Mix Examples - Real Numbers Questions in Gujarati

(N/A) કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો તપાસીએ છીએ.
જો $q = 2^n \times 5^m$ હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે,તો દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય છે.
અહીં,છેદ $343 = 7^3$ છે.
છેદના અવિભાજ્ય અવયવોમાં $2$ અથવા $5$ સિવાયનો અવયવ $(7)$ હોવાથી,સંમેય સંખ્યા $\frac{17}{343}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત નથી; તે અનંત આવૃત દશાંશ નિરૂપણ ધરાવે છે.

(A) કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેના અતિસંક્ષિપ્ત રૂપમાં છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો તપાસીએ છીએ.
સૌ પ્રથમ,અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{9}{30} = \frac{3 \times 3}{3 \times 10} = \frac{3}{10}$.
અહીં છેદ $10 = 2^1 \times 5^1$ છે.
છેદના અવિભાજ્ય અવયવો $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોવાથી (જ્યાં $n, m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે),આ સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.
દશાંશ નિરૂપણ શોધતા: $\frac{3}{10} = 0.3$.

(N/A) સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય છે જો છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
અહીં,$q = 256 = 2^8$.
છેદ $2^n \times 5^m$ (જ્યાં $n=8, m=0$) સ્વરૂપમાં હોવાથી,સંમેય સંખ્યા $\frac{19}{256}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.
દશાંશ નિરૂપણ શોધવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $5^8$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\frac{19}{2^8} \times \frac{5^8}{5^8} = \frac{19 \times 390625}{10^8} = \frac{7421875}{100000000} = 0.07421875$.

(B) ધારો કે વર્ગમૂળ $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $a + b + 2\sqrt{ab} = 8 + \sqrt{63}$ મળે છે.
સંમેય અને અસંમેય ભાગોની સરખામણી કરતા,$a + b = 8$ અને $2\sqrt{ab} = \sqrt{63}$ મળે છે.
બીજા સમીકરણનો વર્ગ કરતા,$4ab = 63$,તેથી $ab = \frac{63}{4}$.
હવે,$a$ અને $b$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - (a+b)t + ab = 0$ છે,એટલે કે $t^2 - 8t + \frac{63}{4} = 0$.
$4$ વડે ગુણતા,$4t^2 - 32t + 63 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$t = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 1008}}{8} = \frac{32 \pm 4}{8}$ મળે છે.
આમ,$t_1 = \frac{36}{8} = \frac{9}{2}$ અને $t_2 = \frac{28}{8} = \frac{7}{2}$.
તેથી વર્ગમૂળ $\sqrt{\frac{9}{2}} + \sqrt{\frac{7}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} = \frac{3 + \sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ થાય.
છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે અંશ અને છેદને $\sqrt{2}$ વડે ગુણતા,$\frac{(3 + \sqrt{7})\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{14}}{2}$ મળે છે.

(C) $6+\sqrt{35}$ નું વર્ગમૂળ શોધવા માટે,પદાવલિને પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે તેને $2$ વડે ગુણી અને ભાગતા:
$\sqrt{6+\sqrt{35}} = \sqrt{\frac{2(6+\sqrt{35})}{2}} = \sqrt{\frac{12+2\sqrt{35}}{2}}$
હવે,આપણને એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ જેનો સરવાળો $12$ અને ગુણાકાર $35$ થાય. આ સંખ્યાઓ $7$ અને $5$ છે.
તેથી,$12+2\sqrt{35} = 7+5+2\sqrt{7 \times 5} = (\sqrt{7})^2 + (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{7}\sqrt{5} = (\sqrt{7}+\sqrt{5})^2$.
આમ,$\sqrt{\frac{12+2\sqrt{35}}{2}} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને $\sqrt{2}$ વડે ગુણતા:
$\frac{(\sqrt{7}+\sqrt{5}) \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}+\sqrt{10}}{2}$.

(D) $56-24 \sqrt{5}$ નું વર્ગમૂળ શોધવા માટે,આપણે ધારીએ છીએ કે તે $(a-b\sqrt{c})^2 = a^2 + b^2c - 2ab\sqrt{c}$ સ્વરૂપમાં છે.
$56-24\sqrt{5}$ ની સરખામણી $a^2+b^2c - 2ab\sqrt{c}$ સાથે કરતા,આપણને $2ab\sqrt{c} = 24\sqrt{5}$ મળે છે.
ધારો કે $a=6$ અને $b\sqrt{c} = 2\sqrt{5}$ છે.
તો $a^2 + b^2c = 6^2 + (2\sqrt{5})^2 = 36 + 20 = 56$ થાય છે.
આ આપેલ પદાવલિ સાથે બંધ બેસે છે.
તેથી,$\sqrt{56-24\sqrt{5}} = 6-2\sqrt{5}$ થાય.

