Mix Examples - Pair of Linear Equations in Two Variables Questions in Gujarati

(A) આપેલ સમીકરણો:
$5x - 15y = 8$ --- $(1)$
$3x - 9y = \frac{24}{5}$ --- $(2)$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y = c_1$ અને $a_2x + b_2y = c_2$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 5, b_1 = -15, c_1 = 8$
$a_2 = 3, b_2 = -9, c_2 = \frac{24}{5}$
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરીએ:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-15}{-9} = \frac{5}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{8}{24/5} = \frac{8 \times 5}{24} = \frac{40}{24} = \frac{5}{3}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{5}{3}$ હોવાથી,રેખાઓ સંપાતી છે.
તેથી,સમીકરણોની આ જોડીને અનંત ઉકેલો છે.

(B) ધારો કે દશકનો અંક $x$ છે અને એકમનો અંક $y$ છે. સંખ્યા $10x + y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,અંકોનો સરવાળો $x + y = 9$ છે (સમીકરણ $1$).
જ્યારે સંખ્યામાં $27$ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે અંકો ઉલટાઈ જાય છે,તેથી નવી સંખ્યા $10y + x$ બને છે.
આમ,$(10x + y) + 27 = 10y + x$.
પદોને ગોઠવતા: $10x - x + y - 10y = -27$,જેનું સાદું રૂપ $9x - 9y = -27$ થાય છે.
$9$ વડે ભાગતા,આપણને $x - y = -3$ મળે છે (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ નો સરવાળો કરતા: $(x + y) + (x - y) = 9 + (-3)$,જે $2x = 6$ આપે છે,તેથી $x = 3$.
$x = 3$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $3 + y = 9$,તેથી $y = 6$.
આમ,તે સંખ્યા $10(3) + 6 = 36$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણો છે:
$6x - 3y + 10 = 0$ ... $(1)$
$2x - y + 9 = 0$ ... $(2)$
આ સમીકરણોને વ્યાપક સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a_1 = 6, b_1 = -3, c_1 = 10$
$a_2 = 2, b_2 = -1, c_2 = 9$
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{6}{2} = 3$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-1} = 3$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{10}{9}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,આ રેખાઓ એકબીજાને સમાંતર છે અને ક્યાંય છેદતી નથી.

(D) આપેલ સમીકરણો $x + 2y + 5 = 0$ અને $-3x - 6y + 1 = 0$ છે.
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 1, b_1 = 2, c_1 = 5$
$a_2 = -3, b_2 = -6, c_2 = 1$
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{5}{1} = 5$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,આ સમીકરણો દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ સમાંતર છે.
તેથી,સમીકરણોની આ જોડીને કોઈ ઉકેલ નથી.

(A) જો સુરેખ સમીકરણોની જોડીને ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ મળે,તો તેને સુસંગત સમીકરણો કહેવાય છે.
$1$. જો રેખાઓ એક બિંદુમાં છેદતી હોય,તો સમીકરણોને અનન્ય ઉકેલ મળે છે,જેની શરત $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ છે.
$2$. જો રેખાઓ સંપાતી હોય,તો સમીકરણોને અનંત ઉકેલ મળે છે,જેની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આમ,બંને કિસ્સામાં ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ મળતો હોવાથી,રેખાઓ છેદતી અથવા સંપાતી હોય છે.

(B) આપેલ સમીકરણોની જોડી $y=0$ અને $y=-7$ છે.
$y=0$ એ $x$-અક્ષ દર્શાવે છે.
$y=-7$ એ $x$-અક્ષને સમાંતર રેખા દર્શાવે છે જે તેનાથી $7$ એકમ નીચે આવેલી છે.
આ બંને રેખાઓ એકબીજાને સમાંતર હોવાથી,તેઓ ક્યારેય એકબીજાને છેદશે નહીં.
તેથી,સમીકરણોની આ જોડીને કોઈ ઉકેલ નથી.

(C) સમીકરણ $x=a$ એ $y$-અક્ષને સમાંતર એક શિરોલંબ રેખા દર્શાવે છે,જે $x$-અક્ષ પરના બિંદુ $(a, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
સમીકરણ $y=b$ એ $x$-અક્ષને સમાંતર એક સમક્ષિતિજ રેખા દર્શાવે છે,જે $y$-અક્ષ પરના બિંદુ $(0, b)$ માંથી પસાર થાય છે.
જ્યારે આ બંને રેખાઓને એક જ કાર્તેઝિયન સમતલ પર દોરવામાં આવે છે,ત્યારે શિરોલંબ રેખા $x=a$ અને સમક્ષિતિજ રેખા $y=b$ એકબીજાને માત્ર એક જ બિંદુમાં છેદે છે.
છેદબિંદુનો $x$-યામ $a$ છે અને $y$-યામ $b$ છે.
તેથી,આ રેખાઓ બિંદુ $(a, b)$ પર છેદે છે.

(D) બે રેખાઓ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સંપાતી હોય તેની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આપેલ સમીકરણો $3x - y + 8 = 0$ અને $6x - ky + 16 = 0$ છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$a_1 = 3, b_1 = -1, c_1 = 8$ અને $a_2 = 6, b_2 = -k, c_2 = 16$ મળે છે.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા:
$\frac{3}{6} = \frac{-1}{-k} = \frac{8}{16}$.
ગુણોત્તરનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1}{2} = \frac{1}{k} = \frac{1}{2}$.
$\frac{1}{k} = \frac{1}{2}$ પરથી,આપણને $k = 2$ મળે છે.

