Mix Examples - Real Numbers Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે કે $\text{g.c.d.}(306, 657) = 9$ (કારણ કે $306 = 2 \times 3^2 \times 17$ અને $657 = 3^2 \times 73$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરતા,$\text{g.c.d.} = 3^2 = 9$ મળે છે).
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{g.c.d.}(a, b) \times \text{l.c.m.}(a, b) = a \times b$.
કિંમતો મૂકતા: $9 \times \text{l.c.m.}(306, 657) = 306 \times 657$.
$\text{l.c.m.}(306, 657) = \frac{306 \times 657}{9}$.
$\text{l.c.m.}(306, 657) = 34 \times 657 = 22338$.

(A) ધારો કે બે સંખ્યાઓનો $\text{g.c.d.} = x$ છે.
આપેલ છે કે $\text{l.c.m.}$ એ $\text{g.c.d.}$ કરતા $14$ ગણો છે,તેથી $\text{l.c.m.} = 14x$.
$\text{l.c.m.}$ અને $\text{g.c.d.}$ નો સરવાળો $600$ છે,તેથી $14x + x = 600$.
$15x = 600 \implies x = 40$.
આમ,$\text{g.c.d.} = 40$ અને $\text{l.c.m.} = 14 \times 40 = 560$.
આપણે જાણીએ છીએ કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે,$\text{l.c.m.} \times \text{g.c.d.} = a \times b$.
અહીં $a = 280$ આપેલ છે,તેથી $560 \times 40 = 280 \times b$.
$b = \frac{560 \times 40}{280} = 2 \times 40 = 80$.
તેથી,બીજી સંખ્યા $80$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,તેમના $\text{g.c.d.}$ (ગુસાઅ) અને $\text{l.c.m.}$ (લસાઅ) વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\text{g.c.d.}(a, b) \times \text{l.c.m.}(a, b) = a \times b$
અહીં આપેલ છે કે $\text{g.c.d.}$ $16$ છે અને બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $(a \times b)$ $3072$ છે,તેથી આપણે આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકી શકીએ:
$16 \times \text{l.c.m.} = 3072$
$\text{l.c.m.}$ શોધવા માટે,$3072$ ને $16$ વડે ભાગતા:
$\text{l.c.m.} = \frac{3072}{16}$
$\text{l.c.m.} = 192$
આમ,બે સંખ્યાઓનો $\text{l.c.m.}$ $192$ છે.

(C) તેઓ ફરીથી શરૂઆતના બિંદુએ ક્યારે મળશે તે શોધવા માટે,આપણે કુશાન અને રાજન દ્વારા એક આંટો પૂરો કરવા માટે લીધેલા સમયનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડશે.
કુશાન દ્વારા લેવાયેલ સમય = $18$ મિનિટ.
રાજન દ્વારા લેવાયેલ સમય = $12$ મિનિટ.
$18$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $2 \times 3^2$.
$12$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $2^2 \times 3$.
$LCM(18, 12) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$.
તેથી,તેઓ $36$ મિનિટ પછી ફરીથી શરૂઆતના બિંદુએ મળશે.

(N/A) કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો તપાસીએ છીએ.
જો $q = 2^n \times 5^m$ હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે,તો દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય છે.
અહીં,અપૂર્ણાંક $\frac{64}{455}$ છે.
પ્રથમ,આપણે તપાસીએ કે અપૂર્ણાંક તેના અતિસંક્ષિપ્ત રૂપમાં છે કે નહીં. $64$ અને $455$ નો ગુ.સા.અ. $1$ છે,તેથી તે તેના અતિસંક્ષિપ્ત રૂપમાં છે.
હવે,છેદ $455$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીએ:
$455 = 5 \times 91 = 5 \times 7 \times 13$.
છેદના અવિભાજ્ય અવયવોમાં $2$ અને $5$ સિવાયના અવયવો ($7$ અને $13$) હોવાથી,સંમેય સંખ્યા $\frac{64}{455}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત નથી. તે અનંત આવૃત દશાંશ નિરૂપણ ધરાવે છે.

(D) સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય જો છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
આપેલ અપૂર્ણાંક $\frac{13}{125}$ માટે:
$1$. છેદના અવિભાજ્ય અવયવો: $125 = 5^3 = 2^0 \times 5^3$.
$2$. છેદ $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોવાથી (જ્યાં $n=0, m=3$),આ સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.
$3$. દશાંશ નિરૂપણ શોધવા માટે,છેદને $10$ ની ઘાત બનાવીએ:
$\frac{13}{125} = \frac{13 \times 2^3}{5^3 \times 2^3} = \frac{13 \times 8}{10^3} = \frac{104}{1000} = 0.104$.