(A) $55-14 \sqrt{6}$ નું વર્ગમૂળ શોધવા માટે,આપણે ધારીએ કે તે $(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$ સ્વરૂપમાં છે.
આપણે પદાવલિને $55 - 2 \times 7 \times \sqrt{6}$ તરીકે લખી શકીએ.
ધારો કે $a = 7$ અને $b = \sqrt{6}$ છે.
તો $a^2 + b^2 = 7^2 + (\sqrt{6})^2 = 49 + 6 = 55$ થાય.
આ આપેલ પદાવલિ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,$55 - 14 \sqrt{6} = 7^2 + (\sqrt{6})^2 - 2(7)(\sqrt{6}) = (7-\sqrt{6})^2$.
આમ,વર્ગમૂળ $\sqrt{(7-\sqrt{6})^2} = 7-\sqrt{6}$ મળે છે.

(B) આ પદાવલિનું સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે દરેક પદનું સંમેયીકરણ કરીશું.
પ્રથમ પદ: $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{2}(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{5-3} = \frac{2(\sqrt{10}-\sqrt{6})}{2} = \sqrt{10}-\sqrt{6}$.
બીજું પદ: $\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{3}(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{5-2} = \frac{3(\sqrt{15}-\sqrt{6})}{3} = \sqrt{15}-\sqrt{6}$.
ત્રીજું પદ: $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{3-2} = \sqrt{15}-\sqrt{10}$.
હવે,આ કિંમતોને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$(\sqrt{10}-\sqrt{6}) - (\sqrt{15}-\sqrt{6}) + (\sqrt{15}-\sqrt{10})$
$= \sqrt{10} - \sqrt{6} - \sqrt{15} + \sqrt{6} + \sqrt{15} - \sqrt{10}$
$= 0$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\frac{3+\sqrt{6}}{17 \sqrt{3}-2 \sqrt{32}+3 \sqrt{18}-4 \sqrt{48}}$
છેદના પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$2 \sqrt{32} = 2 \sqrt{16 \times 2} = 2 \times 4 \sqrt{2} = 8 \sqrt{2}$
$3 \sqrt{18} = 3 \sqrt{9 \times 2} = 3 \times 3 \sqrt{2} = 9 \sqrt{2}$
$4 \sqrt{48} = 4 \sqrt{16 \times 3} = 4 \times 4 \sqrt{3} = 16 \sqrt{3}$
આ કિંમતો છેદમાં મૂકતા:
$17 \sqrt{3} - 8 \sqrt{2} + 9 \sqrt{2} - 16 \sqrt{3}$
સમાન પદોને સાથે લેતા:
$(17 \sqrt{3} - 16 \sqrt{3}) + (9 \sqrt{2} - 8 \sqrt{2}) = \sqrt{3} + \sqrt{2}$
હવે પદાવલિ આ મુજબ થશે: $\frac{3+\sqrt{6}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$
અંશના અવયવ પાડતા: $3 + \sqrt{6} = \sqrt{3} \times \sqrt{3} + \sqrt{3} \times \sqrt{2} = \sqrt{3}(\sqrt{3} + \sqrt{2})$
કિંમત મૂકતા: $\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3}$

(A) બંને બ્રાન્ડ માટે સમાન હોય તેવી ઓછામાં ઓછી ચોકલેટની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $24$ અને $15$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડશે.
$24$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $2^3 \times 3^1$.
$15$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $3^1 \times 5^1$.
$LCM(24, 15) = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 = 8 \times 3 \times 5 = 120$.
પ્રથમ બ્રાન્ડ માટે બોક્સની સંખ્યા શોધવા માટે ($24$ ચોકલેટ પ્રતિ પેક): $120 / 24 = 5$ બોક્સ.
બીજી બ્રાન્ડ માટે બોક્સની સંખ્યા શોધવા માટે ($15$ ચોકલેટ પ્રતિ પેક): $120 / 15 = 8$ બોક્સ.
તેથી,પ્રથમ પ્રકારના $5$ બોક્સ અને બીજા પ્રકારના $8$ બોક્સ ખરીદવા પડશે.

(A) એવી સૌથી મોટી સંખ્યા શોધવા માટે જે $615$ અને $963$ ને ભાગતા દરેક કિસ્સામાં $6$ શેષ વધે,આપણે પહેલા બંને સંખ્યાઓમાંથી શેષ બાદ કરીશું.
$615 - 6 = 609$
$963 - 6 = 957$
હવે,આપણે $609$ અને $957$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(HCF)$ શોધવો પડશે.
$609$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $3 \times 7 \times 29$
$957$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $3 \times 11 \times 29$
સામાન્ય અવયવો $3$ અને $29$ છે.
$HCF = 3 \times 29 = 87$.
તેથી,સૌથી મોટી સંખ્યા $87$ છે.

