Mix Examples - Statistics Questions in Hindi

(A) संचयी बारंबारता सारणी एक सांख्यिकीय उपकरण है जिसका उपयोग प्रत्येक वर्ग अंतराल की बारंबारताओं को जोड़कर डेटा को व्यवस्थित करने के लिए किया जाता है।
यह सारणी विशेष रूप से वर्गीकृत बारंबारता वितरण की माध्यिका (median) की गणना करने के लिए आवश्यक है।
माध्यिका का सूत्र $Median = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$ है,जहाँ $cf$ माध्यिका वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता को दर्शाता है।
जबकि माध्य और बहुलक की गणना साधारण बारंबारता सारणी का उपयोग करके की जा सकती है,माध्यिका के लिए संचयी बारंबारता अनिवार्य है।

(B) दी गई जानकारी 'से अधिक' प्रकार का संचयी बारंबारता वितरण है।
$16000-19000$ की आय सीमा में परिवारों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $16000$ से अधिक आय वाले परिवारों की संख्या में से $19000$ से अधिक आय वाले परिवारों की संख्या को घटाएंगे।
$16000$ से अधिक आय वाले परिवारों की संख्या $= 69$.
$19000$ से अधिक आय वाले परिवारों की संख्या $= 50$.
$16000-19000$ की सीमा में परिवारों की संख्या $= 69 - 50 = 19$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) $1$. बहुलक वर्ग: सबसे अधिक बारंबारता वाला वर्ग अंतराल बहुलक वर्ग होता है। यहाँ,सबसे अधिक बारंबारता $15$ है,जो $150-155$ वर्ग अंतराल के संगत है। अतः,बहुलक वर्ग की निम्न सीमा $150$ है।
$2$. माध्यक वर्ग: माध्यक वर्ग ज्ञात करने के लिए,हम संचयी बारंबारता $(cf)$ की गणना करते हैं:
- $150-155$: $cf = 15$
- $155-160$: $cf = 15 + 13 = 28$
- $160-165$: $cf = 28 + 10 = 38$
- $165-170$: $cf = 38 + 8 = 46$
- $170-175$: $cf = 46 + 9 = 55$
- $175-180$: $cf = 55 + 5 = 60$
कुल छात्रों की संख्या $N = 60$ है। इसलिए,$N/2 = 30$। $30$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $38$ है,जो $160-165$ वर्ग अंतराल के संगत है। अतः,माध्यक वर्ग की ऊपरी सीमा $165$ है।
$3$. अंतिम गणना: बहुलक वर्ग की निम्न सीमा $(150)$ और माध्यक वर्ग की ऊपरी सीमा $(165)$ का योग $150 + 165 = 315$ है।

(A) माध्य ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए मध्य-बिंदु $(x_i)$ की गणना करते हैं।

वर्ग	बारंबारता $(f_i)$	मध्य-बिंदु $(x_i)$	$d_i = x_i - A$	$u_i = \frac{x_i - A}{c}$	$f_i x_i$	$f_i d_i$	$f_i u_i$
$50-70$	$10$	$60$	$-20$	$-1$	$600$	$-200$	$-10$
$70-90$	$18$	$80 = A$	$0$	$0$	$1440$	$0$	$0$
$90-110$	$7$	$100$	$20$	$1$	$700$	$140$	$7$
$110-130$	$6$	$120$	$40$	$2$	$720$	$240$	$12$
$130-150$	$5$	$140$	$60$	$3$	$700$	$300$	$15$
$150-170$	$4$	$160$	$80$	$4$	$640$	$320$	$16$
कुल	$\Sigma f_i = 50$	-	-	-	$\Sigma f_i x_i = 4800$	$\Sigma f_i d_i = 800$	$\Sigma f_i u_i = 40$

यहाँ,$A = 80$ और $c = 20$ है।
$1$. प्रत्यक्ष विधि: $\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i} = \frac{4800}{50} = 96$.
$2$. कल्पित माध्य विधि: $\bar{x} = A + \frac{\Sigma f_i d_i}{\Sigma f_i} = 80 + \frac{800}{50} = 80 + 16 = 96$.
$3$. पद-विचलन विधि: $\bar{x} = A + \left( \frac{\Sigma f_i u_i}{\Sigma f_i} \right) \times c = 80 + \left( \frac{40}{50} \right) \times 20 = 80 + 16 = 96$.
अतः,डेटा का माध्य $96$ है।

(A) माध्य ज्ञात करने के लिए,हम कल्पित माध्य $A = 549.5$ और वर्ग माप $c = 100$ के साथ पद-विचलन विधि का उपयोग करते हैं।

वर्ग	बारंबारता $(f_{i})$	मध्य बिंदु $(x_{i})$	$u_{i} = \frac{x_{i} - A}{c}$	$f_{i} u_{i}$
$200-299$	$3$	$249.5$	$-3$	$-9$
$300-399$	$61$	$349.5$	$-2$	$-122$
$400-499$	$118$	$449.5$	$-1$	$-118$
$500-599$	$139$	$549.5 (A)$	$0$	$0$
$600-699$	$126$	$649.5$	$1$	$126$
$700-799$	$151$	$749.5$	$2$	$302$
$800-899$	$2$	$849.5$	$3$	$6$
कुल	$\Sigma f_{i} = 600$	-	-	$\Sigma f_{i} u_{i} = 185$

माध्य का सूत्र $\bar{x} = A + \left( \frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} \right) \times c$ है।
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\bar{x} = 549.5 + \left( \frac{185}{600} \right) \times 100$
$\bar{x} = 549.5 + \frac{185}{6}$
$\bar{x} = 549.5 + 30.833...$
$\bar{x} \approx 580.33$
अतः,डेटा का माध्य $580.33$ है।

(B) लुप्त बारंबारता $f$ ज्ञात करने के लिए,हम माध्य के लिए पद-विचलन विधि का उपयोग करते हैं: $\bar{x} = A + \left( \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \right) \times c$.

