\text{Mode} = 40 + \frac{80}{17}$.
$\text{Mode} = 40 + 4.705 \approx 44.7$.
अतः, इस डेटा का बहुलक $44.7$ कारें हैं।

(B) माध्यक ऊंचाई की गणना करने के लिए,हम सबसे पहले संचयी बारंबारता वितरण को एक मानक बारंबारता वितरण तालिका में परिवर्तित करेंगे।

वर्ग अंतराल	बारंबारता $(f)$	संचयी बारंबारता $(cf)$
$140$ से कम	$4$	$4$
$140-145$	$7$	$11$
$145-150$	$18$	$29$
$150-155$	$11$	$40$
$155-160$	$6$	$46$
$160-165$	$5$	$51$

यहाँ,$n = 51$ है। इसलिए,$\frac{n}{2} = \frac{51}{2} = 25.5$ है।
$25.5$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $29$ है,जो वर्ग अंतराल $145-150$ के संगत है। अतः,माध्यक वर्ग $145-150$ है।
यहाँ,$l = 145$,$cf = 11$,$f = 18$,और $h = 5$ है।
माध्यक सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{माध्यक} = 145 + \left( \frac{25.5 - 11}{18} \right) \times 5$
$\text{माध्यक} = 145 + \left( \frac{14.5}{18} \right) \times 5 = 145 + \frac{72.5}{18} = 145 + 4.027... \approx 149.03 \ cm$.

(X=9, Y=15) सबसे पहले,हम संचयी बारंबारता सारणी बनाते हैं:

वर्ग अंतराल	बारंबारता	संचयी बारंबारता
$0-100$	$2$	$2$
$100-200$	$5$	$7$
$200-300$	$x$	$7+x$
$300-400$	$12$	$19+x$
$400-500$	$17$	$36+x$
$500-600$	$20$	$56+x$
$600-700$	$y$	$56+x+y$
$700-800$	$9$	$65+x+y$
$800-900$	$7$	$72+x+y$
$900-1000$	$4$	$76+x+y$

दिया गया है कि कुल बारंबारता $n = 100$,इसलिए:
$76 + x + y = 100 \implies x + y = 24$ ........... $(1)$
माध्यक $525$ है,जो वर्ग $500-600$ में स्थित है। अतः,$l = 500$,$f = 20$,$cf = 36 + x$,और $h = 100$.
माध्यक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$525 = 500 + \left( \frac{50 - (36 + x)}{20} \right) \times 100$
$25 = (14 - x) \times 5$
$5 = 14 - x$
$x = 9$
समीकरण $(1)$ में $x = 9$ रखने पर:
$9 + y = 24 \implies y = 15$.
अतः,$x = 9$ और $y = 15$ प्राप्त होते हैं।

(N/A) $1$. माध्य: पद-विचलन विधि का उपयोग करते हुए,$\bar{x} = a + h \left( \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \right)$. यहाँ $a = 135, h = 20, \sum f_i u_i = 7, \sum f_i = 68$ लेने पर,$\bar{x} = 135 + 20 \left( \frac{7}{68} \right) = 135 + 2.06 = 137.06$.
$2$. बहुलक: बहुलक वर्ग $125-145$ है $(f_1=20, f_0=13, f_2=14)$. बहुलक $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h = 125 + \left( \frac{20 - 13}{40 - 13 - 14} \right) \times 20 = 125 + \left( \frac{7}{13} \right) \times 20 = 125 + 10.77 = 135.77$.
$3$. माध्यक: $n=68, n/2=34$. संचयी बारंबारता तालिका के अनुसार माध्यक वर्ग $125-145$ है। माध्यक $= l + \left( \frac{n/2 - cf}{f} \right) \times h = 125 + \left( \frac{34 - 22}{20} \right) \times 20 = 125 + 12 = 137$. अतः,माध्य $\approx$ माध्यक $\approx$ बहुलक।

(A) दी गई जानकारी के लिए संचयी बारंबारता की गणना इस प्रकार की जाती है:

वर्ग अंतराल	बारंबारता	संचयी बारंबारता
$0-10$	$5$	$5$
$10-20$	$x$	$5+x$
$20-30$	$20$	$25+x$
$30-40$	$15$	$40+x$
$40-50$	$y$	$40+x+y$
$50-60$	$5$	$45+x+y$

सारणी से,कुल बारंबारता $n = 60$ है।
अतः,$45+x+y = 60 \implies x+y = 15 \dots (1)$.
माध्यक $28.5$ है,जो वर्ग अंतराल $20-30$ में स्थित है।
इसलिए,माध्यक वर्ग $20-30$ है।
निम्न सीमा $(l) = 20$,बारंबारता $(f) = 20$,माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $(cf) = 5+x$,और वर्ग माप $(h) = 10$ है।
माध्यक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$.
$28.5 = 20 + \left( \frac{30 - (5+x)}{20} \right) \times 10$.
$8.5 = \frac{25-x}{2}$.
$17 = 25 - x \implies x = 8$.
समीकरण $(1)$ में $x=8$ रखने पर: $8+y = 15 \implies y = 7$.
अतः,$x = 8$ और $y = 7$ है।

