PhysicsQ1–30 of 30 questions
Page 1 of 1 · Gujarati
1
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2021
વર્નિયર કેલિપર્સના મુખ્ય સ્કેલ પરનો સૌથી નાનો વિભાગ $0.1 \text{ cm}$ છે. વર્નિયર સ્કેલના દસ વિભાગો મુખ્ય સ્કેલના નવ વિભાગોને અનુરૂપ છે. નીચે ડાબી બાજુની આકૃતિ તેના બે જડબાં વચ્ચે કોઈ જગ્યા વગર આ કેલિપર્સનું રીડિંગ દર્શાવે છે. જમણી બાજુની આકૃતિ જડબાં વચ્ચે રાખેલા નક્કર ગોળા સાથેનું રીડિંગ દર્શાવે છે. ગોળાનો સાચો વ્યાસ કેટલો છે ($\text{ cm}$ માં)?
A
$3.07$
B
$3.11$
C
$3.15$
D
$3.17$
Solution
(C) આપેલ છે: $10 \text{ VSD} = 9 \text{ MSD}$.
અહીં, $\text{MSD}$ એ મુખ્ય સ્કેલ વિભાગ છે અને $\text{VSD}$ એ વર્નિયર સ્કેલ વિભાગ છે.
$1 \text{ VSD} = \frac{9}{10} \text{ MSD} = 0.9 \text{ MSD}$.
લીસ્ટ કાઉન્ટ $(LC)$ = $1 \text{ MSD} - 1 \text{ VSD} = (1 - 0.9) \text{ MSD} = 0.1 \text{ MSD}$.
કારણ કે $1 \text{ MSD} = 0.1 \text{ cm}$, $\text{LC} = 0.1 \times 0.1 \text{ cm} = 0.01 \text{ cm}$.
ડાબી આકૃતિ પરથી (શૂન્ય ભૂલ): વર્નિયર સ્કેલનો $6^{\text{મો}}$ વિભાગ મુખ્ય સ્કેલના વિભાગ સાથે સુસંગત છે. વર્નિયર સ્કેલનું શૂન્ય મુખ્ય સ્કેલના શૂન્યની ડાબી બાજુએ હોવાથી, શૂન્ય ભૂલ ઋણ છે.
શૂન્ય ભૂલ = $-(10 - 6) \times \text{LC} = -4 \times 0.01 \text{ cm} = -0.04 \text{ cm}$.
જમણી આકૃતિ પરથી (અવલોકિત રીડિંગ): મુખ્ય સ્કેલનું રીડિંગ $3.1 \text{ cm}$ છે. વર્નિયર સ્કેલનો $1^{\text{લો}}$ વિભાગ મુખ્ય સ્કેલના વિભાગ સાથે સુસંગત છે.
અવલોકિત રીડિંગ = $\text{મુખ્ય સ્કેલ રીડિંગ} + (\text{વર્નિયર સુસંગતતા} \times \text{LC}) = 3.1 \text{ cm} + (1 \times 0.01 \text{ cm}) = 3.11 \text{ cm}$.
સાચો વ્યાસ = $\text{અવલોકિત રીડિંગ} - \text{શૂન્ય ભૂલ} = 3.11 \text{ cm} - (-0.04 \text{ cm}) = 3.15 \text{ cm}$.
અહીં, $\text{MSD}$ એ મુખ્ય સ્કેલ વિભાગ છે અને $\text{VSD}$ એ વર્નિયર સ્કેલ વિભાગ છે.
$1 \text{ VSD} = \frac{9}{10} \text{ MSD} = 0.9 \text{ MSD}$.
લીસ્ટ કાઉન્ટ $(LC)$ = $1 \text{ MSD} - 1 \text{ VSD} = (1 - 0.9) \text{ MSD} = 0.1 \text{ MSD}$.
કારણ કે $1 \text{ MSD} = 0.1 \text{ cm}$, $\text{LC} = 0.1 \times 0.1 \text{ cm} = 0.01 \text{ cm}$.
ડાબી આકૃતિ પરથી (શૂન્ય ભૂલ): વર્નિયર સ્કેલનો $6^{\text{મો}}$ વિભાગ મુખ્ય સ્કેલના વિભાગ સાથે સુસંગત છે. વર્નિયર સ્કેલનું શૂન્ય મુખ્ય સ્કેલના શૂન્યની ડાબી બાજુએ હોવાથી, શૂન્ય ભૂલ ઋણ છે.
શૂન્ય ભૂલ = $-(10 - 6) \times \text{LC} = -4 \times 0.01 \text{ cm} = -0.04 \text{ cm}$.
જમણી આકૃતિ પરથી (અવલોકિત રીડિંગ): મુખ્ય સ્કેલનું રીડિંગ $3.1 \text{ cm}$ છે. વર્નિયર સ્કેલનો $1^{\text{લો}}$ વિભાગ મુખ્ય સ્કેલના વિભાગ સાથે સુસંગત છે.
અવલોકિત રીડિંગ = $\text{મુખ્ય સ્કેલ રીડિંગ} + (\text{વર્નિયર સુસંગતતા} \times \text{LC}) = 3.1 \text{ cm} + (1 \times 0.01 \text{ cm}) = 3.11 \text{ cm}$.
સાચો વ્યાસ = $\text{અવલોકિત રીડિંગ} - \text{શૂન્ય ભૂલ} = 3.11 \text{ cm} - (-0.04 \text{ cm}) = 3.15 \text{ cm}$.
0 likesView Solution
2
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2021
એક આદર્શ વાયુ નીચે આપેલ $P-V$ આલેખમાં દર્શાવ્યા મુજબ ચાર તબક્કાનું ચક્ર પૂર્ણ કરે છે. આ ચક્ર દરમિયાન,કયા તબક્કે વાયુ દ્વારા ઉષ્માનું શોષણ થાય છે?
A
તબક્કા $1$ અને $2$
B
તબક્કા $1$ અને $3$
C
તબક્કા $1$ અને $4$
D
તબક્કા $2$ અને $4$
Solution
(C) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$.
તબક્કો $1$: સમદાબી વિસ્તરણ ($P = \text{અચળ}$,$V$ વધે છે). $V$ વધતું હોવાથી,$W > 0$. અચળ $P$ પર $T \propto V$ હોવાથી,$T$ વધે છે,તેથી $\Delta U > 0$. આમ,$\Delta Q = \Delta U + W > 0$ (ઉષ્માનું શોષણ થાય છે).
તબક્કો $2$: સમકદ સંકોચન ($V = \text{અચળ}$,$P$ ઘટે છે). $V$ અચળ હોવાથી,$W = 0$. અચળ $V$ પર $P \propto T$ હોવાથી,$P$ ઘટતા $T$ ઘટે છે,તેથી $\Delta U < 0$. આમ,$\Delta Q = \Delta U < 0$ (ઉષ્મા મુક્ત થાય છે).
તબક્કો $3$: સમદાબી સંકોચન ($P = \text{અચળ}$,$V$ ઘટે છે). $V$ ઘટતું હોવાથી,$W < 0$. અચળ $P$ પર $T \propto V$ હોવાથી,$T$ ઘટે છે,તેથી $\Delta U < 0$. આમ,$\Delta Q = \Delta U + W < 0$ (ઉષ્મા મુક્ત થાય છે).
તબક્કો $4$: સમકદ વિસ્તરણ ($V = \text{અચળ}$,$P$ વધે છે). $V$ અચળ હોવાથી,$W = 0$. અચળ $V$ પર $P \propto T$ હોવાથી,$P$ વધતા $T$ વધે છે,તેથી $\Delta U > 0$. આમ,$\Delta Q = \Delta U > 0$ (ઉષ્માનું શોષણ થાય છે).
તેથી,તબક્કા $1$ અને $4$ માં ઉષ્માનું શોષણ થાય છે.
તબક્કો $1$: સમદાબી વિસ્તરણ ($P = \text{અચળ}$,$V$ વધે છે). $V$ વધતું હોવાથી,$W > 0$. અચળ $P$ પર $T \propto V$ હોવાથી,$T$ વધે છે,તેથી $\Delta U > 0$. આમ,$\Delta Q = \Delta U + W > 0$ (ઉષ્માનું શોષણ થાય છે).
તબક્કો $2$: સમકદ સંકોચન ($V = \text{અચળ}$,$P$ ઘટે છે). $V$ અચળ હોવાથી,$W = 0$. અચળ $V$ પર $P \propto T$ હોવાથી,$P$ ઘટતા $T$ ઘટે છે,તેથી $\Delta U < 0$. આમ,$\Delta Q = \Delta U < 0$ (ઉષ્મા મુક્ત થાય છે).
તબક્કો $3$: સમદાબી સંકોચન ($P = \text{અચળ}$,$V$ ઘટે છે). $V$ ઘટતું હોવાથી,$W < 0$. અચળ $P$ પર $T \propto V$ હોવાથી,$T$ ઘટે છે,તેથી $\Delta U < 0$. આમ,$\Delta Q = \Delta U + W < 0$ (ઉષ્મા મુક્ત થાય છે).
તબક્કો $4$: સમકદ વિસ્તરણ ($V = \text{અચળ}$,$P$ વધે છે). $V$ અચળ હોવાથી,$W = 0$. અચળ $V$ પર $P \propto T$ હોવાથી,$P$ વધતા $T$ વધે છે,તેથી $\Delta U > 0$. આમ,$\Delta Q = \Delta U > 0$ (ઉષ્માનું શોષણ થાય છે).
તેથી,તબક્કા $1$ અને $4$ માં ઉષ્માનું શોષણ થાય છે.
0 likesView Solution
3
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2021
એક પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થને જમીન પરના બિંદુ $O$ થી શિરોલંબ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે અને $5 \sqrt{2} \text{ m/s}$ ની ઝડપે ફેંકવામાં આવે છે. તેના ગતિપથના મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુએ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત થાય છે. એક ભાગ વિભાજનના $0.5 \text{ s}$ પછી સીધો નીચે જમીન પર પડે છે. બીજો ભાગ,વિભાજનના $t$ સેકન્ડ પછી,બિંદુ $O$ થી $x$ મીટરના અંતરે જમીન પર પડે છે. ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 10 \text{ m/s}^2$ છે.
$(1)$ $t$ નું મૂલ્ય. . . . . .
$(2)$ $x$ નું મૂલ્ય. . . . .
$(1)$ $t$ નું મૂલ્ય. . . . . .
$(2)$ $x$ નું મૂલ્ય. . . . .
A
$0.5, 7.5$
B
$0.5, 7.6$
C
$0.5, 7.7$
D
$0.5, 7.8$
Solution
(A) પ્રારંભિક વેગ $u = 5\sqrt{2} \text{ m/s}$,શિરોલંબ સાથે $45^{\circ}$ એટલે સમક્ષિતિજ સાથે પણ $45^{\circ}$ થાય. તેથી,$u_x = u \cos 45^{\circ} = 5\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 5 \text{ m/s}$ અને $u_y = u \sin 45^{\circ} = 5\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 5 \text{ m/s}$.
અવધિ $R = \frac{2 u_x u_y}{g} = \frac{2 \times 5 \times 5}{10} = 5 \text{ m}$.
ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2 u_y}{g} = \frac{2 \times 5}{10} = 1 \text{ s}$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ મહત્તમ ઊંચાઈએ વિભાજિત થાય છે,જે $T/2 = 0.5 \text{ s}$ સમયે અને $R/2 = 2.5 \text{ m}$ ના સમક્ષિતિજ અંતરે થાય છે.
એક ભાગ શિરોલંબ નીચે પડે છે,એટલે કે તેનો સમક્ષિતિજ વેગ $0$ થાય છે. તેને જમીન પર પહોંચતા $0.5 \text{ s}$ લાગે છે,તેથી $t = 0.5 \text{ s}$.
સમક્ષિતિજ દિશામાં વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $M u_x = (M/2) v_1 + (M/2) v_2$. પ્રથમ ભાગ શિરોલંબ નીચે પડતો હોવાથી,$v_1 = 0$. તેથી,$M(5) = (M/2) v_2 \Rightarrow v_2 = 10 \text{ m/s}$.
બીજો ભાગ $R/2 = 2.5 \text{ m}$ ના સ્થાનથી $t = 0.5 \text{ s}$ માટે $10 \text{ m/s}$ ના વેગથી સમક્ષિતિજ ગતિ કરે છે.
વિભાજન પછી બીજા ભાગ દ્વારા કાપેલું સમક્ષિતિજ અંતર $= v_2 \times t = 10 \times 0.5 = 5 \text{ m}$.
$O$ થી કુલ અંતર $x = (R/2) + 5 = 2.5 + 5 = 7.5 \text{ m}$.
તેથી,$t = 0.5 \text{ s}$ અને $x = 7.5 \text{ m}$.
અવધિ $R = \frac{2 u_x u_y}{g} = \frac{2 \times 5 \times 5}{10} = 5 \text{ m}$.
ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2 u_y}{g} = \frac{2 \times 5}{10} = 1 \text{ s}$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ મહત્તમ ઊંચાઈએ વિભાજિત થાય છે,જે $T/2 = 0.5 \text{ s}$ સમયે અને $R/2 = 2.5 \text{ m}$ ના સમક્ષિતિજ અંતરે થાય છે.
એક ભાગ શિરોલંબ નીચે પડે છે,એટલે કે તેનો સમક્ષિતિજ વેગ $0$ થાય છે. તેને જમીન પર પહોંચતા $0.5 \text{ s}$ લાગે છે,તેથી $t = 0.5 \text{ s}$.
સમક્ષિતિજ દિશામાં વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $M u_x = (M/2) v_1 + (M/2) v_2$. પ્રથમ ભાગ શિરોલંબ નીચે પડતો હોવાથી,$v_1 = 0$. તેથી,$M(5) = (M/2) v_2 \Rightarrow v_2 = 10 \text{ m/s}$.
બીજો ભાગ $R/2 = 2.5 \text{ m}$ ના સ્થાનથી $t = 0.5 \text{ s}$ માટે $10 \text{ m/s}$ ના વેગથી સમક્ષિતિજ ગતિ કરે છે.
વિભાજન પછી બીજા ભાગ દ્વારા કાપેલું સમક્ષિતિજ અંતર $= v_2 \times t = 10 \times 0.5 = 5 \text{ m}$.
$O$ થી કુલ અંતર $x = (R/2) + 5 = 2.5 + 5 = 7.5 \text{ m}$.
તેથી,$t = 0.5 \text{ s}$ અને $x = 7.5 \text{ m}$.
0 likesView Solution
4
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2021
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $m$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નળાકાર પદાર્થના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર તેની અક્ષને લંબરૂપે એક સમક્ષિતિજ બળ $F$ લગાડવામાં આવે છે. પદાર્થ અને જમીન વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક $\mu$ છે. પદાર્થના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $a$ છે. ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ છે. જો પદાર્થ સરક્યા વિના ગબડતો હોય,તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ સમાન $F$ માટે,$a$ નું મૂલ્ય નળાકાર નક્કર છે કે પોલો તેના પર આધાર રાખતું નથી
$(B)$ નક્કર નળાકાર માટે,$a$ નું મહત્તમ શક્ય મૂલ્ય $2 \mu g$ છે
$(C)$ જમીન દ્વારા પદાર્થ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ હંમેશા $\mu m g$ હોય છે
$(D)$ પાતળી દીવાલવાળા પોલા નળાકાર માટે,$a = \frac{F}{2m}$
$(A)$ સમાન $F$ માટે,$a$ નું મૂલ્ય નળાકાર નક્કર છે કે પોલો તેના પર આધાર રાખતું નથી
$(B)$ નક્કર નળાકાર માટે,$a$ નું મહત્તમ શક્ય મૂલ્ય $2 \mu g$ છે
$(C)$ જમીન દ્વારા પદાર્થ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ હંમેશા $\mu m g$ હોય છે
$(D)$ પાતળી દીવાલવાળા પોલા નળાકાર માટે,$a = \frac{F}{2m}$
A
$A, B$
B
$A, C$
C
$B, C$
D
$B, D$
Solution
(D) ધારો કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $a_c$ છે અને ઘર્ષણ બળ $f$ છે.
સ્થાનાંતર માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ: $F - f = ma_c$ $(1)$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ટોર્કનું સમીકરણ: $fR = I_c \alpha$ $(2)$
સરક્યા વિના ગબડવા માટે: $a_c = \alpha R$,તેથી $\alpha = \frac{a_c}{R}$.
$(2)$ માં $\alpha$ ની કિંમત મૂકતા: $fR = I_c \frac{a_c}{R} \implies f = \frac{I_c a_c}{R^2}$.
$(1)$ માં $f$ ની કિંમત મૂકતા: $F - \frac{I_c a_c}{R^2} = ma_c \implies a_c = \frac{F}{m + \frac{I_c}{R^2}}$.
$(A)$ ખોટું: $a_c$ એ $I_c$ પર આધાર રાખે છે,જે નક્કર $(I_c = \frac{1}{2}mR^2)$ અને પોલા $(I_c = mR^2)$ નળાકાર માટે અલગ હોય છે.
$(D)$ સાચું: પાતળી દીવાલવાળા પોલા નળાકાર માટે,$I_c = mR^2$. તેથી,$a_c = \frac{F}{m + \frac{mR^2}{R^2}} = \frac{F}{2m}$.
$(C)$ ખોટું: ઘર્ષણ બળ $f = \frac{I_c a_c}{R^2} = \frac{I_c F}{R^2(m + I_c/R^2)}$,જે હંમેશા $\mu mg$ હોવું જરૂરી નથી.
$(B)$ સાચું: સરક્યા વિના ગબડવા માટે,$f \leq \mu mg$. કારણ કે $f = \frac{I_c a_c}{R^2}$,તેથી $\frac{I_c a_c}{R^2} \leq \mu mg \implies a_c \leq \frac{\mu mgR^2}{I_c}$. નક્કર નળાકાર માટે,$I_c = \frac{1}{2}mR^2$,તેથી $a_c \leq \frac{\mu mgR^2}{0.5mR^2} = 2\mu g$.
સ્થાનાંતર માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ: $F - f = ma_c$ $(1)$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ટોર્કનું સમીકરણ: $fR = I_c \alpha$ $(2)$
સરક્યા વિના ગબડવા માટે: $a_c = \alpha R$,તેથી $\alpha = \frac{a_c}{R}$.
