Mix Examples - Coordinate Geometry Questions in Hindi

(C) माना कि $X$-अक्ष पर स्थित बिंदु $P(x, 0)$ है।
चूंकि $P$,$A(5, 4)$ और $B(-2, 3)$ से समदूरस्थ है,इसलिए $PA = PB$ होगा।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,$PA^2 = PB^2$।
$(x - 5)^2 + (0 - 4)^2 = (x - (-2))^2 + (0 - 3)^2$
$(x - 5)^2 + 16 = (x + 2)^2 + 9$
$x^2 - 10x + 25 + 16 = x^2 + 4x + 4 + 9$
$-10x + 41 = 4x + 13$
$41 - 13 = 4x + 10x$
$28 = 14x$
$x = 2$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $(2, 0)$ है।

(NONE) माना कि $Y$-अक्ष पर स्थित बिंदु $P(0, y)$ है।
चूंकि $P$,$A(3, 1)$ और $B(-2, 5)$ से समदूरस्थ है,इसलिए $PA = PB$ होगा।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,$PA^2 = PB^2$.
$(3 - 0)^2 + (1 - y)^2 = (-2 - 0)^2 + (5 - y)^2$.
$9 + (1 - 2y + y^2) = 4 + (25 - 10y + y^2)$.
$10 - 2y + y^2 = 29 - 10y + y^2$.
दोनों पक्षों से $y^2$ घटाने पर और पदों को व्यवस्थित करने पर:
$10y - 2y = 29 - 10$.
$8y = 19$.
$y = \frac{19}{8}$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $(0, \frac{19}{8})$ है।

(N/A) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(10, -18), B(3, 6)$ और $C(-5, 2)$ हैं।
यह निर्धारित करने के लिए कि क्या त्रिभुज समद्विबाहु है,हम दूरी सूत्र का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
$1$. भुजा $AB$ की लंबाई:
$AB = \sqrt{(3 - 10)^2 + (6 - (-18))^2} = \sqrt{(-7)^2 + (24)^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$ इकाई।
$2$. भुजा $BC$ की लंबाई:
$BC = \sqrt{(-5 - 3)^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (-4)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ इकाई।
$3$. भुजा $AC$ की लंबाई:
$AC = \sqrt{(-5 - 10)^2 + (2 - (-18))^2} = \sqrt{(-15)^2 + (20)^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$ इकाई।
चूंकि भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई समान है ($AB = AC = 25$ इकाई),इसलिए यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(B) मान लीजिए कि बिंदु $P (-4, 3)$,$A (1, -2)$ और $B (-6, 5)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k: 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$P$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$P = \left( \frac{k x_2 + 1 x_1}{k + 1}, \frac{k y_2 + 1 y_1}{k + 1} \right)$
मान $x_1 = 1, y_1 = -2, x_2 = -6, y_2 = 5$ रखने पर:
$-4 = \frac{k(-6) + 1(1)}{k + 1}$
$-4(k + 1) = -6k + 1$
$-4k - 4 = -6k + 1$
$2k = 5$
$k = \frac{5}{2}$
अतः,अभीष्ट अनुपात $5: 2$ है।

(C) माना $\Delta ABC$ के शीर्ष $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ और $C(x_3, y_3)$ हैं।
भुजाओं के मध्य-बिंदु $D(4,6), E(2,2)$ और $F(3,1)$ दिए गए हैं।
किसी त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं से बने त्रिभुज का केंद्रक,मूल त्रिभुज के केंद्रक के समान ही होता है।
$\Delta DEF$ का केंद्रक $(G)$ ज्ञात करने का सूत्र: $G = \left( \frac{x_D + x_E + x_F}{3}, \frac{y_D + y_E + y_F}{3} \right).$
दिए गए मानों को रखने पर: $G = \left( \frac{4 + 2 + 3}{3}, \frac{6 + 2 + 1}{3} \right).$
$G = \left( \frac{9}{3}, \frac{9}{3} \right) = (3, 3).$
अतः,$\Delta ABC$ के केंद्रक के निर्देशांक $(3, 3)$ हैं।

(D) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(4,6), B(5,1)$ और $C(4,0)$ हैं। माना परिकेंद्र $P(x,y)$ है।
चूंकि परिकेंद्र सभी शीर्षों से समान दूरी पर होता है,इसलिए $PA^2 = PB^2 = PC^2$ होगा।
सबसे पहले,$PA^2 = PC^2$ को बराबर करने पर:
$(x-4)^2 + (y-6)^2 = (x-4)^2 + (y-0)^2$
$(y-6)^2 = y^2$
$y^2 - 12y + 36 = y^2$
$12y = 36 \implies y = 3$.
अब,$y=3$ रखकर $PA^2 = PB^2$ को बराबर करने पर:
$(x-4)^2 + (3-6)^2 = (x-5)^2 + (3-1)^2$
$(x-4)^2 + (-3)^2 = (x-5)^2 + (2)^2$
$x^2 - 8x + 16 + 9 = x^2 - 10x + 25 + 4$
$-8x + 25 = -10x + 29$
$2x = 4 \implies x = 2$.
अतः,परिकेंद्र $(2,3)$ है।