(B) दिया गया डेटा 'से कम' प्रकार के संचयी बारंबारता वितरण के रूप में है। हम पहले इसे वर्ग अंतराल और उनकी संबंधित बारंबारता में परिवर्तित करते हैं।

आयु (वर्षों में)	बारंबारता $(f_i)$	संचयी बारंबारता $(cf)$
$18-20$	$2$	$2$
$20-25$	$6-2=4$	$6$
$25-30$	$24-6=18$	$24$
$30-35$	$45-24=21$	$45$
$35-40$	$78-45=33$	$78$
$40-45$	$89-78=11$	$89$
$45-50$	$92-89=3$	$92$
$50-55$	$98-92=6$	$98$
$55-60$	$100-98=2$	$100$

यहाँ,$n = 100$,इसलिए $\frac{n}{2} = 50$.
$50$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $78$ है,जो वर्ग अंतराल $35-40$ के अंतर्गत आती है।
अतः,माध्यिका वर्ग $35-40$ है।
निम्न सीमा $(l)$ $= 35$,वर्ग का आकार $(h)$ $= 5$,माध्यिका वर्ग की बारंबारता $(f)$ $= 33$,और माध्यिका वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $(cf)$ $= 45$.
माध्यिका सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{माध्यिका} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{माध्यिका} = 35 + \left( \frac{50 - 45}{33} \right) \times 5$
$\text{माध्यिका} = 35 + \left( \frac{5}{33} \right) \times 5 = 35 + \frac{25}{33} \approx 35 + 0.76 = 35.76$.
अतः,माध्यिका आयु $35.76$ वर्ष है।

(C) दिए गए आंकड़ों में वर्ग अंतराल सतत नहीं हैं। दो वर्गों के बीच का अंतर $1$ है,इसलिए प्रत्येक वर्ग की निचली सीमा से $0.5$ घटाने और ऊपरी सीमा में $0.5$ जोड़ने पर वर्ग अंतराल सतत हो जाते हैं।
सतत वर्ग अंतराल और संचयी बारंबारता इस प्रकार हैं:

लंबाई (mm में)	बारंबारता $(f_i)$	संचयी बारंबारता $(cf)$
$117.5-126.5$	$3$	$3$
$126.5-135.5$	$5$	$8$
$135.5-144.5$	$9$	$17$
$144.5-153.5$	$12$	$29$
$153.5-162.5$	$5$	$34$
$162.5-171.5$	$4$	$38$
$171.5-180.5$	$2$	$40$

यहाँ $n = 40$,इसलिए $\frac{n}{2} = 20$। $20$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $29$ है,जो वर्ग $144.5-153.5$ के अंतर्गत आती है।
माध्यिका वर्ग $= 144.5-153.5$,निचली सीमा $(l)$ $= 144.5$,वर्ग माप $(h)$ $= 9$,बारंबारता $(f)$ $= 12$,और माध्यिका वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $(cf)$ $= 17$ है।
माध्यिका का सूत्र: $\text{Median} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{Median} = 144.5 + \left( \frac{20 - 17}{12} \right) \times 9 = 144.5 + \left( \frac{3}{12} \right) \times 9 = 144.5 + 2.25 = 146.75$.
अतः,पत्तियों की माध्यिका लंबाई $146.75 \text{ mm}$ है।

(D) संचयी बारंबारताएँ इस प्रकार हैं:

जीवनकाल	लैंपों की संख्या $(f_i)$	संचयी बारंबारता $(cf)$
$1500-2000$	$14$	$14$
$2000-2500$	$56$	$70$
$2500-3000$	$60$	$130$
$3000-3500$	$86$	$216$
$3500-4000$	$74$	$290$
$4000-4500$	$62$	$352$
$4500-5000$	$48$	$400$

यहाँ,$n = 400$,इसलिए $\frac{n}{2} = 200$.
$200$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $216$ है,जो वर्ग अंतराल $3000-3500$ के अंतर्गत आती है।
अतः,माध्यक वर्ग $3000-3500$ है।
माध्यक वर्ग की निचली सीमा $(l)$ = $3000$.
माध्यक वर्ग की बारंबारता $(f)$ = $86$.
माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $(cf)$ = $130$.
वर्ग माप $(h)$ = $500$.
माध्यक का सूत्र: $\text{Median} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{Median} = 3000 + \left( \frac{200 - 130}{86} \right) \times 500$
$\text{Median} = 3000 + \left( \frac{70}{86} \right) \times 500$
$\text{Median} = 3000 + \frac{35000}{86} \approx 3000 + 406.98 = 3406.98$.
अतः,लैंप का माध्यक जीवनकाल $3406.98 \text{ घंटे}$ है।