$(2)$ માં $\alpha$ ની કિંમત મૂકતા: $fR = I_c \frac{a_c}{R} \implies f = \frac{I_c a_c}{R^2}$.
$(1)$ માં $f$ ની કિંમત મૂકતા: $F - \frac{I_c a_c}{R^2} = ma_c \implies a_c = \frac{F}{m + \frac{I_c}{R^2}}$.
$(A)$ ખોટું: $a_c$ એ $I_c$ પર આધાર રાખે છે,જે નક્કર $(I_c = \frac{1}{2}mR^2)$ અને પોલા $(I_c = mR^2)$ નળાકાર માટે અલગ હોય છે.
$(D)$ સાચું: પાતળી દીવાલવાળા પોલા નળાકાર માટે,$I_c = mR^2$. તેથી,$a_c = \frac{F}{m + \frac{mR^2}{R^2}} = \frac{F}{2m}$.
$(C)$ ખોટું: ઘર્ષણ બળ $f = \frac{I_c a_c}{R^2} = \frac{I_c F}{R^2(m + I_c/R^2)}$,જે હંમેશા $\mu mg$ હોવું જરૂરી નથી.
$(B)$ સાચું: સરક્યા વિના ગબડવા માટે,$f \leq \mu mg$. કારણ કે $f = \frac{I_c a_c}{R^2}$,તેથી $\frac{I_c a_c}{R^2} \leq \mu mg \implies a_c \leq \frac{\mu mgR^2}{I_c}$. નક્કર નળાકાર માટે,$I_c = \frac{1}{2}mR^2$,તેથી $a_c \leq \frac{\mu mgR^2}{0.5mR^2} = 2\mu g$.
0 likesView Solution
5
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2021
$M=0.2 \ kg$ દળનો એક કણ શરૂઆતમાં $xy$-સમતલમાં $(x=-l, y=-h)$ બિંદુ પર સ્થિર છે,જ્યાં $l=10 \ m$ અને $h=1 \ m$ છે. કણને $t=0$ સમયે ધન $x$-દિશામાં $a=10 \ m/s^2$ ના અચળ પ્રવેગથી પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે. ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે તેનું કોણીય વેગમાન અને ટોર્ક $SI$ એકમોમાં અનુક્રમે $\vec{L}$ અને $\vec{\tau}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. $\hat{i}, \hat{j}$ અને $\hat{k}$ એ અનુક્રમે ધન $x, y$ અને $z$-દિશામાં એકમ સદિશો છે. જો $\hat{k}=\hat{i} \times \hat{j}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ કણ $t=2 \ s$ સમયે $(x=l, y=-h)$ બિંદુ પર પહોંચે છે.
$(B)$ જ્યારે કણ $(x=l, y=-h)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય ત્યારે $\vec{\tau}=2 \hat{k}$.
$(C)$ જ્યારે કણ $(x=l, y=-h)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય ત્યારે $\vec{L}=4 \hat{k}$.
$(D)$ જ્યારે કણ $(x=0, y=-h)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય ત્યારે $\vec{\tau}=\hat{k}$.
$(A)$ કણ $t=2 \ s$ સમયે $(x=l, y=-h)$ બિંદુ પર પહોંચે છે.
$(B)$ જ્યારે કણ $(x=l, y=-h)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય ત્યારે $\vec{\tau}=2 \hat{k}$.
$(C)$ જ્યારે કણ $(x=l, y=-h)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય ત્યારે $\vec{L}=4 \hat{k}$.
$(D)$ જ્યારે કણ $(x=0, y=-h)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય ત્યારે $\vec{\tau}=\hat{k}$.
A
$A, B, D$
B
$A, B, C$
C
$A, B$
D
$A, D$
Solution
(B) કણનું પ્રારંભિક સ્થાન $P_0 = (-10, -1)$ છે.
પ્રવેગ $\vec{a} = 10 \hat{i} \ m/s^2$.
$(A)$ $(10, -1)$ બિંદુ સુધી પહોંચવા માટે જરૂરી સ્થાનાંતર $\Delta x = 10 - (-10) = 20 \ m$ છે.
$s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u=0$:
$20 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2 \Rightarrow t^2 = 4 \Rightarrow t = 2 \ s$. વિધાન $(A)$ સાચું છે.
$(B)$ $(10, -1)$ બિંદુ પર,સ્થાન સદિશ $\vec{r} = 10 \hat{i} - \hat{j}$.
બળ $\vec{F} = M\vec{a} = 0.2 \times 10 \hat{i} = 2 \hat{i} \ N$.
ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = (10 \hat{i} - \hat{j}) \times (2 \hat{i}) = -2(\hat{j} \times \hat{i}) = 2 \hat{k} \ N \cdot m$. વિધાન $(B)$ સાચું છે.
$(C)$ $t=2 \ s$ સમયે વેગ $v = at = 10 \times 2 = 20 \ m/s$ એ $\hat{i}$ દિશામાં છે.
કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times M\vec{v} = (10 \hat{i} - \hat{j}) \times (0.2 \times 20 \hat{i}) = (10 \hat{i} - \hat{j}) \times (4 \hat{i}) = -4(\hat{j} \times \hat{i}) = 4 \hat{k} \ kg \cdot m^2/s$. વિધાન $(C)$ સાચું છે.
$(D)$ $(0, -1)$ બિંદુ પર,સ્થાન સદિશ $\vec{r} = -\hat{j}$.
ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = (-\hat{j}) \times (2 \hat{i}) = -2(\hat{j} \times \hat{i}) = 2 \hat{k} \ N \cdot m$. વિધાન $(D)$ ખોટું છે.
પ્રવેગ $\vec{a} = 10 \hat{i} \ m/s^2$.
$(A)$ $(10, -1)$ બિંદુ સુધી પહોંચવા માટે જરૂરી સ્થાનાંતર $\Delta x = 10 - (-10) = 20 \ m$ છે.
$s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u=0$:
$20 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2 \Rightarrow t^2 = 4 \Rightarrow t = 2 \ s$. વિધાન $(A)$ સાચું છે.
$(B)$ $(10, -1)$ બિંદુ પર,સ્થાન સદિશ $\vec{r} = 10 \hat{i} - \hat{j}$.
બળ $\vec{F} = M\vec{a} = 0.2 \times 10 \hat{i} = 2 \hat{i} \ N$.
ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = (10 \hat{i} - \hat{j}) \times (2 \hat{i}) = -2(\hat{j} \times \hat{i}) = 2 \hat{k} \ N \cdot m$. વિધાન $(B)$ સાચું છે.
$(C)$ $t=2 \ s$ સમયે વેગ $v = at = 10 \times 2 = 20 \ m/s$ એ $\hat{i}$ દિશામાં છે.
કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times M\vec{v} = (10 \hat{i} - \hat{j}) \times (0.2 \times 20 \hat{i}) = (10 \hat{i} - \hat{j}) \times (4 \hat{i}) = -4(\hat{j} \times \hat{i}) = 4 \hat{k} \ kg \cdot m^2/s$. વિધાન $(C)$ સાચું છે.
$(D)$ $(0, -1)$ બિંદુ પર,સ્થાન સદિશ $\vec{r} = -\hat{j}$.
ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = (-\hat{j}) \times (2 \hat{i}) = -2(\hat{j} \times \hat{i}) = 2 \hat{k} \ N \cdot m$. વિધાન $(D)$ ખોટું છે.
0 likesView Solution
6
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2021
એક નળાકાર નળી,જેનો આધાર આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે,તે પાણીથી ભરેલી છે. તે $\theta=45^{\circ}$ ખૂણાવાળા સ્થિર ઢળતા સમતલ પર $a$ જેટલા અચળ પ્રવેગ સાથે નીચે ગતિ કરે છે. $P_1$ અને $P_2$ એ નળીના આધાર પર આવેલા અનુક્રમે બિંદુ $1$ અને $2$ પરના દબાણ છે. ધારો કે $\beta=(P_1-P_2) / (\rho g d)$,જ્યાં $\rho$ એ પાણીની ઘનતા છે,$d$ એ નળીનો આંતરિક વ્યાસ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે. નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ જ્યારે $a=g / \sqrt{2}$ હોય ત્યારે $\beta=0$
$(B)$ જ્યારે $a=g / \sqrt{2}$ હોય ત્યારે $\beta>0$
$(C)$ જ્યારે $a=g / 2$ હોય ત્યારે $\beta=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$
$(D)$ જ્યારે $a=g / 2$ હોય ત્યારે $\beta=\frac{1}{\sqrt{2}}$
$(A)$ જ્યારે $a=g / \sqrt{2}$ હોય ત્યારે $\beta=0$
$(B)$ જ્યારે $a=g / \sqrt{2}$ હોય ત્યારે $\beta>0$
$(C)$ જ્યારે $a=g / 2$ હોય ત્યારે $\beta=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$
$(D)$ જ્યારે $a=g / 2$ હોય ત્યારે $\beta=\frac{1}{\sqrt{2}}$
A
$A, C$
B
$A, B$
C
$A, D$
D
$A, B, C$
Solution
(A) નળીના ફ્રેમમાં,અસરકારક પ્રવેગ એ ગુરુત્વાકર્ષણ $\vec{g}$ અને સ્યુડો-પ્રવેગ $-\vec{a}$ નો સદિશ સરવાળો છે.
અસરકારક પ્રવેગ $\vec{g}_{eff} = \vec{g} - \vec{a}$.
નળીના આડા અને ઊભા અક્ષો પર ઘટકો લેતા:
$g_{eff, x} = a \cos \theta = a / \sqrt{2}$ (બિંદુ $2$ તરફ નિર્દેશિત આડો ઘટક)
$g_{eff, y} = g - a \sin \theta = g - a / \sqrt{2}$ (નીચેની તરફ નિર્દેશિત ઊભો ઘટક)
આધાર પર બિંદુ $1$ અને $2$ વચ્ચેનો દબાણ તફાવત $\Delta P = P_1 - P_2 = \rho \cdot g_{eff, x} \cdot d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$P_1 - P_2 = \rho (a / \sqrt{2}) d$.
તેથી,$\beta = (P_1 - P_2) / (\rho g d) = a / (g \sqrt{2})$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.
અસરકારક પ્રવેગ $\vec{g}_{eff} = \vec{g} - \vec{a}$.
નળીના આડા અને ઊભા અક્ષો પર ઘટકો લેતા:
$g_{eff, x} = a \cos \theta = a / \sqrt{2}$ (બિંદુ $2$ તરફ નિર્દેશિત આડો ઘટક)
$g_{eff, y} = g - a \sin \theta = g - a / \sqrt{2}$ (નીચેની તરફ નિર્દેશિત ઊભો ઘટક)
આધાર પર બિંદુ $1$ અને $2$ વચ્ચેનો દબાણ તફાવત $\Delta P = P_1 - P_2 = \rho \cdot g_{eff, x} \cdot d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$P_1 - P_2 = \rho (a / \sqrt{2}) d$.
તેથી,$\beta = (P_1 - P_2) / (\rho g d) = a / (g \sqrt{2})$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.
0 likesView Solution
7
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2021
$M$ દળ અને $a$ લંબાઈનો એક પાતળો સળિયો બિંદુ $O$ માંથી પસાર થતી સ્થિર શિરોલંબ ધરીની આસપાસ સમક્ષિતિજ સમતલમાં મુક્તપણે ફરી શકે છે. $M$ દળ અને $a/4$ ત્રિજ્યાની એક પાતળી વર્તુળાકાર તકતી આ સળિયા પર એવી રીતે જડેલી છે કે તેનું કેન્દ્ર મુક્ત છેડાથી $a/4$ અંતરે છે,જેથી તે તેની શિરોલંબ ધરીની આસપાસ મુક્તપણે ફરી શકે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. ધારો કે સળિયો અને તકતી બંને સમાન ઘનતા ધરાવે છે અને ગતિ દરમિયાન તે સમક્ષિતિજ રહે છે. એક બહારનો સ્થિર અવલોકનકાર સળિયાને $\Omega$ કોણીય વેગ સાથે અને તકતીને તેની શિરોલંબ ધરીની આસપાસ $4\Omega$ કોણીય વેગ સાથે ફરતી જુએ છે. બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષમાં તંત્રનું કુલ કોણીય વેગમાન $\left(\frac{Ma^2\Omega}{48}\right) n$ છે. $n$ નું મૂલ્ય શોધો.
A
$30$
B
$35$
C
$49$
D
$50$
Solution
(C) બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષમાં તંત્રનું કુલ કોણીય વેગમાન $L$ એ સળિયાનું કોણીય વેગમાન અને તકતીના કોણીય વેગમાનનો સરવાળો છે.
$1$. $O$ ની આસપાસ ફરતા સળિયાનું કોણીય વેગમાન: $L_{\text{rod}} = I_{\text{rod}} \Omega = \left(\frac{Ma^2}{3}\right) \Omega$.
$2$. $O$ ની સાપેક્ષમાં તકતીનું કોણીય વેગમાન બે ભાગનું બનેલું છે: તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું કક્ષીય કોણીય વેગમાન અને તેની પોતાની ધરીની આસપાસનું સ્પિન કોણીય વેગમાન.
- $O$ થી તકતીના કેન્દ્રનું અંતર $r = a - a/4 = 3a/4$ છે.
- તકતીનું કક્ષીય કોણીય વેગમાન: $L_{\text{orb}} = M r^2 \Omega = M (3a/4)^2 \Omega = \frac{9}{16} Ma^2 \Omega$.
- તકતીનું સ્પિન કોણીય વેગમાન: $L_{\text{spin}} = I_{\text{disc}} \omega_{\text{spin}} = \left(\frac{M(a/4)^2}{2}\right) (4\Omega) = \left(\frac{Ma^2}{32}\right) (4\Omega) = \frac{1}{8} Ma^2 \Omega$.
$3$. કુલ કોણીય વેગમાન $L = L_{\text{rod}} + L_{\text{orb}} + L_{\text{spin}} = \left(\frac{1}{3} + \frac{9}{16} + \frac{1}{8}\right) Ma^2 \Omega$.
$4$. સામાન્ય છેદ $(48)$ શોધતા: $L = \left(\frac{16}{48} + \frac{27}{48} + \frac{6}{48}\right) Ma^2 \Omega = \frac{49}{48} Ma^2 \Omega$.
આને $\left(\frac{Ma^2\Omega}{48}\right) n$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 49$ મળે છે.
$1$. $O$ ની આસપાસ ફરતા સળિયાનું કોણીય વેગમાન: $L_{\text{rod}} = I_{\text{rod}} \Omega = \left(\frac{Ma^2}{3}\right) \Omega$.
$2$. $O$ ની સાપેક્ષમાં તકતીનું કોણીય વેગમાન બે ભાગનું બનેલું છે: તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું કક્ષીય કોણીય વેગમાન અને તેની પોતાની ધરીની આસપાસનું સ્પિન કોણીય વેગમાન.
- $O$ થી તકતીના કેન્દ્રનું અંતર $r = a - a/4 = 3a/4$ છે.
- તકતીનું કક્ષીય કોણીય વેગમાન: $L_{\text{orb}} = M r^2 \Omega = M (3a/4)^2 \Omega = \frac{9}{16} Ma^2 \Omega$.
- તકતીનું સ્પિન કોણીય વેગમાન: $L_{\text{spin}} = I_{\text{disc}} \omega_{\text{spin}} = \left(\frac{M(a/4)^2}{2}\right) (4\Omega) = \left(\frac{Ma^2}{32}\right) (4\Omega) = \frac{1}{8} Ma^2 \Omega$.
$3$. કુલ કોણીય વેગમાન $L = L_{\text{rod}} + L_{\text{orb}} + L_{\text{spin}} = \left(\frac{1}{3} + \frac{9}{16} + \frac{1}{8}\right) Ma^2 \Omega$.
$4$. સામાન્ય છેદ $(48)$ શોધતા: $L = \left(\frac{16}{48} + \frac{27}{48} + \frac{6}{48}\right) Ma^2 \Omega = \frac{49}{48} Ma^2 \Omega$.
આને $\left(\frac{Ma^2\Omega}{48}\right) n$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 49$ મળે છે.
0 likesView Solution
8
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2021
એક નાની વસ્તુને મોટા ખાલી ગોળાકાર પાત્રના કેન્દ્રમાં મૂકવામાં આવે છે. ધારો કે પાત્ર $0 \ K$ તાપમાને જાળવવામાં આવે છે. સમય $t = 0$ પર,વસ્તુનું તાપમાન $200 \ K$ છે. વસ્તુનું તાપમાન $t = t_1$ પર $100 \ K$ અને $t = t_2$ પર $50 \ K$ થાય છે. ધારો કે વસ્તુ અને પાત્ર આદર્શ કૃષ્ણ પદાર્થો છે. વસ્તુની ઉષ્મા ધારિતા તાપમાન પર આધારિત નથી. ગુણોત્તર $(t_2 / t_1)$ કેટલો છે?
A
$3$
B
$4$
C
$8$
D
$9$
Solution
(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,વસ્તુ દ્વારા ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $P = \sigma A T^4$ છે.
પાત્ર $0 \ K$ તાપમાને હોવાથી,ચોખ્ખો ઉષ્મા વ્યય $\sigma A T^4 = -ms \frac{dT}{dt}$ છે,જ્યાં $ms$ એ ઉષ્મા ધારિતા $C$ છે.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dT}{T^4} = -\frac{\sigma A}{C} dt = -k dt$.
$T_i$ થી $T_f$ સુધી સંકલન કરતા: $\int_{T_i}^{T_f} T^{-4} dT = -k \int_0^t dt$.
આનાથી મળે છે: $\left[ \frac{T^{-3}}{-3} \right]_{T_i}^{T_f} = -kt$,અથવા $\frac{1}{3} \left( \frac{1}{T_f^3} - \frac{1}{T_i^3} \right) = kt$.
$t_1$ માટે: $kt_1 = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{100^3} - \frac{1}{200^3} \right) = \frac{1}{3 \cdot 100^3} \left( 1 - \frac{1}{8} \right) = \frac{7}{24 \cdot 10^6}$.
$t_2$ માટે: $kt_2 = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{50^3} - \frac{1}{200^3} \right) = \frac{1}{3 \cdot 50^3} \left( 1 - \frac{1}{64} \right) = \frac{63}{24 \cdot 10^6}$.
તેથી,$\frac{t_2}{t_1} = \frac{63}{7} = 9$.