(A) मान लीजिए कि समत्रिभाजन बिंदु $P$ और $Q$ हैं। बिंदु $P$,$AB$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है और बिंदु $Q$,$AB$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$P = \left( \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2}, \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2} \right)$.
बिंदु $P$ के लिए $(m_1=1, m_2=2)$: $P = \left( \frac{1(7) + 2(-2)}{1+2}, \frac{1(8) + 2(-1)}{1+2} \right) = \left( \frac{7-4}{3}, \frac{8-2}{3} \right) = \left( \frac{3}{3}, \frac{6}{3} \right) = (1, 2)$.
बिंदु $Q$ के लिए $(m_1=2, m_2=1)$: $Q = \left( \frac{2(7) + 1(-2)}{2+1}, \frac{2(8) + 1(-1)}{2+1} \right) = \left( \frac{14-2}{3}, \frac{16-1}{3} \right) = \left( \frac{12}{3}, \frac{15}{3} \right) = (4, 5)$.
अतः,समत्रिभाजन बिंदुओं के निर्देशांक $(1, 2)$ और $(4, 5)$ हैं।

(B) माना वर्ग के शीर्ष $A(-4, 3)$,$B(10, 5)$,$C(12, -9)$ और $D(x, y)$ हैं।
एक वर्ग में,विकर्ण एक दूसरे को समान मध्य-बिंदु पर समद्विभाजित करते हैं।
माना विकर्ण $AC$ और $BD$ हैं।
$AC$ का मध्य-बिंदु $= ((-4 + 12)/2, (3 - 9)/2) = (8/2, -6/2) = (4, -3)$ है।
$BD$ का मध्य-बिंदु $= ((10 + x)/2, (5 + y)/2)$ है।
मध्य-बिंदुओं की तुलना करने पर: $(10 + x)/2 = 4 \implies 10 + x = 8 \implies x = -2$ है।
$(5 + y)/2 = -3 \implies 5 + y = -6 \implies y = -11$ है।
अतः,चौथा शीर्ष $(-2, -11)$ है।

(N/A) माना शीर्ष $A(7,3)$,$B(3,0)$,$C(0,-4)$ और $D(4,-1)$ हैं।
यह दर्शाने के लिए कि $ABCD$ एक समचतुर्भुज है,हमें यह सिद्ध करना होगा कि चारों भुजाएँ समान लंबाई की हैं $(AB = BC = CD = DA)$ और विकर्ण समान नहीं हैं $(AC \neq BD)$।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करते हुए:
$AB = \sqrt{(3 - 7)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
$BC = \sqrt{(0 - 3)^2 + (-4 - 0)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
$CD = \sqrt{(4 - 0)^2 + (-1 - (-4))^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
$DA = \sqrt{(7 - 4)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
चूँकि $AB = BC = CD = DA = 5$,सभी भुजाएँ समान हैं।
अब,विकर्णों की गणना करते हैं:
$AC = \sqrt{(0 - 7)^2 + (-4 - 3)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-7)^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$.
$BD = \sqrt{(4 - 3)^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
चूँकि $AC \neq BD$,विकर्ण समान नहीं हैं।
अतः,$ABCD$ एक समचतुर्भुज है।

(C) $1$. चूंकि $PA = PB$,बिंदु $P(x, y)$ रेखाखंड $AB$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित है।
$2$. $AB$ का मध्य-बिंदु $M = (\frac{3+5}{2}, \frac{4-2}{2}) = (4, 1)$ है।
$3$. $AB$ की ढाल $m_{AB} = \frac{-2-4}{5-3} = \frac{-6}{2} = -3$ है।
$4$. लंब समद्विभाजक की ढाल $m_{\perp} = -\frac{1}{-3} = \frac{1}{3}$ है।
$5$. लंब समद्विभाजक का समीकरण $y - 1 = \frac{1}{3}(x - 4) \implies 3y - 3 = x - 4 \implies x = 3y + 1$ है।
$6$. $\Delta PAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 10$ है।
$7$. $P(3y+1, y)$,$A(3, 4)$,और $B(5, -2)$ का मान रखने पर: $10 = \frac{1}{2} |(3y+1)(4 - (-2)) + 3(-2 - y) + 5(y - 4)|$.
$8$. $20 = |(3y+1)(6) - 6 - 3y + 5y - 20| = |18y + 6 - 26 + 2y| = |20y - 20|$.
$9$. $|20y - 20| = 20 \implies |y - 1| = 1$.
$10$. स्थिति $1: y - 1 = 1 \implies y = 2$. अतः $x = 3(2) + 1 = 7$. बिंदु $P = (7, 2)$ है।
$11$. स्थिति $2: y - 1 = -1 \implies y = 0$. अतः $x = 3(0) + 1 = 1$. बिंदु $P = (1, 0)$ है।

