Mix Examples - Coordinate Geometry Questions in Hindi

(C) दिए गए त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1) = (-8, 4)$,$(x_2, y_2) = (-6, 6)$ और $(x_3, y_3) = (-3, 9)$ हैं।
त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
सूत्र में मान रखने पर:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |-8(6 - 9) + (-6)(9 - 4) + (-3)(4 - 6)|$
$= \frac{1}{2} |-8(-3) - 6(5) - 3(-2)|$
$= \frac{1}{2} |24 - 30 + 6|$
$= \frac{1}{2} |30 - 30| = \frac{1}{2}(0) = 0$
अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल $0$ है,जिसका अर्थ है कि ये बिंदु संरेख (collinear) हैं।

(6:7) माना कि अभीष्ट अनुपात $\lambda : 1$ है। बिंदुओं $A(-4, -6)$ और $B(-1, 7)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को विभाजित करने वाले बिंदु $M$ के निर्देशांक विभाजन सूत्र द्वारा दिए जाते हैं:
$\left( \frac{\lambda x_2 + 1 \cdot x_1}{\lambda + 1}, \frac{\lambda y_2 + 1 \cdot y_1}{\lambda + 1} \right)$
मान $x_1 = -4, x_2 = -1, y_1 = -6, y_2 = 7$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\left( \frac{\lambda(-1) + 1(-4)}{\lambda + 1}, \frac{\lambda(7) + 1(-6)}{\lambda + 1} \right) = \left( \frac{-\lambda - 4}{\lambda + 1}, \frac{7\lambda - 6}{\lambda + 1} \right)$
चूंकि रेखाखंड $x$-अक्ष द्वारा विभाजित होता है,इसलिए विभाजन बिंदु का $y$-निर्देशांक $0$ होना चाहिए:
$\frac{7\lambda - 6}{\lambda + 1} = 0 \implies 7\lambda - 6 = 0 \implies \lambda = \frac{6}{7}$
अतः,अभीष्ट अनुपात $6:7$ है।
अब,$\lambda = \frac{6}{7}$ को $x$-निर्देशांक के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$x = \frac{-\frac{6}{7} - 4}{\frac{6}{7} + 1} = \frac{-\frac{34}{7}}{\frac{13}{7}} = -\frac{34}{13}$
इसलिए,विभाजन बिंदु $\left( -\frac{34}{13}, 0 \right)$ है।

(A) मान लीजिए कि बिंदु $P \left(\frac{3}{4}, \frac{5}{12}\right)$,$A \left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$ और $B(2, -5)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k: 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$P$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$P = \left(\frac{k(2) + 1(\frac{1}{2})}{k+1}, \frac{k(-5) + 1(\frac{3}{2})}{k+1}\right)$
$x$-निर्देशांक की तुलना करने पर:
$\frac{3}{4} = \frac{2k + \frac{1}{2}}{k+1}$
$3(k+1) = 4(2k + \frac{1}{2})$
$3k + 3 = 8k + 2$
$3 - 2 = 8k - 3k$
$1 = 5k$
$k = \frac{1}{5}$
अतः,अनुपात $k: 1$ का मान $\frac{1}{5}: 1$ है,जो कि $1: 5$ है।
$y$-निर्देशांक के साथ जाँच करने पर:
$y = \frac{-5(\frac{1}{5}) + \frac{3}{2}}{\frac{1}{5} + 1} = \frac{-1 + \frac{3}{2}}{\frac{6}{5}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{6}{5}} = \frac{1}{2} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{12}$.
चूँकि यह दिए गए $y$-निर्देशांक से मेल खाता है,इसलिए अभीष्ट अनुपात $1: 5$ है।

(B) दिया गया है कि बिंदु $P(9a-2, -b)$,$A(3a+1, -3)$ और $B(8a, 5)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को $m_1:m_2 = 3:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,बिंदु $P$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$P(x, y) = \left( \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1+m_2}, \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1+m_2} \right)$
$x$-निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$9a - 2 = \frac{3(8a) + 1(3a+1)}{3+1}$
$9a - 2 = \frac{24a + 3a + 1}{4}$
$4(9a - 2) = 27a + 1$
$36a - 8 = 27a + 1$
$36a - 27a = 1 + 8$
$9a = 9 \implies a = 1$
$y$-निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$-b = \frac{3(5) + 1(-3)}{3+1}$
$-b = \frac{15 - 3}{4}$
$-b = \frac{12}{4}$
$-b = 3 \implies b = -3$
अतः,$a = 1$ और $b = -3$ प्राप्त होते हैं।

(D) चूंकि $(a, b)$ रेखाखंड $AB$ का मध्य-बिंदु है,हम मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करते हैं:
$(a, b) = \left(\frac{10 + k}{2}, \frac{-6 + 4}{2}\right)$
$(a, b) = \left(\frac{10 + k}{2}, -1\right)$
निर्देशांकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = \frac{10 + k}{2}$ ... $(i)$
$b = -1$ ... $(ii)$
दिए गए समीकरण $a - 2b = 18$ में $b = -1$ रखने पर:
$a - 2(-1) = 18$
$a + 2 = 18 \Rightarrow a = 16$
अब,$a = 16$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$16 = \frac{10 + k}{2}$
$32 = 10 + k \Rightarrow k = 22$
अतः,$B$ के निर्देशांक $(22, 4)$ हैं।
अब,दूरी सूत्र का उपयोग करके दूरी $AB$ की गणना करें:
$AB = \sqrt{(22 - 10)^2 + (4 - (-6))^2}$
$AB = \sqrt{(12)^2 + (10)^2}$
$AB = \sqrt{144 + 100} = \sqrt{244}$
$AB = 2\sqrt{61}$ इकाई।

(A-D) दिया गया है कि वृत्त का केंद्र $C(2a, a-7)$ है और यह बिंदु $P(11, -9)$ से होकर गुजरता है।
केंद्र $C$ और वृत्त पर स्थित बिंदु $P$ के बीच की दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होती है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,$r = \sqrt{(11 - 2a)^2 + (-9 - (a - 7))^2} = \sqrt{(11 - 2a)^2 + (-2 - a)^2}$.
वृत्त का व्यास $10\sqrt{2}$ इकाई है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ इकाई होगी।
त्रिज्या के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$5\sqrt{2} = \sqrt{(11 - 2a)^2 + (-2 - a)^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(5\sqrt{2})^2 = (11 - 2a)^2 + (-2 - a)^2$
$50 = (121 - 44a + 4a^2) + (4 + 4a + a^2)$
$50 = 5a^2 - 40a + 125$
$5a^2 - 40a + 75 = 0$.
$5$ से भाग देने पर:
$a^2 - 8a + 15 = 0$
$a^2 - 5a - 3a + 15 = 0$
$a(a - 5) - 3(a - 5) = 0$
$(a - 5)(a - 3) = 0$.
अतः,$a$ के मान $a = 5$ या $a = 3$ हैं।

(A) दिया गया है कि बिंदुओं $A(3, 2)$ और $B(5, 1)$ को जोड़ने वाला रेखाखंड बिंदु $P$ पर $1: 2$ के अनुपात में विभाजित होता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,बिंदु $P$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$P = \left( \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2}, \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2} \right)$
मान $m_1 = 1, m_2 = 2, x_1 = 3, y_1 = 2, x_2 = 5, y_2 = 1$ रखने पर:
$P = \left( \frac{1(5) + 2(3)}{1 + 2}, \frac{1(1) + 2(2)}{1 + 2} \right) = \left( \frac{5 + 6}{3}, \frac{1 + 4}{3} \right) = \left( \frac{11}{3}, \frac{5}{3} \right)$
चूंकि बिंदु $P\left( \frac{11}{3}, \frac{5}{3} \right)$ रेखा $3x - 18y + k = 0$ पर स्थित है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$3\left( \frac{11}{3} \right) - 18\left( \frac{5}{3} \right) + k = 0$
$11 - 6(5) + k = 0$
$11 - 30 + k = 0$
$-19 + k = 0$
$k = 19$
अतः,$k$ का अभीष्ट मान $19$ है।

