JEE Main 2014 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) કોઈ બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $L = m(\vec{r} \times \vec{v})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $m$ દળ ધરાવતા કણ માટે જે $v$ ઝડપથી ગતિ કરે છે,તેનું મૂલ્ય $L = mvr_{\perp}$ છે,જ્યાં $r_{\perp}$ એ ઉગમબિંદુ $O$ થી વેગની દિશા સુધીનું લંબ અંતર છે.
વર્તુળની ભૂમિતિ પરથી,સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ એ $x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. વેગ સદિશ $\vec{v}$ એ કણના સ્થાન પર વર્તુળને સ્પર્શક છે. સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને વેગ સદિશ $\vec{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો $(90^\circ + \theta)$ છે.
ઉગમબિંદુ $O$ થી કણનું અંતર $r = 2a \cos \theta$ છે.
કોણીય વેગમાન $L = mvr \sin(90^\circ + \theta) = mvr \cos \theta$ થાય.
$r = 2a \cos \theta$ મૂકતા,આપણને $L = mv(2a \cos \theta) \cos \theta = 2mva \cos^2 \theta$ મળે છે.
નિત્યસમ $2 \cos^2 \theta = 1 + \cos 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$L = mva(1 + \cos 2\theta)$ મળે છે.
એકમ દળ $(m=1)$ ધારતા,કોણીય વેગમાન $va(1 + \cos 2\theta)$ થાય.

(B) અનંત અંતરે તંત્રની પ્રારંભિક કુલ ઉર્જા $0$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$d$ અંતરે કુલ ઉર્જા પણ $0$ હોવી જોઈએ:
$\frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2^2 - \frac{G m_1 m_2}{d} = 0$
$\frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2^2 = \frac{G m_1 m_2}{d} \quad ... (i)$
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ (તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું નથી):
$m_1 v_1 - m_2 v_2 = 0 \implies v_2 = \frac{m_1}{m_2} v_1$
$v_2$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \frac{1}{2}m_2 \left( \frac{m_1}{m_2} v_1 \right)^2 = \frac{G m_1 m_2}{d}$
$\frac{1}{2}m_1 v_1^2 \left( 1 + \frac{m_1}{m_2} \right) = \frac{G m_1 m_2}{d}$
$\frac{1}{2} v_1^2 \left( \frac{m_1 + m_2}{m_2} \right) = \frac{G m_2}{d}$
$v_1^2 = \frac{2 G m_2^2}{d(m_1 + m_2)} \implies v_1 = m_2 \sqrt{\frac{2G}{d(m_1 + m_2)}}$
તે જ રીતે,$v_2 = m_1 \sqrt{\frac{2G}{d(m_1 + m_2)}}$.

(C) $0.3 \, cm$ જાડાઈ ધરાવતી સ્ટીલની શીટમાં $D = 1 \, cm = 10^{-2} \, m$ વ્યાસનું કાણું પાડવા માટે,શીયર બળ કાણાની નળાકાર સપાટીના ક્ષેત્રફળ પર લાગવું જોઈએ.
શીયર સ્ટ્રેસ $\sigma_{max} = 3.5 \times 10^8 \, N \, m^{-2}$ આપેલ છે.
શીયરનો સામનો કરતું ક્ષેત્રફળ $A$ એ પંચ કરેલા નળાકારની પાર્શ્વ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે:
$A = \text{પરિઘ} \times \text{જાડાઈ} = (\pi D) \times h$
કિંમતો મૂકતા:
$A = \pi \times (10^{-2} \, m) \times (0.3 \times 10^{-2} \, m) = 0.3 \pi \times 10^{-4} \, m^2$
જરૂરી બળ $F$:
$F = \sigma_{max} \times A$
$F = (3.5 \times 10^8 \, N \, m^{-2}) \times (0.3 \pi \times 10^{-4} \, m^2)$
$F = 3.5 \times 0.3 \times 3.14159 \times 10^4 \, N$
$F \approx 3.298 \times 10^4 \, N$
નજીકની કિંમત લેતા,$F \approx 3.3 \times 10^4 \, N$ મળે છે.

(B) ધારો કે પાણીની સપાટી નીચે ઉતરવાનો દર $-\frac{dh}{dt}$ છે.
સાતત્ય સમીકરણ મુજબ,એકમ સમયમાં છિદ્રમાંથી બહાર નીકળતા પાણીનું કદ એ પાત્ર દ્વારા ગુમાવેલા પાણીના કદ જેટલું હોય છે.
$A \left( -\frac{dh}{dt} \right) = a_{hole} \cdot v$
જ્યાં $a_{hole} = \pi a^2$ એ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v = \sqrt{2gh}$ એ બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ (ટોરિસેલીનો નિયમ) છે.
તેથી,$A \left( -\frac{dh}{dt} \right) = \pi a^2 \sqrt{2gh}$.
સંકલન કરવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$dt = -\frac{A}{\pi a^2 \sqrt{2g}} h^{-1/2} dh$.
$t = 0$ થી $T$ (કુલ સમય) અને $h = h$ થી $0$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_0^T dt = -\frac{A}{\pi a^2 \sqrt{2g}} \int_h^0 h^{-1/2} dh$.
$T = -\frac{A}{\pi a^2 \sqrt{2g}} \left[ \frac{h^{1/2}}{1/2} \right]_h^0$.
$T = -\frac{A}{\pi a^2 \sqrt{2g}} \cdot 2 [0 - \sqrt{h}] = \frac{2A}{\pi a^2 \sqrt{2g}} \sqrt{h}$.
$T = \frac{2A}{\pi a^2} \sqrt{\frac{h}{2g}} = \frac{\sqrt{2}A}{\pi a^2} \sqrt{\frac{h}{g}}$.

(B) ધારો કે $P_1, R_1$ અને $P_2, R_2$ એ બે સાબુના પરપોટાના આંતરિક દબાણ અને ત્રિજ્યા છે, અને $P_3, R_3$ એ પરિણામી એક પરપોટાનું આંતરિક દબાણ અને ત્રિજ્યા છે.
સાબુના પરપોટાનું આંતરિક દબાણ $P_{in} = P + \frac{4T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારી લઈએ કે પ્રક્રિયા સમતાપી છે, તેથી હવાનું કુલ પ્રમાણ ($PV$ ના સંદર્ભમાં) અચળ રહે છે: $P_1V_1 + P_2V_2 = P_3V_3$.
દબાણ અને કદ માટેના સમીકરણો મૂકતા: $(P + \frac{4T}{R_1})(\frac{4}{3}\pi R_1^3) + (P + \frac{4T}{R_2})(\frac{4}{3}\pi R_2^3) = (P + \frac{4T}{R_3})(\frac{4}{3}\pi R_3^3)$.
આનું વિસ્તરણ કરતા આપણને મળે છે: $P(\frac{4}{3}\pi R_1^3 + \frac{4}{3}\pi R_2^3 - \frac{4}{3}\pi R_3^3) + \frac{16\pi T}{3}(R_1^2 + R_2^2 - R_3^2) = 0$.
અહીં, $V = V_3 - (V_1 + V_2)$ એ કદમાં થતો ફેરફાર છે, તેથી $V_1 + V_2 - V_3 = -V$. તેમજ, $S = S_3 - (S_1 + S_2)$ એ સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર છે, જ્યાં $S_i = 4\pi R_i^2$, તેથી $S_1 + S_2 - S_3 = -S$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $P(-V) + \frac{4T}{3}(-S) = 0$.
$-3$ વડે ગુણતા, આપણને $3PV + 4ST = 0$ મળે છે.

