Textbook - Real Numbers Questions in Gujarati

(N/A) અહીં $12576 > 4052$ હોવાથી,આપણે $12576$ અને $4052$ માટે યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરતા:
$12576 = 4052 \times 3 + 420$
અહીં શેષ $420 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $4052$ અને $420$ માટે ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરતા:
$4052 = 420 \times 9 + 272$
અહીં શેષ $272 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $420$ અને $272$ માટે ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરતા:
$420 = 272 \times 1 + 148$
અહીં શેષ $148 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $272$ અને $148$ માટે ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરતા:
$272 = 148 \times 1 + 124$
અહીં શેષ $124 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $148$ અને $124$ માટે ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરતા:
$148 = 124 \times 1 + 24$
અહીં શેષ $24 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $124$ અને $24$ માટે ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરતા:
$124 = 24 \times 5 + 4$
અહીં શેષ $4 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $24$ અને $4$ માટે ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરતા:
$24 = 4 \times 6 + 0$
અહીં શેષ $0$ મળે છે,તેથી પ્રક્રિયા અહીં પૂર્ણ થાય છે. આ તબક્કે ભાજક $4$ છે. તેથી,$12576$ અને $4052$ નો ગુ.સા.અ. $(HCF)$ $4$ છે.

(N/A) ધારો કે $a$ કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક છે અને $b=2$ છે. યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $a$ અને ભાજક $b=2$ માટે,અનન્ય પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ એવા મળે કે જેથી $a = bq + r$,જ્યાં $0 \leq r < b$ થાય.
અહીં $b=2$ હોવાથી,શેષ $r$ ની શક્ય કિંમતો $0$ અને $1$ છે (એટલે કે $0 \leq r < 2$).
કિસ્સો $1$: જો $r=0$ હોય,તો $a = 2q + 0 = 2q$ થાય. $2q$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય હોવાથી,$a$ એ યુગ્મ પૂર્ણાંક છે.
કિસ્સો $2$: જો $r=1$ હોય,તો $a = 2q + 1$ થાય. $2q$ એ યુગ્મ હોવાથી,$2q+1$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય નથી,તેથી $a$ એ અયુગ્મ પૂર્ણાંક છે.
આમ,દરેક ધન યુગ્મ પૂર્ણાંક $2q$ સ્વરૂપમાં અને દરેક ધન અયુગ્મ પૂર્ણાંક $2q+1$ સ્વરૂપમાં હોય છે.

(N/A) ધારો કે $a$ કોઈ પણ ધન અયુગ્મ પૂર્ણાંક છે. યુક્લિડની ભાગાકારની પ્રવિધિ મુજબ,કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,અનન્ય પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ એવા મળે કે જેથી $a = bq + r$,જ્યાં $0 \leq r < b$ થાય.
અહીં,આપણે $b = 4$ લઈએ છીએ. તેથી,$a = 4q + r$,જ્યાં $0 \leq r < 4$ છે.
શેષ $r$ માટે શક્ય કિંમતો $0, 1, 2$ અને $3$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $a$ ને $4q, 4q+1, 4q+2$ અથવા $4q+3$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
કારણ કે $a$ એક અયુગ્મ પૂર્ણાંક છે,તે $2$ વડે વિભાજ્ય હોઈ શકે નહીં.
- $4q = 2(2q)$,જે $2$ વડે વિભાજ્ય છે (યુગ્મ).
- $4q+2 = 2(2q+1)$,જે $2$ વડે વિભાજ્ય છે (યુગ્મ).
તેથી,$a$ એ $4q$ અથવા $4q+2$ હોઈ શકે નહીં.
આમ,કોઈપણ ધન અયુગ્મ પૂર્ણાંક $4q+1$ અથવા $4q+3$ સ્વરૂપમાં જ હોય છે.

(D) ટ્રેની જગ્યા ઘટાડવા માટે,આપણે દરેક થપ્પીમાં બરફીની સંખ્યા મહત્તમ કરવી પડશે. આ $420$ અને $130$ ના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(HCF)$ શોધવા સમાન છે.
યુક્લિડની ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$420 = 130 \times 3 + 30$
$130 = 30 \times 4 + 10$
$30 = 10 \times 3 + 0$
$420$ અને $130$ નો $HCF$ $10$ છે.
તેથી,મીઠાઈવાળો ટ્રેમાં રોકાતી જગ્યા ઘટાડવા માટે દરેક થપ્પીમાં $10$ બરફી મૂકી શકે છે.