(B) माना $A=(x_1, y_1)$,$B=(x_2, y_2)$ और $C=(x_3, y_3)$ त्रिभुज $\triangle ABC$ के शीर्ष हैं।
दिया गया है कि $D\left(-\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right)$,$E(7, 3)$ और $F\left(\frac{7}{2}, \frac{7}{2}\right)$ क्रमशः भुजाओं $BC$,$CA$ और $AB$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर:
$BC$ के लिए: $\frac{x_2+x_3}{2} = -\frac{1}{2} \Rightarrow x_2+x_3 = -1$ $(i)$ और $\frac{y_2+y_3}{2} = \frac{5}{2} \Rightarrow y_2+y_3 = 5$ $(ii)$.
$CA$ के लिए: $\frac{x_3+x_1}{2} = 7 \Rightarrow x_3+x_1 = 14$ $(iii)$ और $\frac{y_3+y_1}{2} = 3 \Rightarrow y_3+y_1 = 6$ $(iv)$.
$AB$ के लिए: $\frac{x_1+x_2}{2} = \frac{7}{2} \Rightarrow x_1+x_2 = 7$ $(v)$ और $\frac{y_1+y_2}{2} = \frac{7}{2} \Rightarrow y_1+y_2 = 7$ $(vi)$.
$(i), (iii), (v)$ को जोड़ने पर: $2(x_1+x_2+x_3) = 20 \Rightarrow x_1+x_2+x_3 = 10$ $(vii)$.
$(vii)$ में से $(i), (iii), (v)$ को घटाने पर $x_1=11, x_2=-4, x_3=3$ प्राप्त होता है।
$(ii), (iv), (vi)$ को जोड़ने पर: $2(y_1+y_2+y_3) = 18 \Rightarrow y_1+y_2+y_3 = 9$ $(viii)$.
$(viii)$ में से $(ii), (iv), (vi)$ को घटाने पर $y_1=4, y_2=3, y_3=2$ प्राप्त होता है।
शीर्ष $A(11, 4), B(-4, 3), C(3, 2)$ हैं।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$
$= \frac{1}{2} |11(3-2) + (-4)(2-4) + 3(4-3)| = \frac{1}{2} |11(1) + (-4)(-2) + 3(1)| = \frac{1}{2} |11+8+3| = \frac{22}{2} = 11$ वर्ग इकाई।

(A) दिया गया है कि बिंदु $A(2, 9)$,$B(a, 5)$ और $C(5, 5)$ एक $\triangle ABC$ के शीर्ष हैं जो $B$ पर समकोण है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^2 = AB^2 + BC^2$ $(i)$.
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करते हुए:
$AB = \sqrt{(a - 2)^2 + (5 - 9)^2} = \sqrt{a^2 - 4a + 4 + 16} = \sqrt{a^2 - 4a + 20}$.
$BC = \sqrt{(5 - a)^2 + (5 - 5)^2} = \sqrt{(5 - a)^2} = |5 - a|$.
$AC = \sqrt{(5 - 2)^2 + (5 - 9)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$.
इन मानों को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$5^2 = (\sqrt{a^2 - 4a + 20})^2 + (5 - a)^2$.
$25 = a^2 - 4a + 20 + 25 - 10a + a^2$.
$2a^2 - 14a + 20 = 0$.
$a^2 - 7a + 10 = 0$.
$(a - 2)(a - 5) = 0$.
अतः,$a = 2$ या $a = 5$.
यदि $a = 5$ है,तो $B$ और $C$ बिंदु संपाती हो जाएंगे,जो त्रिभुज के लिए संभव नहीं है। इसलिए,$a = 2$.
$a = 2$ के साथ,शीर्ष $A(2, 9)$,$B(2, 5)$ और $C(5, 5)$ हैं।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times BC \times AB$.
$BC = |5 - 2| = 3$ इकाई।
$AB = |9 - 5| = 4$ इकाई।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$ वर्ग इकाई।

(D) दिया गया है कि $PR = \frac{3}{5} PQ$ है।
इसका तात्पर्य यह है कि बिंदु $R$,रेखाखंड $PQ$ को $PR : RQ = 3 : (5 - 3) = 3 : 2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
मान लीजिए बिंदु $R$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m : n$ अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n}$,$y = \frac{my_2 + ny_1}{m + n}$
यहाँ,$(x_1, y_1) = (-1, 3)$,$(x_2, y_2) = (2, 5)$,$m = 3$,और $n = 2$ है।
$x = \frac{3(2) + 2(-1)}{3 + 2} = \frac{6 - 2}{5} = \frac{4}{5}$
$y = \frac{3(5) + 2(3)}{3 + 2} = \frac{15 + 6}{5} = \frac{21}{5}$
अतः,बिंदु $R$ के निर्देशांक $(\frac{4}{5}, \frac{21}{5})$ हैं।

(A) हम जानते हैं कि यदि तीन बिंदु संरेख हैं,तो उन बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होता है।
चूंकि बिंदु $A(k+1, 2k)$,$B(3k, 2k+3)$ और $C(5k-1, 5k)$ संरेख हैं,इसलिए $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= 0$ होगा।
त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र: $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 0$.
यहाँ,$x_1 = k+1, x_2 = 3k, x_3 = 5k-1$ और $y_1 = 2k, y_2 = 2k+3, y_3 = 5k$ है।
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} [(k+1)(2k+3 - 5k) + 3k(5k - 2k) + (5k-1)(2k - (2k+3))] = 0$
$\frac{1}{2} [(k+1)(-3k+3) + 3k(3k) + (5k-1)(-3)] = 0$
$(-3k^2 + 3k - 3k + 3) + 9k^2 - 15k + 3 = 0$
$6k^2 - 15k + 6 = 0$
$3$ से भाग देने पर,$2k^2 - 5k + 2 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $2k^2 - 4k - k + 2 = 0 \Rightarrow 2k(k-2) - 1(k-2) = 0$.
$(k-2)(2k-1) = 0$.
अतः,$k = 2$ या $k = \frac{1}{2}$।

(A) मान लीजिए कि रेखा $2x + 3y - 5 = 0$ बिंदुओं $A(8, -9)$ और $B(2, 1)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को बिंदु $P$ पर $\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करती है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$P$ के निर्देशांक हैं:
$P = \left( \frac{2\lambda + 8}{\lambda + 1}, \frac{\lambda - 9}{\lambda + 1} \right)$
चूंकि बिंदु $P$ रेखा $2x + 3y - 5 = 0$ पर स्थित है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2\left( \frac{2\lambda + 8}{\lambda + 1} \right) + 3\left( \frac{\lambda - 9}{\lambda + 1} \right) - 5 = 0$
$(\lambda + 1)$ से गुणा करने पर:
$2(2\lambda + 8) + 3(\lambda - 9) - 5(\lambda + 1) = 0$
$4\lambda + 16 + 3\lambda - 27 - 5\lambda - 5 = 0$
$2\lambda - 16 = 0$
$2\lambda = 16 \Rightarrow \lambda = 8$
अतः,अनुपात $8 : 1$ है।
अब,$\lambda = 8$ रखकर $P$ के निर्देशांक ज्ञात करते हैं:
$x = \frac{2(8) + 8}{8 + 1} = \frac{16 + 8}{9} = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}$
$y = \frac{8 - 9}{8 + 1} = \frac{-1}{9}$
विभाजन बिंदु के निर्देशांक $(\frac{8}{3}, -\frac{1}{9})$ हैं।

