Mix Examples - Polynomials Questions in Gujarati

(B) આપેલ બહુપદી $p(x) = 2012x + 2011$ છે.
આ પદાવલિમાં ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $1$ છે.
જે બહુપદીની ઘાત $1$ હોય તેને સુરેખ બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
તેથી,$p(x) = 2012x + 2011$ એ સુરેખ બહુપદી છે.

(C) આપેલ બહુપદી $p(x) = 9x^{2} + \frac{7}{2}x^{3} + 5$ છે.
પદોને તેમના ઘાતના ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવતા,આપણને $p(x) = \frac{7}{2}x^{3} + 9x^{2} + 5$ મળે છે.
બહુપદીની ઘાત એટલે તેમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
અહીં,$x$ ની સૌથી મોટી ઘાત $3$ છે.
બહુપદીની ઘાત $3$ હોવાથી,તેને ત્રિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.

(B) આપેલ બહુપદી $p(x) = (x - 1)(2 - x)$ છે.
પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા: $p(x) = x(2) - x(x) - 1(2) + 1(x) = 2x - x^2 - 2 + x$.
સમાન પદોને ભેગા કરતા: $p(x) = -x^2 + 3x - 2$.
આ બહુપદીમાં ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $2$ છે.
$2$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને દ્વિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.

(B) આપેલ બહુપદી $p(x) = x^{2} - \sqrt{3}x^{3} + 4x^{7} + 9$ છે.
બહુપદીની ઘાત શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ પદોને તેમના ઘાતાંકના ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવીએ:
$p(x) = 4x^{7} - \sqrt{3}x^{3} + x^{2} + 9$.
બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલનો સૌથી મોટો ઘાતાંક.
આ પદાવલિમાં,$x$ ના ઘાતાંકો $7, 3, 2$ અને $0$ છે (કારણ કે $9 = 9x^{0}$).
સૌથી મોટો ઘાતાંક $7$ છે.
તેથી,બહુપદીની ઘાત $7$ છે.

(C) આપેલ બહુપદી $p(x) = 5x^{100} - (x^{10})^{20} + 3(x^2)^{25} + 2x^{25} - 7$ છે.
પ્રથમ,ઘાતાંકના નિયમ $(x^a)^b = x^{a \cdot b}$ નો ઉપયોગ કરીને પદોનું સાદું રૂપ આપો:
$(x^{10})^{20} = x^{10 \cdot 20} = x^{200}$
$(x^2)^{25} = x^{2 \cdot 25} = x^{50}$
આ કિંમતોને બહુપદીમાં મૂકતા:
$p(x) = 5x^{100} - x^{200} + 3x^{50} + 2x^{25} - 7$
પદોને તેમની ઘાતના ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવતા:
$p(x) = -x^{200} + 5x^{100} + 3x^{50} + 2x^{25} - 7$
બહુપદીની ઘાત એટલે ચલ $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત.
અહીં,સૌથી મોટી ઘાત $200$ છે.
તેથી,બહુપદીની ઘાત $200$ છે.

(D) આપેલ બહુપદી $p(x) = \frac{7}{2} x - 9$ છે.
બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલ $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત.
પદાવલિ $\frac{7}{2} x - 9$ માં,ચલ $x$ ની ઘાત $1$ છે (કારણ કે $x = x^1$).
તેથી,બહુપદીની ઘાત $1$ છે.

(A) આપેલ બહુપદી $p(x) = 5x - 2x^2 + 3$ છે.
પદોને તેમની ઘાતના ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવતા,આપણને $p(x) = -2x^2 + 5x + 3$ મળે છે.
બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આ બહુપદીમાં,ચલ $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત $2$ છે (પદ $-2x^2$ માંથી).
તેથી,બહુપદીની ઘાત $2$ છે.