(B) $Newton$ ના ઠંડકનો નિયમ મુજબ,ઠંડકનો દર આ રીતે આપવામાં આવે છે: $\frac{\theta_1 - \theta_2}{t} = K \left[ \frac{\theta_1 + \theta_2}{2} - \theta_0 \right]$,જ્યાં $\theta_0$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
પ્રથમ $10$ મિનિટ માટે: $\frac{60 - 50}{10} = K \left[ \frac{60 + 50}{2} - \theta_0 \right] \implies 1 = K(55 - \theta_0) \dots (i)$
આગળની $10$ મિનિટ માટે: $\frac{50 - 42}{10} = K \left[ \frac{50 + 42}{2} - \theta_0 \right] \implies 0.8 = K(46 - \theta_0) \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{0.8} = \frac{55 - \theta_0}{46 - \theta_0}$
$1.25 = \frac{55 - \theta_0}{46 - \theta_0}$
$1.25(46 - \theta_0) = 55 - \theta_0$
$57.5 - 1.25\theta_0 = 55 - \theta_0$
$2.5 = 0.25\theta_0$
$\theta_0 = 10\,^oC$.

(B) આપેલ છે: $Q_1 = 1000\,J$,$Q_2 = 600\,J$,$T_1 = 127\,^oC = 400\,K$.
કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = (1 - Q_2/Q_1) \times 100\%$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\eta = (1 - 600/1000) \times 100\% = (1 - 0.6) \times 100\% = 40\%$.
કાર્નોટ ચક્ર માટે,ઉષ્મા વિનિમયનો ગુણોત્તર તાપમાનના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે: $Q_2/Q_1 = T_2/T_1$.
$600/1000 = T_2/400$.
$T_2 = (600 \times 400) / 1000 = 240\,K$.
સેલ્સિયસમાં રૂપાંતરિત કરતા: $T_2 = 240 - 273 = -33\,^oC$.
આમ,કાર્યક્ષમતા $40\%$ છે અને સિંકનું તાપમાન $-33\,^oC$ છે.

(A) વાયુના અણુની $r.m.s.$ ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
અહીં $v_{rms} = 1930 \, m/s$,$T = 300 \, K$ (ઓરડાનું તાપમાન) અને $R = 8.314 \, J/(mol \cdot K)$ આપેલ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $v_{rms}^2 = \frac{3RT}{M}$.
$M$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $M = \frac{3RT}{v_{rms}^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $M = \frac{3 \times 8.314 \times 300}{1930^2} \approx \frac{7482.6}{3724900} \approx 0.002008 \, kg/mol$.
આ આશરે $2 \times 10^{-3} \, kg/mol$ છે,જે $2 \, g/mol$ જેટલું થાય છે.
$H_2$ નું મોલર દળ $2 \, g/mol$ છે. તેથી,આ વાયુ $H_2$ છે.

(D) સુરેખ $S.H.M.$ માં,કણ પર લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ $F$ એ સંતુલન સ્થાનથી તેના સ્થાનાંતર $x$ ના સમપ્રમાણમાં હોવું જોઈએ અને તે હંમેશા સંતુલન સ્થાનની દિશામાં હોવું જોઈએ.
ગાણિતિક રીતે,આને $F = -bx$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $b$ એ એક ધન બળ અચળાંક છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,$-bx$ (જ્યાં $b$ એ ધન અચળાંક છે) એ સરળ આવર્ત ગતિ માટે પુનઃસ્થાપક બળ દર્શાવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ છે: ઉદગમની આવૃત્તિ $f_A = 1800\,Hz$,અવલોકનકાર દ્વારા પ્રાપ્ત આવૃત્તિ $f_B = 2150\,Hz$,ધ્વનિની ઝડપ $v_s = 343\,m/s$.
પ્રથમ,આપણે ગતિશીલ ઉદગમ અને સ્થિર અવલોકનકાર માટે ડોપ્લર અસરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઉદગમની અંતિમ ઝડપ $v$ શોધીએ: $f_B = f_A \left( \frac{v_s}{v_s - v} \right)$.
$v$ માટે સૂત્ર ગોઠવતા: $\frac{v_s - v}{v_s} = \frac{f_A}{f_B} \implies 1 - \frac{v}{v_s} = \frac{1800}{2150} \implies v = v_s \left( 1 - \frac{1800}{2150} \right)$.
$v = 343 \times \left( 1 - 0.8372 \right) = 343 \times 0.1628 \approx 55.84\,m/s$.
હવે,જમીન એક સ્થિર ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે જે ધ્વનિને ગતિશીલ ઉદગમ $A$ તરફ પરાવર્તિત કરે છે. જમીન તરફ ગતિ કરતા ઉદગમ $A$ દ્વારા પ્રાપ્ત આવૃત્તિ $f'$ નું સૂત્ર: $f' = f_A \left( \frac{v_s + v}{v_s - v} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $f' = 1800 \times \left( \frac{343 + 55.84}{343 - 55.84} \right) = 1800 \times \left( \frac{398.84}{287.16} \right) \approx 1800 \times 1.3889 \approx 2500\,Hz$.

(A) પૃથ્વીનો પરિભ્રમણ સમય આશરે $24$ કલાક છે, જે $24 \times 3600 \approx 8.64 \times 10^4 \, s \approx 10^5 \, s$ થાય છે।
પૃથ્વીનો પરિક્રમણ સમય $1$ વર્ષ છે, જે $365 \times 24 \times 3600 \approx 3.15 \times 10^7 \, s \approx 10^7 \, s$ થાય છે।
પ્રકાશ તરંગનો આવર્તકાળ $T = \frac{\lambda}{c}$ નો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે। દ્રશ્ય પ્રકાશ માટે, $\lambda \approx 5000 \, \mathring{A} = 5 \times 10^{-7} \, m$ અને $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ છે। તેથી, $T \approx \frac{5 \times 10^{-7}}{3 \times 10^8} \approx 1.6 \times 10^{-15} \, s \approx 10^{-15} \, s$ થાય છે।
ધ્વનિ તરંગનો આવર્તકાળ (શ્રાવ્ય શ્રેણી) સામાન્ય રીતે $10^{-3} \, s$ ના ક્રમમાં હોય છે (દા.ત., $1 \, kHz$ માટે, $T = 10^{-3} \, s$)।
આમ, સાચી જોડ: $(1)-(i), (2)-(ii), (3)-(iii), (4)-(iv)$।

(A) ધારો કે $m$ દળની ગોળીનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. $x$ જાડાઈના પાટિયામાંથી પસાર થયા પછી,તેનો વેગ ઘટીને $v$ થાય છે.
આપેલ છે કે ગોળી તેના વેગનો $\frac{1}{n}$ ભાગ ગુમાવે છે,તેથી અંતિમ વેગ $v$:
$v = u - \frac{u}{n} = u \left( \frac{n - 1}{n} \right)$
એક પાટિયા માટે કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $F$ એ અવરોધક બળ છે:
$Fx = \frac{1}{2} m u^2 - \frac{1}{2} m v^2$
$Fx = \frac{1}{2} m u^2 - \frac{1}{2} m \left( u \frac{n - 1}{n} \right)^2$
$Fx = \frac{1}{2} m u^2 \left[ 1 - \frac{(n - 1)^2}{n^2} \right] = \frac{1}{2} m u^2 \left[ \frac{n^2 - (n^2 - 2n + 1)}{n^2} \right] = \frac{1}{2} m u^2 \left( \frac{2n - 1}{n^2} \right)$
ધારો કે ગોળીને રોકવા માટે જરૂરી પાટિયાની સંખ્યા $P$ છે. કુલ અંતર $Px$ છે અને અંતિમ વેગ $0$ છે:
$F(Px) = \frac{1}{2} m u^2 - 0$
$P(Fx) = \frac{1}{2} m u^2$
$Fx$ ની કિંમત મૂકતા:
$P \left[ \frac{1}{2} m u^2 \left( \frac{2n - 1}{n^2} \right) \right] = \frac{1}{2} m u^2$
$P = \frac{n^2}{2n - 1}$