(B) $626$,$3127$ અને $15628$ ને ભાગતા અનુક્રમે $1$,$2$ અને $3$ શેષ વધે તેવી સૌથી મોટી સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે આપેલી સંખ્યાઓમાંથી તેમની શેષ બાદ કરીશું:
$626 - 1 = 625$
$3127 - 2 = 3125$
$15628 - 3 = 15625$
હવે,આપણે $625$,$3125$ અને $15625$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.) શોધવો પડશે.
$625$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $5^4$
$3125$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $5^5$
$15625$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $5^6$
ગુ.સા.અ. એ સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવોની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે,જે $5^4 = 625$ છે.
તેથી,સૌથી મોટી સંખ્યા $625$ છે.

(C) ત્રણેય પરિમાણો ($15\,m$,$12\,m$ અને $21\,m$) ને ચોકસાઈથી માપી શકે તેવા સૌથી લાંબા સળિયાની લંબાઈ શોધવા માટે,આપણે આ ત્રણ સંખ્યાઓનો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(HCF)$ શોધવો પડશે.
પગલું $1$: દરેક પરિમાણના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો:
$15 = 3 \times 5$
$12 = 2^2 \times 3$
$21 = 3 \times 7$
પગલું $2$: સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવો ઓળખો.
$15$,$12$ અને $21$ માં સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ માત્ર $3$ છે.
પગલું $3$: $HCF$ એ સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવોની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે.
$HCF(15, 12, 21) = 3$.
તેથી,પરિમાણોને ચોકસાઈથી માપી શકે તેવા સૌથી લાંબા સળિયાની લંબાઈ $3\,m$ છે.

(D) $15$,$55$ અને $99$ વડે ભાગી શકાય તેવી પાંચ અંકની સૌથી નાની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ આ સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડશે.
પગલું $1$: સંખ્યાઓનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ:
$15 = 3 \times 5$
$55 = 5 \times 11$
$99 = 3^2 \times 11$
પગલું $2$: દરેક અવિભાજ્ય અવયવની મહત્તમ ઘાત લઈને $LCM$ ની ગણતરી કરો:
$LCM(15, 55, 99) = 3^2 \times 5 \times 11 = 9 \times 5 \times 11 = 495$.
પગલું $3$: પાંચ અંકની સૌથી નાની સંખ્યા $10000$ છે.
$10000$ ને $495$ વડે ભાગતા:
$10000 \div 495 = 20.202...$
પગલું $4$: પાંચ અંકનો સૌથી નાનો ગુણક શોધવા માટે,આપણે તેના પછીનો પૂર્ણાંક ભાગફળ લઈએ છીએ,જે $21$ છે.
$495 \times 21 = 10395$.
આમ,$15$,$55$ અને $99$ વડે ભાગી શકાય તેવી પાંચ અંકની સૌથી નાની સંખ્યા $10395$ છે.

(A) ઘંટ ક્યારે એકસાથે વાગશે તે શોધવા માટે,આપણે $8$,$12$,$15$ અને $18$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડશે.
અવિભાજ્ય અવયવીકરણ:
$8 = 2^3$
$12 = 2^2 \times 3$
$15 = 3 \times 5$
$18 = 2 \times 3^2$
$LCM = 2^3 \times 3^2 \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = 360$ સેકન્ડ.
આનો અર્થ એ છે કે ઘંટ દર $360$ સેકન્ડે એકસાથે વાગે છે,જે $360 / 60 = 6$ મિનિટ થાય છે.
એક કલાકમાં ($60$ મિનિટ),તેઓ કેટલી વાર એકસાથે વાગશે તે $60 / 6 = 10$ વખત છે.
શરૂઆતની એક વખતને બાદ કરતાં,કુલ સંખ્યા $10$ રહે છે.

(B) ધારો કે બે ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n$ અને $n+1$ છે,જ્યાં $n \in \mathbb{N}$ છે.
$n$ અને $n+1$ નો કોઈપણ સામાન્ય અવયવ તેમના તફાવતને પણ ભાગી શકે છે.
તેમનો તફાવત $(n+1) - n = 1$ છે.
$1$ નો એકમાત્ર ધન અવયવ $1$ છે.
તેથી,$n$ અને $n+1$ નો ગુરૂત્તમ સામાન્ય અવયવ $(\text{g.c.d.})$ $1$ થાય છે.

