Mix Examples - Coordinate Geometry Questions in Hindi

(D) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
दिए गए बिंदु $A(2, 3)$ और $B(-3, -9)$ हैं।
यहाँ,$x_1 = 2, y_1 = 3, x_2 = -3, y_2 = -9$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$AB = \sqrt{(-3 - 2)^2 + (-9 - 3)^2}$
$AB = \sqrt{(-5)^2 + (-12)^2}$
$AB = \sqrt{25 + 144}$
$AB = \sqrt{169}$
$AB = 13$.
अतः,बिंदुओं के बीच की दूरी $13$ इकाई है।

(B) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
यहाँ $P(3, 2)$,$Q(7, k)$ और $d(P, Q) = 5$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$PQ^2 = 5^2 = 25$ प्राप्त होता है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $(7 - 3)^2 + (k - 2)^2 = 25$.
$(4)^2 + (k - 2)^2 = 25$.
$16 + (k - 2)^2 = 25$.
$(k - 2)^2 = 25 - 16 = 9$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $k - 2 = \pm 3$.
स्थिति $1$: $k - 2 = 3 \implies k = 5$.
स्थिति $2$: $k - 2 = -3 \implies k = -1$.
दिए गए विकल्पों में $5$ उपलब्ध है,इसलिए सही मान $k = 5$ है।

(A) माना कि $X-$ अक्ष पर स्थित बिंदु $P(x, 0)$ है।
चूंकि $P$,$A(-1, 2)$ और $B(5, 4)$ से समान दूरी पर है,इसलिए $PA = PB$,जिसका अर्थ है $PA^2 = PB^2$।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर:
$[x - (-1)]^2 + (0 - 2)^2 = (x - 5)^2 + (0 - 4)^2$
$(x + 1)^2 + 4 = (x - 5)^2 + 16$
$x^2 + 2x + 1 + 4 = x^2 - 10x + 25 + 16$
$2x + 5 = -10x + 41$
$12x = 36$
$x = 3$
अतः,$X-$ अक्ष पर अभीष्ट बिंदु $(3, 0)$ है।

(B) मान लीजिए कि $Y-$ अक्ष पर स्थित अभीष्ट बिंदु $R(0, y)$ है।
चूंकि यह बिंदु $P(3, 2)$ और $Q(-1, -5)$ से समान दूरी पर है,इसलिए $PR = QR$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$PR^2 = QR^2$ प्राप्त होता है।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए,$(3 - 0)^2 + (2 - y)^2 = (-1 - 0)^2 + (-5 - y)^2$.
वर्गों का विस्तार करने पर,$9 + (4 - 4y + y^2) = 1 + (25 + 10y + y^2)$.
समीकरण को सरल करने पर,$13 - 4y + y^2 = 26 + 10y + y^2$.
दोनों पक्षों से $y^2$ घटाने पर,$13 - 4y = 26 + 10y$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$-13 = 14y$.
अतः,$y = -\frac{13}{14}$.
इस प्रकार,$Y-$ अक्ष पर स्थित अभीष्ट बिंदु $\left(0, -\frac{13}{14}\right)$ है।

(A) त्रिभुज का प्रकार निर्धारित करने के लिए,हम दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं।
$1$. $PQ$ की लंबाई: $PQ^2 = (2-2)^2 + (5-3)^2 = 0^2 + 2^2 = 4$. अतः,$PQ = 2$.
$2$. $QR$ की लंबाई: $QR^2 = (2+\sqrt{3}-2)^2 + (4-5)^2 = (\sqrt{3})^2 + (-1)^2 = 3 + 1 = 4$. अतः,$QR = 2$.
$3$. $PR$ की लंबाई: $PR^2 = (2+\sqrt{3}-2)^2 + (4-3)^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$. अतः,$PR = 2$.
चूंकि $PQ = QR = PR = 2$,इसलिए तीनों भुजाएं समान हैं।
अतः,$\Delta PQR$ एक समबाहु त्रिभुज है।

(C) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
दिए गए बिंदु $A(4, 7)$ और $B(7, 3)$ हैं।
सूत्र में मान रखने पर:
$AB = \sqrt{(7 - 4)^2 + (3 - 7)^2}$
$AB = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2}$
$AB = \sqrt{9 + 16}$
$AB = \sqrt{25}$
$AB = 5$.

