Textbook - Statistics Questions in Gujarati

(A) મધ્યક શોધવા માટે,આપણે દરેક ગુણ $(x_{i})$ નો તેની અનુરૂપ આવૃત્તિ $(f_{i})$ સાથે ગુણાકાર કરવો પડે.

મેળવેલા ગુણ $(x_{i})$	વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $(f_{i})$	$f_{i}x_{i}$
$10$	$1$	$10$
$20$	$1$	$20$
$36$	$3$	$108$
$40$	$4$	$160$
$50$	$3$	$150$
$56$	$2$	$112$
$60$	$4$	$240$
$70$	$4$	$280$
$72$	$1$	$72$
$80$	$1$	$80$
$88$	$2$	$176$
$92$	$3$	$276$
$95$	$1$	$95$
કુલ	$\Sigma f_{i} = 30$	$\Sigma f_{i}x_{i} = 1779$

મધ્યક $\bar{x}$ શોધવાનું સૂત્ર:
$\bar{x} = \frac{\Sigma f_{i}x_{i}}{\Sigma f_{i}} = \frac{1779}{30} = 59.3$
આમ,વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા મેળવેલા ગુણનો મધ્યક $59.3$ છે.

(B) સરેરાશ શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ દરેક વર્ગ માટે વર્ગ ચિહ્ન $(x_i)$ નક્કી કરીએ છીએ.
ધારો કે ધારેલો મધ્યક $a = 50$ અને વર્ગ લંબાઈ $h = 10$ છે. તો $d_i = x_i - 50$ અને $u_i = \frac{x_i - 50}{10}$ થશે.

મહિલા શિક્ષકોની ટકાવારી	રાજ્યો/કે.પ્ર. ની સંખ્યા $(f_i)$	$x_i$	$d_i = x_i - 50$	$u_i = \frac{x_i - 50}{10}$	$f_i x_i$	$f_i d_i$	$f_i u_i$
$15$-$25$	$6$	$20$	-$30$	-$3$	$120$	-$180$	-$18$
$25$-$35$	$11$	$30$	-$20$	-$2$	$330$	-$220$	-$22$
$35$-$45$	$7$	$40$	-$10$	-$1$	$280$	-$70$	-$7$
$45$-$55$	$4$	$50$	$0$	$0$	$200$	$0$	$0$
$55$-$65$	$4$	$60$	$10$	$1$	$240$	$40$	$4$
$65$-$75$	$2$	$70$	$20$	$2$	$140$	$40$	$4$
$75$-$85$	$1$	$80$	$30$	$3$	$80$	$30$	$3$
કુલ	$35$	-	-	-	$1390$	-$360$	-$36$

કોષ્ટક પરથી,$\Sigma f_i = 35, \Sigma f_i x_i = 1390, \Sigma f_i d_i = -360, \Sigma f_i u_i = -36$ મળે છે.
$1$. પ્રત્યક્ષ રીત: $\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i} = \frac{1390}{35} \approx 39.71$.
$2$. ધારેલા મધ્યકની રીત: $\bar{x} = a + \frac{\Sigma f_i d_i}{\Sigma f_i} = 50 + \frac{-360}{35} = 50 - 10.29 = 39.71$.
$3$. પદ-વિચલનની રીત: $\bar{x} = a + \left(\frac{\Sigma f_i u_i}{\Sigma f_i}\right) \times h = 50 + \left(\frac{-36}{35}\right) \times 10 = 50 - 10.29 = 39.71$.
આમ,મહિલા શિક્ષકોની સરેરાશ ટકાવારી $39.71$ છે.

(C) મધ્યક શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ દરેક વર્ગ માટે વર્ગ-ચિહ્ન $(x_i)$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.

વિકેટોની સંખ્યા	બોલરોની સંખ્યા $(f_i)$	વર્ગ-ચિહ્ન $(x_i)$	$f_i x_i$
$20$-$60$	$7$	$40$	$280$
$60$-$100$	$5$	$80$	$400$
$100$-$150$	$16$	$125$	$2000$
$150$-$250$	$12$	$200$	$2400$
$250$-$350$	$2$	$300$	$600$
$350$-$450$	$3$	$400$	$1200$
કુલ	$\sum f_i = 45$		$\sum f_i x_i = 6880$

મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{6880}{45} \approx 152.89$.
આ મધ્યક સૂચવે છે કે,સરેરાશ રીતે,બોલરોએ આપેલી એક-દિવસીય ક્રિકેટ મેચોમાં $152.89$ વિકેટો લીધી છે.

(D) દરેક વર્ગ માટે વર્ગ ચિહ્ન $(x_i)$ શોધવા માટે,નીચેના સંબંધનો ઉપયોગ થાય છે:
વર્ગ ચિહ્ન $(x_i) = \frac{\text{વર્ગની ઉર્ધ્વ સીમા} + \text{વર્ગની અધઃ સીમા}}{2}$
$x_i$ અને $f_ix_i$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:

છોડની સંખ્યા	ઘરોની સંખ્યા $(f_i)$	$x_i$	$f_ix_i$
$0-2$	$1$	$1$	$1 \times 1 = 1$
$2-4$	$2$	$3$	$2 \times 3 = 6$
$4-6$	$1$	$5$	$1 \times 5 = 5$
$6-8$	$5$	$7$	$5 \times 7 = 35$
$8-10$	$6$	$9$	$6 \times 9 = 54$
$10-12$	$2$	$11$	$2 \times 11 = 22$
$12-14$	$3$	$13$	$3 \times 13 = 39$
કુલ	$\sum f_i = 20$		$\sum f_ix_i = 162$

કોષ્ટક પરથી,$\sum f_i = 20$ અને $\sum f_ix_i = 162$ મળે છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_ix_i}{\sum f_i}$.
મધ્યક $= \frac{162}{20} = 8.1$.
તેથી,પ્રતિ ઘર છોડની સરેરાશ સંખ્યા $8.1$ છે.
અહીં પ્રત્યક્ષ રીત (Direct Method) નો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે કારણ કે $x_i$ અને $f_i$ ના મૂલ્યો નાના છે,જેનાથી ગણતરી સરળ બને છે.

