AP EAMCET 2020 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2-4xy-y^2+6x+2y+k=0$ છે.
તેને વ્યાપક દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા:
$a=1, h=-2, b=-1, g=3, f=1, c=k$.
રેખાયુગ્મ દર્શાવવા માટેની શરત $\Delta = abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2=0$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$(1)(-1)(k) + 2(1)(3)(-2) - (1)(1)^2 - (-1)(3)^2 - k(-2)^2 = 0$.
$-k - 12 - 1 + 9 - 4k = 0$.
$-5k - 4 = 0$.
$5k = -4$.
$k = -\frac{4}{5}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓ જેના ઢાળ $m_1 = \frac{2}{3}$ અને $m_2 = -\frac{2}{3}$ છે,તેનું સમીકરણ $y = mx$ સ્વરૂપમાં છે.
ઢાળ મૂકતા,$y = \frac{2}{3}x \Rightarrow 2x - 3y = 0$ અને $y = -\frac{2}{3}x \Rightarrow 2x + 3y = 0$ મળે.
સંયુક્ત સમીકરણ આ બે રેખીય સમીકરણોનો ગુણાકાર છે:
$(2x - 3y)(2x + 3y) = 0$.
નિત્યસમ $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(2x)^2 - (3y)^2 = 0 \Rightarrow 4x^2 - 9y^2 = 0$.

(D) ધારો કે $f(x, y) = x^2+xy+2y^2-3x+2y+4=0$. રેખાઓની જોડીનું છેદબિંદુ $(x, y)$ એ આંશિક વિકલન $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ અને $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ ઉકેલીને મેળવી શકાય છે.
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + y - 3 = 0 \quad \dots (i)$
$\frac{\partial f}{\partial y} = x + 4y + 2 = 0 \quad \dots (ii)$
આ સમીકરણો ઉકેલતા:
$(i)$ પરથી,$y = 3 - 2x$.
$(ii)$ માં કિંમત મુકતા: $x + 4(3 - 2x) + 2 = 0$
$x + 12 - 8x + 2 = 0$
$-7x + 14 = 0 \implies x = 2$.
$x = 2$ ને $(i)$ માં મુકતા: $2(2) + y - 3 = 0 \implies 4 + y - 3 = 0 \implies y = -1$.
આમ,છેદબિંદુ $(2, -1)$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(C) સમીકરણ $x^2+4xy+y^2=0$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધતા,$\tan \theta = \sqrt{3}$ મળે છે,તેથી $\theta = 60^\circ$.
આમ,ત્રિકોણની ત્રણેય બાજુઓ વચ્ચેનો ખૂણો $60^\circ$ હોવાથી તે સમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $ax^2 + 4xy + y^2 = 0$ છે. ધારો કે બે રેખાઓના ઢાળ $m$ અને $3m$ છે.
સમીકરણને $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$A = a$,$2H = 4$ (તેથી $H = 2$),અને $B = 1$ મળે છે.
ઢાળનો સરવાળો $m + 3m = -\frac{2H}{B} = -\frac{4}{1} = -4$ થાય.
$4m = -4 \Rightarrow m = -1$.
ઢાળનો ગુણાકાર $m(3m) = \frac{A}{B} = \frac{a}{1} = a$ થાય.
$3m^2 = a$.
$m = -1$ મૂકતા,$3(-1)^2 = a$,જેનો અર્થ છે કે $a = 3$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$S: x^2+y^2+6x-2y+k=0$
$S': x^2+y^2+2x-6y-15=0$
વર્તુળ $S$ એ વર્તુળ $S'$ ના પરિઘને દુભાગે છે,જેનો અર્થ છે કે બંને વર્તુળોની સામાન્ય જીવા એ વર્તુળ $S'$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S - S' = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2+y^2+6x-2y+k) - (x^2+y^2+2x-6y-15) = 0$
$4x + 4y + k + 15 = 0$ $(i)$
વર્તુળ $S'$ નું કેન્દ્ર $(-1, 3)$ છે.
સામાન્ય જીવા કેન્દ્ર $(-1, 3)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકીએ:
$4(-1) + 4(3) + k + 15 = 0$
$-4 + 12 + k + 15 = 0$
$8 + k + 15 = 0$
$k + 23 = 0$
$k = -23$
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(C) પરવલય $y^2=4x$ ના કોઈપણ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx+\frac{1}{m}$ છે.
સ્પર્શકો $(1,4)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $4=m(1)+\frac{1}{m}$.
$m$ વડે ગુણતા,$m^2-4m+1=0$ મળે છે.
ધારો કે બે સ્પર્શકોના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. તેથી $m_1+m_2=4$ અને $m_1m_2=1$.
ઢાળનો તફાવત $|m_1-m_2| = \sqrt{(m_1+m_2)^2-4m_1m_2} = \sqrt{16-4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{3}}{1+1}\right| = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.