(A) $135$ અને $225$ નો ગુ.સા.અ. $(HCF)$ યુક્લિડની ભાગાકારની રીતથી શોધવા માટે:
અહીં $225 > 135$ હોવાથી,$225$ અને $135$ માટે યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરતા:
$225 = 135 \times 1 + 90$
અહીં શેષ $90 \neq 0$ હોવાથી,$135$ અને $90$ માટે ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરતા:
$135 = 90 \times 1 + 45$
હવે,નવો ભાજક $90$ અને નવી શેષ $45$ લેતા,ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરતા:
$90 = 45 \times 2 + 0$
અહીં શેષ $0$ મળે છે,તેથી પ્રક્રિયા અહીં પૂર્ણ થાય છે.
આ તબક્કે ભાજક $45$ હોવાથી,$135$ અને $225$ નો ગુ.સા.અ. $(HCF)$ $45$ છે.

(B) $196$ અને $38220$ નો $HCF$ યુક્લિડની ભાગવિધિ દ્વારા શોધવા માટે:
અહીં $38220 > 196$ હોવાથી,આપણે $38220$ અને $196$ માટે યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરીએ:
$38220 = 196 \times 195 + 0$
અહીં શેષ $0$ હોવાથી,પ્રક્રિયા અહીં અટકે છે.
આ તબક્કે ભાજક $196$ છે.
તેથી,$196$ અને $38220$ નો $HCF$ $196$ છે.

(C) આપેલ સંખ્યાઓ $867$ અને $255$ છે.
અહીં $867 > 255$ હોવાથી,આપણે $867$ અને $255$ માટે યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરતા:
$867 = 255 \times 3 + 102$
અહીં શેષ $102 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $255$ અને $102$ માટે ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરતા:
$255 = 102 \times 2 + 51$
અહીં શેષ $51 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $102$ અને $51$ માટે ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરતા:
$102 = 51 \times 2 + 0$
અહીં શેષ $0$ હોવાથી,પ્રક્રિયા પૂર્ણ થાય છે.
આ તબક્કે ભાજક $51$ છે.
તેથી,$867$ અને $255$ નો $HCF$ $51$ છે.

(N/A) યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,અનન્ય પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ એવા મળે કે જેથી $a = bq + r$,જ્યાં $0 \leq r < b$ થાય.
ધારો કે $a$ કોઈ ધન અયુગ્મ પૂર્ણાંક છે અને $b = 6$ છે.
પૂર્વપ્રમેયમાં $b = 6$ મૂકતા,આપણને $a = 6q + r$ મળે,જ્યાં $0 \leq r < 6$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $r$ ની શક્ય કિંમતો $0, 1, 2, 3, 4, 5$ છે.
જો $r = 0$ હોય,તો $a = 6q = 2(3q)$,જે યુગ્મ છે.
જો $r = 1$ હોય,તો $a = 6q + 1 = 2(3q) + 1$,જે અયુગ્મ છે.
જો $r = 2$ હોય,તો $a = 6q + 2 = 2(3q + 1)$,જે યુગ્મ છે.
જો $r = 3$ હોય,તો $a = 6q + 3 = 2(3q + 1) + 1$,જે અયુગ્મ છે.
જો $r = 4$ હોય,તો $a = 6q + 4 = 2(3q + 2)$,જે યુગ્મ છે.
જો $r = 5$ હોય,તો $a = 6q + 5 = 2(3q + 2) + 1$,જે અયુગ્મ છે.
આમ,$a$ એ ધન અયુગ્મ પૂર્ણાંક હોવાથી,તે $6q, 6q+2$ અથવા $6q+4$ સ્વરૂપમાં ન હોઈ શકે. તેથી,કોઈપણ ધન અયુગ્મ પૂર્ણાંક $6q+1, 6q+3$ અથવા $6q+5$ સ્વરૂપમાં જ હોય છે.

(A) તેઓ જે મહત્તમ સ્તંભોમાં કૂચ કરી શકે છે તે સંખ્યા $616$ અને $32$ ના ગુ.સા.અ. $(HCF)$ દ્વારા મળે છે.
ગુ.સા.અ. શોધવા માટે આપણે યુક્લિડની ભાગવિધિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$616 = 32 \times 19 + 8$
$32 = 8 \times 4 + 0$
અહીં શેષ $0$ હોવાથી,$616$ અને $32$ નો ગુ.સા.અ. $8$ છે.
તેથી,તેઓ મહત્તમ $8$ સ્તંભોમાં કૂચ કરી શકે છે.

(N/A) ધારો કે $a$ કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક છે અને $b=3$ છે.
યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,$a = 3q + r$,જ્યાં $q \geq 0$ અને $r \in \{0, 1, 2\}$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $r=0$ હોય,તો $a = 3q$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2 = (3q)^2 = 9q^2 = 3(3q^2) = 3m$,જ્યાં $m = 3q^2$ છે.
કિસ્સો $2$: જો $r=1$ હોય,તો $a = 3q+1$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2 = (3q+1)^2 = 9q^2 + 6q + 1 = 3(3q^2 + 2q) + 1 = 3m + 1$,જ્યાં $m = 3q^2 + 2q$ છે.
કિસ્સો $3$: જો $r=2$ હોય,તો $a = 3q+2$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2 = (3q+2)^2 = 9q^2 + 12q + 4 = 9q^2 + 12q + 3 + 1 = 3(3q^2 + 4q + 1) + 1 = 3m + 1$,જ્યાં $m = 3q^2 + 4q + 1$ છે.
આમ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ હંમેશા $3m$ અથવા $3m+1$ સ્વરૂપમાં હોય છે.

