Mix Examples - Real Numbers Questions in Gujarati

$(1)$ $k=1$ માટે,$10^{1}+1=11$. યુક્લિડની ભાગવિધિના પ્રમેય મુજબ,$11 = 11 \times 1 + 0$. તેથી,ભાગફળ $1$ છે અને શેષ $0$ છે.
$(2)$ $k=2$ માટે,$10^{2}+1=101$. યુક્લિડની ભાગવિધિના પ્રમેય મુજબ,$101 = 11 \times 9 + 2$. તેથી,ભાગફળ $9$ છે અને શેષ $2$ છે.
$(3)$ $k=3$ માટે,$10^{3}+1=1001$. યુક્લિડની ભાગવિધિના પ્રમેય મુજબ,$1001 = 11 \times 91 + 0$. તેથી,ભાગફળ $91$ છે અને શેષ $0$ છે.
$(4)$ $k=4$ માટે,$10^{4}+1=10001$. યુક્લિડની ભાગવિધિના પ્રમેય મુજબ,$10001 = 11 \times 909 + 2$. તેથી,ભાગફળ $909$ છે અને શેષ $2$ છે.
$(5)$ $k=5$ માટે,$10^{5}+1=100001$. યુક્લિડની ભાગવિધિના પ્રમેય મુજબ,$100001 = 11 \times 9091 + 0$. તેથી,ભાગફળ $9091$ છે અને શેષ $0$ છે.

કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ ને કોઈ પૂર્ણાંક $q \ge 0$ માટે $3q, 3q+1,$ અથવા $3q+2$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે.
કિસ્સો $1$: જો $n = 3q$ હોય,તો $n$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે. આ કિસ્સામાં,$n+2 = 3q+2$ (શેષ $2$) અને $n+4 = 3q+4 = 3(q+1)+1$ (શેષ $1$). આમ,માત્ર $n$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
કિસ્સો $2$: જો $n = 3q+1$ હોય,તો $n+2 = (3q+1)+2 = 3q+3 = 3(q+1)$,જે $3$ વડે વિભાજ્ય છે. આ કિસ્સામાં,$n = 3q+1$ (શેષ $1$) અને $n+4 = 3q+5 = 3(q+1)+2$ (શેષ $2$). આમ,માત્ર $n+2$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
કિસ્સો $3$: જો $n = 3q+2$ હોય,તો $n+4 = (3q+2)+4 = 3q+6 = 3(q+2)$,જે $3$ વડે વિભાજ્ય છે. આ કિસ્સામાં,$n = 3q+2$ (શેષ $2$) અને $n+2 = 3q+4 = 3(q+1)+1$ (શેષ $1$). આમ,માત્ર $n+4$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
નિષ્કર્ષ: તમામ શક્ય કિસ્સાઓમાં,$n, n+2, n+4$ માંથી બરાબર એક જ સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય છે.

(N/A) ધારો કે બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકો $n$ અને $n+1$ છે,જ્યાં $n$ એક ધન પૂર્ણાંક છે.
તેમનો ગુણાકાર $P = n(n+1) = n^2 + n$ છે.
આપણે $n$ માટે બે કિસ્સાઓ વિચારી શકીએ:
કિસ્સો $1$: જો $n$ બેકી સંખ્યા હોય,તો $n = 2k$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે. તેથી,$P = 2k(2k+1) = 2(2k^2 + k)$,જે સ્પષ્ટપણે $2$ વડે વિભાજ્ય છે.
કિસ્સો $2$: જો $n$ એકી સંખ્યા હોય,તો $n = 2k+1$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે. તેથી,$P = (2k+1)(2k+1+1) = (2k+1)(2k+2) = 2(2k+1)(k+1)$,જે પણ $2$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,બંને કિસ્સાઓમાં ગુણાકાર $2$ વડે વિભાજ્ય હોવાથી,કોઈપણ બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર હંમેશા $2$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.

(N/A) ધારો કે $a$ એ કોઈપણ ધન એકી પૂર્ણાંક છે. યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $a$ અને $b=6$ માટે,અનન્ય પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ એવા મળે કે જેથી $a = 6q + r$,જ્યાં $0 \le r < 6$.
અહીં $r$ ની કિંમત $0, 1, 2, 3, 4, 5$ હોઈ શકે છે,તેથી $a$ ના શક્ય સ્વરૂપો $6q, 6q+1, 6q+2, 6q+3, 6q+4$ અને $6q+5$ છે.
જો $a = 6q, 6q+2$ અથવા $6q+4$ હોય,તો $a$ બેકી સંખ્યા છે કારણ કે તે $2$ વડે વિભાજ્ય છે (દા.ત.,$6q = 2(3q)$).
આપેલ છે કે $a$ એકી પૂર્ણાંક છે,તેથી તે $6q, 6q+2$ અથવા $6q+4$ સ્વરૂપમાં ન હોઈ શકે.
તેથી,કોઈપણ ધન એકી પૂર્ણાંક $6q+1, 6q+3$ અથવા $6q+5$ સ્વરૂપમાં જ હોય. $q$ ને $m$ વડે બદલતા,આપણે $6m+1, 6m+3$ અથવા $6m+5$ સ્વરૂપ મેળવીએ છીએ.