वर्ग	बारंबारता $(f_i)$	मध्य बिंदु $(x_i)$	$u_i = \frac{x_i - A}{c}$	$f_i u_i$
$0-10$	$8$	$5$	$-4$	$-32$
$10-20$	$4$	$15$	$-3$	$-12$
$20-30$	$20$	$25$	$-2$	$-40$
$30-40$	$45$	$35$	$-1$	$-45$
$40-50$	$64$	$45=A$	$0$	$0$
$50-60$	$32$	$55$	$1$	$32$
$60-70$	$f$	$65$	$2$	$2f$
$70-80$	$8$	$75$	$3$	$24$
$80-90$	$2$	$85$	$4$	$8$
$90-100$	$2$	$95$	$5$	$10$
कुल	$\sum f_i = 185 + f$	-	-	$\sum f_i u_i = 2f - 55$

यहाँ,$A = 45$ और $c = 10$.
दिया गया है $\bar{x} = 43.75$.
$43.75 = 45 + \frac{2f - 55}{185 + f} \times 10$
$-1.25 = \frac{10(2f - 55)}{185 + f}$
$-1.25(185 + f) = 20f - 550$
$-231.25 - 1.25f = 20f - 550$
$550 - 231.25 = 20f + 1.25f$
$318.75 = 21.25f$
$f = \frac{318.75}{21.25} = 15$.
अतः,लुप्त बारंबारता $f = 15$ है।

(C) कल्पित माध्य विधि का उपयोग करके वर्गीकृत आंकड़ों का माध्य ज्ञात करने का सूत्र $\bar{x} = a + \frac{\sum f_{i} d_{i}}{\sum f_{i}}$ है।
इस सूत्र में,$a$ कल्पित माध्य है।
पद $d_{i}$ कल्पित माध्य $(a)$ से वर्ग चिह्नों $(x_{i})$ के विचलन को दर्शाता है।
अतः,$d_{i} = x_{i} - a$,जहाँ $x_{i}$ वर्गों के मध्य बिंदु हैं।

(D) वर्गीकृत आंकड़ों का माध्य ज्ञात करते समय,हम यह मानते हैं कि एक वर्ग में प्रत्येक प्रेक्षण उसके वर्ग-चिह्न के बराबर है। इसलिए,यह माना जाता है कि बारंबारताएँ वर्गों के वर्ग-चिह्नों पर केंद्रित हैं।

(A) वर्गीकृत डेटा का माध्य $\bar{x}$ सूत्र $\bar{x} = \frac{\sum f_{i} x_{i}}{\sum f_{i}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n = \sum f_{i}$ है।
इसे $\sum f_{i} x_{i} = n \bar{x}$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
हमें $\sum (f_{i} x_{i} - f_{i} \bar{x})$ का योग ज्ञात करना है।
योग के गुणों का उपयोग करते हुए,हमें $\sum f_{i} x_{i} - \sum f_{i} \bar{x}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\bar{x}$ एक स्थिरांक है,हम इसे योग से बाहर ले सकते हैं: $\sum f_{i} x_{i} - \bar{x} \sum f_{i}$।
$\sum f_{i} x_{i} = n \bar{x}$ और $\sum f_{i} = n$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $n \bar{x} - \bar{x} (n) = n \bar{x} - n \bar{x} = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया सूत्र $\bar{x} = a + h \left( \frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} \right)$ वर्गीकृत बारंबारता बंटन का माध्य ज्ञात करने के लिए पद-विचलन विधि का सूत्र है।
इस सूत्र में,$a$ कल्पित माध्य है,$h$ वर्ग माप है,$x_{i}$ वर्ग चिह्न है और $u_{i}$ विचलन को वर्ग माप से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।
अतः,$u_{i}$ का मान $u_{i} = \frac{x_{i} - a}{h}$ होता है।

(C) संचयी बारंबारता वक्रों को तोरण (ogive) के रूप में भी जाना जाता है। 'से कम' प्रकार के तोरण और 'से अधिक' प्रकार के तोरण को एक ही ग्राफ पर खींचा जाता है। जिस बिंदु पर ये दोनों वक्र एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं,वह बिंदु वर्गीकृत आंकड़ों का माध्यक दर्शाता है। इस प्रतिच्छेदन बिंदु का $x$-निर्देशांक (भुज) आंकड़ों के माध्यक मान के बराबर होता है।

(D) माध्यक वर्ग और बहुलक वर्ग ज्ञात करने के लिए,हम पहले संचयी बारंबारता सारणी तैयार करते हैं:

वर्ग	बारंबारता $(f)$	संचयी बारंबारता $(cf)$
$0-5$	$10$	$10$
$5-10$	$15$	$25$
$10-15$	$12$	$37$
$15-20$	$20$	$57$
$20-25$	$9$	$66$

$1$. कुल बारंबारता $N = 66$ है। अतः,$\frac{N}{2} = \frac{66}{2} = 33$.
$2$. $33$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $37$ है,जो वर्ग अंतराल $10-15$ के अंतर्गत आती है। अतः,माध्यक वर्ग $10-15$ है,और इसकी निम्न सीमा $10$ है।
$3$. सबसे अधिक बारंबारता $20$ है,जो वर्ग अंतराल $15-20$ के अंतर्गत आती है। अतः,बहुलक वर्ग $15-20$ है,और इसकी निम्न सीमा $15$ है।
$4$. निम्न सीमाओं का योग $10 + 15 = 25$ है।

(A) माध्यक वर्ग ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले असतत वर्ग अंतरालों को सतत वर्गों में बदलते हैं। एक वर्ग की ऊपरी सीमा और अगले वर्ग की निचली सीमा के बीच का अंतर $1$ है। इसलिए,हम निचली सीमा से $0.5$ घटाते हैं और ऊपरी सीमा में $0.5$ जोड़ते हैं।

वर्ग	आवृत्ति $(f)$	संचयी आवृत्ति $(cf)$
$-0.5-5.5$	$13$	$13$
$5.5-11.5$	$10$	$23$
$11.5-17.5$	$15$	$38$
$17.5-23.5$	$8$	$46$
$23.5-29.5$	$11$	$57$

कुल आवृत्ति $N = 57$ है। माध्यक की स्थिति $N/2 = 57/2 = 28.5$ है। $28.5$ से ठीक बड़ी संचयी आवृत्ति $38$ है,जो वर्ग अंतराल $11.5-17.5$ के संगत है। अतः,माध्यक वर्ग $11.5-17.5$ है। इस वर्ग की ऊपरी सीमा $17.5$ है।