(N/A) દશાંશ વિસ્તરણ $0.02003000400005 \ldots$ એ અનંત અને અનાવૃત (non-terminating and non-recurring) છે.
કોઈ સંખ્યા સંમેય ત્યારે જ કહેવાય જો તેનું દશાંશ વિસ્તરણ શાંત અથવા અનંત આવૃત હોય.
આ સંખ્યા આ શરતનું પાલન કરતી નથી.
તેથી,$0.02003000400005 \ldots$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) દશાંશ સ્વરૂપ $5 . \overline{123456}$ એ અનંત અને આવૃત છે. તેથી,તે એક સંમેય સંખ્યા છે.
ધારો કે $x = 5 . \overline{123456}$.
$\therefore x = 5.123456123456 \ldots$ (સમીકરણ $1$)
અહીં $6$ અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે,તેથી બંને બાજુ $10^6 = 1000000$ વડે ગુણતા:
$\therefore 1000000x = 5123456.123456123456 \ldots$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$1000000x - x = 5123456.123456 \ldots - 5.123456 \ldots$
$999999x = 5123451$
$\therefore x = \frac{5123451}{999999}$

(A) દશાંશ સ્વરૂપ $3.127$ એ શાંત દશાંશ છે.
દરેક શાંત દશાંશ સંખ્યાને અપૂર્ણાંક તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી તે એક સંમેય સંખ્યા છે.
$3.127$ ને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે,આપણે દશાંશ ચિહ્ન દૂર કરીએ છીએ અને $1000$ વડે ભાગીએ છીએ કારણ કે દશાંશ ચિહ્ન પછી ત્રણ અંકો છે.
$3.127 = \frac{3127}{1000}$

(N/A) કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો તપાસીએ છીએ. જો $q = 2^n \times 5^m$ (જ્યાં $n, m \ge 0$) હોય,તો દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય છે.
અહીં,છેદ $343$ છે.
$343$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $7^3$ છે.
છેદ $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં ન હોવાથી,સંમેય સંખ્યા $\frac{29}{343}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત નથી; તે અનંત આવૃત દશાંશ નિરૂપણ ધરાવે છે.

(N/A) સંમેય સંખ્યા $\frac{15}{1600}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,પહેલા આપણે અપૂર્ણાંકનું અતિસંક્ષિપ્ત રૂપ મેળવીએ.
$\frac{15}{1600} = \frac{3}{320}$.
છેદ $320 = 32 \times 10 = 2^5 \times 2 \times 5 = 2^6 \times 5^1$ છે.
અહીં છેદ $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $n=6$ અને $m=1$ એ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે,તેથી આ સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.
દશાંશ નિરૂપણ શોધવા માટે,આપણે $\frac{3}{2^6 \times 5^1} = \frac{3 \times 5^5}{2^6 \times 5^6} = \frac{3 \times 3125}{10^6} = \frac{9375}{1000000} = 0.009375$ મેળવીએ છીએ.

(D) કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો તપાસીએ છીએ. જો $q = 2^n \times 5^m$ (જ્યાં $n, m \ge 0$) હોય,તો દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય છે.
પ્રથમ,અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{77}{210} = \frac{7 \times 11}{7 \times 30} = \frac{11}{30}$.
અહીં છેદ $30 = 2^1 \times 3^1 \times 5^1$ છે.
છેદના અવિભાજ્ય અવયવોમાં $2$ અને $5$ સિવાય $3$ નો પણ સમાવેશ થાય છે,તેથી આ દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત છે.

(A) સંમેય સંખ્યા $\frac{13}{3125}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે છેદના અવિભાજ્ય અવયવો તપાસીએ.
પગલું $1$: $3125$ ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધો.
$3125 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^5$.
પગલું $2$: જો સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ માં છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપના હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે,તો તેનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય છે.
અહીં,$q = 5^5 = 2^0 \times 5^5$ છે. છેદ $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,આ સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.
પગલું $3$: દશાંશ નિરૂપણ શોધવા માટે,અંશ અને છેદને $2^5$ વડે ગુણો જેથી છેદ $10$ ની ઘાત બને.
$\frac{13}{3125} = \frac{13 \times 2^5}{5^5 \times 2^5} = \frac{13 \times 32}{10^5} = \frac{416}{100000} = 0.00416$.

(A) કોઈપણ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય જો તેના છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
અહીં,છેદ $8 = 2^3 = 2^3 \times 5^0$ છે.
છેદ $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,સંમેય સંખ્યા $\frac{17}{8}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.
દશાંશ નિરૂપણ શોધવા માટે: $\frac{17}{8} = \frac{17 \times 125}{8 \times 125} = \frac{2125}{1000} = 2.125$.

(0.7) કોઈપણ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય જો તેના છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
અહીં,છેદ $50 = 2^1 \times 5^2$ છે.
અવિભાજ્ય અવયવો $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,સંમેય સંખ્યા $\frac{35}{50}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.
દશાંશ નિરૂપણ શોધવા માટે: $\frac{35}{50} = \frac{35 \times 2}{50 \times 2} = \frac{70}{100} = 0.7$.

