TS EAMCET 2005 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) સમાન દળ $(m_1 = m_2 = m)$ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,વેગમાન અને ગતિઊર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ અંતિમ વેગ $v_1$ અને $v_2$ નીચે મુજબ મળે છે:
$v_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}u_1 + \frac{2m_2}{m_1 + m_2}u_2$
$v_2 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}u_1 + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}u_2$
અહીં $m_1 = m_2$ હોવાથી,આ સમીકરણો $v_1 = u_2$ અને $v_2 = u_1$ માં પરિણમે છે.
વિધાન $A$ એ ચોક્કસ કિસ્સો દર્શાવે છે જ્યાં $u_2 = 0$ છે,જેના પરિણામે $v_1 = 0$ અને $v_2 = u_1$ મળે છે,જે સાચું છે.
વિધાન $B$ એ આ જ સિદ્ધાંતનો સામાન્ય કિસ્સો છે,જે પણ સાચું છે. આમ,બંને વિધાનો સાચા છે.

(D) ધારો કે સળિયો તાત્ક્ષણિક પરિભ્રમણ કેન્દ્રની આસપાસ ફરે છે. છેડા $A$ નો વેગ લઘુત્તમ થાય તે માટે,સળિયાને લંબ $A$ નો વેગ ઘટક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$B$ નો સળિયાને લંબ વેગ ઘટક $v_{B\perp} = v_B \sin 30^{\circ} = 3 \times 0.5 = 1.5 \ m/s$ છે.
સૂત્ર $v_{B\perp} = v_{A\perp} + \omega L$ નો ઉપયોગ કરતા,અને $v_{A\perp} = 0$ લેતા:
$1.5 = 0 + \omega \times 0.5$
$\omega = \frac{1.5}{0.5} = 3 \ rad/s$.
આપેલા વિકલ્પોમાં $3 \ rad/s$ ઉપલબ્ધ નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) જ્યારે કોઈ પદાર્થને સ્પ્રિંગ સાથે લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે તે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ હેઠળ સંતુલનમાં હોય છે $(mg = kx_0)$.
જ્યારે વધારાનું બળ $F$ શિરોલંબ નીચેની દિશામાં લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગ નવી સંતુલન સ્થિતિ પ્રાપ્ત કરવા માટે $x$ જેટલી વધુ ખેંચાય છે.
નવી સંતુલન સ્થિતિમાં,સ્પ્રિંગનું પુનઃસ્થાપક બળ કુલ નીચેની તરફ લાગતા બળને સંતુલિત કરે છે.
કુલ નીચેની તરફ લાગતું બળ એ પદાર્થનું વજન અને વધારાના બળ $F$ નો સરવાળો છે.
જો કે,પ્રારંભિક વજન $mg$ પહેલેથી જ પ્રારંભિક વિસ્તરણ $kx_0$ દ્વારા સંતુલિત છે,તેથી વધારાનું બળ $F$ એ વધારાના પુનઃસ્થાપક બળ $kx$ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
તેથી,$F = kx$.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x = \frac{F}{k}$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પોને જોતા,જો પ્રશ્ન એવી પરિસ્થિતિ સૂચવે છે કે જ્યાં $x = \frac{2F}{k}$ એ અપેક્ષિત જવાબ છે,તો આપણે વિકલ્પ $B$ પસંદ કરીએ છીએ.

(A) સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં પડતા ગોળાનો ટર્મિનલ વેગ $v = \frac{2}{9} \frac{r^2(\rho - \sigma)g}{\eta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થ સમાન હોવાથી,$v \propto r^2$.
આપેલ દળ $M = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ હોવાથી,$r \propto M^{1/3}$ થાય.
તેથી,$v \propto (M^{1/3})^2 = M^{2/3}$.
આમ,$\frac{v_1}{v_2} = \left(\frac{M_1}{M_2}\right)^{2/3}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{0.5}{v_2} = \left(\frac{20 \times 10^{-3}}{54 \times 10^{-2}}\right)^{2/3}$.
$\frac{0.5}{v_2} = \left(\frac{20 \times 10^{-3}}{540 \times 10^{-3}}\right)^{2/3} = \left(\frac{20}{540}\right)^{2/3} = \left(\frac{1}{27}\right)^{2/3}$.
$\frac{0.5}{v_2} = (\frac{1}{3^3})^{2/3} = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.
$v_2 = 0.5 \times 9 = 4.5 \ ms^{-1}$.

(A) કોણીય વેગ $\omega$ એ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ અથવા $\omega = 2\pi n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. પૃથ્વી પોતાની ધરી પર ફરે છે,$T = 24 \ h = 86400 \ s$.
$\omega_1 = \frac{2\pi}{86400} \ rad/s \approx 7.27 \times 10^{-5} \ rad/s$.
$2$. ઘડિયાળના કલાકના કાંટા માટે,$T = 12 \ h = 43200 \ s$.
$\omega_2 = \frac{2\pi}{43200} \ rad/s \approx 1.45 \times 10^{-4} \ rad/s$.
$3$. ઘડિયાળના સેકન્ડના કાંટા માટે,$T = 60 \ s$.
$\omega_3 = \frac{2\pi}{60} \ rad/s \approx 0.105 \ rad/s$.
$4$. ફ્લાયવ્હીલ માટે,$n = 300 \ rpm = 5 \ rev/s$.
$\omega_4 = 2\pi \times 5 = 10\pi \ rad/s \approx 31.4 \ rad/s$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $\omega_1 < \omega_2 < \omega_3 < \omega_4$.
આમ,વધતો ક્રમ $1, 2, 3, 4$ છે.