(D) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
दिए गए बिंदु $P(2, -3)$ और $Q(7, 9)$ हैं।
सूत्र में मान रखने पर:
$PQ = \sqrt{(7 - 2)^2 + (9 - (-3))^2}$
$PQ = \sqrt{(5)^2 + (12)^2}$
$PQ = \sqrt{25 + 144}$
$PQ = \sqrt{169}$
$PQ = 13$ इकाई।

(A) बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु का सूत्र है:
$M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$
दिए गए बिंदु $A(3, -2)$ और $B(-1, 4)$ हैं।
यहाँ,$x_1 = 3, y_1 = -2$ और $x_2 = -1, y_2 = 4$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$M = \left( \frac{3 + (-1)}{2}, \frac{-2 + 4}{2} \right)$
$M = \left( \frac{2}{2}, \frac{2}{2} \right)$
$M = (1, 1)$
अतः,मध्य-बिंदु के निर्देशांक $(1, 1)$ हैं।

(B) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के लिए मध्य-बिंदु का सूत्र $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ होता है।
सबसे पहले,$M$ के निर्देशांक ज्ञात करें,जो $\overline{AB}$ का मध्य-बिंदु है जहाँ $A(0, 0)$ और $B(4, 8)$ हैं:
$M = \left(\frac{0+4}{2}, \frac{0+8}{2}\right) = (2, 4)$.
इसके बाद,$N$ के निर्देशांक ज्ञात करें,जो $\overline{BM}$ का मध्य-बिंदु है जहाँ $B(4, 8)$ और $M(2, 4)$ हैं:
$N = \left(\frac{4+2}{2}, \frac{8+4}{2}\right) = \left(\frac{6}{2}, \frac{12}{2}\right) = (3, 6)$.

(A) माना कि $D$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
समांतर चतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,जिसका अर्थ है कि विकर्ण $AC$ का मध्य-बिंदु,विकर्ण $BD$ के मध्य-बिंदु के समान होता है।
$AC$ का मध्य-बिंदु $= \left(\frac{1+3}{2}, \frac{2+(-4)}{2}\right) = \left(\frac{4}{2}, \frac{-2}{2}\right) = (2, -1)$.
$BD$ का मध्य-बिंदु $= \left(\frac{2+x}{2}, \frac{1+y}{2}\right)$.
मध्य-बिंदुओं की तुलना करने पर: $(2, -1) = \left(\frac{2+x}{2}, \frac{1+y}{2}\right)$.
$x$-निर्देशांक के लिए: $\frac{2+x}{2} = 2 \implies 2+x = 4 \implies x = 2$.
$y$-निर्देशांक के लिए: $\frac{1+y}{2} = -1 \implies 1+y = -2 \implies y = -3$.
अतः,$D$ के निर्देशांक $(2, -3)$ हैं।

(B) दिया गया है कि बिंदु $A, B$ और $C$ संरेख हैं और $AB = BC$ है।
इसका अर्थ है कि बिंदु $B$,रेखाखंड $\overline{AC}$ का मध्य-बिंदु है।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करते हुए,$B$ के निर्देशांक $\left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right)$ द्वारा दिए जाते हैं।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(3, 4) = \left(\frac{5 + x}{2}, \frac{2 + y}{2}\right)$.
$x$-निर्देशांकों की तुलना करने पर: $\frac{5 + x}{2} = 3 \implies 5 + x = 6 \implies x = 1$.
$y$-निर्देशांकों की तुलना करने पर: $\frac{2 + y}{2} = 4 \implies 2 + y = 8 \implies y = 6$.
अतः,बिंदु $C$ के निर्देशांक $(1, 6)$ हैं।

(A) माना कि $X-$अक्ष पर स्थित बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, 0)$ हैं।
दिया गया है कि दूरी $PA = 13$ इकाई है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,$PA^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.
$13^2 = (x - 11)^2 + (0 - 12)^2$
$169 = (x - 11)^2 + (-12)^2$
$169 = (x - 11)^2 + 144$
$(x - 11)^2 = 169 - 144$
$(x - 11)^2 = 25$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$x - 11 = \pm 5$.
स्थिति $1$: $x - 11 = 5 \implies x = 16$.
स्थिति $2$: $x - 11 = -5 \implies x = 6$.
अतः,$P$ के निर्देशांक $(16, 0)$ या $(6, 0)$ हैं।