(D) સમક્ષિતિજ સાથે $\theta_A = 30^\circ$ ના ખૂણે ધકેલવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ બળ $F_A$ નીચે મુજબ છે:
$F_A = \frac{\mu mg}{\cos \theta_A - \mu \sin \theta_A}$
સમક્ષિતિજ સાથે $\theta_B = 60^\circ$ ના ખૂણે ખેંચવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ બળ $F_B$ નીચે મુજબ છે:
$F_B = \frac{\mu mg}{\cos \theta_B + \mu \sin \theta_B}$
આપેલ છે કે $\mu = \frac{\sqrt{3}}{5}$,$\theta_A = 30^\circ$,અને $\theta_B = 60^\circ$:
$F_A = \frac{\mu mg}{\cos 30^\circ - \mu \sin 30^\circ} = \frac{\mu mg}{\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{5} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\mu mg}{\frac{\sqrt{3}}{2} (1 - \frac{1}{5})} = \frac{\mu mg}{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{5}} = \frac{\mu mg}{\frac{2\sqrt{3}}{5}}$
$F_B = \frac{\mu mg}{\cos 60^\circ + \mu \sin 60^\circ} = \frac{\mu mg}{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\mu mg}{\frac{1}{2} + \frac{3}{10}} = \frac{\mu mg}{\frac{5+3}{10}} = \frac{\mu mg}{\frac{8}{10}} = \frac{\mu mg}{\frac{4}{5}}$
તેથી,ગુણોત્તર:
$\frac{F_A}{F_B} = \frac{\frac{\mu mg}{2\sqrt{3}/5}}{\frac{\mu mg}{4/5}} = \frac{4/5}{2\sqrt{3}/5} = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

(D) ધારો કે બિંદુ $P$ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $F$ છે. નળાકારના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $a_{cm} = \frac{F}{M}$ છે.
નળાકારના કેન્દ્રની સાપેક્ષ કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ એ $\tau = I\alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\tau = F \cdot r$ અને $I = \frac{Mr^2}{2}$ છે.
આમ,$F \cdot r = \frac{Mr^2}{2} \alpha \Rightarrow \alpha = \frac{2F}{Mr}$.
નળાકાર ગાલીચા પર લપસતો ન હોવાથી,નળાકાર પરના બિંદુ $P$ નો પ્રવેગ ગાલીચાના પ્રવેગ $a$ જેટલો હોવો જોઈએ.
બિંદુ $P$ નો પ્રવેગ $a_P = a_{cm} + \alpha r$ ($a$ ની દિશામાં) છે.
તેથી,$a = \frac{F}{M} + \left(\frac{2F}{Mr}\right)r = \frac{F}{M} + \frac{2F}{M} = \frac{3F}{M}$.
$F$ માટે ઉકેલતા,આપણને $F = \frac{Ma}{3}$ મળે છે.

(C) $Y$ બિંદુએ,લંબ પ્રતિક્રિયા $N = 0$ છે. ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$mg \sin \phi = \frac{mv^2}{r} \implies v^2 = rg \sin \phi$ $...(i)$
$X$ બિંદુ અને $Y$ બિંદુ વચ્ચે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$mg(r \cos \theta) = mg(r \sin \phi) + \frac{1}{2} mv^2$
$g r \cos \theta = g r \sin \phi + \frac{1}{2} (rg \sin \phi)$
$g r \cos \theta = \frac{3}{2} rg \sin \phi$
$\cos \theta = \frac{3}{2} \sin \phi$
$\sin \phi = \frac{2}{3} \cos \theta$

(D) ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $\vec{g} = (5\hat{i} + 12\hat{j})\,N/kg$ છે.
ક્ષેત્ર સમાન હોવાથી,ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = -\int \vec{g} \cdot d\vec{r}$ દ્વારા મળે છે.
$(0, 0)$ થી $(7, -3)$ સુધીના સ્થાનાંતર માટે,સ્થિતિમાનમાં ફેરફાર $\Delta V = -\vec{g} \cdot \Delta\vec{r}$ છે.
$\Delta\vec{r} = (7 - 0)\hat{i} + (-3 - 0)\hat{j} = 7\hat{i} - 3\hat{j}$.
$\Delta V = -[(5\hat{i} + 12\hat{j}) \cdot (7\hat{i} - 3\hat{j})] = -[5(7) + 12(-3)] = -[35 - 36] = -(-1) = 1\,J/kg$.
ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = m \Delta V$.
અહીં $m = 1\,kg$ આપેલ છે,તેથી $\Delta U = 1\,kg \times 1\,J/kg = 1\,J$.

(C) આપેલ છે:
વેગ $v = 18\, km/h = 18 \times \frac{5}{18} = 5\, m/s$.
ઊંડાઈ $l = 5\, m$.
સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $\eta = 10^{-2}\, \text{poise} = 10^{-2} \times 0.1\, N\cdot s/m^2 = 10^{-3}\, N\cdot s/m^2$.
વેગ પ્રચલન (વિકૃતિ દર) $\frac{dv}{dx} = \frac{v}{l} = \frac{5\, m/s}{5\, m} = 1\, s^{-1}$ છે.
ન્યૂટનના સ્નિગ્ધતાના નિયમ મુજબ,શીયરિંગ સ્ટ્રેસ $\tau$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\tau = \eta \times \frac{dv}{dx}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\tau = 10^{-3}\, N\cdot s/m^2 \times 1\, s^{-1} = 10^{-3}\, N/m^2$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) સમક્ષિતિજ પ્રવાહ માટે બર્નુલીના પ્રમેય મુજબ:
$P_A + \frac{1}{2}\rho v_A^2 = P_B + \frac{1}{2}\rho v_B^2$
$P_A - P_B = \frac{1}{2}\rho (v_B^2 - v_A^2)$
મેનોમીટરની ઊંચાઈ $h = 5\, cm$ દ્વારા દબાણનો તફાવત માપવામાં આવે છે,તેથી $P_A - P_B = \rho gh$.
આમ,$\frac{1}{2}\rho (v_B^2 - v_A^2) = \rho gh \implies v_B^2 - v_A^2 = 2gh$.
અહીં $g = 10\, m/s^2 = 1000\, cm/s^2$ અને $h = 5\, cm$ આપેલ છે,તેથી $v_B^2 - v_A^2 = 2 \times 1000 \times 5 = 10000\, cm^2/s^2$.
સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,$A_A v_A = A_B v_B$.
$A_A = 6\, mm^2$ અને $A_B = 10\, mm^2$ આપેલ છે,તેથી $6 v_A = 10 v_B \implies v_B = 0.6 v_A$.
બર્નુલીના સમીકરણમાં $v_B$ ની કિંમત મૂકતા:
$v_A^2 - v_B^2 = 2gh$ (અહીં $A$ પાસે વેગ વધારે છે)
$v_A^2 - (0.6 v_A)^2 = 10000$
$v_A^2 (1 - 0.36) = 10000$
$0.64 v_A^2 = 10000 \implies v_A^2 = 15625$
$v_A = 125\, cm/s$.
પ્રવાહનો દર $Q = A_A v_A = 0.06\, cm^2 \times 125\, cm/s = 7.5\, cc/s$.