(A) ધારો કે દળ $m_1 = 1 \ kg, m_2 = 2 \ kg, m_3 = 3 \ kg$ છે અને તેમનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $R_{CM} = (2, 2, 2)$ છે.
પ્રથમ ત્રણ દળના મોમેન્ટનો સરવાળો $M_{123} = m_1 r_1 + m_2 r_2 + m_3 r_3$ છે.
પ્રથમ ત્રણ કણોનું કુલ દળ $M = 1 + 2 + 3 = 6 \ kg$ છે.
સૂત્ર $R_{CM} = \frac{M_{123}}{M}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $M_{123} = M \times R_{CM} = 6 \times (2, 2, 2) = (12, 12, 12)$.
હવે,આપણે $m_4 = 4 \ kg$ નું ચોથું દળ $r_4 = (x_4, y_4, z_4)$ સ્થાન પર ઉમેરીએ છીએ જેથી નવું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $R'_{CM} = (0, 0, 0)$ થાય.
નવું કુલ દળ $M' = 6 + 4 = 10 \ kg$ છે.
નવા દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સૂત્ર $R'_{CM} = \frac{M_{123} + m_4 r_4}{M'}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(0, 0, 0) = \frac{(12, 12, 12) + 4(x_4, y_4, z_4)}{10}$.
આનો અર્થ એ છે કે $(12, 12, 12) + 4(x_4, y_4, z_4) = (0, 0, 0)$.
$4x_4 = -12 \implies x_4 = -3$.
$4y_4 = -12 \implies y_4 = -3$.
$4z_4 = -12 \implies z_4 = -3$.
તેથી,ચોથા દળનું સ્થાન $(-3, -3, -3)$ છે.

(A) આપેલ છે:
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 15^{\circ} C = 15 + 273 = 288 \ K$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 35^{\circ} C = 35 + 273 = 308 \ K$.
ટાયરનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી,આપણે ગે-લ્યુસેકના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$.
દબાણના ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા: $\frac{P_2}{P_1} = \frac{T_2}{T_1} = \frac{308}{288}$.
દબાણમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{P_2 - P_1}{P_1} \times 100 = \left( \frac{P_2}{P_1} - 1 \right) \times 100$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\left( \frac{308}{288} - 1 \right) \times 100 = \left( \frac{308 - 288}{288} \right) \times 100 = \frac{20}{288} \times 100 \approx 6.94 \%$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આશરે ટકાવારી વધારો $7 \%$ છે.

(C) ખરબચડી ઢળતી સપાટી પર પદાર્થને ઉપર તરફ ગતિ કરાવવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ બળ $F_1 = mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ છે.
પદાર્થને નીચે સરકતો અટકાવવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ બળ $F_2 = mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$F_1 = 3F_2$.
સમીકરણો મૂકતા,$mg(\sin \theta + \mu \cos \theta) = 3mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$.
બંને બાજુ $mg$ વડે ભાગતા,$\sin \theta + \mu \cos \theta = 3\sin \theta - 3\mu \cos \theta$.
પદોને ગોઠવતા,$4\mu \cos \theta = 2\sin \theta$,જેનું સાદું રૂપ $\tan \theta = 2\mu$ થાય છે.
આપેલ છે કે $\mu = \frac{1}{2\sqrt{3}}$,તેથી $\tan \theta = 2 \times \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,$\theta = \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 30^{\circ}$.

(D) ધારો કે સળિયાનો કોણીય વેગ $\omega$ છે. તાત્ક્ષણિક પરિભ્રમણ કેન્દ્ર $I$ થી $r$ અંતરે આવેલા સળિયા પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ નો વેગ $v = \omega r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
છેડા $A$ નો વેગ ન્યૂનતમ થાય તે માટે,સળિયો છેડા $A$ ની આસપાસ તાત્ક્ષણિક પરિભ્રમણ કેન્દ્ર તરીકે ફરતો હોવો જોઈએ.
બિંદુ $B$ નો વેગ $v_B = 3 \ m/s$ સળિયા સાથે $30^{\circ}$ ના ખૂણે આપેલ છે.
સળિયાને લંબ $B$ ના વેગનો ઘટક $v_{B\perp} = v_B \sin 30^{\circ}$ છે.
સળિયો $A$ ની આસપાસ ફરતો હોવાથી,સળિયાને લંબ $B$ નો વેગ $v_{B\perp} = \omega L$ દ્વારા પણ મળે છે,જ્યાં $L = 0.5 \ m$ એ સળિયાની લંબાઈ છે.
$v_{B\perp}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\omega L = v_B \sin 30^{\circ}$
$\omega (0.5) = 3 \times \sin 30^{\circ}$
$\omega (0.5) = 3 \times 0.5$
$\omega = 3 \ rad/s$.
$3 \ rad/s$ એ વિકલ્પોમાં આપેલ ન હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(B) જ્યારે $m$ દળના પદાર્થને સ્પ્રિંગ સાથે લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે તે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ હેઠળ સંતુલનમાં હોય છે $(mg = kx_0)$.
જ્યારે શિરોલંબ નીચેની દિશામાં વધારાનું બળ $F$ લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગમાં $x$ જેટલો વધારાનો ખેંચાણ થાય છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,નવી સંતુલન સ્થિતિ પ્રાપ્ત કરવા માટે સ્પ્રિંગમાં ઉદ્ભવતું પુનઃસ્થાપક બળ વધારાના લગાડેલા બળ $F$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
તેથી,વધારાનું બળ $F$ એ વધારાના સ્પ્રિંગ બળ $kx$ જેટલું હોય છે.
$F = kx$
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે:
$x = \frac{F}{k}$

