સાબિત કરો કે સંખ્યા $\sqrt{21}$ અસંમેય છે.

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$\sqrt{21}$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,બે પરસ્પર અવિભાજ્ય ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ એવા મળે કે જેથી $\sqrt{21} = \frac{a}{b}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $21 = \frac{a^2}{b^2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a^2 = 21b^2$.
આનો અર્થ એ છે કે $a^2$ એ $21$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી $a$ પણ $21$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ (કારણ કે $21$ એ બે ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $3$ અને $7$ નો ગુણાકાર છે).
ધારો કે $a = 21k$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $(21k)^2 = 21b^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $441k^2 = 21b^2$ અથવા $b^2 = 21k^2$ થાય છે.
આ સૂચવે છે કે $b^2$ એ $21$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી $b$ પણ $21$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
આમ,$a$ અને $b$ નો સામાન્ય અવયવ $21$ છે,જે આપણી ધારણા કે $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે તેનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે અને $\sqrt{21}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.