(A) બે રેખાઓ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સમાંતર હોય તેની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આપેલ સમીકરણો:
$3x + 2ky - 2 = 0$
$2x + 5y + 1 = 0$
અહીં,$a_1 = 3, b_1 = 2k, c_1 = -2$ અને $a_2 = 2, b_2 = 5, c_2 = 1$ છે.
રેખાઓ સમાંતર હોવા માટે,$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ હોવું જોઈએ.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{3}{2} = \frac{2k}{5}$ મળે છે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$3 \times 5 = 2 \times 2k$,જેનો અર્થ થાય છે કે $15 = 4k$.
તેથી,$k = \frac{15}{4}$.

(B) સુરેખ સમીકરણોની જોડી $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ માટે અનંત ઉકેલો હોવાની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આપેલ સમીકરણો $cx - y - 2 = 0$ અને $6x - 2y - 3 = 0$ છે.
અહીં,$a_1 = c, b_1 = -1, c_1 = -2$ અને $a_2 = 6, b_2 = -2, c_2 = -3$ છે.
શરત લાગુ પાડતા: $\frac{c}{6} = \frac{-1}{-2} = \frac{-2}{-3}$.
આનું સાદું રૂપ $\frac{c}{6} = \frac{1}{2} = \frac{2}{3}$ થાય છે.
અહીં $\frac{1}{2} \neq \frac{2}{3}$ હોવાથી,$c$ ની એવી કોઈ કિંમત નથી જે બંને સમાનતાઓને એકસાથે સંતોષે.
તેથી,$c$ ની કોઈ પણ કિંમત માટે આ સમીકરણોની જોડીને અનંત ઉકેલો મળશે નહીં.

(C) સુરેખ સમીકરણોની જોડી પરસ્પર આધારિત હોય તે માટે,તેઓ એક જ રેખા દર્શાવતા હોવા જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તેમના સહગુણકો પ્રમાણસર હોવા જોઈએ: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = k$.
આપેલ સમીકરણ: $-5x + 7y - 2 = 0$.
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a_1 = -5, b_1 = 7, c_1 = -2$ મળે છે.
બીજા સમીકરણ માટે,આપણે આપેલ સમીકરણને અચળાંક $k$ વડે ગુણીએ છીએ. ધારો કે $k = 2$:
$2(-5x + 7y - 2) = 2(0)$
$-10x + 14y - 4 = 0$
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $10x - 14y + 4 = 0$ મળે છે.
આને વિકલ્પ $(C)$ સાથે સરખાવતા: $10x - 14y = -4$ એ $10x - 14y + 4 = 0$ ને સમાન છે.

(C) જો કોઈ રેખીય સમીકરણોની જોડીનો અનન્ય ઉકેલ $(x=2, y=-3)$ હોય,તો આ કિંમતો બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરતી હોવી જોઈએ.
ચાલો વિકલ્પો તપાસીએ:
વિકલ્પ $(A): x+y=1 \implies 2+(-3) = -1 \neq 1$. (ખોટું)
વિકલ્પ $(B): 2x-y=1 \implies 2(2)-(-3) = 4+3 = 7 \neq 1$. (ખોટું)
વિકલ્પ $(C): x-4y-14=0 \implies 2-4(-3)-14 = 2+12-14 = 0$. (સમાધાન થાય છે)
$5x-y-13=0 \implies 5(2)-(-3)-13 = 10+3-13 = 0$. (સમાધાન થાય છે)
વિકલ્પ $(C)$ માં બંને સમીકરણો $(x=2, y=-3)$ દ્વારા સંતોષાય છે અને રેખાઓ સંપાતી નથી,તેથી ઉકેલ અનન્ય છે.
નોંધ: વિકલ્પ $(D)$ સંપાતી રેખાઓ દર્શાવે છે,જેના અનંત ઉકેલો હોય છે,અનન્ય નહીં.

(A) આપેલ છે કે $(x=a, y=b)$ એ સુરેખ સમીકરણોની જોડનો ઉકેલ છે:
$x-y=2$ $\cdots$ $(i)$
$x+y=4$ $\cdots$ $(ii)$
કારણ કે $(a, b)$ બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે,તેથી આપણે $x=a$ અને $y=b$ ને સમીકરણોમાં મૂકીએ:
$a-b=2$ $\cdots$ $(iii)$
$a+b=4$ $\cdots$ $(iv)$
સમીકરણ $(iii)$ અને $(iv)$ નો સરવાળો કરતા:
$(a-b) + (a+b) = 2 + 4$
$2a = 6$
$a = 3$
હવે $a=3$ ની કિંમત સમીકરણ $(iv)$ માં મૂકતા:
$3 + b = 4$
$b = 4 - 3$
$b = 1$
આમ,$a$ અને $b$ ની કિંમતો અનુક્રમે $3$ અને $1$ છે.

(B) ધારો કે $Rs. 1$ ના સિક્કાઓની સંખ્યા $x$ છે અને $Rs. 2$ ના સિક્કાઓની સંખ્યા $y$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,સિક્કાઓની કુલ સંખ્યા $50$ છે,તેથી $x + y = 50$ (સમીકરણ $i$).
કુલ રકમ $Rs. 75$ છે,તેથી $1x + 2y = 75$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $ii$ માંથી સમીકરણ $i$ બાદ કરતા:
$(x + 2y) - (x + y) = 75 - 50$
$y = 25$.
હવે,$y = 25$ ની કિંમત સમીકરણ $i$ માં મૂકતા:
$x + 25 = 50$
$x = 25$.
આમ,$Rs. 1$ ના સિક્કાઓની સંખ્યા $25$ છે અને $Rs. 2$ ના સિક્કાઓની સંખ્યા $25$ છે.