(D) જો શ્રેણિકનો વ્યસ્ત ન હોય,તો તેનો નિશ્ચાયક $0$ હોવો જોઈએ.
ધારો કે $A = \left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & x \\ 1 & x & 1 \\ x & -1 & 1\end{array}\right]$.
આપણે $|A| = 0$ લઈએ:
$|A| = 1(x - (-1)) - (-1)(1 - x) + x(-1 - x^2) = 0$
$|A| = 1(x + 1) + 1(1 - x) + x(-1 - x^2) = 0$
$|A| = x + 1 + 1 - x - x - x^3 = 0$
$|A| = -x^3 - x + 2 = 0$
$x^3 + x - 2 = 0$
નિરીક્ષણ દ્વારા,જો $x = 1$ લઈએ,તો $1^3 + 1 - 2 = 0$,જે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,જો $x = 1$ હોય,તો શ્રેણિક $\left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right]$ બને છે.
પ્રથમ અને ત્રીજી સ્તંભ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયક $0$ થાય છે.
આમ,$x$ ની વાસ્તવિક કિંમત $1$ છે.

(C) એક-એક વિધેય ચકાસવા માટે,ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$.
$\frac{x_1}{\sqrt{1+x_1^2}} = \frac{x_2}{\sqrt{1+x_2^2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{x_1^2}{1+x_1^2} = \frac{x_2^2}{1+x_2^2}$
$x_1^2(1+x_2^2) = x_2^2(1+x_1^2)$
$x_1^2 + x_1^2x_2^2 = x_2^2 + x_1^2x_2^2$
$x_1^2 = x_2^2 \Rightarrow x_1 = x_2$ (કારણ કે વિધેય સતત વધતું વિધેય છે,તેથી $x_1 = x_2$).
આમ,$f$ એ એક-એક વિધેય છે.
વ્યાપ્ત વિધેય ચકાસવા માટે,ધારો કે $y = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$.
$y^2 = \frac{x^2}{1+x^2} \Rightarrow y^2(1+x^2) = x^2 \Rightarrow y^2 = x^2(1-y^2) \Rightarrow x^2 = \frac{y^2}{1-y^2}$.
$x$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોય તે માટે,$1-y^2 > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $y^2 < 1$,એટલે કે $-1 < y < 1$.
વિધેય $f$ નો વિસ્તાર $(-1, 1)$ છે,જે સહપ્રદેશ $R$ જેટલો નથી.
તેથી,$f$ એ વ્યાપ્ત વિધેય નથી.

(A) આપેલ છે કે,$x = e^{y+e^{y+e^{y+\ldots}}}$.
ઘાતાંક અનંત સુધી પુનરાવર્તિત થતો હોવાથી,આપણે લખી શકીએ કે $x = e^{y+x}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા,આપણને મળે $\log_e x = y+x$.
$y$ ને કર્તા બનાવતા,$y = \log_e x - x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\log_e x) - \frac{d}{dx}(x)$.
આમ,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} - 1 = \frac{1-x}{x}$.
તેથી,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.

(C) અસમાનતા (disproportionation) પ્રતિક્રિયા એ રેડોક્સ પ્રતિક્રિયાનો એક પ્રકાર છે જેમાં એક જ તત્વનું એકસાથે ઓક્સિડેશન અને રિડક્શન થાય છે.
કોઈ તત્વ અસમાનતા પ્રતિક્રિયા આપે તે માટે,તે મધ્યવર્તી ઓક્સિડેશન અવસ્થામાં હોવું આવશ્યક છે.
$ClO_4^{-}$ માં,$Cl$ ની ઓક્સિડેશન અવસ્થાની ગણતરી આ રીતે થાય છે: $x + 4(-2) = -1$,જે $x = +7$ આપે છે.
ચોક્કસપણે $+7$ એ ક્લોરિન માટે મહત્તમ શક્ય ઓક્સિડેશન અવસ્થા છે (કારણ કે તેની પાસે $7$ સંયોજકતા ઇલેક્ટ્રોન છે),તેથી તેનું વધુ ઓક્સિડેશન થઈ શકતું નથી.
તેથી,$ClO_4^{-}$ અસમાનતા પ્રતિક્રિયા આપી શકતું નથી.