પાત્ર $0 \ K$ તાપમાને હોવાથી,ચોખ્ખો ઉષ્મા વ્યય $\sigma A T^4 = -ms \frac{dT}{dt}$ છે,જ્યાં $ms$ એ ઉષ્મા ધારિતા $C$ છે.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dT}{T^4} = -\frac{\sigma A}{C} dt = -k dt$.
$T_i$ થી $T_f$ સુધી સંકલન કરતા: $\int_{T_i}^{T_f} T^{-4} dT = -k \int_0^t dt$.
આનાથી મળે છે: $\left[ \frac{T^{-3}}{-3} \right]_{T_i}^{T_f} = -kt$,અથવા $\frac{1}{3} \left( \frac{1}{T_f^3} - \frac{1}{T_i^3} \right) = kt$.
$t_1$ માટે: $kt_1 = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{100^3} - \frac{1}{200^3} \right) = \frac{1}{3 \cdot 100^3} \left( 1 - \frac{1}{8} \right) = \frac{7}{24 \cdot 10^6}$.
$t_2$ માટે: $kt_2 = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{50^3} - \frac{1}{200^3} \right) = \frac{1}{3 \cdot 50^3} \left( 1 - \frac{1}{64} \right) = \frac{63}{24 \cdot 10^6}$.
તેથી,$\frac{t_2}{t_1} = \frac{63}{7} = 9$.
0 likesView Solution
9
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2021
$W$ વજન અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા એક સમક્ષિતિજ સમાન બીમનો એક છેડો $O$ બિંદુએ ઉભી દીવાલ પર મિજાગરાથી જોડાયેલ છે અને તેનો બીજો છેડો એક હલકા અખિંચાય તેવા દોરડા દ્વારા ટેકવેલ છે. દોરડાનો બીજો છેડો $O$ બિંદુએ મિજાગરાથી $L$ ઊંચાઈએ $Q$ બિંદુએ નિશ્ચિત કરેલ છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બીમના $P$ બિંદુએ $\alpha W$ વજનનો એક બ્લોક લટકાવેલ છે. દોરડું મહત્તમ $(2 \sqrt{2}) W$ જેટલું તણાવ સહન કરી શકે છે. નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન/વિધાનો સાચું/સાચા છે?
A
$A, B, D$
B
$A, B, C$
C
$A, B$
D
$A, D$
Solution
(A) ધારો કે દોરડું સમક્ષિતિજ બીમ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. ઊંચાઈ $OQ = L$ અને લંબાઈ $OP = L$ હોવાથી,$\tan \theta = \frac{L}{L} = 1$,તેથી $\theta = 45^{\circ}$.
મિજાગરા $O$ પર શિરોલંબ દિશામાં બળોનું સંતુલન:
$R_y + T \sin 45^{\circ} = W + \alpha W$
$R_y + \frac{T}{\sqrt{2}} = W(1 + \alpha) \quad . . . (i)$
મિજાગરા $O$ પર સમક્ષિતિજ દિશામાં બળોનું સંતુલન:
$R_x = T \cos 45^{\circ} = \frac{T}{\sqrt{2}} \quad . . . (ii)$
બીમ માટે $O$ બિંદુને અનુલક્ષીને ટોર્ક લેતા:
$W \left(\frac{L}{2}\right) + (\alpha W) L = (T \sin 45^{\circ}) L$
$\frac{W}{2} + \alpha W = \frac{T}{\sqrt{2}}$
$T = \sqrt{2} W \left(\frac{1}{2} + \alpha\right) \quad . . . (iii)$
$(ii)$ અને $(iii)$ પરથી:
$R_x = W \left(\frac{1}{2} + \alpha\right)$. જો $\alpha = 0.5$ હોય,તો $R_x = W(0.5 + 0.5) = W$. આમ,વિધાન $(B)$ સાચું છે.
$(iii)$ પરથી,જો $\alpha = 0.5$ હોય,તો $T = \sqrt{2} W (0.5 + 0.5) = \sqrt{2} W$. આમ,વિધાન $(C)$ ખોટું છે.
શિરોલંબ પ્રતિક્રિયા $R_y$ માટે,$(i)$ પરથી:
$R_y = W(1 + \alpha) - \frac{T}{\sqrt{2}} = W(1 + \alpha) - W(\frac{1}{2} + \alpha) = W(1 - 0.5) = 0.5 W$. $R_y$ એ $\alpha$ પર આધારિત ન હોવાથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
જો $T > T_{\max} = 2\sqrt{2} W$ હોય તો દોરડું તૂટી જાય છે:
$\sqrt{2} W (\frac{1}{2} + \alpha) > 2\sqrt{2} W$
$\frac{1}{2} + \alpha > 2 \implies \alpha > 1.5$. આમ,વિધાન $(D)$ સાચું છે.
મિજાગરા $O$ પર શિરોલંબ દિશામાં બળોનું સંતુલન:
$R_y + T \sin 45^{\circ} = W + \alpha W$
$R_y + \frac{T}{\sqrt{2}} = W(1 + \alpha) \quad . . . (i)$
મિજાગરા $O$ પર સમક્ષિતિજ દિશામાં બળોનું સંતુલન:
$R_x = T \cos 45^{\circ} = \frac{T}{\sqrt{2}} \quad . . . (ii)$
બીમ માટે $O$ બિંદુને અનુલક્ષીને ટોર્ક લેતા:
$W \left(\frac{L}{2}\right) + (\alpha W) L = (T \sin 45^{\circ}) L$
$\frac{W}{2} + \alpha W = \frac{T}{\sqrt{2}}$
$T = \sqrt{2} W \left(\frac{1}{2} + \alpha\right) \quad . . . (iii)$
$(ii)$ અને $(iii)$ પરથી:
$R_x = W \left(\frac{1}{2} + \alpha\right)$. જો $\alpha = 0.5$ હોય,તો $R_x = W(0.5 + 0.5) = W$. આમ,વિધાન $(B)$ સાચું છે.
$(iii)$ પરથી,જો $\alpha = 0.5$ હોય,તો $T = \sqrt{2} W (0.5 + 0.5) = \sqrt{2} W$. આમ,વિધાન $(C)$ ખોટું છે.
શિરોલંબ પ્રતિક્રિયા $R_y$ માટે,$(i)$ પરથી:
$R_y = W(1 + \alpha) - \frac{T}{\sqrt{2}} = W(1 + \alpha) - W(\frac{1}{2} + \alpha) = W(1 - 0.5) = 0.5 W$. $R_y$ એ $\alpha$ પર આધારિત ન હોવાથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
જો $T > T_{\max} = 2\sqrt{2} W$ હોય તો દોરડું તૂટી જાય છે:
$\sqrt{2} W (\frac{1}{2} + \alpha) > 2\sqrt{2} W$
$\frac{1}{2} + \alpha > 2 \implies \alpha > 1.5$. આમ,વિધાન $(D)$ સાચું છે.
0 likesView Solution
10
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2021
એક સ્ત્રોત,$L$ લંબાઈની સ્થિર પાઇપના ખુલ્લા છેડા તરફ $u$ ઝડપથી ગતિ કરે છે અને $f_s$ આવૃત્તિનો અવાજ ઉત્સર્જિત કરે છે. પાઇપનો દૂરનો છેડો બંધ છે. હવામાં અવાજની ઝડપ $v$ છે અને $f_0$ એ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ છે. $u$ અને $f_s$ ના નીચેનામાંથી કયા સંયોજન(ઓ) માટે,પાઇપ સુધી પહોંચતો અવાજ અનુનાદ (resonance) ઉત્પન્ન કરશે?
$(A)$ $u=0.8 v$ અને $f_s=f_0$
$(B)$ $u=0.8 v$ અને $f_s=2 f_0$
$(C)$ $u=0.8 v$ અને $f_s=0.5 f_0$
$(D)$ $u=0.5 v$ અને $f_s=1.5 f_0$
$(A)$ $u=0.8 v$ અને $f_s=f_0$
$(B)$ $u=0.8 v$ અને $f_s=2 f_0$
$(C)$ $u=0.8 v$ અને $f_s=0.5 f_0$
$(D)$ $u=0.5 v$ અને $f_s=1.5 f_0$
A
$A, B, C$
B
$A, D$
C
$A, B$
D
$A, C$
Solution
(B) સ્ત્રોત $u$ ઝડપથી પાઇપ તરફ ગતિ કરતો હોય ત્યારે પાઇપ દ્વારા પ્રાપ્ત થતી અવાજની આવૃત્તિ $f'$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $f' = f_s \left( \frac{v}{v - u} \right)$.
$L$ લંબાઈની બંધ પાઇપ તેની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0$ ના એકી ગુણકો (odd harmonics) પર અનુનાદિત થાય છે,એટલે કે $f' = n f_0$,જ્યાં $n = 1, 3, 5, 7, \dots$.
$(A)$ $u = 0.8 v$ અને $f_s = f_0$ માટે: $f' = f_0 \left( \frac{v}{v - 0.8 v} \right) = f_0 \left( \frac{v}{0.2 v} \right) = 5 f_0$. $5$ એ એકી સંખ્યા હોવાથી,આ અનુનાદ તરફ દોરી જાય છે.
$(B)$ $u = 0.8 v$ અને $f_s = 2 f_0$ માટે: $f' = 2 f_0 \left( \frac{v}{v - 0.8 v} \right) = 10 f_0$. $10$ એ બેકી સંખ્યા હોવાથી,આ અનુનાદ તરફ દોરી જતું નથી.
$(C)$ $u = 0.8 v$ અને $f_s = 0.5 f_0$ માટે: $f' = 0.5 f_0 \left( \frac{v}{v - 0.8 v} \right) = 2.5 f_0$. આ એકી ગુણક નથી.
$(D)$ $u = 0.5 v$ અને $f_s = 1.5 f_0$ માટે: $f' = 1.5 f_0 \left( \frac{v}{v - 0.5 v} \right) = 1.5 f_0 \left( \frac{v}{0.5 v} \right) = 3 f_0$. $3$ એ એકી સંખ્યા હોવાથી,આ અનુનાદ તરફ દોરી જાય છે.
આમ,સંયોજનો $(A)$ અને $(D)$ અનુનાદ તરફ દોરી જાય છે.
$L$ લંબાઈની બંધ પાઇપ તેની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0$ ના એકી ગુણકો (odd harmonics) પર અનુનાદિત થાય છે,એટલે કે $f' = n f_0$,જ્યાં $n = 1, 3, 5, 7, \dots$.
$(A)$ $u = 0.8 v$ અને $f_s = f_0$ માટે: $f' = f_0 \left( \frac{v}{v - 0.8 v} \right) = f_0 \left( \frac{v}{0.2 v} \right) = 5 f_0$. $5$ એ એકી સંખ્યા હોવાથી,આ અનુનાદ તરફ દોરી જાય છે.
$(B)$ $u = 0.8 v$ અને $f_s = 2 f_0$ માટે: $f' = 2 f_0 \left( \frac{v}{v - 0.8 v} \right) = 10 f_0$. $10$ એ બેકી સંખ્યા હોવાથી,આ અનુનાદ તરફ દોરી જતું નથી.
$(C)$ $u = 0.8 v$ અને $f_s = 0.5 f_0$ માટે: $f' = 0.5 f_0 \left( \frac{v}{v - 0.8 v} \right) = 2.5 f_0$. આ એકી ગુણક નથી.
$(D)$ $u = 0.5 v$ અને $f_s = 1.5 f_0$ માટે: $f' = 1.5 f_0 \left( \frac{v}{v - 0.5 v} \right) = 1.5 f_0 \left( \frac{v}{0.5 v} \right) = 3 f_0$. $3$ એ એકી સંખ્યા હોવાથી,આ અનુનાદ તરફ દોરી જાય છે.
આમ,સંયોજનો $(A)$ અને $(D)$ અનુનાદ તરફ દોરી જાય છે.
0 likesView Solution
11
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2021
એક નરમ પ્લાસ્ટિકની બોટલ,જેમાં $1 \text{ g/cc}$ ઘનતા ધરાવતું પાણી ભરેલું છે,તેમાં આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ થોડી હવા (આદર્શ વાયુ) સાથેની એક ઉંધી કાચની ટેસ્ટ-ટ્યુબ છે. ટેસ્ટ-ટ્યુબનું દળ $5 \text{ g}$ છે અને તે $2.5 \text{ g/cc}$ ઘનતા ધરાવતા જાડા કાચની બનેલી છે. શરૂઆતમાં બોટલ વાતાવરણીય દબાણ $P_0 = 10^5 \text{ Pa}$ પર સીલ કરેલી છે,જેથી ફસાયેલી હવાનું કદ $V_0 = 3.3 \text{ cc}$ છે. જ્યારે બોટલને બહારથી અચળ તાપમાને દબાવવામાં આવે છે,ત્યારે અંદરનું દબાણ વધે છે અને ફસાયેલી હવાનું કદ ઘટે છે. એવું જોવા મળે છે કે ટેસ્ટ-ટ્યુબ તેની દિશા બદલ્યા વિના $P_0 + \Delta P$ દબાણે ડૂબવાનું શરૂ કરે છે. આ દબાણે,ફસાયેલી હવાનું કદ $V_0 - \Delta V$ છે.
ધારો કે $\Delta V = X \text{ cc}$ અને $\Delta P = Y \times 10^3 \text{ Pa}$.
$(1)$ $X$ નું મૂલ્ય છે
$(2)$ $Y$ નું મૂલ્ય છે
ધારો કે $\Delta V = X \text{ cc}$ અને $\Delta P = Y \times 10^3 \text{ Pa}$.
$(1)$ $X$ નું મૂલ્ય છે
$(2)$ $Y$ નું મૂલ્ય છે
A
$10, 20$
B
$30, 20$
C
$30, 10$
D
$15, 10$
Solution
(C) $(1)$ ટેસ્ટ-ટ્યુબ ડૂબવાનું શરૂ કરે તે માટે,તેની સરેરાશ ઘનતા પાણીની ઘનતા જેટલી હોવી જોઈએ. કાચનું કદ $V_{\text{glass}} = \frac{\text{દળ}}{\text{ઘનતા}} = \frac{5 \text{ g}}{2.5 \text{ g/cc}} = 2 \text{ cc}$ છે.
ધારો કે જ્યારે તે ડૂબવાનું શરૂ કરે ત્યારે ફસાયેલી હવાનું કદ $V_{\text{gas}}$ છે. ટેસ્ટ-ટ્યુબ સિસ્ટમનું કુલ કદ $V_{\text{total}} = V_{\text{glass}} + V_{\text{gas}} = 2 + V_{\text{gas}}$ છે.
સિસ્ટમ ડૂબવા માટે,ઉત્પ્લાવક બળ તેના વજન જેટલું હોવું જોઈએ: $\rho_{\text{water}} V_{\text{total}} g = m_{\text{total}} g$.
$1 \times (2 + V_{\text{gas}}) = 5 \implies V_{\text{gas}} = 3 \text{ cc}$.
કદમાં ફેરફાર $\Delta V = V_0 - V_{\text{gas}} = 3.3 - 3 = 0.3 \text{ cc}$ છે.
તેથી $X = 0.3$.
$(2)$ ફસાયેલી હવા માટે સમતાપી પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરતા: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
$10^5 \times 3.3 = P_2 \times 3$.
$P_2 = 1.1 \times 10^5 \text{ Pa}$.
$\Delta P = P_2 - P_1 = 1.1 \times 10^5 - 10^5 = 0.1 \times 10^5 = 10 \times 10^3 \text{ Pa}$.
આપેલ છે કે $\Delta P = Y \times 10^3 \text{ Pa}$,તેથી $Y = 10$.
ધારો કે જ્યારે તે ડૂબવાનું શરૂ કરે ત્યારે ફસાયેલી હવાનું કદ $V_{\text{gas}}$ છે. ટેસ્ટ-ટ્યુબ સિસ્ટમનું કુલ કદ $V_{\text{total}} = V_{\text{glass}} + V_{\text{gas}} = 2 + V_{\text{gas}}$ છે.
સિસ્ટમ ડૂબવા માટે,ઉત્પ્લાવક બળ તેના વજન જેટલું હોવું જોઈએ: $\rho_{\text{water}} V_{\text{total}} g = m_{\text{total}} g$.
$1 \times (2 + V_{\text{gas}}) = 5 \implies V_{\text{gas}} = 3 \text{ cc}$.
કદમાં ફેરફાર $\Delta V = V_0 - V_{\text{gas}} = 3.3 - 3 = 0.3 \text{ cc}$ છે.
તેથી $X = 0.3$.
$(2)$ ફસાયેલી હવા માટે સમતાપી પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરતા: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
$10^5 \times 3.3 = P_2 \times 3$.
$P_2 = 1.1 \times 10^5 \text{ Pa}$.
$\Delta P = P_2 - P_1 = 1.1 \times 10^5 - 10^5 = 0.1 \times 10^5 = 10 \times 10^3 \text{ Pa}$.
આપેલ છે કે $\Delta P = Y \times 10^3 \text{ Pa}$,તેથી $Y = 10$.
0 likesView Solution
12
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2021
એક લોલક $m=0.1 \ kg$ દળના ગોળા અને $L=1.0 \ m$ લંબાઈની દળરહિત અસ્થિતિસ્થાપક દોરીનું બનેલું છે. તે ઘર્ષણરહિત સમક્ષિતિજ સપાટીથી $H=0.9 \ m$ ઊંચાઈએ આવેલા નિશ્ચિત બિંદુએથી લટકાવેલું છે. શરૂઆતમાં,લોલકનો ગોળો સપાટી પર લટકાવેલા બિંદુની બરાબર નીચે સ્થિર પડેલો છે. કોઈ એક ક્ષણે ગોળાને $P=0.2 \ kg \cdot m/s$ નો સમક્ષિતિજ આઘાત આપવામાં આવે છે. ગોળો થોડું અંતર સરક્યા પછી,દોરી ખેંચાઈ જાય છે અને ગોળો સપાટી પરથી ઉપર ઉઠે છે. ગોળો ઉપર ઉઠે તે પહેલાં લટકાવેલા બિંદુને અનુલક્ષીને લોલકનું કોણીય વેગમાન $J \ kg \cdot m^2/s$ છે. ઉપર ઉઠ્યા પછી તરત જ લોલકની ગતિઊર્જા $K$ જૂલ છે. $(1)$ $J$ નું મૂલ્ય શોધો. $(2)$ $K$ નું મૂલ્ય શોધો.