(N/A) આપેલ બહુપદી: $p(x) = 2x^3 + x^2 - x - 1$
પગલું $1$: $x = 0$ માટે કિંમત શોધો.
$p(0) = 2(0)^3 + (0)^2 - (0) - 1$
$p(0) = 0 + 0 - 0 - 1$
$p(0) = -1$
પગલું $2$: $x = -2$ માટે કિંમત શોધો.
$p(-2) = 2(-2)^3 + (-2)^2 - (-2) - 1$
$p(-2) = 2(-8) + 4 + 2 - 1$
$p(-2) = -16 + 4 + 2 - 1$
$p(-2) = -11$
આમ,કિંમતો $p(0) = -1$ અને $p(-2) = -11$ છે.

(N/A) અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x-a)$ એ બહુપદી $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(a)=0$ થાય.
અહીં,આપણે તપાસવું છે કે શું $(x+2)$ એ $p(x)=2x^{3}-4x^{2}+5x+42$ નો અવયવ છે.
$(x+2)$ ને $(x-a)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = -2$ મળે છે.
હવે,આપણે $p(-2)$ ની ગણતરી કરીએ:
$p(-2) = 2(-2)^{3} - 4(-2)^{2} + 5(-2) + 42$
$p(-2) = 2(-8) - 4(4) - 10 + 42$
$p(-2) = -16 - 16 - 10 + 42$
$p(-2) = -42 + 42$
$p(-2) = 0$
કારણ કે $p(-2) = 0$ છે,તેથી અવયવ પ્રમેય મુજબ,$(x+2)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.

(D) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આપેલ બહુપદી $p(x) = 7x^2 - 5x^3 + 3$ માં,$x$ ની ઘાત $2$,$3$ અને $0$ છે (કારણ કે $3 = 3x^0$).
અહીં સૌથી મોટી ઘાત $3$ છે.
જે બહુપદીની ઘાત $3$ હોય તેને ત્રિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) બહુપદીનો ઘાત એટલે તેમાં રહેલા ચલનો સૌથી મોટો ઘાતાંક.
આપેલ બહુપદી $p(x) = 7 - 5x$ માં,ચલ $x$ છે અને તેનો મહત્તમ ઘાત $1$ છે.
$1$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને સુરેખ બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
તેથી,$p(x) = 7 - 5x$ એ સુરેખ બહુપદી છે.

(B) બહુપદીનો પ્રકાર ઓળખવા માટે,સૌ પ્રથમ આપણે પદાવલિ $p(x) = (x - 15)(x + 15)$ નું સાદું રૂપ આપીશું.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$p(x) = x^2 - 15^2$
$p(x) = x^2 - 225$
આ બહુપદીમાં ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $2$ છે.
જે બહુપદીની ઘાત $2$ હોય તેને દ્વિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ બહુપદી $p(x) = \frac{3}{2} - 0.75x - x^{2}$ છે.
બહુપદીનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે તેમાં રહેલા ચલ $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત જોઈએ છીએ.
અહીં,$x$ ની ઘાત $0$ ($\frac{3}{2}$ માં),$1$ ($-0.75x$ માં),અને $2$ ($-x^{2}$ માં) છે.
બહુપદીની સૌથી મોટી ઘાત (ઘાત) $2$ છે.
$2$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને દ્વિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) બહુપદી $p(x) = 5x^8 - 6(x^2)^5 - 4x^3 - 14$ ની ઘાત શોધવા માટે,આપણે પહેલા પદાવલિનું સાદું રૂપ આપીશું.
ઘાતાંકના નિયમ $(x^a)^b = x^{a \times b}$ નો ઉપયોગ કરીને,$6(x^2)^5$ પદને $6x^{10}$ તરીકે લખી શકાય.
હવે,બહુપદી $p(x) = 5x^8 - 6x^{10} - 4x^3 - 14$ બને છે.
બહુપદીની ઘાત એટલે તેમાં રહેલા ચલ $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત.
$x$ ની ઘાતો $(8, 10, 3)$ ની સરખામણી કરતા,સૌથી મોટી ઘાત $10$ છે.
તેથી,બહુપદીની ઘાત $10$ છે.