(N/A) संचयी आवृत्तियाँ इस प्रकार हैं:

अक्षरों की संख्या	आवृत्ति $(f)$	संचयी आवृत्ति $(cf)$
$1-4$	$6$	$6$
$4-7$	$30$	$36$
$7-10$	$40$	$76$
$10-13$	$16$	$92$
$13-16$	$4$	$96$
$16-19$	$4$	$100$

$1$. माध्यिका: $n=100$,इसलिए $n/2 = 50$। $50$ से ठीक बड़ी संचयी आवृत्ति $76$ है,जो वर्ग $7-10$ के अंतर्गत आती है।
माध्यिका $= l + [(\frac{n}{2} - cf) / f] \times h = 7 + [(50 - 36) / 40] \times 3 = 7 + (14/40) \times 3 = 7 + 1.05 = 8.05$।
$2$. माध्य: कल्पित माध्य $a = 11.5$ और $h = 3$ का उपयोग करके,हम $x_i$ (मध्य बिंदु) की गणना करते हैं: $2.5, 5.5, 8.5, 11.5, 14.5, 17.5$।
$u_i = (x_i - 11.5)/3$: $-3, -2, -1, 0, 1, 2$।
$f_i u_i$: $-18, -60, -40, 0, 4, 8$। योग $\sum f_i u_i = -106$।
माध्य $= a + h \times (\sum f_i u_i / \sum f_i) = 11.5 + 3 \times (-106/100) = 11.5 - 3.18 = 8.32$।
$3$. बहुलक: बहुलक वर्ग $7-10$ है (उच्चतम आवृत्ति $40$)।
बहुलक $= l + [(f_1 - f_0) / (2f_1 - f_0 - f_2)] \times h = 7 + [(40 - 30) / (80 - 30 - 16)] \times 3 = 7 + (10/34) \times 3 = 7 + 0.88 = 7.88$।

(C) संचयी बारंबारता (cumulative frequency) और उनके संबंधित वर्ग अंतराल इस प्रकार हैं:

वजन (kg में)	बारंबारता $(f_i)$	संचयी बारंबारता $(cf)$
$40-45$	$2$	$2$
$45-50$	$3$	$5$
$50-55$	$8$	$13$
$55-60$	$6$	$19$
$60-65$	$6$	$25$
$65-70$	$3$	$28$
$70-75$	$2$	$30$

कुल छात्रों की संख्या $n = 30$.
हम $\frac{n}{2} = \frac{30}{2} = 15$ की गणना करते हैं।
$15$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $19$ है,जो वर्ग अंतराल $55-60$ से संबंधित है।
अतः,माध्यक वर्ग $55-60$ है।
माध्यक वर्ग की निचली सीमा $(l)$ = $55$.
माध्यक वर्ग की बारंबारता $(f)$ = $6$.
माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $(cf)$ = $13$.
वर्ग का माप $(h)$ = $5$.
माध्यक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$.
$\text{माध्यक} = 55 + \left( \frac{15 - 13}{6} \right) \times 5$.
$\text{माध्यक} = 55 + \left( \frac{2}{6} \right) \times 5 = 55 + \frac{10}{6} = 55 + 1.67 = 56.67$.
इसलिए,छात्रों का माध्यक वजन $56.67 \text{ kg}$ है।

(17.5) 'से अधिक' प्रकार का तोरण खींचने के लिए,हम ग्राफ पर बिंदुओं $(5, 30), (10, 28), (15, 16), (20, 14), (25, 10), (30, 7),$ और $(35, 3)$ को आलेखित करते हैं,जहाँ क्षैतिज अक्ष लाभ की निचली सीमाओं को दर्शाता है और ऊर्ध्वाधर अक्ष संचयी बारंबारता को दर्शाता है। हम इन बिंदुओं को एक सुचारू वक्र द्वारा जोड़ते हैं।
इसके बाद,हम दिए गए डेटा को बारंबारता वितरण तालिका में परिवर्तित करते हैं:

वर्ग	$5-10$	$10-15$	$15-20$	$20-25$	$25-30$	$30-35$	$35-40$
दुकानों की संख्या	$2$	$12$	$2$	$4$	$3$	$4$	$3$
संचयी बारंबारता	$2$	$14$	$16$	$20$	$23$	$27$	$30$