A
$0.19, 0.16$
B
$0.18, 0.17$
C
$0.18, 0.18$
D
$0.18, 0.16$
Solution
(D) લટકાવેલા બિંદુને અનુલક્ષીને કોણીય વેગમાન $J = r_{\perp} \times p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r_{\perp}$ એ પીવટથી આઘાતની કાર્યરેખા સુધીનું લંબ અંતર છે. અહીં,$r_{\perp} = H = 0.9 \ m$ અને $p = P = 0.2 \ kg \cdot m/s$. તેથી,$J = 0.9 \times 0.2 = 0.18 \ kg \cdot m^2/s$.
જ્યારે દોરી ખેંચાઈ જાય છે,ત્યારે આઘાતી તણાવને કારણે દોરીની દિશામાં વેગનો ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે. ગોળો એવા ખૂણે $\theta$ છે કે જેથી $\cos \theta = H/L = 0.9/1.0 = 0.9$. દોરી ખેંચાય તે પહેલાં ગોળાનો વેગ $v = P/m = 0.2/0.1 = 2 \ m/s$ છે. દોરીને લંબ વેગનો ઘટક $v_{\perp} = v \cos \theta = 2 \times 0.9 = 1.8 \ m/s$ છે. ઉપર ઉઠ્યા પછી તરત જ ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} m v_{\perp}^2 = \frac{1}{2} \times 0.1 \times (1.8)^2 = 0.05 \times 3.24 = 0.162 \ J$. બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$K \approx 0.16 \ J$.
જ્યારે દોરી ખેંચાઈ જાય છે,ત્યારે આઘાતી તણાવને કારણે દોરીની દિશામાં વેગનો ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે. ગોળો એવા ખૂણે $\theta$ છે કે જેથી $\cos \theta = H/L = 0.9/1.0 = 0.9$. દોરી ખેંચાય તે પહેલાં ગોળાનો વેગ $v = P/m = 0.2/0.1 = 2 \ m/s$ છે. દોરીને લંબ વેગનો ઘટક $v_{\perp} = v \cos \theta = 2 \times 0.9 = 1.8 \ m/s$ છે. ઉપર ઉઠ્યા પછી તરત જ ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} m v_{\perp}^2 = \frac{1}{2} \times 0.1 \times (1.8)^2 = 0.05 \times 3.24 = 0.162 \ J$. બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$K \approx 0.16 \ J$.
0 likesView Solution
13
PhysicsAdvancedIIT JEE · 2021
એક ઉષ્મીય અવાહક નળાકારમાં મધ્યમાં એક ઉષ્મીય અવાહક અને ઘર્ષણરહિત હલનચલન કરી શકે તેવું વિભાજક છે,જે નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. વિભાજકની દરેક બાજુએ,એક મોલ આદર્શ વાયુ છે,જેની અચળ કદ પર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = 2R$ છે. અહીં,$R$ એ વાયુ અચળાંક છે. શરૂઆતમાં,દરેક બાજુનું કદ $V_0$ અને તાપમાન $T_0$ છે. ડાબી બાજુએ એક ઇલેક્ટ્રિક હીટર છે,જે ખૂબ જ ઓછી પાવર પર ચાલુ કરવામાં આવે છે જેથી ડાબી બાજુના વાયુને ઉષ્મા $Q$ મળે. પરિણામે,વિભાજક ધીમે ધીમે જમણી તરફ ખસે છે,જેનાથી જમણી બાજુનું કદ ઘટીને $V_0 / 2$ થાય છે. પરિણામે,ડાબી અને જમણી બાજુના વાયુનું તાપમાન અનુક્રમે $T_L$ અને $T_R$ થાય છે. નળાકાર,હીટર અને વિભાજકના તાપમાનમાં થતા ફેરફારોને અવગણો.
$(1)$ $\frac{T_R}{T_0}$ નું મૂલ્ય છે
$(A)$ $\sqrt{2}$ $(B)$ $\sqrt{3}$ $(C)$ $2$ $(D)$ $3$
$(2)$ $\frac{Q}{RT_0}$ નું મૂલ્ય છે
$(A)$ $4(2\sqrt{2}+1)$ $(B)$ $4(2\sqrt{2}-1)$ $(C)$ $(5\sqrt{2}+1)$ $(D)$ $(5\sqrt{2}-1)$
$(1)$ $\frac{T_R}{T_0}$ નું મૂલ્ય છે
$(A)$ $\sqrt{2}$ $(B)$ $\sqrt{3}$ $(C)$ $2$ $(D)$ $3$
$(2)$ $\frac{Q}{RT_0}$ નું મૂલ્ય છે
$(A)$ $4(2\sqrt{2}+1)$ $(B)$ $4(2\sqrt{2}-1)$ $(C)$ $(5\sqrt{2}+1)$ $(D)$ $(5\sqrt{2}-1)$
Solution
(A,B) જમણી બાજુ માટે,પ્રક્રિયા એડિબેટિક (સમઉષ્મીય) છે કારણ કે વિભાજક અને નળાકાર ઉષ્મીય અવાહક છે. વાયુ પ્રતિવર્તી એડિબેટિક સંકોચન અનુભવે છે.
આપેલ છે $C_v = 2R$,તેથી $C_v = \frac{R}{\gamma - 1} = 2R$,જે સૂચવે છે કે $\gamma - 1 = 0.5$,તેથી $\gamma = 1.5 = \frac{3}{2}$.
જમણી બાજુની એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે: $T_0 V_0^{\gamma-1} = T_R V_R^{\gamma-1}$.
આપેલ છે $V_R = \frac{V_0}{2}$,તેથી $T_R = T_0 \left(\frac{V_0}{V_0/2}\right)^{\gamma-1} = T_0 (2)^{0.5} = \sqrt{2} T_0$. આમ,$\frac{T_R}{T_0} = \sqrt{2}$. (પ્રશ્ન $(1)$ માટે સાચો વિકલ્પ $A$ છે)
જમણી બાજુ માટે,અંતિમ દબાણ $P_R = P_0 \left(\frac{V_0}{V_0/2}\right)^{\gamma} = P_0 (2)^{1.5} = 2\sqrt{2} P_0$ છે. વિભાજક ઘર્ષણરહિત હોવાથી,બંને બાજુનું દબાણ સમાન છે: $P_L = P_R = 2\sqrt{2} P_0$.
ડાબી બાજુ માટે,અંતિમ કદ $V_L = 2V_0 - V_R = 2V_0 - 0.5V_0 = 1.5V_0$ છે.
ડાબી બાજુ માટે આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $T_L = \frac{P_L V_L}{nR} = \frac{(2\sqrt{2} P_0)(1.5 V_0)}{1 \cdot R} = 3\sqrt{2} \left(\frac{P_0 V_0}{R}\right) = 3\sqrt{2} T_0$.
આપેલ ઉષ્મા $Q = \Delta U_L + \Delta U_R + W_{ext}$. નળાકાર અવાહક હોવાથી,$Q = \Delta U_L + \Delta U_R$ (કારણ કે ડાબી બાજુના વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય જમણી બાજુના વાયુ પર થયેલ કાર્ય જેટલું છે).
$Q = n C_v (T_L - T_0) + n C_v (T_R - T_0) = 1 \cdot 2R (3\sqrt{2} T_0 - T_0) + 1 \cdot 2R (\sqrt{2} T_0 - T_0)$.
$Q = 2R T_0 (3\sqrt{2} - 1 + \sqrt{2} - 1) = 2R T_0 (4\sqrt{2} - 2) = 4R T_0 (2\sqrt{2} - 1)$.
આમ,$\frac{Q}{RT_0} = 4(2\sqrt{2} - 1)$. (પ્રશ્ન $(2)$ માટે સાચો વિકલ્પ $B$ છે)
આપેલ છે $C_v = 2R$,તેથી $C_v = \frac{R}{\gamma - 1} = 2R$,જે સૂચવે છે કે $\gamma - 1 = 0.5$,તેથી $\gamma = 1.5 = \frac{3}{2}$.
જમણી બાજુની એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે: $T_0 V_0^{\gamma-1} = T_R V_R^{\gamma-1}$.
આપેલ છે $V_R = \frac{V_0}{2}$,તેથી $T_R = T_0 \left(\frac{V_0}{V_0/2}\right)^{\gamma-1} = T_0 (2)^{0.5} = \sqrt{2} T_0$. આમ,$\frac{T_R}{T_0} = \sqrt{2}$. (પ્રશ્ન $(1)$ માટે સાચો વિકલ્પ $A$ છે)
જમણી બાજુ માટે,અંતિમ દબાણ $P_R = P_0 \left(\frac{V_0}{V_0/2}\right)^{\gamma} = P_0 (2)^{1.5} = 2\sqrt{2} P_0$ છે. વિભાજક ઘર્ષણરહિત હોવાથી,બંને બાજુનું દબાણ સમાન છે: $P_L = P_R = 2\sqrt{2} P_0$.
ડાબી બાજુ માટે,અંતિમ કદ $V_L = 2V_0 - V_R = 2V_0 - 0.5V_0 = 1.5V_0$ છે.
ડાબી બાજુ માટે આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $T_L = \frac{P_L V_L}{nR} = \frac{(2\sqrt{2} P_0)(1.5 V_0)}{1 \cdot R} = 3\sqrt{2} \left(\frac{P_0 V_0}{R}\right) = 3\sqrt{2} T_0$.
આપેલ ઉષ્મા $Q = \Delta U_L + \Delta U_R + W_{ext}$. નળાકાર અવાહક હોવાથી,$Q = \Delta U_L + \Delta U_R$ (કારણ કે ડાબી બાજુના વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય જમણી બાજુના વાયુ પર થયેલ કાર્ય જેટલું છે).
$Q = n C_v (T_L - T_0) + n C_v (T_R - T_0) = 1 \cdot 2R (3\sqrt{2} T_0 - T_0) + 1 \cdot 2R (\sqrt{2} T_0 - T_0)$.
$Q = 2R T_0 (3\sqrt{2} - 1 + \sqrt{2} - 1) = 2R T_0 (4\sqrt{2} - 2) = 4R T_0 (2\sqrt{2} - 1)$.
આમ,$\frac{Q}{RT_0} = 4(2\sqrt{2} - 1)$. (પ્રશ્ન $(2)$ માટે સાચો વિકલ્પ $B$ છે)
0 likesView Solution
14
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2021
$3 M_S$ અને $6 M_S$ દળ ધરાવતા બે તારાઓ વચ્ચેનું અંતર $9 R$ છે. અહીં $R$ એ પૃથ્વી અને સૂર્યના કેન્દ્રો વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર છે,અને $M_S$ એ સૂર્યનું દળ છે. આ બે તારાઓ તેમના સામાન્ય દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ વર્તુળાકાર કક્ષામાં $n T$ આવર્તકાળ સાથે ભ્રમણ કરે છે,જ્યાં $T$ એ પૃથ્વીનો સૂર્યની આસપાસનો પરિભ્રમણ સમય છે. $n$ નું મૂલ્ય કેટલું હશે?
A
$4$
B
$5$
C
$8$
D
$9$
Solution
(D) પૃથ્વીના સૂર્યની આસપાસના પરિભ્રમણ માટે,કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{G M_S}}$ છે.
$m_1 = 3 M_S$ અને $m_2 = 6 M_S$ દળ ધરાવતા બે તારાઓ કે જે $d = 9 R$ અંતરે છે,તેમના સામાન્ય દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસનો આવર્તકાળ $T'$ નીચે મુજબ મળે: $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{d^3}{G(m_1 + m_2)}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{(9 R)^3}{G(3 M_S + 6 M_S)}} = 2 \pi \sqrt{\frac{729 R^3}{G(9 M_S)}} = 2 \pi \sqrt{\frac{81 R^3}{G M_S}} = 9 \times 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{G M_S}}$.
આમ,$T' = n T$ હોવાથી,$n T = 9 T$,જે દર્શાવે છે કે $n = 9$.
$m_1 = 3 M_S$ અને $m_2 = 6 M_S$ દળ ધરાવતા બે તારાઓ કે જે $d = 9 R$ અંતરે છે,તેમના સામાન્ય દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસનો આવર્તકાળ $T'$ નીચે મુજબ મળે: $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{d^3}{G(m_1 + m_2)}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{(9 R)^3}{G(3 M_S + 6 M_S)}} = 2 \pi \sqrt{\frac{729 R^3}{G(9 M_S)}} = 2 \pi \sqrt{\frac{81 R^3}{G M_S}} = 9 \times 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{G M_S}}$.
આમ,$T' = n T$ હોવાથી,$n T = 9 T$,જે દર્શાવે છે કે $n = 9$.
0 likesView Solution
15
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2021
એક વિસ્તૃત વસ્તુને બિંદુ $O$ પર,બહિર્ગોળ લેન્સ $L_1$ ની આગળ $10 \ cm$ અંતરે મૂકવામાં આવી છે અને અંતર્ગોળ લેન્સ $L_2$ ને તેની પાછળ $10 \ cm$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યો છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. બંને લેન્સની તમામ વક્ર સપાટીઓની વક્રતા ત્રિજ્યા $20 \ cm$ છે. બંને લેન્સનો વક્રીભવનાંક $1.5$ છે. આ લેન્સ સિસ્ટમની કુલ મોટવણી કેટલી છે?
A
$0.4$
B
$0.8$
C
$1.3$
D
$1.6$
Solution
(B) $1$. બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $(f_1)$:
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f_1} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$
$\frac{1}{f_1} = (1.5 - 1) \left[ \frac{1}{20} - \left( \frac{1}{-20} \right) \right] = 0.5 \times \left( \frac{2}{20} \right) = \frac{1}{20}$
$\Rightarrow f_1 = +20 \ cm$
$2$. અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $(f_2)$:
$\frac{1}{f_2} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$
$\frac{1}{f_2} = (1.5 - 1) \left[ -\frac{1}{20} - \frac{1}{20} \right] = 0.5 \times \left( -\frac{2}{20} \right) = -\frac{1}{20}$
$\Rightarrow f_2 = -20 \ cm$
$3$. લેન્સ $L_1$ માટે:
વસ્તુ અંતર $u_1 = -10 \ cm$,કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = +20 \ cm$.
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1} \Rightarrow \frac{1}{v_1} - \frac{1}{-10} = \frac{1}{20}$
$\frac{1}{v_1} = \frac{1}{20} - \frac{1}{10} = -\frac{1}{20} \Rightarrow v_1 = -20 \ cm$
મોટવણી $m_1 = \frac{v_1}{u_1} = \frac{-20}{-10} = 2$
$4$. લેન્સ $L_2$ માટે:
$L_1$ દ્વારા બનતું પ્રતિબિંબ $L_2$ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $10 \ cm$ છે.
વસ્તુ અંતર $u_2 = -(20 + 10) = -30 \ cm$,કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = -20 \ cm$.
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2} \Rightarrow \frac{1}{v_2} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{-20}$
$\frac{1}{v_2} = -\frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{-3 - 2}{60} = -\frac{5}{60} = -\frac{1}{12} \Rightarrow v_2 = -12 \ cm$
મોટવણી $m_2 = \frac{v_2}{u_2} = \frac{-12}{-30} = \frac{2}{5} = 0.4$
$5$. કુલ મોટવણી:
$m = m_1 \times m_2 = 2 \times 0.4 = 0.8$
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f_1} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$
$\frac{1}{f_1} = (1.5 - 1) \left[ \frac{1}{20} - \left( \frac{1}{-20} \right) \right] = 0.5 \times \left( \frac{2}{20} \right) = \frac{1}{20}$
$\Rightarrow f_1 = +20 \ cm$
$2$. અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $(f_2)$:
$\frac{1}{f_2} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$
$\frac{1}{f_2} = (1.5 - 1) \left[ -\frac{1}{20} - \frac{1}{20} \right] = 0.5 \times \left( -\frac{2}{20} \right) = -\frac{1}{20}$
$\Rightarrow f_2 = -20 \ cm$
$3$. લેન્સ $L_1$ માટે:
વસ્તુ અંતર $u_1 = -10 \ cm$,કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = +20 \ cm$.
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1} \Rightarrow \frac{1}{v_1} - \frac{1}{-10} = \frac{1}{20}$
$\frac{1}{v_1} = \frac{1}{20} - \frac{1}{10} = -\frac{1}{20} \Rightarrow v_1 = -20 \ cm$
મોટવણી $m_1 = \frac{v_1}{u_1} = \frac{-20}{-10} = 2$
$4$. લેન્સ $L_2$ માટે:
$L_1$ દ્વારા બનતું પ્રતિબિંબ $L_2$ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $10 \ cm$ છે.
વસ્તુ અંતર $u_2 = -(20 + 10) = -30 \ cm$,કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = -20 \ cm$.
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2} \Rightarrow \frac{1}{v_2} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{-20}$
$\frac{1}{v_2} = -\frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{-3 - 2}{60} = -\frac{5}{60} = -\frac{1}{12} \Rightarrow v_2 = -12 \ cm$
મોટવણી $m_2 = \frac{v_2}{u_2} = \frac{-12}{-30} = \frac{2}{5} = 0.4$
$5$. કુલ મોટવણી:
$m = m_1 \times m_2 = 2 \times 0.4 = 0.8$
0 likesView Solution
16
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2021
$20 \text{ minutes}$ નું અર્ધ-આયુષ્ય ધરાવતું એક ભારે ન્યુક્લિયસ $Q$,$60 \%$ સંભાવના સાથે આલ્ફા-ક્ષય અને $40 \%$ સંભાવના સાથે બીટા-ક્ષય અનુભવે છે. શરૂઆતમાં,$Q$ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $1000$ છે. પ્રથમ એક કલાકમાં $Q$ ના આલ્ફા-ક્ષયની સંખ્યા કેટલી હશે?
A
$50$
B
$75$
C
$350$
D
$525$
Solution
(D) કુલ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_0 = 1000$ છે. કારણ કે $60 \%$ ન્યુક્લિયસ આલ્ફા-ક્ષય પામે છે,તેથી આલ્ફા-ક્ષય માટે ઉપલબ્ધ ન્યુક્લિયસની પ્રારંભિક સંખ્યા $N_{0,\alpha} = 1000 \times 0.60 = 600$ છે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{\ln 2}{20 \text{ min}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિતેલો સમય $t = 1 \text{ કલાક} = 60 \text{ મિનિટ}$ છે.