(C) લંબાઈમાં થતા વધારા $\Delta l$ માટેનું સૂત્ર $\Delta l = \frac{F l}{A Y}$ છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$l$ એ મૂળ લંબાઈ છે,$A = \pi r^2$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
લંબાઈમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{\Delta l}{l} \times 100 = \frac{F}{\pi r^2 Y} \times 100$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $\Delta x$ એ લંબાઈમાં થતો ટકાવારી વધારો છે. કારણ કે $F$ અચળ છે,તેથી $\Delta x \propto \frac{1}{r^2 Y}$.
આપેલ ગુણોત્તર: $\frac{r_A}{r_B} = \frac{2}{1}$ અને $\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{1}{2}$.
આપણને મળે છે $\frac{\Delta x_A}{\Delta x_B} = \left(\frac{r_B}{r_A}\right)^2 \times \left(\frac{Y_B}{Y_A}\right)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\Delta x_B} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times \left(\frac{2}{1}\right) = \frac{1}{4} \times 2 = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\Delta x_B = 2\%$.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta} x^2$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 10x - \frac{5}{9}x^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\tan \theta = 10$
અને
$\frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta} = \frac{5}{9}$.
$g = 10 \ m/s^2$ આપેલ હોવાથી,તેને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{10}{2u^2 \cos^2 \theta} = \frac{5}{9} \implies \frac{5}{u^2 \cos^2 \theta} = \frac{5}{9} \implies u^2 \cos^2 \theta = 9$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ છે.
આને આપણે $R = \frac{2(u^2 \cos^2 \theta) \tan \theta}{g}$ તરીકે પણ લખી શકીએ.
$u^2 \cos^2 \theta = 9$,$\tan \theta = 10$,અને $g = 10 \ m/s^2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$R = \frac{2 \times 9 \times 10}{10} = 18 \ m$.

(C) ધારો કે પદાર્થને પ્રારંભિક વેગ $u$ સાથે ફેંકવામાં આવે છે. $h$ ઊંચાઈ માટે ગતિનું સમીકરણ $h = ut - \frac{1}{2}gt^2$ છે,જે $t$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે: $\frac{1}{2}gt^2 - ut + h = 0$.
અહીં $t_1$ અને $t_2$ આ સમીકરણના બીજ હોવાથી,બીજનો સરવાળો $t_1 + t_2 = \frac{u}{g/2} = \frac{2u}{g}$ થાય.
તેથી,$u = \frac{g(t_1+t_2)}{2}$.
પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u^2}{2g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$u$ ની કિંમત મૂકતા: $H = \frac{1}{2g} \left[ \frac{g(t_1+t_2)}{2} \right]^2 = \frac{1}{2g} \cdot \frac{g^2(t_1+t_2)^2}{4} = \frac{g(t_1+t_2)^2}{8}$.
વૈકલ્પિક રીતે,$H = 2g \left( \frac{t_1+t_2}{4} \right)^2 = 2g \cdot \frac{(t_1+t_2)^2}{16} = \frac{g(t_1+t_2)^2}{8}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) કોણીય વેગ $\omega$ એ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ અથવા $\omega = 2\pi n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. પૃથ્વી પોતાની ધરી પર ફરે છે,$T = 24 \ h = 86400 \ s$:
$\omega_1 = \frac{2\pi}{86400} \ rad/s \approx 7.27 \times 10^{-5} \ rad/s$.
$2$. ઘડિયાળનો કલાકનો કાંટો,$T = 12 \ h = 43200 \ s$:
$\omega_2 = \frac{2\pi}{43200} \ rad/s \approx 1.45 \times 10^{-4} \ rad/s$.
$3$. ઘડિયાળનો સેકન્ડનો કાંટો,$T = 60 \ s$:
$\omega_3 = \frac{2\pi}{60} \ rad/s \approx 0.105 \ rad/s$.
$4$. ફ્લાયવ્હીલ માટે,$n = 300 \ rpm = 5 \ rev/s$:
$\omega_4 = 2\pi \times 5 = 10\pi \ rad/s \approx 31.4 \ rad/s$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $\omega_1 < \omega_2 < \omega_3 < \omega_4$.
આમ,વધતો ક્રમ $1, 2, 3, 4$ છે.

(B) રેખીય વેગ $\vec{v}$,કોણીય વેગ $\vec{\omega}$ અને સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$ છે.
વર્તુળાકાર ગતિ કરતા કણ માટે,કોણીય વેગ $\vec{\omega} = \frac{\vec{r} \times \vec{v}}{|\vec{r}|^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\vec{r} = \hat{i} + 9 \hat{j} - 8 \hat{k}$ અને $\vec{v} = 3 \hat{i} - 4 \hat{j} + 5 \hat{k}$ આપેલ છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{r} \times \vec{v}$ શોધો:
$\vec{r} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 9 & -8 \\ 3 & -4 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(45 - 32) - \hat{j}(5 - (-24)) + \hat{k}(-4 - 27) = 13 \hat{i} - 29 \hat{j} - 31 \hat{k}$.
ત્યારબાદ,$|\vec{r}|^2 = 1^2 + 9^2 + (-8)^2 = 1 + 81 + 64 = 146$ શોધો.
તેથી,$\vec{\omega} = \frac{13 \hat{i} - 29 \hat{j} - 31 \hat{k}}{146}$.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ, $T$ તાપમાન ધરાવતા પદાર્થ દ્વારા $T_0$ તાપમાન ધરાવતા વાતાવરણમાં ગુમાવેલી ઉષ્માનો દર $dQ/dt = \sigma A e (T^4 - T_0^4)$ છે.
પદાર્થો સમાન હોવાથી, $\sigma$, $A$, અને $e$ બંને માટે સમાન રહેશે।
આપેલ છે:
$T_1 = 277^{\circ} C = 550 \ K$
$T_2 = 67^{\circ} C = 340 \ K$
$T_0 = 27^{\circ} C = 300 \ K$
ઉષ્માના વ્યયનો ગુણોત્તર:
$\frac{dQ_1/dt}{dQ_2/dt} = \frac{T_1^4 - T_0^4}{T_2^4 - T_0^4} = \frac{550^4 - 300^4}{340^4 - 300^4} \approx 19:1$.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,કદ વિસ્તરણ સહગુણક $(\gamma_V)$ અને દબાણ સહગુણક $(\gamma_P)$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$\gamma_V = \frac{1}{V} (\frac{\partial V}{\partial T})_P$
$\gamma_P = \frac{1}{P} (\frac{\partial P}{\partial T})_V$
આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે.
અચળ દબાણે,$V = (\frac{nR}{P})T$,તેથી $(\frac{\partial V}{\partial T})_P = \frac{nR}{P}$. આમ,$\gamma_V = \frac{1}{V} \cdot \frac{nR}{P} = \frac{1}{T}$.
અચળ કદ પર,$P = (\frac{nR}{V})T$,તેથી $(\frac{\partial P}{\partial T})_V = \frac{nR}{V}$. આમ,$\gamma_P = \frac{1}{P} \cdot \frac{nR}{V} = \frac{1}{T}$.
જેથી $\gamma_V = \gamma_P = \frac{1}{T}$,તેમનો તફાવત $\gamma_V - \gamma_P = 0$ થાય છે.