(C) ગોળા દ્વારા ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $dQ/dt = \sigma A (T^4 - T_0^4)$,જ્યાં $A = 4\pi R^2$.
વળી,ગોળા દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા $dQ = -Mc dT$ છે,જ્યાં $c = \alpha T^3$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $-M(\alpha T^3) dT = \sigma (4\pi R^2) (T^4 - T_0^4) dt$.
$dt$ માટે ગોઠવતા: $dt = -\frac{M\alpha T^3 dT}{\sigma (4\pi R^2) (T^4 - T_0^4)}$.
$T = 3T_0$ થી $T = 2T_0$ સુધી સંકલન કરતા: $t = \int_{2T_0}^{3T_0} \frac{M\alpha T^3}{4\pi R^2 \sigma (T^4 - T_0^4)} dT$.
ધારો કે $u = T^4 - T_0^4$,તો $du = 4T^3 dT$,તેથી $T^3 dT = du/4$.
$t = \frac{M\alpha}{4\pi R^2 \sigma} \int_{T=2T_0}^{T=3T_0} \frac{du/4}{u} = \frac{M\alpha}{16\pi R^2 \sigma} [\ln(u)]_{T=2T_0}^{T=3T_0}$.
$t = \frac{M\alpha}{16\pi R^2 \sigma} [\ln(T^4 - T_0^4)]_{2T_0}^{3T_0} = \frac{M\alpha}{16\pi R^2 \sigma} \ln \left( \frac{(3T_0)^4 - T_0^4}{(2T_0)^4 - T_0^4} \right)$.
$t = \frac{M\alpha}{16\pi R^2 \sigma} \ln \left( \frac{81T_0^4 - T_0^4}{16T_0^4 - T_0^4} \right) = \frac{M\alpha}{16\pi R^2 \sigma} \ln \left( \frac{80}{15} \right) = \frac{M\alpha}{16\pi R^2 \sigma} \ln \left( \frac{16}{3} \right)$.

(A) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
પગલું $1$: સંકોચન પ્રક્રિયા દરમિયાન થયેલ કાર્યની ગણતરી કરો.
થયેલ કાર્ય $\Delta W = P \Delta V = 100 \times (1 - 2) = -100\,J$.
પગલું $2$: ગરમ કરવાની પ્રક્રિયા દરમિયાન આંતરિક ઉર્જામાં થતા ફેરફારની ગણતરી કરો.
આપેલ છે કે $\Delta Q = 150\,J$ અને તે અચળ કદની પ્રક્રિયા હોવાથી,$\Delta W = 0$.
તેથી,$\Delta Q = \Delta U = 150\,J$.
પગલું $3$: આંતરિક ઉર્જામાં કુલ ફેરફાર.
કુલ આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર એ બંને પ્રક્રિયાઓમાં થયેલા ફેરફારોનો સરવાળો છે.
$\Delta Q_{total} = \Delta U_{total} + \Delta W_{total}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\Delta Q_{total} = 150\,J$ અને $\Delta W_{total} = -100\,J$.
$150 = \Delta U + (-100)$.
$\Delta U = 150 + 100 = 250\,J$.
આમ,વાયુની આંતરિક ઉર્જા $250\,J$ જેટલી વધે છે.

(D) ગેસના અણુની ગતિ ઊર્જા $KE = \frac{3}{2} k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ તાપમાન $T = 0^{\circ}C = 273 \ K$ છે.
તાપમાનની કિંમત મૂકતા,$KE = \frac{3}{2} k_B (273) = \frac{819 k_B}{2}$.
જ્યારે અણુ $h$ ઊંચાઈ સુધી પહોંચે છે,ત્યારે તેની ગતિ ઊર્જા સ્થિતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,$PE = Mgh$.
ગતિ ઊર્જા અને સ્થિતિ ઊર્જાને સરખાવતા: $\frac{819 k_B}{2} = Mgh$.
ઊંચાઈ $h$ માટે ઉકેલતા,આપણને $h = \frac{819 k_B}{2Mg}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે: આવર્તકાળ,$T = 0.5 \ s$. કંપવિસ્તાર,$A = 1 \ cm$.
મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતી સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનું સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x = A/2$ જેટલું સ્થાનાંતર પ્રાપ્ત કરવા માટે,$A/2 = A \sin(\omega t)$,જેનો અર્થ છે કે $\sin(\omega t) = 1/2$.
આમ,$\omega t = \pi/6$. કારણ કે $\omega = 2\pi/T$,તેથી $(2\pi/T) \cdot t = \pi/6$,જે આપણને $t = T/12$ આપે છે.
$T = 0.5 \ s$ મૂકતા,લાગતો સમય $t = 0.5 / 12 \ s$ થાય છે.
સરેરાશ વેગ એ કુલ સ્થાનાંતર ભાગ્યા કુલ સમય તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
સરેરાશ વેગ $v_{avg} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{A/2}{T/12} = \frac{1/2}{0.5/12} = \frac{0.5}{0.5/12} = 12 \ cm/s$.

(B) તારની કુલ લંબાઈ $L = 110 \ cm = 1.1 \ m$ છે. લંબાઈનો ગુણોત્તર $6:3:2$ છે. ધારો કે લંબાઈ $l_1, l_2, l_3$ છે.
ભાગોનો સરવાળો $= 6+3+2 = 11$.
$l_1 = (6/11) \times 110 = 60 \ cm = 0.6 \ m$.
$l_2 = (3/11) \times 110 = 30 \ cm = 0.3 \ m$.
$l_3 = (2/11) \times 110 = 20 \ cm = 0.2 \ m$.
તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T = 400 \ N$ અને $\mu = 0.01 \ kg/m$.
$\sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{400}{0.01}} = \sqrt{40000} = 200 \ m/s$.
$f_1 = \frac{200}{2 \times 0.6} = \frac{100}{0.6} = \frac{1000}{6} \ Hz$.
$f_2 = \frac{200}{2 \times 0.3} = \frac{100}{0.3} = \frac{1000}{3} \ Hz$.
$f_3 = \frac{200}{2 \times 0.2} = \frac{100}{0.2} = 500 \ Hz = \frac{1000}{2} \ Hz$.
સામાન્ય આવૃત્તિ એ આવૃત્તિઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ છે.
$LCM(\frac{1000}{6}, \frac{1000}{3}, \frac{1000}{2}) = \frac{LCM(1000, 1000, 1000)}{GCD(6, 3, 2)} = \frac{1000}{1} = 1000 \ Hz$.

(B) આપેલ આલેખ પરથી,આપણે $T^2$ અને $L$ વચ્ચેનો સંબંધ જોઈ શકીએ છીએ.
આલેખ પરથી એક બિંદુ લેતા,$L = 1.0 \ m$ માટે,અનુરૂપ મૂલ્ય $T^2 = 4.0 \ s^2$ છે.
સાદા લોલકના આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $T^2 = 4\pi^2 \frac{L}{g}$ મળે છે.
$g$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$g = \frac{4\pi^2 L}{T^2}$ મળે છે.
આલેખ પરથી કિંમતો મૂકતા:
$g = \frac{4 \times (3.14)^2 \times 1.0}{4.0} = \pi^2 \approx 9.87 \ m/s^2$.
આમ,$g$ નું મૂલ્ય $9.87 \ m/s^2$ છે.