(C) સૌ પ્રથમ,$289$ નું વર્ગમૂળ શોધો.
આપણે જાણીએ છીએ કે $17 \times 17 = 289$,તેથી $\sqrt{289} = 17$.
હવે,આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકો: $\sqrt{289} + 1 = 17 + 1 = 18$.
$18$ એ પૂર્ણ સંખ્યા હોવાથી,તે પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના ગણમાં આવે છે.
તેથી,$\sqrt{289} + 1$ એ એક પૂર્ણાંક છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,તેમના $\text{g.c.d.}$ (ગુ.સા.અ.) અને $\text{l.c.m.}$ (લ.સા.અ.) વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\text{g.c.d.}(a, b) \times \text{l.c.m.}(a, b) = a \times b$
અહીં આપેલ છે કે $\text{g.c.d.} = 18$ અને બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $(a \times b) = 6480$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$18 \times \text{l.c.m.} = 6480$
$\text{l.c.m.} = \frac{6480}{18}$
$\text{l.c.m.} = 360$
તેથી,બે સંખ્યાઓનો $\text{l.c.m.}$ $360$ છે.

(A) વ્યાખ્યા મુજબ,અવિભાજ્ય સંખ્યા એ $1$ કરતા મોટી પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે જેના $1$ અને તે સંખ્યા સિવાય અન્ય કોઈ ધન અવયવો નથી.
કારણ કે $k_{1}$ અને $k_{2}$ બે ભિન્ન અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો છે,તેથી તેમની વચ્ચે $1$ સિવાય કોઈ સામાન્ય અવયવ નથી.
કોઈપણ બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે,તેમનો $\text{H.C.F.}$ (ગુ.સા.અ.) અને $\text{L.C.M.}$ (લ.સા.અ.) વચ્ચેનો સંબંધ આ મુજબ છે: $a \times b = \text{H.C.F.}(a, b) \times \text{L.C.M.}(a, b)$.
અહીં $k_{1}$ અને $k_{2}$ ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોવાથી,તેમનો $\text{H.C.F.}(k_{1}, k_{2}) = 1$ થાય.
તેથી,$k_{1} \times k_{2} = 1 \times \text{L.C.M.}(k_{1}, k_{2})$.
આમ,$\text{L.C.M.}(k_{1}, k_{2}) = k_{1} k_{2}$ થાય.

(B) જો કોઈ સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક હોય અને $q \neq 0$ હોય,તો તે સંખ્યાને સંમેય સંખ્યા કહેવાય છે.
કોઈપણ શાંત દશાંશ અથવા અનંત આવૃત દશાંશ સંખ્યા એ સંમેય સંખ્યા હોય છે.
આપેલ સંખ્યા $2.031\overline{2}$ એ અનંત આવૃત દશાંશ છે કારણ કે અંક $2$ નું અનંત સુધી પુનરાવર્તન થાય છે.
તેથી,$2.031\overline{2}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.

(C) $24$ અને $63$ નો $\text{g.c.d.}$ (ગુરૂત્તમ સામાન્ય અવયવ) શોધવા માટે,આપણે બંને સંખ્યાઓના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$24 = 2^3 \times 3^1$
$63 = 3^2 \times 7^1$
$\text{g.c.d.}$ એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે.
અહીં સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ $3$ છે.
બંનેમાં $3$ ની સૌથી નાની ઘાત $3^1 = 3$ છે.
તેથી,$\text{g.c.d.}$ $(24, 63) = 3$.

(D) $36$ અને $94$ નો $\text{l.c.m.}$ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$36 = 2^2 \times 3^2$
$94 = 2 \times 47$
$\text{l.c.m.}$ એ સંખ્યાઓમાં રહેલા દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$\text{l.c.m.} = 2^2 \times 3^2 \times 47$
$\text{l.c.m.} = 4 \times 9 \times 47$
$\text{l.c.m.} = 36 \times 47 = 1692$

(A) $\sqrt{7+2 \sqrt{5}}$ પદને સરળ બનાવવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ શોધીએ કે જેથી $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 7 + 2\sqrt{5}$ થાય.
પદોની સરખામણી કરતા,આપણને $a^2 + b^2 = 7$ અને $2ab = 2\sqrt{5}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $ab = \sqrt{5}$.
જો આપણે $a = \sqrt{5}$ અને $b = 1$ લઈએ,તો $a^2 + b^2 = (\sqrt{5})^2 + (1)^2 = 5 + 1 = 6$ થાય.
અહીં $6 \neq 7$ હોવાથી,આ પદને $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ સ્વરૂપમાં સરળ બનાવી શકાતું નથી જ્યાં $a$ અને $b$ સંમેય સંખ્યાઓ હોય.
આમ,$\sqrt{7+2 \sqrt{5}}$ એ $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ સ્વરૂપની દ્વિપદી કરણી તરીકે અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.