(B) बहुलक वर्ग ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले संचयी बारंबारता वितरण को एक मानक बारंबारता वितरण तालिका में बदलते हैं:

वर्ग अंतराल	बारंबारता
$0-10$	$3$
$10-20$	$12 - 3 = 9$
$20-30$	$27 - 12 = 15$
$30-40$	$57 - 27 = 30$
$40-50$	$75 - 57 = 18$
$50-60$	$80 - 75 = 5$

बहुलक वर्ग वह वर्ग अंतराल है जिसकी बारंबारता सबसे अधिक होती है।
तालिका से,सबसे अधिक बारंबारता $30$ है,जो $30-40$ वर्ग अंतराल के संगत है।
अतः,बहुलक वर्ग $30-40$ है।

(C) माध्यक वर्ग और बहुलक वर्ग ज्ञात करने के लिए,हम पहले संचयी बारंबारता $(cf)$ की गणना करते हैं:

वर्ग	बारंबारता $(f)$	संचयी बारंबारता $(cf)$
$65-85$	$4$	$4$
$85-105$	$5$	$9$
$105-125$	$13$	$22$
$125-145$	$20$	$42$
$145-165$	$14$	$56$
$165-185$	$7$	$63$
$185-205$	$4$	$67$

कुल बारंबारता $N = 67$ है। अतः,$\frac{N}{2} = \frac{67}{2} = 33.5$ है।
$33.5$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $42$ है,जो वर्ग अंतराल $125-145$ के अंतर्गत आती है। इसलिए,माध्यक वर्ग $125-145$ है। माध्यक वर्ग की ऊपरी सीमा $145$ है।
सबसे अधिक बारंबारता $20$ है,जो वर्ग अंतराल $125-145$ के अंतर्गत आती है। इसलिए,बहुलक वर्ग $125-145$ है। बहुलक वर्ग की निचली सीमा $125$ है।
अभीष्ट अंतर = (माध्यक वर्ग की ऊपरी सीमा) - (बहुलक वर्ग की निचली सीमा) = $145 - 125 = 20$.

(D) $14.6\, s$ से कम समय में दौड़ पूरी करने वाले एथलीटों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें उन सभी वर्गों की बारंबारताओं का योग करना होगा जो $14.6$ से कम हैं।
$14.6$ से कम वर्ग निम्नलिखित हैं:
$13.8-14.0$ (बारंबारता $= 2$)
$14.0-14.2$ (बारंबारता $= 4$)
$14.2-14.4$ (बारंबारता $= 5$)
$14.4-14.6$ (बारंबारता $= 71$)
एथलीटों की कुल संख्या $= 2 + 4 + 5 + 71 = 82$.

(A) वर्ग अंतराल $30-40$ की बारंबारता ज्ञात करने के लिए, हम $30$ या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या में से $40$ या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या को घटाते हैं।
वर्ग $30-40$ की बारंबारता $= (\text{30 या उससे अधिक अंक वाले छात्र}) - (\text{40 या उससे अधिक अंक वाले छात्र})$
वर्ग $30-40$ की बारंबारता $= 51 - 48 = 3$.
अतः, वर्ग $30-40$ की बारंबारता $3$ है।

(B) यह कथन सत्य नहीं है।
जब हम वर्गीकृत आंकड़ों का माध्य निकालते हैं,तो हम यह मान लेते हैं कि प्रत्येक वर्ग की बारंबारता उस वर्ग के मध्य-बिंदु पर केंद्रित है।
वास्तव में,एक वर्ग के भीतर के व्यक्तिगत प्रेक्षण शायद ही कभी ठीक मध्य-बिंदु पर वितरित होते हैं।
इसलिए,वर्गीकृत आंकड़ों से निकाला गया माध्य एक अनुमान होता है,और यह मूल अववर्गीकृत आंकड़ों से निकाले गए माध्य के समान शायद ही कभी होता है।

(B) नहीं,यह कहना सही नहीं है कि ओजाइव एक बारंबारता वितरण का ग्राफिकल निरूपण है।
ओजाइव विशेष रूप से संचयी बारंबारता वितरण का ग्राफिकल निरूपण है।
बारंबारता वितरण को आमतौर पर हिस्टोग्राम,बारंबारता बहुभुज या बारंबारता वक्र द्वारा दर्शाया जाता है।
इसलिए,ओजाइव का उपयोग संचयी बारंबारता को दर्शाने के लिए किया जाता है,न कि साधारण बारंबारता वितरण के लिए।

(N/A) नहीं,यह कथन सही नहीं है। अवर्गीकृत आंकड़ों का माध्यक और वर्गीकृत आंकड़ों से परिकलित माध्यक हमेशा समान नहीं होते हैं। इसका कारण यह है कि वर्गीकृत आंकड़ों के माध्यक की गणना के लिए उपयोग किया जाने वाला सूत्र,$\text{Median} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$,इस धारणा पर आधारित है कि प्रत्येक वर्ग अंतराल के भीतर के प्रेक्षण समान रूप से (uniformly) वितरित हैं। वास्तव में,वर्गों के भीतर आंकड़ों का वास्तविक वितरण समान नहीं हो सकता है,जिससे दोनों मानों के बीच थोड़ा अंतर आ जाता है।

(N/A) नहीं,यह कथन गलत है। यद्यपि गणना को सरल बनाने के लिए कल्पित माध्य $a$ के रूप में वर्ग चिह्नों (मध्य-बिंदुओं) में से किसी एक को चुनना एक सामान्य अभ्यास है,लेकिन यह गणितीय रूप से अनिवार्य नहीं है। कल्पित माध्य $a$ आंकड़ों के समूह में से या उसके बाहर से कोई भी स्वेच्छ मान हो सकता है,बशर्ते कि यह विचलनों $d_i = x_i - a$ की गणना को सरल बनाने में मदद करे।

(N/A) नहीं,यह कहना सही नहीं है कि वर्गीकृत आंकड़ों का माध्य,बहुलक और माध्यक हमेशा अलग-अलग होंगे।
केंद्रीय प्रवृत्ति के ये तीनों माप आंकड़ों की प्रकृति के आधार पर समान भी हो सकते हैं।
उदाहरण के लिए,एक पूर्णतः सममित वितरण (जैसे कि सामान्य वितरण) में,माध्य,माध्यक और बहुलक समान होते हैं।
अतः,इन तीनों मापों के मान पूरी तरह से आंकड़ों के वितरण पर निर्भर करते हैं।