(A) બહુપદી $p(x) = (x^{1/2})^{50} - 5x^{10} - 9x^2 + 15$ ની ઘાત શોધવા માટે,આપણે પહેલા પદાવલિનું સાદું રૂપ આપીશું.
ઘાતાંકના નિયમ $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પ્રથમ પદનું સાદું રૂપ આપીએ:
$(x^{1/2})^{50} = x^{(1/2) \cdot 50} = x^{25}$.
હવે,બહુપદી $p(x) = x^{25} - 5x^{10} - 9x^2 + 15$ બને છે.
બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલ $x$ નો સૌથી મોટો ઘાતાંક.
પદો $x^{25}$,$x^{10}$,અને $x^2$ માં $x$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,સૌથી મોટો ઘાતાંક $25$ છે.
તેથી,આ બહુપદીની ઘાત $25$ છે.

(B) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આપેલ બહુપદી: $p(x) = 6 - 5x^3 + 4x^5 - 5x^2$.
અહીં ચલ $x$ ના પદોની ઘાત $0$ ($6$ માં),$3$ ($-5x^3$ માં),$5$ ($4x^5$ માં),અને $2$ ($-5x^2$ માં) છે.
આ ઘાતાંકોમાં સૌથી મોટી ઘાત $5$ છે.
તેથી,બહુપદી $p(x)$ ની ઘાત $5$ છે.

(C) બહુપદી $p(x) = x^{15} - (x^5)^6 + x^3 - 7$ ની ઘાત શોધવા માટે,આપણે પહેલા પદાવલિનું સાદું રૂપ આપીશું.
ઘાતાંકના નિયમ $(a^m)^n = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $(x^5)^6$ પદનું સાદું રૂપ આપીએ:
$(x^5)^6 = x^{5 \times 6} = x^{30}$.
હવે,આ કિંમતને બહુપદીમાં મૂકતા:
$p(x) = x^{15} - x^{30} + x^3 - 7$.
બહુપદીની ઘાત એટલે તેમાં રહેલા ચલ $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત.
$x^{15}$,$x^{30}$,અને $x^3$ પદોમાં $x$ ની ઘાતની સરખામણી કરતા,સૌથી મોટી ઘાત $30$ છે.
તેથી,આ બહુપદીની ઘાત $30$ છે.

(D) $x = 2$ આગળ બહુપદી $p(x) = x^{4} + 2x^{3} - x + 2$ નું મૂલ્ય શોધવા માટે,પદાવલિમાં દરેક $x$ ની જગ્યાએ $2$ મૂકો:
$p(2) = (2)^{4} + 2(2)^{3} - (2) + 2$
દરેક પદની ગણતરી કરો:
$(2)^{4} = 16$
$2(2)^{3} = 2(8) = 16$
આ કિંમતોને ફરીથી પદાવલિમાં મૂકતા:
$p(2) = 16 + 16 - 2 + 2$
$p(2) = 32 - 2 + 2$
$p(2) = 32$
તેથી,$x = 2$ આગળ બહુપદીનું મૂલ્ય $32$ છે.

(A) $x = -3$ માટે બહુપદી $p(x) = 2x^4 - x^2 + 5x - 8$ નું મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે પદાવલિમાં $x$ ની જગ્યાએ $-3$ મૂકીશું:
$p(-3) = 2(-3)^4 - (-3)^2 + 5(-3) - 8$
દરેક પદની ગણતરી કરો:
$(-3)^4 = 81$,તેથી $2(81) = 162$
$(-3)^2 = 9$,તેથી $-(9) = -9$
$5(-3) = -15$
હવે,આ કિંમતોને ભેગી કરો:
$p(-3) = 162 - 9 - 15 - 8$
$p(-3) = 153 - 15 - 8$
$p(-3) = 138 - 8$
$p(-3) = 130$
આમ,$x = -3$ પર બહુપદીનું મૂલ્ય $130$ છે.