(C) बिंदु $A$ के निर्देशांक $(a \cos \theta, a \sin \theta)$ हैं और मूलबिंदु $O$ के निर्देशांक $(0, 0)$ हैं।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए,दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $d = \sqrt{(a \cos \theta - 0)^2 + (a \sin \theta - 0)^2}$.
$d = \sqrt{a^2 \cos^2 \theta + a^2 \sin^2 \theta}$.
$d = \sqrt{a^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)}$.
चूंकि $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,इसलिए $d = \sqrt{a^2(1)} = \sqrt{a^2}$.
चूंकि $a \in R^{+}$ है,इसलिए दूरी $a$ होगी।

(B) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र है: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$।
दिए गए बिंदु $A(\cos \theta, 0)$ और $B(0, \sin \theta)$ हैं।
सूत्र में मान रखने पर:
$d = \sqrt{(0 - \cos \theta)^2 + (\sin \theta - 0)^2}$
$d = \sqrt{(-\cos \theta)^2 + (\sin \theta)^2}$
$d = \sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$d = \sqrt{1} = 1$.

(C) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
दिए गए बिंदु $A(a+b, b-a)$ और $B(a-b, a+b)$ हैं।
$AB = \sqrt{((a-b) - (a+b))^2 + ((a+b) - (b-a))^2}$
$AB = \sqrt{(a - b - a - b)^2 + (a + b - b + a)^2}$
$AB = \sqrt{(-2b)^2 + (2a)^2}$
$AB = \sqrt{4b^2 + 4a^2}$
$AB = \sqrt{4(a^2 + b^2)}$
$AB = 2\sqrt{a^2 + b^2}$.

(C) दिए गए दोनों बिंदुओं के $x$-निर्देशांक समान हैं $(x = 2)$।
इसलिए,इन दो बिंदुओं से होकर गुजरने वाली रेखा $Y$-अक्ष के समानांतर एक ऊर्ध्वाधर रेखा है,जिसका समीकरण $x = 2$ है।
यदि कोई तीसरा बिंदु इन दो बिंदुओं के साथ संरेख है,तो उसे भी रेखा $x = 2$ पर स्थित होना चाहिए। इसका अर्थ है कि तीसरे बिंदु का $x$-निर्देशांक $2$ होना चाहिए।
दिए गए विकल्पों में से,केवल बिंदु $(2,-4)$ का $x$-निर्देशांक $2$ है।
अतः,बिंदु $(2,3)$,$(2,5)$ और $(2,-4)$ संरेख हैं।

(A) दिए गए दोनों बिंदुओं $(3,4)$ और $(-1,4)$ के $y$-निर्देशांक $4$ समान हैं।
इसका अर्थ है कि इन दो बिंदुओं से होकर गुजरने वाली रेखा $y = 4$ समीकरण द्वारा परिभाषित एक क्षैतिज रेखा है।
किसी तीसरे बिंदु को इन दो बिंदुओं के साथ संरेख होने के लिए,उसे भी उसी रेखा $y = 4$ पर स्थित होना चाहिए।
दिए गए विकल्पों में से,केवल $(-5,4)$ बिंदु का $y$-निर्देशांक $4$ है।
अतः,बिंदु $(-5,4)$ दिए गए बिंदुओं के साथ संरेख है।

(C) सबसे पहले,हम दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं।
$AB = \sqrt{(0-3)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{9} = 3$.
$BC = \sqrt{(1-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$.
$CD = \sqrt{(4-1)^2 + (3-3)^2} = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3$.
$AD = \sqrt{(4-3)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$.
चूंकि सम्मुख भुजाएं समान हैं ($AB = CD = 3$ और $BC = AD = \sqrt{10}$),इसलिए यह एक समांतर चतुर्भुज है।
अब,विकर्णों की लंबाई की जांच करते हैं:
$AC = \sqrt{(1-3)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$.
$BD = \sqrt{(4-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$.
चूंकि विकर्ण समान नहीं हैं $(AC \neq BD)$,इसलिए यह आयत नहीं है।
अतः,$\square ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है।

