मान लीजिए कि फलन $f: R \rightarrow R$ इस प्रकार परिभाषित है:
$f(t)=\begin{cases} (-1)^{n+1} 2, & \text{यदि } t=2n-1, n \in N \\ \frac{(2n+1-t)}{2} f(2n-1) + \frac{(t-(2n-1))}{2} f(2n+1), & \text{यदि } 2n-1 < t < 2n+1, n \in N \end{cases}$
$g(x) = \int_1^x f(t) dt, x \in (1, \infty)$ को परिभाषित करें। मान लीजिए $\alpha$ अंतराल $(1, 8]$ में समीकरण $g(x) = 0$ के हलों की संख्या को दर्शाता है और $\beta = \lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{g(x)}{x-1}$ है। तो $\alpha + \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।
$f(t)=\begin{cases} (-1)^{n+1} 2, & \text{यदि } t=2n-1, n \in N \\ \frac{(2n+1-t)}{2} f(2n-1) + \frac{(t-(2n-1))}{2} f(2n+1), & \text{यदि } 2n-1 < t < 2n+1, n \in N \end{cases}$
$g(x) = \int_1^x f(t) dt, x \in (1, \infty)$ को परिभाषित करें। मान लीजिए $\alpha$ अंतराल $(1, 8]$ में समीकरण $g(x) = 0$ के हलों की संख्या को दर्शाता है और $\beta = \lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{g(x)}{x-1}$ है। तो $\alpha + \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।
- A$3$
- B$4$
- C$5$
- D$6$
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यह दिया गया है कि प्रत्येक $a \in (0,1)$ के लिए,सीमा $g(a) = \lim_{n \rightarrow 0^{+}} \int_n^{1-n} t^{-a}(1-t)^{a-1} dt$ का अस्तित्व है। इसके अतिरिक्त,यह दिया गया है कि फलन $g(a)$ अंतराल $(0,1)$ पर अवकलनीय है।
$1.$ $g\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान है
$(A) \pi$ $(B) 2\pi$ $(C) \frac{\pi}{2}$ $(D) \frac{\pi}{4}$
$2.$ $g'\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान है
$(A) \frac{\pi}{2}$ $(B) \pi$ $(C) -\frac{\pi}{2}$ $(D) 0$
$1$ और $2$ के लिए सही युग्म चुनें।
$1.$ $g\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान है
$(A) \pi$ $(B) 2\pi$ $(C) \frac{\pi}{2}$ $(D) \frac{\pi}{4}$
$2.$ $g'\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान है
$(A) \frac{\pi}{2}$ $(B) \pi$ $(C) -\frac{\pi}{2}$ $(D) 0$
$1$ और $2$ के लिए सही युग्म चुनें।
मान लीजिए $I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} \tan^{-1} x \, dx$ है। यदि सभी $n \geq 1$ के लिए $a_{n} I_{n+2} + b_{n} I_{n} = c_{n}$ है,तो
MediumWBJEE 2019
View Solution$\int_{0}^{2} ( |2x^2 - 3x| + [x - \frac{1}{2}] ) dx$,जहाँ $[ \cdot ]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,का मान ज्ञात कीजिए।
DifficultJEE MAIN 2022
View Solutionयदि $A_n = \int_{0}^{\pi /2} \frac{\sin((2n-1)x)}{\sin x} dx$ और $B_n = \int_{0}^{\pi /2} \left( \frac{\sin(nx)}{\sin x} \right)^2 dx$ जहाँ $n \in N$,तो:
सूची $I$ सूची $II$ $P.$ $\leq 2$ घात वाले गैर-ऋणात्मक पूर्णांक गुणांकों वाले बहुपदों $f(x)$ की संख्या,जो $f(0)=0$ और $\int_0^1 f(x) dx=1$ को संतुष्ट करते हैं,है $1.$ $8$ $Q.$ अंतराल $(-\sqrt{13}, \sqrt{13})$ में उन बिंदुओं की संख्या जहाँ $f(x)=\sin(x^2)+\cos(x^2)$ अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है,है $2.$ $2$ $R.$ $\int_{-2}^2 \frac{3x^2}{1+e^x} dx$ बराबर है $3.$ $4$ $S.$ $\frac{\int_{-1/2}^{1/2} \cos 2x \log(\frac{1+x}{1-x}) dx}{\int_0^{1/2} \cos 2x \log(\frac{1+x}{1-x}) dx}$ बराबर है $4.$ $0$
कोड: $P \quad Q \quad R \quad S$
| सूची $I$ | सूची $II$ |
| $P.$ $\leq 2$ घात वाले गैर-ऋणात्मक पूर्णांक गुणांकों वाले बहुपदों $f(x)$ की संख्या,जो $f(0)=0$ और $\int_0^1 f(x) dx=1$ को संतुष्ट करते हैं,है | $1.$ $8$ |
| $Q.$ अंतराल $(-\sqrt{13}, \sqrt{13})$ में उन बिंदुओं की संख्या जहाँ $f(x)=\sin(x^2)+\cos(x^2)$ अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है,है | $2.$ $2$ |
| $R.$ $\int_{-2}^2 \frac{3x^2}{1+e^x} dx$ बराबर है | $3.$ $4$ |
| $S.$ $\frac{\int_{-1/2}^{1/2} \cos 2x \log(\frac{1+x}{1-x}) dx}{\int_0^{1/2} \cos 2x \log(\frac{1+x}{1-x}) dx}$ बराबर है | $4.$ $0$ |
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