Mix Examples - Coordinate Geometry Questions in Hindi

(D) दिया गया है कि $P-R-Q$ एक रेखाखंड है जहाँ $R$,$P$ और $Q$ के बीच स्थित है।
हमें अनुपात $\frac{PR}{PQ} = \frac{2}{7}$ दिया गया है।
चूँकि $PQ = PR + RQ$,इसलिए $RQ = PQ - PR$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\frac{PR}{RQ} = \frac{PR}{PQ - PR} = \frac{2}{7 - 2} = \frac{2}{5}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $R$,$PQ$ को $P$ से $2:5$ के अनुपात में विभाजित करता है।
हालाँकि,प्रश्न में $Q$ से अनुपात पूछा गया है,जो $QR:RP$ है।
इसलिए,$\frac{QR}{RP} = \frac{5}{2}$ होगा।
अतः,$R$,$\overline{PQ}$ को $Q$ से $5:2$ के अनुपात में विभाजित करता है।

(B) दिया गया है कि बिंदु $P$ रेखाखंड $\overline{AB}$ पर स्थित है ताकि $A-P-B$ हो।
$P$,$\overline{AB}$ को $A$ से $2:3$ के अनुपात में विभाजित करता है,अर्थात $\frac{AP}{PB} = \frac{2}{3}$ है।
हमें वह अनुपात ज्ञात करना है जिसमें $P$,$\overline{AB}$ को $B$ से विभाजित करता है,जो कि $\frac{BP}{PA}$ है।
चूंकि $\frac{AP}{PB} = \frac{2}{3}$ है,इसका व्युत्क्रम लेने पर $\frac{PB}{AP} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट अनुपात $3:2$ है।

(C) $\Delta AMN$ और $\Delta ABC$ में,चूँकि $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ है,इसलिए $AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार त्रिभुज समरूप हैं।
अतः,$\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC}$.
दिया गया है $MN = 3$ और $BC = 7$,इसलिए $\frac{AM}{AB} = \frac{3}{7}$.
चूँकि $AB = AM + MB$,हम लिख सकते हैं $\frac{AM}{AM + MB} = \frac{3}{7}$.
वज्र-गुणन करने पर,$7 AM = 3 AM + 3 MB$.
$4 AM = 3 MB$.
इसलिए,$\frac{AM}{MB} = \frac{3}{4}$.
अतः,$M$,$\overline{AB}$ को $A$ से $3:4$ के अनुपात में विभाजित करता है।

(C) त्रिभुज के शीर्षों $(x_1, y_1), (x_2, y_2),$ और $(x_3, y_3)$ के लिए क्षेत्रफल का सूत्र इस प्रकार है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
यह सूत्र शीर्षों से $x$-अक्ष पर लंब डालकर बनाए गए समलंब चतुर्भुजों के क्षेत्रफल की गणना करके प्राप्त किया जाता है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $C$ सही उत्तर है।

(A) त्रिभुज का केंद्रक वह बिंदु है जहाँ त्रिभुज की तीनों माध्यिकाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।
$A(x_{1}, y_{1})$,$B(x_{2}, y_{2})$ और $C(x_{3}, y_{3})$ शीर्षों वाले त्रिभुज के लिए,केंद्रक $(G)$ के निर्देशांक शीर्षों के $x$-निर्देशांकों और $y$-निर्देशांकों का अंकगणितीय माध्य लेकर ज्ञात किए जाते हैं।
केंद्रक के लिए सूत्र इस प्रकार है:
$G = \left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$
अतः,विकल्प $A$ सही उत्तर है।

(B) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए,हम दूरी सूत्र का उपयोग करते हैं:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
यहाँ,$(x_1, y_1) = (7, 5)$ और $(x_2, y_2) = (2, 5)$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$d = \sqrt{(2 - 7)^2 + (5 - 5)^2}$
$d = \sqrt{(-5)^2 + (0)^2}$
$d = \sqrt{25 + 0}$
$d = \sqrt{25}$
$d = 5$
अतः,दोनों बिंदुओं के बीच की दूरी $5$ इकाई है।

(C) किसी बिंदु $P(x, y)$ की $X$-अक्ष से दूरी उसके $y$-निर्देशांक के निरपेक्ष मान के बराबर होती है,जो $|y|$ है।
यहाँ दिए गए बिंदु $P(2, -3)$ में,$x$-निर्देशांक $2$ है और $y$-निर्देशांक $-3$ है।
अतः,$X$-अक्ष से दूरी $|-3| = 3$ इकाई होगी।
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।

(A) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी $d$ का सूत्र है: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$।
दिए गए बिंदु $A(2, 4)$ और $B(-3, 4)$ हैं।
यहाँ,$x_1 = 2, y_1 = 4$ और $x_2 = -3, y_2 = 4$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$d = \sqrt{(-3 - 2)^2 + (4 - 4)^2}$
$d = \sqrt{(-5)^2 + (0)^2}$
$d = \sqrt{25 + 0}$
$d = \sqrt{25} = 5$।
अतः,बिंदुओं के बीच की दूरी $5$ इकाई है।