(N/A) ધારો કે $a$ કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક છે અને $b=3$ છે.
યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,$a = 3q + r$,જ્યાં $q \geq 0$ અને $0 \leq r < 3$ છે.
તેથી,$a$ એ $3q, 3q+1$ અથવા $3q+2$ સ્વરૂપમાં હોઈ શકે છે.
કિસ્સો $1$: જો $a = 3q$ હોય,તો $a^3 = (3q)^3 = 27q^3 = 9(3q^3) = 9m$,જ્યાં $m = 3q^3$ છે.
કિસ્સો $2$: જો $a = 3q+1$ હોય,તો $a^3 = (3q+1)^3 = 27q^3 + 27q^2 + 9q + 1 = 9(3q^3 + 3q^2 + q) + 1 = 9m + 1$,જ્યાં $m = 3q^3 + 3q^2 + q$ છે.
કિસ્સો $3$: જો $a = 3q+2$ હોય,તો $a^3 = (3q+2)^3 = 27q^3 + 54q^2 + 36q + 8 = 9(3q^3 + 6q^2 + 4q) + 8 = 9m + 8$,જ્યાં $m = 3q^3 + 6q^2 + 4q$ છે.
આમ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકનો ઘન $9m, 9m+1$ અથવા $9m+8$ સ્વરૂપમાં હોય છે.

(C) જો કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે $4^{n}$ સંખ્યાનો અંતિમ અંક શૂન્ય હોય,તો તે $5$ વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $4^{n}$ ના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં અવિભાજ્ય સંખ્યા $5$ હોવી જોઈએ.
જો કે,આપણે $4^{n} = (2^{2})^{n} = 2^{2n}$ લખી શકીએ છીએ.
$4^{n}$ ના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં માત્ર એક જ અવિભાજ્ય અવયવ $2$ છે.
અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,આ અવિભાજ્ય અવયવીકરણ અનન્ય છે.
તેથી,$5$ એ $4^{n}$ નો અવયવ ન હોવાથી,એવી કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ નથી જેના માટે $4^{n}$ નો અંતિમ અંક શૂન્ય હોય.

(N/A) સૌ પ્રથમ,આપણે આપેલી સંખ્યાઓનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીએ:
$6 = 2^1 \times 3^1$
$20 = 2^2 \times 5^1$
$HCF$ શોધવા માટે,આપણે દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$HCF(6, 20) = 2^1 = 2$
$LCM$ શોધવા માટે,આપણે સંખ્યાઓમાં રહેલા દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$LCM(6, 20) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60$
આમ,$HCF$ $2$ છે અને $LCM$ $60$ છે.

(B) $96$ અને $404$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ નીચે મુજબ છે:
$96 = 2^5 \times 3$
$404 = 2^2 \times 101$
$HCF$ એ સંખ્યાઓમાં રહેલા સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવોની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$HCF(96, 404) = 2^2 = 4$
સંબંધ $LCM(a, b) \times HCF(a, b) = a \times b$ નો ઉપયોગ કરતા:
$LCM(96, 404) = \frac{96 \times 404}{HCF(96, 404)}$
$LCM(96, 404) = \frac{96 \times 404}{4}$
$LCM(96, 404) = 96 \times 101 = 9696$

(C) આપેલ સંખ્યાઓનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ નીચે મુજબ છે:
$6 = 2^1 \times 3^1$
$72 = 2^3 \times 3^2$
$120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$
ગુ.સા.અ. $(HCF)$ શોધવા માટે,આપણે દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$HCF(6, 72, 120) = 2^1 \times 3^1 = 6$
લ.સા.અ. $(LCM)$ શોધવા માટે,આપણે સંખ્યાઓમાં રહેલા દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$LCM(6, 72, 120) = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 = 8 \times 9 \times 5 = 360$
આમ,ગુ.સા.અ. $6$ છે અને લ.સા.અ. $360$ છે.

(A) $140$ ને તેના અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવવા માટે,આપણે અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીએ છીએ:
$140 = 2 \times 70$
$70 = 2 \times 35$
$35 = 5 \times 7$
તેથી,$140 = 2 \times 2 \times 5 \times 7 = 2^{2} \times 5 \times 7$.

(A) $156$ ને તેના અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવવા માટે,આપણે અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીએ છીએ:
$156 = 2 \times 78$
$78 = 2 \times 39$
$39 = 3 \times 13$
આ બધાને જોડતા,આપણને મળે છે: $156 = 2 \times 2 \times 3 \times 13$
તેથી,અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $2^{2} \times 3 \times 13$ છે.