(A) ધારો કે $x = 0.2\overline{35}$.
આનો અર્થ એ છે કે $x = 0.2353535...$ (સમીકરણ $1$).
દશાંશ ચિહ્નને ખસેડવા માટે બંને બાજુ $10$ વડે ગુણો: $10x = 2.353535...$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ ને $1000$ વડે ગુણો: $1000x = 235.353535...$ (સમીકરણ $3$).
સમીકરણ $3$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરો:
$1000x - 10x = 235.353535... - 2.353535...$
$990x = 233$.
તેથી,$x = \frac{233}{990}$.
આ સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$,તેથી તે એક સંમેય સંખ્યા છે.

(A) ધારો કે $x = 18.484848 \ldots$ (સમીકરણ $1$).
અહીં પુનરાવર્તિત ભાગ $48$ છે,તેથી બંને બાજુ $100$ વડે ગુણતા:
$100x = 1848.484848 \ldots$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$100x - x = 1848.484848 \ldots - 18.484848 \ldots$
$99x = 1830$.
$x = \frac{1830}{99}$.
અંશ અને છેદને $3$ વડે ભાગતા,આપણને $x = \frac{610}{33}$ મળે છે.
આ સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$,તેથી તે એક સંમેય સંખ્યા છે.

(A) ધારો કે $x = 0.\overline{001}$.
આનો અર્થ એ છે કે $x = 0.001001001...$ (સમીકરણ $1$).
અહીં $3$ અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે,તેથી બંને બાજુને $10^3 = 1000$ વડે ગુણતા:
$1000x = 1.001001001...$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$1000x - x = 1.001001001... - 0.001001001...$
$999x = 1$.
તેથી,$x = \frac{1}{999}$.
આ સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે જ્યાં $p, q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$,તેથી તે એક સંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) જો કોઈ સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત અથવા અનંત આવૃત હોય,તો તે સંખ્યા સંમેય છે.
આપેલ દશાંશ નિરૂપણ $0.05005000500005 \ldots$ માં,અંકોનું પુનરાવર્તન થતું નથી અને તે શાંત પણ થતું નથી.
આ દશાંશ નિરૂપણ અનંત અનાવૃત હોવાથી,આ સંખ્યા અસંમેય છે.
તેથી,તેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય નહીં,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$.

(D) ધારો કે $\sqrt{7+2 \sqrt{10}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $7 + 2 \sqrt{10} = x + y + 2 \sqrt{xy}$ મળે છે.
સંમેય અને અસંમેય ભાગોની સરખામણી કરતા,$x + y = 7$ અને $2 \sqrt{xy} = 2 \sqrt{10}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $xy = 10$.
આપણને એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ છે જેનો સરવાળો $7$ અને ગુણાકાર $10$ હોય.
$10$ ના અવયવો $(5, 2)$ છે જેથી $5 + 2 = 7$ અને $5 \times 2 = 10$ થાય.
આમ,$x = 5$ અને $y = 2$ મળે છે.
તેથી,$\sqrt{7+2 \sqrt{10}} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\frac{1}{\sqrt{12-\sqrt{140}}}-\frac{1}{\sqrt{8-\sqrt{60}}}-\frac{2}{\sqrt{10+\sqrt{84}}}$
પગલું $1$: વર્ગમૂળની અંદરના પદોને $a+b-2\sqrt{ab}$ સ્વરૂપમાં લખીને સાદું રૂપ આપો.
$= \frac{1}{\sqrt{12-2\sqrt{35}}} - \frac{1}{\sqrt{8-2\sqrt{15}}} - \frac{2}{\sqrt{10+2\sqrt{21}}}$
પગલું $2$: વર્ગમૂળની અંદરના પદોને દ્વિપદીના વર્ગ તરીકે દર્શાવો.
$= \frac{1}{\sqrt{7+5-2\sqrt{7 \times 5}}} - \frac{1}{\sqrt{5+3-2\sqrt{5 \times 3}}} - \frac{2}{\sqrt{7+3+2\sqrt{7 \times 3}}}$
$= \frac{1}{\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{5})^2}} - \frac{1}{\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}} - \frac{2}{\sqrt{(\sqrt{7}+\sqrt{3})^2}}$
$= \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} - \frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$
પગલું $3$: છેદનું સંમેયીકરણ કરો.
$= \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{7-5} - \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{5-3} - \frac{2(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{7-3}$
$= \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2} - \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2} - \frac{2(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{4}$
$= \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2} - \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$
પગલું $4$: અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો-બાદબાકી કરો.
$= \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}-\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2} = \frac{0}{2} = 0$

(A) આપણે $\sqrt{3 - \frac{1}{3} \sqrt{56}}$ શોધવાનું છે.
પ્રથમ,પદાવલિને ફરીથી લખતા: $\sqrt{3 - \frac{\sqrt{56}}{3}} = \sqrt{\frac{9 - \sqrt{56}}{3}} = \sqrt{\frac{9 - 2\sqrt{14}}{3}}$.
$\sqrt{9 - 2\sqrt{14}}$ ને સરળ બનાવવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ શોધીએ જેનો સરવાળો $a+b=9$ અને ગુણાકાર $ab=14$ થાય. આ સંખ્યાઓ $7$ અને $2$ છે.
તેથી,$\sqrt{9 - 2\sqrt{14}} = \sqrt{7} - \sqrt{2}$.
આમ,પદાવલિ $\frac{\sqrt{7} - \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{7}{3}} - \sqrt{\frac{2}{3}}$ બને છે.