(N/A) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2),$ और $C(x_3, y_3)$ हैं। मध्य-बिंदु $AB$ पर $D(3, 4),$ $BC$ पर $E(8, 9)$ और $AC$ पर $F(6, 7)$ दिए गए हैं।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करते हुए:
$1) \frac{x_1 + x_2}{2} = 3, \frac{y_1 + y_2}{2} = 4 \implies x_1 + x_2 = 6, y_1 + y_2 = 8$
$2) \frac{x_2 + x_3}{2} = 8, \frac{y_2 + y_3}{2} = 9 \implies x_2 + x_3 = 16, y_2 + y_3 = 18$
$3) \frac{x_1 + x_3}{2} = 6, \frac{y_1 + y_3}{2} = 7 \implies x_1 + x_3 = 12, y_1 + y_3 = 14$
इन समीकरणों को जोड़ने पर:
$(x_1 + x_2) + (x_2 + x_3) + (x_1 + x_3) = 6 + 16 + 12 = 34 \implies 2(x_1 + x_2 + x_3) = 34 \implies x_1 + x_2 + x_3 = 17$
$(y_1 + y_2) + (y_2 + y_3) + (y_1 + y_3) = 8 + 18 + 14 = 40 \implies 2(y_1 + y_2 + y_3) = 40 \implies y_1 + y_2 + y_3 = 20$
प्रत्येक निर्देशांक के लिए हल करने पर:
$x_1 = (x_1 + x_2 + x_3) - (x_2 + x_3) = 17 - 16 = 1$
$x_2 = (x_1 + x_2 + x_3) - (x_1 + x_3) = 17 - 12 = 5$
$x_3 = (x_1 + x_2 + x_3) - (x_1 + x_2) = 17 - 6 = 11$
$y_1 = (y_1 + y_2 + y_3) - (y_2 + y_3) = 20 - 18 = 2$
$y_2 = (y_1 + y_2 + y_3) - (y_1 + y_3) = 20 - 14 = 6$
$y_3 = (y_1 + y_2 + y_3) - (y_1 + y_2) = 20 - 8 = 12$
अतः,त्रिभुज के शीर्ष $A(1, 2), B(5, 6),$ और $C(11, 12)$ हैं।

(D) मान लीजिए समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $A(-4,3)$,$B(4,3)$ और $C(x,y)$ हैं।
चूंकि त्रिभुज समबाहु है,$AB = BC = CA$,जिसका अर्थ है $AB^2 = BC^2 = CA^2$।
सबसे पहले,$AB^2 = (4 - (-4))^2 + (3 - 3)^2 = 8^2 + 0^2 = 64$ की गणना करें।
$BC^2 = CA^2$ के लिए,$(x-4)^2 + (y-3)^2 = (x+4)^2 + (y-3)^2$।
इसे सरल करने पर $(x-4)^2 = (x+4)^2$ प्राप्त होता है,जो $x^2 - 8x + 16 = x^2 + 8x + 16$ देता है,इसलिए $16x = 0$,अर्थात $x = 0$।
अब,$x=0$ रखकर $AB^2 = BC^2$ का उपयोग करें: $64 = (0-4)^2 + (y-3)^2$।
$64 = 16 + (y-3)^2$,इसलिए $(y-3)^2 = 48$।
$y-3 = \pm \sqrt{48} = \pm 4\sqrt{3}$।
अतः,$y = 3 \pm 4\sqrt{3}$।
दो संभावित शीर्ष $C_1(0, 3+4\sqrt{3})$ और $C_2(0, 3-4\sqrt{3})$ हैं।
मूल बिंदु $(0,0)$ त्रिभुज के आंतरिक भाग में स्थित है। $(-4,3)$,$(4,3)$ और $(0, y)$ शीर्षों वाले त्रिभुज के लिए,मूल बिंदु के अंदर होने के लिए तीसरे शीर्ष का $y$-निर्देशांक $3$ से कम होना चाहिए। चूंकि $3+4\sqrt{3} > 3$ और $3-4\sqrt{3} < 3$,इसलिए सही शीर्ष $(0, 3-4\sqrt{3})$ है।

(A) दिया गया है कि $A(6,1), B(8,2)$ और $C(9,4)$ एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के तीन शीर्ष हैं।
माना चौथा शीर्ष $D(x, y)$ है।
चूंकि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए $BD$ का मध्य-बिंदु $AC$ के मध्य-बिंदु के समान होगा।
$AC$ का मध्य-बिंदु $= \left(\frac{6+9}{2}, \frac{1+4}{2}\right) = \left(\frac{15}{2}, \frac{5}{2}\right)$.
$BD$ का मध्य-बिंदु $= \left(\frac{8+x}{2}, \frac{2+y}{2}\right)$.
निर्देशांकों की तुलना करने पर: $\frac{8+x}{2} = \frac{15}{2} \Rightarrow x = 7$ और $\frac{2+y}{2} = \frac{5}{2} \Rightarrow y = 3$.
अतः,चौथा शीर्ष $D(7,3)$ है।
$E, DC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $E = \left(\frac{7+9}{2}, \frac{3+4}{2}\right) = \left(8, \frac{7}{2}\right)$.
$A(6,1), D(7,3)$ और $E(8, 3.5)$ शीर्षों वाले $\triangle ADE$ का क्षेत्रफल:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |6(3 - 3.5) + 7(3.5 - 1) + 8(1 - 3)|$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |6(-0.5) + 7(2.5) + 8(-2)|$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |-3 + 17.5 - 16|$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |-1.5| = 0.75 = \frac{3}{4} \text{ वर्ग इकाई।}$

(N/A) दिया गया है कि बिंदु $A(x_{1}, y_{1})$,$B(x_{2}, y_{2})$ और $C(x_{3}, y_{3})$ एक $\triangle ABC$ के शीर्ष हैं।
$(i)$ हम जानते हैं कि माध्यिका रेखाखंड को दो बराबर भागों में विभाजित करती है,अर्थात $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है।
$\therefore BC$ के मध्य-बिंदु के निर्देशांक $= \left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right)$.
$\Rightarrow D = \left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right)$.
$(ii)$ मान लीजिए बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिया गया है कि बिंदु $P(x, y)$,$A(x_{1}, y_{1})$ और $D\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right)$ को जोड़ने वाली रेखा को $2 : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र $\left(\frac{m_{1}x_{2}+m_{2}x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1}y_{2}+m_{2}y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)$ का उपयोग करते हुए:
$P = \left[\frac{2\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}\right) + 1(x_{1})}{2+1}, \frac{2\left(\frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right) + 1(y_{1})}{2+1}\right] = \left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$.
$(iii)$ इसी प्रकार,माध्यिका $BE$ के लिए,$E$,$AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $E = \left(\frac{x_{1}+x_{3}}{2}, \frac{y_{1}+y_{3}}{2}\right)$.
बिंदु $Q$,$BE$ को $2 : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए:
$Q = \left[\frac{2\left(\frac{x_{1}+x_{3}}{2}\right) + 1(x_{2})}{2+1}, \frac{2\left(\frac{y_{1}+y_{3}}{2}\right) + 1(y_{2})}{2+1}\right] = \left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$.
माध्यिका $CF$ के लिए,$F$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $F = \left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$.
बिंदु $R$,$CF$ को $2 : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए:
$R = \left[\frac{2\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right) + 1(x_{3})}{2+1}, \frac{2\left(\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right) + 1(y_{3})}{2+1}\right] = \left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$.
$(iv)$ त्रिभुज का केंद्रक वह बिंदु है जहाँ सभी माध्यिकाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। चूँकि $P, Q,$ और $R$ सभी एक ही बिंदु हैं,इसलिए केंद्रक के निर्देशांक $\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$ हैं।