(N/A) नहीं,वर्गीकृत आंकड़ों का माध्यक वर्ग और बहुलक वर्ग हमेशा अलग नहीं होते हैं। आंकड़ों के वितरण के आधार पर वे समान हो सकते हैं।
औचित्य:
$1$. बहुलक वर्ग वह वर्ग अंतराल है जिसकी बारंबारता सबसे अधिक होती है।
$2$. माध्यक वर्ग वह वर्ग अंतराल है जहाँ संचयी बारंबारता $N/2$ तक पहुँचती है,जहाँ $N$ प्रेक्षणों की कुल संख्या है।
$3$. कई बारंबारता वितरणों में,सबसे अधिक बारंबारता वाला वर्ग अक्सर मध्य प्रेक्षण को समाहित करता है। उदाहरण के लिए,एक सममित वितरण में,माध्य,माध्यक और बहुलक अक्सर एक ही होते हैं,और माध्यक वर्ग तथा बहुलक वर्ग अक्सर एक-दूसरे के समान या एक ही होते हैं।

(N/A) संचयी बारंबारता वितरण तैयार करने के लिए,हम प्रत्येक वर्ग की बारंबारता को उसके पूर्ववर्ती सभी वर्गों की बारंबारताओं के योग में जोड़ते हैं।

वर्ग	बारंबारता	संचयी बारंबारता
$12.5-17.5$	$2$	$2$
$17.5-22.5$	$22$	$2 + 22 = 24$
$22.5-27.5$	$19$	$24 + 19 = 43$
$27.5-32.5$	$14$	$43 + 14 = 57$
$32.5-37.5$	$13$	$57 + 13 = 70$

(A) दैनिक वेतन का माध्य ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्यक्ष विधि के सूत्र का उपयोग करते हैं: $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$।
सबसे पहले,हम प्रत्येक वर्ग के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ की गणना करते हैं: $x_i = \frac{\text{निम्न सीमा} + \text{ऊपरी सीमा}}{2}$।

दैनिक वेतन (रुपये में)	वर्ग चिह्न $(x_i)$	श्रमिकों की संख्या $(f_i)$	$f_i x_i$
$100-120$	$110$	$10$	$1100$
$120-140$	$130$	$15$	$1950$
$140-160$	$150$	$20$	$3000$
$160-180$	$170$	$22$	$3740$
$180-200$	$190$	$18$	$3420$
$200-220$	$210$	$12$	$2520$
$220-240$	$230$	$13$	$2990$

बारंबारताओं का योग $\sum f_i = 10 + 15 + 20 + 22 + 18 + 12 + 13 = 110$।
गुणनफलों का योग $\sum f_i x_i = 1100 + 1950 + 3000 + 3740 + 3420 + 2520 + 2990 = 18720$।
माध्य $\bar{x} = \frac{18720}{110} \approx 170.18$।
अतः,श्रमिकों का माध्य दैनिक वेतन $Rs. 170.18$ है।

(B)

अंक (वर्ग)	आवृत्ति $(f)$	संचयी आवृत्ति $(cf)$
$30-35$	$14$	$14$
$35-40$	$16$	$30$
$40-45$	$18$	$48$
$45-50$	$23$	$71$
$50-55$	$18$	$89$
$55-60$	$8$	$97$
$60-65$	$3$	$100$

यहाँ,$n = 100$.
इसलिए,$\frac{n}{2} = \frac{100}{2} = 50$.
$50$ से ठीक बड़ी संचयी आवृत्ति $71$ है,जो वर्ग $45-50$ के संगत है। अतः,माध्यक वर्ग $45-50$ है।
$l$ (माध्यक वर्ग की निम्न सीमा) $= 45$
$cf$ (माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी आवृत्ति) $= 48$
$f$ (माध्यक वर्ग की आवृत्ति) $= 23$
$h$ (वर्ग माप) $= 5$
माध्यक का सूत्र: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{माध्यक} = 45 + \left( \frac{50 - 48}{23} \right) \times 5$
$\text{माध्यक} = 45 + \left( \frac{2}{23} \right) \times 5$
$\text{माध्यक} = 45 + \frac{10}{23} \approx 45 + 0.4347 \approx 45.43$
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,अंकों का माध्यक प्रतिशत $45.4$ है।

(C) यहाँ,अधिकतम वर्ग आवृत्ति $80$ है और इस आवृत्ति के संगत वर्ग $5-7$ है।
अतः,बहुलक वर्ग $5-7$ है।
$l$ (बहुलक वर्ग की निचली सीमा) $= 5$
$f_{1}$ (बहुलक वर्ग की आवृत्ति) $= 80$
$f_{0}$ (बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की आवृत्ति) $= 45$
$f_{2}$ (बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की आवृत्ति) $= 55$
$h$ (वर्ग का आकार) $= 2$
बहुलक $= l + \left( \frac{f_{1} - f_{0}}{2f_{1} - f_{0} - f_{2}} \right) \times h$
बहुलक $= 5 + \left( \frac{80 - 45}{2(80) - 45 - 55} \right) \times 2$
बहुलक $= 5 + \left( \frac{35}{160 - 100} \right) \times 2$
बहुलक $= 5 + \left( \frac{35}{60} \right) \times 2 = 5 + \frac{35}{30}$
बहुलक $= 5 + 1.166... \approx 6.2$
अतः,गाँव की बहुलक कृषि जोत $6.2$ हेक्टेयर है।

(D) माध्य ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ की गणना करते हैं,जिसका सूत्र है: $x_i = \frac{\text{ऊपरी सीमा} + \text{निचली सीमा}}{2}$।

वर्ग	वर्ग चिह्न $(x_i)$	बारंबारता $(f_i)$	$f_i x_i$
$1-3$	$2$	$9$	$18$
$3-5$	$4$	$22$	$88$
$5-7$	$6$	$27$	$162$
$7-10$	$8.5$	$17$	$144.5$
कुल	-	$\Sigma f_i = 75$	$\Sigma f_i x_i = 412.5$