(N/A) माना शीर्ष $A(7,9), B(10,8)$ और $C(12,10)$ हैं।
$1$. त्रिभुज का क्षेत्रफल: सूत्र $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ का उपयोग करने पर,$\text{Area} = \frac{1}{2} |7(8 - 10) + 10(10 - 9) + 12(9 - 8)| = \frac{1}{2} |-14 + 10 + 12| = \frac{1}{2} |8| = 4 \text{ वर्ग इकाई}$.
$2$. परिकेंद्र $(h, k)$: परिकेंद्र शीर्षों से समान दूरी पर होता है। अतः,$(h-7)^2 + (k-9)^2 = (h-10)^2 + (k-8)^2 = (h-12)^2 + (k-10)^2$.
$(h-7)^2 + (k-9)^2 = (h-10)^2 + (k-8)^2$ को हल करने पर $6h - 2k = 32$ या $3h - k = 16$ प्राप्त होता है।
$(h-10)^2 + (k-8)^2 = (h-12)^2 + (k-10)^2$ को हल करने पर $4h + 4k = 84$ या $h + k = 21$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $4h = 37 \implies h = \frac{37}{4}$.
$h$ का मान रखने पर: $\frac{37}{4} + k = 21 \implies k = 21 - \frac{37}{4} = \frac{47}{4}$.
अतः,परिकेंद्र $(\frac{37}{4}, \frac{47}{4})$ है और क्षेत्रफल $4$ है।

(N/A) दिए गए निर्देशांक $A(b, c)$,$B(-a, 0)$ और $C(a, 0)$ हैं।
चूंकि $D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $D$ के निर्देशांक $(\frac{-a+a}{2}, \frac{0+0}{2}) = (0, 0)$ होंगे।
अब,लंबाइयों के वर्गों की गणना करते हैं:
$AB^2 = (b - (-a))^2 + (c - 0)^2 = (b+a)^2 + c^2 = b^2 + 2ab + a^2 + c^2$.
$AC^2 = (b - a)^2 + (c - 0)^2 = b^2 - 2ab + a^2 + c^2$.
दोनों को जोड़ने पर: $AB^2 + AC^2 = (b^2 + 2ab + a^2 + c^2) + (b^2 - 2ab + a^2 + c^2) = 2(a^2 + b^2 + c^2)$.
अब दाईं ओर की गणना करते हैं:
$AD^2 = (b - 0)^2 + (c - 0)^2 = b^2 + c^2$.
$BD^2 = (-a - 0)^2 + (0 - 0)^2 = a^2$.
अतः,$2(AD^2 + BD^2) = 2(b^2 + c^2 + a^2)$.
चूंकि दोनों पक्ष $2(a^2 + b^2 + c^2)$ के बराबर हैं,इसलिए सर्वसमिका सिद्ध होती है।

(C) माना कि तीसरा शीर्ष $C(x, y)$ है। चूंकि $ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है,इसलिए $AB = BC = AC$ होगा।
दूरी $AB = \sqrt{(1-0)^2 + (\sqrt{3}-0)^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$ है।
चूंकि $AB = BC = AC = 2$,हमारे पास है:
$x^2 + y^2 = 2^2 = 4$ ---$(1)$
$(x-1)^2 + (y-\sqrt{3})^2 = 4$ ---$(2)$
$(2)$ का विस्तार करने पर: $x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2\sqrt{3}y + 3 = 4$ प्राप्त होता है।
$x^2 + y^2 = 4$ को समीकरण में रखने पर: $4 - 2x + 1 - 2\sqrt{3}y + 3 = 4$,जो सरल होकर $2x + 2\sqrt{3}y = 4$ या $x + \sqrt{3}y = 2$ हो जाता है।
अतः,$x = 2 - \sqrt{3}y$ है।
इसे $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $(2 - \sqrt{3}y)^2 + y^2 = 4$ प्राप्त होता है।
$4 - 4\sqrt{3}y + 3y^2 + y^2 = 4$,इसलिए $4y^2 - 4\sqrt{3}y = 0$ है।
$4y(y - \sqrt{3}) = 0$,जिससे $y = 0$ या $y = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
यदि $y = 0$ है,तो $x = 2 - 0 = 2$ है। यदि $y = \sqrt{3}$ है,तो $x = 2 - \sqrt{3}(\sqrt{3}) = 2 - 3 = -1$ है।
इसलिए,तीसरा शीर्ष $C$,$(2, 0)$ या $(-1, \sqrt{3})$ हो सकता है।

(A) दिए गए बिंदु $A(3, 3)$ और $B(6, 1)$ हैं।
मान लीजिए बिंदु $C$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
प्रतिबंध $A-B-C$ का अर्थ है कि $B$,$A$ और $C$ के बीच स्थित है।
प्रतिबंध $3 AB = BC$ का अर्थ है कि अनुपात $AB : BC = 1 : 3$ है।
सदिश का उपयोग करते हुए: $\vec{B} - \vec{A} = (6-3, 1-3) = (3, -2)$।
चूंकि $BC = 3 AB$,सदिश $\vec{BC} = 3 \vec{AB} = 3(3, -2) = (9, -6)$।
अतः,$\vec{C} = \vec{B} + \vec{BC} = (6, 1) + (9, -6) = (15, -5)$।