(B) જ્યારે નાના ટીપાં જોડાઈને મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = n(4\pi r^2) - 4\pi R^2$ છે. કદ અચળ હોવાથી,$n(\frac{4}{3}\pi r^3) = \frac{4}{3}\pi R^3$,તેથી $n = \frac{R^3}{r^3}$.
મુક્ત થતી ઉર્જા $\Delta E = T \times \Delta A = T(n 4\pi r^2 - 4\pi R^2) = 4\pi R^3 T (\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ ઉર્જા મોટા ટીપાની ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $\frac{1}{2} M v^2 = \Delta E$.
અહીં,$M = \rho \times \text{કદ} = \rho (\frac{4}{3}\pi R^3)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} (\frac{4}{3}\pi R^3 \rho) v^2 = 4\pi R^3 T (\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{2}{3} \pi R^3 \rho v^2 = 4\pi R^3 T (\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$.
$v^2 = \frac{4 \times 3}{2} \frac{T}{\rho} (\frac{1}{r} - \frac{1}{R}) = \frac{6T}{\rho} (\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$.
આમ,$v = {\left[ {\frac{{6T}}{\rho }\left( {\frac{1}{r} - \frac{1}{R}} \right)} \right]^{\frac{1}{2}}}$.

(B) કણનું કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times m\vec{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો વેગ સંપૂર્ણપણે સમક્ષિતિજ હોય છે,જે $v_x = v \cos \theta$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ સમક્ષિતિજ અંતર $x = R/2 = \frac{v^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ શિરોલંબ ઊંચાઈ $H = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
પ્રક્ષેપણ બિંદુની સાપેક્ષમાં કોણીય વેગમાન $L = m v_x H = m (v \cos \theta) \left( \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g} \right) = \frac{m v^3 \sin^2 \theta \cos \theta}{2g}$ છે.
આપેલ છે: $m = 0.16 \, kg$,$v = 10 \, m/s$,$\theta = 60^{\circ}$,$g = 10 \, m/s^2$.
$L = \frac{0.16 \times (10)^3 \times \sin^2 60^{\circ} \times \cos 60^{\circ}}{2 \times 10}$.
$L = \frac{0.16 \times 1000 \times (3/4) \times (1/2)}{20} = \frac{160 \times 0.375}{20} = 8 \times 0.375 = 3.0 \, kg \cdot m^2/s$.

(B) શુદ્ધ ઇન્ડક્ટિવ સર્કિટમાં,પ્રવાહ હંમેશા emf કરતા $\frac{\pi}{2}$ જેટલો પાછળ રહે છે.
આપેલ વોલ્ટેજ $V(t) = V_0 \sin(\omega t)$ માટે,પ્રવાહ $I(t) = I_0 \sin(\omega t - \frac{\pi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$V_0 = 100 \, V$ અને $\omega = 500 \, rad/s$ છે.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_0$ ની ગણતરી આ મુજબ થાય છે: $I_0 = \frac{V_0}{\omega L} = \frac{100}{500 \times 0.02} = \frac{100}{10} = 10 \, A$.
પ્રવાહના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$I(t) = 10 \sin(500t - \frac{\pi}{2})$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(\theta - \frac{\pi}{2}) = -\cos(\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I(t) = -10 \cos(500t)$.

(B) લેમ્પ દ્વારા ઉત્સર્જિત વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણનો પાવર $P = 100\,W \times 0.03 = 3\,W$ છે.
$r = 5\,m$ અંતરે તીવ્રતા $I$ એ $I = \frac{P}{4\pi r^2} = \frac{3}{4\pi (5)^2} = \frac{3}{100\pi}\,W/m^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તીવ્રતા અને વિદ્યુતક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $E_0$ વચ્ચેનો સંબંધ $I = \frac{1}{2} c \varepsilon_0 E_0^2$ છે.
$E_0$ માટે સૂત્ર બનાવતા,આપણને $E_0 = \sqrt{\frac{2I}{c \varepsilon_0}}$ મળે છે.
$c = 3 \times 10^8\,m/s$ અને $\varepsilon_0 = \frac{1}{4\pi \times 9 \times 10^9}$ કિંમતો મૂકતા,આપણને $E_0 = \sqrt{\frac{2 \times (3 / 100\pi)}{(3 \times 10^8) \times (1 / (4\pi \times 9 \times 10^9))}}$ મળે છે.
પદનું સાદું રૂપ આપતા: $E_0 = \sqrt{\frac{6}{100\pi} \times (4\pi \times 9 \times 10^9) / (3 \times 10^8)} = \sqrt{\frac{6 \times 36 \times 10^9}{100 \times 3 \times 10^8}} = \sqrt{\frac{216 \times 10}{300}} = \sqrt{7.2} \approx 2.68\,V/m$.

(A) $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા લેન્સને $\mu_1$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં ડુબાડવામાં આવે ત્યારે લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{\mu}{\mu_1} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
હવામાં રહેલા અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ ઋણ હોય છે કારણ કે $\mu > 1$ (જ્યાં હવા માટે $\mu_1 = 1$),જેનાથી પદ $(\frac{\mu}{\mu_1} - 1)$ ધન બને છે અને કૌંસ $(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ ઋણ બને છે.
જ્યારે લેન્સને એવા માધ્યમમાં ડુબાડવામાં આવે કે જેથી $\mu_1 > \mu$ થાય,ત્યારે પદ $(\frac{\mu}{\mu_1} - 1)$ ઋણ બને છે.
ભૌમિતિક અવયવ $(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ અંતર્ગોળ લેન્સ માટે ઋણ રહેતો હોવાથી,બે ઋણ પદોનો ગુણાકાર ધન બને છે,જેનો અર્થ છે કે કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ધન બને છે.
ધન કેન્દ્રલંબાઈ સૂચવે છે કે લેન્સ હવે બહિર્ગોળ લેન્સ (અભિસારી લેન્સ) તરીકે વર્તે છે. તેથી,લેન્સ પર આપાત થતું સમાંતર કિરણપુંજ તેમાંથી પસાર થયા પછી અભિસારી બનશે. આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,સીધા પથની લંબાઈ $SP = 2l$ છે.
પરાવર્તિત પથ બે ભાગનો બનેલો છે,જેમાંથી દરેકની લંબાઈ $d = l / \cos(30^{\circ}) = l / (\sqrt{3}/2) = 2l/\sqrt{3}$ છે.
તેથી,કુલ પરાવર્તિત પથની લંબાઈ $2 \times (2l/\sqrt{3}) = 4l/\sqrt{3}$ થાય.
બે કિરણો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x = \frac{4l}{\sqrt{3}} - 2l = 2l \left( \frac{2}{\sqrt{3}} - 1 \right)$ છે.
કિરણ અરીસા પરથી પરાવર્તિત થાય છે,તેથી તેમાં $\pi$ નો કળા તફાવત ઉદભવે છે,જે $\lambda/2$ ના વધારાના પથ તફાવતને સમતુલ્ય છે.
સહાયક વ્યતિકરણ (maxima) માટે,કુલ પથ તફાવત $\lambda/2$ ના એકી ગુણાંકમાં હોવો જોઈએ (કારણ કે $\pi$ નો કળા તફાવત છે): $\Delta x + \frac{\lambda}{2} = n\lambda$,અથવા $\Delta x = (n - 1/2)\lambda = \frac{(2n-1)\lambda}{2}$.
બંનેને સરખાવતા: $2l \left( \frac{2 - \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \right) = \frac{(2n-1)\lambda}{2}$.
$l$ માટે ઉકેલતા: $l = \frac{(2n-1)\lambda \sqrt{3}}{4(2 - \sqrt{3})}$.