(N/A) ધારો કે $a$ કોઈ પણ પૂર્ણાંક છે. યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ પૂર્ણાંક $a$ અને ભાજક $b=3$ માટે,અનન્ય પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ એવા મળે કે જેથી $a = 3q + r$,જ્યાં $0 \le r < 3$ થાય.
આમ,$r$ ની શક્ય કિંમતો $0, 1, 2$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $r = 0$ હોય,તો $a = 3q$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2 = (3q)^2 = 9q^2 = 3(3q^2)$. ધારો કે $m = 3q^2$,તો $a^2 = 3m$ મળે.
કિસ્સો $2$: જો $r = 1$ હોય,તો $a = 3q + 1$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2 = (3q + 1)^2 = 9q^2 + 6q + 1 = 3(3q^2 + 2q) + 1$. ધારો કે $m = 3q^2 + 2q$,તો $a^2 = 3m + 1$ મળે.
કિસ્સો $3$: જો $r = 2$ હોય,તો $a = 3q + 2$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2 = (3q + 2)^2 = 9q^2 + 12q + 4 = 9q^2 + 12q + 3 + 1 = 3(3q^2 + 4q + 1) + 1$. ધારો કે $m = 3q^2 + 4q + 1$,તો $a^2 = 3m + 1$ મળે.
આમ,દરેક કિસ્સામાં પૂર્ણાંકનો વર્ગ $3m$ અથવા $3m+1$ સ્વરૂપમાં હોય છે.

(A) ધારો કે $a$ કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક છે. યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,આપણે $a$ ને $a = 3q + r$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ,જ્યાં $r \in \{0, 1, 2\}$ અને $q \ge 0$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $r = 0$ હોય,તો $a = 3q$. બંને બાજુ ઘન કરતા,$a^3 = (3q)^3 = 27q^3 = 9(3q^3) = 9m$,જ્યાં $m = 3q^3$ છે.
કિસ્સો $2$: જો $r = 1$ હોય,તો $a = 3q + 1$. બંને બાજુ ઘન કરતા,$a^3 = (3q + 1)^3 = 27q^3 + 27q^2 + 9q + 1 = 9(3q^3 + 3q^2 + q) + 1 = 9m + 1$,જ્યાં $m = 3q^3 + 3q^2 + q$ છે.
કિસ્સો $3$: જો $r = 2$ હોય,તો $a = 3q + 2$. બંને બાજુ ઘન કરતા,$a^3 = (3q + 2)^3 = 27q^3 + 54q^2 + 36q + 8 = 9(3q^3 + 6q^2 + 4q) + 8 = 9m + 8$,જ્યાં $m = 3q^3 + 6q^2 + 4q$ છે.
આમ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકનો ઘન $9m$,$9m+1$ અથવા $9m+8$ સ્વરૂપમાં હોય છે.

ધારો કે $a$ અને $b$ એ બે એકી ધન પૂર્ણાંકો છે,તેથી આપણે તેમને $a = 2m + 1$ અને $b = 2n + 1$ તરીકે દર્શાવી શકીએ,જ્યાં $m$ અને $n$ એ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે અને $m > n$ છે.
હવે,સરવાળો લઈએ: $\frac{a+b}{2} = \frac{(2m+1) + (2n+1)}{2} = \frac{2m + 2n + 2}{2} = m + n + 1$.
ત્યારબાદ,તફાવત લઈએ: $\frac{a-b}{2} = \frac{(2m+1) - (2n+1)}{2} = \frac{2m - 2n}{2} = m - n$.
ધારો કે $S = m + n + 1$ અને $D = m - n$.
આ બંને પરિણામો વચ્ચેનો તફાવત લઈએ: $S - D = (m + n + 1) - (m - n) = 2n + 1$.
$2n + 1$ એ એકી સંખ્યા હોવાથી,$S$ અને $D$ વચ્ચેનો તફાવત એકી છે.
જો બે પૂર્ણાંકો વચ્ચેનો તફાવત એકી હોય,તો તેમાંથી એક સંખ્યા બેકી અને બીજી એકી હોવી જ જોઈએ.
તેથી,$\frac{a+b}{2}$ અને $\frac{a-b}{2}$ પૈકી એક સંખ્યા એકી અને બીજી બેકી છે.

ધારો કે $a$ એક એકી ધન પૂર્ણાંક છે. યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $a$ ને $a = 4q + r$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $r \in \{0, 1, 2, 3\}$ છે.
$a$ એકી હોવાથી,$r$ ની કિંમત $1$ અથવા $3$ હોવી જોઈએ.
કિસ્સો $1$: જો $a = 4q + 1$ હોય,તો $a^2 = (4q + 1)^2 = 16q^2 + 8q + 1 = 8(2q^2 + q) + 1$. ધારો કે $m = 2q^2 + q$,તો $a^2 = 8m + 1$.
કિસ્સો $2$: જો $a = 4q + 3$ હોય,તો $a^2 = (4q + 3)^2 = 16q^2 + 24q + 9 = 16q^2 + 24q + 8 + 1 = 8(2q^2 + 3q + 1) + 1$. ધારો કે $m = 2q^2 + 3q + 1$,તો $a^2 = 8m + 1$.
બંને કિસ્સાઓમાં,એકી ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ $8m + 1$ સ્વરૂપમાં મળે છે.

(A) આપેલ છે કે ધન પૂર્ણાંક $6m + 5$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $m$ એક પૂર્ણાંક છે.
આપણે $6m + 5$ પદાવલિને $6m + 3 + 2$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
પ્રથમ બે પદોમાંથી $3$ સામાન્ય લેતા,આપણને $3(2m + 1) + 2$ મળે છે.
ધારો કે $n = 2m + 1$. કારણ કે $m$ એક પૂર્ણાંક છે,તેથી $n$ પણ એક પૂર્ણાંક છે.
આ પદાવલિમાં $n$ મૂકતા,આપણને $3n + 2$ મળે છે.
આમ,$6m + 5$ સ્વરૂપનો કોઈપણ પૂર્ણાંક $3n + 2$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે.