(A) माना शीर्ष $A$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ होने पर केंद्रक $G(x_g, y_g) = (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$ होता है।
दिए गए $G(3, 3)$,$B(-1, 2)$,और $C(2, -3)$ से:
$3 = \frac{x - 1 + 2}{3} \implies 9 = x + 1 \implies x = 8$.
$3 = \frac{y + 2 - 3}{3} \implies 9 = y - 1 \implies y = 10$.
अतः,शीर्ष $A$ के निर्देशांक $(8, 10)$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |8(2 - (-3)) + (-1)(-3 - 10) + 2(10 - 2)|$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |8(5) + (-1)(-13) + 2(8)|$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |40 + 13 + 16| = \frac{1}{2} |69| = \frac{69}{2}$ वर्ग इकाई।

(B) कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\angle A$ का समद्विभाजक सम्मुख भुजा $\overline{BC}$ को अन्य दो भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई के अनुपात में विभाजित करता है।
चरण $1$: दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई ज्ञात करें।
$AB = \sqrt{(-2 - 6)^2 + (3 - 7)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (-4)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$.
$AC = \sqrt{(9 - 6)^2 + (1 - 7)^2} = \sqrt{3^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.
चरण $2$: जिस अनुपात $m:n$ में समद्विभाजक $\overline{BC}$ को विभाजित करता है,वह $AB:AC = 4\sqrt{5}:3\sqrt{5} = 4:3$ है।
चरण $3$: विभाजन सूत्र का उपयोग करके $\overline{BC}$ पर स्थित बिंदु $D(x, y)$ के निर्देशांक ज्ञात करें जो इसे $4:3$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n} = \frac{4(9) + 3(-2)}{4 + 3} = \frac{36 - 6}{7} = \frac{30}{7}$.
$y = \frac{my_2 + ny_1}{m + n} = \frac{4(1) + 3(3)}{4 + 3} = \frac{4 + 9}{7} = \frac{13}{7}$.
अतः,निर्देशांक $\left(\frac{30}{7}, \frac{13}{7}\right)$ हैं।

(C) माना $\Delta ABC$ के शीर्ष $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ और $C(x_3, y_3)$ हैं।
दिए गए मध्य-बिंदु $D(1, 2)$,$E(2, 1)$ और $F(3, 3)$ हैं।
$\Delta ABC$ का केंद्रक $G = (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$ द्वारा दिया जाता है।
त्रिभुज का एक प्रमुख गुण यह है कि त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं से बनने वाले त्रिभुज का केंद्रक मूल त्रिभुज के केंद्रक के समान ही होता है।
अतः,केंद्रक $G$,मध्य-बिंदुओं $D, E$ और $F$ के निर्देशांकों का औसत है।
$G = (\frac{1+2+3}{3}, \frac{2+1+3}{3}) = (\frac{6}{3}, \frac{6}{3}) = (2, 2)$.

(D) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए,हम दूरी सूत्र का उपयोग करते हैं:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
दिए गए बिंदु $(6, 8)$ और $(3, 4)$ हैं।
यहाँ,$x_1 = 6, y_1 = 8$ और $x_2 = 3, y_2 = 4$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$d = \sqrt{(3 - 6)^2 + (4 - 8)^2}$
$d = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2}$
$d = \sqrt{9 + 16}$
$d = \sqrt{25}$
$d = 5$
अतः,बिंदुओं के बीच की दूरी $5$ है।

(A) दो बिंदुओं $P(x_1, y_1)$ और $Q(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए,हम दूरी सूत्र का उपयोग करते हैं:
$PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
यहाँ $P(4, -7)$ और $Q(-1, 5)$ दिए गए हैं,इसलिए $x_1 = 4, y_1 = -7, x_2 = -1, y_2 = 5$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$PQ = \sqrt{(-1 - 4)^2 + (5 - (-7))^2}$
$PQ = \sqrt{(-5)^2 + (5 + 7)^2}$
$PQ = \sqrt{(-5)^2 + (12)^2}$
$PQ = \sqrt{25 + 144}$
$PQ = \sqrt{169}$
$PQ = 13$
अतः,दूरी $PQ$ का मान $13$ है।

(B) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
दिए गए बिंदु $(2, -3)$ और $(5, b)$ हैं और दूरी $d = 5$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$5 = \sqrt{(5 - 2)^2 + (b - (-3))^2}$
$5 = \sqrt{(3)^2 + (b + 3)^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$25 = 9 + (b + 3)^2$
$16 = (b + 3)^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$b + 3 = \pm 4$
स्थिति $1$: $b + 3 = 4 \implies b = 1$
स्थिति $2$: $b + 3 = -4 \implies b = -7$
चूंकि विकल्पों में $1$ दिया गया है,इसलिए सही मान $b = 1$ है।