(B) એક સ્લિટ વિવર્તન ભાત માટે,$n$ માં ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda_1$ છે,જ્યાં $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે અને $\lambda_1$ એ તરંગલંબાઈ છે.
પ્રથમ ન્યૂનતમ $(n=1)$ માટે,$a \sin \theta = \lambda_R = 6600\,\mathring{A}$.
$n$ માં ગૌણ મહત્તમ માટેની શરત $a \sin \theta = (2n + 1) \frac{\lambda_2}{2}$ છે.
પ્રથમ ગૌણ મહત્તમ $(n=1)$ માટે,$a \sin \theta = (2(1) + 1) \frac{\lambda_2}{2} = \frac{3}{2} \lambda_2$.
પ્રશ્ન મુજબ,લાલ પ્રકાશનું પ્રથમ ન્યૂનતમ અને અન્ય તરંગલંબાઈનું પ્રથમ ગૌણ મહત્તમ સંપાત થાય છે,તેથી:
$6600 = \frac{3}{2} \lambda_2$.
$\lambda_2$ માટે ઉકેલતા: $\lambda_2 = \frac{6600 \times 2}{3} = 2200 \times 2 = 4400\,\mathring{A}$.

(B) આપેલ છે: $\lambda_1 = 4972\,\mathring{A}$,$\lambda_2 = 6216\,\mathring{A}$,કુલ તીવ્રતા $I = 3.6 \times 10^{-3}\,\text{W/m}^2$,ક્ષેત્રફળ $A = 1\,\text{cm}^2 = 10^{-4}\,\text{m}^2$,વર્ક ફંક્શન $\phi = 2.3\,\text{eV}$.
દરેક તરંગલંબાઈ માટે તીવ્રતા $I' = I/2 = 1.8 \times 10^{-3}\,\text{W/m}^2$.
દરેક તરંગલંબાઈ માટે ફોટોનની ઉર્જા:
$E_1 = \frac{hc}{\lambda_1} = \frac{12400}{4972} \approx 2.49\,\text{eV} > 2.3\,\text{eV}$ (ઉત્સર્જન માટે સક્ષમ).
$E_2 = \frac{hc}{\lambda_2} = \frac{12400}{6216} \approx 1.99\,\text{eV} < 2.3\,\text{eV}$ (ઉત્સર્જન માટે સક્ષમ નથી).
માત્ર $\lambda_1$ ના ફોટોન જ ફોટોઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જનમાં ફાળો આપે છે.
$\lambda_1$ દ્વારા આપાત પાવર $P = I' \times A = 1.8 \times 10^{-3} \times 10^{-4} = 1.8 \times 10^{-7}\,\text{W}$.
પ્રતિ સેકન્ડ ફોટોનની સંખ્યા $n = \frac{P}{E_1} = \frac{1.8 \times 10^{-7}}{2.49 \times 1.6 \times 10^{-19}} \approx 4.5 \times 10^{11}\,\text{photons/s}$.
દરેક સક્ષમ ફોટોન એક ઇલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન કરતું હોવાથી,$2\,\text{s}$ માં મુક્ત થતા ફોટોઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $N = n \times 2 = 4.5 \times 10^{11} \times 2 = 9 \times 10^{11}$ થાય.

(B) આપેલ છે,$^{14}C$ માટે:
પ્રારંભિક સક્રિયતા $A_{0} = 16$ વિભંજન $\text{min}^{-1} \text{g}^{-1}$.
અંતિમ સક્રિયતા $A = 12$ વિભંજન $\text{min}^{-1} \text{g}^{-1}$.
અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2} = 5760$ વર્ષ.
ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{0.693}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{5760} \text{ વર્ષ}^{-1}$.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના સૂત્ર $A = A_{0} e^{-\lambda t}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{A_{0}}{A} = e^{\lambda t}$ મળે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln\left(\frac{A_{0}}{A}\right) = \lambda t$.
તેથી,$t = \frac{1}{\lambda} \ln\left(\frac{A_{0}}{A}\right) = \frac{t_{1/2}}{0.693} \times 2.303 \log_{10}\left(\frac{A_{0}}{A}\right)$.
કિંમતો મૂકતા: $t = \frac{5760}{0.693} \times 2.303 \times \log_{10}\left(\frac{16}{12}\right)$.
$t = \frac{5760 \times 2.303}{0.693} \times \log_{10}(1.333)$.
$t \approx 19142.8 \times 0.1249 \approx 2391$ વર્ષ.

(D) $LED$ દ્વારા ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા અર્ધવાહક પદાર્થના એનર્જી બેન્ડ ગેપ $E_g$ જેટલી હોય છે.
ઉર્જા અને તરંગલંબાઇ વચ્ચેનો સંબંધ $E_g = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્રશ્યમાન પ્રકાશના વર્ણપટની તરંગલંબાઇ આશરે $400 \, nm$ થી $700 \, nm$ ($4 \times 10^{-7} \, m$ થી $7 \times 10^{-7} \, m$) ની વચ્ચે હોય છે.
જ્યારે $\lambda = 700 \, nm$ $(7 \times 10^{-7} \, m)$ હોય ત્યારે:
$E_g = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{7 \times 10^{-7}} \approx 1.77 \, eV$.
જ્યારે $\lambda = 400 \, nm$ $(4 \times 10^{-7} \, m)$ હોય ત્યારે:
$E_g = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{4 \times 10^{-7}} \approx 3.1 \, eV$.
આમ,$LED$ દ્રશ્યમાન પ્રકાશ ઉત્સર્જિત કરે તે માટે એનર્જી બેન્ડ ગેપ $1.7 \, eV$ થી $3.0 \, eV$ ની રેન્જમાં હોવો જોઈએ.

(B) આકાશ તરંગ પ્રસરણ રેડિયો તરંગોને પૃથ્વી પર પાછા પરાવર્તિત કરવા માટે આયનોસ્ફિયરનો ઉપયોગ કરે છે. આ પ્રસરણ પદ્ધતિ $5\,MHz$ થી $25\,MHz$ ની આવૃત્તિ શ્રેણી માટે અસરકારક છે. આના કરતા ઓછી આવૃત્તિઓ આયનોસ્ફિયર દ્વારા શોષાઈ જાય છે,જ્યારે આના કરતા ઊંચી આવૃત્તિઓ આયનોસ્ફિયરમાંથી પસાર થઈને અવકાશમાં જતી રહે છે.

(D) પોટેન્શિયોમીટરના પ્રયોગમાં,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ એ સંતુલન લંબાઈ $l$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $V = kl$,જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
આપેલ છે કે,પ્રમાણિત કોષ માટે $E = 1.1 \text{ V}$ એ $l_1 = 440 \text{ cm}$ પર સંતુલિત થાય છે.
તેથી,$1.1 = k \times 440 \implies k = \frac{1.1}{440} \text{ V/cm}$.
અવરોધ પરનો સાચો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{actual}$,જે $l_2 = 220 \text{ cm}$ પર સંતુલિત થાય છે,તે:
$V_{actual} = k \times l_2 = \left( \frac{1.1}{440} \right) \times 220 = \frac{1.1}{2} = 0.55 \text{ V}$.
વોલ્ટમીટરનું અવલોકન $V_{reading} = 0.5 \text{ V}$ આપેલ છે.
અવલોકનમાં ત્રુટિ $\text{Error} = V_{reading} - V_{actual}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$\text{Error} = 0.5 - 0.55 = -0.05 \text{ V}$.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E} = E_0 \hat{i} + 2E_0 \hat{j}$ છે.
આપેલ છે કે $E_0 = 100 \, N/C$,તેથી $\overrightarrow{E} = 100 \hat{i} + 200 \hat{j} \, N/C$.
વર્તુળાકાર સપાટી $Y-Z$ સમતલને સમાંતર છે,તેથી તેનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A}$ એ $\hat{i}$ દિશામાં હશે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \times (0.02)^2 = 3.14159 \times 0.0004 \approx 1.256 \times 10^{-3} \, m^2$.
તેથી,$\overrightarrow{A} = 1.256 \times 10^{-3} \hat{i} \, m^2$.
વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A}$ દ્વારા મળે છે.
$\phi = (100 \hat{i} + 200 \hat{j}) \cdot (1.256 \times 10^{-3} \hat{i})$.
કારણ કે $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ અને $\hat{j} \cdot \hat{i} = 0$,તેથી $\phi = 100 \times 1.256 \times 10^{-3} = 0.1256 \, Nm^2/C$.
આમ,ફ્લક્સ આશરે $0.125 \, Nm^2/C$ છે.