(B) કોઈપણ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ કેટલા અંકો પછી શાંત થશે તે જાણવા માટે,આપણે છેદને $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ છીએ.
આપેલ પદ: $\frac{43}{2^{4} \times 5^{3}}$.
$2$ અને $5$ ના ઘાતાંક સમાન કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $5^1$ વડે ગુણીએ:
$\frac{43 \times 5^1}{2^{4} \times 5^{3} \times 5^1} = \frac{43 \times 5}{2^{4} \times 5^{4}} = \frac{215}{(2 \times 5)^{4}} = \frac{215}{10^4} = \frac{215}{10000} = 0.0215$.
આમ,દશાંશ નિરૂપણ $4$ અંકો પછી શાંત થાય છે.

(C) $\sqrt{8+4 \sqrt{3}}$ પદને સરળ બનાવવા માટે,આપણે તેને $\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ સ્વરૂપમાં લખી શકીએ.
સૌ પ્રથમ,પદને $\sqrt{8 + 2 \cdot 2 \sqrt{3}} = \sqrt{8 + 2 \sqrt{4 \cdot 3}} = \sqrt{8 + 2 \sqrt{12}}$ તરીકે ફરીથી લખો.
આપણને એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ છે જેનો સરવાળો $8$ અને ગુણાકાર $12$ થાય.
આ સંખ્યાઓ $6$ અને $2$ છે,કારણ કે $6+2=8$ અને $6 \times 2=12$.
તેથી,$\sqrt{8 + 2 \sqrt{12}} = \sqrt{6} + \sqrt{2}$.

(D) $12$ અને $40$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (g.c.d.) નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$12$ ના અવિભાજ્ય અવયવો: $12 = 2^2 \times 3^1$.
$40$ ના અવિભાજ્ય અવયવો: $40 = 2^3 \times 5^1$.
ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ એ સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવોની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે: $2^2 = 4$.
આપેલ સમીકરણ: $\text{g.c.d.}(12, 40) = 40 + 4x$.
કિંમત મૂકતા: $4 = 40 + 4x$.
બંને બાજુથી $40$ બાદ કરતા: $4 - 40 = 4x$.
$-36 = 4x$.
$4$ વડે ભાગતા: $x = -9$.

(A) અપૂર્ણાંક $\frac{6}{15}$ નું દશાંશ સ્વરૂપ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ અંશ અને છેદને તેમના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $3$ વડે ભાગીને અપૂર્ણાંકનું અતિસંક્ષિપ્ત રૂપ મેળવીએ.
$\frac{6 \div 3}{15 \div 3} = \frac{2}{5}$.
હવે,$\frac{2}{5}$ ને દશાંશમાં ફેરવવા માટે,આપણે અંશ અને છેદ બંનેને $2$ વડે ગુણીએ જેથી છેદ $10$ થાય:
$\frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10} = 0.4$.
તેથી,$\frac{6}{15}$ નું દશાંશ સ્વરૂપ $0.4$ છે.

(B) કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n \geq 1$ માટે,પદાવલિ $10^{n}$ ને $10 \times 10 \times 10 \times \dots \times 10$ ($n$ વખત) તરીકે લખી શકાય છે.
આમ,$10^{1} = 10$,$10^{2} = 100$,$10^{3} = 1000$ વગેરે,તે સ્પષ્ટ છે કે $10$ ની દરેક ઘાતનો છેલ્લો અંક $0$ હોય છે.
તેથી,$10^{n}$ નો છેલ્લો અંક $0$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,તેમના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(GCD)$ અને લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\text{GCD}(a, b) \times \text{LCM}(a, b) = a \times b$
આપેલ છે કે $a = 336$ અને $b = 52$.
સૌ પ્રથમ,$336$ અને $52$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીએ:
$336 = 2^4 \times 3 \times 7$
$52 = 2^2 \times 13$
તેથી,$\text{GCD}(336, 52) = 2^2 = 4$.
હવે,સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$4 \times \text{LCM}(336, 52) = 336 \times 52$
$\text{LCM}(336, 52) = \frac{336 \times 52}{4}$
$\text{LCM}(336, 52) = 84 \times 52 = 4368$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) $(3k+2)^2$ ને $3$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવા માટે,આપણે પદાવલિનું વિસ્તરણ કરીએ:
$(3k+2)^2 = (3k)^2 + 2(3k)(2) + 2^2$
$= 9k^2 + 12k + 4$
આપણે આને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$= 9k^2 + 12k + 3 + 1$
$= 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$
અહીં $3(3k^2 + 4k + 1)$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી જ્યારે આ પદાવલિને $3$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ $1$ વધે છે.