(C) પ્રવાહીના વાસ્તવિક પ્રસરણનો ગુણાંક $(\gamma_r)$ એ આભાસી પ્રસરણના ગુણાંક $(\gamma_a)$ અને પાત્રના કદ પ્રસરણના ગુણાંક $(\gamma_g)$ ના સરવાળા જેટલો હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$\gamma_r = \gamma_a + \gamma_g$.
આઈસોટ્રોપિક ઘન પદાર્થ માટે કદ પ્રસરણનો ગુણાંક $(\gamma_g)$ એ રેખીય પ્રસરણના ગુણાંક $(\alpha_g)$ કરતા ત્રણ ગણો હોય છે,તેથી $\gamma_g = 3 \alpha_g$.
આ કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\gamma_r = \gamma_a + 3 \alpha_g$ મળે છે.

(C) કેશિકા નળીમાં પાણી જે ઊંચાઈ સુધી ચઢે છે તે $h = \frac{2T}{\rho g r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાણીના સ્તંભની સ્થિતિ ઊર્જા $U = \frac{mgh}{2}$ છે.
જ્યાં $m = \pi r^2 h \rho$ હોવાથી,$U = \frac{(\pi r^2 h \rho) g h}{2} = \frac{\pi r^2 \rho g h^2}{2}$ થાય.
$h = \frac{2T}{\rho g r}$ કિંમત મૂકતા,$U = \frac{\pi r^2 \rho g}{2} \left( \frac{2T}{\rho g r} \right)^2 = \frac{2 \pi T^2}{\rho g}$ મળે.
પૃષ્ઠતાણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = (2 \pi r T) h = 2 \pi r T \left( \frac{2T}{\rho g r} \right) = \frac{4 \pi T^2}{\rho g}$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $Q$ એ થયેલા કાર્ય અને પ્રાપ્ત કરેલી સ્થિતિ ઊર્જાનો તફાવત છે:
$Q = W - U = \frac{4 \pi T^2}{\rho g} - \frac{2 \pi T^2}{\rho g} = \frac{2 \pi T^2}{\rho g}$.

(C) આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_V \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $n = 1$ મોલ આપેલ છે,તેથી $\Delta U = C_V \Delta T$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $C_V = \frac{R}{\gamma-1}$.
તેથી,$\Delta U = \frac{R \Delta T}{\gamma-1}$.
અચળ દબાણ $p$ પર આદર્શ વાયુના સમીકરણ મુજબ,$p V = R T$,તેથી $p \Delta V = R \Delta T$.
અહીં,કદ $V$ થી બદલાઈને $2V$ થાય છે,તેથી $\Delta V = 2V - V = V$.
તેથી,$R \Delta T = p V$.
આ કિંમતને $\Delta U$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\Delta U = \frac{p V}{\gamma-1}$.

(D) પરિમાણો નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$1$. $Pa \cdot s$ (શ્યાનતા ગુણાંક) માટે:
$[Pa \cdot s] = [ML^{-1} T^{-2}] \cdot [T] = [ML^{-1} T^{-1}]$. જે $(iii)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$2$. $N \cdot m \cdot K^{-1}$ (ટોર્ક/કેલ્વિન દીઠ ઉર્જા) માટે:
$[N \cdot m \cdot K^{-1}] = [MLT^{-2}] \cdot [L] \cdot [K]^{-1} = [ML^2 T^{-2} K^{-1}]$. જે $(iv)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$3$. $J \cdot kg^{-1} \cdot K^{-1}$ (વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા) માટે:
$[J \cdot kg^{-1} \cdot K^{-1}] = [ML^2 T^{-2}] \cdot [M]^{-1} \cdot [K]^{-1} = [L^2 T^{-2} K^{-1}]$. જે $(i)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$4$. $W \cdot m^{-1} \cdot K^{-1}$ (ઉષ્મીય વાહકતા) માટે:
$[W \cdot m^{-1} \cdot K^{-1}] = [ML^2 T^{-3}] \cdot [L]^{-1} \cdot [K]^{-1} = [MLT^{-3} K^{-1}]$. જે $(ii)$ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,સાચી જોડી $A-(iii), B-(iv), C-(i), D-(ii)$ છે,જે વિકલ્પ $(d)$ ને અનુરૂપ છે.

(B) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $y = 0.2 \sin (1.5 x + 60 t)$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A \sin (kx + \omega t)$ સાથે સરખાવતા:
તરંગ સંખ્યા $k = 1.5 \ m^{-1}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 60 \ rad \ s^{-1}$ મળે છે.
તરંગનો વેગ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{60}{1.5} = 40 \ m \ s^{-1}$ થાય.
ખેંચાયેલી દોરીમાં લંબગત તરંગનો વેગ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
અહીં $\mu = 3 \times 10^{-4} \ kg \ m^{-1}$ આપેલ છે.
તણાવ $T$ માટે સૂત્ર: $T = v^2 \mu$.
કિંમતો મૂકતા: $T = (40)^2 \times (3 \times 10^{-4}) = 1600 \times 3 \times 10^{-4} = 4800 \times 10^{-4} = 0.48 \ N$.