(C) चतुर्भुज की पहचान करने के लिए,हम दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं।
भुजा $AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3$.
भुजा $BC = \sqrt{(4 - 4)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2$.
भुजा $CD = \sqrt{(1 - 4)^2 + (5 - 5)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 0^2} = 3$.
भुजा $DA = \sqrt{(1 - 1)^2 + (3 - 5)^2} = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = 2$.
चूंकि सम्मुख भुजाएं बराबर हैं ($AB = CD = 3$ और $BC = DA = 2$) और आसन्न भुजाएं बराबर नहीं हैं,इसलिए यह एक समांतर चतुर्भुज है।
अब,विकर्णों की जाँच करते हैं: $AC = \sqrt{(4 - 1)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$.
$BD = \sqrt{(1 - 4)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$.
चूंकि सम्मुख भुजाएं बराबर हैं और विकर्ण भी बराबर हैं,इसलिए $\square ABCD$ एक आयत है।

(B) माध्यिका $\overline{AD}$ के लिए,$D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है,जहाँ $B(-3, 2)$ और $C(5, 0)$ हैं।
$D$ के निर्देशांक मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किए जाते हैं: $D = \left(\frac{-3+5}{2}, \frac{2+0}{2}\right) = \left(\frac{2}{2}, \frac{2}{2}\right) = (1, 1)$.
अब,$A(1, 4)$ और $D(1, 1)$ के बीच दूरी सूत्र का उपयोग करके माध्यिका $\overline{AD}$ की लंबाई ज्ञात करते हैं:
$AD = \sqrt{(1-1)^2 + (4-1)^2}$
$AD = \sqrt{0^2 + 3^2}$
$AD = \sqrt{9} = 3$.
अतः,माध्यिका $\overline{AD}$ की लंबाई $3$ है।

(A) शीर्षों के निर्देशांक $A(0, 0)$,$B(4, 0)$ और $C(0, 3)$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ का उपयोग करने पर:
$AB = \sqrt{(4-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{16} = 4$ इकाई।
$BC = \sqrt{(0-4)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$ इकाई।
$AC = \sqrt{(0-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{3^2} = 3$ इकाई।
यहाँ $AB^2 + AC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$ और $BC^2 = 5^2 = 25$ है,इसलिए $AB^2 + AC^2 = BC^2$ है।
यह पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है,जो दर्शाता है कि $\Delta ABC$ शीर्ष $A$ पर एक समकोण त्रिभुज है। चूंकि $AB \neq AC$,यह समद्विबाहु नहीं है।

(D) किसी भी बिंदु $(x, y)$ की $X-$ अक्ष से लंबवत दूरी उसके $y-$ निर्देशांक के निरपेक्ष मान द्वारा दी जाती है।
बिंदु $(5, 3)$ के लिए,$x-$ निर्देशांक $5$ है और $y-$ निर्देशांक $3$ है।
अतः,$X-$ अक्ष से लंबवत दूरी $= |y| = |3| = 3$ इकाई।

(C) किसी बिंदु $(x, y)$ की $Y$-अक्ष से लंबवत दूरी उसके $x$-निर्देशांक के निरपेक्ष मान के बराबर होती है।
बिंदु $(-2, 5)$ के लिए,$x$-निर्देशांक $-2$ है।
अतः,$Y$-अक्ष से लंबवत दूरी $|-2| = 2$ इकाई है।

(A) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
दिए गए बिंदु $A(1, 3)$ और $B(a, 0)$ हैं और दूरी $d = 3$ है।
मान रखने पर: $3 = \sqrt{(a - 1)^2 + (0 - 3)^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $9 = (a - 1)^2 + (-3)^2$.
$9 = (a - 1)^2 + 9$.
$(a - 1)^2 = 0$.
अतः,$a - 1 = 0$,जिससे $a = 1$ प्राप्त होता है।

(C) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
यहाँ $A(-4, -3)$ और $B(6, a)$ दिए गए हैं और दूरी $d = 10$ है।
$10 = \sqrt{(6 - (-4))^2 + (a - (-3))^2}$
$10 = \sqrt{(10)^2 + (a + 3)^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$100 = 100 + (a + 3)^2$
$(a + 3)^2 = 0$
$a + 3 = 0$
$a = -3$