(N/A) આપણે પદાવલિ $n^{3}-n$ ના અવયવો નીચે મુજબ પાડી શકીએ છીએ:
$n^{3}-n = n(n^{2}-1) = n(n-1)(n+1) = (n-1)n(n+1)$.
આ પદાવલિ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર દર્શાવે છે.
કોઈપણ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોના સમૂહમાં,ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા બેકી (એટલે કે $2$ વડે વિભાજ્ય) હોય છે અને બરાબર એક સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
આ ગુણાકારમાં $2$ અને $3$ બંનેનો અવયવ હોવાથી,સમગ્ર ગુણાકાર $2 \times 3 = 6$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
તેથી,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $n^{3}-n$ એ $6$ વડે વિભાજ્ય છે.

(N/A) ધારો કે $a$ અને $b$ બે અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંકો છે. કોઈપણ અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંકને કોઈ પૂર્ણાંક $n$ માટે $2n + 1$ અથવા $2n - 1$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે.
ધારો કે $a = 2m + 1$ અને $b = 2n + 1$ છે,જ્યાં $m$ અને $n$ પૂર્ણાંકો છે.
તેથી,$a^{2} = (2m + 1)^{2} = 4m^{2} + 4m + 1 = 4(m^{2} + m) + 1$.
તે જ રીતે,$b^{2} = (2n + 1)^{2} = 4n^{2} + 4n + 1 = 4(n^{2} + n) + 1$.
હવે,$a^{2} + b^{2} = [4(m^{2} + m) + 1] + [4(n^{2} + n) + 1] = 4(m^{2} + m + n^{2} + n) + 2$.
ધારો કે $k = m^{2} + m + n^{2} + n$. તો $a^{2} + b^{2} = 4k + 2$.
કારણ કે $a^{2} + b^{2} = 2(2k + 1)$,તે સ્પષ્ટપણે એક યુગ્મ સંખ્યા છે.
જો કે,જ્યારે $4k + 2$ ને $4$ વડે ભાગવામાં આવે,ત્યારે શેષ $2$ વધે છે. તેથી,$a^{2} + b^{2}$ એ $4$ વડે વિભાજ્ય નથી.

(B) અહીં,$210 > 55$ છે.
યુક્લિડની ભાગવિધિનું પૂર્વપ્રમેય $a = bq + r$ લાગુ પાડતા:
$210 = 55 \times 3 + 45$
$55 = 45 \times 1 + 10$
$45 = 10 \times 4 + 5$
$10 = 5 \times 2 + 0$
અહીં શેષ $0$ મળે છે,તેથી આ તબક્કે ભાજક એ ગુ.સા.અ. છે.
તેથી,$g.c.d.(210, 55) = 5$ થાય.

(A) ધારો કે દરેક થપ્પીમાં રહેલી બરફીની સંખ્યા $d$ છે.
દરેક થપ્પીમાં સમાન સંખ્યામાં બરફી હોવી જોઈએ,તેથી $d$ એ $420$ અને $130$ નો સામાન્ય અવયવ હોવો જોઈએ.
ટ્રેમાં ઓછામાં ઓછી જગ્યા રોકવા માટે,થપ્પીઓની સંખ્યા ન્યૂનતમ હોવી જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે દરેક થપ્પીમાં બરફીની સંખ્યા $(d)$ એ $420$ અને $130$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(GCD)$ હોવો જોઈએ.
યુક્લિડની ભાગવિધિનો ઉપયોગ કરતા:
$420 = 130 \times 3 + 30$
$130 = 30 \times 4 + 10$
$30 = 10 \times 3 + 0$
છેલ્લો શૂન્યતર ભાજક $10$ છે.
તેથી,$GCD(420, 130) = 10$.
આમ,દરેક થપ્પીમાં વધુમાં વધુ $10$ બરફી રાખી શકાય છે.

(A) દરેક થપ્પીની ઊંચાઈ સમાન રહે અને થપ્પીઓની સંખ્યા ન્યૂનતમ થાય (જેથી સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ન્યૂનતમ થાય) તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે અંગ્રેજી પુસ્તકો $(56)$ અને ગુજરાતી પુસ્તકો $(72)$ ની સંખ્યાનો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ ($GCD$ અથવા ગુ.સા.અ.) શોધવો પડશે.
પગલું $1$: $56$ અને $72$ ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધો.
$56 = 2^3 \times 7$
$72 = 2^3 \times 3^2$
પગલું $2$: $GCD$ એ સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવોની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે.
$GCD(56, 72) = 2^3 = 8$.
તેથી,દરેક થપ્પીમાં મૂકી શકાય તેવા પુસ્તકોની મહત્તમ સંખ્યા $8$ છે.

(A) યુક્લિડની ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીને $12576$ અને $4052$ નો ગુ.સા.અ. શોધવા માટે,આપણે નીચેના પગલાં અનુસરીએ છીએ:
પગલું $1$: $12576 > 4052$ હોવાથી,આપણે $12576$ અને $4052$ માટે યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરીએ:
$12576 = 4052 \times 3 + 420$
પગલું $2$: શેષ $420 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $4052$ અને $420$ માટે પૂર્વપ્રમેય વાપરીએ:
$4052 = 420 \times 9 + 272$
પગલું $3$: શેષ $272 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $420$ અને $272$ માટે પૂર્વપ્રમેય વાપરીએ:
$420 = 272 \times 1 + 148$
પગલું $4$: શેષ $148 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $272$ અને $148$ માટે પૂર્વપ્રમેય વાપરીએ:
$272 = 148 \times 1 + 124$
પગલું $5$: શેષ $124 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $148$ અને $124$ માટે પૂર્વપ્રમેય વાપરીએ:
$148 = 124 \times 1 + 24$
પગલું $6$: શેષ $24 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $124$ અને $24$ માટે પૂર્વપ્રમેય વાપરીએ:
$124 = 24 \times 5 + 4$
પગલું $7$: શેષ $4 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $24$ અને $4$ માટે પૂર્વપ્રમેય વાપરીએ:
$24 = 4 \times 6 + 0$
હવે શેષ $0$ હોવાથી,આ તબક્કે ભાજક એ ગુ.સા.અ. છે.
તેથી,$12576$ અને $4052$ નો ગુ.સા.અ. $4$ છે.