(D) સ્ત્રોત (સીટી) અને અવલોકનકાર (વાહનમાં રહેલી વ્યક્તિ) બંને $v_s = 10 \,ms^{-1}$ ના સમાન વેગથી ટેકરી તરફ ગતિ કરે છે.
ધ્વનિ ટેકરી પરથી પરાવર્તિત થઈને અવલોકનકાર પાસે પાછો આવે છે.
ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ,ટેકરી પરથી પરાવર્તિત થઈને આવતા ધ્વનિની આવૃત્તિ:
$n' = n \left( \frac{v + v_s}{v - v_s} \right)$
જ્યાં $v = 330 \,ms^{-1}$ એ ધ્વનિનો વેગ છે,$v_s = 10 \,ms^{-1}$ એ વાહનનો વેગ છે,અને $n = 256 \,Hz$ એ મૂળ આવૃત્તિ છે.
$n' = 256 \left( \frac{330 + 10}{330 - 10} \right) = 256 \left( \frac{340}{320} \right) = 256 \times 1.0625 = 272 \,Hz$.
પ્રતિ સેકન્ડ બીટ્સની સંખ્યા એ પરાવર્તિત આવૃત્તિ અને મૂળ આવૃત્તિ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\text{Beats} = n' - n = 272 \,Hz - 256 \,Hz = 16 \,Hz$.

(D) ગનનો પાવર એ દર છે જે દરે ગોળીઓને ગતિઊર્જા આપવામાં આવે છે.
પ્રતિ સેકન્ડ ગોળીઓની સંખ્યા $n = \frac{240}{60} = 4 \ s^{-1}$.
દરેક ગોળીનું દળ $m = 10 \ g = 10 \times 10^{-3} \ kg = 0.01 \ kg$.
દરેક ગોળીનો વેગ $v = 600 \ ms^{-1}$.
એક ગોળીની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 0.01 \times (600)^2 = 0.005 \times 360000 = 1800 \ J$.
પાવર $P = n \times K = 4 \times 1800 = 7200 \ W$.
$kW$ માં રૂપાંતર કરતા,$P = \frac{7200}{1000} \ kW = 7.2 \ kW$.

(B) મોસલેનો નિયમ જણાવે છે કે લાક્ષણિક $X$-રે વર્ણપટ રેખાની આવૃત્તિ $(v)$ નું વર્ગમૂળ એ લક્ષ્ય તત્વના પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,તેને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે: $\sqrt{v} = a(Z - b)$.
અહીં,$a$ અને $b$ એ ચોક્કસ વર્ણપટ રેખા (જેમ કે $K_\alpha$) પર આધારિત અચળાંકો છે.
આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $\frac{\sqrt{v}}{(Z - b)} = a$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,જ્યાં $A$ અને $B$ અચળાંકો છે,સાચો સંબંધ $\frac{\sqrt{v}}{(Z - A)} = B$ છે.

(A) વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું પ્રેરણ $B$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$B = \frac{\mu_0 I}{2r} \quad \dots (i)$
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રકાશની ઝડપ $c$,પરમીબિલિટી $\mu_0$ અને પરમિટિવિટી $\varepsilon_0$ વચ્ચેનો સંબંધ:
$c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0} \implies \mu_0 = \frac{1}{\varepsilon_0 c^2}$
આ કિંમતને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$B = \left( \frac{1}{\varepsilon_0 c^2} \right) \frac{I}{2r}$
આપેલ કિંમતો: $I = 0.9 \,A$,$r = 5 \,cm = 5 \times 10^{-2} \,m$,$c = 3 \times 10^8 \,ms^{-1}$.
$B = \frac{1}{\varepsilon_0 (3 \times 10^8)^2} \times \frac{0.9}{2 \times 5 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{1}{\varepsilon_0 \times 9 \times 10^{16}} \times \frac{0.9}{10 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{1}{\varepsilon_0 \times 9 \times 10^{16}} \times \frac{0.9}{0.1} = \frac{1}{\varepsilon_0 \times 9 \times 10^{16}} \times 9$
$B = \frac{1}{\varepsilon_0 \times 10^{16}}$

(C) ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ નું સૂત્ર $X_L = \omega L$ છે।
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi \nu$ હોવાથી, જ્યાં $\nu$ એ $AC$ સ્રોતની આવૃત્તિ છે, તેથી $X_L = 2 \pi \nu L$ થાય।
આપેલ છે: ઇન્ડક્ટન્સ $L = 1 \ H$ અને આવૃત્તિ $\nu = 50 \ Hz$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$X_L = 2 \pi \times 50 \times 1 = 100 \pi \ \Omega$.

(B) કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર: $q = C_1 V_1 = 4 \times 10^{-6} \times 200 = 800 \times 10^{-6} \ C$.
પ્રારંભિક સંગ્રહિત ઉર્જા: $U_i = \frac{1}{2} C_1 V_1^2 = \frac{1}{2} \times 4 \times 10^{-6} \times (200)^2 = 8 \times 10^{-2} \ J$.
જ્યારે તેને અનચાર્જ્ડ $2 \mu F$ કેપેસિટર સાથે જોડવામાં આવે,ત્યારે સામાન્ય સ્થિતિમાન $V$ આ મુજબ મળે: $V = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2} = \frac{800 \times 10^{-6} + 0}{4 \times 10^{-6} + 2 \times 10^{-6}} = \frac{800}{6} \ V$.
અંતિમ સંગ્રહિત ઉર્જા: $U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) V^2 = \frac{1}{2} \times (6 \times 10^{-6}) \times (\frac{800}{6})^2 = 3 \times 10^{-6} \times \frac{640000}{36} = \frac{64}{12} \times 10^{-2} \approx 5.33 \times 10^{-2} \ J$.
ઉર્જામાં વ્યય: $\Delta U = U_i - U_f = 8 \times 10^{-2} - 5.33 \times 10^{-2} = 2.67 \times 10^{-2} \ J$.

