मान लीजिए कि S सभी (alpha, beta) in mathbb{R} | vedclass

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Question

(B, C) दिया गया सीमा: $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin(x^2)(\log_e x)^\alpha \sin(1/x^2)}{x^{\alpha \beta}(\log_e(1+x))^\beta} = 0$। चूंकि $\s

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$(1, -1) \in S$

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(B, C) दिया गया सीमा: $\lim _{x ightarrow \infty} \frac{\sin(x^2)(\log_e x)^\alpha \sin(1/x^2)}{x^{\alpha \beta}(\log_e(1+x))^\beta} = 0$। चूंकि $\sin(x^2)$ परिबद्ध है और $x ightarrow \infty$ के लिए $\sin(1/x^2) \approx 1/x^2$ तथा $\log_e(1+x) \approx \log_e x$ है,व्यंजक इस प्रकार व्यवहार करता है: $\lim _{x ightarrow \infty} \frac{(\log_e x)^\alpha \cdot (1/x^2)}{x^{\alpha \beta} \cdot (\log_e x)^\beta} = \lim _{x ightarrow \infty} \frac{(\log_e x)^{\alpha-\beta}}{x^{\alpha \beta+2}} = 0$। इस सीमा के $0$ होने के लिए,हर में $x$ का घातांक धनात्मक होना चाहिए,अर्थात $\alpha \beta + 2 > 0$,जिसका अर्थ है $\alpha \beta > -2$। विकल्पों की जाँच करने पर: $(A) (-1, 3) \implies (-1)(3) = -3 
gtr -2$ (गलत)। $(B) (-1, 1) \implies (-1)(1) = -1 > -2$ (सही)। $(C) (1, -1) \implies (1)(-1) = -1 > -2$ (सही)। $(D) (1, -2) \implies (1)(-2) = -2 
gtr -2$ (गलत)। अतः,$(B)$ और $(C)$ सही हैं।

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