(B) त्रिभुज का प्रकार निर्धारित करने के लिए, हम दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं।
$AB = \sqrt{(0 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2$.
$BC = \sqrt{(\sqrt{3} - 0)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
$AC = \sqrt{(\sqrt{3} - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
चूंकि $AB = BC = AC = 2$, इसलिए तीनों भुजाएं समान हैं।
अतः, $\Delta ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है।

(D) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
चूंकि $P$,$A(0, 0)$,$B(4, 0)$ और $C(0, 6)$ से समान दूरी पर है,इसलिए $PA = PB = PC$,जिसका अर्थ है $PA^2 = PB^2 = PC^2$।
$PA^2 = PB^2$ से,हमें प्राप्त होता है $x^2 + y^2 = (x - 4)^2 + (y - 0)^2$।
$x^2 + y^2 = x^2 - 8x + 16 + y^2$।
$8x = 16 \implies x = 2$।
$PA^2 = PC^2$ से,हमें प्राप्त होता है $x^2 + y^2 = (x - 0)^2 + (y - 6)^2$।
$x^2 + y^2 = x^2 + y^2 - 12y + 36$।
$12y = 36 \implies y = 3$।
अतः,बिंदु $P$ के निर्देशांक $(2, 3)$ हैं।

(B) चूंकि $\overline{AB}$ वृत्त का व्यास है,इसलिए केंद्र $P$,व्यास $\overline{AB}$ का मध्य-बिंदु है।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करते हुए,$P$ के निर्देशांक $\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ द्वारा दिए जाते हैं।
$A(5, -6)$ और $B(3, -2)$ मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$P = \left( \frac{5 + 3}{2}, \frac{-6 + (-2)}{2} \right)$
$P = \left( \frac{8}{2}, \frac{-8}{2} \right)$
$P = (4, -4)$.

(D) दिए गए बिंदु $A(8, 10)$ और $B(4, 12)$ हैं।
चूंकि बिंदु रेखाखंड $\overline{AB}$ को $1:1$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए यह रेखाखंड का मध्य-बिंदु है।
मध्य-बिंदु का सूत्र $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ है।
मान रखने पर,हमें $\left(\frac{8 + 4}{2}, \frac{10 + 12}{2}\right) = \left(\frac{12}{2}, \frac{22}{2}\right) = (6, 11)$ प्राप्त होता है।

(D) माना कि बिंदु $P(4,4)$,$A(2,6)$ और $B(6,2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,बिंदु $P$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$P = \left( \frac{k(6) + 1(2)}{k+1}, \frac{k(2) + 1(6)}{k+1} \right) = (4,4)$
$x$-निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$\frac{6k + 2}{k+1} = 4$
$6k + 2 = 4k + 4$
$2k = 2$
$k = 1$
अतः,अनुपात $k:1$,$1:1$ है।
वैकल्पिक रूप से,$AB$ का मध्य-बिंदु $\left( \frac{2+6}{2}, \frac{6+2}{2} \right) = (4,4)$ है,जो यह पुष्टि करता है कि बिंदु $(4,4)$ मध्य-बिंदु है,जो रेखाखंड को $1:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।

(D) $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्यबिंदु का सूत्र $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ होता है।
दिए गए बिंदुओं $(3, 4)$ और $(a, 8)$ के लिए,मध्यबिंदु $\left(\frac{3 + a}{2}, \frac{4 + 8}{2}\right)$ होगा।
हमें दिया गया है कि मध्यबिंदु $(4, 6)$ है।
निर्देशांकों की तुलना करने पर,$\left(\frac{3 + a}{2}, \frac{12}{2}\right) = (4, 6)$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\left(\frac{3 + a}{2}, 6\right) = (4, 6)$ मिलता है।
$x$-निर्देशांक की तुलना करने पर: $\frac{3 + a}{2} = 4$।
$2$ से गुणा करने पर,$3 + a = 8$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = 8 - 3 = 5$।