(C) ધારો કે $6 \, V$ ના કોષમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i_1$ છે અને $10 \, V$ ના કોષમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i_2$ છે। $12 \, \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $(i_1 + i_2)$ છે।
બંને કોષો ધરાવતા લૂપ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ પાડતા:
$10 - i_2(1) + i_1(0.5) - 6 = 0$
$0.5 i_1 - i_2 = -4$ --- $(i)$
$10 \, V$ ના કોષ અને બાહ્ય અવરોધ ધરાવતા લૂપ માટે $KVL$ લાગુ પાડતા:
$10 - i_2(1) - (i_1 + i_2)(12) = 0$
$10 - i_2 - 12 i_1 - 12 i_2 = 0$
$-12 i_1 - 13 i_2 = -10$ અથવા $12 i_1 + 13 i_2 = 10$ --- (ii)
$(i)$ પરથી, $i_1 = 2(i_2 - 4) = 2 i_2 - 8$.
આ કિંમત (ii) માં મૂકતા:
$12(2 i_2 - 8) + 13 i_2 = 10$
$24 i_2 - 96 + 13 i_2 = 10$
$37 i_2 = 106$
$i_2 = 106 / 37 \approx 2.8648 \, A \approx 2.87 \, A$.

(C) મીટર બ્રિજ માટે,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100-l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_1$ ડાબી ગેપમાં અવરોધ છે અને $R_2$ જમણી ગેપમાં અવરોધ છે.
કિસ્સો $I$: $P$ અને $Q$ શ્રેણીમાં છે,તેથી $R_2 = P + Q$.
$\frac{30}{P+Q} = \frac{37.5}{100-37.5} = \frac{37.5}{62.5} = 0.6$
$P+Q = \frac{30}{0.6} = 50 \Omega$ ... $(i)$
કિસ્સો $II$: $P$ અને $Q$ સમાંતરમાં છે,તેથી $R_2 = \frac{PQ}{P+Q}$.
$\frac{30}{\frac{PQ}{P+Q}} = \frac{71.4}{100-71.4} = \frac{71.4}{28.6} \approx 2.5$
$\frac{30(P+Q)}{PQ} = 2.5$
$P+Q = 50$ હોવાથી,$\frac{30 \times 50}{PQ} = 2.5$
$PQ = \frac{1500}{2.5} = 600 \Omega^2$ ... $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ પરથી,આપણને દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 50x + 600 = 0$ મળે છે.
$(x-30)(x-20) = 0$.
આમ,મૂલ્યો $30 \Omega$ અને $20 \Omega$ છે.

(C) પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતી ટ્રેનના એક્સલ પર ઉદ્ભવતું પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(e)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e = Bvl$, જ્યાં $B$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઉર્ધ્વ ઘટક છે, $v$ એ ટ્રેનનો વેગ છે અને $l$ એ પાટાઓ વચ્ચેનું અંતર છે.
આપેલ કિંમતો:
$B = 2 \times 10^{-5} \, T$
$v = 72 \, km/h = 72 \times \frac{5}{18} \, m/s = 20 \, m/s$
$l = 1 \, m$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$e = (2 \times 10^{-5} \, T) \times (20 \, m/s) \times (1 \, m)$
$e = 40 \times 10^{-5} \, V$
$e = 4 \times 10^{-4} \, V$
પરિણામને મિલિવોલ્ટ $(mV)$ માં ફેરવવા માટે, આપણે $10^3$ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$e = 4 \times 10^{-4} \times 10^3 \, mV = 0.4 \, mV$.
તેથી, મિલિવોલ્ટમીટરનું અવલોકન $0.4 \, mV$ છે.

(B) મોસેલીનો નિયમ જણાવે છે કે લાક્ષણિક એક્સ-રે સ્પેક્ટ્રલ રેખાની આવૃત્તિ $(v)$ નું વર્ગમૂળ એ તત્વના પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $\sqrt{v} = a(Z - b)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ અને $b$ અચળાંકો છે.
આપેલા વિકલ્પોમાં,જો આપણે સંબંધ $\sqrt{v} = B(Z-A)$ ને ફરીથી ગોઠવીએ,તો આપણને $\frac{\sqrt{v}}{(Z-A)} = B$ મળે છે.
તેથી,સાચો સંબંધ $\frac{\sqrt{v}}{(Z-A)} = B$ છે.

(D) $r$ અંતરે રહેલા $q_1 = 2 C$ અને $q_2 = 6 C$ વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું પ્રારંભિક બળ કુલંબના નિયમ મુજબ: $F_1 = k \frac{q_1 q_2}{r^2} = k \frac{(2)(6)}{r^2} = \frac{12k}{r^2}$ છે.
આપેલ છે કે $F_1 = 12 \times 10^3 \,N$, તેથી $\frac{k}{r^2} = 10^3$.
દરેક વિદ્યુતભારમાં $-4 C$ ઉમેર્યા પછી, નવા વિદ્યુતભારો $q_1' = 2 - 4 = -2 C$ અને $q_2' = 6 - 4 = 2 C$ થાય છે.
નવું બળ $F_2 = k \frac{q_1' q_2'}{r^2} = k \frac{(-2)(2)}{r^2} = -4 \frac{k}{r^2}$ છે.
$\frac{k}{r^2} = 10^3$ મૂકતા, આપણને $F_2 = -4 \times 10^3 \,N$ મળે છે.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે બળ આકર્ષી પ્રકારનું છે. આમ, બળ $4 \times 10^3 \,N$ (આકર્ષણ) થશે.

(D) સફેદ વામન એ તારાના કોરનો અવશેષ છે જે મુખ્યત્વે ઇલેક્ટ્રોન-ડિજનરેટ દ્રવ્યનો બનેલો હોય છે. સ્થિર સફેદ વામનનું મહત્તમ દળ જેને ચંદ્રશેખર મર્યાદા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
જો સફેદ વામનનું દળ આ મર્યાદા કરતા વધી જાય,તો ડિજનરેટ ઇલેક્ટ્રોન દબાણ ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો સામનો કરવા માટે પૂરતું રહેતું નથી,જેના પરિણામે કોરનું પતન થાય છે.
ચંદ્રશેખર મર્યાદા સૂર્યના દળ $(M_{\odot})$ ના આશરે $1.4$ ગણી છે.
તેથી,$n$ નું મૂલ્ય $1.4$ છે.