माध्य $(\bar{x})$ की गणना इस प्रकार है:
$\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i} = \frac{412.5}{75} = 5.5$.
अतः,दिए गए वितरण का माध्य $5.5$ है।

(A) माध्य ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ की गणना करते हैं,जिसका सूत्र है: $x_i = \frac{\text{निम्न सीमा} + \text{ऊपरी सीमा}}{2}$।

अंक	वर्ग चिह्न $(x_i)$	बारंबारता $(f_i)$	$f_i x_i$
$10-20$	$15$	$2$	$30$
$20-30$	$25$	$4$	$100$
$30-40$	$35$	$7$	$245$
$40-50$	$45$	$6$	$270$
$50-60$	$55$	$1$	$55$
कुल	-	$\Sigma f_i = 20$	$\Sigma f_i x_i = 700$

माध्य $(\bar{x})$ की गणना इस प्रकार है: $\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i} = \frac{700}{20} = 35$।
अतः,$20$ छात्रों के अंकों का माध्य $35$ है।

(B) चूंकि दिए गए आंकड़े सतत (continuous) नहीं हैं,इसलिए हम प्रत्येक वर्ग की निचली सीमा में से $0.5$ घटाकर और ऊपरी सीमा में $0.5$ जोड़कर उन्हें सतत वर्ग अंतराल में परिवर्तित करते हैं।
अब,हम प्रत्येक वर्ग के लिए वर्ग चिह्न $x_{i}$ ज्ञात करते हैं और निम्नलिखित गणना करते हैं:

वर्ग	वर्ग चिह्न $(x_{i})$	बारंबारता $(f_{i})$	$f_{i} x_{i}$
$3.5-7.5$	$5.5$	$5$	$27.5$
$7.5-11.5$	$9.5$	$4$	$38$
$11.5-15.5$	$13.5$	$9$	$121.5$
$15.5-19.5$	$17.5$	$10$	$175$
कुल	-	$\Sigma f_{i} = 28$	$\Sigma f_{i} x_{i} = 362$

अतः,माध्य $\bar{x} = \frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}} = \frac{362}{28} \approx 12.93$.
इस प्रकार,दिए गए आंकड़ों का माध्य $12.93$ है।

(C) माध्य ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले वर्ग अंतराल को सतत बनाते हैं,जिसके लिए हम निचली सीमा से $0.5$ घटाते हैं और ऊपरी सीमा में $0.5$ जोड़ते हैं। फिर हम प्रत्येक वर्ग के लिए मध्य मान $(x_i)$ की गणना करते हैं।

वर्ग अंतराल	मध्य मान $(x_i)$	बारंबारता $(f_i)$	$f_i x_i$
$15.5-18.5$	$17$	$1$	$17$
$18.5-21.5$	$20$	$3$	$60$
$21.5-24.5$	$23$	$4$	$92$
$24.5-27.5$	$26$	$9$	$234$
$27.5-30.5$	$29$	$13$	$377$
कुल	-	$\Sigma f_i = 30$	$\Sigma f_i x_i = 780$

माध्य की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: $\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i}$।
$\bar{x} = \frac{780}{30} = 26$।
अतः,प्रतिदिन लिखे गए पृष्ठों का माध्य $26$ है।

(D) चूंकि दी गई जानकारी सतत (continuous) नहीं है,इसलिए हम प्रत्येक वर्ग की निचली सीमा में से $0.5$ घटाकर और ऊपरी सीमा में $0.5$ जोड़कर इसे सतत वर्गों में बदलते हैं।
अब,हम प्रत्येक वर्ग के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ ज्ञात करते हैं और पद-विचलन (step-deviation) विधि का उपयोग करते हैं:

आय (रुपये में)	वर्ग चिह्न $(x_i)$	बारंबारता $(f_i)$	$u_i = \frac{x_i - a}{h}$	$f_i u_i$
$0.5-200.5$	$100.5$	$14$	$-1$	$-14$
$200.5-400.5$	$300.5 (a)$	$15$	$0$	$0$
$400.5-600.5$	$500.5$	$14$	$1$	$14$
$600.5-800.5$	$700.5$	$7$	$2$	$14$
कुल	-	$\Sigma f_i = 50$	-	$\Sigma f_i u_i = 14$

यहाँ,कल्पित माध्य $a = 300.5$,वर्ग अंतराल $h = 200$,और कुल प्रेक्षण $N = 50$ हैं।
पद-विचलन सूत्र का उपयोग करते हुए:
माध्य $(\bar{x}) = a + h \times \left( \frac{\Sigma f_i u_i}{\Sigma f_i} \right)$
$\bar{x} = 300.5 + 200 \times \left( \frac{14}{50} \right)$
$\bar{x} = 300.5 + 4 \times 14$
$\bar{x} = 300.5 + 56 = 356.5$
अतः,औसत दैनिक आय $356.5$ रुपये है।

(A) भरी गई सीटों की माध्य संख्या ज्ञात करने के लिए,हम कल्पित माध्य विधि का उपयोग करते हैं। सबसे पहले,हम प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ की गणना करते हैं।

सीटों की संख्या	वर्ग चिह्न $(x_i)$	बारंबारता $(f_i)$	विचलन $d_i = x_i - a$	$f_i d_i$
$100-104$	$102$	$15$	$-8$	$-120$
$104-108$	$106$	$20$	$-4$	$-80$
$108-112$	$a=110$	$32$	$0$	$0$
$112-116$	$114$	$18$	$4$	$72$
$116-120$	$118$	$15$	$8$	$120$
कुल	-	$\Sigma f_i = 100$	-	$\Sigma f_i d_i = -8$

कल्पित माध्य $(a) = 110$ है।
कल्पित माध्य विधि द्वारा माध्य का सूत्र:
$\bar{x} = a + \frac{\Sigma f_i d_i}{\Sigma f_i}$
$\bar{x} = 110 + \left(\frac{-8}{100}\right)$
$\bar{x} = 110 - 0.08 = 109.92$
अतः,भरी गई सीटों की माध्य संख्या $109.92$ है।

(B) माध्य वजन ज्ञात करने के लिए,हम कल्पित माध्य विधि का उपयोग करते हैं। सबसे पहले,हम प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ निर्धारित करते हैं।

वजन ($kg$ में)	पहलवानों की संख्या $(f_i)$	वर्ग चिह्न $(x_i)$	विचलन $(d_i = x_i - a)$	$f_i d_i$
$100-110$	$4$	$105$	$-20$	$-80$
$110-120$	$14$	$115$	$-10$	$-140$
$120-130$	$21$	$a = 125$	$0$	$0$
$130-140$	$8$	$135$	$10$	$80$
$140-150$	$3$	$145$	$20$	$60$
कुल	$\Sigma f_i = 50$	-	-	$\Sigma f_i d_i = -80$

माना कि कल्पित माध्य $(a) = 125$ है।
कल्पित माध्य विधि के लिए माध्य का सूत्र:
माध्य $(\bar{x}) = a + \frac{\Sigma f_i d_i}{\Sigma f_i}$
$= 125 + \frac{-80}{50}$
$= 125 - 1.6$
$= 123.4 \ kg$.