(C) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
दिए गए बिंदु $(a, 1)$ और $(8, a)$ हैं और दूरी $d = 5$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$5 = \sqrt{(8 - a)^2 + (a - 1)^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$25 = (8 - a)^2 + (a - 1)^2$
$25 = (64 - 16a + a^2) + (a^2 - 2a + 1)$
$25 = 2a^2 - 18a + 65$
$2a^2 - 18a + 40 = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$a^2 - 9a + 20 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(a - 4)(a - 5) = 0$
अतः,$a = 4$ या $a = 5$ है।
चूंकि $5$ दिए गए विकल्पों में से एक है,इसलिए सही उत्तर $5$ है।

(C) त्रिभुज $\Delta PQR$ का प्रकार निर्धारित करने के लिए,हम दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके इसकी भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं।
$1$. $PQ$ की लंबाई: $PQ = \sqrt{(0 - 0)^2 + (5 - 0)^2} = \sqrt{0^2 + 5^2} = 5 \text{ इकाई}$.
$2$. $QR$ की लंबाई: $QR = \sqrt{(6 - 0)^2 + (0 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-5)^2} = \sqrt{36 + 25} = \sqrt{61} \text{ इकाई}$.
$3$. $PR$ की लंबाई: $PR = \sqrt{(6 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = 6 \text{ इकाई}$.
यहाँ शीर्ष $P(0,0), Q(0,5)$ और $R(6,0)$ अक्षों पर स्थित हैं,इसलिए मूल बिंदु $P(0,0)$ पर बना कोण $90^\circ$ है क्योंकि $y$-अक्ष $(PQ)$,$x$-अक्ष $(PR)$ पर लंबवत है।
चूंकि एक कोण $90^\circ$ है,इसलिए $\Delta PQR$ एक समकोण त्रिभुज है।

(A) यह जांचने के लिए कि क्या बिंदु $A(-1, 4), B(2, 3)$ और $C(8, 1)$ संरेख हैं,हम रेखाखंड $AB$ और $BC$ की ढाल (slope) ज्ञात करते हैं।
$AB$ की ढाल $= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - 4}{2 - (-1)} = \frac{-1}{3}$.
$BC$ की ढाल $= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - 3}{8 - 2} = \frac{-2}{6} = \frac{-1}{3}$.
चूंकि $AB$ की ढाल और $BC$ की ढाल समान है,इसलिए बिंदु $A, B$ और $C$ संरेख हैं।
अब,हम बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करते हैं:
$AB = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (3 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.
$BC = \sqrt{(8 - 2)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.
$AC = \sqrt{(8 - (-1))^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{9^2 + (-3)^2} = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$.
चूंकि $AB + BC = \sqrt{10} + 2\sqrt{10} = 3\sqrt{10} = AC$,इसलिए बिंदु $B, A$ और $C$ के बीच स्थित है।
अतः,बिंदुओं का क्रम $A-B-C$ है।

(B) वृत्त का व्यास बिंदुओं $(2, 4)$ और $(2, 6)$ के बीच की दूरी है।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करने पर:
व्यास $= \sqrt{(2 - 2)^2 + (6 - 4)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2$.
त्रिज्या $r$, व्यास की आधी होती है।
$r = \frac{\text{व्यास}}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
अतः, वृत्त की त्रिज्या $1$ है।

(C) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
दिए गए बिंदु $(5, 0)$ और $(x, 4)$ हैं और दूरी $d = \sqrt{17}$ है।
मान रखने पर: $\sqrt{17} = \sqrt{(x - 5)^2 + (4 - 0)^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $17 = (x - 5)^2 + 4^2$.
$17 = (x - 5)^2 + 16$.
$(x - 5)^2 = 17 - 16 = 1$.
वर्गमूल लेने पर: $x - 5 = \pm 1$.
स्थिति $1$: $x - 5 = 1 \implies x = 6$.
स्थिति $2$: $x - 5 = -1 \implies x = 4$.
अतः,$x = 4, 6$.

(D) दिया गया है कि $\angle A = 90^\circ$,इसलिए रेखाखंड $AB$ और $AC$ एक-दूसरे पर लंब हैं।
अतः,उनकी प्रवणताओं (slopes) का गुणनफल $-1$ होना चाहिए,अर्थात $m_{AB} \times m_{AC} = -1$।
$AB$ की प्रवणता $m_{AB} = \frac{4 - 7}{2 - 1} = \frac{-3}{1} = -3$ है।
$AC$ की प्रवणता $m_{AC} = \frac{5 - 7}{k - 1} = \frac{-2}{k - 1}$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर: $(-3) \times \left( \frac{-2}{k - 1} \right) = -1$।
$\frac{6}{k - 1} = -1$।
$6 = -(k - 1)$।
$6 = -k + 1$।
$k = 1 - 6 = -5$।

(A) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के लिए मध्य-बिंदु का सूत्र $\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ होता है।
दिए गए बिंदु $A(5, 3)$ और $B(3, 3)$ हैं।
यहाँ,$x_1 = 5, y_1 = 3$ और $x_2 = 3, y_2 = 3$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
मध्य-बिंदु $= \left( \frac{5 + 3}{2}, \frac{3 + 3}{2} \right)$
मध्य-बिंदु $= \left( \frac{8}{2}, \frac{6}{2} \right)$
मध्य-बिंदु $= (4, 3)$.