(A) દરેક વર્ગ માટે વર્ગચિહ્ન $(x_i)$ શોધવા માટે નીચેના સંબંધનો ઉપયોગ થાય છે:
$x_i = \frac{\text{વર્ગની ઉર્ધ્વ સીમા} + \text{વર્ગની અધઃ સીમા}}{2}$
અહીં વર્ગ લંબાઈ $(h) = 20$ છે.
ધારેલ મધ્યક $(a) = 150$ લેતા,$d_i$,$u_i$ અને $f_i u_i$ ની ગણતરી નીચે મુજબ કરી શકાય:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{દૈનિક વેતન} & f_i & x_i & d_i = x_i - 150 & u_i = \frac{d_i}{20} & f_i u_i \\ \hline 100-120 & 12 & 110 & -40 & -2 & -24 \\ \hline 120-140 & 14 & 130 & -20 & -1 & -14 \\ \hline 140-160 & 8 & 150 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 160-180 & 6 & 170 & 20 & 1 & 6 \\ \hline 180-200 & 10 & 190 & 40 & 2 & 20 \\ \hline \text{કુલ} & 50 & & & & -12 \\ \hline \end{array}$
કોષ્ટક પરથી,આપણી પાસે છે:
$\sum f_i = 50$
$\sum f_i u_i = -12$
પદ-વિચલનની રીતનો ઉપયોગ કરીને,મધ્યક $\bar{x}$ નીચે મુજબ મળે:
$\bar{x} = a + \left( \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \right) \times h$
$\bar{x} = 150 + \left( \frac{-12}{50} \right) \times 20$
$\bar{x} = 150 - \frac{240}{50} = 150 - 4.8$
$\bar{x} = 145.2$
તેથી,ફેક્ટરીના કામદારોનું સરેરાશ દૈનિક વેતન $Rs. 145.20$ છે.

(B) દરેક વર્ગ માટે વર્ગ ચિહ્ન $(x_{i})$ શોધવા માટે,નીચેના સંબંધનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે:
$x_{i} = \frac{\text{વર્ગની ઉર્ધ્વ સીમા} + \text{વર્ગની નિમ્ન સીમા}}{2}$
આપેલ છે કે,સરેરાશ ખિસ્સા ભથ્થું,$\bar{x} = Rs. 18$.
ધારેલ મધ્યક $(a) = 18$ લેતા,$d_{i}$ અને $f_{i}d_{i}$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:

દૈનિક ખિસ્સા ભથ્થું (in $Rs.$)	બાળકોની સંખ્યા $(f_{i})$	વર્ગ ચિહ્ન $(x_{i})$	$d_{i} = x_{i} - 18$	$f_{i}d_{i}$
$11-13$	$7$	$12$	$-6$	$-42$
$13-15$	$6$	$14$	$-4$	$-24$
$15-17$	$9$	$16$	$-2$	$-18$
$17-19$	$13$	$18$	$0$	$0$
$19-21$	$f$	$20$	$2$	$2f$
$21-23$	$5$	$22$	$4$	$20$
$23-25$	$4$	$24$	$6$	$24$
કુલ	$\sum f_{i} = 44 + f$			$\sum f_{i}d_{i} = 2f - 40$

કોષ્ટક પરથી,આપણને મળે છે:
$\sum f_{i} = 44 + f$
$\sum f_{i}d_{i} = 2f - 40$
મધ્યક માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\bar{x} = a + \frac{\sum f_{i}d_{i}}{\sum f_{i}}$
$18 = 18 + \left(\frac{2f - 40}{44 + f}\right)$
$0 = \frac{2f - 40}{44 + f}$
$2f - 40 = 0$
$2f = 40$
$f = 20$
આમ,ખૂટતી આવૃત્તિ $f$ એ $20$ છે.

(C) દરેક વર્ગ માટે વર્ગ ચિહ્ન $(x_i)$ શોધવા માટે,નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે:
$x_i = \frac{\text{વર્ગની ઉર્ધ્વ સીમા} + \text{વર્ગની અધઃ સીમા}}{2}$
આ માહિતી માટે વર્ગ લંબાઈ $(h) = 3$ છે.
ધારેલો મધ્યક $(a) = 75.5$ લેતા,$d_i, u_i,$ અને $f_i u_i$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:

પ્રતિ મિનિટ હૃદયના ધબકારા	મહિલાઓની સંખ્યા $(f_i)$	$x_i$	$d_i = x_i - 75.5$	$u_i = \frac{d_i}{3}$	$f_i u_i$
$65$-$68$	$2$	$66.5$	-$9$	-$3$	-$6$
$68$-$71$	$4$	$69.5$	-$6$	-$2$	-$8$
$71$-$74$	$3$	$72.5$	-$3$	-$1$	-$3$
$74$-$77$	$8$	$75.5$	$0$	$0$	$0$
$77$-$80$	$7$	$78.5$	$3$	$1$	$7$
$80$-$83$	$4$	$81.5$	$6$	$2$	$8$
$83$-$86$	$2$	$84.5$	$9$	$3$	$6$
કુલ	$30$	-	-	-	$4$

કોષ્ટક પરથી,આપણને $\sum f_i = 30$ અને $\sum f_i u_i = 4$ મળે છે.
મધ્યક $\bar{x}$ પદ-વિચલનની રીત દ્વારા ગણવામાં આવે છે:
$\bar{x} = a + \left( \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \right) \times h$
$\bar{x} = 75.5 + \left( \frac{4}{30} \right) \times 3$
$\bar{x} = 75.5 + 0.4 = 75.9$
તેથી,આ મહિલાઓ માટે પ્રતિ મિનિટ સરેરાશ હૃદયના ધબકારા $75.9$ છે.

(D) વર્ગ અંતરાલ સતત નથી. બે ક્રમિક વર્ગ અંતરાલ વચ્ચેનો તફાવત $1$ છે. તેમને સતત બનાવવા માટે,આપણે દરેક વર્ગની નીચલી સીમામાંથી $0.5$ બાદ કરીએ છીએ અને ઉપલી સીમામાં $0.5$ ઉમેરીએ છીએ.

વર્ગ અંતરાલ	$f_i$	$x_i$	$d_i = x_i - 57$	$u_i = d_i / 3$	$f_i u_i$
$49.5-52.5$	$15$	$51$	$-6$	$-2$	$-30$
$52.5-55.5$	$110$	$54$	$-3$	$-1$	$-110$
$55.5-58.5$	$135$	$57$	$0$	$0$	$0$
$58.5-61.5$	$115$	$60$	$3$	$1$	$115$
$61.5-64.5$	$25$	$63$	$6$	$2$	$50$
કુલ	$400$				$25$

અહીં,$\sum f_i = 400$,$\sum f_i u_i = 25$,ધારેલો મધ્યક $a = 57$,અને વર્ગ લંબાઈ $h = 3$ છે.
પદ-વિચલન (Step-deviation) પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
$\bar{x} = a + \left( \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \right) \times h$
$\bar{x} = 57 + \left( \frac{25}{400} \right) \times 3 = 57 + \frac{75}{400} = 57 + 0.1875 = 57.1875 \approx 57.19$.
અમે પદ-વિચલન પદ્ધતિ પસંદ કરી કારણ કે $f_i$ અને $d_i$ ની કિંમતો મોટી છે અને સામાન્ય અવયવ $h=3$ છે.