(C) ધારો કે પિતાની હાલની ઉંમર $x$ વર્ષ છે અને પુત્રની હાલની ઉંમર $y$ વર્ષ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,પિતાની ઉંમર પુત્રની ઉંમર કરતાં છ ગણી છે:
$x = 6y$ --- $(i)$
બીજી શરત મુજબ,ચાર વર્ષ પછી,પિતાની ઉંમર પુત્રની ઉંમર કરતાં ચાર ગણી હશે:
$(x + 4) = 4(y + 4)$
$x + 4 = 4y + 16$
$x - 4y = 12$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $x$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$6y - 4y = 12$
$2y = 12$
$y = 6$
હવે,$y = 6$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$x = 6(6) = 36$
તેથી,પુત્રની હાલની ઉંમર $6$ વર્ષ અને પિતાની હાલની ઉંમર $36$ વર્ષ છે.

(A) હા,આ વિધાન સત્ય છે.
આપેલ સમીકરણો:
$1) -x + 2y + 2 = 0$
$2) \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}y - 1 = 0$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = -1, b_1 = 2, c_1 = 2$
$a_2 = \frac{1}{2}, b_2 = -\frac{1}{4}, c_2 = -1$
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{-1}{1/2} = -2$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{-1/4} = -8$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (એટલે કે $-2 \neq -8$) હોવાથી,સમીકરણોની આ જોડીને અનન્ય ઉકેલ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો છે:
$4x + 3y - 1 = 5 \implies 4x + 3y = 6$
$12x + 9y = 15$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y = c_1$ અને $a_2x + b_2y = c_2$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 4, b_1 = 3, c_1 = 6$
$a_2 = 12, b_2 = 9, c_2 = 15$
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,આ રેખાઓ સમાંતર છે અને સંપાતી નથી. તેથી,જવાબ 'ના' છે.

(A) આપેલ સમીકરણો $x+2y-3=0$ અને $3x+6y-9=0$ છે.
તેમને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x+b_1y+c_1=0$ અને $a_2x+b_2y+c_2=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a_1=1, b_1=2, c_1=-3$
$a_2=3, b_2=6, c_2=-9$
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-3}{-9} = \frac{1}{3}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,રેખાઓ સંપાતી છે.
તેથી,સમીકરણોની આ જોડીને અનંત ઉકેલો છે અને તે સુસંગત છે.

(B) સુરેખ સમીકરણ યુગ્મને કોઈ ઉકેલ ન હોય તેની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આપેલ સમીકરણો:
$2x + 4y - 3 = 0$
$x - 2y = 0$
અહીં,$a_1 = 2, b_1 = 4, c_1 = -3$ અને $a_2 = 1, b_2 = -2, c_2 = 0$ છે.
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{1} = 2$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{4}{-2} = -2$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ $(2 \neq -2)$ હોવાથી,રેખાઓ એક બિંદુમાં છેદે છે.
તેથી,આપેલ સુરેખ સમીકરણ યુગ્મને અનન્ય ઉકેલ છે,'કોઈ ઉકેલ નથી' તેવું નથી.

(B) સુરેખ સમીકરણોની જોડ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ માટે કોઈ ઉકેલ ન હોવાની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આપેલ સમીકરણો:
$6x + y - 6 = 0$ --- $(i)$
$2x - y = 0$ --- $(ii)$
અહીં,$a_1 = 6, b_1 = 1, c_1 = -6$ અને $a_2 = 2, b_2 = -1, c_2 = 0$ છે.
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{6}{2} = 3$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{-1} = -1$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ $(3 \neq -1)$ હોવાથી,આ રેખાઓ એક બિંદુમાં છેદે છે.
તેથી,આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડને અનન્ય ઉકેલ છે,'કોઈ ઉકેલ નથી' તેવું નથી.

(B) ના,આપેલ સમીકરણોની જોડ નીચે મુજબ છે:
$3x + y - 3 = 0$ અને $2x + \frac{2}{3}y - 2 = 0$
અહીં,સહગુણકો નીચે મુજબ છે:
$a_1 = 3, b_1 = 1, c_1 = -3$
$a_2 = 2, b_2 = \frac{2}{3}, c_2 = -2$
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{3}{2}$ હોવાથી,રેખાઓ સંપાતી છે.
તેથી,આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડને અનંત ઉકેલો છે,કોઈ ઉકેલ નથી તેમ કહી શકાય નહીં.

(B) બે રેખાઓ સંપાતી હોવાની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી:
$3x + \frac{1}{7}y - 3 = 0$
$7x + 3y - 7 = 0$
અહીં,સહગુણકો નીચે મુજબ છે:
$a_1 = 3, b_1 = \frac{1}{7}, c_1 = -3$
$a_2 = 7, b_2 = 3, c_2 = -7$
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{7}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1/7}{3} = \frac{1}{21}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-3}{-7} = \frac{3}{7}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ હોવાથી,રેખાઓ સંપાતી નથી. તેઓ એક અનન્ય બિંદુએ છેદે છે.