(B) બહુપદી $p(x) = 10 - 5x + 3x^2 - x^3$ ની $x = 2$ આગળ કિંમત શોધવા માટે:
$p(2) = 10 - 5(2) + 3(2)^2 - (2)^3$
$p(2) = 10 - 10 + 3(4) - 8$
$p(2) = 0 + 12 - 8 = 4$
$x = -2$ આગળ બહુપદીની કિંમત શોધવા માટે:
$p(-2) = 10 - 5(-2) + 3(-2)^2 - (-2)^3$
$p(-2) = 10 + 10 + 3(4) - (-8)$
$p(-2) = 20 + 12 + 8 = 40$
આમ,કિંમતો $4$ અને $40$ છે.

(C) ધારો કે બહુપદી $p(x) = x^{3} + 4x^{2} + 8x + a$ છે.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x+2)$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(-2) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = -2$ મૂકતા:
$p(-2) = (-2)^{3} + 4(-2)^{2} + 8(-2) + a = 0$
$-8 + 4(4) - 16 + a = 0$
$-8 + 16 - 16 + a = 0$
$-8 + a = 0$
$a = 8$
આમ,$a$ ની કિંમત $8$ છે.

(TRUE) જો $(x+3)$ એ $p(x) = x^{2}+10x+21$ નો અવયવ હોય,તો અવયવ પ્રમેય મુજબ $p(-3) = 0$ થવું જોઈએ.
અહીં $p(x) = x^{2}+10x+21$ માં $x = -3$ મૂકતા:
$p(-3) = (-3)^{2} + 10(-3) + 21$
$p(-3) = 9 - 30 + 21$
$p(-3) = 30 - 30 = 0$.
અહીં $p(-3) = 0$ મળે છે,તેથી આપેલ વિધાન સત્ય છે.

(B) બહુપદી $p(x) = x^{3}+5x^{2}-2x-25$ માટે $(x-2)$ અવયવ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે અવયવ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $p(a) = 0$ હોય,તો જ $(x-a)$ એ $p(x)$ નો અવયવ કહેવાય.
અહીં,$a = 2$ છે.
બહુપદીમાં $x = 2$ મૂકતા:
$p(2) = (2)^{3} + 5(2)^{2} - 2(2) - 25$
$p(2) = 8 + 5(4) - 4 - 25$
$p(2) = 8 + 20 - 4 - 25$
$p(2) = 28 - 29$
$p(2) = -1$
અહીં $p(2) \neq 0$ હોવાથી,$(x-2)$ એ આપેલી બહુપદીનો અવયવ નથી.
તેથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(A) જો $(x+3)$ એ $p(x) = x^{3}+6x^{2}+5x-12$ નો અવયવ હોય,તો અવયવ પ્રમેય મુજબ $p(-3) = 0$ થવું જોઈએ.
અહીં,$x+3 = x-(-3)$ હોવાથી,આપણે $p(-3)$ ની કિંમત શોધીશું.
$p(-3) = (-3)^{3} + 6(-3)^{2} + 5(-3) - 12$
$p(-3) = -27 + 6(9) - 15 - 12$
$p(-3) = -27 + 54 - 15 - 12$
$p(-3) = 54 - 54 = 0$.
અહીં $p(-3) = 0$ હોવાથી,$(x+3)$ એ આપેલ બહુપદીનો અવયવ છે.
તેથી,આ વિધાન સાચું છે.

(C) બહુપદી $p(x) = 25x^2 - 40x + 16$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે જોઈએ છીએ કે તે નિત્યસમ $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$ ના સ્વરૂપમાં છે.
અહીં,$25x^2 = (5x)^2$,તેથી $a = 5x$.
વળી,$16 = 4^2$,તેથી $b = 4$.
મધ્યમ પદ તપાસતા: $-2ab = -2(5x)(4) = -40x$,જે આપેલી બહુપદી સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,$25x^2 - 40x + 16 = (5x)^2 - 2(5x)(4) + 4^2 = (5x - 4)^2$.