સમય $t$ પછી બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(t) = N_{0,\alpha} e^{-\lambda t}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $N(60) = 600 \times e^{-\left(\frac{\ln 2}{20}\right) \times 60} = 600 \times e^{-3 \ln 2} = 600 \times e^{\ln(2^{-3})} = 600 \times 2^{-3} = 600 \times \frac{1}{8} = 75$.
આલ્ફા-ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા એ પ્રારંભિક સંખ્યા અને બાકી રહેલી સંખ્યા વચ્ચેનો તફાવત છે: $\Delta N = N_{0,\alpha} - N(60) = 600 - 75 = 525$.
ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{\ln 2}{20 \text{ min}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિતેલો સમય $t = 1 \text{ કલાક} = 60 \text{ મિનિટ}$ છે.
સમય $t$ પછી બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(t) = N_{0,\alpha} e^{-\lambda t}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $N(60) = 600 \times e^{-\left(\frac{\ln 2}{20}\right) \times 60} = 600 \times e^{-3 \ln 2} = 600 \times e^{\ln(2^{-3})} = 600 \times 2^{-3} = 600 \times \frac{1}{8} = 75$.
આલ્ફા-ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા એ પ્રારંભિક સંખ્યા અને બાકી રહેલી સંખ્યા વચ્ચેનો તફાવત છે: $\Delta N = N_{0,\alpha} - N(60) = 600 - 75 = 525$.
0 likesView Solution
17
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2021
નીચે દર્શાવેલ સર્કિટમાં,સ્વીચ $S$ ને લાંબા સમય માટે $P$ સ્થાન પર જોડવામાં આવે છે જેથી કેપેસિટર પરનો ચાર્જ $q_1 \mu C$ થાય છે. પછી $S$ ને $Q$ સ્થાન પર સ્વિચ કરવામાં આવે છે. લાંબા સમય પછી,કેપેસિટર પરનો ચાર્જ $q_2 \mu C$ છે.
$(1)$ $q_1$ નું મૂલ્ય કેટલું છે?
$(2)$ $q_2$ નું મૂલ્ય કેટલું છે?
પ્રશ્ન $(1)$ અને $(2)$ ના જવાબ આપો.
$(1)$ $q_1$ નું મૂલ્ય કેટલું છે?
$(2)$ $q_2$ નું મૂલ્ય કેટલું છે?
પ્રશ્ન $(1)$ અને $(2)$ ના જવાબ આપો.
A
$1.30, 0.60$
B
$1.33, 0.67$
C
$1.33, 0.60$
D
$1.30, 0.70$
Solution
(B) જ્યારે સ્વીચ $P$ સ્થાન પર હોય,ત્યારે કેપેસિટર સ્થાયી અવસ્થામાં હોય છે,તેથી તેમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. સર્કિટમાં બે બેટરી ($1 \text{ V}$ અને $2 \text{ V}$) અને બે અવરોધ ($1 \Omega$ અને $2 \Omega$) શ્રેણીમાં છે.
લૂપમાં કુલ પ્રવાહ $i_1 = \frac{2 \text{ V} - 1 \text{ V}}{1 \Omega + 2 \Omega} = \frac{1}{3} \text{ A}$ છે.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ $1 \text{ V}$ ની બેટરી અને $1 \Omega$ ના અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે: $V_A - V_B = 1 \text{ V} + (i_1 \times 1 \Omega) = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \text{ V}$.
આમ,$q_1 = C \Delta V = 1 \mu \text{F} \times \frac{4}{3} \text{ V} = 1.33 \mu \text{C}$.
જ્યારે સ્વીચ $Q$ સ્થાન પર હોય,ત્યારે $1 \text{ V}$ ની બેટરી સર્કિટમાંથી દૂર થાય છે. કેપેસિટર હવે $1 \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર છે,જે $2 \text{ V}$ ની બેટરી અને $2 \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે.
આ લૂપમાં પ્રવાહ $i_2 = \frac{2 \text{ V}}{1 \Omega + 2 \Omega} = \frac{2}{3} \text{ A}$ છે.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ $1 \Omega$ ના અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ છે: $V_A - V_B = i_2 \times 1 \Omega = \frac{2}{3} \text{ V}$.
આમ,$q_2 = C \Delta V = 1 \mu \text{F} \times \frac{2}{3} \text{ V} = 0.67 \mu \text{C}$.
લૂપમાં કુલ પ્રવાહ $i_1 = \frac{2 \text{ V} - 1 \text{ V}}{1 \Omega + 2 \Omega} = \frac{1}{3} \text{ A}$ છે.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ $1 \text{ V}$ ની બેટરી અને $1 \Omega$ ના અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે: $V_A - V_B = 1 \text{ V} + (i_1 \times 1 \Omega) = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \text{ V}$.
આમ,$q_1 = C \Delta V = 1 \mu \text{F} \times \frac{4}{3} \text{ V} = 1.33 \mu \text{C}$.
જ્યારે સ્વીચ $Q$ સ્થાન પર હોય,ત્યારે $1 \text{ V}$ ની બેટરી સર્કિટમાંથી દૂર થાય છે. કેપેસિટર હવે $1 \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર છે,જે $2 \text{ V}$ ની બેટરી અને $2 \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે.
આ લૂપમાં પ્રવાહ $i_2 = \frac{2 \text{ V}}{1 \Omega + 2 \Omega} = \frac{2}{3} \text{ A}$ છે.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ $1 \Omega$ ના અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ છે: $V_A - V_B = i_2 \times 1 \Omega = \frac{2}{3} \text{ V}$.
આમ,$q_2 = C \Delta V = 1 \mu \text{F} \times \frac{2}{3} \text{ V} = 0.67 \mu \text{C}$.
0 likesView Solution
18
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2021
બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $-Q$ અને $+Q / \sqrt{3}$ ને $xy$-સમતલમાં અનુક્રમે ઉગમબિંદુ $(0,0)$ અને બિંદુ $(2,0)$ પર આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ મૂકવામાં આવ્યા છે. આના પરિણામે $xy$-સમતલમાં $R$ ત્રિજ્યા અને $V = 0$ સ્થિતિમાન ધરાવતું એક સમસ્થિતિમાન વર્તુળ રચાય છે,જેનું કેન્દ્ર $(b, 0)$ પર છે. તમામ લંબાઈ મીટરમાં માપવામાં આવે છે.
$(1)$ $R$ નું મૂલ્ય. . . . મીટર છે.
$(2)$ $b$ નું મૂલ્ય. . . . . .મીટર છે.
$(1)$ $R$ નું મૂલ્ય. . . . મીટર છે.
$(2)$ $b$ નું મૂલ્ય. . . . . .મીટર છે.
A
$1.70, 5$
B
$1.75, 4$
C
$1.73, 3$
D
$1.76, 6$
Solution
(C) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ એ સમસ્થિતિમાન વર્તુળ પર છે જ્યાં સ્થિતિમાન $V = 0$ છે.
બિંદુ $P$ પર $-Q$ (જે $(0,0)$ પર છે) અને $+Q / \sqrt{3}$ (જે $(2,0)$ પર છે) વિદ્યુતભારોને કારણે સ્થિતિમાન:
$V_P = \frac{k(-Q)}{r_1} + \frac{k(Q / \sqrt{3})}{r_2} = 0$
જ્યાં $r_1 = \sqrt{x^2 + y^2}$ અને $r_2 = \sqrt{(x - 2)^2 + y^2}$ છે.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$\frac{kQ}{r_1} = \frac{kQ}{\sqrt{3} r_2} \implies \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{1}{\sqrt{3} \sqrt{(x - 2)^2 + y^2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$3((x - 2)^2 + y^2) = x^2 + y^2$
$3(x^2 - 4x + 4 + y^2) = x^2 + y^2$
$3x^2 - 12x + 12 + 3y^2 = x^2 + y^2$
$2x^2 - 12x + 2y^2 + 12 = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$x^2 - 6x + y^2 + 6 = 0$
$x$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$(x^2 - 6x + 9) + y^2 = -6 + 9$
$(x - 3)^2 + y^2 = 3 = (\sqrt{3})^2$
આને પ્રમાણિત વર્તુળના સમીકરણ $(x - b)^2 + y^2 = R^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$b = 3$ અને $R = \sqrt{3} \approx 1.73$.
આમ,$R = 1.73$ અને $b = 3$.
બિંદુ $P$ પર $-Q$ (જે $(0,0)$ પર છે) અને $+Q / \sqrt{3}$ (જે $(2,0)$ પર છે) વિદ્યુતભારોને કારણે સ્થિતિમાન:
$V_P = \frac{k(-Q)}{r_1} + \frac{k(Q / \sqrt{3})}{r_2} = 0$
જ્યાં $r_1 = \sqrt{x^2 + y^2}$ અને $r_2 = \sqrt{(x - 2)^2 + y^2}$ છે.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$\frac{kQ}{r_1} = \frac{kQ}{\sqrt{3} r_2} \implies \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{1}{\sqrt{3} \sqrt{(x - 2)^2 + y^2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$3((x - 2)^2 + y^2) = x^2 + y^2$
$3(x^2 - 4x + 4 + y^2) = x^2 + y^2$
$3x^2 - 12x + 12 + 3y^2 = x^2 + y^2$
$2x^2 - 12x + 2y^2 + 12 = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$x^2 - 6x + y^2 + 6 = 0$
$x$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$(x^2 - 6x + 9) + y^2 = -6 + 9$
$(x - 3)^2 + y^2 = 3 = (\sqrt{3})^2$
આને પ્રમાણિત વર્તુળના સમીકરણ $(x - b)^2 + y^2 = R^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$b = 3$ અને $R = \sqrt{3} \approx 1.73$.
આમ,$R = 1.73$ અને $b = 3$.
0 likesView Solution
19
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2021
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $n_1$ અને $n_2$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા બે માધ્યમોની બનેલી એક પહોળી સ્લેબ હવામાં મૂકવામાં આવી છે. પ્રકાશનું કિરણ માધ્યમ $n_1$ થી $n_2$ માં $\theta$ ખૂણે આપાત થાય છે,જ્યાં $\sin \theta$ એ $1/n_1$ કરતા થોડું વધારે છે. હવાનો વક્રીભવનાંક $1$ લો. નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ જો $n_2 = n_1$ હોય તો પ્રકાશનું કિરણ હવામાં પ્રવેશ કરે છે
$(B)$ જો $n_2 < n_1$ હોય તો પ્રકાશનું કિરણ અંતે $n_1$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં પાછું પરાવર્તિત થાય છે
$(C)$ જો $n_2 > n_1$ હોય તો પ્રકાશનું કિરણ અંતે $n_1$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં પાછું પરાવર્તિત થાય છે
$(D)$ જો $n_2 = 1$ હોય તો પ્રકાશનું કિરણ $n_1$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં પાછું પરાવર્તિત થાય છે
$(A)$ જો $n_2 = n_1$ હોય તો પ્રકાશનું કિરણ હવામાં પ્રવેશ કરે છે
$(B)$ જો $n_2 < n_1$ હોય તો પ્રકાશનું કિરણ અંતે $n_1$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં પાછું પરાવર્તિત થાય છે
$(C)$ જો $n_2 > n_1$ હોય તો પ્રકાશનું કિરણ અંતે $n_1$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં પાછું પરાવર્તિત થાય છે
$(D)$ જો $n_2 = 1$ હોય તો પ્રકાશનું કિરણ $n_1$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં પાછું પરાવર્તિત થાય છે
A
$B, C, D$
B
$B, C$
C
$A, B, C$
D
$B, D$
Solution
(A) આપેલ છે: $\sin \theta > \frac{1}{n_1}$.
$n_1-n_2$ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ વાપરતા: $n_1 \sin \theta = n_2 \sin \theta_2$,તેથી $\sin \theta_2 = \frac{n_1}{n_2} \sin \theta$.
$n_2$-હવા સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ વાપરતા: $n_2 \sin \theta_2 = 1 \cdot \sin \theta_3$,તેથી $\sin \theta_3 = n_2 \sin \theta_2 = n_1 \sin \theta$.
કારણ કે $\sin \theta > \frac{1}{n_1}$,આપણી પાસે $n_1 \sin \theta > 1$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta_3 > 1$. આ વાસ્તવિક ખૂણા $\theta_3$ માટે અશક્ય છે,જેનો અર્થ છે કે કિરણ $n_2$-હવા સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે.
$(A)$ જો $n_2 = n_1$ હોય,તો $\sin \theta_3 = n_1 \sin \theta > 1$. કિરણ હવામાં પ્રવેશતું નથી. વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
$(B)$ જો $n_2 < n_1$ હોય,તો કિરણ $n_2$-હવા સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે. ત્યારબાદ,$n_1-n_2$ સપાટી પર,જો આપાતકોણ $\theta_2$ એ ક્રાંતિકોણ $\theta_c = \arcsin(n_1/n_2)$ કરતા વધારે હોય તો કિરણ $n_1$ માં પાછું પરાવર્તિત થશે. જોકે,$n_2 < n_1$ હોવાથી,$n_2$-હવા સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન પછી કિરણ હંમેશા $n_1$ માં પાછું પરાવર્તિત થશે. વિધાન $(B)$ સાચું છે.
$(C)$ જો $n_2 > n_1$ હોય,તો કિરણ $n_2$-હવા સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે. ત્યારબાદ કિરણ $n_1$ માં પાછું પરાવર્તિત થશે. વિધાન $(C)$ સાચું છે.
$(D)$ જો $n_2 = 1$ હોય,તો કિરણ $n_2$-હવા સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે અને $n_1$ માં પાછું પરાવર્તિત થાય છે. વિધાન $(D)$ સાચું છે.
$n_1-n_2$ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ વાપરતા: $n_1 \sin \theta = n_2 \sin \theta_2$,તેથી $\sin \theta_2 = \frac{n_1}{n_2} \sin \theta$.
$n_2$-હવા સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ વાપરતા: $n_2 \sin \theta_2 = 1 \cdot \sin \theta_3$,તેથી $\sin \theta_3 = n_2 \sin \theta_2 = n_1 \sin \theta$.
કારણ કે $\sin \theta > \frac{1}{n_1}$,આપણી પાસે $n_1 \sin \theta > 1$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta_3 > 1$. આ વાસ્તવિક ખૂણા $\theta_3$ માટે અશક્ય છે,જેનો અર્થ છે કે કિરણ $n_2$-હવા સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે.
$(A)$ જો $n_2 = n_1$ હોય,તો $\sin \theta_3 = n_1 \sin \theta > 1$. કિરણ હવામાં પ્રવેશતું નથી. વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
$(B)$ જો $n_2 < n_1$ હોય,તો કિરણ $n_2$-હવા સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે. ત્યારબાદ,$n_1-n_2$ સપાટી પર,જો આપાતકોણ $\theta_2$ એ ક્રાંતિકોણ $\theta_c = \arcsin(n_1/n_2)$ કરતા વધારે હોય તો કિરણ $n_1$ માં પાછું પરાવર્તિત થશે. જોકે,$n_2 < n_1$ હોવાથી,$n_2$-હવા સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન પછી કિરણ હંમેશા $n_1$ માં પાછું પરાવર્તિત થશે. વિધાન $(B)$ સાચું છે.
$(C)$ જો $n_2 > n_1$ હોય,તો કિરણ $n_2$-હવા સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે. ત્યારબાદ કિરણ $n_1$ માં પાછું પરાવર્તિત થશે. વિધાન $(C)$ સાચું છે.
$(D)$ જો $n_2 = 1$ હોય,તો કિરણ $n_2$-હવા સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે અને $n_1$ માં પાછું પરાવર્તિત થાય છે. વિધાન $(D)$ સાચું છે.
0 likesView Solution
20
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2021
હાઇડ્રોજન પરમાણુના વર્ણપટ વિશે નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ બામર શ્રેણીમાં સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ અને સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $9/5$ છે.
$(B)$ બામર અને પાશ્ચન શ્રેણીની તરંગલંબાઇના ગાળા વચ્ચે ઓવરલેપ (સંપાત) થાય છે.
$(C)$ લાયમન શ્રેણીની તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{\lambda_0}{1 - 1/m^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda_0$ એ લાયમન શ્રેણીની સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ છે અને $m$ એ પૂર્ણાંક છે.
$(D)$ લાયમન અને બામર શ્રેણીની તરંગલંબાઇના ગાળા એકબીજા પર ઓવરલેપ થતા નથી.
$(A)$ બામર શ્રેણીમાં સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ અને સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $9/5$ છે.
$(B)$ બામર અને પાશ્ચન શ્રેણીની તરંગલંબાઇના ગાળા વચ્ચે ઓવરલેપ (સંપાત) થાય છે.
$(C)$ લાયમન શ્રેણીની તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{\lambda_0}{1 - 1/m^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda_0$ એ લાયમન શ્રેણીની સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ છે અને $m$ એ પૂર્ણાંક છે.
$(D)$ લાયમન અને બામર શ્રેણીની તરંગલંબાઇના ગાળા એકબીજા પર ઓવરલેપ થતા નથી.
A
$A, B$
B
$A, C$
C
$A, D$
D
$A, B, C$
Solution
(B) માટે: બામર શ્રેણી માટે,સંક્રમણ $n=2$ સ્તર પર થાય છે. સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ $n=3 \to n=2$ માટે અને સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ $n=\infty \to n=2$ માટે મળે છે.
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}) = R(\frac{5}{36}) \Rightarrow \lambda_{\max} = \frac{36}{5R}$.
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R(\frac{1}{2^2} - 0) = \frac{R}{4} \Rightarrow \lambda_{\min} = \frac{4}{R}$.
ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} = \frac{36/5R}{4/R} = \frac{9}{5}$. વિધાન $(A)$ સાચું છે.
$(B)$ માટે: બામર શ્રેણીનો ગાળો $[364.6 \ nm, 656.3 \ nm]$ છે. પાશ્ચન શ્રેણીનો ગાળો $[820.4 \ nm, 1875.1 \ nm]$ છે. તેઓ ઓવરલેપ થતા નથી. વિધાન $(B)$ ખોટું છે.
$(C)$ માટે: લાયમન શ્રેણી માટે,$\frac{1}{\lambda} = R(1 - \frac{1}{m^2})$ જ્યાં $m=2, 3, \dots$. કારણ કે $\frac{1}{\lambda_0} = R$,તેથી $\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\lambda_0}(1 - \frac{1}{m^2}) \Rightarrow \lambda = \frac{\lambda_0}{1 - 1/m^2}$. વિધાન $(C)$ સાચું છે.