(A) બે રેખાઓ સંપાતી હોય તેની શરત તેમના સહગુણકોના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$
પ્રથમ,આપેલા સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax + by + c = 0$ માં લખો:
$1) -2x - 3y - 1 = 0$
$2) 4x + 6y + 2 = 0$
અહીં,સહગુણકો છે:
$a_1 = -2, b_1 = -3, c_1 = -1$
$a_2 = 4, b_2 = 6, c_2 = 2$
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરો:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$
કારણ કે $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = -\frac{1}{2}$,તેથી આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી સંપાતી રેખાઓ દર્શાવે છે.

(N/A) બે રેખાઓ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સંપાતી હોય તેની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આપેલ સમીકરણો:
$1) \frac{1}{2}x + 1y + \frac{2}{5} = 0$
$2) 4x + 8y + \frac{5}{16} = 0$
અહીં,$a_1 = \frac{1}{2}, b_1 = 1, c_1 = \frac{2}{5}$ અને $a_2 = 4, b_2 = 8, c_2 = \frac{5}{16}$ છે.
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1/2}{4} = \frac{1}{8}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{8}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{2/5}{5/16} = \frac{2}{5} \times \frac{16}{5} = \frac{32}{25}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,આ રેખાઓ સમાંતર છે,સંપાતી નથી. તેથી,આપેલ સમીકરણો સંપાતી રેખાઓની જોડી દર્શાવતા નથી.

(B) સુરેખ સમીકરણોની જોડ ત્યારે સુસંગત કહેવાય જો તેને ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ હોય. આ નીચેની શરતો હેઠળ થાય છે:
$1$. $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (અનન્ય ઉકેલ)
$2$. $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ (અનંત ઉકેલો)
આપેલ સમીકરણો:
$-3x - 4y - 12 = 0$
$3x + 4y - 12 = 0$
અહીં,$a_1 = -3, b_1 = -4, c_1 = -12$ અને $a_2 = 3, b_2 = 4, c_2 = -12$ છે.
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{-3}{3} = -1$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-4}{4} = -1$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-12}{-12} = 1$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,રેખાઓ સમાંતર છે અને એકબીજાને છેદતી નથી.
તેથી,સુરેખ સમીકરણોની આ જોડ અસુસંગત છે.

(A) જો સુરેખ સમીકરણોની જોડને ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ હોય,તો તે સુસંગત છે. તેની શરતો નીચે મુજબ છે:
$1$. $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (અનન્ય ઉકેલ)
$2$. $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ (અનંત ઉકેલો)
આપેલ સમીકરણો:
$Eq_1: \frac{3}{5} x - y - \frac{1}{2} = 0$
$Eq_2: \frac{1}{5} x - 3 y - \frac{1}{6} = 0$
$a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$ અને $a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = \frac{3}{5}, b_1 = -1, c_1 = -\frac{1}{2}$
$a_2 = \frac{1}{5}, b_2 = -3, c_2 = -\frac{1}{6}$
ગુણોત્તરની ગણતરી:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3/5}{1/5} = 3$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ $(3 \neq \frac{1}{3})$ હોવાથી,આ સમીકરણોને અનન્ય ઉકેલ મળે છે.
તેથી,આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડ સુસંગત છે.

(A) સુરેખ સમીકરણોની જોડી સુસંગત ત્યારે કહેવાય જો તેને ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ હોય. તેની શરતો નીચે મુજબ છે:
$1$. $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (અનન્ય ઉકેલ)
$2$. $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ (અનંત ઉકેલો)
આપેલ સમીકરણો:
$2ax + by - a = 0$
$4ax + 2by - 2a = 0$
અહીં,$a_1 = 2a, b_1 = b, c_1 = -a$ અને $a_2 = 4a, b_2 = 2b, c_2 = -2a$ છે.
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2a}{4a} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{b}{2b} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-a}{-2a} = \frac{1}{2}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,આ સમીકરણોને અનંત ઉકેલો છે. તેથી,સુરેખ સમીકરણોની આ જોડી સુસંગત છે.

(B) જો સુરેખ સમીકરણોની જોડને ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ હોય,તો તે સુસંગત કહેવાય છે. આ સ્થિતિ નીચે મુજબ છે:
$1$. $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (અનન્ય ઉકેલ)
$2$. $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ (અનંત ઉકેલો)
આપેલ સમીકરણો:
$x + 3y = 11$ (સમીકરણ $1$)
$2(2x + 6y) = 22 \implies 4x + 12y = 22 \implies 2x + 6y = 11$ (સમીકરણ $2$)
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
સમીકરણ $1$ માટે: $a_1 = 1, b_1 = 3, c_1 = -11$
સમીકરણ $2$ માટે: $a_2 = 2, b_2 = 6, c_2 = -11$
ગુણોત્તરની ગણતરી:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-11}{-11} = 1$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,રેખાઓ સમાંતર છે અને તેનો કોઈ ઉકેલ નથી.
તેથી,આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડ અસુસંગત છે.

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી $\lambda x + 3y + 7 = 0$ અને $2x + 6y - 14 = 0$ છે.
સુરેખ સમીકરણોની જોડી $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ ને અનંત ઉકેલો હોય તે માટેની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ છે.
અહીં,$a_1 = \lambda, b_1 = 3, c_1 = 7$ અને $a_2 = 2, b_2 = 6, c_2 = -14$ છે.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા,આપણને $\frac{\lambda}{2} = \frac{3}{6} = \frac{7}{-14}$ મળે છે.
ગુણોત્તરનું સાદું રૂપ આપતા,$\frac{\lambda}{2} = \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$ મળે છે.
કારણ કે $\frac{1}{2} \neq -\frac{1}{2}$,તેથી $\lambda$ ની કોઈપણ કિંમત માટે શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ સંતોષી શકાતી નથી.
તેથી,આ વિધાન અસત્ય છે.