(D) દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = x^{2} + 5x - 24$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવી પડશે જેનો ગુણાકાર $-24$ થાય અને જેનો સરવાળો $5$ થાય.
આ બે સંખ્યાઓ $8$ અને $-3$ છે,કારણ કે $8 \times (-3) = -24$ અને $8 + (-3) = 5$.
હવે,મધ્યમ પદ $5x$ ને $8x - 3x$ તરીકે વિભાજિત કરો:
$p(x) = x^{2} + 8x - 3x - 24$
પદોને જૂથમાં ગોઠવો:
$p(x) = (x^{2} + 8x) - (3x + 24)$
સામાન્ય પદો બહાર કાઢો:
$p(x) = x(x + 8) - 3(x + 8)$
અંતે,સામાન્ય દ્વિપદી $(x + 8)$ ને સામાન્ય લો:
$p(x) = (x + 8)(x - 3)$

(A) બહુપદી $p(x) = x^{3} - 4x^{2} + 5x - 20$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે પદોના જૂથ બનાવીશું:
$p(x) = (x^{3} - 4x^{2}) + (5x - 20)$
હવે,દરેક જૂથમાંથી સામાન્ય પદ બહાર કાઢો:
$p(x) = x^{2}(x - 4) + 5(x - 4)$
છેલ્લે,સામાન્ય દ્વિપદી $(x - 4)$ ને સામાન્ય લેતા:
$p(x) = (x - 4)(x^{2} + 5)$

(N/A) અહીં,$p(x)=x^{2}-3x-4=(x-4)(x+1)$.
$p(x)$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,$p(x)=0$ લો.
$\therefore (x-4)(x+1)=0$.
$\therefore x=4$ અથવા $x=-1$.
$\therefore 4$ અને $-1$ એ $p(x)$ ના શૂન્યો છે.
આ બહુપદીનો આલેખ દોરવા માટે,આપણે $x$ ની કેટલીક અલગ કિંમતો લઈએ છીએ અને નીચે મુજબનું કોષ્ટક તૈયાર કરીએ છીએ:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$3$	$4$	$5$
$p(x)=x^2-3x-4$	$6$	$0$	$-4$	$-4$	$0$	$6$

આ બિંદુઓને આલેખપત્ર પર અંકિત કરો. આ તમામ બિંદુઓ $(-2, 6), (-1, 0), (0, -4), (3, -4), (4, 0)$ અને $(5, 6)$ ને જોડતા,આપણને ઉપરની તરફ ખુલતા પરવલય જેવો આલેખ મળે છે. આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આ આલેખ $X$-અક્ષને બે બિંદુઓ $(-1, 0)$ અને $(4, 0)$ પર છેદે છે. તેમના $X$-યામ એ આ બહુપદીના શૂન્યો છે. આમ,$-1$ અને $4$ એ $p(x)$ ના શૂન્યો છે.

(N/A) અહીં,$p(x)=x^{3}-4 x$
$=x(x^{2}-4)$
$=x(x-2)(x+2)$
$p(x)$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,$p(x)=0$ લો.
$\therefore x(x-2)(x+2)=0$
$\therefore x=0, x=2$ અથવા $x=-2$.
$\therefore 0, 2$ અને $-2$ એ $p(x)$ ના શૂન્યો છે.
આ બહુપદીનો આલેખ દોરવા માટે,આપણે $x$ ની કેટલીક અલગ કિંમતો લઈએ છીએ અને નીચે મુજબનું કોષ્ટક તૈયાર કરીએ છીએ:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$p(x)=x^3-4x$	$0$	$3$	$0$	$-3$	$0$

આ બિંદુઓને આલેખમાં દર્શાવ્યા મુજબ પ્લોટ કરો. આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આ આલેખ $X$-અક્ષને ત્રણ અલગ-અલગ બિંદુઓ $(-2, 0)$,$(0, 0)$ અને $(2, 0)$ પર છેદે છે. તેમના $X$-યામ એ આ બહુપદીના શૂન્યો છે. તેથી,$p(x)$ ના શૂન્યો $-2, 0$ અને $2$ છે.