(A) बिंदुओं के निर्देशांक $A(2, 2)$ और $B(2, -2)$ हैं।
चूंकि दोनों बिंदुओं का $x-$निर्देशांक $2$ है,इसलिए इन बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 2$ पर स्थित है।
यदि किसी रेखाखंड के $x-$निर्देशांक समान होते हैं,तो वह $Y-$ अक्ष के समांतर होती है।
यह $X-$ अक्ष को कहाँ प्रतिच्छेद करता है,यह ज्ञात करने के लिए हम रेखा $x = 2$ पर $y = 0$ रखते हैं।
अतः,$X-$ अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 0)$ है क्योंकि रेखा $x = 2$,$X-$ अक्ष को $y = 0$ पर काटती है।

(D) बिंदुओं के निर्देशांक $A(-3, 5)$ और $B(2, 5)$ हैं।
चूंकि दोनों बिंदुओं का $y-$निर्देशांक $5$ है,इसलिए इन बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड एक क्षैतिज रेखा है जिसे समीकरण $y = 5$ द्वारा दर्शाया जाता है।
एक क्षैतिज रेखा $y = 5$,$X-$अक्ष के समानांतर होती है और $Y-$अक्ष को उस बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है जहाँ $x = 0$ होता है।
समीकरण $y = 5$ में $x = 0$ रखने पर,हमें बिंदु $(0, 5)$ प्राप्त होता है।
अतः,रेखाखंड $Y-$अक्ष को $(0, 5)$ पर प्रतिच्छेद करता है।

(D) माना कि अभीष्ट बिंदु $P(x, y)$ है और अनुपात $m:n = 3:2$ है।
यहाँ $A(x_1, y_1) = (3, -6)$ और $B(x_2, y_2) = (-2, -1)$ दिए गए हैं।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$P$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m+n} = \frac{3(-2) + 2(3)}{3+2} = \frac{-6 + 6}{5} = \frac{0}{5} = 0$
$y = \frac{my_2 + ny_1}{m+n} = \frac{3(-1) + 2(-6)}{3+2} = \frac{-3 - 12}{5} = \frac{-15}{5} = -3$
अतः,बिंदु $P$ के निर्देशांक $(0, -3)$ हैं।

(A) त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ हैं,उसका सूत्र है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए शीर्ष $A(0,0), B(4,0)$ और $C(0,6)$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0(0 - 6) + 4(6 - 0) + 0(0 - 0)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0 + 24 + 0|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |24| = 12$ वर्ग इकाई।

(B) $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र इस प्रकार है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए शीर्ष $A(3, 0)$,$B(0, 3)$ और $C(3, 3)$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |3(3 - 3) + 0(3 - 0) + 3(0 - 3)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |3(0) + 0(3) + 3(-3)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0 + 0 - 9|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-9| = \frac{9}{2} = 4.5$ वर्ग इकाई।

(D) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ होने पर क्षेत्रफल का सूत्र:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए शीर्ष $A(2, 4)$,$B(5, 0)$ और $C(5, 4)$ हैं।
सूत्र में मान रखने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |2(0 - 4) + 5(4 - 4) + 5(4 - 0)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |2(-4) + 5(0) + 5(4)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-8 + 0 + 20|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |12| = 6$ वर्ग इकाई।
वैकल्पिक रूप से,चूंकि $AC$ एक क्षैतिज रेखा है $(y=4)$ और $BC$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है $(x=5)$,यह एक समकोण त्रिभुज है।
आधार $AC = |5 - 2| = 3$ इकाई।
ऊंचाई $BC = |4 - 0| = 4$ इकाई।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$ वर्ग इकाई।

(C) माध्यिका $\overline{AD}$,शीर्ष $A$ को सम्मुख भुजा $\overline{BC}$ के मध्य-बिंदु $D$ से जोड़ती है।
चूंकि $B = (0, 0)$ और $C = (6, 0)$ हैं,इसलिए मध्य-बिंदु $D$ के निर्देशांक मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करके प्राप्त किए जाते हैं:
$D = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) = \left( \frac{0 + 6}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (3, 0)$.
अब,दूरी सूत्र का उपयोग करके $A(3, 4)$ और $D(3, 0)$ के बीच की लंबाई $\overline{AD}$ ज्ञात करते हैं:
$AD = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(3 - 3)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = \sqrt{16} = 4$.
अतः,माध्यिका $\overline{AD}$ की लंबाई $4$ है।