(B) $3825$ ને તેના અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવવા માટે,આપણે અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીએ છીએ:
$3825 \div 3 = 1275$
$1275 \div 3 = 425$
$425 \div 5 = 85$
$85 \div 5 = 17$
$17 \div 17 = 1$
આમ,$3825 = 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 17 = 3^{2} \times 5^{2} \times 17$.

(A) $5005$ ને તેના અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવવા માટે,આપણે અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીશું:
$5005$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય છે: $5005 = 5 \times 1001$
$1001$ એ $7$ વડે વિભાજ્ય છે: $1001 = 7 \times 143$
$143$ એ $11$ વડે વિભાજ્ય છે: $143 = 11 \times 13$
$13$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.
તેથી,$5005$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $5 \times 7 \times 11 \times 13$ છે.

(A) $7429$ ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધવા માટે,આપણે સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓથી વિભાજ્યતાની ચકાસણી કરીશું.
$1$. $7429$ એ $2, 3, 5, 7, 11$ કે $13$ વડે વિભાજ્ય નથી.
$2$. $7429$ ને $17$ વડે ભાગતા: $7429 \div 17 = 437$.
$3$. હવે,આપણે $437$ ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધીશું. $19$ વડે વિભાજ્યતાની ચકાસણી કરતા: $437 \div 19 = 23$.
$4$. $23$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવાથી,અવિભાજ્ય અવયવીકરણ પૂર્ણ થાય છે.
તેથી,$7429 = 17 \times 19 \times 23$.

(A) સૌ પ્રથમ,આપેલી સંખ્યાઓના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો:
$26 = 2 \times 13$
$91 = 7 \times 13$
$HCF$ એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$HCF = 13$
$LCM$ એ દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$LCM = 2 \times 7 \times 13 = 182$
હવે,સંબંધ ચકાસો:
બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $= 26 \times 91 = 2366$
$HCF \times LCM = 13 \times 182 = 2366$
આમ,$2366 = 2366$ હોવાથી,$LCM \times HCF =$ બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર સંબંધ ચકાસાય છે.

(B) સૌ પ્રથમ,આપેલી સંખ્યાઓનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ શોધો:
$510 = 2 \times 3 \times 5 \times 17$
$92 = 2^2 \times 23 = 2 \times 2 \times 23$
$HCF$ શોધવા માટે,દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર લો:
$HCF = 2^1 = 2$
$LCM$ શોધવા માટે,દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર લો:
$LCM = 2^2 \times 3 \times 5 \times 17 \times 23 = 4 \times 3 \times 5 \times 17 \times 23 = 23460$
હવે,સંબંધ ચકાસો:
બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $= 510 \times 92 = 46920$
$HCF \times LCM = 2 \times 23460 = 46920$
આમ,$46920 = 46920$ હોવાથી,$LCM \times HCF =$ બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર સંબંધ ચકાસાય છે.

(C) સૌ પ્રથમ,સંખ્યાઓનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ શોધો:
$336 = 2^4 \times 3 \times 7$
$54 = 2 \times 3^3$
$HCF$ એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$HCF = 2^1 \times 3^1 = 6$
$LCM$ એ દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$LCM = 2^4 \times 3^3 \times 7 = 16 \times 27 \times 7 = 3024$
હવે,સંબંધ ચકાસો:
બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $= 336 \times 54 = 18144$
$LCM \times HCF = 3024 \times 6 = 18144$
આમ,$18144 = 18144$ હોવાથી,સંબંધ ચકાસાય છે.

(D) $12, 15$ અને $21$ નો $LCM$ અને $HCF$ અવિભાજ્ય અવયવીકરણની રીત દ્વારા શોધવા માટે:
પગલું $1$: દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો શોધો.
$12 = 2^{2} \times 3$
$15 = 3 \times 5$
$21 = 3 \times 7$
પગલું $2$: $HCF$ એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે.
અહીં સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ માત્ર $3$ છે,અને તેની સૌથી નાની ઘાત $3^{1}$ છે.
તેથી,$HCF = 3$.
પગલું $3$: $LCM$ એ દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે.
અહીં સમાવિષ્ટ અવિભાજ્ય અવયવો $2, 3, 5$ અને $7$ છે.
તેમની સૌથી મોટી ઘાતો $2^{2}, 3^{1}, 5^{1}$ અને $7^{1}$ છે.
$LCM = 2^{2} \times 3^{1} \times 5^{1} \times 7^{1} = 4 \times 3 \times 5 \times 7 = 420$.

