मान लीजिए कि f(x) अंतराल (0, infty) पर एक सतत | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $\lim _{t \rightarrow x} \frac{t^{10} f(x)-x^{10} f(t)}{t^9-x^9}=1$.$t$ के सापेक्ष $L$'$H$ôpital नियम लागू करने पर:$\lim _{t \right

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$\frac{9}{11 x}+\frac{13}{11} x^{10}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है कि $\lim _{t \rightarrow x} \frac{t^{10} f(x)-x^{10} f(t)}{t^9-x^9}=1$.$t$ के सापेक्ष $L$'$H$ôpital नियम लागू करने पर:$\lim _{t \rightarrow x} \frac{10 t^9 f(x)-x^{10} f^{\prime}(t)}{9 t^8}=1$$\Rightarrow \frac{10 x^9 f(x)-x^{10} f^{\prime}(x)}{9 x^8}=1$$\Rightarrow 10 x f(x)-x^2 f^{\prime}(x)=9$$\Rightarrow f^{\prime}(x)-\frac{10}{x} f(x)=-\frac{9}{x^2}$.यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{10}{x}$ और $Q(x) = -\frac{9}{x^2}$ है।समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{-10 \ln x} = x^{-10} = \frac{1}{x^{10}}$.हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है।$\frac{f(x)}{x^{10}} = \int -\frac{9}{x^2} \cdot \frac{1}{x^{10}} dx = -9 \int x^{-12} dx = -9 \left( \frac{x^{-11}}{-11} \right) + C = \frac{9}{11 x^{11}} + C$.चूंकि $f(1)=2$,हमारे पास $\frac{2}{1} = \frac{9}{11} + C \Rightarrow C = 2 - \frac{9}{11} = \frac{13}{11}$ है।अतः,$f(x) = x^{10} \left( \frac{9}{11 x^{11}} + \frac{13}{11} \right) = \frac{9}{11 x} + \frac{13}{11} x^{10}$.इसलिए,विकल्प $(B)$ सही है।

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