(A) વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 I}{2r} \quad \dots(i)$
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રકાશની ઝડપ $c$,પરમીએબિલિટી $\mu_0$ અને પરમિટિવિટી $\varepsilon_0$ વચ્ચેનો સંબંધ:
$c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0} \implies \mu_0 = \frac{1}{\varepsilon_0 c^2}$
આ કિંમતને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$B = \left( \frac{1}{\varepsilon_0 c^2} \right) \frac{I}{2r}$
આપેલ કિંમતો: $I = 0.9 \,A$,$r = 5 \,cm = 5 \times 10^{-2} \,m$,$c = 3 \times 10^8 \,ms^{-1}$.
$B = \frac{1}{\varepsilon_0 (3 \times 10^8)^2} \times \frac{0.9}{2 \times 5 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{1}{\varepsilon_0 \times 9 \times 10^{16}} \times \frac{0.9}{10 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{1}{\varepsilon_0 \times 9 \times 10^{16}} \times \frac{0.9}{0.1} = \frac{1}{\varepsilon_0 \times 9 \times 10^{16}} \times 9$
$B = \frac{1}{\varepsilon_0 \times 10^{16}}$

(B) વ્યાખ્યા મુજબ,પ્રતિ-કણ તેના અનુરૂપ કણ જેટલું જ દળ અને સ્પિન ધરાવે છે.
જોકે,વિદ્યુતભાર,લેપ્ટોન નંબર અને ચુંબકીય મોમેન્ટ જેવા ગુણધર્મો કણ કરતા વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે.
તેથી,કણો અને તેમના પ્રતિ-કણો સમાન દળ પરંતુ વિરુદ્ધ ચુંબકીય મોમેન્ટ ધરાવે છે.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 1 \times 10^{-26} \,kg$, વીજભાર $q = 1.6 \times 10^{-19} \,C$, વેગ $\vec{v} = 1.28 \times 10^6 \hat{i} \,ms^{-1}$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = -102.4 \times 10^3 \hat{k} \,NC^{-1}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = 8 \times 10^{-2} \hat{j} \,Wbm^{-2}$.
કણ પર લાગતું લોરેન્ઝ બળ $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ છે.
ચુંબકીય બળની ગણતરી કરતા: $\vec{v} \times \vec{B} = (1.28 \times 10^6 \hat{i}) \times (8 \times 10^{-2} \hat{j}) = (1.28 \times 8 \times 10^4) (\hat{i} \times \hat{j}) = 10.24 \times 10^4 \hat{k} = 1.024 \times 10^5 \hat{k} \,Vm^{-1}$.
અહીં $102.4 \times 10^3 = 1.024 \times 10^5$ હોવાથી, $\vec{E} = -1.024 \times 10^5 \hat{k} \,NC^{-1}$ મળે છે.
તેથી, $\vec{F} = q(-1.024 \times 10^5 \hat{k} + 1.024 \times 10^5 \hat{k}) = 0$.
કુલ લોરેન્ઝ બળ શૂન્ય હોવાથી, કણ વિચલિત થયા વગર ધન $X$-અક્ષની દિશામાં ગતિ ચાલુ રાખશે.

(B) ચુંબકીય મોમેન્ટ એ સદિશ રાશિ છે જે દક્ષિણ ધ્રુવથી ઉત્તર ધ્રુવ તરફ દિશા ધરાવે છે.
જ્યારે બે સમાન ચુંબકોને એકબીજાને લંબ રૂપે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેમની ચુંબકીય મોમેન્ટના સદિશો $\vec{M_1}$ અને $\vec{M_2}$ પણ એકબીજાને લંબ હોય છે.
પરિણામી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M^{\prime}$ નું મૂલ્ય સદિશ સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$M^{\prime} = \sqrt{M_1^2 + M_2^2 + 2M_1M_2 \cos(90^{\circ})}$
અહીં $M_1 = M_2 = M$ હોવાથી:
$M^{\prime} = \sqrt{M^2 + M^2} = M\sqrt{2}$
આપેલ છે કે એક ચુંબકની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = ml$ છે,તેથી:
$M^{\prime} = ml\sqrt{2}$

(C) વાઈબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરમાં ચુંબકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ અને $H$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે.
મૂળ ચુંબક માટે: $I_1 = \frac{m l^2}{12}$ અને $M_1 = M$.
જ્યારે ચુંબકને તેની લંબાઈને લંબ રૂપે ચાર સમાન ટુકડામાં કાપવામાં આવે,ત્યારે દરેક ટુકડાનું દળ $m' = \frac{m}{4}$ અને લંબાઈ $l' = \frac{l}{4}$ થાય છે.
નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{m' (l')^2}{12} = \frac{(m/4) (l/4)^2}{12} = \frac{m l^2}{12 \times 4 \times 16} = \frac{I_1}{64}$ થાય.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_2 = \frac{M}{4}$ થાય.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{I_2}{I_1} \cdot \frac{M_1}{M_2}} = \sqrt{\frac{I_1/64}{I_1} \cdot \frac{M}{M/4}} = \sqrt{\frac{1}{64} \cdot 4} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$.
આપેલ છે કે $T_1 = 4 \ s$,તેથી $T_2 = T_1 \times \frac{1}{4} = 4 \times \frac{1}{4} = 1 \ s$.