(B) યુક્લિડની ભાગવિધિનો ઉપયોગ કરીને $81$ અને $237$ નો ગુ.સા.અ. શોધવા માટે,આપણે નીચેના પગલાં અનુસરીએ છીએ:
પગલું $1$: $237$ અને $81$ માટે યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરતા $(237 > 81)$:
$237 = 81 \times 2 + 75$
પગલું $2$: $81$ અને $75$ માટે પ્રમેય વાપરતા:
$81 = 75 \times 1 + 6$
પગલું $3$: $75$ અને $6$ માટે પ્રમેય વાપરતા:
$75 = 6 \times 12 + 3$
પગલું $4$: $6$ અને $3$ માટે પ્રમેય વાપરતા:
$6 = 3 \times 2 + 0$
અહીં શેષ $0$ હોવાથી,આ તબક્કે ભાજક એ ગુ.સા.અ. છે.
તેથી,$81$ અને $237$ નો ગુ.સા.અ. $3$ છે.

(C) યુક્લિડની ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીને $117$ અને $65$ નો ગુ.સા.અ. શોધવા માટે,આપણે નીચેના પગલાં અનુસરીએ છીએ:
પગલું $1$: $117 > 65$ હોવાથી,આપણે $117$ અને $65$ માટે યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરીએ:
$117 = 65 \times 1 + 52$
પગલું $2$: શેષ $52 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $65$ અને $52$ માટે પૂર્વપ્રમેય વાપરીએ:
$65 = 52 \times 1 + 13$
પગલું $3$: શેષ $13 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $52$ અને $13$ માટે પૂર્વપ્રમેય વાપરીએ:
$52 = 13 \times 4 + 0$
અહીં શેષ $0$ મળે છે,તેથી આ તબક્કે ભાજક એ ગુ.સા.અ. છે.
આમ,$117$ અને $65$ નો ગુ.સા.અ. $13$ છે.

(D) યુક્લિડની ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીને $240$ અને $6552$ નો ગુ.સા.અ. શોધવા માટે,આપણે નીચેના પગલાં અનુસરીએ છીએ:
પગલું $1$: $6552$ અને $240$ માટે યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરતા:
$6552 = 240 \times 27 + 72$
પગલું $2$: $240$ અને $72$ માટે પૂર્વપ્રમેય વાપરતા:
$240 = 72 \times 3 + 24$
પગલું $3$: $72$ અને $24$ માટે પૂર્વપ્રમેય વાપરતા:
$72 = 24 \times 3 + 0$
અહીં શેષ $0$ હોવાથી,આ તબક્કે ભાજક એ ગુ.સા.અ. છે.
તેથી,$240$ અને $6552$ નો ગુ.સા.અ. $24$ છે.

(A) $155$ અને $1385$ નો ગુ.સા.અ. યુક્લિડની ભાગવિધિ દ્વારા શોધવા માટે નીચેના પગલાં અનુસરો:
પગલું $1$: $1385$ અને $155$ માટે યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરતા:
$1385 = 155 \times 8 + 145$
પગલું $2$: $155$ અને $145$ માટે પૂર્વપ્રમેય વાપરતા:
$155 = 145 \times 1 + 10$
પગલું $3$: $145$ અને $10$ માટે પૂર્વપ્રમેય વાપરતા:
$145 = 10 \times 14 + 5$
પગલું $4$: $10$ અને $5$ માટે પૂર્વપ્રમેય વાપરતા:
$10 = 5 \times 2 + 0$
અહીં શેષ $0$ હોવાથી,આ તબક્કે ભાજક એ ગુ.સા.અ. છે.
તેથી,$155$ અને $1385$ નો ગુ.સા.અ. $5$ છે.

(B) યુક્લિડની ભાગવિધિનો ઉપયોગ કરીને $75$ અને $243$ નો ગુ.સા.અ. શોધવા માટે,આપણે $a = bq + r$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $0 \le r < b$ છે.
પગલું $1$: $243$ ને $75$ વડે ભાગતા:
$243 = 75 \times 3 + 18$
પગલું $2$: $75$ ને $18$ વડે ભાગતા:
$75 = 18 \times 4 + 3$
પગલું $3$: $18$ ને $3$ વડે ભાગતા:
$18 = 3 \times 6 + 0$
અહીં શેષ $0$ મળે છે,તેથી આ તબક્કે ભાજક એ ગુ.સા.અ. છે.
આમ,$75$ અને $243$ નો ગુ.સા.અ. $3$ છે.

(C) $245$ અને $1029$ ને ભાગતા દરેક કિસ્સામાં $5$ શેષ વધે તેવી સૌથી મોટી સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે પહેલા બંને સંખ્યાઓમાંથી શેષ બાદ કરીશું:
$245 - 5 = 240$
$1029 - 5 = 1024$
હવે,આપણે $240$ અને $1024$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.) શોધવો પડશે.
$240$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $2^4 \times 3 \times 5$
$1024$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $2^{10}$
ગુ.સા.અ. એ સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવોની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$\text{ગુ}.\text{સા}.\text{અ}.(240, 1024) = 2^4 = 16$.
તેથી,સૌથી મોટી સંખ્યા $16$ છે.

(D) $2053$ અને $967$ ને ભાગતા અનુક્રમે $5$ અને $7$ શેષ વધે તેવી સૌથી મોટી સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ આપેલી સંખ્યાઓમાંથી શેષ બાદ કરીશું.
$2053 - 5 = 2048$
$967 - 7 = 960$
હવે,આપણે $2048$ અને $960$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(HCF)$ શોધવાની જરૂર છે.
અવિભાજ્ય અવયવીકરણની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$2048 = 2^{11}$
$960 = 2^6 \times 3 \times 5$
$HCF$ એ સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવોની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$HCF = 2^6 = 64$
તેથી,સૌથી મોટી સંખ્યા $64$ છે.