(B) $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु का सूत्र $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ होता है।
दिए गए बिंदु $(1, 1)$ और $(3, 3)$ हैं।
सूत्र में मान रखने पर:
मध्य-बिंदु $= \left(\frac{1 + 3}{2}, \frac{1 + 3}{2}\right)$
मध्य-बिंदु $= \left(\frac{4}{2}, \frac{4}{2}\right)$
मध्य-बिंदु $= (2, 2)$.

(C) रेखाखंड को $1:1$ के अनुपात में विभाजित करने वाला बिंदु उस रेखाखंड का मध्य-बिंदु होता है।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करते हुए,निर्देशांक $(x, y)$ इस प्रकार हैं:
$x = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{2 + (-2)}{2} = \frac{0}{2} = 0$
$y = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{1 + (-1)}{2} = \frac{0}{2} = 0$
अतः,बिंदु के निर्देशांक $(0, 0)$ हैं।

(D) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ होने पर क्षेत्रफल का सूत्र:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए शीर्ष $(a, 5), (6, 7)$ और $(2, 3)$ हैं और क्षेत्रफल $10$ है।
मान रखने पर:
$10 = \frac{1}{2} |a(7 - 3) + 6(3 - 5) + 2(5 - 7)|$
$20 = |a(4) + 6(-2) + 2(-2)|$
$20 = |4a - 12 - 4|$
$20 = |4a - 16|$
इसके दो मामले बनते हैं:
स्थिति $1$: $4a - 16 = 20 \implies 4a = 36 \implies a = 9$
स्थिति $2$: $4a - 16 = -20 \implies 4a = -4 \implies a = -1$
चूंकि $a \in N$ (प्राकृत संख्या) दिया गया है,इसलिए $a = -1$ को छोड़ देंगे।
अतः,$a = 9$।

(A) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ होने पर,उसके केंद्रक $(G)$ के निर्देशांक ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार है:
$G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$
यहाँ दिए गए शीर्ष $(x_1, y_1) = (2, 3)$,$(x_2, y_2) = (4, 7)$ और $(x_3, y_3) = (-3, 2)$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$x = \frac{2 + 4 + (-3)}{3} = \frac{3}{3} = 1$
$y = \frac{3 + 7 + 2}{3} = \frac{12}{3} = 4$
अतः,केंद्रक के निर्देशांक $(1, 4)$ हैं।

(B) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(3, 1)$,$B(1, 5)$ और $C(x, y)$ हैं।
त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ होने पर,केंद्रक $G$ का सूत्र $G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$ होता है।
चूंकि केंद्रक $G$ मूल बिंदु $(0, 0)$ है,इसलिए:
$\frac{3 + 1 + x}{3} = 0 \implies 4 + x = 0 \implies x = -4$.
$\frac{1 + 5 + y}{3} = 0 \implies 6 + y = 0 \implies y = -6$.
अतः,तीसरा शीर्ष $(-4, -6)$ है।

(C) $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु का सूत्र $\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ है।
दिए गए बिंदु $(20, 10)$ और $(6, 8)$ हैं।
यहाँ,$x_1 = 20, y_1 = 10$ और $x_2 = 6, y_2 = 8$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
मध्य-बिंदु $= \left( \frac{20 + 6}{2}, \frac{10 + 8}{2} \right)$
मध्य-बिंदु $= \left( \frac{26}{2}, \frac{18}{2} \right)$
मध्य-बिंदु $= (13, 9)$.

(D) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ होने पर क्षेत्रफल का सूत्र:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए शीर्ष $A(-4, -1)$,$B(1, 2)$ और $C(4, -3)$ हैं।
यहाँ,$x_1 = -4, y_1 = -1, x_2 = 1, y_2 = 2, x_3 = 4, y_3 = -3$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-4(2 - (-3)) + 1(-3 - (-1)) + 4(-1 - 2)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-4(5) + 1(-2) + 4(-3)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-20 - 2 - 12|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-34|$
क्षेत्रफल $= \frac{34}{2} = 17$ वर्ग इकाई।

(A) वृत्त का केंद्र $P$ उसके व्यास $\overline{AB}$ का मध्य-बिंदु होता है।
यहाँ $A(x_1, y_1) = (4, 0)$ और $B(x_2, y_2) = (-2, 2)$ दिए गए हैं।
मध्य-बिंदु का सूत्र $P(x, y) = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ है।
मान रखने पर: $P(x, y) = \left( \frac{4 + (-2)}{2}, \frac{0 + 2}{2} \right)$.
$P(x, y) = \left( \frac{2}{2}, \frac{2}{2} \right) = (1, 1)$.
अतः,$P$ के निर्देशांक $(1, 1)$ हैं।