(0) બહુપદી $y=p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા એ બહુપદીનો આલેખ $X-$અક્ષને જેટલા બિંદુઓમાં છેદે તે બિંદુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે.
આપેલી આકૃતિમાં,$y=p(x)$ નો આલેખ $X-$અક્ષને સમાંતર રેખા છે,જે $X-$અક્ષને કોઈ પણ બિંદુમાં છેદતી નથી.
તેથી,$p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા $0$ છે.

(0) બહુપદી $y=p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા તે બિંદુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે જ્યાં બહુપદીનો આલેખ $X-$અક્ષને છેદે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,$y=p(x)$ નો આલેખ સંપૂર્ણપણે $X-$અક્ષની ઉપર આવેલો છે અને તે $X-$અક્ષને કોઈ પણ બિંદુએ છેદતો કે સ્પર્શતો નથી.
તેથી,બહુપદી $p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા $0$ છે.

(2) બહુપદી $y=p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા તે તેના આલેખ દ્વારા $X$-અક્ષને છેદતા બિંદુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,વક્ર $y=p(x)$ એ $X$-અક્ષને બે ભિન્ન બિંદુઓ પર છેદે છે (ઉગમબિંદુ $O$ અને ધન $X$-અક્ષ પરનું એક બિંદુ).
તેથી,$p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા $2$ છે.

(A) બહુપદી $y=p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા એ બહુપદીનો આલેખ $X-$અક્ષને જેટલા બિંદુઓમાં છેદે છે તે સંખ્યા જેટલી હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,$y=p(x)$ નો આલેખ $X-$અક્ષને બરાબર $1$ બિંદુમાં છેદે છે.
તેથી,$p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા $1$ છે.

(4) બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા એ $y=p(x)$ નો આલેખ $X-$અક્ષને જેટલા બિંદુઓમાં છેદે તે બિંદુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે.
આપેલ આલેખનું અવલોકન કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે વક્ર $X-$અક્ષને $4$ ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,$p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા $4$ છે.

(A) બહુપદી $p(x) = x^{2} - 2x$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$x^{2} - 2x = 0$
પદાવલિમાંથી $x$ સામાન્ય લેતા:
$x(x - 2) = 0$
આનાથી $x$ માટે બે શક્ય કિંમતો મળે છે:
$x = 0$ અથવા $x - 2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x = 2$.
આમ,બહુપદીના શૂન્યો $0$ અને $2$ છે.
અહીં બે ભિન્ન વાસ્તવિક કિંમતો હોવાથી,વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા $2$ છે.

(B) દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^2 + bx + c$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે વિવેચક (discriminant) $D = b^2 - 4ac$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
આપેલ બહુપદી $p(x) = 4x^2 + 11x + 10$ માટે,$a = 4$,$b = 11$,અને $c = 10$ છે.
આ કિંમતોને વિવેચકના સૂત્રમાં મૂકતા:
$D = (11)^2 - 4(4)(10)$
$D = 121 - 160$
$D = -39$
અહીં વિવેચક $D < 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણ $p(x) = 0$ ને કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
તેથી,આ બહુપદીના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા $0$ છે.

(C) બહુપદી $p(x) = 5x - 4$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
આમ,$5x - 4 = 0$.
બંને બાજુ $4$ ઉમેરતા,આપણને $5x = 4$ મળે છે.
$5$ વડે ભાગતા,આપણને $x = \frac{4}{5}$ મળે છે.
આ એક સુરેખ બહુપદી છે જે $ax + b$ (જ્યાં $a \neq 0$) સ્વરૂપમાં છે,તેથી તેને બરાબર એક વાસ્તવિક શૂન્ય હોય છે.
તેથી,વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા $1$ છે.

