$Ra^{226}$ નો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $1620$ વર્ષ છે. તો $1 \ g$ રેડિયમમાં એક સેકન્ડમાં ક્ષય પામતા પરમાણુઓની સંખ્યા શોધો (એવોગેડ્રો આંક $= 6.023 \times 10^{23}$).

રેડિયમનો અર્ધઆયુ $1600 \, \text{વર્ષ}$ છે। $100 \, \text{g}$ રેડિયમમાંથી કેટલા વર્ષ પછી $25 \, \text{g}$ રેડિયમ બાકી રહેશે?

$t = 0$ સમયે રેડિયોએક્ટિવ સ્ત્રોતનો કાઉન્ટિંગ દર $1600 \text{ counts/s}$ છે અને $t = 8 \text{ s}$ સમયે તે $100 \text{ counts/s}$ છે. $t = 6 \text{ s}$ સમયે કાઉન્ટિંગ દર કેટલો હશે?

જો તમામ સ્વતંત્ર રાશિઓમાં માપન ક્ષતિઓ જાણીતી હોય,તો કોઈપણ આશ્રિત રાશિમાં ક્ષતિ નક્કી કરવી શક્ય છે. આ શ્રેણી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીને અને ક્ષતિના પ્રથમ ઘાત પર વિસ્તરણને કાપીને કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે,સંબંધ $z = x / y$ ધ્યાનમાં લો. જો $x, y$ અને $z$ માં ક્ષતિઓ અનુક્રમે $\Delta x, \Delta y$ અને $\Delta z$ હોય,તો $z \pm \Delta z = \frac{x \pm \Delta x}{y \pm \Delta y} = \frac{x}{y} (1 \pm \frac{\Delta x}{x}) (1 \pm \frac{\Delta y}{y})^{-1}$. $(1 \pm \frac{\Delta y}{y})^{-1}$ માટે શ્રેણી વિસ્તરણ,$\Delta y / y$ માં પ્રથમ ઘાત સુધી,$1 \mp (\Delta y / y)$ છે. સ્વતંત્ર ચલોમાં સાપેક્ષ ક્ષતિઓ હંમેશા ઉમેરવામાં આવે છે. તેથી $z$ માં ક્ષતિ $\Delta z = z (\frac{\Delta x}{x} + \frac{\Delta y}{y})$ હશે. ઉપરોક્ત તારણ એવી ધારણા કરે છે કે $\Delta x / x \ll 1, \Delta y / y \ll 1$. તેથી,આ રાશિઓની ઉચ્ચ ઘાતને અવગણવામાં આવે છે.
$(1)$ ગુણોત્તર $r = \frac{(1 - a)}{(1 + a)}$ ધ્યાનમાં લો જે પરિમાણરહિત રાશિ $a$ માપીને નક્કી કરવામાં આવે છે. જો $a$ ના માપનમાં ક્ષતિ $\Delta a$ $(\Delta a / a \ll 1)$ હોય,તો ક્ષતિ $\Delta r$ શું છે?
$(2)$ એક પ્રયોગમાં,રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની પ્રારંભિક સંખ્યા $3000$ છે. એવું જોવા મળ્યું છે કે પ્રથમ $1.0 \ s$ માં $1000 \pm 40$ ન્યુક્લિયસ ક્ષય પામ્યા છે. $|x| < 1$ માટે,$\ln(1 + x) = x$ એ $x$ માં પ્રથમ ઘાત સુધી છે. ક્ષય અચળાંક $\lambda$ ના નિર્ધારણમાં ક્ષતિ $\Delta \lambda$ ($s^{-1}$ માં) કેટલી છે?

રેડિયોએક્ટિવ પોલોનિયમ $(Po)$ નો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $138.6$ દિવસ છે. $10^6$ પોલોનિયમ પરમાણુઓ માટે,$24$ કલાકમાં થતા વિભંજનની સંખ્યા કેટલી હશે?

એક રેડિયોએક્ટિવ નમૂનો $\alpha$-ઉત્સર્જક છે જેનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $138.6$ દિવસ છે. એક વિદ્યાર્થી દ્વારા અવલોકન કરવામાં આવે છે કે તેની એક્ટિવિટી $2000$ વિભંજન/સેકન્ડ છે. આપેલી એક્ટિવિટી માટે રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા કેટલી હશે?