(D) વિષમીકરણ એ રેડોક્સ પ્રતિક્રિયાનો એક વિશિષ્ટ પ્રકાર છે જેમાં એક જ સ્પીસીઝનું એકસાથે રિડક્શન અને ઓક્સિડેશન થઈને બે અલગ અલગ નીપજો બને છે.
વિષમીકરણ પ્રતિક્રિયામાં,મધ્યસ્થ પરમાણુ મધ્યવર્તી ઓક્સિડેશન અવસ્થામાં હોવો જોઈએ જેથી તે તેનો ઓક્સિડેશન આંક વધારી અને ઘટાડી શકે.
આપેલ સ્પીસીઝમાં $Cl$ નો ઓક્સિડેશન આંક નીચે મુજબ છે:
$ClO^{-}$: $+1$
$ClO_2^{-}$: $+3$
$ClO_3^{-}$: $+5$
$ClO_4^{-}$: $+7$
$ClO_4^{-}$ માં $Cl$ પહેલેથી જ તેની મહત્તમ ઓક્સિડેશન અવસ્થા $+7$ માં છે,તેથી તેનું વધુ ઓક્સિડેશન થઈ શકતું નથી.
તેથી,$ClO_4^{-}$ વિષમીકરણ પ્રતિક્રિયા આપી શકતું નથી.
આથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(C) $4 KClO_3 \longrightarrow 3 KClO_4 + KCl$ પ્રક્રિયામાં,$KClO_3$ માં ક્લોરિનનો ઓક્સિડેશન આંક $+5$ છે.
$KClO_4$ માં,ક્લોરિનનો ઓક્સિડેશન આંક $+7$ (ઓક્સિડેશન) છે.
$KCl$ માં,ક્લોરિનનો ઓક્સિડેશન આંક $-1$ (રિડક્શન) છે.
જેથી એક જ તત્વ (ક્લોરિન) નું એકસાથે ઓક્સિડેશન અને રિડક્શન થાય છે,આથી આ વિષમીકરણ પ્રક્રિયા છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(D) વિષમીકરણ પ્રક્રિયા એ એક એવી રેડોક્ષ પ્રક્રિયા છે જેમાં એક જ તત્વનું એકસાથે ઓક્સિડેશન અને રિડક્શન થાય છે.
કોઈ તત્વ વિષમીકરણ અનુભવે તે માટે,તે મધ્યવર્તી ઓક્સિડેશન અવસ્થામાં હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તે તેનો ઓક્સિડેશન આંક વધારી અને ઘટાડી શકે તેવું હોવું જોઈએ.
$ClO_4^-$ માં,ક્લોરિનનો ઓક્સિડેશન આંક $+7$ છે.
ક્લોરિન તેની મહત્તમ શક્ય ઓક્સિડેશન અવસ્થા $(+7)$ માં હોવાથી,તેનું વધુ ઓક્સિડેશન થઈ શકતું નથી.
તેથી,$ClO_4^-$ વિષમીકરણ પ્રક્રિયા અનુભવી શકતું નથી.

(A) હાઇડ્રોજનનો ઓક્સિડેશન આંક સામાન્ય રીતે વધુ વિદ્યુતઋણતા ધરાવતા પરમાણુઓ સાથેના સંયોજનોમાં (જેમ કે $H_2O$ માં) $+1$ હોય છે.
પરંતુ લિથિયમ હાઇડ્રાઇડ $(LiH)$ જેવા ધાતુ હાઇડ્રાઇડમાં હાઇડ્રોજન પરમાણુનો ઓક્સિડેશન આંક $-1$ હોય છે.
તેથી,હાઇડ્રોજનનો ઓક્સિડેશન આંક હંમેશા $+1$ હોય છે તે વિધાન ખોટું છે.