(A) આપેલ સંખ્યાઓ $a = 96$ અને $b = 404$ છે.
પ્રથમ,$96$ અને $404$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો:
$96 = 2^5 \times 3$
$404 = 2^2 \times 101$
$g.c.d.(96, 404)$ એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$g.c.d.(96, 404) = 2^2 = 4$.
સૂત્ર $g.c.d.(a, b) \times l.c.m.(a, b) = a \times b$ નો ઉપયોગ કરતા:
$4 \times l.c.m.(96, 404) = 96 \times 404$
$l.c.m.(96, 404) = \frac{96 \times 404}{4}$
$l.c.m.(96, 404) = 96 \times 101 = 9696$.

(B) આપેલ ગુણધર્મ: $g.c.d. (a, b) \times l.c.m. (a, b) = a \times b$.
પ્રથમ,$26$ અને $91$ ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધો:
$26 = 2 \times 13$
$91 = 7 \times 13$
તેથી,$g.c.d. (26, 91) = 13$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $13 \times l.c.m. (26, 91) = 26 \times 91$.
$l.c.m. (26, 91) = \frac{26 \times 91}{13}$.
$l.c.m. (26, 91) = 2 \times 91 = 182$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $7 \times 11 \times 13 + 13$
$13$ સામાન્ય લેતા:
$= 13 \times (7 \times 11 + 1)$
$= 13 \times (77 + 1)$
$= 13 \times 78$
$= 13 \times (13 \times 6)$
$= 2 \times 3 \times 13^2 = 1014$
વિભાજ્ય સંખ્યા એ એવી ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા છે જેને $1$ અને તે સંખ્યા સિવાય ઓછામાં ઓછો એક અન્ય અવયવ હોય.
અહીં $1014$ ને અવિભાજ્ય અવયવો $(2, 3, 13)$ ના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી તે એક વિભાજ્ય સંખ્યા છે.

(N/A) જો $6^{n}$ નો અંતિમ અંક $0$ હોય,તો તે $10$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તે $2$ અને $5$ બંને વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
$6^{n}$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $(2 \times 3)^{n} = 2^{n} \times 3^{n}$ છે.
અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ સંખ્યાનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ અનન્ય હોય છે. $6^{n}$ ના અવિભાજ્ય અવયવો માત્ર $2$ અને $3$ છે.
$5$ એ $6^{n}$ નો અવિભાજ્ય અવયવ ન હોવાથી,$6^{n}$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય નથી.
તેથી,$6^{n}$ એ $10$ વડે વિભાજ્ય હોઈ શકે નહીં,જેનો અર્થ છે કે કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n \in N$ માટે $6^{n}$ નો અંતિમ અંક $0$ હોઈ શકે નહીં.