(A) समांतर चतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,जिसका अर्थ है कि $AC$ का मध्य-बिंदु $BD$ के मध्य-बिंदु के बराबर है।
$\Rightarrow \left(\frac{1+a}{2}, \frac{-2+2}{2}\right) = \left(\frac{2-4}{2}, \frac{3-3}{2}\right)$
$\Rightarrow \frac{1+a}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
$1+a = -2 \Rightarrow a = -3$
अतः,$a$ का मान $-3$ है।
$AB$ को आधार मानते हुए,मान लीजिए $DP$ ऊँचाई है जहाँ $P$,$D$ से $AB$ पर डाला गया लंब है।
$(1, -2)$ और $(2, 3)$ से गुजरने वाली रेखा $AB$ का समीकरण:
$(y - (-2)) = \frac{3 - (-2)}{2 - 1}(x - 1)$
$y + 2 = 5(x - 1) \Rightarrow 5x - y = 7$ ... $(i)$
$AB$ की ढाल $m_1 = 5$ है। चूँकि $DP \perp AB$,इसलिए $DP$ की ढाल $m_2 = -1/5$ होगी।
$D(-4, -3)$ से गुजरने वाली और $-1/5$ ढाल वाली रेखा $DP$ का समीकरण:
$(y + 3) = -\frac{1}{5}(x + 4)$
$5y + 15 = -x - 4 \Rightarrow x + 5y = -19$ ... $(ii)$
प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ के लिए $(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर:
$x + 5(5x - 7) = -19 \Rightarrow 26x = 16 \Rightarrow x = 8/13$
$y = 5(8/13) - 7 = -51/13$
$P = (8/13, -51/13)$। ऊँचाई $DP$,$D(-4, -3)$ और $P(8/13, -51/13)$ के बीच की दूरी है:
$DP = \sqrt{(\frac{8}{13} + 4)^2 + (-\frac{51}{13} + 3)^2} = \sqrt{(\frac{60}{13})^2 + (-\frac{12}{13})^2} = \frac{1}{13}\sqrt{3600 + 144} = \frac{\sqrt{3744}}{13} = \frac{12\sqrt{26}}{13}$ इकाई।

(D) हाँ,आकृति से हम देख सकते हैं कि चार विद्यार्थियों $A, B, C$ और $D$ की स्थितियाँ क्रमशः $(3, 5), (7, 9), (11, 5)$ और $(7, 1)$ हैं। ये एक चतुर्भुज के चार शीर्ष हैं।
सबसे पहले,हम दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं:
$AB = \sqrt{(7 - 3)^2 + (9 - 5)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(11 - 7)^2 + (5 - 9)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
$CD = \sqrt{(7 - 11)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
$DA = \sqrt{(3 - 7)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
चूँकि सभी भुजाएँ बराबर हैं,यह एक समचतुर्भुज है।
अब,हम विकर्णों की लंबाई ज्ञात करते हैं:
$AC = \sqrt{(11 - 3)^2 + (5 - 5)^2} = \sqrt{8^2 + 0^2} = 8$
$BD = \sqrt{(7 - 7)^2 + (1 - 9)^2} = \sqrt{0^2 + (-8)^2} = 8$
चूँकि विकर्ण भी बराबर हैं $(AC = BD)$,इसलिए चतुर्भुज $ABCD$ एक वर्ग है।
एक वर्ग में,चारों शीर्षों से समान दूरी पर स्थित बिंदु विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है,जो किसी भी विकर्ण का मध्य-बिंदु होता है।
$AC$ के लिए मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करते हुए:
$P = \left(\frac{3 + 11}{2}, \frac{5 + 5}{2}\right) = \left(\frac{14}{2}, \frac{10}{2}\right) = (7, 5)$
अतः,जस्पाल की स्थिति $(7, 5)$ होनी चाहिए।

(A) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी,दूरी सूत्र द्वारा दी जाती है: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
$1$. घर $(2,4)$ से बैंक $(5,8)$ तक की दूरी:
$d_1 = \sqrt{(5-2)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \, km$.
$2$. बैंक $(5,8)$ से स्कूल $(13,14)$ तक की दूरी:
$d_2 = \sqrt{(13-5)^2 + (14-8)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10 \, km$.
$3$. स्कूल $(13,14)$ से ऑफिस $(13,26)$ तक की दूरी:
$d_3 = \sqrt{(13-13)^2 + (26-14)^2} = \sqrt{0^2 + 12^2} = 12 \, km$.
आयुष द्वारा तय की गई कुल दूरी $= 5 + 10 + 12 = 27 \, km$.
$4$. घर $(2,4)$ से ऑफिस $(13,26)$ तक की सीधी दूरी:
$d_{direct} = \sqrt{(13-2)^2 + (26-4)^2} = \sqrt{11^2 + 22^2} = \sqrt{121 + 484} = \sqrt{605} \approx 24.6 \, km$.
तय की गई अतिरिक्त दूरी $= 27 - 24.6 = 2.4 \, km$.

(B) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र है: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$।
दिए गए बिंदु $A(5, 8)$ और $B(1, 2)$ हैं।
यहाँ,$x_1 = 5, y_1 = 8, x_2 = 1, y_2 = 2$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$AB = \sqrt{(1 - 5)^2 + (2 - 8)^2}$
$AB = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2}$
$AB = \sqrt{16 + 36}$
$AB = \sqrt{52}$
$AB = \sqrt{4 \times 13}$
$AB = 2 \sqrt{13}$।

(A) माना कि शीर्ष $A(2,2), B(5,2), C(5,5)$ और $D(2,5)$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ का उपयोग करते हुए:
$AB^2 = (5-2)^2 + (2-2)^2 = 3^2 + 0^2 = 9 \implies AB = 3$.
$BC^2 = (5-5)^2 + (5-2)^2 = 0^2 + 3^2 = 9 \implies BC = 3$.
$CD^2 = (2-5)^2 + (5-5)^2 = (-3)^2 + 0^2 = 9 \implies CD = 3$.
$DA^2 = (2-2)^2 + (2-5)^2 = 0^2 + (-3)^2 = 9 \implies DA = 3$.
चूंकि $AB = BC = CD = DA = 3$,इसलिए यह चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है।
अब,विकर्णों की जाँच करते हैं:
$AC^2 = (5-2)^2 + (5-2)^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18 \implies AC = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$BD^2 = (2-5)^2 + (5-2)^2 = (-3)^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18 \implies BD = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
चूंकि सभी भुजाएँ बराबर हैं और विकर्ण भी बराबर $(AC = BD)$ हैं,इसलिए चतुर्भुज $ABCD$ एक वर्ग है।

(N/A) माना कि $A(0, -3), B(1, -1)$ और $C(2, 1)$ दिए गए बिंदु हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करने पर:
$AB = \sqrt{(1 - 0)^2 + (-1 - (-3))^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$
$BC = \sqrt{(2 - 1)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$
$AC = \sqrt{(2 - 0)^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
चूँकि $AB + BC = \sqrt{5} + \sqrt{5} = 2\sqrt{5} = AC$,दो रेखाखंडों की लंबाइयों का योग तीसरे रेखाखंड की लंबाई के बराबर है।
अतः,बिंदु $A, B$ और $C$ संरेख हैं।