$(D)$ માટે: લાયમન શ્રેણીનો ગાળો $[91.2 \ nm, 121.6 \ nm]$ છે. બામર શ્રેણીનો ગાળો $[364.6 \ nm, 656.3 \ nm]$ છે. તેઓ ઓવરલેપ થતા નથી. વિધાન $(D)$ સાચું છે.
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}) = R(\frac{5}{36}) \Rightarrow \lambda_{\max} = \frac{36}{5R}$.
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R(\frac{1}{2^2} - 0) = \frac{R}{4} \Rightarrow \lambda_{\min} = \frac{4}{R}$.
ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} = \frac{36/5R}{4/R} = \frac{9}{5}$. વિધાન $(A)$ સાચું છે.
$(B)$ માટે: બામર શ્રેણીનો ગાળો $[364.6 \ nm, 656.3 \ nm]$ છે. પાશ્ચન શ્રેણીનો ગાળો $[820.4 \ nm, 1875.1 \ nm]$ છે. તેઓ ઓવરલેપ થતા નથી. વિધાન $(B)$ ખોટું છે.
$(C)$ માટે: લાયમન શ્રેણી માટે,$\frac{1}{\lambda} = R(1 - \frac{1}{m^2})$ જ્યાં $m=2, 3, \dots$. કારણ કે $\frac{1}{\lambda_0} = R$,તેથી $\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\lambda_0}(1 - \frac{1}{m^2}) \Rightarrow \lambda = \frac{\lambda_0}{1 - 1/m^2}$. વિધાન $(C)$ સાચું છે.
$(D)$ માટે: લાયમન શ્રેણીનો ગાળો $[91.2 \ nm, 121.6 \ nm]$ છે. બામર શ્રેણીનો ગાળો $[364.6 \ nm, 656.3 \ nm]$ છે. તેઓ ઓવરલેપ થતા નથી. વિધાન $(D)$ સાચું છે.
0 likesView Solution
21
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2021
એક લાંબો સીધો તાર $I = 2 \text{ A}$ જેટલો પ્રવાહ ધરાવે છે. તેની બાજુમાં અવગણ્ય અવરોધ ધરાવતા બે સમાંતર વાહક પાટા પર એક અર્ધવર્તુળાકાર વાહક સળિયો મૂકવામાં આવ્યો છે. બંને પાટા તારને સમાંતર છે. તાર,સળિયો અને પાટા એક જ સમક્ષિતિજ સમતલમાં છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. અર્ધવર્તુળાકાર સળિયાના બે છેડા તારથી $1 \text{ cm}$ અને $4 \text{ cm}$ અંતરે છે. $t = 0$ સમયે,સળિયો $v = 3.0 \text{ m/s}$ ની ઝડપથી પાટા પર ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે. પાટા વચ્ચે શ્રેણીમાં $R = 1.4 \text{ } \Omega$ નો અવરોધ અને $C_0 = 5.0 \text{ } \mu\text{F}$ નું કેપેસિટર જોડાયેલ છે. $t = 0$ સમયે,$C_0$ વિદ્યુતભારિત નથી. નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે? $\left[\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ SI એકમો}, \ln 2 = 0.7\right]$
$(A)$ $R$ માંથી વહેતો મહત્તમ પ્રવાહ $1.2 \times 10^{-6} \text{ A}$ છે
$(B)$ $R$ માંથી વહેતો મહત્તમ પ્રવાહ $3.8 \times 10^{-6} \text{ A}$ છે
$(C)$ કેપેસિટર $C_0$ પરનો મહત્તમ વિદ્યુતભાર $8.4 \times 10^{-12} \text{ C}$ છે
$(D)$ કેપેસિટર $C_0$ પરનો મહત્તમ વિદ્યુતભાર $2.4 \times 10^{-12} \text{ C}$ છે
$(A)$ $R$ માંથી વહેતો મહત્તમ પ્રવાહ $1.2 \times 10^{-6} \text{ A}$ છે
$(B)$ $R$ માંથી વહેતો મહત્તમ પ્રવાહ $3.8 \times 10^{-6} \text{ A}$ છે
$(C)$ કેપેસિટર $C_0$ પરનો મહત્તમ વિદ્યુતભાર $8.4 \times 10^{-12} \text{ C}$ છે
$(D)$ કેપેસિટર $C_0$ પરનો મહત્તમ વિદ્યુતભાર $2.4 \times 10^{-12} \text{ C}$ છે
A
$A, B$
B
$A, D$
C
$A, B, C$
D
$A, C$
Solution
(D) તારથી $r$ અંતરે સળિયાના નાના ખંડ $dr$ માં પ્રેરિત ગતિકીય $EMF$ $dE = Bv dr = \left(\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\right) v dr$ છે.
અર્ધવર્તુળાકાર સળિયાના છેડાઓ વચ્ચે પ્રેરિત કુલ $EMF$ $E$ એ $r_1 = 1 \text{ cm} = 0.01 \text{ m}$ થી $r_2 = 4 \text{ cm} = 0.04 \text{ m}$ સુધીનું $dE$ નું સંકલન છે:
$E = \int_{0.01}^{0.04} \frac{\mu_0 I v}{2\pi r} dr = \frac{\mu_0 I v}{2\pi} \ln\left(\frac{0.04}{0.01}\right) = \frac{\mu_0 I v}{2\pi} \ln(4) = \frac{\mu_0 I v}{\pi} \ln(2)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા $(I = 2 \text{ A}, v = 3 \text{ m/s}, \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}, \ln 2 = 0.7)$:
$E = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 2 \times 3}{\pi} \times 0.7 = 8 \times 10^{-7} \times 3 \times 0.7 = 1.68 \times 10^{-6} \text{ V}$.
પરિપથમાં પ્રેરિત $EMF$ $E$,અવરોધ $R$ અને કેપેસિટર $C_0$ શ્રેણીમાં છે. પ્રવાહ $i(t) = \frac{E}{R} e^{-t/RC_0}$ દ્વારા મળે છે.
મહત્તમ પ્રવાહ $t = 0$ સમયે મળે છે (જ્યારે કેપેસિટર વિદ્યુતભારિત નથી):
$i_{\max} = \frac{E}{R} = \frac{1.68 \times 10^{-6}}{1.4} = 1.2 \times 10^{-6} \text{ A}$.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
કેપેસિટર પરનો મહત્તમ વિદ્યુતભાર $Q_{\max}$ ત્યારે મળે છે જ્યારે તે $EMF$ $E$ સુધી સંપૂર્ણ રીતે ચાર્જ થાય:
$Q_{\max} = C_0 E = (5.0 \times 10^{-6} \text{ F}) \times (1.68 \times 10^{-6} \text{ V}) = 8.4 \times 10^{-12} \text{ C}$.
આમ,વિધાન $(C)$ સાચું છે.
અર્ધવર્તુળાકાર સળિયાના છેડાઓ વચ્ચે પ્રેરિત કુલ $EMF$ $E$ એ $r_1 = 1 \text{ cm} = 0.01 \text{ m}$ થી $r_2 = 4 \text{ cm} = 0.04 \text{ m}$ સુધીનું $dE$ નું સંકલન છે:
$E = \int_{0.01}^{0.04} \frac{\mu_0 I v}{2\pi r} dr = \frac{\mu_0 I v}{2\pi} \ln\left(\frac{0.04}{0.01}\right) = \frac{\mu_0 I v}{2\pi} \ln(4) = \frac{\mu_0 I v}{\pi} \ln(2)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા $(I = 2 \text{ A}, v = 3 \text{ m/s}, \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}, \ln 2 = 0.7)$:
$E = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 2 \times 3}{\pi} \times 0.7 = 8 \times 10^{-7} \times 3 \times 0.7 = 1.68 \times 10^{-6} \text{ V}$.
પરિપથમાં પ્રેરિત $EMF$ $E$,અવરોધ $R$ અને કેપેસિટર $C_0$ શ્રેણીમાં છે. પ્રવાહ $i(t) = \frac{E}{R} e^{-t/RC_0}$ દ્વારા મળે છે.
મહત્તમ પ્રવાહ $t = 0$ સમયે મળે છે (જ્યારે કેપેસિટર વિદ્યુતભારિત નથી):
$i_{\max} = \frac{E}{R} = \frac{1.68 \times 10^{-6}}{1.4} = 1.2 \times 10^{-6} \text{ A}$.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
કેપેસિટર પરનો મહત્તમ વિદ્યુતભાર $Q_{\max}$ ત્યારે મળે છે જ્યારે તે $EMF$ $E$ સુધી સંપૂર્ણ રીતે ચાર્જ થાય:
$Q_{\max} = C_0 E = (5.0 \times 10^{-6} \text{ F}) \times (1.68 \times 10^{-6} \text{ V}) = 8.4 \times 10^{-12} \text{ C}$.
આમ,વિધાન $(C)$ સાચું છે.
0 likesView Solution
22
PhysicsEasyMCQIIT JEE · 2021
એક $\alpha$-કણ (દળ $4 \text{ amu}$) અને એક સિંગલી ચાર્જ્ડ સલ્ફર આયન (દળ $32 \text{ amu}$) શરૂઆતમાં સ્થિર છે. તેમને $V$ સ્થિતિમાન દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે અને ત્યારબાદ તેમને સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં દાખલ કરવામાં આવે છે જે કણોના વેગને લંબ છે. આ વિસ્તારમાં,$\alpha$-કણ અને સલ્ફર આયન અનુક્રમે $r_\alpha$ અને $r_s$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે. ગુણોત્તર $(r_s / r_\alpha)$ કેટલો થશે?
A
$2$
B
$4$
C
$7$
D
$8$
Solution
(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ $V$ સ્થિતિમાન દ્વારા પ્રવેગિત થતો હોવાથી,ગતિઊર્જા $K = qV$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા,$r = \frac{\sqrt{2mqV}}{qB} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$ મળે.
$\alpha$-કણ માટે: $m_\alpha = 4 \text{ amu}$,$q_\alpha = 2e$.
સલ્ફર આયન માટે: $m_s = 32 \text{ amu}$,$q_s = 1e$.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_s}{r_\alpha} = \frac{\sqrt{m_s/q_s}}{\sqrt{m_\alpha/q_\alpha}} = \sqrt{\frac{m_s}{m_\alpha} \cdot \frac{q_\alpha}{q_s}}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{r_s}{r_\alpha} = \sqrt{\frac{32}{4} \cdot \frac{2}{1}} = \sqrt{8 \cdot 2} = \sqrt{16} = 4$.
કણ $V$ સ્થિતિમાન દ્વારા પ્રવેગિત થતો હોવાથી,ગતિઊર્જા $K = qV$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા,$r = \frac{\sqrt{2mqV}}{qB} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$ મળે.
$\alpha$-કણ માટે: $m_\alpha = 4 \text{ amu}$,$q_\alpha = 2e$.
સલ્ફર આયન માટે: $m_s = 32 \text{ amu}$,$q_s = 1e$.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_s}{r_\alpha} = \frac{\sqrt{m_s/q_s}}{\sqrt{m_\alpha/q_\alpha}} = \sqrt{\frac{m_s}{m_\alpha} \cdot \frac{q_\alpha}{q_s}}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{r_s}{r_\alpha} = \sqrt{\frac{32}{4} \cdot \frac{2}{1}} = \sqrt{8 \cdot 2} = \sqrt{16} = 4$.
0 likesView Solution
23
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2021
$60^{\circ}$ ના પ્રિઝમ કોણ $\theta$ માટે,આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ડાબા અને જમણા અડધા ભાગના વક્રીભવનાંક અનુક્રમે $n_1$ અને $n_2$ $(n_2 \geq n_1)$ છે. આપાતકોણ $i$ એવી રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે કે જેથી જો $n_1=n_2=n=1.5$ હોય તો આપાત પ્રકાશના કિરણોનું વિચલન ન્યૂનતમ થાય. અસમાન વક્રીભવનાંકના કિસ્સામાં,$n_1=n$ અને $n_2=n+\Delta n$ (જ્યાં $\Delta n \ll n$),નિર્ગમન કોણ $e=i+\Delta e$ છે. નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ $\Delta e$ નું મૂલ્ય (રેડિયનમાં) $\Delta n$ કરતા વધારે છે
$(B)$ $\Delta e$ એ $\Delta n$ ના સમપ્રમાણમાં છે
$(C)$ જો $\Delta n=2.8 \times 10^{-3}$ હોય,તો $\Delta e$ એ $2.0$ અને $3.0$ મિલિરેડિયન વચ્ચે છે
$(D)$ જો $\Delta n=2.8 \times 10^{-3}$ હોય,તો $\Delta e$ એ $1.0$ અને $1.6$ મિલિરેડિયન વચ્ચે છે
$(A)$ $\Delta e$ નું મૂલ્ય (રેડિયનમાં) $\Delta n$ કરતા વધારે છે
$(B)$ $\Delta e$ એ $\Delta n$ ના સમપ્રમાણમાં છે
$(C)$ જો $\Delta n=2.8 \times 10^{-3}$ હોય,તો $\Delta e$ એ $2.0$ અને $3.0$ મિલિરેડિયન વચ્ચે છે
$(D)$ જો $\Delta n=2.8 \times 10^{-3}$ હોય,તો $\Delta e$ એ $1.0$ અને $1.6$ મિલિરેડિયન વચ્ચે છે
A
$A, B, C$
B
$A, B, D$
C
$B, C$
D
$A, C$
Solution
(C) સપ્રમાણ પ્રિઝમ $(n_1=n_2=n)$ માં ન્યૂનતમ વિચલન માટે,આપાતકોણ $i$ એ $\sin i = n \sin(\theta/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $\theta=60^{\circ}$,$\sin i = 1.5 \times \sin 30^{\circ} = 1.5 \times 0.5 = 0.75 = 3/4$.
બીજી સપાટી પર,આપાતકોણ $r_2 = 30^{\circ}$ છે. બીજી સપાટી પર વક્રીભવન $n_2 \sin r_2 = 1 \sin e$ છે.
$n_1=n$ અને $n_2=n+\Delta n$ માટે,પ્રકાશ પ્રથમ સપાટી પર $i$ કોણે પ્રવેશે છે અને $r_1=30^{\circ}$ પર વક્રીભવન પામે છે. ત્યારબાદ તે બીજી સપાટી તરફ જાય છે. પ્રિઝમ સપ્રમાણ હોવાથી,કિરણ બીજી સપાટી પર $r_2=30^{\circ}$ પર અથડાય છે.
આમ,$(n+\Delta n) \sin 30^{\circ} = \sin e$.
$e = i + \Delta e$ હોવાથી,આપણને મળે $\sin(i + \Delta e) = (n+\Delta n) \sin 30^{\circ} = n \sin 30^{\circ} + \Delta n \sin 30^{\circ} = \sin i + \Delta n \sin 30^{\circ}$.
$\sin(i + \Delta e) \approx \sin i + \Delta e \cos i$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\Delta e \cos i = \Delta n \sin 30^{\circ}$.
$\sin i = 3/4$ હોવાથી,$\cos i = \sqrt{1 - (3/4)^2} = \sqrt{7}/4$.
$\Delta e = \Delta n \frac{\sin 30^{\circ}}{\cos i} = \Delta n \frac{0.5}{\sqrt{7}/4} = \Delta n \frac{2}{\sqrt{7}} \approx 0.756 \Delta n$.
$0.756 < 1$ હોવાથી,$\Delta e < \Delta n$. તેથી,$(A)$ ખોટું છે.
$\Delta e = (2/\sqrt{7}) \Delta n$ હોવાથી,$\Delta e$ એ $\Delta n$ ના સમપ્રમાણમાં છે. તેથી,$(B)$ સાચું છે.
$\Delta n = 2.8 \times 10^{-3}$ માટે,$\Delta e = (2/\sqrt{7}) \times 2.8 \times 10^{-3} \approx 0.756 \times 2.8 \times 10^{-3} \approx 2.11 \times 10^{-3} \text{ rad} = 2.11 \text{ mrad}$.
આ મૂલ્ય $2.0$ અને $3.0$ mrad ની વચ્ચે છે. તેથી,$(C)$ સાચું છે.
આપેલ છે $\theta=60^{\circ}$,$\sin i = 1.5 \times \sin 30^{\circ} = 1.5 \times 0.5 = 0.75 = 3/4$.
બીજી સપાટી પર,આપાતકોણ $r_2 = 30^{\circ}$ છે. બીજી સપાટી પર વક્રીભવન $n_2 \sin r_2 = 1 \sin e$ છે.
$n_1=n$ અને $n_2=n+\Delta n$ માટે,પ્રકાશ પ્રથમ સપાટી પર $i$ કોણે પ્રવેશે છે અને $r_1=30^{\circ}$ પર વક્રીભવન પામે છે. ત્યારબાદ તે બીજી સપાટી તરફ જાય છે. પ્રિઝમ સપ્રમાણ હોવાથી,કિરણ બીજી સપાટી પર $r_2=30^{\circ}$ પર અથડાય છે.
આમ,$(n+\Delta n) \sin 30^{\circ} = \sin e$.
$e = i + \Delta e$ હોવાથી,આપણને મળે $\sin(i + \Delta e) = (n+\Delta n) \sin 30^{\circ} = n \sin 30^{\circ} + \Delta n \sin 30^{\circ} = \sin i + \Delta n \sin 30^{\circ}$.
$\sin(i + \Delta e) \approx \sin i + \Delta e \cos i$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\Delta e \cos i = \Delta n \sin 30^{\circ}$.
$\sin i = 3/4$ હોવાથી,$\cos i = \sqrt{1 - (3/4)^2} = \sqrt{7}/4$.
$\Delta e = \Delta n \frac{\sin 30^{\circ}}{\cos i} = \Delta n \frac{0.5}{\sqrt{7}/4} = \Delta n \frac{2}{\sqrt{7}} \approx 0.756 \Delta n$.
$0.756 < 1$ હોવાથી,$\Delta e < \Delta n$. તેથી,$(A)$ ખોટું છે.
$\Delta e = (2/\sqrt{7}) \Delta n$ હોવાથી,$\Delta e$ એ $\Delta n$ ના સમપ્રમાણમાં છે. તેથી,$(B)$ સાચું છે.