(D) चूंकि $\overline{BE}$,$\Delta ABC$ की भुजा $\overline{AC}$ पर माध्यिका है,इसलिए $E$,$\overline{AC}$ का मध्य-बिंदु है।
$A$ के निर्देशांक $(9,5)$ और $C$ के निर्देशांक $(3,3)$ हैं।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करते हुए,$E$ के निर्देशांक $= \left(\frac{9+3}{2}, \frac{5+3}{2}\right) = \left(\frac{12}{2}, \frac{8}{2}\right) = (6,4)$ हैं।
माध्यिका $\overline{BE}$ की लंबाई $B(6,7)$ और $E(6,4)$ के बीच की दूरी है।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए,$BE = \sqrt{(6-6)^2 + (7-4)^2} = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3$।

(C) त्रिभुज का प्रकार निर्धारित करने के लिए,हम दूरी सूत्र का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
$1$. $PQ$ की लंबाई: $PQ^2 = (3 - 6)^2 + (10 - 5)^2 = (-3)^2 + (5)^2 = 9 + 25 = 34$. अतः,$PQ = \sqrt{34}$.
$2$. $QR$ की लंबाई: $QR^2 = (6 - 1)^2 + (5 - 2)^2 = (5)^2 + (3)^2 = 25 + 9 = 34$. अतः,$QR = \sqrt{34}$.
$3$. $PR$ की लंबाई: $PR^2 = (3 - 1)^2 + (10 - 2)^2 = (2)^2 + (8)^2 = 4 + 64 = 68$. अतः,$PR = \sqrt{68}$.
चूंकि $PQ = QR = \sqrt{34}$,त्रिभुज की दो भुजाएं समान लंबाई की हैं।
इसलिए,$\Delta PQR$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(B) $\Delta LMN$ का प्रकार निर्धारित करने के लिए,हम दूरी सूत्र का उपयोग करके इसकी भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
$1$. $LM$ की लंबाई = $\sqrt{(4 - 1)^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$2$. $MN$ की लंबाई = $\sqrt{(4 - 4)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3$.
$3$. $NL$ की लंबाई = $\sqrt{(4 - 1)^2 + (4 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3$.
चूँकि $MN = NL = 3$ है,इसलिए त्रिभुज समद्विबाहु है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके समकोण की जाँच करें: $MN^2 + NL^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$,और $LM^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18$.
चूँकि $MN^2 + NL^2 = LM^2$ है,इसलिए यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।
अतः,$\Delta LMN$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है।

(B) यदि रेखाखंड $\overline{PQ}$,$X$-अक्ष के समांतर है,तो रेखाखंड पर स्थित सभी बिंदुओं का $Y$-निर्देशांक समान होना चाहिए।
चूंकि $P(x_{1}, y_{1})$ और $Q(x_{2}, y_{2})$ इस रेखा पर स्थित हैं,इसलिए उनके $Y$-निर्देशांक बराबर होने चाहिए।
अतः,$y_{1} = y_{2}$।

(A) $Y$-अक्ष के समांतर रेखा एक ऊर्ध्वाधर (vertical) रेखा होती है।
किसी भी ऊर्ध्वाधर रेखा के लिए,उस रेखा पर स्थित सभी बिंदुओं का $x$-निर्देशांक समान रहता है।
चूंकि बिंदु $P(x_{1}, y_{1})$ और $Q(x_{2}, y_{2})$ $Y$-अक्ष के समांतर एक रेखा पर स्थित हैं,इसलिए उनके $x$-निर्देशांक समान होने चाहिए।
अतः,$x_{1} = x_{2}$।

(C) दो बिंदुओं $P(x_{1}, y_{1})$ और $Q(x_{2}, y_{2})$ के बीच की दूरी का सूत्र $PQ = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^2 + (y_{2} - y_{1})^2}$ है।
यदि रेखाखंड $\overline{PQ}$,$X$-अक्ष के समांतर है,तो दोनों बिंदुओं के $y$-निर्देशांक समान होने चाहिए,अर्थात $y_{1} = y_{2}$।
दूरी के सूत्र में $y_{1} = y_{2}$ रखने पर:
$PQ = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^2 + (y_{1} - y_{1})^2}$
$PQ = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^2 + 0^2}$
$PQ = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^2} = |x_{2} - x_{1}| = |x_{1} - x_{2}|$.
अतः,दूरी $|x_{1} - x_{2}|$ है।