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડ:
$x - 2y = 8$
$5x - 10y = c$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 1, b_1 = -2, c_1 = -8$
$a_2 = 5, b_2 = -10, c_2 = -c$
સુરેખ સમીકરણોની જોડને અનન્ય ઉકેલ હોવા માટેની શરત $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ છે.
અહીં,$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{5}$ અને $\frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{-10} = \frac{1}{5}$ છે.
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ હોવાથી,$c$ ની કોઈપણ કિંમત માટે આ સમીકરણોની જોડને અનન્ય ઉકેલ મળી શકે નહીં.
જો $c = 40$ હોય,તો $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{1}{5}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે સમીકરણોને અનંત ઉકેલો છે.
જો $c \neq 40$ હોય,તો સમીકરણોને કોઈ ઉકેલ નથી.
તેથી,આપેલ વિધાન અસત્ય છે.

(N/A) આ વિધાન ખોટું છે.
કાર્તેઝિયન સમતલનું અવલોકન કરતા,સમીકરણ $x=7$ એક શિરોલંબ રેખા દર્શાવે છે જે $x$-અક્ષ પરના બિંદુ $(7, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
આ રેખા શિરોલંબ હોવાથી,તે $y$-અક્ષને સમાંતર છે અને $x$-અક્ષને લંબ છે.
તેથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(D) સુરેખ સમીકરણોની જોડ $a_1x + b_1y = c_1$ અને $a_2x + b_2y = c_2$ ને અનંત ઉકેલો હોય તે માટેની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આપેલ સમીકરણો $4x + 5y = 2$ અને $(2p + 7q)x + (p + 8q)y = 2q - p + 1$ છે.
અહીં,$\frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{2p + 7q}$,$\frac{b_1}{b_2} = \frac{5}{p + 8q}$,અને $\frac{c_1}{c_2} = \frac{2}{2q - p + 1}$ છે.
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ ને સરખાવતા:
$\frac{4}{2p + 7q} = \frac{5}{p + 8q} \implies 4(p + 8q) = 5(2p + 7q) \implies 4p + 32q = 10p + 35q \implies 6p + 3q = 0 \implies q = -2p$ (સમીકરણ $1$).
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{c_1}{c_2}$ ને સરખાવતા:
$\frac{4}{2p + 7q} = \frac{2}{2q - p + 1} \implies 4(2q - p + 1) = 2(2p + 7q) \implies 8q - 4p + 4 = 4p + 14q \implies 8p + 6q = 4 \implies 4p + 3q = 2$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ માંથી $q = -2p$ ની કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$4p + 3(-2p) = 2 \implies 4p - 6p = 2 \implies -2p = 2 \implies p = -1$.
હવે,$q = -2(-1) = 2$.
આમ,$p = -1$ અને $q = 2$ માટે આપેલ સમીકરણોની જોડને અનંત ઉકેલો મળે છે.

(A) આપેલા સમીકરણો:
$21x + 47y = 110$ --- $(1)$
$47x + 21y = 162$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(21x + 47x) + (47y + 21y) = 110 + 162$
$68x + 68y = 272$
$68$ વડે ભાગતા:
$x + y = 4$ --- $(3)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$(47x - 21x) + (21y - 47y) = 162 - 110$
$26x - 26y = 52$
$26$ વડે ભાગતા:
$x - y = 2$ --- $(4)$
સમીકરણ $(3)$ અને $(4)$ નો સરવાળો કરતા:
$(x + y) + (x - y) = 4 + 2$
$2x = 6$
$x = 3$
$x = 3$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$3 + y = 4$
$y = 1$
આમ,ઉકેલ $x = 3, y = 1$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણોના આલેખ દોરવા માટે,આપણે દરેક સમીકરણ માટે બે ઉકેલો શોધીએ છીએ:
$x-y+2=0$ માટે:

$x$	$0$	$-2$
$y=x+2$	$2$	$0$

$4x-y-4=0$ માટે:

$x$	$0$	$1$
$y=4x-4$	$-4$	$0$

આલેખપત્ર પર બિંદુઓ $A(0, 2)$,$B(-2, 0)$,$P(0, -4)$ અને $Q(1, 0)$ ને દર્શાવો અને રેખાઓ $AB$ અને $PQ$ દોરો. આ રેખાઓ બિંદુ $R(2, 4)$ પર છેદે છે.
આ રેખાઓ અને $x$-અક્ષ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ $\triangle BQR$ છે,જેના શિરોબિંદુઓ $B(-2, 0)$,$Q(1, 0)$ અને $R(2, 4)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
અહીં,પાયો $= BQ = |1 - (-2)| = 3$ એકમ.
વેધ $= R$ નો $y$-યામ $= 4$ એકમ.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી $\lambda x + y = \lambda^2$ અને $x + \lambda y = 1$ છે.
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a_1 = \lambda, b_1 = 1, c_1 = -\lambda^2$ અને $a_2 = 1, b_2 = \lambda, c_2 = -1$ મળે છે.
$(i)$ ઉકેલ ન મળે તે માટેની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ છે.
$\frac{\lambda}{1} = \frac{1}{\lambda} \neq \frac{-\lambda^2}{-1} \Rightarrow \lambda^2 = 1$ અને $\lambda^2 \neq 1$. $\lambda = 1$ માટે આ શક્ય નથી. $\lambda = -1$ માટે,$\frac{-1}{1} = \frac{1}{-1} \neq \frac{-(-1)^2}{-1} \Rightarrow -1 = -1 \neq 1$. આમ,$\lambda = -1$ માટે કોઈ ઉકેલ નથી.
$(ii)$ અનંત ઉકેલો માટેની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ છે.
$\frac{\lambda}{1} = \frac{1}{\lambda} = \frac{-\lambda^2}{-1} \Rightarrow \lambda^2 = 1$ અને $\lambda = \lambda^3$. આ $\lambda = 1$ માટે સાચું છે.
$(iii)$ અનન્ય ઉકેલ માટેની શરત $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ છે.
$\frac{\lambda}{1} \neq \frac{1}{\lambda} \Rightarrow \lambda^2 \neq 1 \Rightarrow \lambda \neq \pm 1$. આમ,$\pm 1$ સિવાયની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે અનન્ય ઉકેલ મળે છે.