(A) $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु के निर्देशांक का सूत्र $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ होता है।
दिए गए बिंदु $(8, 10)$ और $(4, 8)$ हैं।
यहाँ,$x_1 = 8, y_1 = 10, x_2 = 4, y_2 = 8$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
मध्य-बिंदु $= \left(\frac{8 + 4}{2}, \frac{10 + 8}{2}\right) = \left(\frac{12}{2}, \frac{18}{2}\right) = (6, 9)$.
अतः,मध्य-बिंदु के अभीष्ट निर्देशांक $(6, 9)$ हैं।

(C) बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु का सूत्र $\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ होता है।
यहाँ $A(4, 3)$ और $B(8, 9)$ दिए गए हैं,इसलिए $x_1 = 4, y_1 = 3, x_2 = 8, y_2 = 9$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
मध्य-बिंदु $= \left( \frac{4 + 8}{2}, \frac{3 + 9}{2} \right)$
मध्य-बिंदु $= \left( \frac{12}{2}, \frac{12}{2} \right)$
मध्य-बिंदु $= (6, 6)$.

(A) रेखाखंड जिसके अंत्य बिंदु $A(x_1, y_1)$ और $B(x_2, y_2)$ हैं,उसका मध्य-बिंदु $M(x, y)$ ज्ञात करने का सूत्र है:
$M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$
यहाँ $A(3, 5)$ और $B(7, 5)$ दिए गए हैं,इसलिए $x_1 = 3, y_1 = 5$ और $x_2 = 7, y_2 = 5$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$x = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$y = \frac{5 + 5}{2} = \frac{10}{2} = 5$
अतः,मध्य-बिंदु $(5, 5)$ है।

(B) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के लिए मध्य-बिंदु का सूत्र इस प्रकार है:
मध्य-बिंदु $= (\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$
दिए गए बिंदु $(x_1, y_1) = (12, 10)$ और $(x_2, y_2) = (0, 8)$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
मध्य-बिंदु $= (\frac{12 + 0}{2}, \frac{10 + 8}{2})$
मध्य-बिंदु $= (\frac{12}{2}, \frac{18}{2})$
मध्य-बिंदु $= (6, 9)$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) बिंदुओं $A(3, a)$ और $B(4, 1)$ के बीच की दूरी,दूरी सूत्र द्वारा दी जाती है: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
यहाँ $d = \sqrt{10}$ दिया गया है,इसलिए $\sqrt{(4 - 3)^2 + (1 - a)^2} = \sqrt{10}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(4 - 3)^2 + (1 - a)^2 = 10$.
$1^2 + (1 - 2a + a^2) = 10$.
$1 + 1 - 2a + a^2 = 10$.
$a^2 - 2a + 2 = 10$.
$a^2 - 2a - 8 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(a - 4)(a + 2) = 0$.
अतः,$a = 4$ या $a = -2$.
चूंकि विकल्प $A$ में $4$ दिया गया है,इसलिए सही मान $4$ है।

(B) दिए गए शीर्ष $A(0, 0)$,$B(3.1, 0)$ और $C(0, 4.5)$ हैं।
बिंदु $A(0, 0)$ मूलबिंदु है।
बिंदु $B(3.1, 0)$ $X$-अक्ष पर स्थित है।
बिंदु $C(0, 4.5)$ $Y$-अक्ष पर स्थित है।
चूंकि $X$-अक्ष और $Y$-अक्ष मूलबिंदु पर एक-दूसरे के लंबवत होते हैं,इसलिए शीर्ष $A(0, 0)$ पर बनने वाला कोण $90^{\circ}$ है।
अतः,इन शीर्षों द्वारा निर्मित त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

(C) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
दिए गए बिंदु $A(-4, -6)$ और $B(6, b)$ हैं और दूरी $d = 10$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$10 = \sqrt{(6 - (-4))^2 + (b - (-6))^2}$
$10 = \sqrt{(6 + 4)^2 + (b + 6)^2}$
$10 = \sqrt{10^2 + (b + 6)^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$100 = 100 + (b + 6)^2$
$(b + 6)^2 = 100 - 100$
$(b + 6)^2 = 0$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$b + 6 = 0$
$b = -6$.