(B) एक रेखाखंड $Y$-अक्ष के समांतर तभी होता है जब उस पर स्थित सभी बिंदुओं का $x$-निर्देशांक समान हो।
चूंकि $\overline{CD}$,$Y$-अक्ष के समांतर है और बिंदु $C$ के निर्देशांक $(4, -5)$ हैं,इसलिए इस रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु $D$ का $x$-निर्देशांक $4$ होना चाहिए।
अतः,$D$ के निर्देशांक $(4, y)$ के रूप में होने चाहिए,जहाँ $y$ कोई भी वास्तविक संख्या है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $(B)$ $(4, 6)$ ही एकमात्र बिंदु है जिसका $x$-निर्देशांक $4$ है।

(C) किसी बिंदु के निर्देशांक $(x, y)$ के रूप में दिए जाते हैं।
यहाँ,बिंदु $(6, 2)$ है,जहाँ $x = 6$ और $y = 2$ है।
किसी भी बिंदु $(x, y)$ की $X-$ अक्ष से लंबवत दूरी उसके $y-$ निर्देशांक के निरपेक्ष मान के बराबर होती है,जो $|y|$ है।
अतः,बिंदु $(6, 2)$ की $X-$ अक्ष से लंबवत दूरी $|2| = 2$ इकाई है।

(D) दिए गए बिंदु के निर्देशांक $(x, y) = (-3, 8)$ हैं।
कार्तीय निर्देशांक पद्धति में,किसी भी बिंदु $(x, y)$ की $Y$-अक्ष से लंबवत दूरी उसके $x$-निर्देशांक के निरपेक्ष मान के बराबर होती है,अर्थात $|x|$।
यहाँ,$x$-निर्देशांक $-3$ है।
इसलिए,$Y$-अक्ष से लंबवत दूरी $|-3| = 3$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) बिंदु $B$ के निर्देशांक $(0, 12)$ हैं और बिंदु $C$ के निर्देशांक $(5, 0)$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करते हुए,हम $BC$ की दूरी की गणना करते हैं:
$BC = \sqrt{(5 - 0)^2 + (0 - 12)^2}$
$BC = \sqrt{(5)^2 + (-12)^2}$
$BC = \sqrt{25 + 144}$
$BC = \sqrt{169}$
$BC = 13$
अतः,$BC$ की दूरी $13$ इकाई है।

(B) मान लीजिए कि रेखाखंड के अंतिम बिंदु $A(0,0)$ और $B(6,6)$ हैं।
रेखाखंड को चार बराबर भागों में विभाजित करने के लिए,हमें तीन बिंदुओं $P, Q,$ और $R$ की आवश्यकता है जो रेखाखंड को क्रमशः $1:3, 1:1,$ और $3:1$ के अनुपात में विभाजित करते हैं।
मध्यबिंदु $Q$ की गणना $(\frac{0+6}{2}, \frac{0+6}{2}) = (3,3)$ के रूप में की जाती है।
बिंदु $P, AQ$ का मध्यबिंदु है,जो $(\frac{0+3}{2}, \frac{0+3}{2}) = (1.5, 1.5)$ है।
बिंदु $R, QB$ का मध्यबिंदु है,जो $(\frac{3+6}{2}, \frac{3+6}{2}) = (4.5, 4.5)$ है।
इन बिंदुओं की दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$(4.5, 4.5)$ विभाजन बिंदुओं में से एक है।

(C) $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज के केंद्रक $(G)$ के निर्देशांक का सूत्र है:
$G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$
दिए गए शीर्ष $(a, 2)$,$(2, -a)$ और $(0, 2)$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$G = \left( \frac{a + 2 + 0}{3}, \frac{2 - a + 2}{3} \right) = \left( \frac{a + 2}{3}, \frac{4 - a}{3} \right)$
प्रश्न के अनुसार,केंद्रक के दोनों निर्देशांक समान हैं:
$\frac{a + 2}{3} = \frac{4 - a}{3}$
$a + 2 = 4 - a$
$2a = 2$
$a = 1$

(D) माना कि शीर्ष $A(1, 1)$, $B(-1, -1)$ और $C(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करते हुए:
$AB = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$BC = \sqrt{(-\sqrt{3} - (-1))^2 + (\sqrt{3} - (-1))^2} = \sqrt{(1 - \sqrt{3})^2 + (\sqrt{3} + 1)^2} = \sqrt{(1 - 2\sqrt{3} + 3) + (3 + 2\sqrt{3} + 1)} = \sqrt{4 - 2\sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$CA = \sqrt{(1 - (-\sqrt{3}))^2 + (1 - \sqrt{3})^2} = \sqrt{(1 + \sqrt{3})^2 + (1 - \sqrt{3})^2} = \sqrt{(1 + 2\sqrt{3} + 3) + (1 - 2\sqrt{3} + 3)} = \sqrt{4 + 2\sqrt{3} + 4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
चूंकि $AB = BC = CA = 2\sqrt{2}$, इसलिए तीनों भुजाएँ बराबर हैं।
अतः, यह त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है।