(D) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી છે:
$kx + 3y = k - 3$
$12x + ky = k$
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a_1 = k, b_1 = 3, c_1 = -(k - 3)$
$a_2 = 12, b_2 = k, c_2 = -k$
સુરેખ સમીકરણોની જોડીને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટેની શરત:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
$\frac{k}{12} = \frac{3}{k} \neq \frac{-(k - 3)}{-k}$
પ્રથમ બે ભાગ લેતા:
$\frac{k}{12} = \frac{3}{k} \Rightarrow k^2 = 36 \Rightarrow k = \pm 6$
હવે,$\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ શરત તપાસતા:
જો $k = 6$ હોય,તો $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ અને $\frac{k-3}{k} = \frac{6-3}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. અહીં $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$k = 6$ માટે અનંત ઉકેલો મળે છે.
જો $k = -6$ હોય,તો $\frac{3}{-6} = -\frac{1}{2}$ અને $\frac{k-3}{k} = \frac{-6-3}{-6} = \frac{-9}{-6} = \frac{3}{2}$. અહીં $-\frac{1}{2} \neq \frac{3}{2}$ હોવાથી,આ શરત સંતોષાય છે.
આમ,$k$ નું મૂલ્ય જેના માટે કોઈ ઉકેલ નથી તે $-6$ છે.

(A) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી છે:
$x + 2y - 1 = 0$ .....$(i)$
$(a - b)x + (a + b)y - (a + b - 2) = 0$ .....$(ii)$
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a_1 = 1, b_1 = 2, c_1 = -1$
$a_2 = (a - b), b_2 = (a + b), c_2 = -(a + b - 2)$
અનંત ઉકેલો માટેની શરત છે:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$
$\frac{1}{a - b} = \frac{2}{a + b} = \frac{-1}{-(a + b - 2)}$
પ્રથમ બે ભાગ લેતા:
$\frac{1}{a - b} = \frac{2}{a + b} \Rightarrow a + b = 2a - 2b \Rightarrow a = 3b$ .....$(iii)$
છેલ્લા બે ભાગ લેતા:
$\frac{2}{a + b} = \frac{1}{a + b - 2} \Rightarrow 2a + 2b - 4 = a + b \Rightarrow a + b = 4$ .....$(iv)$
સમીકરણ $(iii)$ ની કિંમત સમીકરણ $(iv)$ માં મૂકતા:
$3b + b = 4 \Rightarrow 4b = 4 \Rightarrow b = 1$
$b = 1$ ની કિંમત સમીકરણ $(iii)$ માં મૂકતા:
$a = 3(1) = 3$
આમ,$a = 3$ અને $b = 1$ માટે આપેલ સમીકરણોની જોડીને અનંત ઉકેલો મળશે.

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી:
$3x - y - 5 = 0$ ... $(i)$
$6x - 2y - p = 0$ ... $(ii)$
આ સમીકરણોને વ્યાપક સ્વરૂપ $ax + by + c = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 3, b_1 = -1, c_1 = -5$
$a_2 = 6, b_2 = -2, c_2 = -p$
બે રેખાઓ સમાંતર હોય તે માટેની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{3}{6} = \frac{-1}{-2} \neq \frac{-5}{-p}$
$\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \neq \frac{5}{p}$
રેખાઓ સમાંતર રહે તે માટે $\frac{1}{2} \neq \frac{5}{p}$ હોવું જોઈએ.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$p \neq 10$ મળે.
આમ,$p$ ની $10$ સિવાયની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે રેખાઓ સમાંતર રહેશે.

(C) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી છે:
$-x + py - 1 = 0 \quad ...(i)$
$px - y - 1 = 0 \quad ...(ii)$
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax + by + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a_1 = -1, b_1 = p, c_1 = -1$ (સમીકરણ $i$ પરથી)
$a_2 = p, b_2 = -1, c_2 = -1$ (સમીકરણ $ii$ પરથી)
સુરેખ સમીકરણોની જોડીને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,રેખાઓ સમાંતર હોવી જોઈએ,જેનો અર્થ છે:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{-1}{p} = \frac{p}{-1} \neq \frac{-1}{-1}$
પ્રથમ બે ભાગ લેતા:
$\frac{-1}{p} = \frac{p}{-1} \Rightarrow p^2 = 1 \Rightarrow p = \pm 1$
શરત $\frac{p}{-1} \neq \frac{-1}{-1}$ લેતા:
$\frac{p}{-1} \neq 1 \Rightarrow p \neq -1$
આમ,$p = \pm 1$ અને $p \neq -1$ હોવાથી,$p$ ની માત્ર એક જ કિંમત $p = 1$ શક્ય છે.