(D) બહુપદી $p(x) = x^{3} - 9x$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$x^{3} - 9x = 0$
પદમાંથી $x$ સામાન્ય કાઢતા:
$x(x^{2} - 9) = 0$
તફાવતના અવયવના સૂત્ર $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x^{2} - 9$ ને $(x - 3)(x + 3)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ:
$x(x - 3)(x + 3) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x = 0$,$x - 3 = 0 \implies x = 3$,અને $x + 3 = 0 \implies x = -3$.
આમ,બહુપદીના શૂન્યો $0, 3, -3$ છે.
અહીં $3$ ભિન્ન વાસ્તવિક કિંમતો હોવાથી,વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા $3$ છે.

(A) બહુપદી $p(x) = 2x - 5$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$2x - 5 = 0$
$2x = 5$
$x = 5/2$
આમ,બહુપદીનું શૂન્ય $5/2$ અથવા $2.5$ છે.
આલેખ દોરવા માટે,આપણે રેખા પરના બે બિંદુઓ શોધીએ છીએ:
$1$. જો $x = 0$ હોય,તો $p(0) = 2(0) - 5 = -5$. બિંદુ: $(0, -5)$.
$2$. જો $x = 2.5$ હોય,તો $p(2.5) = 2(2.5) - 5 = 0$. બિંદુ: $(2.5, 0)$.
આ બિંદુઓને આલેખપત્ર પર દર્શાવીને તેમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દોરવાથી સુરેખ બહુપદીનો આલેખ મળે છે.

(B) બહુપદી $p(x) = 3 - 2x - x^2$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$3 - 2x - x^2 = 0$
સરળ બનાવવા માટે $-1$ વડે ગુણતા: $x^2 + 2x - 3 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^2 + 3x - x - 3 = 0$.
$x(x + 3) - 1(x + 3) = 0$.
$(x - 1)(x + 3) = 0$.
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા,આપણને $x - 1 = 0$ અથવા $x + 3 = 0$ મળે છે.
આમ,શૂન્યો $x = 1$ અને $x = -3$ છે.

(C) બહુપદી $p(x) = x^{2} + x - 12$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
આમ,$x^{2} + x - 12 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધીએ છીએ જેનો ગુણાકાર $-12$ અને સરવાળો $1$ થાય.
આ સંખ્યાઓ $4$ અને $-3$ છે.
તેથી,$x^{2} + 4x - 3x - 12 = 0$.
$x(x + 4) - 3(x + 4) = 0$.
$(x - 3)(x + 4) = 0$.
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા,આપણને $x - 3 = 0$ અથવા $x + 4 = 0$ મળે છે.
તેથી,$x = 3$ અથવા $x = -4$.
આમ,બહુપદીના શૂન્યો $-4$ અને $3$ છે.

(D) બહુપદી $p(x) = x^3 - 2x^2$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$x^3 - 2x^2 = 0$
પદાવલિમાંથી $x^2$ સામાન્ય લેતા:
$x^2(x - 2) = 0$
આનાથી આપણને બે કિસ્સા મળે છે:
$x^2 = 0 \implies x = 0$
$x - 2 = 0 \implies x = 2$
આમ,બહુપદીના શૂન્યો $0$ અને $2$ છે.

(A) બહુપદી $p(x) = x^3$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
આનાથી આપણને $x^3 = 0$ સમીકરણ મળે છે.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,આપણને $x = 0$ મળે છે.
આલેખની દ્રષ્ટિએ,વક્ર $y = x^3$ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,જે એકમાત્ર બિંદુ છે જ્યાં તે $x$-અક્ષને છેદે છે.
તેથી,બહુપદી $p(x) = x^3$ નું શૂન્ય $0$ છે.

(B) કોઈપણ બહુપદી $y = p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા એ બહુપદીનો આલેખ $x$-અક્ષને જેટલા બિંદુઓમાં છેદે છે તેની સંખ્યા જેટલી હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,વક્ર $y = p(x)$ એ $x$-અક્ષને માત્ર એક જ બિંદુએ સ્પર્શે છે.
તેથી,બહુપદીના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા $1$ છે.