(N/A) ધારો કે,$\sqrt{3}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણે એવી પરસ્પર અવિભાજ્ય ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ શોધી શકીએ કે જેથી $\sqrt{3} = \frac{a}{b}$,જ્યાં $gcd(a, b) = 1$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $3 = \frac{a^2}{b^2}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $a^2 = 3b^2$ .......... $(1)$.
અહીં $3$ એ $a^2$ ને ભાગે છે,તેથી $3$ એ $a$ ને પણ ભાગશે (અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ).
ધારો કે $a = 3k$,જ્યાં $k$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
આ કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,$(3k)^2 = 3b^2$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $9k^2 = 3b^2$ અથવા $b^2 = 3k^2$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $3$ એ $b^2$ ને ભાગે છે,અને તેથી $3$ એ $b$ ને પણ ભાગશે.
આમ,$3$ એ $a$ અને $b$ બંનેનો સામાન્ય અવયવ છે,જે આપણી ધારણા $gcd(a, b) = 1$ નો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,આપણી ધારણા કે $\sqrt{3}$ સંમેય છે તે ખોટી છે.
આમ,$\sqrt{3}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) ધારો કે,વિરોધાભાસ માટે,$\sqrt[3]{6}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
ધારો કે $\sqrt[3]{6} = \frac{a}{b}$,જ્યાં $a, b \in N$ અને $g.c.d.(a, b) = 1$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 < 6 < 8$,તેથી $\sqrt[3]{1} < \sqrt[3]{6} < \sqrt[3]{8}$,જેનો અર્થ છે કે $1 < \frac{a}{b} < 2$.
આનો અર્થ એ છે કે $b > 1$,કારણ કે જો $b = 1$ હોય,તો $\frac{a}{b}$ એ પૂર્ણાંક સંખ્યા બને,પરંતુ $1$ અને $2$ ની વચ્ચે કોઈ પૂર્ણાંક સંખ્યા નથી.
બંને બાજુ ઘન કરતા,આપણને $6 = \frac{a^3}{b^3}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $6b^3 = a^3$.
કારણ કે $g.c.d.(a, b) = 1$,તેથી $g.c.d.(a^3, b^3) = 1$ થાય.
સમીકરણ $6b^3 = a^3$ પરથી,$b^3$ એ $a^3$ નો ભાજક હોવો જોઈએ. પરંતુ $g.c.d.(a^3, b^3) = 1$ હોવાથી,આ માત્ર ત્યારે જ શક્ય છે જો $b^3 = 1$ હોય,એટલે કે $b = 1$.
પરંતુ,આપણે અગાઉ સાબિત કર્યું છે કે $b > 1$. આ એક વિરોધાભાસ છે.
તેથી,આપણી ધારણા કે $\sqrt[3]{6}$ સંમેય છે તે ખોટી છે.
આમ,$\sqrt[3]{6}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) પ્રથમ,છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
ધારો કે,વિરોધાભાસ માટે,$\frac{\sqrt{2}}{2}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,એવા પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{b}$ થાય.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{2} = \frac{2a}{b}$.
અહીં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$\frac{2a}{b}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
આથી,$\sqrt{2}$ પણ એક સંમેય સંખ્યા સાબિત થાય છે.
પરંતુ,આ હકીકત એ જાણીતી બાબતનો વિરોધાભાસ કરે છે કે $\sqrt{2}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણી ધારણા કે $\frac{1}{\sqrt{2}}$ એ સંમેય છે તે ખોટી છે.
આમ,$\frac{1}{\sqrt{2}}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) ધારો કે $3+2 \sqrt{5}$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,એવી પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ મળે કે જેથી $3+2 \sqrt{5} = \frac{a}{b}$ થાય.
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતા,આપણને $2 \sqrt{5} = \frac{a}{b} - 3 = \frac{a-3b}{b}$ મળે.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\sqrt{5} = \frac{a-3b}{2b}$ મળે.
અહીં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$\frac{a-3b}{2b}$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{5}$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
પરંતુ,આ હકીકત એ વિરોધાભાસ છે કે $\sqrt{5}$ એક અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણી ધારણા કે $3+2 \sqrt{5}$ સંમેય છે તે ખોટી છે.
આમ,$3+2 \sqrt{5}$ એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(A) ધારો કે દરેક થપ્પીમાં પુસ્તકોની સંખ્યા $d$ છે.
દરેક થપ્પીની ઊંચાઈ સમાન હોવી જોઈએ અને પુસ્તકોની જાડાઈ સમાન હોવાથી,$d$ એ $96, 240$ અને $336$ નો સામાન્ય અવયવ હોવો જોઈએ.
થપ્પીઓની સંખ્યા ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે દરેક થપ્પીમાં પુસ્તકોની સંખ્યા $d$ મહત્તમ કરવી પડશે. તેથી,$d = \text{ગુ.સા.અ.}(96, 240, 336)$.
અવિભાજ્ય અવયવીકરણ:
$96 = 2^5 \times 3$
$240 = 2^4 \times 3 \times 5$
$336 = 2^4 \times 3 \times 7$
$\text{ગુ.સા.અ.}(96, 240, 336) = 2^4 \times 3 = 16 \times 3 = 48$.
આમ,દરેક થપ્પીમાં $48$ પુસ્તકો છે.
અંગ્રેજી પુસ્તકોની થપ્પીઓની સંખ્યા $= \frac{96}{48} = 2$.
હિન્દી પુસ્તકોની થપ્પીઓની સંખ્યા $= \frac{240}{48} = 5$.
ગણિતના પુસ્તકોની થપ્પીઓની સંખ્યા $= \frac{336}{48} = 7$.
તેથી,થપ્પીઓની સંખ્યા અનુક્રમે $2, 5$ અને $7$ છે.

(A) $156$ ને અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવવા માટે,આપણે તેનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીએ:
$156 = 2 \times 78$
$78 = 2 \times 39$
$39 = 3 \times 13$
આ અવયવોને જોડતા,આપણને મળે છે: $156 = 2 \times 2 \times 3 \times 13 = 2^{2} \times 3 \times 13$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) $96$ ને અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવવા માટે,આપણે અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીએ છીએ:
$96 = 2 \times 48$
$96 = 2 \times 2 \times 24$
$96 = 2 \times 2 \times 2 \times 12$
$96 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 6$
$96 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3$
આમ,$96 = 2^{5} \times 3$.

(C) $404$ ને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ગુણાકાર સ્વરૂપે દર્શાવવા માટે,આપણે તેનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીશું:
$404 = 2 \times 202$
$202 = 2 \times 101$
અહીં $101$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે,તેથી $404$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $2 \times 2 \times 101$ થાય,જેને $2^{2} \times 101$ તરીકે લખી શકાય છે.

(D) $5005$ ને અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવવા માટે,આપણે અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીએ છીએ:
$5005$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય છે: $5005 \div 5 = 1001$.
હવે,આપણે $1001$ નું અવયવીકરણ કરીએ. તે $2, 3$ કે $5$ વડે વિભાજ્ય નથી. $7$ માટે તપાસતા: $1001 \div 7 = 143$.
ત્યારબાદ,આપણે $143$ નું અવયવીકરણ કરીએ. તે $7$ વડે વિભાજ્ય નથી. $11$ માટે તપાસતા: $143 \div 11 = 13$.
$13$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવાથી,અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $5 \times 7 \times 11 \times 13$ થાય છે.

(A) $7429$ ને અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવવા માટે,આપણે અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીએ છીએ:
પગલું $1$: નાની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ વડે ભાગાકાર ચકાસો. $7429$ એ $2, 3, 5, 7, 11,$ કે $13$ વડે વિભાજ્ય નથી.
પગલું $2$: $17$ વડે ચકાસો: $7429 \div 17 = 437$.
પગલું $3$: $437$ ને $19$ વડે ભાગાકાર ચકાસો: $437 \div 19 = 23$.
પગલું $4$: $23$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવાથી,અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $17 \times 19 \times 23$ થાય છે.

(N/A) પગલું $1$: $96$ ના અવિભાજ્ય અવયવો:
$96 = 2^5 \times 3^1$
પગલું $2$: $404$ ના અવિભાજ્ય અવયવો:
$404 = 2^2 \times 101^1$
પગલું $3$: $\text{g.c.d.}$ (ગુ.સા.અ.) એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$\text{g.c.d.}(96, 404) = 2^2 = 4$
પગલું $4$: $\text{l.c.m.}$ (લ.સા.અ.) એ દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$\text{l.c.m.}(96, 404) = 2^5 \times 3^1 \times 101^1 = 32 \times 3 \times 101 = 9696$
આમ,$\text{g.c.d.}$ (ગુ.સા.અ.) $4$ છે અને $\text{l.c.m.}$ (લ.સા.અ.) $9696$ છે.