(A) $17, 23$ અને $29$ નો અવિભાજ્ય અવયવીકરણની રીતથી $LCM$ અને $HCF$ શોધવા માટે:
પગલું $1$: દરેક સંખ્યાનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ લખો.
$17 = 1 \times 17$
$23 = 1 \times 23$
$29 = 1 \times 29$
પગલું $2$: $HCF$ શોધો.
$HCF$ એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે.
અહીં $1$ સિવાય કોઈ સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ નથી,તેથી $HCF = 1$.
પગલું $3$: $LCM$ શોધો.
$LCM$ એ દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે.
$LCM = 17 \times 23 \times 29 = 11339$.
આમ,$HCF = 1$ અને $LCM = 11339$ છે.

(B) $8, 9$ અને $25$ નો $LCM$ અને $HCF$ અવિભાજ્ય અવયવીકરણની રીતથી શોધવા માટે:
પગલું $1$: દરેક સંખ્યાનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ લખો:
$8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$
$9 = 3 \times 3 = 3^2$
$25 = 5 \times 5 = 5^2$
પગલું $2$: $HCF$ (ગુરૂત્તમ સામાન્ય અવયવ) શોધો:
$HCF$ એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે. અહીં $1$ સિવાય કોઈ સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ નથી,તેથી $HCF = 1$.
પગલું $3$: $LCM$ (લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી) શોધો:
$LCM$ એ દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$LCM = 2^3 \times 3^2 \times 5^2$
$LCM = 8 \times 9 \times 25$
$LCM = 72 \times 25 = 1800$
આમ,$LCM = 1800$ અને $HCF = 1$ છે.

(C) આપણને આપેલ છે કે $HCF (306, 657) = 9$.
આપણે જાણીએ છીએ કે બે સંખ્યાઓ,તેમના $HCF$ અને તેમના $LCM$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$LCM (a, b) \times HCF (a, b) = a \times b$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$LCM (306, 657) \times 9 = 306 \times 657$
$LCM$ શોધવા માટે,સંખ્યાઓના ગુણાકારને તેમના $HCF$ વડે ભાગો:
$LCM (306, 657) = \frac{306 \times 657}{9}$
પ્રથમ,$306$ ને $9$ વડે ભાગતા:
$306 \div 9 = 34$
હવે,પરિણામનો $657$ સાથે ગુણાકાર કરતા:
$LCM (306, 657) = 34 \times 657 = 22338$
તેથી,$LCM (306, 657)$ એ $22338$ છે.

(N/A) જો કોઈ સંખ્યાનો અંતિમ અંક $0$ હોય,તો તે $10$ વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે તે $2$ અને $5$ બંને વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ,કારણ કે $10 = 2 \times 5$ થાય છે.
$6^{n}$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $(2 \times 3)^{n} = 2^{n} \times 3^{n}$ છે.
અહીં જોઈ શકાય છે કે $6^{n}$ ના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં $5$ નો સમાવેશ થતો નથી.
કારણ કે $5$ એ $6^{n}$ નો અવયવ નથી,તેથી કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે $6^{n}$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય નથી.
તેથી,કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે $6^{n}$ નો અંતિમ અંક $0$ હોઈ શકે નહીં.

(N/A) સંખ્યાઓ બે પ્રકારની હોય છે: અવિભાજ્ય અને વિભાજ્ય. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓને માત્ર બે જ અવયવો હોય છે,$1$ અને તે સંખ્યા પોતે,જ્યારે વિભાજ્ય સંખ્યાઓને બે કરતાં વધુ અવયવો હોય છે.
પ્રથમ પદાવલિ માટે:
$7 \times 11 \times 13+13 = 13 \times (7 \times 11 + 1) = 13 \times (77 + 1) = 13 \times 78 = 13 \times 13 \times 6$.
આ પદાવલિને $1$ અને તે સંખ્યા સિવાયના અન્ય અવયવો (જેમ કે $6, 13, 78$) હોવાથી,તે એક વિભાજ્ય સંખ્યા છે.
બીજી પદાવલિ માટે:
$7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1+5 = 5 \times (7 \times 6 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 + 1) = 5 \times (1008 + 1) = 5 \times 1009$.
અહીં $1009$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે,તેથી આ પદાવલિના અવયવો $5$ અને $1009$ છે (ઉપરાંત $1$ અને તે સંખ્યા પોતે). તેથી,તે એક વિભાજ્ય સંખ્યા છે.

(B) સોનિયા અને રવિ ફરીથી શરૂઆતના બિંદુ પર ક્યારે મળશે તે શોધવા માટે,આપણે તેઓને એક આંટો પૂરો કરવા માટે લાગતા સમયનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડશે.
સોનિયાને $18$ મિનિટ લાગે છે અને રવિને $12$ મિનિટ લાગે છે.
$18$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $2 \times 3^2$.
$12$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $2^2 \times 3$.
$LCM(18, 12) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$.
તેથી,તેઓ $36$ મિનિટ પછી ફરીથી શરૂઆતના બિંદુ પર મળશે.