(A) દરેક વર્ગ માટે વર્ગ ચિહ્ન $(x_{i})$ શોધવા માટે,નીચેના સંબંધનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે:
$x_{i} = \frac{\text{વર્ગની ઉર્ધ્વ સીમા} + \text{વર્ગની અધઃ સીમા}}{2}$
વર્ગ લંબાઈ $(h) = 50$.
ધારેલો મધ્યક $(a) = 225$ લેતા,$d_i$,$u_i$,અને $f_iu_i$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:

દૈનિક ખર્ચ (રૂપિયામાં)	$f_{i}$	$x_{i}$	$d_{i} = x_{i} - 225$	$u_{i} = \frac{d_{i}}{50}$	$f_{i}u_{i}$
$100-150$	$4$	$125$	$-100$	$-2$	$-8$
$150-200$	$5$	$175$	$-50$	$-1$	$-5$
$200-250$	$12$	$225$	$0$	$0$	$0$
$250-300$	$2$	$275$	$50$	$1$	$2$
$300-350$	$2$	$325$	$100$	$2$	$4$
કુલ	$\Sigma f_{i} = 25$				$\Sigma f_{i}u_{i} = -7$

પદ-વિચલનની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
મધ્યક $(\bar{x}) = a + \left(\frac{\Sigma f_{i}u_{i}}{\Sigma f_{i}}\right) \times h$
$\bar{x} = 225 + \left(\frac{-7}{25}\right) \times 50$
$\bar{x} = 225 + (-7 \times 2)$
$\bar{x} = 225 - 14 = 211$
તેથી,ખોરાક પાછળનો સરેરાશ દૈનિક ખર્ચ $Rs. 211$ છે.

(B) દરેક વર્ગ માટે વર્ગ ચિહ્ન $(x_{i})$ શોધવા માટે,આપણે આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$x_{i} = \frac{\text{વર્ગની ઉર્ધ્વ સીમા} + \text{વર્ગની અધઃ સીમા}}{2}$
વર્ગ લંબાઈ $(h)$ = $0.04 - 0.00 = 0.04$ છે.
ધારેલો મધ્યક $(a)$ = $0.14$ લઈએ.
આપણે $d_{i} = x_{i} - a$ અને $u_{i} = \frac{d_{i}}{h}$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.

$SO_{2}$ ની સાંદ્રતા $(ppm)$	આવૃત્તિ $(f_{i})$	વર્ગ ચિહ્ન $(x_{i})$	$d_{i} = x_{i} - 0.14$	$u_{i} = \frac{d_{i}}{0.04}$	$f_{i}u_{i}$
$0.00-0.04$	$4$	$0.02$	$-0.12$	$-3$	$-12$
$0.04-0.08$	$9$	$0.06$	$-0.08$	$-2$	$-18$
$0.08-0.12$	$9$	$0.10$	$-0.04$	$-1$	$-9$
$0.12-0.16$	$2$	$0.14$	$0$	$0$	$0$
$0.16-0.20$	$4$	$0.18$	$0.04$	$1$	$4$
$0.20-0.24$	$2$	$0.22$	$0.08$	$2$	$4$
કુલ	$\Sigma f_{i} = 30$				$\Sigma f_{i}u_{i} = -31$

પદ-વિચલન રીતનો ઉપયોગ કરતા:
મધ્યક $\bar{x} = a + \left( \frac{\Sigma f_{i}u_{i}}{\Sigma f_{i}} \right) \times h$
$\bar{x} = 0.14 + \left( \frac{-31}{30} \right) \times 0.04$
$\bar{x} = 0.14 - \frac{1.24}{30}$
$\bar{x} = 0.14 - 0.04133...$
$\bar{x} \approx 0.09867 \approx 0.099\, ppm$.
આમ,હવામાં $SO_{2}$ ની સરેરાશ સાંદ્રતા $0.099\, ppm$ છે.

(C) ગેરહાજર દિવસોની સંખ્યાનો મધ્યક શોધવા માટે,આપણે દરેક વર્ગ માટે વર્ગચિહ્ન $(x_i)$ શોધીશું,જેનું સૂત્ર: $x_i = \frac{\text{વર્ગની ઉર્ધ્વ સીમા} + \text{વર્ગની અધઃ સીમા}}{2}$ છે.
ધારેલા મધ્યકની રીતનો ઉપયોગ કરીને,જ્યાં $a = 17$ લેતા,$d_i = x_i - a$ અને $f_i d_i$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:

દિવસોની સંખ્યા	વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $(f_i)$	$x_i$	$d_i = x_i - 17$	$f_i d_i$
$0-6$	$11$	$3$	$-14$	$-154$
$6-10$	$10$	$8$	$-9$	$-90$
$10-14$	$7$	$12$	$-5$	$-35$
$14-20$	$4$	$17$	$0$	$0$
$20-28$	$4$	$24$	$7$	$28$
$28-38$	$3$	$33$	$16$	$48$
$38-40$	$1$	$39$	$22$	$22$
કુલ	$\sum f_i = 40$			$\sum f_i d_i = -181$

મધ્યક $\bar{x}$ શોધવાનું સૂત્ર $\bar{x} = a + \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\bar{x} = 17 + \frac{-181}{40} = 17 - 4.525 = 12.475$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,વિદ્યાર્થીની સરેરાશ ગેરહાજરી $12.48$ દિવસ છે.

(D) વર્ગ ચિહ્નો $(x_i)$ શોધવા માટે,નીચેના સંબંધનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે:
$x_i = \frac{\text{વર્ગની ઉર્ધ્વ સીમા} + \text{વર્ગની અધઃ સીમા}}{2}$
આ માહિતી માટે વર્ગ લંબાઈ $(h)$ $= 10$ છે.
ધારેલો મધ્યક $(a)$ $= 70$ લેતા,$d_i$,$u_i$,અને $f_i u_i$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:

સાક્ષરતા દર (માં $\%$)	શહેરોની સંખ્યા $(f_i)$	$x_i$	$d_i = x_i - 70$	$u_i = \frac{d_i}{10}$	$f_i u_i$
$45-55$	$3$	$50$	$-20$	$-2$	$-6$
$55-65$	$10$	$60$	$-10$	$-1$	$-10$
$65-75$	$11$	$70$	$0$	$0$	$0$
$75-85$	$8$	$80$	$10$	$1$	$8$
$85-95$	$3$	$90$	$20$	$2$	$6$
કુલ	$\sum f_i = 35$				$\sum f_i u_i = -2$

કોષ્ટક પરથી,આપણને મળે છે:
$\sum f_i = 35$
$\sum f_i u_i = -2$
મધ્યક,$\bar{x} = a + \left(\frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}\right) \times h$
$= 70 + \left(\frac{-2}{35}\right) \times 10$
$= 70 - \frac{20}{35}$
$= 70 - \frac{4}{7}$
$= 70 - 0.5714...$
$\approx 69.43$
તેથી,સાક્ષરતા દરનો મધ્યક $69.43 \%$ છે.