(A) $a - \sqrt{b}$ સ્વરૂપની પદાવલિનો સંમેયીકરણ અવયવ શોધવા માટે,આપણે તેને તેના અનુબદ્ધ (conjugate) $a + \sqrt{b}$ વડે ગુણીએ છીએ જેથી ગુણાકાર એક સંમેય સંખ્યા મળે.
આપેલ પદાવલિ $-2 - \sqrt{5}$ છે.
ધારો કે સંમેયીકરણ અવયવ $x$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(-2 - \sqrt{5}) \times (-2 + \sqrt{5}) = (-2)^2 - (\sqrt{5})^2$.
$= 4 - 5 = -1$.
અહીં $-1$ એ એક સંમેય સંખ્યા હોવાથી,$-2 + \sqrt{5}$ એ સંમેયીકરણ અવયવ છે.

(B) આપેલ સંખ્યા $0.123123123...$ ને $0.\overline{123}$ તરીકે લખી શકાય છે.
દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત અને આવૃત હોવાથી,તેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંકો છે અને $q \neq 0$.
ધારો કે $x = 0.123123...$ (સમીકરણ $1$).
બંને બાજુ $1000$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે $1000x = 123.123123...$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$1000x - x = 123.123123... - 0.123123...$
$999x = 123$
$x = \frac{123}{999} = \frac{41}{333}$.
આ સંખ્યાને બે પૂર્ણાંકોના ગુણોત્તર તરીકે દર્શાવી શકાતી હોવાથી,તે એક સંમેય સંખ્યા છે.

(C) $2^{9} \cdot 5^{135}$ પદાવલિનો છેલ્લો અંક શોધવા માટે,આપણે $2$ અને $5$ ના અવયવોને જૂથબદ્ધ કરીને પદાવલિને ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે $2 \cdot 5 = 10$.
આપણે $2^{9} \cdot 5^{135}$ ને $2^{9} \cdot 5^{9} \cdot 5^{126}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
આનું સાદું રૂપ $(2 \cdot 5)^{9} \cdot 5^{126} = 10^{9} \cdot 5^{126}$ થાય છે.
$10^{9}$ એ $9$ શૂન્યમાં અંત પામતી સંખ્યા છે,અને $5^{126}$ એ $5$ માં અંત પામતી સંખ્યા છે (કારણ કે $5$ ની કોઈપણ ઘાત $5$ માં જ અંત પામે છે),તેથી $10^{9} \cdot 5^{126}$ નો ગુણાકાર $9$ શૂન્યમાં અંત પામશે.
તેથી,પદાવલિનો છેલ્લો અંક $0$ છે.

(D) સંમેયીકરણ અવયવ એટલે એવી સંખ્યા કે જેને આપેલ અસંમેય સંખ્યા સાથે ગુણવાથી પરિણામ સંમેય સંખ્યા મળે.
$5 \sqrt{2}$ પદ માટે,અસંમેય ભાગ $\sqrt{2}$ છે.
$\sqrt{2}$ ને સંમેય બનાવવા માટે,આપણે તેને $\sqrt{2}$ વડે ગુણીએ છીએ કારણ કે $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$,જે એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,$5 \sqrt{2}$ નો સંમેયીકરણ અવયવ $\sqrt{2}$ છે.

(A) કરણી (surd) એટલે એવી અસંમેય સંખ્યા જે કોઈ સંમેય સંખ્યાનું મૂળ હોય,જેમ કે $\sqrt[n]{x}$,જ્યાં $x$ સંમેય સંખ્યા છે અને પરિણામ અસંમેય મળે છે.
$\pi$ એ ટ્રાન્સસેન્ડન્ટલ (transcendental) સંખ્યા છે. તે અસંમેય છે,પરંતુ તેને કોઈ પણ સંમેય સંખ્યાના $n$-ઘાત મૂળ તરીકે દર્શાવી શકાતી નથી. તેથી,$\pi$ એ એવી અસંમેય સંખ્યા છે જે કરણી નથી.
$\sqrt{16} = 4$,જે સંમેય સંખ્યા છે.
$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$,જે કરણી છે.
$3\sqrt{27} = 3 \times 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$,જે કરણી છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) બેઝુટનું તાદાત્મ્ય જણાવે છે કે કોઈપણ બે પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ (જે બંને શૂન્ય ન હોય) માટે,એવા પૂર્ણાંકો $x$ અને $y$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $ax + by = \text{gcd}(a, b)$ થાય,જ્યાં $\text{gcd}(a, b)$ એ $a$ અને $b$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.) છે.