(C) $30-2 \sqrt{56}$ નું વર્ગમૂળ શોધવા માટે,આપણે તેને $(a-b)^2 = a^2+b^2-2ab$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવાની જરૂર છે જેમના વર્ગોનો સરવાળો $30$ થાય અને તેમનો ગુણાકાર $\sqrt{56}$ થાય.
$30-2 \sqrt{56} = 30-2 \sqrt{28 \times 2} = 30-2 \sqrt{7 \times 8}$.
આપણે $30$ ને $(28+2)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
ધારો કે પદાવલિ $(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2 = x+y-2 \sqrt{xy}$ છે.
અહીં,$x+y = 30$ અને $xy = 56$ છે.
$x$ અને $y$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x=28$ અને $y=2$ મળે છે.
આમ,$30-2 \sqrt{56} = 28+2-2 \sqrt{28 \times 2} = (\sqrt{28}-\sqrt{2})^2$.
કારણ કે $\sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2 \sqrt{7}$,તેથી પદાવલિ $(2 \sqrt{7}-\sqrt{2})^2$ બને છે.
તેથી,વર્ગમૂળ $2 \sqrt{7}-\sqrt{2}$ છે.

(D) $12-\sqrt{140}$ નું વર્ગમૂળ શોધવા માટે,આપણે તેને $\sqrt{a-b}$ સ્વરૂપમાં લખી શકીએ.
પ્રથમ,$\sqrt{140}$ ને $\sqrt{4 \times 35} = 2\sqrt{35}$ તરીકે સાદું રૂપ આપો.
તેથી,પદાવલિ $12 - 2\sqrt{35}$ બને છે.
આપણે તેને $(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = x + y - 2\sqrt{xy}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માંગીએ છીએ.
$x + y = 12$ અને $2\sqrt{xy} = 2\sqrt{35}$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $xy = 35$ મળે છે.
$35$ ના એવા અવયવો જેનો સરવાળો $12$ થાય તે $7$ અને $5$ છે.
આમ,$12 - 2\sqrt{35} = 7 + 5 - 2\sqrt{7 \times 5} = (\sqrt{7})^2 + (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{7}\sqrt{5} = (\sqrt{7} - \sqrt{5})^2$.
તેથી,વર્ગમૂળ $\sqrt{(\sqrt{7} - \sqrt{5})^2} = \sqrt{7} - \sqrt{5}$ થાય.

(A) $3-\sqrt{5}$ નું વર્ગમૂળ શોધવા માટે,આપણે તેને $\sqrt{3-\sqrt{5}}$ તરીકે લખીએ છીએ.
વર્ગમૂળની અંદર $\sqrt{2}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$\sqrt{\frac{2(3-\sqrt{5})}{2}} = \sqrt{\frac{6-2\sqrt{5}}{2}}$.
હવે,અંશ $6-2\sqrt{5}$ ને પૂર્ણવર્ગ તરીકે દર્શાવો:
$6-2\sqrt{5} = 5 + 1 - 2\sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 + (1)^2 - 2(\sqrt{5})(1) = (\sqrt{5}-1)^2$.
આ કિંમત પાછી મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\sqrt{\frac{(\sqrt{5}-1)^2}{2}} = \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) $\frac{7}{4} + \sqrt{3}$ નું વર્ગમૂળ શોધવા માટે,આપણે તેને $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ.
આપણે પદને $\frac{7}{4} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
ધારો કે વર્ગમૂળ $(a + b)$ છે. તો $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = \frac{7}{4} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.
પદોની સરખામણી કરતા,આપણને $2ab = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે છે,તેથી $ab = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
વળી,$a^2 + b^2 = \frac{7}{4}$.
ધારો કે $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $b = 1$. તો $a^2 + b^2 = \frac{3}{4} + 1 = \frac{7}{4}$.
આમ,$\frac{7}{4} + \sqrt{3} = (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1)^2$.
તેથી,વર્ગમૂળ $\frac{\sqrt{3}}{2} + 1$ છે.