(A) બહુલક શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ આપેલી માહિતીને આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટકમાં ગોઠવીએ:

વિકેટની સંખ્યા	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
મેચની સંખ્યા	$1$	$1$	$3$	$2$	$1$	$1$	$1$

બહુલક એટલે જે અવલોકન સૌથી વધુ વખત પુનરાવર્તિત થતું હોય તે. કોષ્ટક પરથી જોઈ શકાય છે કે $2$ વિકેટ સૌથી વધુ $3$ વખત લેવામાં આવી છે.
તેથી,આપેલી માહિતીનો બહુલક $2$ છે.

(B) અહીં,મહત્તમ વર્ગ આવૃત્તિ $8$ છે અને આ આવૃત્તિને અનુરૂપ વર્ગ $3-5$ છે.
તેથી,બહુલક વર્ગ $3-5$ છે.
હવે,
બહુલક વર્ગ $= 3-5$,બહુલક વર્ગની અધઃસીમા $(l) = 3$,વર્ગ લંબાઈ $(h) = 2$.
બહુલક વર્ગની આવૃત્તિ $(f_1) = 8$.
બહુલક વર્ગની આગળના વર્ગની આવૃત્તિ $(f_0) = 7$.
બહુલક વર્ગની પાછળના વર્ગની આવૃત્તિ $(f_2) = 2$.
હવે,આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકીએ:
બહુલક $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$
બહુલક $= 3 + \left( \frac{8 - 7}{2 \times 8 - 7 - 2} \right) \times 2 = 3 + \frac{2}{7} = 3 + 0.286 = 3.286$.
તેથી,ઉપરની માહિતીનો બહુલક $3.286$ છે.

(52) મધ્યક શોધવા માટે,આપણે વર્ગ ચિહ્ન $(x_i)$ અને $f_i x_i$ ની ગણતરી કરીએ છીએ:

વર્ગ અંતરાલ	વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $(f_i)$	વર્ગ ચિહ્ન $(x_i)$	$f_i x_i$
$10-25$	$2$	$17.5$	$35.0$
$25-40$	$3$	$32.5$	$97.5$
$40-55$	$7$	$47.5$	$332.5$
$55-70$	$6$	$62.5$	$375.0$
$70-85$	$6$	$77.5$	$465.0$
$85-100$	$6$	$92.5$	$555.0$
કુલ	$\Sigma f_i = 30$		$\Sigma f_i x_i = 1860.0$

મધ્યક $\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i} = \frac{1860}{30} = 62$.
બહુલક માટે,મહત્તમ આવૃત્તિ $7$ છે,જે બહુલક વર્ગ $40-55$ ને અનુરૂપ છે.
અહીં,$l = 40$,$h = 15$,$f_1 = 7$,$f_0 = 3$,$f_2 = 6$.
બહુલક $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h = 40 + \left( \frac{7 - 3}{14 - 3 - 6} \right) \times 15 = 40 + \left( \frac{4}{5} \right) \times 15 = 40 + 12 = 52$.
અર્થઘટન: મહત્તમ વિદ્યાર્થીઓએ $52$ ગુણ મેળવ્યા છે (બહુલક),જ્યારે સરેરાશ એક વિદ્યાર્થીએ $62$ ગુણ મેળવ્યા છે (મધ્યક).

(N/A) વર્ગ ચિહ્નો $(x_{i})$ શોધવા માટે,નીચેના સંબંધનો ઉપયોગ થાય છે:
$x_{i} = \frac{\text{વર્ગની ઉર્ધ્વ સીમા} + \text{વર્ગની અધઃ સીમા}}{2}$
ધારેલો મધ્યક $(a) = 30$ લેતા,$d_i$ અને $f_id_i$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:

ઉંમર (વર્ષમાં)	દર્દીઓની સંખ્યા $(f_i)$	વર્ગ ચિહ્ન $(x_i)$	$d_i = x_i - 30$	$f_i d_i$
$5$-$15$	$6$	$10$	-$20$	-$120$
$15$-$25$	$11$	$20$	-$10$	-$110$
$25$-$35$	$21$	$30$	$0$	$0$
$35$-$45$	$23$	$40$	$10$	$230$
$45$-$55$	$14$	$50$	$20$	$280$
$55$-$65$	$5$	$60$	$30$	$150$
કુલ	$80$	-	-	$430$

કોષ્ટક પરથી,$\Sigma f_{i} = 80$ અને $\Sigma f_{i} d_{i} = 430$ મળે છે.
મધ્યક,$\bar{x} = a + \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}} = 30 + \frac{430}{80} = 30 + 5.375 = 35.375 \simeq 35.38$.
દર્દીઓની સરેરાશ ઉંમર $35.38 \text{ વર્ષ}$ છે. આ દર્શાવે છે કે હોસ્પિટલમાં દાખલ થયેલા દર્દીની સરેરાશ ઉંમર $35.38 \text{ વર્ષ}$ હતી.
અહીં મહત્તમ વર્ગ આવૃત્તિ $23$ છે,જે વર્ગ અંતરાલ $35-45$ માં આવે છે.
બહુલક વર્ગ $= 35-45$,અધઃ સીમા $(l) = 35$,વર્ગ લંબાઈ $(h) = 10$,આવૃત્તિ $(f_1) = 23$,આવૃત્તિ $(f_0) = 21$,આવૃત્તિ $(f_2) = 14$.
બહુલક $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h = 35 + \left( \frac{23 - 21}{2(23) - 21 - 14} \right) \times 10 = 35 + \left( \frac{2}{46 - 35} \right) \times 10 = 35 + \frac{20}{11} = 35 + 1.81 = 36.81$.
બહુલક $36.81$ છે. આ દર્શાવે છે કે હોસ્પિટલમાં દાખલ થયેલા મહત્તમ દર્દીઓની ઉંમર $36.81 \text{ વર્ષ}$ હતી.