(B) જો કોઈ પૂર્ણાંક $2$ વડે વિભાજ્ય ન હોય,તો તેને એકી પૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે.
યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ પૂર્ણાંક $a$ ને $a = bq + r$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $0 \le r < b$.
$2$ વડે વિભાજ્યતા માટે,આપણે $b = 2$ લઈએ છીએ.
આમ,$a = 2k + r$,જ્યાં $r$ ની કિંમત $0$ અથવા $1$ હોઈ શકે છે.
જો $r = 0$ હોય,તો $a = 2k$ થાય,જે બેકી પૂર્ણાંક છે.
જો $r = 1$ હોય,તો $a = 2k + 1$ થાય,જે એકી પૂર્ણાંક છે.
તેથી,દરેક એકી પૂર્ણાંક એ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે $2k + 1$ સ્વરૂપમાં હોય છે.

(D) $3k$ $(k \in Z)$ સ્વરૂપ એ $3$ ના ગુણકો દર્શાવે છે,જેમ કે $\ldots, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, 12, \ldots$.
આ $3$ ના ગુણકોમાં $1$ ઉમેરતા અથવા $1$ બાદ કરતા આપણને $3k + 1$ અથવા $3k - 1$ સ્વરૂપની સંખ્યાઓ મળે છે.
કારણ કે $3k$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી $3k \pm 1$ સ્વરૂપની કોઈપણ સંખ્યાને $3$ વડે ભાગતા શેષ $1$ અથવા $2$ વધે છે.
આથી,આ સંખ્યાઓ $3$ વડે વિભાજ્ય નથી.

(D) પદાવલિ $P(n) = n(n+1)(n+2)$ છે.
કારણ કે $n$ એ ધન બેકી પૂર્ણાંક છે,તેથી તેની સૌથી નાની કિંમત $n=2$ છે.
$n=2$ માટે,$P(2) = 2 \times 3 \times 4 = 24$.
$n=4$ માટે,$P(4) = 4 \times 5 \times 6 = 120$.
$n=6$ માટે,$P(6) = 6 \times 7 \times 8 = 336$.
આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $24$,$120$ અને $336$ એ તમામ $24$ વડે વિભાજ્ય છે.
સામાન્ય રીતે,ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર $n(n+1)(n+2)$ હંમેશા $3! = 6$ વડે વિભાજ્ય હોય છે. $n$ બેકી હોવાથી,અવયવોમાંથી એક $4$ નો ગુણક હશે અને બીજો બેકી સંખ્યા હશે,જે $8$ વડે વિભાજ્યતા સુનિશ્ચિત કરે છે. આમ,આ ગુણાકાર $6 \times 4 = 24$ વડે વિભાજ્ય છે.

(D) $115$ અને $25$ નો $L.C.M.$ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$115 = 5 \times 23$
$25 = 5 \times 5 = 5^2$
$L.C.M.$ એ સંખ્યાઓમાં રહેલા દરેક અવિભાજ્ય અવયવની મહત્તમ ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$L.C.M.(115, 25) = 5^2 \times 23$
$L.C.M.(115, 25) = 25 \times 23 = 575$

(C) $28$,$35$ અને $91$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.) શોધવા માટે,આપણે દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$28 = 2^2 \times 7$
$35 = 5 \times 7$
$91 = 7 \times 13$
ગુ.સા.અ. એ દરેક સંખ્યામાં રહેલા સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવોની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે.
અહીં,સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ માત્ર $7$ છે અને તેની સૌથી નાની ઘાત $7^1$ છે.
તેથી,ગુ.સા.અ. $(28, 35, 91) = 7$.

(B) કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ તેમના ગુ.સા.અ. ($G$.$C$.$D$.) અને લ.સા.અ. ($L$.$C$.$M$.) વચ્ચે એક સંબંધ છે.
ચોક્કસ રીતે,ગુ.સા.અ. $(a, b)$ અને લ.સા.અ. $(a, b)$ નો ગુણાકાર તે બે સંખ્યાઓના ગુણાકાર જેટલો થાય છે.
તેથી,$\text{G.C.D.}(a, b) \times \text{L.C.M.}(a, b) = a \times b = ab$.