(C) $24+2 \sqrt{119}$ નું વર્ગમૂળ શોધવા માટે,ધારો કે $\sqrt{24+2 \sqrt{119}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $24+2 \sqrt{119} = x + y + 2 \sqrt{xy}$ મળે છે.
સંમેય અને અસંમેય ભાગોની સરખામણી કરતા,$x + y = 24$ અને $xy = 119$ મળે છે.
આપણને એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ છે જેનો સરવાળો $24$ અને ગુણાકાર $119$ થાય.
આ સંખ્યાઓ $17$ અને $7$ છે,કારણ કે $17+7=24$ અને $17 \times 7 = 119$ થાય છે.
તેથી,$\sqrt{24+2 \sqrt{119}} = \sqrt{17} + \sqrt{7}$ થાય.

(D) પદાવલિ $\frac{\sqrt{4-\sqrt{7}}}{\sqrt{8+3 \sqrt{7}-2 \sqrt{2}}}$ ને સાદું રૂપ આપવા માટે,ચાલો અંશ અને છેદનું સાદું રૂપ આપીએ.
અંશ: $\sqrt{4-\sqrt{7}} = \sqrt{\frac{8-2\sqrt{7}}{2}} = \frac{\sqrt{7-2\sqrt{7}+1}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{7}-1)^2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7}-1}{\sqrt{2}}$.
છેદ: $\sqrt{8+3\sqrt{7}-2\sqrt{2}}$. આ પદાવલિ જટિલ જણાય છે. જો આપણે છેદને $\sqrt{8+2\sqrt{7}}$ તરીકે લઈએ,તો $\sqrt{8+2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7}+1)^2} = \sqrt{7}+1$ થાય.
તેથી,$\frac{\sqrt{4-\sqrt{7}}}{\sqrt{8+2\sqrt{7}}} = \frac{(\sqrt{7}-1)/\sqrt{2}}{\sqrt{7}+1} = \frac{\sqrt{7}-1}{\sqrt{2}(\sqrt{7}+1)}$.
આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,આ પદાવલિનું સાદું રૂપ $1$ મળે છે.

(A) આ પદાવલિનું સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે દરેક પદનું સંમેયીકરણ કરીશું:
$1$. $\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}} = \frac{1(\sqrt{6}+\sqrt{5})}{(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{6-5} = \sqrt{6}+\sqrt{5}$
$2$. $\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \frac{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})} = \frac{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{5-2} = \frac{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{3} = \sqrt{5}+\sqrt{2}$
$3$. $\frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{4(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2} = \frac{4(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4} = \sqrt{6}-\sqrt{2}$
હવે,આ કિંમતોને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$(\sqrt{6}+\sqrt{5}) - (\sqrt{5}+\sqrt{2}) - (\sqrt{6}-\sqrt{2})$
$= \sqrt{6} + \sqrt{5} - \sqrt{5} - \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{2}$
$= (\sqrt{6} - \sqrt{6}) + (\sqrt{5} - \sqrt{5}) + (\sqrt{2} - \sqrt{2})$
$= 0 + 0 + 0 = 0$

(B) પગલું $1$: પ્રથમ પદ $\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ નું સંમેયીકરણ કરો.
અંશ અને છેદને $(\sqrt{5} + \sqrt{3})$ વડે ગુણતા:
$\frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{5 - 3} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} = \sqrt{5} + \sqrt{3}$.
પગલું $2$: બીજા પદ $\frac{4}{\sqrt{10+\sqrt{84}}}$ નું સાદું રૂપ આપો.
નોંધો કે $\sqrt{84} = \sqrt{4 \times 21} = 2\sqrt{21}$.
તેથી,$\sqrt{10 + 2\sqrt{21}} = \sqrt{(\sqrt{7} + \sqrt{3})^2} = \sqrt{7} + \sqrt{3}$.
આમ,પદ $\frac{4}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$ બને છે.
તેનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{4(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{7 - 3} = \frac{4(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{4} = \sqrt{7} - \sqrt{3}$.
પગલું $3$: ત્રીજા પદ $\frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$ નું સંમેયીકરણ કરો.
અંશ અને છેદને $(\sqrt{7} + \sqrt{5})$ વડે ગુણતા:
$\frac{2(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{7 - 5} = \frac{2(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{2} = \sqrt{7} + \sqrt{5}$.
પગલું $4$: બધા પદોને ભેગા કરતા:
$(\sqrt{5} + \sqrt{3}) + (\sqrt{7} - \sqrt{3}) - (\sqrt{7} + \sqrt{5})$
$= \sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{7} - \sqrt{3} - \sqrt{7} - \sqrt{5} = 0$.