(A) ઉપર આપેલા ડેટા પરથી,તે જોઈ શકાય છે કે મહત્તમ વર્ગ આવૃત્તિ $61$ છે,જે વર્ગ અંતરાલ $60-80$ માં આવે છે.
તેથી,બહુલક વર્ગ $= 60-80$ છે.
બહુલક વર્ગની અધઃસીમા $(l) = 60$.
બહુલક વર્ગની આવૃત્તિ $(f_1) = 61$.
બહુલક વર્ગની આગળના વર્ગની આવૃત્તિ $(f_0) = 52$.
બહુલક વર્ગની પાછળના વર્ગની આવૃત્તિ $(f_2) = 38$.
વર્ગ લંબાઈ $(h) = 20$.
બહુલક શોધવાનું સૂત્ર:
$\text{બહુલક} = l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$
$= 60 + \left( \frac{61 - 52}{2(61) - 52 - 38} \right) \times 20$
$= 60 + \left( \frac{9}{122 - 90} \right) \times 20$
$= 60 + \left( \frac{9}{32} \right) \times 20$
$= 60 + \frac{180}{32} = 60 + 5.625 = 65.625$.
તેથી,વિદ્યુત ઘટકોનું બહુલક આયુષ્ય $65.625 \text{ કલાક}$ છે.

(N/A) આપેલ ડેટા પરથી જોઈ શકાય છે કે મહત્તમ વર્ગ આવૃત્તિ $40$ છે,જે $1500-2000$ અંતરાલમાં આવે છે.
તેથી,બહુલક વર્ગ $= 1500-2000$.
બહુલક વર્ગની અધઃસીમા $(l) = 1500$.
બહુલક વર્ગની આવૃત્તિ $(f_1) = 40$.
બહુલક વર્ગના આગળના વર્ગની આવૃત્તિ $(f_0) = 24$.
બહુલક વર્ગના પાછળના વર્ગની આવૃત્તિ $(f_2) = 33$.
વર્ગ લંબાઈ $(h) = 500$.
બહુલક $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$
$= 1500 + \left( \frac{40 - 24}{2(40) - 24 - 33} \right) \times 500 = 1500 + \frac{8000}{23} \approx 1847.83$.
આમ,બહુલક માસિક ખર્ચ રૂ. $1847.83$ છે.
મધ્યક શોધવા માટે,આપણે પદ-વિચલન રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
મધ્યક $(\bar{x}) = a + h \times \left( \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \right)$
$a = 2750$ અને $h = 500$ લેતા,$\sum f_i u_i = -35$ અને $\sum f_i = 200$ મળે છે.
મધ્યક $= 2750 + 500 \times \left( \frac{-35}{200} \right) = 2750 - 87.5 = 2662.5$.
આમ,સરેરાશ માસિક ખર્ચ રૂ. $2662.5$ છે.

(N/A) આપેલ માહિતી પરથી જોઈ શકાય છે કે મહત્તમ વર્ગ આવૃત્તિ $10$ છે જે વર્ગ અંતરાલ $30-35$ માં આવે છે.
તેથી,બહુલક વર્ગ $= 30-35$.
વર્ગ લંબાઈ $(h) = 5$.
બહુલક વર્ગની અધઃસીમા $(l) = 30$.
બહુલક વર્ગની આવૃત્તિ $(f_1) = 10$.
બહુલક વર્ગના આગળના વર્ગની આવૃત્તિ $(f_0) = 9$.
બહુલક વર્ગના પાછળના વર્ગની આવૃત્તિ $(f_2) = 3$.
બહુલક $= l + \left(\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2}\right) \times h = 30 + \left(\frac{10 - 9}{2(10) - 9 - 3}\right) \times 5 = 30 + \left(\frac{1}{8}\right) \times 5 = 30 + 0.625 = 30.625$.
બહુલક $\approx 30.6$.
આ દર્શાવે છે કે મોટાભાગના રાજ્યો/કેન્દ્રશાસિત પ્રદેશોમાં શિક્ષક-વિદ્યાર્થી ગુણોત્તર આશરે $30.6$ છે.
મધ્યક શોધવા માટે,આપણે પદ-વિચલનની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
મધ્યક $\bar{x} = a + \left(\frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}\right) \times h$.
ધારેલ મધ્યક $a = 32.5$ અને $h = 5$ લેતા,$\sum f_i u_i = -23$ અને $\sum f_i = 35$ મળે છે.
મધ્યક $\bar{x} = 32.5 + \left(\frac{-23}{35}\right) \times 5 = 32.5 - \frac{23}{7} = 32.5 - 3.2857 \approx 29.21$.
તેથી,માહિતીનો મધ્યક આશરે $29.2$ છે.

(D) આપેલ માહિતી પરથી,મહત્તમ વર્ગ આવૃત્તિ $18$ છે,જે વર્ગ અંતરાલ $4000-5000$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,બહુલક વર્ગ $4000-5000$ છે.
બહુલક વર્ગની અધઃસીમા $(l) = 4000$.
બહુલક વર્ગની આવૃત્તિ $(f_1) = 18$.
બહુલક વર્ગની આગળના વર્ગની આવૃત્તિ $(f_0) = 4$.
બહુલક વર્ગની પાછળના વર્ગની આવૃત્તિ $(f_2) = 9$.
વર્ગ લંબાઈ $(h) = 1000$.
બહુલક શોધવાનું સૂત્ર:
$\text{બહુલક} = l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$
કિંમતો મૂકતા:
$\text{બહુલક} = 4000 + \left( \frac{18 - 4}{2(18) - 4 - 9} \right) \times 1000$
$\text{બહુલક} = 4000 + \left( \frac{14}{36 - 13} \right) \times 1000$
$\text{બહુલક} = 4000 + \left( \frac{14}{23} \right) \times 1000$
$\text{બહુલક} = 4000 + \frac{14000}{23}$
$\text{બહુલક} = 4000 + 608.695...$
$\text{બહુલક} \approx 4608.7$
તેથી,આપેલ માહિતીનો બહુલક $4608.7$ રન છે.

(A) આપેલ માહિતી પરથી જોઈ શકાય છે કે મહત્તમ વર્ગ આવૃત્તિ $20$ છે, જે $40-50$ વર્ગ અંતરાલમાં આવે છે.
તેથી, બહુલક વર્ગ $= 40-50$.
બહુલક વર્ગની અધઃસીમા $(l) = 40$.
બહુલક વર્ગની આવૃત્તિ $(f_1) = 20$.
બહુલક વર્ગની આગળના વર્ગની આવૃત્તિ $(f_0) = 12$.
બહુલક વર્ગની પાછળના વર્ગની આવૃત્તિ $(f_2) = 11$.
વર્ગ લંબાઈ $(h) = 10$.
બહુલકના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{Mode} = l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$.
$\text{Mode} = 40 + \left( \frac{20 - 12}{2(20) - 12 - 11} \right) \times 10$.
$\text{Mode} = 40 + \left( \frac{8}{40 - 23} \right) \times 10$.
$\text{Mode} = 40 + \left( \frac{8}{17} \right) \times 10$.
$\text{Mode} = 40 + \frac{80}{17}$.
$\text{Mode} = 40 + 4.705 \approx 44.7$.
તેથી, આ માહિતીનો બહુલક $44.7$ કાર છે.