(A)

माइलेज $(km/l)$	वर्ग चिह्न $(x_i)$	कारों की संख्या $(f_i)$	$f_i x_i$
$10-12$	$11$	$7$	$77$
$12-14$	$13$	$12$	$156$
$14-16$	$15$	$18$	$270$
$16-18$	$17$	$13$	$221$
कुल	-	$\Sigma f_i = 50$	$\Sigma f_i x_i = 724$

यहाँ,$\Sigma f_i = 50$ और $\Sigma f_i x_i = 724$ है।
माध्य $\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i} = \frac{724}{50} = 14.48$ है।
अतः,औसत माइलेज $14.48 \, km/l$ है।
नहीं,मैं निर्माता के दावे से सहमत नहीं हूँ,क्योंकि गणना की गई औसत माइलेज $(14.48 \, km/l)$ उनके द्वारा किए गए $16 \, km/l$ के दावे से काफी कम है।

(N/A) संचयी बारंबारता वितरण (से कम प्रकार का) बनाने के लिए,हम वर्ग की ऊपरी सीमा तक की सभी बारंबारताओं को जोड़ते हैं।

भार (kg में)	संचयी बारंबारता
$45$ से कम	$4$
$50$ से कम	$4 + 4 = 8$
$55$ से कम	$8 + 13 = 21$
$60$ से कम	$21 + 5 = 26$
$65$ से कम	$26 + 6 = 32$
$70$ से कम	$32 + 5 = 37$
$75$ से कम	$37 + 2 = 39$
$80$ से कम	$39 + 1 = 40$

(N/A) बारंबारता वितरण तालिका बनाने के लिए,हम प्रत्येक वर्ग अंतराल की बारंबारता ज्ञात करने के लिए वर्तमान वर्ग की संचयी बारंबारता में से पिछले वर्ग की संचयी बारंबारता को घटाते हैं।

वर्ग अंतराल	छात्रों की संख्या (बारंबारता)
$0-10$	$10$
$10-20$	$50 - 10 = 40$
$20-30$	$130 - 50 = 80$
$30-40$	$270 - 130 = 140$
$40-50$	$440 - 270 = 170$
$50-60$	$570 - 440 = 130$
$60-70$	$670 - 570 = 100$
$70-80$	$740 - 670 = 70$
$80-90$	$780 - 740 = 40$
$90-100$	$800 - 780 = 20$

(N/A) आवृत्ति वितरण तालिका बनाने के लिए,हम प्रत्येक विशिष्ट वर्ग अंतराल की आवृत्ति ज्ञात करने के लिए क्रमिक अंतरालों की संचयी आवृत्तियों को घटाते हैं।
चूंकि कुल उम्मीदवारों की संख्या $34$ है (जैसा कि '$0$ या उससे अधिक' श्रेणी में देखा गया है),हम प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए आवृत्ति की गणना इस प्रकार करते हैं:

वर्ग अंतराल	आवृत्ति
$0-10$	$34-32 = 2$
$10-20$	$32-30 = 2$
$20-30$	$30-27 = 3$
$30-40$	$27-23 = 4$
$40-50$	$23-17 = 6$
$50-60$	$17-11 = 6$
$60-70$	$11-6 = 5$
$70-80$	$6-4 = 2$
$80-90$	$4$

(A) अज्ञात प्रविष्टियों को खोजने के लिए,हम संचयी बारंबारता की परिभाषा का उपयोग करते हैं,जहाँ प्रत्येक प्रविष्टि वर्तमान वर्ग की बारंबारता और पिछले सभी वर्गों की बारंबारता का योग होती है।
$1$. पहले वर्ग $(150-155)$ के लिए,संचयी बारंबारता बारंबारता के बराबर होती है: $a = 12$।
$2$. दूसरे वर्ग $(155-160)$ के लिए,संचयी बारंबारता $12 + b = 25$ है। अतः,$b = 25 - 12 = 13$।
$3$. तीसरे वर्ग $(160-165)$ के लिए,संचयी बारंबारता $c = 12 + b + 10 = 12 + 13 + 10 = 35$ है।
$4$. चौथे वर्ग $(165-170)$ के लिए,संचयी बारंबारता $c + d = 43$ है। $c = 35$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $35 + d = 43$ प्राप्त होता है,इसलिए $d = 43 - 35 = 8$।
$5$. पांचवें वर्ग $(170-175)$ के लिए,संचयी बारंबारता $43 + e = 48$ है। अतः,$e = 48 - 43 = 5$।
$6$. छठे वर्ग $(175-180)$ के लिए,संचयी बारंबारता $f = 48 + 2 = 50$ है। अतः,$f = 50$।
अतः,अज्ञात मान हैं: $a = 12, b = 13, c = 35, d = 8, e = 5, f = 50$।

(N/A) $(i)$ 'से कम' प्रकार का संचयी बारंबारता वितरण बनाने के लिए,हम प्रत्येक वर्ग की बारंबारता में उससे पहले के सभी वर्गों की बारंबारता जोड़ते हैं। चूँकि डेटा $10-20$ से शुरू होता है,हम मानते हैं कि $10$ वर्ष से कम आयु के $0$ रोगी हैं।
$(ii)$ 'से अधिक' प्रकार का संचयी बारंबारता वितरण बनाने के लिए,हम कुल रोगियों की संख्या $(300)$ से शुरू करते हैं और प्रत्येक पिछले वर्ग की बारंबारता को घटाते जाते हैं।