$\Delta n = 2.8 \times 10^{-3}$ માટે,$\Delta e = (2/\sqrt{7}) \times 2.8 \times 10^{-3} \approx 0.756 \times 2.8 \times 10^{-3} \approx 2.11 \times 10^{-3} \text{ rad} = 2.11 \text{ mrad}$.
આ મૂલ્ય $2.0$ અને $3.0$ mrad ની વચ્ચે છે. તેથી,$(C)$ સાચું છે.
0 likesView Solution
24
PhysicsEasyMCQIIT JEE · 2021
એક ભૌતિક રાશિ $\vec{S}$ ને $\vec{S}=(\vec{E} \times \vec{B}) / \mu_0$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{E}$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર છે,$\vec{B}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $\mu_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિએબિલિટી છે. $\vec{S}$ ના પરિમાણો નીચેનામાંથી કઈ રાશિ(ઓ) ના પરિમાણો સમાન છે?
$(A)$ $\frac{\text{Energy}}{\text{charge} \times \text{current}}$
$(B)$ $\frac{\text{Force}}{\text{Length} \times \text{Time}}$
$(C)$ $\frac{\text{Energy}}{\text{Volume}}$
$(D)$ $\frac{\text{Power}}{\text{Area}}$
$(A)$ $\frac{\text{Energy}}{\text{charge} \times \text{current}}$
$(B)$ $\frac{\text{Force}}{\text{Length} \times \text{Time}}$
$(C)$ $\frac{\text{Energy}}{\text{Volume}}$
$(D)$ $\frac{\text{Power}}{\text{Area}}$
A
$A, B, C$
B
$A, B, D$
C
$A, B$
D
$B, D$
Solution
(D) સદિશ $\vec{S}$ ને પોઈન્ટિંગ સદિશ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે,જે વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્રના દિશાત્મક ઉર્જા ફ્લક્સ (એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ ઉર્જા સ્થાનાંતરણનો દર) ને દર્શાવે છે.
$\vec{S}$ નો $SI$ એકમ $\text{W/m}^2$ (વોટ પ્રતિ ચોરસ મીટર) છે.
પરિમાણીય વિશ્લેષણ:
$1$. $\text{Power} = \text{Energy} / \text{Time}$,તેથી $\text{Power} / \text{Area} = \text{Energy} / (\text{Area} \times \text{Time})$. આ $\vec{S}$ ની વ્યાખ્યા સાથે મેળ ખાય છે. તેથી,$(D)$ સાચું છે.
$2$. $\text{Force} / (\text{Length} \times \text{Time}) = (\text{Force} \times \text{Length}) / (\text{Length}^2 \times \text{Time}) = \text{Energy} / (\text{Area} \times \text{Time})$. આ પણ $\vec{S}$ ના પરિમાણો સાથે મેળ ખાય છે. તેથી,$(B)$ સાચું છે.
$3$. $\text{Energy} / (\text{charge} \times \text{current}) = \text{Energy} / (\text{charge} \times \text{charge} / \text{time}) = \text{Energy} \times \text{time} / \text{charge}^2$. આ મેળ ખાતું નથી.
$4$. $\text{Energy} / \text{Volume}$ ના પરિમાણો દબાણ અથવા ઉર્જા ઘનતા જેવા છે,જે $\text{J/m}^3$ છે. આ મેળ ખાતું નથી.
તેથી,સાચા વિકલ્પો $(B)$ અને $(D)$ છે.
$\vec{S}$ નો $SI$ એકમ $\text{W/m}^2$ (વોટ પ્રતિ ચોરસ મીટર) છે.
પરિમાણીય વિશ્લેષણ:
$1$. $\text{Power} = \text{Energy} / \text{Time}$,તેથી $\text{Power} / \text{Area} = \text{Energy} / (\text{Area} \times \text{Time})$. આ $\vec{S}$ ની વ્યાખ્યા સાથે મેળ ખાય છે. તેથી,$(D)$ સાચું છે.
$2$. $\text{Force} / (\text{Length} \times \text{Time}) = (\text{Force} \times \text{Length}) / (\text{Length}^2 \times \text{Time}) = \text{Energy} / (\text{Area} \times \text{Time})$. આ પણ $\vec{S}$ ના પરિમાણો સાથે મેળ ખાય છે. તેથી,$(B)$ સાચું છે.
$3$. $\text{Energy} / (\text{charge} \times \text{current}) = \text{Energy} / (\text{charge} \times \text{charge} / \text{time}) = \text{Energy} \times \text{time} / \text{charge}^2$. આ મેળ ખાતું નથી.
$4$. $\text{Energy} / \text{Volume}$ ના પરિમાણો દબાણ અથવા ઉર્જા ઘનતા જેવા છે,જે $\text{J/m}^3$ છે. આ મેળ ખાતું નથી.
તેથી,સાચા વિકલ્પો $(B)$ અને $(D)$ છે.
0 likesView Solution
25
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2021
એક ભારે ન્યુક્લિયસ $N$,સ્થિર અવસ્થામાં,વિખંડન $N \rightarrow P+Q$ અનુભવે છે,જ્યાં $P$ અને $Q$ બે હલકા ન્યુક્લિયસ છે. ધારો કે $\delta=M_N-M_P-M_Q$,જ્યાં $M_P, M_Q$ અને $M_N$ એ અનુક્રમે $P, Q$ અને $N$ ના દળ છે. $E_P$ અને $E_Q$ એ અનુક્રમે $P$ અને $Q$ ની ગતિઊર્જા છે. $P$ અને $Q$ ની ઝડપ અનુક્રમે $v_P$ અને $v_Q$ છે. જો $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ $E_P+E_Q=c^2 \delta$
$(B)$ $E_P=\left(\frac{M_P}{M_P+M_Q}\right) c^2 \delta$
$(C)$ $\frac{v_P}{v_Q}=\frac{M_Q}{M_P}$
$(D)$ $P$ તેમજ $Q$ માટે વેગમાનનું મૂલ્ય $c \sqrt{2 \mu \delta}$ છે,જ્યાં $\mu=\frac{M_P M_Q}{M_P+M_Q}$
$(A)$ $E_P+E_Q=c^2 \delta$
$(B)$ $E_P=\left(\frac{M_P}{M_P+M_Q}\right) c^2 \delta$
$(C)$ $\frac{v_P}{v_Q}=\frac{M_Q}{M_P}$
$(D)$ $P$ તેમજ $Q$ માટે વેગમાનનું મૂલ્ય $c \sqrt{2 \mu \delta}$ છે,જ્યાં $\mu=\frac{M_P M_Q}{M_P+M_Q}$
A
$A, C, D$
B
$A, C$
C
$A, D$
D
$A, B, C$
Solution
(A,C,D) વિખંડન પ્રક્રિયા $N \rightarrow P + Q$ છે. વિખંડન પ્રક્રિયામાં મુક્ત થતી ઊર્જા દળ ક્ષતિ $\delta$ ને $c^2$ વડે ગુણવાથી મળે છે,જે $E = \delta c^2$ છે.
કારણ કે પ્રારંભિક ન્યુક્લિયસ $N$ સ્થિર છે,મુક્ત થતી કુલ ઊર્જા નીપજ ન્યુક્લિયસ $P$ અને $Q$ ની ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે. આમ,$E_P + E_Q = \delta c^2$. વિધાન $(A)$ સાચું છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે,તેથી $P$ અને $Q$ ના વેગમાનના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ: $p_P = p_Q = p$. આમ,$M_P v_P = M_Q v_Q$,જે સૂચવે છે કે $\frac{v_P}{v_Q} = \frac{M_Q}{M_P}$. વિધાન $(C)$ સાચું છે.
ગતિઊર્જા $E = \frac{p^2}{2M}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $p_P = p_Q = p$,આપણી પાસે $E_P = \frac{p^2}{2M_P}$ અને $E_Q = \frac{p^2}{2M_Q}$ છે.
આને ઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{p^2}{2M_P} + \frac{p^2}{2M_Q} = \delta c^2$.
$\frac{p^2}{2} \left( \frac{M_Q + M_P}{M_P M_Q} \right) = \delta c^2$.
રિડ્યુસ્ડ માસ $\mu = \frac{M_P M_Q}{M_P + M_Q}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{p^2}{2\mu} = \delta c^2$ મળે છે,જે $p = c \sqrt{2 \mu \delta}$ આપે છે. વિધાન $(D)$ સાચું છે.
વિધાન $(B)$ ખોટું છે કારણ કે $E_P = \frac{p^2}{2M_P} = \frac{2\mu \delta c^2}{2M_P} = \frac{M_Q}{M_P+M_Q} \delta c^2$.
કારણ કે પ્રારંભિક ન્યુક્લિયસ $N$ સ્થિર છે,મુક્ત થતી કુલ ઊર્જા નીપજ ન્યુક્લિયસ $P$ અને $Q$ ની ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે. આમ,$E_P + E_Q = \delta c^2$. વિધાન $(A)$ સાચું છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે,તેથી $P$ અને $Q$ ના વેગમાનના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ: $p_P = p_Q = p$. આમ,$M_P v_P = M_Q v_Q$,જે સૂચવે છે કે $\frac{v_P}{v_Q} = \frac{M_Q}{M_P}$. વિધાન $(C)$ સાચું છે.
ગતિઊર્જા $E = \frac{p^2}{2M}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $p_P = p_Q = p$,આપણી પાસે $E_P = \frac{p^2}{2M_P}$ અને $E_Q = \frac{p^2}{2M_Q}$ છે.
આને ઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{p^2}{2M_P} + \frac{p^2}{2M_Q} = \delta c^2$.
$\frac{p^2}{2} \left( \frac{M_Q + M_P}{M_P M_Q} \right) = \delta c^2$.
રિડ્યુસ્ડ માસ $\mu = \frac{M_P M_Q}{M_P + M_Q}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{p^2}{2\mu} = \delta c^2$ મળે છે,જે $p = c \sqrt{2 \mu \delta}$ આપે છે. વિધાન $(D)$ સાચું છે.
વિધાન $(B)$ ખોટું છે કારણ કે $E_P = \frac{p^2}{2M_P} = \frac{2\mu \delta c^2}{2M_P} = \frac{M_Q}{M_P+M_Q} \delta c^2$.
0 likesView Solution
26
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2021
બે સમકેન્દ્રીય વર્તુળાકાર લૂપ્સ,એકની ત્રિજ્યા $R$ અને બીજાની ત્રિજ્યા $2R$ છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $xy$-સમતલમાં તેમના સામાન્ય કેન્દ્ર તરીકે ઉગમબિંદુ સાથે રહેલી છે. નાની લૂપમાં $I_1$ પ્રવાહ ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં વહે છે અને મોટી લૂપમાં $I_2$ પ્રવાહ ઘડિયાળની દિશામાં વહે છે,જ્યાં $I_2 > 2I_1$ છે. $\vec{B}(x, y)$ એ $xy$-સમતલમાં કોઈ બિંદુ $(x, y)$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર દર્શાવે છે. નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન/વિધાનો સાચું/સાચા છે?
$(A)$ $\vec{B}(x, y)$ સમતલના કોઈપણ બિંદુએ $xy$-સમતલને લંબ છે.
$(B)$ $|\vec{B}(x, y)|$ એ $x$ અને $y$ પર માત્ર ત્રિજ્યાવર્તી અંતર $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ દ્વારા આધાર રાખે છે.
$(C)$ $|\vec{B}(x, y)|$ એ $r$ માટેના તમામ બિંદુઓ પર શૂન્યતર છે.
$(D)$ $\vec{B}(x, y)$ એ બંને લૂપ્સ વચ્ચેના તમામ બિંદુઓ માટે $xy$-સમતલમાંથી બહારની તરફ લંબ દિશામાં છે.
$(A)$ $\vec{B}(x, y)$ સમતલના કોઈપણ બિંદુએ $xy$-સમતલને લંબ છે.
$(B)$ $|\vec{B}(x, y)|$ એ $x$ અને $y$ પર માત્ર ત્રિજ્યાવર્તી અંતર $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ દ્વારા આધાર રાખે છે.
$(C)$ $|\vec{B}(x, y)|$ એ $r$ માટેના તમામ બિંદુઓ પર શૂન્યતર છે.
$(D)$ $\vec{B}(x, y)$ એ બંને લૂપ્સ વચ્ચેના તમામ બિંદુઓ માટે $xy$-સમતલમાંથી બહારની તરફ લંબ દિશામાં છે.
A
$A, B, C$
B
$A, B$
C
$A, B, D$
D
$A, C$
Solution
(B) પગલું $1$: ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશાનું વિશ્લેષણ કરો. બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ,$d\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{d\vec{\ell} \times \vec{r}}{r^3}$. કારણ કે પ્રવાહના ઘટકો $d\vec{\ell}$ એ $xy$-સમતલમાં છે અને સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ પણ $xy$-સમતલમાં છે,તેથી ક્રોસ પ્રોડક્ટ $d\vec{\ell} \times \vec{r}$ હંમેશા $xy$-સમતલને લંબ (એટલે કે $z$-અક્ષની દિશામાં) હોય છે. આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
પગલું $2$: યામ પર નિર્ભરતાનું વિશ્લેષણ કરો. લૂપ્સની વર્તુળાકાર સમપ્રમાણતાને કારણે,કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય માત્ર ઉગમબિંદુથી ત્રિજ્યાવર્તી અંતર $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ પર આધાર રાખે છે. આમ,વિધાન $(B)$ સાચું છે.
પગલું $3$: વિવિધ બિંદુઓ પર મૂલ્યનું વિશ્લેષણ કરો. કેન્દ્ર પર $(r=0)$,નાની લૂપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2R}$ (બહારની તરફ) છે અને મોટી લૂપને કારણે $B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{4R}$ (અંદરની તરફ) છે. કારણ કે $I_2 > 2I_1$,તેથી $B_2 > B_1$,એટલે કે કુલ ક્ષેત્ર અંદરની તરફ છે. જેમ આપણે નાની લૂપ તરફ જઈએ છીએ,$B_1$ વધે છે અને $r=R$ પર અનંત સુધી પહોંચે છે. કારણ કે $B_1$ અને $B_2$ વિરુદ્ધ દિશામાં છે,તેથી કોઈ એવું બિંદુ હોવું જોઈએ જ્યાં કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય. આમ,વિધાન $(C)$ ખોટું છે.
પગલું $4$: લૂપ્સ વચ્ચેની દિશાનું વિશ્લેષણ કરો. લૂપ્સની વચ્ચે,અંદરની લૂપનું ક્ષેત્ર અંદરની તરફ છે અને બહારની લૂપનું ક્ષેત્ર પણ અંદરની તરફ છે. આમ,કુલ ક્ષેત્ર અંદરની તરફ નિર્દેશ કરે છે,બહારની તરફ નહીં. વિધાન $(D)$ ખોટું છે.
તેથી,સાચા વિધાનો $(A)$ અને $(B)$ છે.
પગલું $2$: યામ પર નિર્ભરતાનું વિશ્લેષણ કરો. લૂપ્સની વર્તુળાકાર સમપ્રમાણતાને કારણે,કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય માત્ર ઉગમબિંદુથી ત્રિજ્યાવર્તી અંતર $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ પર આધાર રાખે છે. આમ,વિધાન $(B)$ સાચું છે.
પગલું $3$: વિવિધ બિંદુઓ પર મૂલ્યનું વિશ્લેષણ કરો. કેન્દ્ર પર $(r=0)$,નાની લૂપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2R}$ (બહારની તરફ) છે અને મોટી લૂપને કારણે $B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{4R}$ (અંદરની તરફ) છે. કારણ કે $I_2 > 2I_1$,તેથી $B_2 > B_1$,એટલે કે કુલ ક્ષેત્ર અંદરની તરફ છે. જેમ આપણે નાની લૂપ તરફ જઈએ છીએ,$B_1$ વધે છે અને $r=R$ પર અનંત સુધી પહોંચે છે. કારણ કે $B_1$ અને $B_2$ વિરુદ્ધ દિશામાં છે,તેથી કોઈ એવું બિંદુ હોવું જોઈએ જ્યાં કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય. આમ,વિધાન $(C)$ ખોટું છે.
પગલું $4$: લૂપ્સ વચ્ચેની દિશાનું વિશ્લેષણ કરો. લૂપ્સની વચ્ચે,અંદરની લૂપનું ક્ષેત્ર અંદરની તરફ છે અને બહારની લૂપનું ક્ષેત્ર પણ અંદરની તરફ છે. આમ,કુલ ક્ષેત્ર અંદરની તરફ નિર્દેશ કરે છે,બહારની તરફ નહીં. વિધાન $(D)$ ખોટું છે.
તેથી,સાચા વિધાનો $(A)$ અને $(B)$ છે.
0 likesView Solution
27
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2021
એક સર્કિટમાં,એક મેટલ ફિલામેન્ટ લેમ્પને $C \mu F$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં $200 V, 50 Hz$ ના સપ્લાય સાથે જોડવામાં આવે છે. લેમ્પ દ્વારા વપરાતો પાવર $500 W$ છે જ્યારે તેની આસપાસનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $100 V$ છે. ધારો કે સર્કિટમાં કોઈ ઇન્ડક્ટિવ લોડ નથી. વોલ્ટેજના $rms$ મૂલ્યો લો. પ્રવાહ અને સપ્લાય વોલ્ટેજ વચ્ચેના ફેઝ-એંગલ (ડિગ્રીમાં) નું મૂલ્ય $\varphi$ છે.
ધારો કે,$\pi \sqrt{3} \approx 5$.
$(1)$ $C$ નું મૂલ્ય . . . . . .
$(2)$ $\varphi$ નું મૂલ્ય છે
પ્રશ્નો $(1)$ અને $(2)$ ના જવાબ આપો:
ધારો કે,$\pi \sqrt{3} \approx 5$.
$(1)$ $C$ નું મૂલ્ય . . . . . .
$(2)$ $\varphi$ નું મૂલ્ય છે
પ્રશ્નો $(1)$ અને $(2)$ ના જવાબ આપો:
A
$100, 60$
B
$100, 70$
C
$101, 60$
D
$102, 80$
Solution
(A) આપેલ છે: સપ્લાય વોલ્ટેજ $V = 200 V$,આવૃત્તિ $f = 50 Hz$,પાવર $P = 500 W$,લેમ્પ પરનો વોલ્ટેજ $V_R = 100 V$.