(B) મધ્યસ્થ ઊંચાઈની ગણતરી કરવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સંચયી આવૃત્તિ વિતરણને પ્રમાણિત આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટકમાં ફેરવીશું.

વર્ગ અંતરાલ	આવૃત્તિ $(f)$	સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$
$140$ થી ઓછી	$4$	$4$
$140-145$	$7$	$11$
$145-150$	$18$	$29$
$150-155$	$11$	$40$
$155-160$	$6$	$46$
$160-165$	$5$	$51$

અહીં,$n = 51$. તેથી,$\frac{n}{2} = \frac{51}{2} = 25.5$.
$25.5$ થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ $29$ છે,જે વર્ગ અંતરાલ $145-150$ ને અનુરૂપ છે. આમ,મધ્યસ્થ વર્ગ $145-150$ છે.
અહીં,$l = 145$,$cf = 11$,$f = 18$,અને $h = 5$ છે.
મધ્યસ્થનું સૂત્ર વાપરતા: $\text{મધ્યસ્થ} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{મધ્યસ્થ} = 145 + \left( \frac{25.5 - 11}{18} \right) \times 5$
$\text{મધ્યસ્થ} = 145 + \left( \frac{14.5}{18} \right) \times 5 = 145 + \frac{72.5}{18} = 145 + 4.027... \approx 149.03 \ cm$.

(X=9, Y=15) સૌ પ્રથમ,આપણે સંચયી આવૃત્તિ કોષ્ટક બનાવીએ:

વર્ગ અંતરાલ	આવૃત્તિ	સંચયી આવૃત્તિ
$0-100$	$2$	$2$
$100-200$	$5$	$7$
$200-300$	$x$	$7+x$
$300-400$	$12$	$19+x$
$400-500$	$17$	$36+x$
$500-600$	$20$	$56+x$
$600-700$	$y$	$56+x+y$
$700-800$	$9$	$65+x+y$
$800-900$	$7$	$72+x+y$
$900-1000$	$4$	$76+x+y$

આપેલ છે કે કુલ આવૃત્તિ $n = 100$,તેથી:
$76 + x + y = 100 \implies x + y = 24$ ........... $(1)$
મધ્યસ્થ $525$ છે,જે $500-600$ વર્ગમાં આવે છે. તેથી,$l = 500$,$f = 20$,$cf = 36 + x$,અને $h = 100$.
મધ્યસ્થના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{મધ્યસ્થ} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$525 = 500 + \left( \frac{50 - (36 + x)}{20} \right) \times 100$
$25 = (14 - x) \times 5$
$5 = 14 - x$
$x = 9$
સમીકરણ $(1)$ માં $x = 9$ મૂકતા:
$9 + y = 24 \implies y = 15$.
આમ,$x = 9$ અને $y = 15$ મળે છે.

(N/A) $1$. મધ્યક: પદ-વિચલનની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$\bar{x} = a + h \left( \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \right)$. અહીં $a = 135, h = 20, \sum f_i u_i = 7, \sum f_i = 68$ લેતા,$\bar{x} = 135 + 20 \left( \frac{7}{68} \right) = 135 + 2.06 = 137.06$.
$2$. બહુલક: બહુલક વર્ગ $125-145$ છે $(f_1=20, f_0=13, f_2=14)$. બહુલક $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h = 125 + \left( \frac{20 - 13}{40 - 13 - 14} \right) \times 20 = 125 + \left( \frac{7}{13} \right) \times 20 = 125 + 10.77 = 135.77$.
$3$. મધ્યસ્થ: $n=68, n/2=34$. સંચયી આવૃત્તિ કોષ્ટક મુજબ મધ્યસ્થ વર્ગ $125-145$ છે. મધ્યસ્થ $= l + \left( \frac{n/2 - cf}{f} \right) \times h = 125 + \left( \frac{34 - 22}{20} \right) \times 20 = 125 + 12 = 137$. આમ,મધ્યક $\approx$ મધ્યસ્થ $\approx$ બહુલક.

(A) આપેલ માહિતી માટે સંચયી આવૃત્તિ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:

વર્ગ અંતરાલ	આવૃત્તિ	સંચયી આવૃત્તિ
$0-10$	$5$	$5$
$10-20$	$x$	$5+x$
$20-30$	$20$	$25+x$
$30-40$	$15$	$40+x$
$40-50$	$y$	$40+x+y$
$50-60$	$5$	$45+x+y$

કોષ્ટક પરથી,કુલ આવૃત્તિ $n = 60$ છે.
તેથી,$45+x+y = 60 \implies x+y = 15 \dots (1)$.
મધ્યસ્થ $28.5$ છે,જે વર્ગ અંતરાલ $20-30$ માં આવે છે.
તેથી,મધ્યસ્થ વર્ગ $20-30$ છે.
અધઃસીમા $(l) = 20$,આવૃત્તિ $(f) = 20$,મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ $(cf) = 5+x$,અને વર્ગ લંબાઈ $(h) = 10$.
મધ્યસ્થના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{મધ્યસ્થ} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$.
$28.5 = 20 + \left( \frac{30 - (5+x)}{20} \right) \times 10$.
$8.5 = \frac{25-x}{2}$.
$17 = 25 - x \implies x = 8$.
સમીકરણ $(1)$ માં $x=8$ મૂકતા: $8+y = 15 \implies y = 7$.
આમ,$x = 8$ અને $y = 7$ છે.

(B) આપેલ માહિતી 'થી ઓછી' પ્રકારના સંચયી આવૃત્તિ વિતરણના સ્વરૂપમાં છે. આપણે તેને સૌ પ્રથમ વર્ગ અંતરાલ અને તેમની આવૃત્તિમાં ફેરવીશું.

ઉંમર (વર્ષમાં)	આવૃત્તિ $(f_i)$	સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$
$18-20$	$2$	$2$
$20-25$	$6-2=4$	$6$
$25-30$	$24-6=18$	$24$
$30-35$	$45-24=21$	$45$
$35-40$	$78-45=33$	$78$
$40-45$	$89-78=11$	$89$
$45-50$	$92-89=3$	$92$
$50-55$	$98-92=6$	$98$
$55-60$	$100-98=2$	$100$

અહીં,$n = 100$,તેથી $\frac{n}{2} = 50$.
$50$ થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ $78$ છે,જે વર્ગ અંતરાલ $35-40$ ને અનુરૂપ છે.
આમ,મધ્યસ્થ વર્ગ $35-40$ છે.
અધઃસીમા $(l)$ $= 35$,વર્ગ લંબાઈ $(h)$ $= 5$,મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ $(f)$ $= 33$,અને મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$ $= 45$.
મધ્યસ્થનું સૂત્ર વાપરતા: $\text{મધ્યસ્થ} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{મધ્યસ્થ} = 35 + \left( \frac{50 - 45}{33} \right) \times 5$
$\text{મધ્યસ્થ} = 35 + \left( \frac{5}{33} \right) \times 5 = 35 + \frac{25}{33} \approx 35 + 0.76 = 35.76$.
તેથી,મધ્યસ્થ ઉંમર $35.76$ વર્ષ છે.