(A) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
यहाँ,$A = (2, 4)$,$B = (-3, b)$,और $AB = \sqrt{26}$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$AB^2 = 26$ प्राप्त होता है।
निर्देशांकों का मान रखने पर: $(2 - (-3))^2 + (4 - b)^2 = 26$.
$(2 + 3)^2 + (4 - b)^2 = 26$.
$5^2 + (16 - 8b + b^2) = 26$.
$25 + 16 - 8b + b^2 = 26$.
$b^2 - 8b + 41 = 26$.
$b^2 - 8b + 15 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(b - 5)(b - 3) = 0$.
अतः,$b = 5$ या $b = 3$ प्राप्त होता है।

(A-D) माना शीर्ष $A(1, 7), B(2, 4)$ और $C(k, 5)$ हैं।
बिंदुओं के बीच की दूरी के वर्गों की गणना करें:
$AB^2 = (1-2)^2 + (7-4)^2 = (-1)^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$
$BC^2 = (2-k)^2 + (4-5)^2 = 4 - 4k + k^2 + 1 = k^2 - 4k + 5$
$AC^2 = (1-k)^2 + (7-5)^2 = 1 - 2k + k^2 + 4 = k^2 - 2k + 5$
समकोण त्रिभुज के लिए,कोई एक कोण $90^{\circ}$ होना चाहिए:
स्थिति $1$: $\angle A = 90^{\circ}$. तब $BC^2 = AB^2 + AC^2$.
$k^2 - 4k + 5 = 10 + k^2 - 2k + 5$
$-2k = 10 \implies k = -5$
स्थिति $2$: $\angle B = 90^{\circ}$. तब $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
$k^2 - 2k + 5 = 10 + k^2 - 4k + 5$
$2k = 10 \implies k = 5$
स्थिति $3$: $\angle C = 90^{\circ}$. तब $AB^2 = BC^2 + AC^2$.
$10 = (k^2 - 4k + 5) + (k^2 - 2k + 5)$
$10 = 2k^2 - 6k + 10$
$2k^2 - 6k = 0 \implies 2k(k - 3) = 0$
$k = 0$ या $k = 3$
अतः,$k$ के संभावित मान $-5, 5, 0, 3$ हैं।

(A) माना कि शीर्ष $A(-2,-3), B(6,3), C(3,7)$ और $D(-5,1)$ हैं।
सबसे पहले,दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं:
$AB^2 = (-2-6)^2 + (-3-3)^2 = (-8)^2 + (-6)^2 = 64 + 36 = 100 \implies AB = 10$
$BC^2 = (6-3)^2 + (3-7)^2 = (3)^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25 \implies BC = 5$
$CD^2 = (3 - (-5))^2 + (7-1)^2 = (8)^2 + (6)^2 = 64 + 36 = 100 \implies CD = 10$
$DA^2 = (-5 - (-2))^2 + (1 - (-3))^2 = (-3)^2 + (4)^2 = 9 + 16 = 25 \implies DA = 5$
चूंकि सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं ($AB=CD=10$ और $BC=DA=5$),यह चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है।
अब,विकर्ण $AC$ की जाँच करते हैं:
$AC^2 = (-2-3)^2 + (-3-7)^2 = (-5)^2 + (-10)^2 = 25 + 100 = 125$
$\triangle ABC$ में,$AB^2 + BC^2 = 100 + 25 = 125 = AC^2$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से,$\angle B = 90^\circ$ है।
चूंकि समांतर चतुर्भुज का एक कोण समकोण है,इसलिए यह एक आयत है।

(N/A) माना शीर्ष $A(0,6), B(-5,3)$ और $C(3,1)$ हैं।
दूरी सूत्र $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$ का उपयोग करने पर:
$AB^2 = (-5 - 0)^2 + (3 - 6)^2 = (-5)^2 + (-3)^2 = 25 + 9 = 34$
$BC^2 = (3 - (-5))^2 + (1 - 3)^2 = (8)^2 + (-2)^2 = 64 + 4 = 68$
$AC^2 = (3 - 0)^2 + (1 - 6)^2 = (3)^2 + (-5)^2 = 9 + 25 = 34$
चूंकि $AB^2 + AC^2 = 34 + 34 = 68 = BC^2$,त्रिभुज पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle BAC = 90^\circ$ है।
साथ ही,चूंकि $AB^2 = AC^2 = 34$,इसलिए $AB = AC$ है।
अतः,दिए गए बिंदु एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।

(A) माना समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $A(0,0)$,$B(3, \sqrt{3})$ और $C(x, y)$ हैं।
चूंकि यह एक समबाहु त्रिभुज है,$AB = BC = AC$,जिसका अर्थ है $AB^2 = BC^2 = AC^2$।
सबसे पहले,$AB^2 = (3-0)^2 + (\sqrt{3}-0)^2 = 9 + 3 = 12$ की गणना करें।
चूंकि $AC^2 = AB^2$,हमारे पास $x^2 + y^2 = 12$ (समीकरण $1$) है।
चूंकि $BC^2 = AB^2$,हमारे पास $(x-3)^2 + (y-\sqrt{3})^2 = 12$ है।
इसका विस्तार करने पर: $x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2\sqrt{3}y + 3 = 12$।
इस समीकरण में $x^2 + y^2 = 12$ रखने पर: $12 - 6x - 2\sqrt{3}y + 12 = 12$,जो सरल होकर $6x + 2\sqrt{3}y = 12$ या $y = \sqrt{3}(2-x)$ (समीकरण $2$) बन जाता है।
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $x^2 + [\sqrt{3}(2-x)]^2 = 12$।
$x^2 + 3(4 - 4x + x^2) = 12$।
$x^2 + 12 - 12x + 3x^2 = 12$।
$4x^2 - 12x = 0$,इसलिए $4x(x-3) = 0$।
इससे $x = 0$ या $x = 3$ प्राप्त होता है।
यदि $x = 0$ है,तो $y = \sqrt{3}(2-0) = 2\sqrt{3}$।
यदि $x = 3$ है,तो $y = \sqrt{3}(2-3) = -\sqrt{3}$।
अतः,तीसरा शीर्ष $(0, 2\sqrt{3})$ या $(3, -\sqrt{3})$ है।

(N/A) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ है।
सबसे पहले,$SP$ की गणना करें:
$SP = \sqrt{(a - at^2)^2 + (0 - 2at)^2} = \sqrt{a^2(1-t^2)^2 + 4a^2t^2} = |a|\sqrt{1 - 2t^2 + t^4 + 4t^2} = |a|\sqrt{(1+t^2)^2} = |a|(1+t^2)$.
इसके बाद,$SQ$ की गणना करें:
$SQ = \sqrt{(a - \frac{a}{t^2})^2 + (0 - (-\frac{2a}{t}))^2} = \sqrt{a^2(1 - \frac{1}{t^2})^2 + \frac{4a^2}{t^2}} = |a|\sqrt{1 - \frac{2}{t^2} + \frac{1}{t^4} + \frac{4}{t^2}} = |a|\sqrt{1 + \frac{2}{t^2} + \frac{1}{t^4}} = |a|\sqrt{(1 + \frac{1}{t^2})^2} = |a|(1 + \frac{1}{t^2}) = |a|(\frac{t^2+1}{t^2})$.
अब,$\frac{1}{SP} + \frac{1}{SQ}$ का मान ज्ञात करें:
$\frac{1}{SP} + \frac{1}{SQ} = \frac{1}{|a|(1+t^2)} + \frac{1}{|a|(\frac{t^2+1}{t^2})} = \frac{1}{|a|(1+t^2)} + \frac{t^2}{|a|(1+t^2)} = \frac{1+t^2}{|a|(1+t^2)} = \frac{1}{|a|}$.
चूंकि परिणाम $\frac{1}{|a|}$ में $t$ शामिल नहीं है,इसलिए $\frac{1}{SP} + \frac{1}{SQ}$ का मान $t$ से स्वतंत्र है।