(C) રેડોક્ષ પ્રક્રિયા છે: $a C_2O_4^{2-} + b MnO_4^- + H^+ \longrightarrow p CO_2 + q Mn^{2+} + H_2O$
પગલું $1$: $n$-ફેક્ટર નક્કી કરો.
$C_2O_4^{2-}$ માટે,$C$ નો ઓક્સિડેશન આંક $+3$ થી $+4$ માં બદલાય છે. $n$-ફેક્ટર $(4-3) \times 2 = 2$ છે.
$MnO_4^-$ માટે,$Mn$ નો ઓક્સિડેશન આંક $+7$ થી $+2$ માં બદલાય છે. $n$-ફેક્ટર $(7-2) \times 1 = 5$ છે.
પગલું $2$: ક્રોસ-ગુણાકાર દ્વારા $n$-ફેક્ટરને સંતુલિત કરો.
આપણે ઓક્ઝેલેટના $5$ મોલ $(a=5)$ અને પરમેંગેનેટના $2$ મોલ $(b=2)$ લઈએ છીએ.
પગલું $3$: પરમાણુઓને સંતુલિત કરો.
$C$-પરમાણુઓ માટે: $2a = p \implies p = 2 \times 5 = 10$.
આમ,$CO_2$ નો સહગુણક $10$ છે.

(B) $MnO_4^{-}$ નું મોલર દળ આ રીતે ગણવામાં આવે છે: $55 + (4 \times 16) = 55 + 64 = 119 \ g/mol$.
એસિડિક માધ્યમમાં,રિડક્શન પ્રતિક્રિયા છે: $MnO_4^{-} + 8H^{+} + 5e^{-} \longrightarrow Mn^{2+} + 4H_2O$.
અહીં,$Mn$ ના ઓક્સિડેશન આંકમાં ફેરફાર $+7$ થી $+2$ છે,તેથી $n$-ફેક્ટર $5$ છે.
$\text{તુલ્ય વજન} = \frac{\text{મોલર દળ}}{n\text{-ફેક્ટર}} = \frac{119}{5} = 23.8$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) એસિડિક માધ્યમમાં પ્રક્રિયાનું સંતુલિત રાસાયણિક સમીકરણ: $10I^{-} + 2MnO_4^{-} + 16H^{+} \rightarrow 5I_2 + 2Mn^{2+} + 8H_2O$ છે.
$KMnO_4$ માં,$Mn$ નો ઓક્સિડેશન આંક: $x + 1(-2) = -1 \Rightarrow x = +7$ છે.
નીપજ $Mn^{2+}$ માં,$Mn$ નો ઓક્સિડેશન આંક $+2$ છે.
મેંગેનીઝના ઓક્સિડેશન આંકમાં થતો ફેરફાર $|(+2) - (+7)| = 5$ એકમ છે.

(A) આલ્કલી ધાતુઓ (સમૂહ-$1$) માં,$Cs$ સૌથી વધુ પ્રતિક્રિયાશીલ છે કારણ કે તેની આયનીકરણ ઉર્જા ($IE$,અથવા $\Delta_i H_1$) સૌથી ઓછી છે.
નોંધ: $Fr$ ને ધ્યાનમાં લેવામાં આવતું નથી કારણ કે તે કિરણોત્સર્ગી છે.

(C) $Li$ ની જલીયકરણ એન્થાલ્પી સૌથી વધુ છે,જે તેના ઉચ્ચ ઋણ $E^{\circ}$ મૂલ્ય અને તેની ઉચ્ચ રિડક્શન ક્ષમતા માટે જવાબદાર છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(A) જ્યારે સોડિયમ જેવી આલ્કલી ધાતુઓ પ્રવાહી એમોનિયામાં ઓગળે છે,ત્યારે તેઓ નીચે મુજબની પ્રતિક્રિયા આપે છે: $Na + (x+y)NH_3 \rightarrow [Na(NH_3)_x]^+ + [e(NH_3)_y]^-$.
દ્રાવણનો ઘેરો વાદળી રંગ મુખ્યત્વે એમોનિયેટેડ ઇલેક્ટ્રોનની હાજરીને કારણે હોય છે,જે ઇલેક્ટ્રોનને ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરોમાં ઉત્તેજિત કરવા માટે દ્રશ્યમાન વર્ણપટના વિસ્તારમાં ઉર્જાનું શોષણ કરે છે.