(N/A) પગલું $1$: સંખ્યાઓના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો:
$144 = 2^4 \times 3^2$
$180 = 2^2 \times 3^2 \times 5^1$
$192 = 2^6 \times 3^1$
પગલું $2$: $\text{g.c.d.}$ (ગુ.સા.અ.) શોધવા માટે,દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર કરો:
$\text{g.c.d.} = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12$
પગલું $3$: $\text{l.c.m.}$ (લ.સા.અ.) શોધવા માટે,દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર કરો:
$\text{l.c.m.} = 2^6 \times 3^2 \times 5^1 = 64 \times 9 \times 5 = 2880$

(N/A) અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને $\text{l.c.m.}$ અને $\text{g.c.d.}$ શોધવા માટે,આપણે પહેલા દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$84 = 2^2 \times 3^1 \times 7^1$
$90 = 2^1 \times 3^2 \times 5^1$
$120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$
$\text{g.c.d.}$ એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$\text{g.c.d.}(84, 90, 120) = 2^1 \times 3^1 = 6$
$\text{l.c.m.}$ એ સંખ્યાઓમાં રહેલા દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$\text{l.c.m.}(84, 90, 120) = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1 = 8 \times 9 \times 5 \times 7 = 2520$

(A) આપેલ સંખ્યાઓ $17$,$23$ અને $29$ છે.
કારણ કે $17$,$23$ અને $29$ ત્રણેય અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે,તેથી તેમનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ નીચે મુજબ છે:
$17 = 17^1 \times 1^1$
$23 = 23^1 \times 1^1$
$29 = 29^1 \times 1^1$
$\text{GCD}$ (ગુ.સા.અ.) એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે. અહીં,એકમાત્ર સામાન્ય અવયવ $1$ છે.
$\text{GCD}(17, 23, 29) = 1$
$\text{LCM}$ (લ.સા.અ.) એ સંખ્યાઓમાં રહેલા દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે.
$\text{LCM}(17, 23, 29) = 17 \times 23 \times 29$
$17 \times 23 = 391$
$391 \times 29 = 11339$
તેથી,$\text{LCM} = 11339$ અને $\text{GCD} = 1$.

(N/A) વિભાજ્ય સંખ્યા એ એવી ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા છે જેને $1$ અને તે સંખ્યા સિવાય ઓછામાં ઓછો એક અન્ય ભાજક હોય.
આપેલ પદાવલિ: $7 \times 11 \times 17 + 17$.
આપણે પદાવલિમાંથી $17$ સામાન્ય કાઢી શકીએ છીએ:
$7 \times 11 \times 17 + 17 = 17 \times (7 \times 11 + 1)$.
હવે,કૌંસની અંદરની પદાવલિનું સાદું રૂપ આપો:
$17 \times (77 + 1) = 17 \times 78$.
કારણ કે $78$ ને $2 \times 39$ અથવા $2 \times 3 \times 13$ તરીકે અવયવીકરણ કરી શકાય છે,તેથી પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$17 \times 2 \times 3 \times 13$.
આ સંખ્યાને $1$ અને તે સંખ્યા સિવાયના અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી તે એક વિભાજ્ય સંખ્યા છે.

(B) વિભાજ્ય સંખ્યા એ એવી ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા છે જેને $1$ અને તે સંખ્યા સિવાય ઓછામાં ઓછો એક અન્ય અવયવ હોય.
આપેલ પદાવલિ: $7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 + 5$.
આપણે પદાવલિમાંથી $5$ સામાન્ય કાઢી શકીએ છીએ:
$= 5 \times (7 \times 6 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 + 1)$
$= 5 \times (1008 + 1)$
$= 5 \times 1009$
આ સંખ્યાને બે અવયવો ($5$ અને $1009$) ના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જે બંને $1$ કરતા મોટા છે,તેથી તેને $1$ અને તે સંખ્યા સિવાયના અન્ય અવયવો છે.
તેથી,આપેલ સંખ્યા એક વિભાજ્ય સંખ્યા છે.

(N/A) કોઈપણ સંખ્યાનો અંત $0$ અંક સાથે થાય તે માટે,તેના અવિભાજ્ય અવયવોમાં $2$ અને $5$ હોવા જરૂરી છે.
$8$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^3$ છે.
તેથી,$8^n = (2^3)^n = 2^{3n}$ થાય.
$8^n$ ના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં માત્ર $2$ જ અવિભાજ્ય અવયવ છે.
$8^n$ ના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં $5$ નો સમાવેશ થતો ન હોવાથી,કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n \in N$ માટે $8^n$ નો અંત $0$ અંક સાથે થવો અશક્ય છે.

(N/A) કોઈપણ સંખ્યાનો અંત $0$ અંક સાથે થાય તે માટે તે સંખ્યા $10$ વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવોમાં ઓછામાં ઓછી એક જોડી $2$ અને $5$ ના અવિભાજ્ય અવયવો હોવા જોઈએ.
$21$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $3 \times 7$ છે.
તેથી,$21^{n}$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $(3 \times 7)^{n} = 3^{n} \times 7^{n}$ થાય.
$21^{n}$ ના અવિભાજ્ય અવયવોમાં માત્ર $3$ અને $7$ હોવાથી,તેમાં $2$ કે $5$ નો સમાવેશ થતો નથી.
$2$ અને $5$ ના અવિભાજ્ય અવયવો ગેરહાજર હોવાથી,$21^{n}$ એ $10$ વડે વિભાજ્ય નથી.
આમ,કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n \in N$ માટે $21^{n}$ નો અંત $0$ અંક સાથે થઈ શકે નહીં.