(C) બહુપદી $y=p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા તે બિંદુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે જ્યાં બહુપદીનો આલેખ $x$-અક્ષને છેદે છે.
આપેલી આકૃતિમાં,$y=p(x)$ ને દર્શાવતી રેખા $x$-અક્ષને માત્ર એક જ બિંદુમાં છેદે છે.
તેથી,$p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા $1$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) બહુપદી $y=p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા એ બહુપદીનો આલેખ $x$-અક્ષને જેટલા બિંદુઓમાં છેદે છે તેની સંખ્યા જેટલી હોય છે.
આપેલી આકૃતિમાં,વક્ર $y=p(x)$ એ $x$-અક્ષને $3$ ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,બહુપદીના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા $3$ છે.

(D) બહુપદી $y=p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા તે બિંદુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે જ્યાં બહુપદીનો આલેખ $x$-અક્ષને છેદે છે.
આપેલી આકૃતિમાં,વક્ર $y=p(x)$ એ $x$-અક્ષને $3$ ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,$p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા $3$ છે.

(A) $\frac{-2}{3}$ એ બહુપદી $p(x)=3x+2$ નું શૂન્ય છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે બહુપદીમાં $x = \frac{-2}{3}$ મૂકીશું.
$p\left(\frac{-2}{3}\right) = 3\left(\frac{-2}{3}\right) + 2$
$p\left(\frac{-2}{3}\right) = -2 + 2$
$p\left(\frac{-2}{3}\right) = 0$
અહીં $x = \frac{-2}{3}$ આગળ બહુપદીનું મૂલ્ય $0$ હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે $\frac{-2}{3}$ એ સુરેખ બહુપદી $p(x)=3x+2$ નું શૂન્ય છે.

(N/A) આપેલ બહુપદી $p(x) = 10x^2 - 14x - 12$ છે.
શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે બહુપદીના અવયવો પાડીશું:
$10x^2 - 14x - 12 = 10x^2 - 20x + 6x - 12$
$= 10x(x - 2) + 6(x - 2)$
$= (10x + 6)(x - 2)$
$p(x) = 0$ લેતા,આપણને $(10x + 6)(x - 2) = 0$ મળે છે.
આથી $x = -6/10 = -3/5$ અથવા $x = 2$.
આમ,શૂન્યો $-3/5$ અને $2$ છે.
$ax^2 + bx + c$ માટે શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
શૂન્યોનો સરવાળો $= -b/a = -(-14)/10 = 14/10 = 7/5$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= c/a = -12/10 = -6/5$.

(N/A) $p(x)$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,$p(x)=0$ લો.
$4 x^{3}+10 x^{2}+6 x=0$
$2 x(2 x^{2}+5 x+3)=0$
$2 x(2 x^{2}+2 x+3 x+3)=0$
$2 x(2 x(x+1)+3(x+1))=0$
$2 x(2 x+3)(x+1)=0$
આમ,શૂન્યો $x=0, x=-\frac{3}{2}, x=-1$ છે.
$p(x)=4 x^{3}+10 x^{2}+6 x+0$ માટે,$a=4, b=10, c=6, d=0$ છે.
શૂન્યોનો સરવાળો: $0 + (-\frac{3}{2}) + (-1) = -\frac{5}{2} = -\frac{10}{4} = -\frac{b}{a}$.
બબ્બે શૂન્યોના ગુણાકારનો સરવાળો: $(0)(-\frac{3}{2}) + (-\frac{3}{2})(-1) + (-1)(0) = 0 + \frac{3}{2} + 0 = \frac{3}{2} = \frac{6}{4} = \frac{c}{a}$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર: $(0)(-\frac{3}{2})(-1) = 0 = -\frac{0}{4} = -\frac{d}{a}$.