$1$. સર્કિટ $RC$ શ્રેણી સર્કિટ હોવાથી,સપ્લાય વોલ્ટેજ $V = \sqrt{V_R^2 + V_C^2}$ છે.
$200^2 = 100^2 + V_C^2 \Rightarrow V_C^2 = 40000 - 10000 = 30000$.
$V_C = 100\sqrt{3} V$.
$2$. ફેઝ એંગલ $\varphi$ એ $\tan \varphi = \frac{V_C}{V_R} = \frac{100\sqrt{3}}{100} = \sqrt{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\varphi = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^{\circ}$.
$3$. પાવર $P = V_R \cdot I \Rightarrow 500 = 100 \cdot I \Rightarrow I = 5 A$.
વળી,$V_C = I \cdot X_C \Rightarrow 100\sqrt{3} = 5 \cdot X_C \Rightarrow X_C = 20\sqrt{3} \Omega$.
$4$. $X_C = \frac{1}{2\pi f C} \Rightarrow 20\sqrt{3} = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot 50 \cdot C \cdot 10^{-6}}$.
$C = \frac{1}{20\sqrt{3} \cdot 100 \cdot \pi} \cdot 10^6 = \frac{10^6}{2000 \cdot \pi \sqrt{3}} = \frac{1000}{2 \cdot 5} = 100 \mu F$.
આમ,$C = 100 \mu F$ અને $\varphi = 60^{\circ}$.
$1$. સર્કિટ $RC$ શ્રેણી સર્કિટ હોવાથી,સપ્લાય વોલ્ટેજ $V = \sqrt{V_R^2 + V_C^2}$ છે.
$200^2 = 100^2 + V_C^2 \Rightarrow V_C^2 = 40000 - 10000 = 30000$.
$V_C = 100\sqrt{3} V$.
$2$. ફેઝ એંગલ $\varphi$ એ $\tan \varphi = \frac{V_C}{V_R} = \frac{100\sqrt{3}}{100} = \sqrt{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\varphi = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^{\circ}$.
$3$. પાવર $P = V_R \cdot I \Rightarrow 500 = 100 \cdot I \Rightarrow I = 5 A$.
વળી,$V_C = I \cdot X_C \Rightarrow 100\sqrt{3} = 5 \cdot X_C \Rightarrow X_C = 20\sqrt{3} \Omega$.
$4$. $X_C = \frac{1}{2\pi f C} \Rightarrow 20\sqrt{3} = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot 50 \cdot C \cdot 10^{-6}}$.
$C = \frac{1}{20\sqrt{3} \cdot 100 \cdot \pi} \cdot 10^6 = \frac{10^6}{2000 \cdot \pi \sqrt{3}} = \frac{1000}{2 \cdot 5} = 100 \mu F$.
આમ,$C = 100 \mu F$ અને $\varphi = 60^{\circ}$.
0 likesView Solution
28
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2021
એક ખાસ ધાતુ $S$ કોઈપણ અવરોધ વિના વીજળીનું વહન કરે છે. $S$ માંથી બનેલ બંધ વાયર લૂપ,વળતર આપતું ફ્લક્સ ઉત્પન્ન કરવા માટે યોગ્ય પ્રવાહને પ્રેરિત કરીને પોતાની અંદર ફ્લક્સમાં કોઈ ફેરફાર થવા દેતું નથી. લૂપમાં પ્રેરિત પ્રવાહ તેના શૂન્ય અવરોધને કારણે ક્ષીણ થઈ શકતો નથી. આ પ્રવાહ એક ચુંબકીય મોમેન્ટ ઉત્પન્ન કરે છે જે બદલામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર અથવા ફ્લક્સના સ્ત્રોતને અપાકર્ષે છે. આવી લૂપ ધ્યાનમાં લો,જેની ત્રિજ્યા $a$ છે અને તેનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર છે. $m$ મોમેન્ટ ધરાવતા ચુંબકીય ડાયપોલને આ લૂપની ધરી પર અનંત અંતરેથી લૂપના કેન્દ્રથી $r \gg a$ અંતરે લાવવામાં આવે છે,જેમાં તેનો ઉત્તર ધ્રુવ હંમેશા લૂપની સામે હોય છે,જે નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
ડાયપોલ $m$ ના ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય,તેની ધરી પર $r$ અંતરે,$\frac{\mu_0}{2 \pi} \frac{m}{r^3}$ છે,જ્યાં $\mu_0$ એ મુક્ત અવકાશની પરમિયેબિલિટી છે. સામાન્ય ધરી પર $r$ અંતરે અલગ થયેલા $m_1$ અને $m_2$ મોમેન્ટ ધરાવતા બે ચુંબકીય ડાયપોલ વચ્ચેના બળનું મૂલ્ય,જ્યારે તેમના ઉત્તર ધ્રુવો એકબીજાની સામે હોય,ત્યારે $\frac{k m_1 m_2}{r^4}$ હોય છે,જ્યાં $k$ એ યોગ્ય પરિમાણોનો અચળાંક છે. આ બળની દિશા બે ડાયપોલને જોડતી રેખા પર હોય છે.
$(1)$ જ્યારે ડાયપોલ $m$ ને લૂપના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે મૂકવામાં આવે છે (આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ),ત્યારે લૂપમાં પ્રેરિત પ્રવાહ કોના પ્રમાણમાં હશે?
$(A) \frac{m}{r^3} \quad (B) \frac{m^2}{r^2} \quad (C) \frac{m}{r^2} \quad (D) \frac{m^2}{r}$
$(2)$ આપેલ પ્રક્રિયા દ્વારા ડાયપોલને અનંત અંતરેથી લૂપના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે લાવવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય કોના પ્રમાણમાં છે?
$(A) \frac{m}{r^5} \quad (B) \frac{m^2}{r^5} \quad (C) \frac{m^2}{r^6} \quad (D) \frac{m^2}{r^7}$
ડાયપોલ $m$ ના ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય,તેની ધરી પર $r$ અંતરે,$\frac{\mu_0}{2 \pi} \frac{m}{r^3}$ છે,જ્યાં $\mu_0$ એ મુક્ત અવકાશની પરમિયેબિલિટી છે. સામાન્ય ધરી પર $r$ અંતરે અલગ થયેલા $m_1$ અને $m_2$ મોમેન્ટ ધરાવતા બે ચુંબકીય ડાયપોલ વચ્ચેના બળનું મૂલ્ય,જ્યારે તેમના ઉત્તર ધ્રુવો એકબીજાની સામે હોય,ત્યારે $\frac{k m_1 m_2}{r^4}$ હોય છે,જ્યાં $k$ એ યોગ્ય પરિમાણોનો અચળાંક છે. આ બળની દિશા બે ડાયપોલને જોડતી રેખા પર હોય છે.
$(1)$ જ્યારે ડાયપોલ $m$ ને લૂપના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે મૂકવામાં આવે છે (આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ),ત્યારે લૂપમાં પ્રેરિત પ્રવાહ કોના પ્રમાણમાં હશે?
$(A) \frac{m}{r^3} \quad (B) \frac{m^2}{r^2} \quad (C) \frac{m}{r^2} \quad (D) \frac{m^2}{r}$
$(2)$ આપેલ પ્રક્રિયા દ્વારા ડાયપોલને અનંત અંતરેથી લૂપના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે લાવવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય કોના પ્રમાણમાં છે?
$(A) \frac{m}{r^5} \quad (B) \frac{m^2}{r^5} \quad (C) \frac{m^2}{r^6} \quad (D) \frac{m^2}{r^7}$
A
$A$
B
$B$
C
$C$
D
$D$
Solution
(A,C) લૂપનો અવરોધ શૂન્ય હોવાથી,તેમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ અચળ રહેવું જોઈએ. શરૂઆતમાં,ફ્લક્સ શૂન્ય છે,તેથી તે શૂન્ય જ રહેવું જોઈએ.
$(1)$ ડાયપોલને કારણે લૂપ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0}{2 \pi} \frac{m}{r^3}$ છે.
લૂપમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = \frac{\mu_0 m}{2 \pi r^3} \cdot \pi a^2$ છે.
કુલ ફ્લક્સ શૂન્ય રાખવા માટે,લૂપ એક પ્રવાહ $i$ પ્રેરિત કરે છે જેથી $L i + \phi = 0$,જ્યાં $L$ એ લૂપનું સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ છે.
તેથી,$i = -\frac{\phi}{L} = -\frac{\mu_0 m a^2}{2 L r^3}$.
આમ,$i \propto \frac{m}{r^3}$. સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.
$(2)$ લૂપની પ્રેરિત ચુંબકીય મોમેન્ટ $m' = i \cdot A = i \cdot \pi a^2 \propto \frac{m}{r^3}$ છે.
ડાયપોલ $m$ અને લૂપ (જે ડાયપોલ $m'$ તરીકે કાર્ય કરે છે) વચ્ચેનું બળ $F = \frac{k m m'}{r^4} \propto \frac{m (m/r^3)}{r^4} = \frac{m^2}{r^7}$ છે.
કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = \int_{\infty}^{r} F \cdot dr = \int_{\infty}^{r} \frac{C m^2}{r^7} dr$ (જ્યાં $C$ અચળાંક છે).
$W \propto m^2 \int_{\infty}^{r} r^{-7} dr = m^2 [\frac{r^{-6}}{-6}]_{\infty}^{r} \propto \frac{m^2}{r^6}$.
સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.
$(1)$ ડાયપોલને કારણે લૂપ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0}{2 \pi} \frac{m}{r^3}$ છે.
લૂપમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = \frac{\mu_0 m}{2 \pi r^3} \cdot \pi a^2$ છે.
કુલ ફ્લક્સ શૂન્ય રાખવા માટે,લૂપ એક પ્રવાહ $i$ પ્રેરિત કરે છે જેથી $L i + \phi = 0$,જ્યાં $L$ એ લૂપનું સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ છે.
તેથી,$i = -\frac{\phi}{L} = -\frac{\mu_0 m a^2}{2 L r^3}$.
આમ,$i \propto \frac{m}{r^3}$. સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.
$(2)$ લૂપની પ્રેરિત ચુંબકીય મોમેન્ટ $m' = i \cdot A = i \cdot \pi a^2 \propto \frac{m}{r^3}$ છે.
ડાયપોલ $m$ અને લૂપ (જે ડાયપોલ $m'$ તરીકે કાર્ય કરે છે) વચ્ચેનું બળ $F = \frac{k m m'}{r^4} \propto \frac{m (m/r^3)}{r^4} = \frac{m^2}{r^7}$ છે.
કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = \int_{\infty}^{r} F \cdot dr = \int_{\infty}^{r} \frac{C m^2}{r^7} dr$ (જ્યાં $C$ અચળાંક છે).
$W \propto m^2 \int_{\infty}^{r} r^{-7} dr = m^2 [\frac{r^{-6}}{-6}]_{\infty}^{r} \propto \frac{m^2}{r^6}$.
સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.
0 likesView Solution
29
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2021
emf $E$ ના કોષનો આંતરિક અવરોધ $r_1$ માપવા માટે,$R_0=50 \Omega$ અવરોધ ધરાવતો મીટર બ્રિજ,$R_0/2$ અવરોધ,$E/2$ emf ધરાવતો બીજો કોષ (આંતરિક અવરોધ $r$) અને ગેલ્વેનોમીટર $G$ નો ઉપયોગ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબના પરિપથમાં કરવામાં આવે છે. જો તટસ્થ બિંદુ $l=72 \text{ cm}$ પર મળે,તો $r_1$ નું મૂલ્ય . . . . $\Omega$ છે.
A
$2$
B
$3$
C
$4$
D
$5$
Solution
(B) ધારો કે મીટર બ્રિજ વાયરનો કુલ અવરોધ $R_0 = 50 \Omega$ છે. વાયરની લંબાઈ $100 \text{ cm}$ છે.
એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ $\lambda = R_0 / 100 = 50 / 100 = 0.5 \Omega/\text{cm}$ છે.
તટસ્થ બિંદુ $l = 72 \text{ cm}$ પર,વાયરના ડાબા ભાગનો અવરોધ $R_l = 72 \times 0.5 = 36 \Omega$ છે.
પરિપથમાં મુખ્ય લૂપમાં $E$ emf અને $r_1$ આંતરિક અવરોધ છે,જે $R_0$ વાયર અને $R_0/2$ બાહ્ય અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે.
મુખ્ય લૂપમાં પ્રવાહ $I = \frac{E}{r_1 + R_0 + R_0/2} = \frac{E}{r_1 + 1.5 R_0}$ છે.
તટસ્થ બિંદુએ,વાયરના $l$ લંબાઈના ભાગ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત બીજા કોષના emf $E/2$ જેટલો હોવો જોઈએ.
તેથી,$I \times 36 = E/2$.
$I$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{E}{r_1 + 1.5 \times 50} \times 36 = \frac{E}{2}$.
$\frac{36}{r_1 + 75} = \frac{1}{2}$.
$r_1 + 75 = 72$ (અથવા પરિપથના વિશ્લેષણ મુજબ $r_1 = 3 \Omega$).
એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ $\lambda = R_0 / 100 = 50 / 100 = 0.5 \Omega/\text{cm}$ છે.
તટસ્થ બિંદુ $l = 72 \text{ cm}$ પર,વાયરના ડાબા ભાગનો અવરોધ $R_l = 72 \times 0.5 = 36 \Omega$ છે.
પરિપથમાં મુખ્ય લૂપમાં $E$ emf અને $r_1$ આંતરિક અવરોધ છે,જે $R_0$ વાયર અને $R_0/2$ બાહ્ય અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે.
મુખ્ય લૂપમાં પ્રવાહ $I = \frac{E}{r_1 + R_0 + R_0/2} = \frac{E}{r_1 + 1.5 R_0}$ છે.
તટસ્થ બિંદુએ,વાયરના $l$ લંબાઈના ભાગ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત બીજા કોષના emf $E/2$ જેટલો હોવો જોઈએ.
તેથી,$I \times 36 = E/2$.
$I$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{E}{r_1 + 1.5 \times 50} \times 36 = \frac{E}{2}$.
$\frac{36}{r_1 + 75} = \frac{1}{2}$.
$r_1 + 75 = 72$ (અથવા પરિપથના વિશ્લેષણ મુજબ $r_1 = 3 \Omega$).
0 likesView Solution
30
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2021
એક ફોટો-ઈમિશન પ્રયોગમાં,ધાતુઓ $P, Q$ અને $R$ માંથી ઉત્સર્જિત ફોટો-ઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા અનુક્રમે $E_P, E_Q$ અને $E_R$ છે,અને તેઓ $E_P = 2E_Q = 2E_R$ સંબંધ ધરાવે છે. આ પ્રયોગમાં,ધાતુઓ $P$ અને $Q$ માટે સમાન મોનોક્રોમેટિક પ્રકાશના સ્ત્રોતનો ઉપયોગ થાય છે,જ્યારે ધાતુ $R$ માટે અલગ મોનોક્રોમેટિક પ્રકાશના સ્ત્રોતનો ઉપયોગ થાય છે. ધાતુઓ $P, Q$ અને $R$ ના વર્ક ફંક્શન અનુક્રમે $4.0 \ eV$,$4.5 \ eV$ અને $5.5 \ eV$ છે. ધાતુ $R$ માટે વપરાતા આપાત ફોટોનની ઊર્જા,$eV$ માં,કેટલી હશે?
A
$6$
B
$8$
C
$9$
D
$10$
Solution
(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$K_{max} = h\nu - \Phi$,જ્યાં $\Phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
ધાતુઓ $P$ અને $Q$ માટે,આપાત ફોટોન ઊર્જા $E_1$ સમાન છે:
$E_P = E_1 - 4.0 \ eV$
$E_Q = E_1 - 4.5 \ eV$
આપેલ છે કે $E_P = 2E_Q$,તેથી:
$E_1 - 4.0 = 2(E_1 - 4.5)$
$E_1 - 4.0 = 2E_1 - 9.0$
$E_1 = 5.0 \ eV$
હવે,$E_Q$ ની ગણતરી કરીએ:
$E_Q = 5.0 - 4.5 = 0.5 \ eV$
આપેલ છે કે $E_Q = E_R$,તેથી $E_R = 0.5 \ eV$.
ધાતુ $R$ માટે,ધારો કે આપાત ફોટોન ઊર્જા $E_2$ છે:
$E_R = E_2 - \Phi_R$
$0.5 = E_2 - 5.5$
$E_2 = 6.0 \ eV$.
ધાતુઓ $P$ અને $Q$ માટે,આપાત ફોટોન ઊર્જા $E_1$ સમાન છે:
$E_P = E_1 - 4.0 \ eV$
$E_Q = E_1 - 4.5 \ eV$
આપેલ છે કે $E_P = 2E_Q$,તેથી:
$E_1 - 4.0 = 2(E_1 - 4.5)$
$E_1 - 4.0 = 2E_1 - 9.0$
$E_1 = 5.0 \ eV$
હવે,$E_Q$ ની ગણતરી કરીએ:
$E_Q = 5.0 - 4.5 = 0.5 \ eV$
આપેલ છે કે $E_Q = E_R$,તેથી $E_R = 0.5 \ eV$.
ધાતુ $R$ માટે,ધારો કે આપાત ફોટોન ઊર્જા $E_2$ છે:
$E_R = E_2 - \Phi_R$
$0.5 = E_2 - 5.5$
$E_2 = 6.0 \ eV$.
0 likesView Solution
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real IIT JEE style covering Physics with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D Physics papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Run live IIT JEE mock exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFrequently Asked Questions
How many Physics questions are in IIT JEE 2021?
There are 30 Physics questions from the IIT JEE 2021 paper on Vedclass, each with a detailed step-by-step solution in Gujarati.
Are IIT JEE 2021 Physics solutions available in Gujarati?
Yes. All solutions on this page are in Gujarati. You can also switch to English or Hindi using the language buttons above the questions.
Can I practice IIT JEE 2021 Physics as a timed test?
Yes. Use the Vedclass Test Series to attempt a full IIT JEE mock test covering Physics with time limits and instant score analysis.
Can teachers create Physics papers from IIT JEE previous year questions?
Yes. The Vedclass Exam Paper Generator lets teachers mix IIT JEE Physics questions and generate Set A/B/C/D papers in minutes.
For Teachers & Institutes
Build a Custom Physics Paper
Pick IIT JEE 2021 Physics questions, set difficulty, and generate Set A/B/C/D in 2 minutes.