વક્ર $|x| + |y| = 1$ માં ઘેરાયેલા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ મેળવો.

ધારો કે $\mathrm{ABC}$ એ એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે, જેમાં $\mathrm{A}$ એ $(-1,0)$ આગળ છે, $\angle \mathrm{A}=\frac{2 \pi}{3}, \mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ અને $\mathrm{B}$ એ ધન $x$-અક્ષ પર આવેલી છે. જો $\mathrm{BC}=4 \sqrt{3}$ અને રેખા $\mathrm{BC}$ એ, રેખા $y=x+3$ ને $(\alpha, \beta)$ આગળ છેદે તો $\frac{\beta^4}{\alpha^2}$___________. 

ધારો કે કોઈ ત્રિકોણ એ નીચે પ્રમાણેની રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલો છે. $L _{1}: 2 x+5 y=10 L _{2}:-4 x+3 y=12$ અને રેખા $L _{3}$ કે જે બિંદુ $P (2,3)$ માંથી પસાર થાય છે તથા $L _{2}$ ને $A$ આગળ અને $L _{1}$ ને $B$ આગળ છેદે છે. જે બિંદુ $P$ એ રેખાખંડ $AB$ નુ $1 : 3$ ગુણોત્તરમાં અંત:વિભાજન કરે, તો આ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ........છે.

જો ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર ઉંગમબિંદુ પર આવેલ હોય અને તેનું મધ્યકેન્દ્ર બિંદુ $(a^2 + 1 , a^2 + 1 )$ અને $(2a, - 2a)$ જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુ પર આવેલ હોય જ્યાં $a \ne 0$, તો કોઈ પણ $a$ ની કિમત માટે ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર ક્યાં આવેલ હોય? 

જો ત્રિકોણ $ABC$ માં $ A \equiv (1, 10) $, પરિકેન્દ્ર $\equiv$ $\left( { - \,\,{\textstyle{1 \over 3}}\,\,,\,\,{\textstyle{2 \over 3}}} \right)$ અને લંબકેન્દ્ર  $\equiv$ $\left( {{\textstyle{{11} \over 3}}\,\,,\,\,{\textstyle{4 \over 3}}} \right)$ હોય તો બિંદુ $A$ ની સામેની બાજુના મધ્યબિંદુના યામો મેળવો 

ધારો કે $PS$  એ શિરોબિંદુઓ $P(2,2) , Q(6,-1) $ અને $R(7,3) $ વાળા ત્રિકોણની મધ્યગા છે. $(1,-1) $ માંથી પસાર થતી તથા $PS $ ને સંમાતર હોય તેવી રેખાનું સમીકરણ . . . . .. . છે.