(D) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી:
$-3x + 5y - 7 = 0 \dots (i)$
$2px - 3y - 1 = 0 \dots (ii)$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax + by + c = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = -3, b_1 = 5, c_1 = -7$
$a_2 = 2p, b_2 = -3, c_2 = -1$
રેખાઓ એક અનન્ય બિંદુએ છેદે તે માટેની શરત:
$\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{-3}{2p} \neq \frac{5}{-3}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$(-3) \times (-3) \neq 5 \times (2p)$
$9 \neq 10p$
$p \neq \frac{9}{10}$
આમ,$p$ ની $\frac{9}{10}$ સિવાયની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે રેખાઓ એક અનન્ય બિંદુએ છેદશે.

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી નીચે મુજબ છે:
$2x + 3y - 5 = 0$ ... $(i)$
$px - 6y - 8 = 0$ ... $(ii)$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = -5$
$a_2 = p, b_2 = -6, c_2 = -8$
સુરેખ સમીકરણોની જોડીને અનન્ય ઉકેલ હોય તે માટેની શરત:
$\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2}{p} \neq \frac{3}{-6}$
$\frac{2}{p} \neq -\frac{1}{2}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$p \neq -4$
આમ,$p$ ની $-4$ સિવાયની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે સમીકરણોની જોડીને અનન્ય ઉકેલ મળે છે,એટલે કે $p \in \mathbb{R} - \{-4\}$.

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી છે:
$2x + 3y = 7$ ... $(i)$
$2px + py = 28 - qy$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને ફરીથી ગોઠવતા:
$2px + (p + q)y = 28$
સુરેખ સમીકરણોની જોડી $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ માટે અનંત ઉકેલો હોવાની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આપેલ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = -7$
$a_2 = 2p, b_2 = (p + q), c_2 = -28$
શરત લાગુ પાડતા:
$\frac{2}{2p} = \frac{3}{p + q} = \frac{-7}{-28}$
$\frac{1}{p} = \frac{3}{p + q} = \frac{1}{4}$
પ્રથમ અને ત્રીજા ભાગને લેતા:
$\frac{1}{p} = \frac{1}{4} \Rightarrow p = 4$
બીજા અને ત્રીજા ભાગને લેતા:
$\frac{3}{p + q} = \frac{1}{4} \Rightarrow p + q = 12$
$p = 4$ ને $p + q = 12$ માં મૂકતા:
$4 + q = 12 \Rightarrow q = 8$
આમ,$p = 4$ અને $q = 8$ મળે છે.

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણો છે:
$x-3y-2=0$ ..... $(i)$
$-2x+6y-5=0$ ..... $(ii)$
આ સમીકરણોને વ્યાપક સ્વરૂપ $ax+by+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
સમીકરણ $(i)$ માટે: $a_1=1, b_1=-3, c_1=-2$
સમીકરણ $(ii)$ માટે: $a_2=-2, b_2=6, c_2=-5$
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-2}{-5} = \frac{2}{5}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,રેખાઓ સમાંતર છે.
તેથી,આપેલ સમીકરણો દ્વારા દર્શાવવામાં આવેલા બે સીધા માર્ગો ક્યારેય એકબીજાને છેદતા નથી.

(N/A) બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણોની જોડી નીચે મુજબ છે:
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$
$a_2x + b_2y + c_2 = 0$
આ સમીકરણ સંહતિનો અનન્ય ઉકેલ મળે તે માટેની શરત $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ છે.
આપેલ ઉકેલ $x = -1$ અને $y = 3$ હોવાથી,આ કિંમતો બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરશે:
$1$) $a_1(-1) + b_1(3) + c_1 = 0 \Rightarrow -a_1 + 3b_1 + c_1 = 0$
$2$) $a_2(-1) + b_2(3) + c_2 = 0 \Rightarrow -a_2 + 3b_2 + c_2 = 0$
આપણે સહગુણકો માટે એવી કિંમતો પસંદ કરી શકીએ જે આ શરતોનું પાલન કરે. ઉદાહરણ તરીકે,જો $a_1 = 1, b_1 = 1$ લઈએ,તો $-1 + 3(1) + c_1 = 0 \Rightarrow c_1 = -2$. તેથી,$x + y - 2 = 0$.
જો $a_2 = 1, b_2 = 2$ લઈએ,તો $-1 + 3(2) + c_2 = 0 \Rightarrow -1 + 6 + c_2 = 0 \Rightarrow c_2 = -5$. તેથી,$x + 2y - 5 = 0$.
આમ,$a_1, b_1, c_1$ અને $a_2, b_2, c_2$ ના અસંખ્ય સંયોજનો શક્ય છે જે આપેલ ઉકેલ અને અનન્ય ઉકેલની શરતનું પાલન કરે છે,તેથી આપણે આવી અસંખ્ય જોડીઓ લખી શકીએ છીએ.

(A) આપેલ સમીકરણો છે:
$2x + y = 23$ $(i)$
$4x - y = 19$ $(ii)$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(2x + y) + (4x - y) = 23 + 19$
$6x = 42$
$x = 7$
સમીકરણ $(i)$ માં $x = 7$ મૂકતા:
$2(7) + y = 23$
$14 + y = 23$
$y = 23 - 14 = 9$
હવે,જરૂરી કિંમતોની ગણતરી કરતા:
$5y - 2x = 5(9) - 2(7) = 45 - 14 = 31$
$\frac{y}{x} - 2 = \frac{9}{7} - 2 = \frac{9 - 14}{7} = -\frac{5}{7}$
આમ,કિંમતો $31$ અને $-\frac{5}{7}$ છે.