आयु (वर्षों में)	से कम प्रकार (संचयी बारंबारता)	आयु (वर्षों में)	से अधिक प्रकार (संचयी बारंबारता)
$10$ से कम	$0$	$10$ या अधिक	$300$
$20$ से कम	$60$	$20$ या अधिक	$240$
$30$ से कम	$102$	$30$ या अधिक	$198$
$40$ से कम	$157$	$40$ या अधिक	$143$
$50$ से कम	$227$	$50$ या अधिक	$73$
$60$ से कम	$280$	$60$ या अधिक	$20$
$70$ से कम	$300$	$70$ या अधिक	$0$

(N/A) संचयी बारंबारता वितरण को बारंबारता वितरण में बदलने के लिए,हम वर्तमान वर्ग की संचयी बारंबारता में से पिछले वर्ग की संचयी बारंबारता को घटाते हैं।
$1$. वर्ग $0-20$ के लिए,बारंबारता $17$ है।
$2$. वर्ग $20-40$ के लिए,बारंबारता $22 - 17 = 5$ है।
$3$. वर्ग $40-60$ के लिए,बारंबारता $29 - 22 = 7$ है।
$4$. वर्ग $60-80$ के लिए,बारंबारता $37 - 29 = 8$ है।
$5$. वर्ग $80-100$ के लिए,बारंबारता $50 - 37 = 13$ है।
परिणामी बारंबारता वितरण सारणी इस प्रकार है:

अंक	छात्रों की संख्या
$0-20$	$17$
$20-40$	$5$
$40-60$	$7$
$60-80$	$8$
$80-100$	$13$

(B) सबसे पहले,हम संचयी बारंबारता सारणी बनाते हैं:

साप्ताहिक आय (रु.)	परिवारों की संख्या $(f_i)$	संचयी बारंबारता $(cf)$
$0-1000$	$250$	$250$
$1000-2000$	$190$	$440$
$2000-3000$	$100$	$540$
$3000-4000$	$40$	$580$
$4000-5000$	$15$	$595$
$5000-6000$	$5$	$600$

यहाँ $n = 600$ दिया गया है,इसलिए $\frac{n}{2} = \frac{600}{2} = 300$.
$300$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $440$ है,जो माध्यिका वर्ग $1000-2000$ के अंतर्गत आती है।
यहाँ,निम्न सीमा $l = 1000$,बारंबारता $f = 190$,माध्यिका वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $cf = 250$,और वर्ग अंतराल की माप $h = 1000$ है।
माध्यिका का सूत्र उपयोग करने पर:
$\text{माध्यिका} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$= 1000 + \left( \frac{300 - 250}{190} \right) \times 1000$
$= 1000 + \left( \frac{50}{190} \right) \times 1000$
$= 1000 + \frac{5000}{19}$
$= 1000 + 263.157... \approx 1263.15$
अतः,माध्यिका आय $Rs. 1263.15$ है।

(C) यहाँ कुल खिलाड़ियों की संख्या $n = 33$ है।
$\therefore \frac{n}{2} = \frac{33}{2} = 16.5$.
माध्यक वर्ग ज्ञात करने के लिए,हम संचयी बारंबारता (cumulative frequency) देखते हैं:
- $85-100$: $11$
- $100-115$: $11 + 9 = 20$
चूंकि $16.5$,संचयी बारंबारता $20$ के अंतर्गत आता है,इसलिए माध्यक वर्ग $100-115$ है।
यहाँ,निम्न सीमा $(l) = 100$,बारंबारता $(f) = 9$,माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $(cf) = 11$,और वर्ग अंतराल $(h) = 15$ है।
माध्यक का सूत्र उपयोग करने पर:
$\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$= 100 + \left( \frac{16.5 - 11}{9} \right) \times 15$
$= 100 + \left( \frac{5.5}{9} \right) \times 15$
$= 100 + \frac{82.5}{9} = 100 + 9.166... \approx 109.17$.
अतः,माध्यक बॉलिंग गति $109.17 \, km/h$ है।

(D) दी गई जानकारी में,सबसे अधिक बारंबारता $41$ है,जो बहुलक वर्ग $10000-15000$ में स्थित है।
यहाँ,बहुलक वर्ग की निम्न सीमा $l = 10000$,बहुलक वर्ग की बारंबारता $f_m = 41$,बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता $f_1 = 26$,बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता $f_2 = 16$ और वर्ग माप $h = 5000$ है।
बहुलक का सूत्र है:
$\text{बहुलक} = l + \left( \frac{f_m - f_1}{2f_m - f_1 - f_2} \right) \times h$
मान रखने पर:
$\text{बहुलक} = 10000 + \left( \frac{41 - 26}{2 \times 41 - 26 - 16} \right) \times 5000$
$= 10000 + \left( \frac{15}{82 - 42} \right) \times 5000$
$= 10000 + \left( \frac{15}{40} \right) \times 5000$
$= 10000 + 15 \times 125$
$= 10000 + 1875 = 11875$
अतः,बहुलक आय $Rs. 11875$ है।

(A) दी गई जानकारी में,सबसे अधिक बारंबारता $26$ है,जो बहुलक वर्ग $201-202$ के अंतर्गत आती है।
यहाँ,बहुलक वर्ग की निम्न सीमा $l = 201$,बहुलक वर्ग की बारंबारता $f_m = 26$,बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता $f_1 = 12$,बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता $f_2 = 20$ और वर्ग अंतराल की माप $h = 1$ है।
बहुलक का सूत्र:
$\text{बहुलक} = l + \left( \frac{f_m - f_1}{2f_m - f_1 - f_2} \right) \times h$
मान रखने पर:
$\text{बहुलक} = 201 + \left( \frac{26 - 12}{2 \times 26 - 12 - 20} \right) \times 1$
$= 201 + \left( \frac{14}{52 - 32} \right)$
$= 201 + \frac{14}{20} = 201 + 0.7 = 201.7 \, g$.
अतः,बहुलक वजन $201.7 \, g$ है।