(A) माना कि व्यास के दूसरे अंतिम बिंदु के निर्देशांक $(x,y)$ हैं।
चूंकि वृत्त का केंद्र उसके व्यास का मध्य-बिंदु होता है,इसलिए हम मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करेंगे:
केंद्र $= (\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$
यहाँ केंद्र $(-2,4)$ है और एक अंतिम बिंदु $(0,0)$ है,इसलिए:
$-2 = \frac{0 + x}{2} \implies x = -4$
$4 = \frac{0 + y}{2} \implies y = 8$
अतः,व्यास का दूसरा अंतिम बिंदु $(-4,8)$ है।

(B) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के लिए मध्य-बिंदु का सूत्र $\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ होता है।
दिए गए बिंदु $A(6, 5)$ और $B(4, 3)$ हैं।
यहाँ,$x_1 = 6, y_1 = 5$ और $x_2 = 4, y_2 = 3$ है।
मध्य-बिंदु $= \left( \frac{6 + 4}{2}, \frac{5 + 3}{2} \right)$.
मध्य-बिंदु $= \left( \frac{10}{2}, \frac{8}{2} \right)$.
मध्य-बिंदु $= (5, 4)$.

(C) मान लीजिए कि त्रिभुज के शीर्ष $A(6,0)$,$B(0,0)$ और $C(0,8)$ हैं।
चूंकि शीर्ष $A(6,0)$ और $C(0,8)$ क्रमशः $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर स्थित हैं,और शीर्ष $B$ मूलबिंदु $(0,0)$ पर है,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण $B(0,0)$ पर है।
समकोण त्रिभुज के लिए,परिकेंद्र कर्ण का मध्यबिंदु होता है।
कर्ण $A(6,0)$ और $C(0,8)$ को जोड़ने वाला रेखाखंड है।
कर्ण का मध्यबिंदु ज्ञात करने का सूत्र $\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ है।
$A$ और $C$ के निर्देशांक रखने पर: $\left( \frac{6 + 0}{2}, \frac{0 + 8}{2} \right) = \left( \frac{6}{2}, \frac{8}{2} \right) = (3,4)$.
अतः,परिकेंद्र $(3,4)$ है।

(D) मान लीजिए कि त्रिभुज के शीर्ष $A(0,0)$,$B(4.2,0)$ और $C(0,9.1)$ हैं।
चूँकि शीर्ष $A$ मूल बिंदु $(0,0)$ पर स्थित है,भुजा $AB$ $x$-अक्ष पर और भुजा $AC$ $y$-अक्ष पर स्थित है।
$x$-अक्ष और $y$-अक्ष के बीच का कोण $90^\circ$ होता है।
इसलिए,कोण $\angle BAC = 90^\circ$ है।
चूँकि त्रिभुज का एक कोण $90^\circ$ है,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है।

(A) मान लीजिए कि $B$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिया गया है कि $P(1, 12)$ रेखाखंड $AB$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है,जहाँ $A(x_1, y_1) = (3, 8)$ और $B(x_2, y_2) = (x, y)$ है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर: $P(x, y) = \left( \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n} \right)$.
मान रखने पर: $1 = \frac{2(x) + 1(3)}{2+1} \implies 1 = \frac{2x + 3}{3} \implies 3 = 2x + 3 \implies 2x = 0 \implies x = 0$.
इसी प्रकार,$12 = \frac{2(y) + 1(8)}{2+1} \implies 12 = \frac{2y + 8}{3} \implies 36 = 2y + 8 \implies 2y = 28 \implies y = 14$.
अतः,$B$ के निर्देशांक $(0, 14)$ हैं।

(B) दो बिंदुओं $(x_{1}, y_{1})$ और $(x_{2}, y_{2})$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^2 + (y_{2}-y_{1})^2}$ है।
दिए गए बिंदु $P(x_{1}, 0)$ और $Q(x_{2}, 0)$ हैं।
इन मानों को दूरी के सूत्र में रखने पर:
$PQ = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^2 + (0-0)^2}$
$PQ = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^2}$
चूंकि दूरी हमेशा गैर-ऋणात्मक होनी चाहिए,इसलिए हम निरपेक्ष मान (absolute value) लेते हैं:
$PQ = |x_{2}-x_{1}| = |x_{1}-x_{2}|$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दो बिंदुओं $(x_{1}, y_{1})$ और $(x_{2}, y_{2})$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$ होता है।
दिए गए बिंदुओं $A(0, y_{1})$ और $B(0, y_{2})$ के लिए,हम इन निर्देशांकों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
$AB = \sqrt{(0 - 0)^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$
$AB = \sqrt{0^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$
$AB = \sqrt{(y_{2} - y_{1})^{2}}$
चूंकि दूरी हमेशा धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए हम निरपेक्ष मान (absolute value) लेते हैं:
$AB = |y_{2} - y_{1}|$ या $|y_{1} - y_{2}|$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए,हम दूरी सूत्र का उपयोग करते हैं: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
दिए गए बिंदु $A(-3, 4)$ और $O(0, 0)$ हैं।
सूत्र में मान रखने पर:
$OA = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (0 - 4)^2}$
$OA = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2}$
$OA = \sqrt{9 + 16}$
$OA = \sqrt{25}$
$OA = 5$ इकाई।