(N/A) यह दर्शाने के लिए कि बिंदु $A(-1, 4)$,$B(2, 3)$ और $C(5, 2)$ संरेख हैं,हमें यह दिखाना होगा कि दो रेखाखंडों की लंबाई का योग तीसरे रेखाखंड की लंबाई के बराबर है।
$1$. दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके $AB$ की दूरी ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (3 - 4)^2} = \sqrt{(3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.
$2$. $BC$ की दूरी ज्ञात करें:
$BC = \sqrt{(5 - 2)^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{(3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.
$3$. $AC$ की दूरी ज्ञात करें:
$AC = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{(6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.
$4$. चूंकि $AB + BC = \sqrt{10} + \sqrt{10} = 2\sqrt{10} = AC$,इसलिए बिंदु $A$,$B$ और $C$ एक ही रेखा पर स्थित हैं और अतः वे संरेख हैं।

(D) तीन बिंदु $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ संरेख होते हैं यदि पहले दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड की ढाल अंतिम दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड की ढाल के बराबर हो।
$(-8, -4)$ और $(-2, 4)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड की ढाल $m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - (-4)}{-2 - (-8)} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ है।
$(-2, 4)$ और $(5, a)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड की ढाल $m_2 = \frac{a - 4}{5 - (-2)} = \frac{a - 4}{7}$ है।
चूंकि बिंदु संरेख हैं,इसलिए $m_1 = m_2$।
अतः,$\frac{4}{3} = \frac{a - 4}{7}$।
दोनों पक्षों को $21$ से गुणा करने पर,$4 \times 7 = 3(a - 4)$।
$28 = 3a - 12$।
$3a = 28 + 12 = 40$।
$a = \frac{40}{3}$।

(N/A) यह सिद्ध करने के लिए कि बिंदु $P(7, 5)$,$A(2, 4)$ और $B(6, 10)$ से समदूरस्थ है,हमें यह दिखाना होगा कि दूरी $PA$,दूरी $PB$ के बराबर है।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करते हुए:
$1$. दूरी $PA = \sqrt{(7 - 2)^2 + (5 - 4)^2} = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$.
$2$. दूरी $PB = \sqrt{(7 - 6)^2 + (5 - 10)^2} = \sqrt{1^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$.
चूंकि $PA = PB = \sqrt{26}$ है,इसलिए बिंदु $P(7, 5)$,बिंदुओं $A(2, 4)$ और $B(6, 10)$ से समदूरस्थ है।

(A) मान लीजिए $X$-अक्ष पर स्थित बिंदु $P(x, 0)$ है।
बिंदु $P(x, 0)$ और $A(11, 12)$ के बीच की दूरी $13$ दी गई है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $\sqrt{(x - 11)^2 + (0 - 12)^2} = 13$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x - 11)^2 + (-12)^2 = 13^2$.
$(x - 11)^2 + 144 = 169$.
$(x - 11)^2 = 169 - 144 = 25$.
वर्गमूल लेने पर: $x - 11 = \pm 5$.
स्थिति $1$: $x - 11 = 5 \implies x = 16$.
स्थिति $2$: $x - 11 = -5 \implies x = 6$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $(16, 0)$ और $(6, 0)$ हैं।

(C) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
दिए गए बिंदु $A(a, 2)$ और $B(3, -5)$ हैं और दूरी $d = \sqrt{53}$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\sqrt{(3 - a)^2 + (-5 - 2)^2} = \sqrt{53}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(3 - a)^2 + (-7)^2 = 53$
$(3 - a)^2 + 49 = 53$
$(3 - a)^2 = 53 - 49$
$(3 - a)^2 = 4$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$3 - a = 2$ या $3 - a = -2$
यदि $3 - a = 2$ है,तो $a = 1$ है।
यदि $3 - a = -2$ है,तो $a = 5$ है।
अतः,$a$ के संभावित मान $1$ और $5$ हैं।

(N/A) माना कि दिए गए बिंदु $A(1, 1)$,$B(4, 4)$ और $C(6, 2)$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करने पर:
$1$. $AB$ की लंबाई $= \sqrt{(4 - 1)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$.
$2$. $BC$ की लंबाई $= \sqrt{(6 - 4)^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$.
$3$. $AC$ की लंबाई $= \sqrt{(6 - 1)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$.
अब,पाइथागोरस प्रमेय $(AB^2 + BC^2 = AC^2)$ की जाँच करें:
$AB^2 = 18$,$BC^2 = 8$,और $AC^2 = 26$.
चूँकि $18 + 8 = 26$,इसलिए $AB^2 + BC^2 = AC^2$ है।
अतः,यह त्रिभुज शीर्ष $B$ पर समकोण वाला एक समकोण त्रिभुज है।

(N/A) यह सिद्ध करने के लिए कि बिंदु $A(1, 7)$,$B(2, 4)$ और $C(5, 5)$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज बनाते हैं,हम दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं।
$1$. $AB$ की लंबाई: $AB = \sqrt{(2 - 1)^2 + (4 - 7)^2} = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.
$2$. $BC$ की लंबाई: $BC = \sqrt{(5 - 2)^2 + (5 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.
$3$. $AC$ की लंबाई: $AC = \sqrt{(5 - 1)^2 + (5 - 7)^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$.
चूंकि $AB = BC = \sqrt{10}$,इसलिए त्रिभुज समद्विबाहु है।
अब,पाइथागोरस प्रमेय $(AB^2 + BC^2 = AC^2)$ का उपयोग करके समकोण त्रिभुज की स्थिति की जाँच करें:
$AB^2 + BC^2 = 10 + 10 = 20$.
$AC^2 = 20$.
चूंकि $AB^2 + BC^2 = AC^2$,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है।
अतः,$A, B$ और $C$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।

(N/A) यह सिद्ध करने के लिए कि बिंदु $A(0,0), B(7,0), C(7,5)$ और $D(0,5)$ एक आयत बनाते हैं,हमें यह दिखाना होगा कि सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं और विकर्ण बराबर हैं।
$1$. दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{(7-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{49} = 7$
$BC = \sqrt{(7-7)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{25} = 5$
$CD = \sqrt{(0-7)^2 + (5-5)^2} = \sqrt{49} = 7$
$DA = \sqrt{(0-0)^2 + (0-5)^2} = \sqrt{25} = 5$
चूंकि $AB = CD = 7$ और $BC = DA = 5$,इसलिए सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं।
$2$. विकर्णों की लंबाई ज्ञात करें:
$AC = \sqrt{(7-0)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{49 + 25} = \sqrt{74}$
$BD = \sqrt{(0-7)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{49 + 25} = \sqrt{74}$
चूंकि सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं और विकर्ण भी बराबर हैं,इसलिए चतुर्भुज $ABCD$ एक आयत है।