(A) चतुर्भुज $ABCD$ का प्रकार निर्धारित करने के लिए,हम दूरी सूत्र का उपयोग करके इसकी भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
$1$. $AB$ की लंबाई = $\sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2$.
$2$. $BC$ की लंबाई = $\sqrt{(2 - 2)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2$.
$3$. $CD$ की लंबाई = $\sqrt{(0 - 2)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = 2$.
$4$. $DA$ की लंबाई = $\sqrt{(0 - 0)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = 2$.
चूंकि सभी भुजाएं समान हैं $(AB = BC = CD = DA = 2)$,चतुर्भुज एक वर्ग या समचतुर्भुज हो सकता है।
अब,हम विकर्णों $AC$ और $BD$ की जांच करते हैं:
विकर्ण $AC = \sqrt{(2 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
विकर्ण $BD = \sqrt{(0 - 2)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
चूंकि सभी भुजाएं समान हैं और विकर्ण भी समान हैं,इसलिए $\square ABCD$ एक वर्ग है।

(C) माना कि $Y-$ अक्ष,$A(-3, -4)$ और $B(1, -2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m:n$ के अनुपात में बिंदु $M(0, y)$ पर विभाजित करता है।
चूंकि बिंदु $Y-$ अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसका $x-$ निर्देशांक $0$ होगा।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए: $x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n}$.
मान रखने पर: $0 = \frac{m(1) + n(-3)}{m + n}$.
इससे $m - 3n = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $m = 3n$.
अतः,अनुपात $\frac{m}{n} = \frac{3}{1}$,यानी $m:n = 3:1$.

(A) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ होने पर,उसके केंद्रक के निर्देशांक का सूत्र इस प्रकार है:
केंद्रक $= \left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)$
दिए गए शीर्ष $A(3, 2)$,$B(7, 5)$ और $C(2, 2)$ हैं।
सूत्र में मान रखने पर:
केंद्रक $= \left(\frac{3 + 7 + 2}{3}, \frac{2 + 5 + 2}{3}\right)$
केंद्रक $= \left(\frac{12}{3}, \frac{9}{3}\right)$
केंद्रक $= (4, 3)$

(B) $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु का सूत्र $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ होता है।
दिए गए बिंदुओं $P(3, 4)$ और $Q(a, 8)$ के लिए,मध्य-बिंदु $M = \left(\frac{3 + a}{2}, \frac{4 + 8}{2}\right)$ है।
हमें मध्य-बिंदु $M(5, 6)$ दिया गया है।
निर्देशांकों की तुलना करने पर,$\frac{3 + a}{2} = 5$ और $\frac{4 + 8}{2} = 6$ प्राप्त होता है।
पहले समीकरण से,$3 + a = 10$,जिसका अर्थ है कि $a = 10 - 3 = 7$ है।
अतः,$a$ का मान $7$ है।

(B) विभाजन सूत्र के अनुसार,यदि कोई बिंदु $P(x, y)$,बिंदुओं $A(x_{1}, y_{1})$ और $B(x_{2}, y_{2})$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m:n$ के अनुपात में विभाजित करता है,तो $P$ के निर्देशांक इस प्रकार होते हैं:
$x = \frac{mx_{2} + nx_{1}}{m + n}$
$y = \frac{my_{2} + ny_{1}}{m + n}$
यहाँ,अनुपात $\lambda : 1$ दिया गया है,इसलिए $m = \lambda$ और $n = 1$ रखने पर:
$x = \frac{\lambda x_{2} + (1)x_{1}}{\lambda + 1} = \frac{\lambda x_{2} + x_{1}}{\lambda + 1}$
$y = \frac{\lambda y_{2} + (1)y_{1}}{\lambda + 1} = \frac{\lambda y_{2} + y_{1}}{\lambda + 1}$
अतः,निर्देशांक $\left(\frac{\lambda x_{2}+x_{1}}{\lambda+1}, \frac{\lambda y_{2}+y_{1}}{\lambda+1}\right)$ होंगे।

(D) चतुर्भुज के विकर्णों के गुणों के आधार पर सही मिलान इस प्रकार है:
$1$. समचतुर्भुज के लिए,विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं $(b)$।
$2$. समांतर चतुर्भुज के लिए,विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं $(a)$।
$3$. आयत के लिए,विकर्ण सर्वांगसम होते हैं और एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं $(d)$।
$4$. वर्ग के लिए,विकर्ण सर्वांगसम होते हैं और एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं $(c)$।
अतः,सही विकल्प $(1-b), (2-a), (3-d), (4-c)$ है।

(C) $1$. दिए गए निर्देशांक: $A(3, 0)$,$B(0, 0)$,$C(0, -4)$।
$2$. दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ का उपयोग करके लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{(0-3)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{9} = 3$।
$BC = \sqrt{(0-0)^2 + (-4-0)^2} = \sqrt{16} = 4$।
$AC = \sqrt{(0-3)^2 + (-4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$।
$3$. समकोण त्रिभुज की जाँच करें: $AB^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = AC^2$। अतः,$\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जहाँ $\angle B$ समकोण है। (विकल्प $A$ सही है)।
$4$. $\overline{AC}$ का मध्यबिंदु $= (\frac{3+0}{2}, \frac{0-4}{2}) = (\frac{3}{2}, -2)$। (विकल्प $B$ सही है)।
$5$. $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$। (विकल्प $C$ में क्षेत्रफल $12$ दिया गया है,जो गलत है)।
$6$. $AB=3, BC=4, AC=5$ सही है। (विकल्प $D$ सही है)।
अतः,गलत कथन $C$ है।