(C) यदि रेखाखंड $\overline{PQ}$,$Y$-अक्ष के समांतर है,तो रेखाखंड पर स्थित सभी बिंदुओं के $x$-निर्देशांक समान होने चाहिए।
अतः,$x_{1} = x_{2}$।
दो बिंदुओं $P(x_{1}, y_{1})$ और $Q(x_{2}, y_{2})$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^2 + (y_{2}-y_{1})^2}$ है।
सूत्र में $x_{1} = x_{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$PQ = \sqrt{(x_{1}-x_{1})^2 + (y_{2}-y_{1})^2}$
$PQ = \sqrt{0^2 + (y_{2}-y_{1})^2}$
$PQ = \sqrt{(y_{2}-y_{1})^2} = |y_{2}-y_{1}| = |y_{1}-y_{2}|$।
इस प्रकार,दूरी $|y_{1}-y_{2}|$ है।

(A) कार्तीय तल में दो बिंदुओं $A(x_{1}, y_{1})$ और $B(x_{2}, y_{2})$ के बीच की दूरी,दूरी सूत्र द्वारा दी जाती है।
दूरी सूत्र के अनुसार,बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच की दूरी $d(A, B) = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}}$ होती है।
चूंकि $(x_{2}-x_{1})^{2} = (x_{1}-x_{2})^{2}$ और $(y_{2}-y_{1})^{2} = (y_{1}-y_{2})^{2}$ होता है,इसलिए इस सूत्र को $d(A, B) = \sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2} + (y_{1}-y_{2})^{2}}$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।
अतः,विकल्प $A$ सही उत्तर है।

(A) रेखाखंड $\overline{AB}$ पर स्थित एक बिंदु $P$ उस रेखाखंड को दो भागों में विभाजित करता है: $AP$ और $PB$।
परिभाषा के अनुसार,एक बिंदु $P$ द्वारा रेखाखंड $\overline{AB}$ का विभाजन अनुपात (जहाँ $P$,$A$ और $B$ के बीच स्थित है) बनने वाले दो रेखाखंडों की लंबाई का अनुपात होता है,जो $\frac{AP}{PB}$ है।
अतः,$P$,$\overline{AB}$ को $A$ से $\frac{AP}{PB}$ के अनुपात में विभाजित करता है।

(B) रेखाखंड $\overline{ AB }$ दिया गया है। बिंदु $P$,$A$ और $B$ के बीच इस प्रकार स्थित है कि $A-P-B$ है।
जब कोई बिंदु $P$ एक रेखाखंड $\overline{ AB }$ को किसी अनुपात में विभाजित करता है,तो इसे आमतौर पर बनने वाले दो रेखाखंडों की लंबाई के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यदि विभाजन '$B$ से' निर्दिष्ट किया गया है,तो इसका अर्थ है $B$ से शुरू होने वाले रेखाखंड और $A$ से शुरू होने वाले रेखाखंड का अनुपात।
अतः,अनुपात $\frac{BP}{PA}$ होगा।

(B) विभाजन सूत्र के अनुसार,यदि बिंदु $P(x, y)$,बिंदुओं $A(x_{1}, y_{1})$ और $B(x_{2}, y_{2})$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m : n$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है,तो $P$ के निर्देशांक इस प्रकार होंगे:
$x = \frac{m x_{2} + n x_{1}}{m + n}$
$y = \frac{m y_{2} + n y_{1}}{m + n}$
अतः,$P$ के निर्देशांक $\left(\frac{m x_{2}+n x_{1}}{m+n}, \frac{m y_{2}+n y_{1}}{m+n}\right)$ हैं।

(C) दिया गया है कि $A - M - B$,बिंदु $M$ रेखाखंड $AB$ पर स्थित है।
हमें अनुपात $\frac{AM}{AB} = \frac{3}{5}$ दिया गया है।
चूंकि $AB = AM + MB$,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$\frac{AM}{AM + MB} = \frac{3}{5}$.
तिर्यक गुणा करने पर,$5(AM) = 3(AM + MB)$.
$5(AM) = 3(AM) + 3(MB)$.
$2(AM) = 3(MB)$.
इसलिए,$\frac{AM}{MB} = \frac{3}{2}$.
अतः,बिंदु $M$ रेखाखंड $AB$ को $3:2$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।