(C) આપેલ માહિતીમાં વર્ગ અંતરાલ સતત નથી. બે વર્ગ વચ્ચેનો તફાવત $1$ છે,તેથી દરેક વર્ગની અધઃસીમામાંથી $0.5$ બાદ કરતા અને ઉર્ધ્વસીમામાં $0.5$ ઉમેરતા વર્ગ અંતરાલ સતત બને છે.
સતત વર્ગ અંતરાલ અને સંચયી આવૃત્તિ નીચે મુજબ છે:

લંબાઈ (mm માં)	આવૃત્તિ $(f_i)$	સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$
$117.5-126.5$	$3$	$3$
$126.5-135.5$	$5$	$8$
$135.5-144.5$	$9$	$17$
$144.5-153.5$	$12$	$29$
$153.5-162.5$	$5$	$34$
$162.5-171.5$	$4$	$38$
$171.5-180.5$	$2$	$40$

અહીં $n = 40$,તેથી $\frac{n}{2} = 20$. $20$ થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ $29$ છે,જે વર્ગ $144.5-153.5$ ને અનુરૂપ છે.
મધ્યસ્થ વર્ગ $= 144.5-153.5$,અધઃસીમા $(l)$ $= 144.5$,વર્ગ લંબાઈ $(h)$ $= 9$,આવૃત્તિ $(f)$ $= 12$,અને મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$ $= 17$.
મધ્યસ્થનું સૂત્ર: $\text{Median} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{Median} = 144.5 + \left( \frac{20 - 17}{12} \right) \times 9 = 144.5 + \left( \frac{3}{12} \right) \times 9 = 144.5 + 2.25 = 146.75$.
આમ,પાંદડાઓની મધ્યસ્થ લંબાઈ $146.75 \text{ mm}$ છે.

(D) સંચયી આવૃત્તિઓ નીચે મુજબ છે:

આયુષ્ય	લેમ્પની સંખ્યા $(f_i)$	સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$
$1500-2000$	$14$	$14$
$2000-2500$	$56$	$70$
$2500-3000$	$60$	$130$
$3000-3500$	$86$	$216$
$3500-4000$	$74$	$290$
$4000-4500$	$62$	$352$
$4500-5000$	$48$	$400$

અહીં,$n = 400$,તેથી $\frac{n}{2} = 200$.
$200$ થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ $216$ છે,જે વર્ગ અંતરાલ $3000-3500$ ને અનુરૂપ છે.
આમ,મધ્યસ્થ વર્ગ $3000-3500$ છે.
મધ્યસ્થ વર્ગની અધઃસીમા $(l)$ = $3000$.
મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ $(f)$ = $86$.
મધ્યસ્થ વર્ગના આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$ = $130$.
વર્ગ લંબાઈ $(h)$ = $500$.
મધ્યસ્થનું સૂત્ર: $\text{Median} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{Median} = 3000 + \left( \frac{200 - 130}{86} \right) \times 500$
$\text{Median} = 3000 + \left( \frac{70}{86} \right) \times 500$
$\text{Median} = 3000 + \frac{35000}{86} \approx 3000 + 406.98 = 3406.98$.
તેથી,લેમ્પનું મધ્યસ્થ આયુષ્ય $3406.98 \text{ કલાક}$ છે.

(N/A) સંચયી આવૃત્તિઓ નીચે મુજબ છે:

અક્ષરોની સંખ્યા	આવૃત્તિ $(f)$	સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$
$1-4$	$6$	$6$
$4-7$	$30$	$36$
$7-10$	$40$	$76$
$10-13$	$16$	$92$
$13-16$	$4$	$96$
$16-19$	$4$	$100$

$1$. મધ્યસ્થ: $n=100$,તેથી $n/2 = 50$. $50$ થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ $76$ છે,જે વર્ગ $7-10$ ને અનુરૂપ છે.
મધ્યસ્થ $= l + [(\frac{n}{2} - cf) / f] \times h = 7 + [(50 - 36) / 40] \times 3 = 7 + (14/40) \times 3 = 7 + 1.05 = 8.05$.
$2$. મધ્યક: ધારેલા મધ્યક $a = 11.5$ અને $h = 3$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x_i$ (મધ્યબિંદુઓ) શોધીએ છીએ: $2.5, 5.5, 8.5, 11.5, 14.5, 17.5$.
$u_i = (x_i - 11.5)/3$: $-3, -2, -1, 0, 1, 2$.
$f_i u_i$: $-18, -60, -40, 0, 4, 8$. સરવાળો $\sum f_i u_i = -106$.
મધ્યક $= a + h \times (\sum f_i u_i / \sum f_i) = 11.5 + 3 \times (-106/100) = 11.5 - 3.18 = 8.32$.
$3$. બહુલક: બહુલક વર્ગ $7-10$ છે (મહત્તમ આવૃત્તિ $40$).
બહુલક $= l + [(f_1 - f_0) / (2f_1 - f_0 - f_2)] \times h = 7 + [(40 - 30) / (80 - 30 - 16)] \times 3 = 7 + (10/34) \times 3 = 7 + 0.88 = 7.88$.

(C) સંચયી આવૃત્તિઓ અને તેમના વર્ગ અંતરાલો નીચે મુજબ છે:

વજન (kg માં)	આવૃત્તિ $(f_i)$	સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$
$40-45$	$2$	$2$
$45-50$	$3$	$5$
$50-55$	$8$	$13$
$55-60$	$6$	$19$
$60-65$	$6$	$25$
$65-70$	$3$	$28$
$70-75$	$2$	$30$

કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $n = 30$.
આપણે $\frac{n}{2} = \frac{30}{2} = 15$ ગણીએ છીએ.
$15$ થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ $19$ છે,જે વર્ગ અંતરાલ $55-60$ ને અનુરૂપ છે.
આમ,મધ્યસ્થ વર્ગ $55-60$ છે.
મધ્યસ્થ વર્ગની અધઃસીમા $(l)$ = $55$.
મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ $(f)$ = $6$.
મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$ = $13$.
વર્ગ લંબાઈ $(h)$ = $5$.
મધ્યસ્થનું સૂત્ર વાપરતા: $\text{મધ્યસ્થ} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$.
$\text{મધ્યસ્થ} = 55 + \left( \frac{15 - 13}{6} \right) \times 5$.
$\text{મધ્યસ્થ} = 55 + \left( \frac{2}{6} \right) \times 5 = 55 + \frac{10}{6} = 55 + 1.67 = 56.67$.
તેથી,વિદ્યાર્થીઓનું મધ્યસ્થ વજન $56.67 \text{ kg}$ છે.