(N/A) $5^{n} \times 6^{n}$ શૂન્ય પર અંત પામે છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તપાસવું પડશે કે તે $10$ વડે વિભાજ્ય છે કે નહીં. જો કોઈ સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવોમાં ઓછામાં ઓછી એક જોડી $2$ અને $5$ ની હોય,તો તે સંખ્યા $10$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
આપેલ પદાવલિ: $5^{n} \times 6^{n}$.
આપણે $6^{n}$ ના અવયવો પાડી શકીએ: $(2 \times 3)^{n} = 2^{n} \times 3^{n}$.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા: $5^{n} \times 2^{n} \times 3^{n} = (2 \times 5)^{n} \times 3^{n} = 10^{n} \times 3^{n}$.
આ પદાવલિને $10^{n} \times 3^{n}$ તરીકે લખી શકાય છે,તેથી તે તમામ $n \in N$ માટે $10$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$5^{n} \times 6^{n}$ એ કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે હંમેશા શૂન્ય પર અંત પામે છે.

(B) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$\sqrt{7}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,એવા પરસ્પર અવિભાજ્ય ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $\sqrt{7} = \frac{a}{b}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $7 = \frac{a^2}{b^2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a^2 = 7b^2$.
આનો અર્થ એ છે કે $a^2$ એ $7$ વડે વિભાજ્ય છે,અને અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$a$ પણ $7$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
તેથી,આપણે કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે $a = 7k$ લખી શકીએ.
આ કિંમતને $a^2 = 7b^2$ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $(7k)^2 = 7b^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $49k^2 = 7b^2$ અથવા $b^2 = 7k^2$ મળે છે.
આ સૂચવે છે કે $b^2$ એ $7$ વડે વિભાજ્ય છે,અને તેથી $b$ પણ $7$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
આમ,$a$ અને $b$ બંને $7$ વડે વિભાજ્ય હોવાથી,તેમનો સામાન્ય અવયવ $7$ છે,જે આપણી ધારણા કે $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે તેનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,આપણી ધારણા કે $\sqrt{7}$ સંમેય છે તે ખોટી છે,અને $\sqrt{7}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$\sqrt{21}$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,બે પરસ્પર અવિભાજ્ય ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ એવા મળે કે જેથી $\sqrt{21} = \frac{a}{b}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $21 = \frac{a^2}{b^2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a^2 = 21b^2$.
આનો અર્થ એ છે કે $a^2$ એ $21$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી $a$ પણ $21$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ (કારણ કે $21$ એ બે ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $3$ અને $7$ નો ગુણાકાર છે).
ધારો કે $a = 21k$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $(21k)^2 = 21b^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $441k^2 = 21b^2$ અથવા $b^2 = 21k^2$ થાય છે.
આ સૂચવે છે કે $b^2$ એ $21$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી $b$ પણ $21$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
આમ,$a$ અને $b$ નો સામાન્ય અવયવ $21$ છે,જે આપણી ધારણા કે $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે તેનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે અને $\sqrt{21}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(B) ધારો કે $\sqrt{5}+1$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણે તેને $\sqrt{5}+1 = \frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં લખી શકીએ,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંકો છે અને $q \neq 0$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{5} = \frac{p}{q} - 1$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\sqrt{5} = \frac{p-q}{q}$ મળે છે.
જેમ કે $p$ અને $q$ પૂર્ણાંકો છે,તેથી $\frac{p-q}{q}$ એક સંમેય સંખ્યા હોવી જોઈએ.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{5}$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
જોકે,આ જાણીતી હકીકતનો વિરોધાભાસ કરે છે કે $\sqrt{5}$ એક અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણી પ્રાથમિક ધારણા ખોટી છે,અને $\sqrt{5}+1$ એક અસંમેય સંખ્યા જ હોવી જોઈએ.

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$\sqrt{3}+\sqrt{7}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે. ધારો કે $\sqrt{3}+\sqrt{7} = r$,જ્યાં $r$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે: $(\sqrt{3}+\sqrt{7})^2 = r^2$.
$3 + 7 + 2\sqrt{21} = r^2$.
$10 + 2\sqrt{21} = r^2$.
$2\sqrt{21} = r^2 - 10$.
$\sqrt{21} = \frac{r^2 - 10}{2}$.
જેમ કે $r$ એ સંમેય સંખ્યા છે,તેથી $r^2$ પણ એક સંમેય સંખ્યા છે. તેથી,$\frac{r^2 - 10}{2}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
આ સૂચવે છે કે $\sqrt{21}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
જોકે,આપણે જાણીએ છીએ કે $\sqrt{21}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે કારણ કે $21$ એ પૂર્ણ વર્ગ નથી.
આ આપણી ધારણા કે $\sqrt{3}+\sqrt{7}$ સંમેય છે તેનાથી વિરોધાભાસી છે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે,અને $\sqrt{3}+\sqrt{7}$ એ અસંમેય સંખ્યા જ હોવી જોઈએ.

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$3\sqrt{2}$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,એવા પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $3\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ થાય.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{2} = \frac{a}{3b}$ મળે છે.
અહીં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$\frac{a}{3b}$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{2}$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
પરંતુ,આ હકીકતનો વિરોધાભાસ કરે છે કે $\sqrt{2}$ એક અસંમેય સંખ્યા છે.
આથી,આપણી ધારણા કે $3\sqrt{2}$ સંમેય છે તે ખોટી છે.
તેથી,$3\sqrt{2}$ એક અસંમેય સંખ્યા છે.