સાબિત કરો કે સંખ્યા $\sqrt{3}+\sqrt{7}$ અસંમેય છે.

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$\sqrt{3}+\sqrt{7}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે. ધારો કે $\sqrt{3}+\sqrt{7} = r$,જ્યાં $r$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે: $(\sqrt{3}+\sqrt{7})^2 = r^2$.
$3 + 7 + 2\sqrt{21} = r^2$.
$10 + 2\sqrt{21} = r^2$.
$2\sqrt{21} = r^2 - 10$.
$\sqrt{21} = \frac{r^2 - 10}{2}$.
જેમ કે $r$ એ સંમેય સંખ્યા છે,તેથી $r^2$ પણ એક સંમેય સંખ્યા છે. તેથી,$\frac{r^2 - 10}{2}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
આ સૂચવે છે કે $\sqrt{21}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
જોકે,આપણે જાણીએ છીએ કે $\sqrt{21}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે કારણ કે $21$ એ પૂર્ણ વર્ગ નથી.
આ આપણી ધારણા કે $\sqrt{3}+\sqrt{7}$ સંમેય છે તેનાથી વિરોધાભાસી છે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે,અને $\sqrt{3}+\sqrt{7}$ એ અસંમેય સંખ્યા જ હોવી જોઈએ.