(17.5) 'થી વધુ' પ્રકારનો ઓજીવ દોરવા માટે,આપણે આલેખ પર બિંદુઓ $(5, 30), (10, 28), (15, 16), (20, 14), (25, 10), (30, 7),$ અને $(35, 3)$ ને આલેખીએ છીએ,જ્યાં આડી ધરી નફાની નીચલી સીમાઓ દર્શાવે છે અને ઊભી ધરી સંચયી આવૃત્તિ દર્શાવે છે. આપણે આ બિંદુઓને એક સરળ વક્ર દ્વારા જોડીએ છીએ.
આગળ,આપણે આપેલ ડેટાને આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટકમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ:

વર્ગો	$5-10$	$10-15$	$15-20$	$20-25$	$25-30$	$30-35$	$35-40$
દુકાનોની સંખ્યા	$2$	$12$	$2$	$4$	$3$	$4$	$3$
સંચયી આવૃત્તિ	$2$	$14$	$16$	$20$	$23$	$27$	$30$

'થી ઓછો' પ્રકારનો ઓજીવ દોરવા માટે,આપણે તે જ અક્ષો પર બિંદુઓ $(10, 2), (15, 14), (20, 16), (25, 20), (30, 23), (35, 27),$ અને $(40, 30)$ ને આલેખીએ છીએ.
બંને ઓજીવના છેદબિંદુનો $x$-યામ (abscissa) મધ્યસ્થ આપે છે. આલેખ પરથી,છેદબિંદુ $x = 17.5$ પર છે. તેથી,મધ્યસ્થ નફો $Rs. 17.5$ લાખ છે.

(N/A) 'થી ઓછા' પ્રકારનું સંચયી આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:

દૈનિક આવક (રૂપિયામાં) (વર્ગની ઉર્ધ્વ સીમા)	સંચયી આવૃત્તિ
$120$ થી ઓછી	$12$
$140$ થી ઓછી	$12 + 14 = 26$
$160$ થી ઓછી	$26 + 8 = 34$
$180$ થી ઓછી	$34 + 6 = 40$
$200$ થી ઓછી	$40 + 10 = 50$

$x$-અક્ષ પર વર્ગ અંતરાલની ઉર્ધ્વ સીમાઓ અને $y$-અક્ષ પર તેમની સંબંધિત સંચયી આવૃત્તિઓ લઈને,બિંદુઓ $(120, 12), (140, 26), (160, 34), (180, 40),$ અને $(200, 50)$ ને આલેખપત્ર પર દર્શાવીને તેમને એક વક્ર દ્વારા જોડતા ઓજીવ મળે છે.

(N/A) આપેલ 'થી ઓછા' પ્રકારનું સંચયી આવૃત્તિ વિતરણ નીચે મુજબ છે:

વજન (kg માં) (વર્ગની ઉર્ધ્વ સીમા)	વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા (સંચયી આવૃત્તિ)
$38$ થી ઓછું	$0$
$40$ થી ઓછું	$3$
$42$ થી ઓછું	$5$
$44$ થી ઓછું	$9$
$46$ થી ઓછું	$14$
$48$ થી ઓછું	$28$
$50$ થી ઓછું	$32$
$52$ થી ઓછું	$35$

$x$-અક્ષ પર વર્ગની ઉર્ધ્વ સીમાઓ અને $y$-અક્ષ પર તેમની સંબંધિત સંચયી આવૃત્તિઓ લઈને,ઓજીવ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ દોરી શકાય છે.
અહીં,$n = 35$.
તેથી,$\frac{n}{2} = 17.5$.
વક્ર પર બિંદુ $A$ અંકિત કરો જેનો $y$-યામ $17.5$ છે. આ બિંદુને અનુરૂપ $x$-યામ $46.5$ છે. તેથી,આ માહિતીનો મધ્યસ્થ $46.5$ છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ચકાસવા માટે,આપણે પહેલા વર્ગ અંતરાલ અને તેમની આવૃત્તિઓ નક્કી કરીએ છીએ:

વજન (kg માં)	આવૃત્તિ $(f)$	સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$
$38-40$	$3-0=3$	$3$
$40-42$	$5-3=2$	$5$
$42-44$	$9-5=4$	$9$
$44-46$	$14-9=5$	$14$
$46-48$	$28-14=14$	$28$
$48-50$	$32-28=4$	$32$
$50-52$	$35-32=3$	$35$

$\frac{n}{2} = 17.5$ થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ $28$ છે,જે વર્ગ અંતરાલ $46-48$ માં આવે છે.
મધ્યસ્થ વર્ગ $= 46-48$.
મધ્યસ્થ વર્ગની અધઃસીમા $(l) = 46$.
મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ $(f) = 14$.
મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ $(cf) = 14$.
વર્ગ લંબાઈ $(h) = 2$.
મધ્યસ્થના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\text{મધ્યસ્થ} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$= 46 + \left( \frac{17.5 - 14}{14} \right) \times 2$
$= 46 + \left( \frac{3.5}{14} \right) \times 2$
$= 46 + \frac{7}{14} = 46 + 0.5 = 46.5$.
આમ,પરિણામ ચકાસાયેલ છે.

(N/A) 'થી વધુ પ્રકારના' સંચયી આવૃત્તિ વિતરણ નીચે મુજબ મેળવી શકાય છે:

ઉત્પાદન (વર્ગની અધઃસીમા)	સંચયી આવૃત્તિ
$50$ કે તેથી વધુ	$100$
$55$ કે તેથી વધુ	$100 - 2 = 98$
$60$ કે તેથી વધુ	$98 - 8 = 90$
$65$ કે તેથી વધુ	$90 - 12 = 78$
$70$ કે તેથી વધુ	$78 - 24 = 54$
$75$ કે તેથી વધુ	$54 - 38 = 16$

આલેખપત્ર પર બિંદુઓ $(50, 100), (55, 98), (60, 90), (65, 78), (70, 54), (75, 16)$ ને આલેખતા,જેમાં $x$-અક્ષ પર વર્ગની અધઃસીમા અને $y$-અક્ષ પર તેમની અનુરૂપ સંચયી આવૃત્તિ લેતા,આપણને 'થી વધુ પ્રકારનો' ઓજીવ મળે છે.