(N/A) सबसे पहले,हम संचयी बारंबारता वितरण को मानक बारंबारता वितरण में बदलते हैं। वर्ग अंतराल $20-30$ से शुरू होता है क्योंकि आयु $20$ वर्ष या उससे अधिक है।

वर्ग अंतराल	बारंबारता $(f_i)$	वर्ग चिह्न $(x_i)$	$u_i = \frac{x_i - 45}{10}$	$f_i u_i$
$20-30$	$100$	$25$	$-2$	$-200$
$30-40$	$120$	$35$	$-1$	$-120$
$40-50$	$130$	$45$	$0$	$0$
$50-60$	$400$	$55$	$1$	$400$
$60-70$	$200$	$65$	$2$	$400$
$70-80$	$50$	$75$	$3$	$150$
कुल	$\sum f_i = 1000$	-	-	$\sum f_i u_i = 630$

पद-विचलन विधि का उपयोग करते हुए: $\text{माध्य} (\bar{x}) = a + h \left( \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \right)$
यहाँ,$a = 45$,$h = 10$,$\sum f_i u_i = 630$,और $\sum f_i = 1000$ है।
$\bar{x} = 45 + 10 \left( \frac{630}{1000} \right) = 45 + 6.3 = 51.3$।
अतः,माध्य आयु $51.3$ वर्ष है।

(A) कुल बारंबारता $\Sigma f_i = 100$ दी गई है।
बारंबारताओं का योग: $17 + f_1 + 32 + f_2 + 19 = 68 + f_1 + f_2 = 100 \implies f_1 + f_2 = 32$ (समीकरण $1$)।
पद-विचलन विधि का उपयोग करते हुए: $\bar{x} = A + \frac{\Sigma f_i u_i}{\Sigma f_i} \times c$,जहाँ $A = 65$ (कल्पित माध्य),$c = 20$ (वर्ग माप)।

वर्ग	बारंबारता $(f_i)$	वर्ग चिह्न $(x_i)$	$u_i = \frac{x_i - 65}{20}$	$f_i u_i$
$15-35$	$17$	$25$	$-2$	$-34$
$35-55$	$f_1$	$45$	$-1$	$-f_1$
$55-75$	$32$	$65$	$0$	$0$
$75-95$	$f_2$	$85$	$1$	$f_2$
$95-115$	$19$	$105$	$2$	$38$
कुल	$100$	-	-	$f_2 - f_1 + 4$

माध्य $\bar{x} = 65 + \frac{f_2 - f_1 + 4}{100} \times 20 = 65$.
$65 + \frac{f_2 - f_1 + 4}{5} = 65 \implies f_2 - f_1 + 4 = 0 \implies f_1 - f_2 = 4$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर: $2f_1 = 36 \implies f_1 = 18$.
$f_1 = 18$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर: $18 + f_2 = 32 \implies f_2 = 14$.
अतः,लुप्त बारंबारताएँ $f_1 = 18$ और $f_2 = 14$ हैं।

(D) माध्य ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक वर्ग के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ की गणना करते हैं,जहाँ $x_i = \frac{\text{निम्न सीमा} + \text{ऊपरी सीमा}}{2}$ है।
$1$. $21-25$ के लिए,$x_1 = 23$,$f_1 = 18$,$f_1x_1 = 414$.
$2$. $26-30$ के लिए,$x_2 = 28$,$f_2 = 32$,$f_2x_2 = 896$.
$3$. $31-35$ के लिए,$x_3 = 33$,$f_3 = 30$,$f_3x_3 = 990$.
$4$. $36-40$ के लिए,$x_4 = 38$,$f_4 = 40$,$f_4x_4 = 1520$.
$5$. $41-45$ के लिए,$x_5 = 43$,$f_5 = 25$,$f_5x_5 = 1075$.
$6$. $46-50$ के लिए,$x_6 = 48$,$f_6 = 15$,$f_6x_6 = 720$.
$7$. $51-55$ के लिए,$x_7 = 53$,$f_7 = 40$,$f_7x_7 = 2120$.
बारंबारताओं का योग $(\sum f_i)$ = $18 + 32 + 30 + 40 + 25 + 15 + 40 = 200$.
गुणनफलों का योग $(\sum f_ix_i)$ = $414 + 896 + 990 + 1520 + 1075 + 720 + 2120 = 7735$.
माध्य $(\bar{x})$ = $\frac{\sum f_ix_i}{\sum f_i} = \frac{7735}{200} = 38.675$.

(A) माध्य ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $x_i$ वर्ग चिह्न है।
$1$. प्रत्येक अंतराल के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ ज्ञात कीजिए:
- $0-10$ के लिए,$x_1 = (0+10)/2 = 5$
- $10-20$ के लिए,$x_2 = (10+20)/2 = 15$
- $20-30$ के लिए,$x_3 = (20+30)/2 = 25$
- $30-40$ के लिए,$x_4 = (30+40)/2 = 35$
- $40-50$ के लिए,$x_5 = (40+50)/2 = 45$
$2$. $f_i x_i$ की गणना करें:
- $20 \times 5 = 100$
- $10 \times 15 = 150$
- $20 \times 25 = 500$
- $30 \times 35 = 1050$
- $20 \times 45 = 900$
$3$. $\sum f_i x_i = 100 + 150 + 500 + 1050 + 900 = 2700$ की गणना करें।
$4$. $\sum f_i = 20 + 10 + 20 + 30 + 20 = 100$ की गणना करें।
$5$. माध्य $\bar{x} = 2700 / 100 = 27$।

(B) माध्य ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $x_i$ वर्ग चिह्न है।
$1$. वर्ग चिह्न $(x_i)$ ज्ञात करें:
$15, 25, 35, 45, 55, 65$.
$2$. $f_i x_i$ की गणना करें:
$2 \times 15 = 30$
$10 \times 25 = 250$
$40 \times 35 = 1400$
$25 \times 45 = 1125$
$13 \times 55 = 715$
$10 \times 65 = 650$
$3$. बारंबारताओं का योग $(\sum f_i)$: $2 + 10 + 40 + 25 + 13 + 10 = 100$.
$4$. गुणनफलों का योग $(\sum f_i x_i)$: $30 + 250 + 1400 + 1125 + 715 + 650 = 4170$.
$5$. माध्य $(\bar{x})$: $\frac{4170}{100} = 41.7$.