(N/A) પદાવલિને સરળ બનાવવા માટે,આપણે દરેક પદના અંશ અને છેદને $\sqrt{2}$ વડે ગુણીએ છીએ.
ધારો કે પદાવલિ $E = \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2-\sqrt{3}}} + \frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2+\sqrt{3}}}$ છે.
દરેક પદના અંશ અને છેદને $\sqrt{2}$ વડે ગુણતા:
$E = \frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{3})}{\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{2-\sqrt{3}})} + \frac{\sqrt{2}(2-\sqrt{3})}{\sqrt{2}(\sqrt{2}-\sqrt{2+\sqrt{3}})}$
$E = \frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2+\sqrt{4-2\sqrt{3}}} + \frac{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2-\sqrt{4+2\sqrt{3}}}$
અહીં $4-2\sqrt{3} = (\sqrt{3}-1)^2$ અને $4+2\sqrt{3} = (\sqrt{3}+1)^2$ છે.
તેથી,$\sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{3}-1$ અને $\sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{3}+1$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2+\sqrt{3}-1} + \frac{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2-(\sqrt{3}+1)}$
$E = \frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{\sqrt{3}+1} + \frac{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{1-\sqrt{3}}$
$E = \frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{\sqrt{3}+1} - \frac{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{\sqrt{3}-1}$
છેદ સમાન કરતા $(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1) = 3-1 = 2$:
$E = \frac{(2\sqrt{2}+\sqrt{6})(\sqrt{3}-1) - (2\sqrt{2}-\sqrt{6})(\sqrt{3}+1)}{2}$
$E = \frac{(2\sqrt{6}-2\sqrt{2}+3\sqrt{2}-\sqrt{6}) - (2\sqrt{6}+2\sqrt{2}-3\sqrt{2}-\sqrt{6})}{2}$
$E = \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2}) - (\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2}$
$E = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.
આમ,પદાવલિની કિંમત $\sqrt{2}$ સાબિત થાય છે.

(D) યુક્લિડની ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીને $196$ અને $38220$ નો ગુ.સા.અ. શોધવા માટે,આપણે મોટી સંખ્યાને $a = bq + r$ સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ છીએ,જ્યાં $0 \le r < b$ છે.
પગલું $1$: $38220$ ને $196$ વડે ભાગતા:
$38220 = 196 \times 195 + 0$.
અહીં શેષ $0$ હોવાથી,આ તબક્કે ભાજક એ જ ગુ.સા.અ. છે.
તેથી,$196$ અને $38220$ નો ગુ.સા.અ. $196$ છે.

(A) $867$ અને $255$ નો ગુ.સા.અ. યુક્લિડની ભાગવિધિનો ઉપયોગ કરીને શોધવા માટે,આપણે નીચેના પગલાં અનુસરીએ છીએ:
પગલું $1$: $867 > 255$ હોવાથી,આપણે $867$ અને $255$ માટે યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરીએ:
$867 = 255 \times 3 + 102$
પગલું $2$: શેષ $102 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $255$ અને $102$ માટે પૂર્વપ્રમેય વાપરીએ:
$255 = 102 \times 2 + 51$
પગલું $3$: શેષ $51 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $102$ અને $51$ માટે પૂર્વપ્રમેય વાપરીએ:
$102 = 51 \times 2 + 0$
હવે શેષ $0$ હોવાથી,આ તબક્કે ભાજક એ ગુ.સા.અ. છે.
તેથી,$867$ અને $255$ નો ગુ.સા.અ. $51$ છે.

(N/A) પગલું $1$: આપેલી સંખ્યાઓના અવિભાજ્ય અવયવો શોધો.
$510 = 2 \times 3 \times 5 \times 17$
$92 = 2^2 \times 23$
પગલું $2$: $\text{g.c.d.}$ (ગુ.સા.અ.) શોધવા માટે,દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર કરો.
$\text{g.c.d.} (510, 92) = 2^1 = 2$
પગલું $3$: $\text{l.c.m.}$ (લ.સા.અ.) શોધવા માટે,તમામ અવિભાજ્ય અવયવોની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર કરો.
$\text{l.c.m.} (510, 92) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \times 17^1 \times 23^1 = 4 \times 3 \times 5 \times 17 \times 23 = 23460$

(N/A) પગલું $1$: $72$ અને $90$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો.
$72 = 2^3 \times 3^2$
$90 = 2^1 \times 3^2 \times 5^1$
પગલું $2$: $\text{g.c.d.}$ (ગુ.સા.અ.) શોધવા માટે દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર કરો.
$\text{g.c.d.}(72, 90) = 2^1 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18$
પગલું $3$: $\text{l.c.m.}$ (લ.સા.અ.) શોધવા માટે દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર કરો.
$\text{l.c.m.}(72, 90) = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 = 8 \times 9 \times 5 = 360$

(N/A) અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$12 = 2^2 \times 3^1$
$15 = 3^1 \times 5^1$
$21 = 3^1 \times 7^1$
ગુ.સા.અ. એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$\text{ગુ.સા.અ.}(12, 15, 21) = 3^1 = 3$
લ.સા.અ. એ દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$\text{લ.સા.અ.}(12, 15, 21) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \times 7^1 = 4 \times 3 \times 5 \times 7 = 420$
આમ,ગુ.સા.અ. $3$ છે અને લ.સા.અ. $420$ છે.