'से कम' प्रकार का तोरण खींचने के लिए,हम उन्हीं अक्षों पर बिंदुओं $(10, 2), (15, 14), (20, 16), (25, 20), (30, 23), (35, 27),$ और $(40, 30)$ को आलेखित करते हैं।
दोनों तोरणों के प्रतिच्छेदन बिंदु का $x$-निर्देशांक (भुज) माध्यक देता है। ग्राफ से,प्रतिच्छेदन बिंदु $x = 17.5$ पर है। अतः,माध्यक लाभ $Rs. 17.5$ लाख है।

(N/A) 'से कम' प्रकार का संचयी बारंबारता बंटन सारणी इस प्रकार है:

दैनिक आय (रुपयों में) (वर्ग की ऊपरी सीमा)	संचयी बारंबारता
$120$ से कम	$12$
$140$ से कम	$12 + 14 = 26$
$160$ से कम	$26 + 8 = 34$
$180$ से कम	$34 + 6 = 40$
$200$ से कम	$40 + 10 = 50$

$x$-अक्ष पर वर्ग अंतरालों की ऊपरी सीमाओं और $y$-अक्ष पर उनकी संगत संचयी बारंबारताओं को लेकर,बिंदुओं $(120, 12), (140, 26), (160, 34), (180, 40),$ और $(200, 50)$ को आलेख पत्र पर अंकित करके उन्हें एक वक्र द्वारा जोड़ने पर तोरण (ogive) प्राप्त होता है।

(N/A) दिए गए 'से कम' प्रकार के संचयी बारंबारता वितरण इस प्रकार हैं:

वजन (kg में) (वर्ग की ऊपरी सीमा)	छात्रों की संख्या (संचयी बारंबारता)
$38$ से कम	$0$
$40$ से कम	$3$
$42$ से कम	$5$
$44$ से कम	$9$
$46$ से कम	$14$
$48$ से कम	$28$
$50$ से कम	$32$
$52$ से कम	$35$

$x$-अक्ष पर वर्ग की ऊपरी सीमाओं और $y$-अक्ष पर उनकी संबंधित संचयी बारंबारताओं को लेकर,तोरण को चित्र में दिखाए अनुसार खींचा जा सकता है।
यहाँ,$n = 35$ है।
इसलिए,$\frac{n}{2} = 17.5$ है।
वक्र पर बिंदु $A$ अंकित करें जिसका कोटि (ordinate) $17.5$ है। इस बिंदु के संगत $x$-निर्देशांक $46.5$ है। अतः,इन आंकड़ों का माध्यक $46.5$ है।
सूत्र का उपयोग करके पुष्टि करने के लिए,हम पहले वर्ग अंतराल और उनकी बारंबारता निर्धारित करते हैं:

वजन (kg में)	बारंबारता $(f)$	संचयी बारंबारता $(cf)$
$38-40$	$3-0=3$	$3$
$40-42$	$5-3=2$	$5$
$42-44$	$9-5=4$	$9$
$44-46$	$14-9=5$	$14$
$46-48$	$28-14=14$	$28$
$48-50$	$32-28=4$	$32$
$50-52$	$35-32=3$	$35$

$\frac{n}{2} = 17.5$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $28$ है,जो वर्ग अंतराल $46-48$ में आती है।
माध्यक वर्ग $= 46-48$ है।
माध्यक वर्ग की निम्न सीमा $(l) = 46$ है।
माध्यक वर्ग की बारंबारता $(f) = 14$ है।
माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $(cf) = 14$ है।
वर्ग माप $(h) = 2$ है।
माध्यक के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$= 46 + \left( \frac{17.5 - 14}{14} \right) \times 2$
$= 46 + \left( \frac{3.5}{14} \right) \times 2$
$= 46 + \frac{7}{14} = 46 + 0.5 = 46.5$ है।
इस प्रकार,परिणाम की पुष्टि हो गई है।

(N/A) 'से अधिक प्रकार के' संचयी बारंबारता वितरण को निम्नलिखित रूप में प्राप्त किया जा सकता है:

उत्पादन उपज (वर्ग की निम्न सीमा)	संचयी बारंबारता
$50$ या उससे अधिक	$100$
$55$ या उससे अधिक	$100 - 2 = 98$
$60$ या उससे अधिक	$98 - 8 = 90$
$65$ या उससे अधिक	$90 - 12 = 78$
$70$ या उससे अधिक	$78 - 24 = 54$
$75$ या उससे अधिक	$54 - 38 = 16$

ग्राफ पेपर पर बिंदुओं $(50, 100), (55, 98), (60, 90), (65, 78), (70, 54), (75, 16)$ को आलेखित करने पर,जिसमें $x$-अक्ष पर वर्ग की निम्न सीमा और $y$-अक्ष पर उनकी संबंधित संचयी बारंबारता ली गई है,हमें 'से अधिक प्रकार का' तोरण (ogive) प्राप्त होता है।