(N/A) माना कि शीर्ष $A(1, -2)$,$B(2, 3)$,$C(-3, 2)$ और $D(-4, -3)$ हैं।
यह सिद्ध करने के लिए कि $ABCD$ एक समचतुर्भुज है,हमें यह दिखाना होगा कि चारों भुजाएँ समान लंबाई की हैं,लेकिन विकर्ण समान नहीं हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करते हुए:
$AB = \sqrt{(2 - 1)^2 + (3 - (-2))^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$
$BC = \sqrt{(-3 - 2)^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$
$CD = \sqrt{(-4 - (-3))^2 + (-3 - 2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$
$DA = \sqrt{(1 - (-4))^2 + (-2 - (-3))^2} = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$
चूंकि $AB = BC = CD = DA = \sqrt{26}$,सभी भुजाएँ समान हैं।
अब,विकर्णों $AC$ और $BD$ की लंबाई ज्ञात करते हैं:
$AC = \sqrt{(-3 - 1)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
$BD = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (-3 - 3)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$
चूंकि सभी भुजाएँ समान हैं $(AB=BC=CD=DA)$ और विकर्ण समान नहीं हैं $(AC \neq BD)$,इसलिए चतुर्भुज $ABCD$ एक समचतुर्भुज है।

(A) माना कि दिए गए बिंदु $A(2, 2)$,$B(-2, 2)$,$C(-2, -2)$ और $D(2, -2)$ हैं।
यह सिद्ध करने के लिए कि ये बिंदु एक वर्ग बनाते हैं,हमें यह दिखाना होगा कि चारों भुजाएँ बराबर हैं और दोनों विकर्ण भी बराबर हैं।
$1$. दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$ इकाई।
$BC = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = \sqrt{16} = 4$ इकाई।
$CD = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-2 - (-2))^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$ इकाई।
$DA = \sqrt{(2 - 2)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4$ इकाई।
चूंकि $AB = BC = CD = DA = 4$,इसलिए सभी भुजाएँ बराबर हैं।
$2$. विकर्णों की लंबाई ज्ञात करें:
$AC = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ इकाई।
$BD = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ इकाई।
चूंकि भुजाएँ बराबर हैं और विकर्ण भी बराबर हैं,इसलिए बिंदु $A, B, C, D$ एक वर्ग बनाते हैं।

(A) माना कि शीर्ष $A(1, -3/2)$,$B(-3, -7/2)$ और $C(-4, -3/2)$ हैं।
यह जाँचने के लिए कि क्या यह एक समकोण त्रिभुज है,हम दूरी सूत्र $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई के वर्गों की गणना करते हैं।
$AB^2 = (-3 - 1)^2 + (-7/2 - (-3/2))^2 = (-4)^2 + (-4/2)^2 = 16 + (-2)^2 = 16 + 4 = 20$.
$BC^2 = (-4 - (-3))^2 + (-3/2 - (-7/2))^2 = (-1)^2 + (4/2)^2 = 1 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.
$AC^2 = (-4 - 1)^2 + (-3/2 - (-3/2))^2 = (-5)^2 + (0)^2 = 25 + 0 = 25$.
चूँकि $AB^2 + BC^2 = 20 + 5 = 25$ है,जो $AC^2$ के बराबर है,इसलिए त्रिभुज पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है।
अतः,दिए गए बिंदु एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं।

(N/A) दिया गया है कि बिंदु $P(x, y)$ बिंदुओं $A(a+b, b-a)$ और $B(a-b, a+b)$ से समान दूरी पर है।
दूरी सूत्र के अनुसार,$PA = PB.$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$PA^2 = PB^2.$
दूरी सूत्र $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$ का उपयोग करने पर,
$(x - (a+b))^2 + (y - (b-a))^2 = (x - (a-b))^2 + (y - (a+b))^2.$
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2 + y^2 - 2y(b-a) + (b-a)^2 = x^2 - 2x(a-b) + (a-b)^2 + y^2 - 2y(a+b) + (a+b)^2.$
दोनों पक्षों से $x^2, y^2, (a+b)^2$ को हटाने पर:
$-2x(a+b) - 2y(b-a) + (b-a)^2 = -2x(a-b) - 2y(a+b) + (a-b)^2.$
चूंकि $(b-a)^2 = (a-b)^2,$ ये पद भी कट जाएंगे:
$-2ax - 2bx - 2by + 2ay = -2ax + 2bx - 2ay - 2by.$
दोनों पक्षों से $-2ax$ और $-2by$ को हटाने पर:
$-2bx + 2ay = 2bx - 2ay.$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2ay + 2ay = 2bx + 2bx.$
$4ay = 4bx.$
$4$ से भाग देने पर,हमें $bx = ay$ प्राप्त होता है।

(C) माना $Y$-अक्ष पर स्थित बिंदु $P(0, y)$ है।
दिए गए बिंदु $A(-5, -2)$ और $B(3, 2)$ हैं।
चूँकि $P$,$A$ और $B$ से समदूरस्थ है,इसलिए $PA = PB$ होगा।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,$PA^2 = PB^2$।
$(0 - (-5))^2 + (y - (-2))^2 = (0 - 3)^2 + (y - 2)^2$
$5^2 + (y + 2)^2 = (-3)^2 + (y - 2)^2$
$25 + y^2 + 4y + 4 = 9 + y^2 - 4y + 4$
$29 + 4y = 13 - 4y$
$8y = 13 - 29$
$8y = -16$
$y = -2$
अतः,अभीष्ट बिंदु $(0, -2)$ है।

(D) दिया गया है कि $\angle A = 90^{\circ}$,अतः भुजाएँ $AB$ और $AC$ एक-दूसरे पर लंब हैं।
इसलिए,उनकी प्रवणताओं (slopes) का गुणनफल $-1$ होना चाहिए,अर्थात $m_{AB} \times m_{AC} = -1$.
$(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से गुजरने वाली रेखा की प्रवणता $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ द्वारा दी जाती है।
$AB$ की प्रवणता $(m_{AB})$ = $\frac{4 - 7}{2 - 1} = \frac{-3}{1} = -3$.
$AC$ की प्रवणता $(m_{AC})$ = $\frac{5 - 7}{k - 1} = \frac{-2}{k - 1}$.
चूंकि $m_{AB} \times m_{AC} = -1$,इसलिए $(-3) \times \left( \frac{-2}{k - 1} \right) = -1$.
$\frac{6}{k - 1} = -1$.
$6 = -(k - 1)$.
$6 = -k + 1$.
$k = 1 - 6 = -5$.

(N/A) माना शीर्ष $A(2a, 4a)$, $B(2a, 6a)$ और $C(2a + \sqrt{3}a, 5a)$ हैं।
यह सिद्ध करने के लिए कि त्रिभुज समबाहु है, हमें यह दिखाना होगा कि तीनों भुजाओं की लंबाई बराबर है।
दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
$1$. भुजा $AB$ की लंबाई:
$AB = \sqrt{(2a - 2a)^2 + (6a - 4a)^2} = \sqrt{0^2 + (2a)^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$.
$2$. भुजा $BC$ की लंबाई:
$BC = \sqrt{(2a + \sqrt{3}a - 2a)^2 + (5a - 6a)^2} = \sqrt{(\sqrt{3}a)^2 + (-a)^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$.
$3$. भुजा $AC$ की लंबाई:
$AC = \sqrt{(2a + \sqrt{3}a - 2a)^2 + (5a - 4a)^2} = \sqrt{(\sqrt{3}a)^2 + (a)^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$.
चूंकि $AB = BC = AC = 2a$, इसलिए त्रिभुज $ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है।