(A) અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને $\text{g.c.d.}$ (ગુ.સા.અ.) અને $\text{l.c.m.}$ (લ.સા.અ.) શોધવા માટે,આપણે પહેલા દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$8 = 2^3$
$9 = 3^2$
$25 = 5^2$
$\text{g.c.d.}$ એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે. અહીં કોઈ સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ ન હોવાથી,$\text{g.c.d.}$ $1$ થશે.
$\text{l.c.m.}$ એ દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$\text{l.c.m.} = 2^3 \times 3^2 \times 5^2$
$\text{l.c.m.} = 8 \times 9 \times 25$
$\text{l.c.m.} = 72 \times 25 = 1800$.

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$7 \sqrt{5}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,એવા પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $7 \sqrt{5} = \frac{a}{b}$ થાય.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{5} = \frac{a}{7b}$ મળે છે.
અહીં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$\frac{a}{7b}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{5}$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
પરંતુ,આ હકીકતનો વિરોધાભાસ કરે છે કે $\sqrt{5}$ એક અસંમેય સંખ્યા છે.
આ વિરોધાભાસ આપણી ખોટી ધારણાને કારણે ઉદ્ભવ્યો છે કે $7 \sqrt{5}$ સંમેય છે.
તેથી,આપણે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે $7 \sqrt{5}$ એ એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$6+\sqrt{2}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,એવા પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $6+\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ થાય.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{2} = \frac{a}{b} - 6$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\sqrt{2} = \frac{a - 6b}{b}$ મળે છે.
અહીં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$\frac{a - 6b}{b}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{2}$ પણ એક સંમેય સંખ્યા છે.
પરંતુ,આ હકીકત એ વિરોધાભાસ છે કે $\sqrt{2}$ એક અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણી ધારણા કે $6+\sqrt{2}$ સંમેય છે તે ખોટી છે.
આમ,$6+\sqrt{2}$ એ એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$2+\sqrt{3}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,એવા પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $2+\sqrt{3} = \frac{a}{b}$ થાય.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{3} = \frac{a}{b} - 2$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\sqrt{3} = \frac{a - 2b}{b}$ મળે છે.
અહીં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$\frac{a - 2b}{b}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{3}$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
પરંતુ,આ હકીકત એ સ્થાપિત તથ્યનો વિરોધાભાસ કરે છે કે $\sqrt{3}$ એક અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણી શરૂઆતની ધારણા ખોટી છે,અને $2+\sqrt{3}$ એ એક અસંમેય સંખ્યા જ હોવી જોઈએ.

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$\sqrt{11}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,એવા પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $\sqrt{11} = \frac{a}{b}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $11 = \frac{a^2}{b^2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a^2 = 11b^2$.
આનો અર્થ એ છે કે $a^2$ એ $11$ વડે વિભાજ્ય છે. $11$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવાથી,$a$ પણ $11$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
ધારો કે કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે $a = 11k$ છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $(11k)^2 = 11b^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $121k^2 = 11b^2$ અથવા $b^2 = 11k^2$ મળે છે.
આ સૂચવે છે કે $b^2$ એ $11$ વડે વિભાજ્ય છે,અને પરિણામે,$b$ પણ $11$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$a$ અને $b$ બંને $11$ વડે વિભાજ્ય હોવાથી,તેમનો સામાન્ય અવયવ $11$ છે,જે આપણી ધારણા કે $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે તેનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે,અને $\sqrt{11}$ એ એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$5+\sqrt{3}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,એવા પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $5+\sqrt{3} = \frac{a}{b}$ થાય.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{3} = \frac{a}{b} - 5$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\sqrt{3} = \frac{a - 5b}{b}$ મળે છે.
અહીં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$\frac{a - 5b}{b}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{3}$ પણ એક સંમેય સંખ્યા છે.
પરંતુ,આ હકીકતનો વિરોધાભાસ છે કે $\sqrt{3}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણી ધારણા કે $5+\sqrt{3}$ સંમેય છે તે ખોટી છે.
આમ,$5+\sqrt{3}$ એ એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$3+2\sqrt{5}$ એ સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,એવા પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $3+2\sqrt{5} = \frac{a}{b}$ થાય.
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતા,આપણને $2\sqrt{5} = \frac{a}{b} - 3$ મળે છે.
જમણી બાજુનું સાદુંરૂપ આપતા,$2\sqrt{5} = \frac{a-3b}{b}$ મળે છે.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\sqrt{5} = \frac{a-3b}{2b}$ મળે છે.
અહીં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$\frac{a-3b}{2b}$ એ સંમેય સંખ્યા છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{5}$ એ સંમેય સંખ્યા છે.
પરંતુ,આ હકીકતનો વિરોધાભાસ છે કે $\sqrt{5}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણી ધારણા કે $3+2\sqrt{5}$ સંમેય છે તે ખોટી છે.
આમ,$3+2\sqrt{5}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) ધારો કે $3 \sqrt{5}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,એવી પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ મળે કે જેથી $3 \sqrt{5} = \frac{a}{b}$ થાય.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{5} = \frac{a}{3b}$ મળે છે.
અહીં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$\frac{a}{3b}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{5}$ પણ એક સંમેય સંખ્યા છે.
પરંતુ,આ હકીકતનો વિરોધાભાસ છે કે $\sqrt{5}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે અને $3 \sqrt{5}$ એ અસંમેય સંખ્યા જ છે.

