ધારો કે a, b, c શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $f(x) = (ax^2 + bx + c)(1 + \cos^8 x)$.આપેલ છે કે $\int_0^1 f(x) \, dx = \int_0^2 f(x) \, dx$.આનો અર્થ એ છે કે $\int_0^2 f(x) \, dx - \int

Vedclass · Accepted Answer

$(0, 2)$ માં ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ છે

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $f(x) = (ax^2 + bx + c)(1 + \cos^8 x)$.આપેલ છે કે $\int_0^1 f(x) \, dx = \int_0^2 f(x) \, dx$.આનો અર્થ એ છે કે $\int_0^2 f(x) \, dx - \int_0^1 f(x) \, dx = 0$,જેનું સાદું રૂપ $\int_1^2 f(x) \, dx = 0$ થાય છે.કારણ કે $f(x)$ એ સતત વિધેય છે અને અંતરાલ $(1, 2)$ પર તેનું સંકલન શૂન્ય છે,તેથી $f(x)$ એ અંતરાલ $(1, 2)$ માં ચિહ્ન બદલવું જ જોઈએ,સિવાય કે તમામ $x \in (1, 2)$ માટે $f(x) = 0$ હોય.$a, b, c$ શૂન્યતર હોવાથી,$ax^2 + bx + c$ એ શૂન્ય નથી. વળી,તમામ $x$ માટે $(1 + \cos^8 x) \ge 1 > 0$ છે.તેથી,$f(x)$ એ $(1, 2)$ માં ધન અને ઋણ બંને કિંમતો લેવી જ જોઈએ.ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ મુજબ,$(1, 2)$ માં ઓછામાં ઓછો એક $x_0$ એવો મળે કે જેથી $f(x_0) = 0$ થાય.કારણ કે $(1 + \cos^8 x) 
eq 0$,તેથી $ax_0^2 + bx_0 + c = 0$ થવું જ જોઈએ.તેથી,દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ને $(1, 2)$ માં ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ છે,જે $(0, 2)$ માં સમાવિષ્ટ છે.

ધારો કે $a, b, c$ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી $\int_0^1 {(1 + \cos^8 x)(ax^2 + bx + c) \, dx} = \int_0^2 {(1 + \cos^8 x)(ax^2 + bx + c) \, dx}$. તો દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ને:

Similar Questions

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x)=a e^{2 x}+b e^x+c x$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. જો $f(0)=-1$,$f^{\prime}(\log _e 2)=21$,અને $\int_0^{\log _e 4}(f(x)-c x) d x=\frac{39}{2}$ હોય,તો $|a+b+c|$ ની કિંમત શોધો:

જો $\int_0^{2 \pi}\left(\sin ^4 x+\cos ^4 x\right) d x=K \int_0^\pi \sin ^2 x d x+L \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2 x d x$ અને $K, L \in N$ હોય,તો શક્ય ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(K, L)$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $I_n = \int_0^1 e^{-y} y^n \, dy$,જ્યાં $n$ એ અ-ઋણ પૂર્ણાંક છે. તો,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{I_n}{n!}$ ની કિંમત શોધો.

જો $\alpha \in (2, 3)$ હોય,તો સમીકરણ $\int_{0}^{\alpha} \cos(x + \alpha^2) \, dx = \sin \alpha$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

શરત $\int_0^1 (f(x))^2 dx = 2 \int_0^1 f(x) dx$ નું પાલન કરતા સતત વિધેયો $f:[0,1] \rightarrow(-\infty, \infty)$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module