किसी भी वास्तविक संख्या x के लिए,[x] उस सबसे | vedclass

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Question

(D) माना $f(x) = \frac{10x}{x+1}$.तब $f'(x) = \frac{10(x+1) - 10x}{(x+1)^2} = \frac{10}{(x+1)^2} > 0$ सभी $x \in [0, 10]$ के लिए।अतः,$f(x)$ एक वर्धमान

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$182$

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(D) माना $f(x) = \frac{10x}{x+1}$.तब $f'(x) = \frac{10(x+1) - 10x}{(x+1)^2} = \frac{10}{(x+1)^2} > 0$ सभी $x \in [0, 10]$ के लिए।अतः,$f(x)$ एक वर्धमान फलन है।हमें $x$ के वे मान ज्ञात करने हैं जहाँ $\sqrt{f(x)} = k$ पूर्णांक $k$ के लिए हो।$\sqrt{\frac{10x}{x+1}} = k \implies \frac{10x}{x+1} = k^2 \implies 10x = k^2x + k^2 \implies x(10 - k^2) = k^2 \implies x = \frac{k^2}{10 - k^2}$.$k=1$ के लिए,$x = \frac{1}{9}$. $k=2$ के लिए,$x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. $k=3$ के लिए,$x = \frac{9}{1} = 9$.चूँकि $f(x)$ वर्धमान है,$\left[ \sqrt{f(x)} \right] = k$ अंतराल $x \in [x_k, x_{k+1})$ के लिए होगा।$I = \int_0^{1/9} 0 dx + \int_{1/9}^{2/3} 1 dx + \int_{2/3}^{9} 2 dx + \int_{9}^{10} 3 dx$.$I = 0 + (\frac{2}{3} - \frac{1}{9}) + 2(9 - \frac{2}{3}) + 3(10 - 9)$.$I = \frac{5}{9} + 2(\frac{25}{3}) + 3 = \frac{5}{9} + \frac{50}{3} + 3 = \frac{5 + 150 + 27}{9} = \frac{182}{9}$.अतः,$9I = 182$.

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