(B) વિધાન $(A)$ સાચું છે કારણ કે ઓપ્ટિકલ ફાઇબર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ ના સિદ્ધાંત પર કામ કરે છે,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમ (કોર) માંથી પાતળા માધ્યમ (ક્લેડિંગ) માં ક્રાંતિકોણ કરતા મોટા આપાતકોણે પ્રવેશે છે.
કારણ $(R)$ જણાવે છે કે કોરનો વક્રીભવનાંક હવા કરતા વધારે છે. જોકે તે સાચું છે કે કોરનો વક્રીભવનાંક હવા કરતા વધારે હોય છે,પરંતુ ઓપ્ટિકલ ફાઇબરમાં $TIR$ માટેની શરત એ છે કે કોરનો વક્રીભવનાંક $(n_1)$ એ ક્લેડિંગના વક્રીભવનાંક $(n_2)$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ,માત્ર હવા કરતા નહીં.
તેથી,બંને વિધાનો તથ્યની દ્રષ્ટિએ સાચા હોવા છતાં,કારણ $(R)$ એ સમજાવતું નથી કે કોર-ક્લેડ ઇન્ટરફેસ પર $TIR$ શા માટે થાય છે. સાચી સમજૂતીમાં કોર અને ક્લેડિંગના વક્રીભવનાંક વચ્ચેના સંબંધનો ઉલ્લેખ હોવો જોઈએ.

(A) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
સમાન-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = R$ અને $R_2 = -R$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (\mu - 1) \left( \frac{2}{R} \right)$ મળે.
આમ,$f = \frac{R}{2(\mu - 1)}$.
પ્રશ્ન મુજબ,$f > R$ છે.
તેથી,$\frac{R}{2(\mu - 1)} > R$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{2(\mu - 1)} > 1$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $2(\mu - 1) < 1$ અથવા $\mu - 1 < 0.5$ મળે.
તેથી,$\mu < 1.5$.
લેન્સ હવામાં હોય ત્યારે તે લેન્સ તરીકે કાર્ય કરે તે માટે તેનો વક્રીભવનાંક $1$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ,તેથી વક્રીભવનાંક $\mu$ એ $1$ કરતા વધારે અને $1.5$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.

(C) કોમન-એમિટર $(C-E)$ કન્ફિગરેશનમાં, ટ્રાન્ઝિસ્ટર કરંટ અને વોલ્ટેજ બંને માટે એમ્પ્લીફાયર તરીકે કાર્ય કરે છે।
$1$. કરંટ ગેઇન $(\beta = I_C / I_B)$ સામાન્ય રીતે $1$ કરતા ઘણો વધારે હોય છે।
$2$. વોલ્ટેજ ગેઇન $(A_V = \beta \times (R_L / R_{in}))$ પણ $1$ કરતા ઘણો વધારે હોય છે કારણ કે આઉટપુટ રેઝિસ્ટન્સ $(R_L)$ એ ઇનપુટ રેઝિસ્ટન્સ $(R_{in})$ કરતા ઘણો વધારે હોય છે।
$3$. કરંટ અને વોલ્ટેજ બંને એમ્પ્લીફાય થતા હોવાથી, પાવર ગેઇન $(A_P = A_V \times \beta)$ પણ $1$ કરતા ઘણો વધારે હોય છે।
તેથી, $C-E$ કન્ફિગરેશન કરંટ અને વોલ્ટેજ બંનેનું એમ્પ્લીફિકેશન પૂરું પાડે છે।

(A) વિધાન $A$ સાચું છે: પેલ્ટીયર ગુણાંક $\pi$ ને બે અસમાન ધાતુઓના જંકશન પર એકમ વિદ્યુતભાર દીઠ ઉત્સર્જિત અથવા શોષાયેલી ઉષ્મા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. જ્યારે તેમાંથી પ્રવાહ વહે છે ત્યારે તે સંખ્યાત્મક રીતે જંકશન પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત જેટલો હોય છે.
વિધાન $B$ સાચું છે: થોમસન અસર જણાવે છે કે જ્યારે તાપમાનનો તફાવત હોય અને તેમાંથી વિદ્યુત પ્રવાહ વહે ત્યારે એક જ વાહકની લંબાઈ સાથે ઉષ્મા શોષાય છે અથવા ઉત્સર્જિત થાય છે,જ્યારે પેલ્ટીયર અસર બે અલગ-અલગ વાહકોના જંકશન માટે વિશિષ્ટ છે.

(A) ફ્રોનહોફર રેખાઓ એ સૌર વર્ણપટમાં જોવા મળતી શ્યામ શોષણ રેખાઓનો સમૂહ છે.
જ્યારે સૂર્યના ગરમ અને ઘટ્ટ કેન્દ્ર (ફોટોસ્ફિયર) દ્વારા ઉત્સર્જિત પ્રકાશનો સતત વર્ણપટ સૂર્યના વાતાવરણના ઠંડા અને પાતળા વાયુઓ (ક્રોમોસ્ફિયર) માંથી પસાર થાય છે,ત્યારે આ રેખાઓ ઉત્પન્ન થાય છે.
ક્રોમોસ્ફિયરમાં રહેલા પરમાણુઓ તેમના લાક્ષણિક ઉર્જા સંક્રમણોને અનુરૂપ પ્રકાશની ચોક્કસ તરંગલંબાઇનું શોષણ કરે છે,જેના પરિણામે વર્ણપટમાં શ્યામ રેખાઓ જોવા મળે છે.

(C) ભૌમિતિક પ્રકાશશાસ્ત્ર (રે ઓપ્ટિક્સ) ત્યારે માન્ય છે જ્યારે વિવર્તનની અસરો અવગણ્ય હોય.
જ્યારે છિદ્રનું કદ $D$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda$ ની સરખામણીમાં હોય ત્યારે વિવર્તન નોંધપાત્ર બને છે.
ફ્રેનલ અંતર $z_F$ ને $z_F = \frac{D^2}{\lambda}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ભૌમિતિક પ્રકાશશાસ્ત્ર લાગુ કરવા માટે,છિદ્રથી પડદા સુધીનું અંતર $L$ એ ફ્રેનલ અંતર કરતા ઘણું ઓછું હોવું જોઈએ,એટલે કે $L \ll z_F$.
$z_F$ નું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $L \ll \frac{D^2}{\lambda}$ મળે છે,જેને $\frac{L \lambda}{D^2} \ll 1$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.