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$\sqrt{3}$ એ સંમેય સંખ્યા છે.
એટલે કે,આપણે એવા પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ શોધી શકીએ કે જેથી $\sqrt{3} = \frac{a}{b}$ થાય.
ધારો કે $a$ અને $b$ માં $1$ સિવાયનો કોઈ સામાન્ય અવયવ છે. તો આપણે તે સામાન્ય અવયવ વડે ભાગાકાર કરીને એવું માની શકીએ કે $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે.
તેથી,$b\sqrt{3} = a$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $3b^2 = a^2$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $a^2$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે,અને અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$a$ પણ $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
તેથી,આપણે કોઈ પૂર્ણાંક $c$ માટે $a = 3c$ લખી શકીએ.
$3b^2 = a^2$ માં $a = 3c$ મૂકતા,આપણને $3b^2 = (3c)^2 = 9c^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $b^2 = 3c^2$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $b^2$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે,અને પરિણામે,$b$ પણ $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
તેથી,$a$ અને $b$ બંનેમાં ઓછામાં ઓછો $3$ સામાન્ય અવયવ છે.
પરંતુ આ હકીકતનો વિરોધાભાસ કરે છે કે $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે.
આ વિરોધાભાસ આપણી ખોટી ધારણાને કારણે ઉભો થયો છે કે $\sqrt{3}$ સંમેય છે. તેથી,આપણે નિષ્કર્ષ કાઢીએ છીએ કે $\sqrt{3}$ અસંમેય છે.

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$5-\sqrt{3}$ એ સંમેય સંખ્યા છે.
એટલે કે,આપણે પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ શોધી શકીએ છીએ જેથી $5-\sqrt{3} = \frac{a}{b}$ થાય.
આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $5 - \frac{a}{b} = \sqrt{3}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\sqrt{3} = \frac{5b - a}{b}$ થાય છે.
અહીં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$\frac{5b - a}{b}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે. આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{3}$ સંમેય છે.
પરંતુ,આ હકીકત એ વાતનો વિરોધાભાસ કરે છે કે $\sqrt{3}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.
આ વિરોધાભાસ આપણી ખોટી ધારણાને કારણે ઉદ્ભવ્યો છે કે $5-\sqrt{3}$ સંમેય છે.
તેથી,આપણે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે $5-\sqrt{3}$ અસંમેય છે.

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$3 \sqrt{2}$ એ સંમેય સંખ્યા છે.
એટલે કે,આપણે પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ શોધી શકીએ છીએ કે જેથી $3 \sqrt{2} = \frac{a}{b}$ થાય.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{2} = \frac{a}{3b}$ મળે છે.
અહીં $3$,$a$ અને $b$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$\frac{a}{3b}$ એ સંમેય સંખ્યા છે,જેનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{2}$ પણ સંમેય સંખ્યા છે.
પરંતુ,આ હકીકત એ વિરોધાભાસ છે કે $\sqrt{2}$ અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે અને આપણે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે $3 \sqrt{2}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) ધારો કે $\sqrt{5}$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણે બે પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ શોધી શકીએ છીએ જેથી $\sqrt{5} = \frac{a}{b}$ થાય,જ્યાં $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે (એટલે કે,તેમનો સામાન્ય અવયવ માત્ર $1$ છે).
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $a^2 = 5b^2$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $a^2$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય છે,અને અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$a$ પણ $5$ વડે વિભાજ્ય છે.
ધારો કે $a = 5k$,જ્યાં $k$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
આ કિંમતને $a^2 = 5b^2$ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $(5k)^2 = 5b^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $25k^2 = 5b^2$ અથવા $b^2 = 5k^2$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $b^2$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય છે,અને પરિણામે,$b$ પણ $5$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$a$ અને $b$ બંને $5$ વડે વિભાજ્ય હોવાથી,તેમનો સામાન્ય અવયવ $5$ છે,જે આપણી શરૂઆતની ધારણા કે $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે,તેનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,આપણી ધારણા કે $\sqrt{5}$ સંમેય છે તે ખોટી છે,અને આપણે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે $\sqrt{5}$ અસંમેય છે.

(N/A) ધારો કે $3+2 \sqrt{5}$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણે બે પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ એવી રીતે શોધી શકીએ કે જેથી $3+2 \sqrt{5} = \frac{a}{b}$ થાય.
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતા,આપણને $2 \sqrt{5} = \frac{a}{b} - 3$ મળે છે.
જમણી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા,$2 \sqrt{5} = \frac{a-3b}{b}$ મળે છે.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\sqrt{5} = \frac{a-3b}{2b}$ મળે છે.
અહીં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$\frac{a-3b}{2b}$ એક સંમેય સંખ્યા છે. આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{5}$ સંમેય છે.
પરંતુ,આ હકીકત એ વિરોધાભાસ છે કે $\sqrt{5}$ એક અસંમેય સંખ્યા છે.
આ વિરોધાભાસ આપણી ખોટી ધારણાને કારણે ઉભો થયો છે કે $3+2 \sqrt{5}$ સંમેય છે.
તેથી,આપણે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે $3+2 \sqrt{5}$ અસંમેય છે.