(D) ધારો કે પરમિટિવિટી $\varepsilon(x)$ એક પ્લેટ $(x=0)$ થી બીજી પ્લેટ $(x=d)$ સુધી અંતર $x$ સાથે રેખીય રીતે બદલાય છે:
$\varepsilon(x) = \varepsilon_1 + \frac{\varepsilon_2 - \varepsilon_1}{d} x$
$dx$ જાડાઈ ધરાવતા એક પાતળા સ્તરને ધ્યાનમાં લો. આ એક કેપેસિટર તરીકે કાર્ય કરે છે જેનું કેપેસિટન્સ $dC = \frac{\varepsilon(x) A}{dx}$ છે.
આ કેપેસિટરો શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C$ માટે: $\frac{1}{C} = \int_0^d \frac{1}{dC} = \int_0^d \frac{dx}{\varepsilon(x) A}$.
$\frac{1}{C} = \frac{1}{A} \int_0^d \frac{dx}{\varepsilon_1 + \frac{\varepsilon_2 - \varepsilon_1}{d} x}$
$u = \varepsilon_1 + \frac{\varepsilon_2 - \varepsilon_1}{d} x$ લેતા,$du = \frac{\varepsilon_2 - \varepsilon_1}{d} dx$ મળે.
$\frac{1}{C} = \frac{1}{A} \cdot \frac{d}{\varepsilon_2 - \varepsilon_1} \int_{\varepsilon_1}^{\varepsilon_2} \frac{du}{u} = \frac{d}{A(\varepsilon_2 - \varepsilon_1)} [\ln u]_{\varepsilon_1}^{\varepsilon_2} = \frac{d \ln(\varepsilon_2/\varepsilon_1)}{A(\varepsilon_2 - \varepsilon_1)}$.
તેથી,$C = \frac{A(\varepsilon_2 - \varepsilon_1)}{d \ln(\varepsilon_2/\varepsilon_1)}$.

(C) દરેક બલ્બનો પાવર $P = 100\, W$ છે અને વોલ્ટેજ $V = 220\, V$ છે.
દરેક બલ્બમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{P}{V} = \frac{100}{220} \approx 0.4545\, A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિપથ આકૃતિ પરથી,એમીટર ત્રણ બલ્બ $B_2, B_3$ અને $B_4$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલું છે,જ્યારે બલ્બ $B_1$ આ સંયોજન સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલ છે.
તેથી,એમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ એ બલ્બ $B_2, B_3$ અને $B_4$ માંથી વહેતા પ્રવાહનો સરવાળો છે.
કુલ પ્રવાહ $I_{total} = I_{B_2} + I_{B_3} + I_{B_4} = 3 \times 0.4545\, A = 1.3636\, A$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,અવલોકન આશરે $1.36\, A$ મળે છે. આપેલા વિકલ્પોને જોતા,$100/220 \approx 0.45\, A$ ના અંદાજને આધારે $1.35\, A$ એ સાચો જવાબ છે.

(B) લાંબા સીધા તારમાંથી વહેતા $I$ વિદ્યુતપ્રવાહને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિ કરતા વાહકમાં પ્રેરિત $e.m.f.$ $e = \int B v \, dr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડાબા હાથ માટે $x_1 = 10\, cm = 0.1\, m$ અંતરે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi x_1} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 1}{0.1} = 2 \times 10^{-6}\, T$ છે.
ડાબા હાથમાં પ્રેરિત $e.m.f.$ $e_1 = B_1 l v = (2 \times 10^{-6}) \times (0.1) \times (10) = 2 \times 10^{-6}\, V = 2\,\mu V$ છે.
જમણા હાથ માટે $x_2 = x_1 + l = 0.1 + 0.1 = 0.2\, m$ અંતરે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi x_2} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 1}{0.2} = 1 \times 10^{-6}\, T$ છે.
જમણા હાથમાં પ્રેરિત $e.m.f.$ $e_2 = B_2 l v = (1 \times 10^{-6}) \times (0.1) \times (10) = 1 \times 10^{-6}\, V = 1\,\mu V$ છે.
કુલ પ્રેરિત $e.m.f.$ $e = e_1 - e_2 = 2\,\mu V - 1\,\mu V = 1\,\mu V$ છે.

(B) સુપરકન્ડક્ટર 'માઈસનર ઇફેક્ટ' (Meissner effect) દર્શાવે છે,જેનો અર્થ છે કે જ્યારે તેને બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં તેના ક્રાંતિક તાપમાનથી નીચે ઠંડુ કરવામાં આવે ત્યારે તે તેની અંદરથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને બહાર કાઢી નાખે છે.
આ ઘટના સુપરકન્ડક્ટરને સંપૂર્ણ ડાયામેગ્નેટ બનાવે છે.
સંપૂર્ણ ડાયામેગ્નેટ માટે,ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $\chi = -1$ હોય છે.
પદાર્થની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_s = \mu_0(H + M)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $M = \chi H = -H$,તેથી આપણને મળે છે $B_s = \mu_0(H - H) = 0$.
તેથી,સુપરકન્ડક્ટરની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_s = 0$ હોય છે.

(A) ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec E$ એ બદલાતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec B$ સાથે $\oint \vec E \cdot d\vec l = -\frac{d\Phi_B}{dt}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
વર્તુળાકાર વિસ્તારની અંદરના બિંદુ માટે $(r < R)$: ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi_B = B \cdot (\pi r^2)$ છે. તેથી,$E(2\pi r) = \pi r^2 \frac{dB}{dt}$,જે $E = \frac{r}{2} \frac{dB}{dt}$ આપે છે. અહીં $\frac{dB}{dt}$ અચળ હોવાથી,$E \propto r$ મળે છે.
વર્તુળાકાર વિસ્તારની બહારના બિંદુ માટે $(r > R)$: ચુંબકીય ફ્લક્સ માત્ર $\pi R^2$ વિસ્તાર પૂરતું મર્યાદિત છે,તેથી $\Phi_B = B \cdot (\pi R^2)$ થાય. તેથી,$E(2\pi r) = \pi R^2 \frac{dB}{dt}$,જે $E = \frac{R^2}{2r} \frac{dB}{dt}$ આપે છે. અહીં $\frac{dB}{dt}$ અને $R$ અચળ હોવાથી,$E \propto \frac{1}{r}$ મળે છે.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $r < R$ માટે $r$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે અને $r > R$ માટે $1/r$ મુજબ ઘટે છે. આ ફેરફાર આલેખ $A$ દ્વારા યોગ્ય રીતે દર્શાવવામાં આવ્યો છે.

(A) તરંગલંબાઈના વધતા ક્રમમાં વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટ નીચે મુજબ છે:
ગામા કિરણો $(G)$ < $X$-કિરણો $(X)$ < અલ્ટ્રાવાયોલેટ $(U)$ < દ્રશ્ય પ્રકાશ $(V)$ < ઇન્ફ્રારેડ $(I)$ < માઇક્રોવેવ્સ $(M)$ < રેડિયો તરંગો $(R)$.
તેથી,ચડતો ક્રમ $G, X, U, V, I, M, R$ છે.

