रेखाओं L_1 और L_2 पर विचार करें जो L_1: x sqr | vedclass

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Question

(A) मान लें $P(x, y)$ है। $L_1$ और $L_2$ से दूरियाँ $d_1 = \frac{|x\sqrt{2} + y - 1|}{\sqrt{3}}$ और $d_2 = \frac{|x\sqrt{2} - y + 1|}{\sqrt{3}}$ हैं।द

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(A) मान लें $P(x, y)$ है। $L_1$ और $L_2$ से दूरियाँ $d_1 = \frac{|x\sqrt{2} + y - 1|}{\sqrt{3}}$ और $d_2 = \frac{|x\sqrt{2} - y + 1|}{\sqrt{3}}$ हैं।दिया गया है $d_1 d_2 = \lambda^2$,इसलिए $\frac{|(x\sqrt{2})^2 - (y-1)^2|}{3} = \lambda^2$,जो $|2x^2 - (y-1)^2| = 3\lambda^2$ देता है।रेखा $y = 2x + 1$ के लिए,$y-1 = 2x$ को बिंदुपथ के समीकरण में प्रतिस्थापित करें: $|2x^2 - (2x)^2| = 3\lambda^2 \Rightarrow |-2x^2| = 3\lambda^2 \Rightarrow x^2 = \frac{3\lambda^2}{2}$।बिंदुओं $R$ और $S$ के $x$-निर्देशांक $x_1 = \sqrt{\frac{3\lambda^2}{2}}$ और $x_2 = -\sqrt{\frac{3\lambda^2}{2}}$ हैं।दूरी $RS = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (2(x_1-x_2))^2} = \sqrt{5}|x_1-x_2| = \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{\frac{3\lambda^2}{2}} = \sqrt{30\lambda^2}$।दिया गया है $\sqrt{30\lambda^2} = \sqrt{270} \Rightarrow 30\lambda^2 = 270 \Rightarrow \lambda^2 = 9$।$RS$ का मध्यबिंदु $T$ $(0, 1)$ है।$RS$ की ढाल $2$ है,इसलिए लंब समद्विभाजक की ढाल $-\frac{1}{2}$ है।लंब समद्विभाजक का समीकरण $y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 0) \Rightarrow x + 2y = 2 \Rightarrow x = 2 - 2y$ है।$x = 2(1-y)$ को $|2x^2 - (y-1)^2| = 3\lambda^2 = 27$ में प्रतिस्थापित करें:$|2(4(1-y)^2) - (y-1)^2| = 27 \Rightarrow |8(y-1)^2 - (y-1)^2| = 27 \Rightarrow 7(y-1)^2 = 27 \Rightarrow (y-1)^2 = \frac{27}{7}$।दूरी $D = (x_1^{\prime}-x_2^{\prime})^2 + (y_1^{\prime}-y_2^{\prime})^2 = 5(y_1^{\prime}-y_2^{\prime})^2 = 5(4(y-1)^2) = 20 \cdot \frac{27}{7} = \frac{540}{7} \approx 77.14$।

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