(A) $15, 21$ અને $35$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવા માટે,આપણે પહેલા દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$15 = 3 \times 5$
$21 = 3 \times 7$
$35 = 5 \times 7$
$LCM$ એ દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$LCM(15, 21, 35) = 3^1 \times 5^1 \times 7^1 = 3 \times 5 \times 7 = 105$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) $40, 60$ અને $80$ નો લ.સા.અ. $(LCM)$ શોધવા માટે,આપણે દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$40 = 2^3 \times 5^1$
$60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1$
$80 = 2^4 \times 5^1$
લ.સા.અ. એ દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$LCM = 2^4 \times 3^1 \times 5^1$
$LCM = 16 \times 3 \times 5$
$LCM = 16 \times 15 = 240$

(D) $20, 30$ અને $40$ વડે ભાગતા $5$ શેષ વધે તેવી સૌથી નાની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે ભાજકોનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડે.
$LCM(20, 30, 40)$:
$20 = 2^2 \times 5$
$30 = 2 \times 3 \times 5$
$40 = 2^3 \times 5$
$LCM = 2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 3 \times 5 = 120$.
સંખ્યા $(LCM \times k) + \text{શેષ}$ ના સ્વરૂપમાં હોવી જોઈએ.
અહીં,$LCM = 120$ અને $\text{શેષ} = 5$ છે.
તેથી,સંખ્યા $= 120k + 5$.
$5$ કરતા મોટી સૌથી નાની ધન સંખ્યા માટે,આપણે $k = 1$ લઈએ.
સંખ્યા $= 120(1) + 5 = 125$.

(C) $24, 36$ અને $48$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી સૌથી નાની ધન સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે આ સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડશે.
પગલું $1$: દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો:
$24 = 2^3 \times 3^1$
$36 = 2^2 \times 3^2$
$48 = 2^4 \times 3^1$
પગલું $2$: $LCM$ એ સંખ્યાઓમાં રહેલા દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$LCM = 2^4 \times 3^2$
$LCM = 16 \times 9 = 144$
તેથી,જરૂરી સૌથી નાની સંખ્યા $144$ છે.

(D) $2$ થી $6$ સુધીની પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ $2, 3, 4, 5$ અને $6$ છે.
આ તમામ સંખ્યાઓ વડે ભાગી શકાય તેવી સૌથી નાની ધન સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $2, 3, 4, 5$ અને $6$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડે.
દરેક સંખ્યાનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ:
$2 = 2^1$
$3 = 3^1$
$4 = 2^2$
$5 = 5^1$
$6 = 2^1 \times 3^1$
દરેક અવિભાજ્ય અવયવની મહત્તમ ઘાત લેતા:
$LCM = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60$.
તેથી,$60$ એ $2, 3, 4, 5$ અને $6$ વડે ભાગી શકાય તેવી સૌથી નાની ધન સંખ્યા છે.

(B) $2$ થી $10$ સુધીની દરેક સંખ્યા વડે ભાગી શકાય તેવી સૌથી નાની ધન સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડે.
પ્રથમ,દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો લખીએ:
$2 = 2^1$
$3 = 3^1$
$4 = 2^2$
$5 = 5^1$
$6 = 2 \times 3$
$7 = 7^1$
$8 = 2^3$
$9 = 3^2$
$10 = 2 \times 5$
$LCM$ શોધવા માટે દરેક અવિભાજ્ય અવયવની મહત્તમ ઘાતનો ગુણાકાર કરીએ:
$LCM = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1$
$LCM = 8 \times 9 \times 5 \times 7$
$LCM = 72 \times 35 = 2520$.
આમ,$2$ થી $10$ સુધીની દરેક સંખ્યા વડે ભાગી શકાય તેવી સૌથી નાની ધન સંખ્યા $2520$ છે.

(C) સંખ્યાઓના મૂળભૂત ગુણધર્મ મુજબ,કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,તેમનો $\text{g.c.d.}$ (ગુ.સા.અ.) અને $\text{l.c.m.}$ (લ.સા.અ.) નો ગુણાકાર તે સંખ્યાઓના ગુણાકાર જેટલો થાય છે.
સૂત્ર: $\text{g.c.d.}(a, b) \times \text{l.c.m.}(a, b) = a \times b$.
અહીં,$a = 18$ અને $b = 24$ છે.
તેથી,$\text{g.c.d.}(18, 24) \times \text{l.c.m.}(18, 24) = 18 \times 24$.
ગુણાકાર કરતા: $18 \times 24 = 432$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ ના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (g.c.d.) અને લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી (l.c.m.) વચ્ચેનો મૂળભૂત સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\text{l.c.m.} (a, b) \times \text{g.c.d.} (a, b) = a \times b$
અહીં આપેલ છે કે $\text{g.c.d.} (a, b) = b$,તેથી આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{l.c.m.} (a, b) \times b = a \times b$
બંને બાજુ $b$ વડે ભાગતા (કારણ કે $b \in N$,$b \neq 0$):
$\text{l.c.m.} (a, b) = \frac{a \times b}{b} = a$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.