(C) ધારો કે ઘટ્ટ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu_1$ અને પાતળા માધ્યમનો $\mu_2$ છે. સાપેક્ષ વક્રીભવનાંક $\mu = \mu_1 / \mu_2$ છે.
ક્રાંતિકોણ $\theta_{iC}$ માટે,$\sin \theta_{iC} = \mu_2 / \mu_1 = 1 / \mu$.
બ્રુસ્ટરના ખૂણા $\theta_{iB}$ માટે,$\tan \theta_{iB} = \mu_1 / \mu_2 = \mu$.
આપેલ છે કે $\sin \theta_{iC} / \sin \theta_{iB} = 1.28$,તેથી $(1 / \mu) / \sin \theta_{iB} = 1.28 \implies \sin \theta_{iB} = 1 / (1.28 \mu)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \theta_{iB} = \mu / \sqrt{1 + \mu^2}$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા,$\mu / \sqrt{1 + \mu^2} = 1 / (1.28 \mu)$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા આપણને સાપેક્ષ વક્રીભવનાંક મળે છે,જે $0.8$ છે.

(C) માઇક્રોસ્કોપની વિભેદન શક્તિ $(R.P.)$ એ બે નજીક રહેલી વસ્તુઓ વચ્ચે તફાવત પારખવાની ક્ષમતા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$R.P. = \frac{2n \sin \beta}{\lambda}$
જ્યાં:
$n$ એ વસ્તુ અને ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ વચ્ચેના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
$\beta$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ દ્વારા વસ્તુ પર બનતો અર્ધ-ઊર્ધ્વ ખૂણો છે.
$\lambda$ એ વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે $R.P. \propto n \sin \beta$.
તેથી,જેમ $n \sin \beta$ નું મૂલ્ય વધે છે,તેમ વિભેદન શક્તિ વધે છે.

(C) સિંગલ સ્લિટ વિવર્તન પેટર્નમાં કેન્દ્રીય મહત્તમની કોણીય પહોળાઈ $\theta = \frac{2 \lambda}{b}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $b$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ક્રમિક વ્યતિકરણ મહત્તમ વચ્ચેનું કોણીય અંતર $\Delta \theta = \frac{\lambda}{d}$ છે,જ્યાં $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
વિવર્તનના કેન્દ્રીય મહત્તમમાં સમાવિષ્ટ વ્યતિકરણ મહત્તમની સંખ્યા $n$ એ કેન્દ્રીય વિવર્તન મહત્તમની કોણીય પહોળાઈ અને વ્યતિકરણ ફ્રિન્જની કોણીય અંતરના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે:
$n = \frac{2 \lambda / b}{\lambda / d} = \frac{2d}{b}$.
આપેલ છે કે $d = 6.1b$,તેથી:
$n = \frac{2 \times (6.1b)}{b} = 12.2$.
મહત્તમની સંખ્યા પૂર્ણાંક હોવી જોઈએ,તેથી કેન્દ્રીય વિવર્તન એન્વલપની અંદર $12$ તીવ્રતાના મહત્તમ જોવા મળે છે.

(B) $(1)$ ડેવિસન અને જર્મર પ્રયોગે ઇલેક્ટ્રોન ડિફ્રેક્શન દ્વારા ઇલેક્ટ્રોનની તરંગ પ્રકૃતિ દર્શાવી હતી.
$(2)$ મિલિકનનો ઓઈલ ડ્રોપ પ્રયોગ ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રાથમિક વીજભાર નક્કી કરવા માટે વપરાયો હતો.
$(3)$ રધરફોર્ડનો આલ્ફા-કણ સ્કેટરિંગ પ્રયોગ પરમાણુના કેન્દ્રમાં નાના, ઘન, ધન વીજભારિત ન્યુક્લિયસના અસ્તિત્વ માટે પુરાવા પૂરા પાડે છે.
$(4)$ ફ્રેન્ક-હર્ટ્ઝ પ્રયોગે પરમાણુઓમાં ઉર્જા સ્તરોના ક્વોન્ટાઈઝેશન માટે પ્રાયોગિક પુરાવા પૂરા પાડ્યા હતા.
તેથી, સાચી જોડ $(1)-(i), (2)-(ii), (3)-(iv), (4)-(iii)$ છે.

(C) આપેલ છે: પ્રારંભિક સક્રિયતા $A_0 = 20$ ક્ષય/મિનિટ.
અંતિમ સક્રિયતા $A = 2$ ક્ષય/મિનિટ.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 5730$ વર્ષ.
આપણે જાણીએ છીએ કે સમય $t$ પર સક્રિયતા $A = A_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}}$.
$t$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$t = \frac{1}{\lambda} \ln\left(\frac{A_0}{A}\right) = \frac{T_{1/2}}{0.693} \times 2.303 \times \log_{10}\left(\frac{A_0}{A}\right)$.
કિંમતો મૂકતા: $t = \frac{5730}{0.693} \times 2.303 \times \log_{10}\left(\frac{20}{2}\right)$.
કારણ કે $\log_{10}(10) = 1$,તેથી $t = \frac{5730 \times 2.303}{0.693} \approx 5730 \times 3.322$.
$t \approx 19039$ વર્ષ.

(A) આપેલ સર્કિટમાં,જો બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ લોજિક $0$ (ઓછો વોલ્ટેજ,$< 1 \ V$) પર હોય,તો બંને ડાયોડ ફોરવર્ડ-બાયસ થાય છે અને આઉટપુટ $V_{out}$ લગભગ $0 \ V$ (લોજિક $0$) પર ખેંચાય છે.
જો કોઈ પણ એક ઇનપુટ $A$ અથવા $B$ લોજિક $1$ $(> 5 \ V)$ પર હોય,તો સંબંધિત ડાયોડ રિવર્સ-બાયસ થાય છે. જો કે,જો એક ઇનપુટ $1$ હોય અને બીજું $0$ હોય,તો $0$ ઇનપુટ સાથે જોડાયેલ ડાયોડ વહન કરે છે,જે આઉટપુટને લોજિક $0$ પર લાવે છે.
જો બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ લોજિક $1$ $(> 5 \ V)$ પર હોય,તો બંને ડાયોડ રિવર્સ-બાયસ થાય છે. આઉટપુટ $V_{out}$ ત્યારબાદ અવરોધ $R$ દ્વારા $V_{CC} = 6 \ V$ સુધી ખેંચાય છે,જે લોજિક $1$ ને અનુરૂપ છે.
આ સર્કિટ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:
$A=0, B=0 \implies V_{out}=0$
$A=0, B=1 \implies V_{out}=0$
$A=1, B=0 \implies V_{out}=0$
$A=1, B=1 \implies V_{out}=1$
આ ટ્રુથ ટેબલ $AND$ ગેટને અનુરૂપ છે.

(B) સ્કાય વેવ પ્રોપેગેશન એ રેડિયો તરંગોના પ્રસારણની એક પદ્ધતિ છે જેમાં રેડિયો તરંગો આયનોસ્ફિયરથી પરાવર્તિત થઈને અથવા વક્રીભવન પામીને પૃથ્વી પર પાછા ફરે છે.
આ ઘટનાનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે લાંબા અંતરના સંચાર માટે થાય છે.
આયનોસ્ફિયર એક ચોક્કસ આવૃત્તિ મર્યાદામાં રેડિયો તરંગો માટે પરાવર્તક માધ્યમ તરીકે કાર્ય કરે છે.
પ્રમાણિત સંચાર ભૌતિકશાસ્ત્ર મુજબ,સ્કાય વેવ પ્રોપેગેશન માટે યોગ્ય આવૃત્તિ મર્યાદા સામાન્ય રીતે $2\, MHz$ થી $30\, MHz$ ની વચ્ચે હોય છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,$8 - 25\, MHz$ ની રેન્જ આ નિર્દિષ્ટ મર્યાદામાં આવે છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો જવાબ છે.