(B) લંબચોરસના ગુણધર્મ મુજબ,સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે.
લંબાઈ માટે: $x + 3y = 13$ --- $(i)$
પહોળાઈ માટે: $3x + y = 7$ --- $(ii)$
આ સુરેખ સમીકરણોની જોડીને ઉકેલવા માટે,સમીકરણ $(ii)$ ને $3$ વડે ગુણો:
$9x + 3y = 21$ --- $(iii)$
હવે,સમીકરણ $(iii)$ માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરો:
$(9x + 3y) - (x + 3y) = 21 - 13$
$8x = 8$
$x = 1$
$x = 1$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$1 + 3y = 13$
$3y = 12$
$y = 4$
આમ,$x$ અને $y$ ની જરૂરી કિંમતો અનુક્રમે $1$ અને $4$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણો છે:
$(i) \ x + y = 3.3$
$(ii) \ \frac{0.6}{3x - 2y} = -1$
સમીકરણ $(ii)$ પરથી:
$0.6 = -1(3x - 2y)$
$0.6 = -3x + 2y$
$3x - 2y = -0.6 \quad (iii)$
સમીકરણો ઉકેલવા માટે,સમીકરણ $(i)$ ને $2$ વડે ગુણો:
$2x + 2y = 6.6 \quad (iv)$
સમીકરણ $(iii)$ અને $(iv)$ નો સરવાળો કરતા:
$(3x - 2y) + (2x + 2y) = -0.6 + 6.6$
$5x = 6$
$x = \frac{6}{5} = 1.2$
$x = 1.2$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$1.2 + y = 3.3$
$y = 3.3 - 1.2$
$y = 2.1$
આમ,ઉકેલ $x = 1.2$ અને $y = 2.1$ છે.

(D) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી:
$\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 4$ $(i)$
બંને બાજુ $LCM(3, 4) = 12$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$4x + 3y = 48$ $(iii)$
અને બીજું સમીકરણ છે:
$\frac{5x}{6} - \frac{y}{8} = 4$ $(ii)$
બંને બાજુ $LCM(6, 8) = 24$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$20x - 3y = 96$ $(iv)$
હવે,સમીકરણ $(iii)$ અને $(iv)$ નો સરવાળો કરતા:
$(4x + 3y) + (20x - 3y) = 48 + 96$
$24x = 144$
$x = \frac{144}{24} = 6$
હવે,$x = 6$ ની કિંમત સમીકરણ $(iii)$ માં મૂકતા:
$4(6) + 3y = 48$
$24 + 3y = 48$
$3y = 48 - 24$
$3y = 24$
$y = 8$
આમ,ઉકેલ $x = 6$ અને $y = 8$ છે.

(A) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી:
$4x + \frac{6}{y} = 15$ ..... $(i)$
$6x - \frac{8}{y} = 14, y \neq 0$ ..... $(ii)$
ધારો કે $u = \frac{1}{y}$,તો સમીકરણો નીચે મુજબ બનશે:
$4x + 6u = 15$ ..... $(iii)$
$6x - 8u = 14$ ..... $(iv)$
$u$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $(iii)$ ને $4$ વડે અને સમીકરણ $(iv)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$16x + 24u = 60$ ..... $(v)$
$18x - 24u = 42$ ..... $(vi)$
સમીકરણ $(v)$ અને $(vi)$ નો સરવાળો કરતા:
$(16x + 18x) + (24u - 24u) = 60 + 42$
$34x = 102$
$x = \frac{102}{34} = 3$
$x = 3$ ની કિંમત સમીકરણ $(iii)$ માં મૂકતા:
$4(3) + 6u = 15$
$12 + 6u = 15$
$6u = 15 - 12 = 3$
$u = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
અહીં $u = \frac{1}{y}$ હોવાથી,$\frac{1}{y} = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $y = 2$.
આમ,ઉકેલ $x = 3$ અને $y = 2$ છે.

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી:
$\frac{1}{2x} - \frac{1}{y} = -1$ ........ $(i)$
$\frac{1}{x} + \frac{1}{2y} = 8$ ........ $(ii)$
ધારો કે $u = \frac{1}{x}$ અને $v = \frac{1}{y}$. આ કિંમતો સમીકરણોમાં મૂકતા:
$\frac{u}{2} - v = -1 \Rightarrow u - 2v = -2$ ........ $(iii)$
$u + \frac{v}{2} = 8 \Rightarrow 2u + v = 16$ ........ $(iv)$
$v$ નો લોપ કરવા માટે સમીકરણ $(iv)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$4u + 2v = 32$ ........ $(v)$
સમીકરણ $(iii)$ અને $(v)$ નો સરવાળો કરતા:
$(u - 2v) + (4u + 2v) = -2 + 32$
$5u = 30 \Rightarrow u = 6$
$u = 6$ ની કિંમત સમીકરણ $(iv)$ માં મૂકતા:
$2(6) + v = 16 \Rightarrow 12 + v = 16 \Rightarrow v = 4$
હવે,$u = \frac{1}{x} = 6$ હોવાથી $x = \frac{1}{6}$.
અને $v = \frac{1}{y} = 4$ હોવાથી $y = \frac{1}{4}$.
આમ,ઉકેલ $x = \frac{1}{6}$ અને $y = \frac{1}{4}$ છે.