(B) ધારો કે $\frac{1}{\sqrt{2}}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણે બે પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ શોધી શકીએ છીએ જેથી $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{a}{b}$ થાય.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{2} = \frac{b}{a}$ મળે છે.
જેમ કે $a$ અને $b$ પૂર્ણાંકો છે,તેથી $\frac{b}{a}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
આનો અર્થ એ થાય છે કે $\sqrt{2}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
જો કે,આ હકીકત એ વિરોધાભાસ છે કે $\sqrt{2}$ એ એક અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે અને $\frac{1}{\sqrt{2}}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) ધારો કે $7 \sqrt{5}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણે બે પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ એવી રીતે શોધી શકીએ કે જેથી $7 \sqrt{5} = \frac{a}{b}$ થાય.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{5} = \frac{a}{7b}$ મળે છે.
અહીં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$\frac{a}{7b}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{5}$ પણ એક સંમેય સંખ્યા હોવી જોઈએ.
પરંતુ,આ હકીકત એ વાતનો વિરોધાભાસ કરે છે કે $\sqrt{5}$ એ એક અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણી શરૂઆતની ધારણા કે $7 \sqrt{5}$ એ સંમેય છે તે ખોટી છે.
આમ,$7 \sqrt{5}$ એ એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) ધારો કે $6+\sqrt{2}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણે બે પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ એવી રીતે શોધી શકીએ કે જેથી $6+\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ થાય.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{2} = \frac{a}{b} - 6$ મળે છે.
અહીં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$\frac{a}{b} - 6 = \frac{a-6b}{b}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{2}$ એ સંમેય સંખ્યા છે.
પરંતુ,આ હકીકત એ જાણીતી બાબતનો વિરોધાભાસ કરે છે કે $\sqrt{2}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.
આ વિરોધાભાસ આપણી ખોટી ધારણાને કારણે ઉદ્ભવ્યો છે કે $6+\sqrt{2}$ સંમેય છે.
તેથી,આપણે કહી શકીએ કે $6+\sqrt{2}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(A) કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો તપાસીએ છીએ.
જો $q$ એ $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે,તો તેનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય છે.
અહીં આપેલ અપૂર્ણાંક $\frac{13}{3125}$ માં,છેદ $3125$ છે.
$3125$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડતા: $3125 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^5$.
આને $2^0 \times 5^5$ તરીકે લખી શકાય,જે $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં છે (જ્યાં $n=0$ અને $m=5$).
છેદ $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,$\frac{13}{3125}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.

(A) કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો તપાસીએ છીએ.
જો $q$ એ $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ એ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે,તો તેનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય છે.
આપેલ સંમેય સંખ્યા $\frac{17}{8}$ છે.
અહીં છેદ $8$ છે.
$8$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$ છે.
આપણે $8 = 2^3 \times 5^0$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
છેદ $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,$\frac{17}{8}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.

(B) કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^{m} \times 5^{n}$ સ્વરૂપમાં હોવા જોઈએ,જ્યાં $m$ અને $n$ એ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
આપેલી સંમેય સંખ્યા $\frac{64}{455}$ છે.
સૌ પ્રથમ,છેદ $455$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો:
$455 = 5 \times 7 \times 13$.
અહીં છેદ $455$ ના અવિભાજ્ય અવયવોમાં $2$ અને $5$ સિવાયના અવયવો ($7$ અને $13$) પણ છે,તેથી સંમેય સંખ્યા $\frac{64}{455}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત નથી.
આથી,$\frac{64}{455}$ નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત આવૃત છે.

(A) કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો તપાસીએ છીએ.
જો $q$ એ $2^{m} \times 5^{n}$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $m$ અને $n$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે,તો દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય છે.
આપેલ અપૂર્ણાંક: $\frac{15}{1600}$.
પ્રથમ,અપૂર્ણાંકનું અતિસંક્ષિપ્ત રૂપ મેળવો: $\frac{15}{1600} = \frac{3}{320}$.
હવે,છેદ $320$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો:
$320 = 32 \times 10 = 2^{5} \times 2 \times 5 = 2^{6} \times 5^{1}$.
અહીં છેદ $2^{m} \times 5^{n}$ સ્વરૂપમાં હોવાથી (જ્યાં $m=6$ અને $n=1$),$\frac{15}{1600}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.

(B) કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^{m} \times 5^{n}$ સ્વરૂપમાં હોવા જોઈએ,જ્યાં $m$ અને $n$ એ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
આપેલ સંમેય સંખ્યા $\frac{29}{343}$ માટે:
છેદ $343$ છે.
$343$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $343 = 7 \times 7 \times 7 = 7^{3}$ છે.
અહીં છેદના અવિભાજ્ય અવયવોમાં $2^{m} \times 5^{n}$ સ્વરૂપ નથી,તેથી $\frac{29}{343}$ નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત આવૃત છે.