(B) माना कि दिए गए बिंदु $A (x_1, y_1) = (4, 3)$ और $B (x_2, y_2) = (6, 5)$ हैं।
एक रेखाखंड जिसके अंत्य बिंदु $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ हों,उसके मध्य-बिंदु का सूत्र है:
मध्य-बिंदु $= \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$
सूत्र में $A$ और $B$ के मान रखने पर:
मध्य-बिंदु $= \left( \frac{4 + 6}{2}, \frac{3 + 5}{2} \right)$
$= \left( \frac{10}{2}, \frac{8}{2} \right)$
$= (5, 4)$
अतः,मध्य-बिंदु के निर्देशांक $(5, 4)$ हैं।

(C) माना बिंदु $A(x_1, y_1) = (3, 2)$ और $B(x_2, y_2) = (-2, -5)$ हैं।
माना बिंदु $P(x, y)$ रेखाखंड $\overline{AB}$ को $A$ से शुरू करते हुए $m:n = 3:2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$P$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m+n} = \frac{3(-2) + 2(3)}{3+2} = \frac{-6 + 6}{5} = \frac{0}{5} = 0$
$y = \frac{my_2 + ny_1}{m+n} = \frac{3(-5) + 2(2)}{3+2} = \frac{-15 + 4}{5} = \frac{-11}{5} = -2.2$
अतः,बिंदु के निर्देशांक $(0, -2.2)$ हैं।

(D) माना कि बिंदु $P(-2, 3)$,रेखाखंड $\overline{AB}$ को $A$ से $m:n$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए $x$-निर्देशांक के लिए:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n}$
यहाँ $A(4, -9)$ को $(x_1, y_1)$ और $B(-3, 5)$ को $(x_2, y_2)$ मानकर,और $P(-2, 3)$ को $(x, y)$ मानकर:
$-2 = \frac{m(-3) + n(4)}{m + n}$
$-2(m + n) = -3m + 4n$
$-2m - 2n = -3m + 4n$
$-2m + 3m = 4n + 2n$
$m = 6n$
$\frac{m}{n} = \frac{6}{1}$
अतः,अभीष्ट अनुपात $6: 1$ है।

(A) मान लीजिए कि $Y-$ अक्ष $\overline{AB}$ को बिंदु $P(0, y)$ पर काटता है और $P$,$\overline{AB}$ को $A$ से $m:n$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए $x-$ निर्देशांक के लिए:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}$
चूंकि $P$,$Y-$ अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसका $x-$ निर्देशांक $0$ है।
$0 = \frac{m(3) + n(-2)}{m+n}$
$0 = 3m - 2n$
$3m = 2n \implies \frac{m}{n} = \frac{2}{3}$
अतः,अनुपात $2:3$ है।
अब,$m=2$ और $n=3$ अनुपात का उपयोग करके $P$ का $y-$ निर्देशांक ज्ञात करते हैं:
$y = \frac{my_2 + ny_1}{m+n}$
$y = \frac{2(0) + 3(3)}{2+3} = \frac{9}{5}$
इस प्रकार,विभाजन बिंदु $(0, 9/5)$ है और अनुपात $2:3$ है।

(N/A) माना कि $A(-2,-1)$ और $B(7,8)$ दिए गए बिंदु हैं और $P$ तथा $Q$ रेखाखंड $\overline{AB}$ के समत्रिभाजक बिंदु हैं।
यहाँ,$x_1 = -2, y_1 = -1, x_2 = 7$ और $y_2 = 8$ है।
बिंदु $P$ के लिए,जो $\overline{AB}$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$P$ के निर्देशांक $= \left(\frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}\right)$.
$P = \left(\frac{1(7) + 2(-2)}{1+2}, \frac{1(8) + 2(-1)}{1+2}\right)$.
$P = \left(\frac{7-4}{3}, \frac{8-2}{3}\right) = \left(\frac{3}{3}, \frac{6}{3}\right) = (1, 2)$.
अब,$Q$ रेखाखंड $\overline{PB}$ का मध्य-बिंदु है,या यह $\overline{AB}$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$Q$ के लिए विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए:
$Q = \left(\frac{2(7) + 1(-2)}{2+1}, \frac{2(8) + 1(-1)}{2+1}\right)$.
$Q = \left(\frac{14-2}{3}, \frac{16-1}{3}\right) = \left(\frac{12}{3}, \frac{15}{3}\right) = (4, 5)$.
अतः,$(-2,-1)$ और $(7,8)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड के समत्रिभाजक बिंदु $(1, 2)$ और $(4, 5)$ हैं।

(A) माना $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$,और $C(x_3, y_3)$ $\Delta ABC$ के शीर्ष हैं। दिया गया है कि $P(0, 1/2)$,$Q(1/2, 1/2)$,और $R(1/2, 0)$ क्रमशः भुजाओं $\overline{AB}$,$\overline{BC}$,और $\overline{CA}$ के मध्य-बिंदु हैं।
$x$-निर्देशांक के लिए:
$(x_1 + x_2)/2 = 0 \implies x_1 + x_2 = 0$ $(i)$
$(x_2 + x_3)/2 = 1/2 \implies x_2 + x_3 = 1$ (ii)
$(x_3 + x_1)/2 = 1/2 \implies x_3 + x_1 = 1$ (iii)
$(i)$,(ii),और (iii) को जोड़ने पर: $2(x_1 + x_2 + x_3) = 2 \implies x_1 + x_2 + x_3 = 1$.
योग में से (ii) घटाने पर: $x_1 = 1 - 1 = 0$.
योग में से (iii) घटाने पर: $x_2 = 1 - 1 = 0$.
योग में से $(i)$ घटाने पर: $x_3 = 1 - 0 = 1$.
$y$-निर्देशांक के लिए:
$(y_1 + y_2)/2 = 1/2 \implies y_1 + y_2 = 1$ (iv)
$(y_2 + y_3)/2 = 1/2 \implies y_2 + y_3 = 1$ $(v)$
$(y_3 + y_1)/2 = 0 \implies y_3 + y_1 = 0$ (vi)
(iv),$(v)$,और (vi) को जोड़ने पर: $2(y_1 + y_2 + y_3) = 2 \implies y_1 + y_2 + y_3 = 1$.
योग में से $(v)$ घटाने पर: $y_1 = 1 - 1 = 0$.
योग में से (vi) घटाने पर: $y_2 = 1 - 0 = 1$.
योग में से (iv) घटाने पर: $y_3 = 1 - 1 = 0$.
अतः,शीर्ष $A(0, 0)$,$B(0, 1)$,और $C(1, 0)$ हैं।

(D) यहाँ $C - A - B$ और $2 AC = 3 AB$ दिया गया है।
इसका अर्थ है कि $A$ रेखाखंड $\overline{CB}$ का विभाजन बिंदु है।
इसके अतिरिक्त,$2 AC = 3 AB$ है,इसलिए $\frac{CA}{AB} = \frac{3}{2}$ होगा।
मान लीजिए कि $C$ के निर्देशांक $(x_1, y_1)$ हैं।
विभाजन सूत्र के अनुसार,$A(1, 2)$,$C(x_1, y_1)$ और $B(2, 3)$ को $3:2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$x$-निर्देशांक के लिए: $1 = \frac{3(2) + 2(x_1)}{3+2} \implies 5 = 6 + 2x_1 \implies 2x_1 = -1 \implies x_1 = -0.5$.
$y$-निर्देशांक के लिए: $2 = \frac{3(3) + 2(y_1)}{3+2} \implies 10 = 9 + 2y_1 \implies 2y_1 = 1 \implies y_1 = 0.5$.
अतः,$C$ के निर्देशांक $(-0.5, 0.5)$ हैं।