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$\sqrt{5}-\sqrt{3}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
ધારો કે $\sqrt{5}-\sqrt{3} = r$,જ્યાં $r$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,$\sqrt{5} = r + \sqrt{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે: $(\sqrt{5})^2 = (r + \sqrt{3})^2$.
$5 = r^2 + 3 + 2r\sqrt{3}$.
$5 - 3 - r^2 = 2r\sqrt{3}$.
$2 - r^2 = 2r\sqrt{3}$.
$\sqrt{3} = \frac{2 - r^2}{2r}$.
કારણ કે $r$ એ સંમેય સંખ્યા છે,તેથી $\frac{2 - r^2}{2r}$ પણ એક સંમેય સંખ્યા હોવી જોઈએ.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{3}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
જોકે,આ હકીકતનો વિરોધાભાસ કરે છે કે $\sqrt{3}$ એ એક અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણી ધારણા કે $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ સંમેય છે તે ખોટી છે.
આમ,$\sqrt{5}-\sqrt{3}$ એ એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$\frac{1}{\sqrt{3}}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,તેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે,$q \neq 0$,અને $p, q$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે.
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{p}{q}$
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{3} = \frac{q}{p}$ મળે છે.
જેમ કે $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે,તેથી $\frac{q}{p}$ એક સંમેય સંખ્યા હોવી જોઈએ.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{3}$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
જો કે,આ હકીકત $\sqrt{3}$ અસંમેય છે તે સ્થાપિત તથ્યનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,આપણી શરૂઆતની ધારણા ખોટી છે.
આમ,$\frac{1}{\sqrt{3}}$ એ એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$\sqrt{7}-\sqrt{2}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
ધારો કે $\sqrt{7}-\sqrt{2} = r$,જ્યાં $r$ એ શૂન્યતર સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,$\sqrt{7} = r + \sqrt{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે: $(\sqrt{7})^2 = (r + \sqrt{2})^2$.
$7 = r^2 + 2 + 2r\sqrt{2}$.
$7 - r^2 - 2 = 2r\sqrt{2}$.
$5 - r^2 = 2r\sqrt{2}$.
$\sqrt{2} = \frac{5 - r^2}{2r}$.
કારણ કે $r$ એ સંમેય સંખ્યા છે,તેથી $\frac{5 - r^2}{2r}$ પણ એક સંમેય સંખ્યા હોવી જોઈએ.
આનો અર્થ એ થાય છે કે $\sqrt{2}$ એ સંમેય સંખ્યા છે.
જોકે,આ હકીકતનો વિરોધાભાસ કરે છે કે $\sqrt{2}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે,અને $\sqrt{7}-\sqrt{2}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(A) કોઈપણ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય જો તેના છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
અહીં,છેદ $8 = 2^3 = 2^3 \times 5^0$ છે.
છેદ $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,સંમેય સંખ્યા $\frac{19}{8}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.
દશાંશ નિરૂપણ શોધવા માટે,આપણે $19$ ને $8$ વડે ભાગીશું:
$19 \div 8 = 2.375$.

(B) કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે અપૂર્ણાંકને તેના અતિસંક્ષિપ્ત રૂપમાં ફેરવ્યા પછી છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો તપાસીએ છીએ.
પ્રથમ,$\frac{55}{150}$ ને તેના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $5$ વડે ભાગીને સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{55 \div 5}{150 \div 5} = \frac{11}{30}$.
હવે,છેદ $30$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીએ:
$30 = 2 \times 3 \times 5$.
જો છેદના અવિભાજ્ય અવયવોમાં માત્ર $2$ અને $5$ ના ઘાત હોય,તો જ દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય છે.
અહીં છેદ $30$ માં $3$ નો અવયવ હોવાથી (જે $2$ કે $5$ નથી),દશાંશ નિરૂપણ અનંત આવૃત છે.
$11 \div 30$ નો ભાગાકાર કરતા આપણને $0.3666...$ અથવા $0.3\overline{6}$ મળે છે.

(N/A) કોઈપણ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય જો તેના છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
અહીં,છેદ $200$ છે.
$200$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $200 = 2^3 \times 5^2$ છે.
છેદ $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,સંમેય સંખ્યા $\frac{23}{200}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.
દશાંશ નિરૂપણ મેળવવા માટે,આપણે છેદને $10$ ની ઘાત તરીકે લખી શકીએ:
$\frac{23}{200} = \frac{23 \times 5}{200 \times 5} = \frac{115}{1000} = 0.115$.