(A) કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો તપાસીએ છીએ.
જો છેદ $q$ એ $2^{m} \times 5^{n}$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $m$ અને $n$ એ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે,તો તે સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય છે.
આપેલ પદ $\frac{23}{2^{3} \times 5^{2}}$ માં,છેદ $2^{3} \times 5^{2}$ છે.
અહીં,$m = 3$ અને $n = 2$ છે,જે અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
છેદ $2^{m} \times 5^{n}$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,સંમેય સંખ્યા $\frac{23}{2^{3} \times 5^{2}}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.

(B) કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય છે જો તેના છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^{m} \cdot 5^{n}$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $m$ અને $n$ એ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
આપેલ સંમેય સંખ્યા $\frac{129}{2^{2} \cdot 5^{7} \cdot 7^{5}}$ માં,છેદ $q = 2^{2} \cdot 5^{7} \cdot 7^{5}$ છે.
અહીં છેદના અવિભાજ્ય અવયવોમાં $2$ અને $5$ સિવાયનો અન્ય અવયવ $(7^{5})$ હોવાથી,આ દશાંશ નિરૂપણ અનંત આવૃત છે.

(A) સૌ પ્રથમ,અપૂર્ણાંકને તેના અતિસંક્ષિપ્ત રૂપમાં ફેરવો:
$\frac{6}{15} = \frac{2 \times 3}{5 \times 3} = \frac{2}{5}$
કોઈપણ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય છે જો તેના છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
અહીં,છેદ $5$ છે,જેને $2^0 \times 5^1$ તરીકે લખી શકાય છે.
છેદ $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,$\frac{6}{15}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.

(A) કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^{m} \times 5^{n}$ સ્વરૂપમાં છે કે નહીં તે તપાસીએ છીએ,જ્યાં $m$ અને $n$ એ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
આપેલ સંમેય સંખ્યા $\frac{35}{50}$ ને સૌ પ્રથમ તેના અતિસંક્ષિપ્ત રૂપમાં ફેરવતા:
$\frac{35}{50} = \frac{7 \times 5}{10 \times 5} = \frac{7}{10}$.
અહીં છેદ $10$ છે.
$10$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^{1} \times 5^{1}$ છે.
છેદ $2^{m} \times 5^{n}$ સ્વરૂપમાં હોવાથી (જ્યાં $m=1$ અને $n=1$),સંમેય સંખ્યા $\frac{35}{50}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.

(B) કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં છે કે નહીં તે તપાસીએ છીએ,જ્યાં $n$ અને $m$ એ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
પ્રથમ,અપૂર્ણાંક $\frac{77}{210}$ ને તેના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $7$ વડે ભાગીને સરળ બનાવો:
$\frac{77 \div 7}{210 \div 7} = \frac{11}{30}$.
હવે,છેદ $30$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો:
$30 = 2 \times 3 \times 5$.
અહીં છેદના અવિભાજ્ય અવયવોમાં $2$ અને $5$ સિવાય $3$ પણ આવે છે,તેથી આ સંમેય સંખ્યા $\frac{11}{30}$ નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત આવૃત છે.

(0.00416) $\frac{13}{3125}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શોધવા માટે,આપણે ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરી શકીએ અથવા છેદને $10$ ની ઘાત તરીકે દર્શાવી શકીએ.
પગલું $1$: છેદ $3125$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $3125 = 5^5$ છે.
પગલું $2$: છેદને $10$ ની ઘાત બનાવવા માટે,અંશ અને છેદને $2^5 = 32$ વડે ગુણો.
$\frac{13}{3125} = \frac{13 \times 2^5}{5^5 \times 2^5} = \frac{13 \times 32}{(5 \times 2)^5} = \frac{416}{10^5} = \frac{416}{100000} = 0.00416$.

(N/A) $\frac{17}{8}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શોધવા માટે,આપણે ભાગાકાર કરીએ છીએ:
$1$. $17$ ને $8$ વડે ભાગો.
$2$. $8 \times 2 = 16$,તેથી $17 - 16 = 1$.
$3$. ભાગફળમાં દશાંશ ચિહ્ન મૂકો અને શેષમાં $0$ ઉમેરો,જેથી તે $10$ થાય.
$4$. $8 \times 1 = 8$,તેથી $10 - 8 = 2$.
$5$. શેષમાં બીજો $0$ ઉમેરો,જેથી તે $20$ થાય.
$6$. $8 \times 2 = 16$,તેથી $20 - 16 = 4$.
$7$. શેષમાં બીજો $0$ ઉમેરો,જેથી તે $40$ થાય.
$8$. $8 \times 5 = 40$,તેથી $40 - 40 = 0$.
આમ,$\frac{17}{8} = 2.125$.