(A) $Li^{+}$ (સમૂહ-$1$) અને $Mg^{2+}$ (સમૂહ-$2$) આવર્ત કોષ્ટકમાં વિકર્ણીય સંબંધ ધરાવે છે,જેના કારણે તેમની આયનીય ત્રિજ્યા સમાન હોય છે.
$Li$ અને $Mg$ બંને ઓક્સિજન સાથે પ્રક્રિયા કરીને માત્ર મોનોક્સાઈડ ($Li_2O$ અને $MgO$ અનુક્રમે) બનાવે છે અને નાઈટ્રોજન સાથે સીધી પ્રક્રિયા કરીને નાઈટ્રાઈડ ($Li_3N$ અને $Mg_3N_2$ અનુક્રમે) બનાવે છે.
તેથી,ધાતુઓ $A$ અને $B$ એ $Li$ અને $Mg$ છે.

(C) $Ca(OH)_2$ (કેલ્શિયમ હાઇડ્રોક્સાઇડ) નો ઉપયોગ વોશિંગ સોડા $(Na_2CO_3 \cdot 10H_2O)$ ની બનાવટમાં એમોનિયમ ક્લોરાઇડ $(NH_4Cl)$ માંથી એમોનિયા $(NH_3)$ ને પુનઃપ્રાપ્ત કરવા માટે થાય છે.
$2NH_4Cl + Ca(OH)_2 \longrightarrow 2NH_3 + CaCl_2 + 2H_2O$
જ્યારે $Ca(OH)_2$ (લાઈમ વોટર) ના જલીય દ્રાવણમાંથી $CO_2$ પસાર કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે $CaCO_3$ બનાવે છે,જે દ્રાવણને દૂધિયું બનાવે છે.
$Ca(OH)_2 + CO_2 \longrightarrow CaCO_3 \downarrow + H_2O$
$Ca(OH)_2$ નો ઉપયોગ તેના જંતુનાશક ગુણધર્મને કારણે સફેદ રંગકામમાં પણ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) વિધાન $(i)$ સાચું છે: બેરિલિયમની સપાટી પર રક્ષણાત્મક ઓક્સાઇડ સ્તર બનવાને કારણે એસિડ દ્વારા તેના પર સરળતાથી હુમલો થતો નથી.
વિધાન $(ii)$ સાચું છે: $BeO$ ઉભયગુણી પ્રકૃતિ ધરાવે છે,એટલે કે તે એસિડ અને બેઝ બંને સાથે પ્રતિક્રિયા આપે છે.
વિધાન $(iii)$ સાચું છે: તેના નાના કદ અને ખાલી $2p$ કક્ષકોની ઉપલબ્ધતાને કારણે,બેરિલિયમ $4$ કરતા વધારે સવર્ગ આંક દર્શાવી શકે છે.
વિધાન $(iv)$ ખોટું છે: $BeO$ ઉભયગુણી છે,સંપૂર્ણપણે એસિડિક નથી.
તેથી,વિધાનો $(i)$,$(ii)$ અને $(iii)$ સાચા છે.

(B) સદિશો સમતલીય હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & 1 & c \end{vmatrix} = 0$
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$\begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1-a & b-1 & 0 \\ 1-a & 0 & c-1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$a((b-1)(c-1) - 0) - 1((1-a)(c-1) - 0) + 1(0 - (1-a)(b-1)) = 0$
$a(b-1)(c-1) - (1-a)(c-1) - (1-a)(b-1) = 0$
આખા સમીકરણને $(1-a)(1-b)(1-c)$ વડે ભાગતા (જ્યાં $a, b, c \neq 1$):
$\frac{a(b-1)(c-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} - \frac{(1-a)(c-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} - \frac{(1-a)(b-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} = 0$
$\frac{-a}{(1-a)} - \frac{1}{(1-b)} - \frac{1}{(1-c)} = 0$
કારણ કે $\frac{-a}{1-a} = \frac{1-a-1}{1-a} = 1 - \frac{1}{1-a}$,તેથી:
$1 - \frac{1}{1-a} - \frac{1}{1-b} - \frac{1}{1-c} = 0$
આમ,$\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 1$.

(C) આપેલ સમીકરણ $|u-v| = ||u|-|v||$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે:
$|u-v|^2 = (||u|-|v||)^2$
$|u|^2 + |v|^2 - 2(u \cdot v) = |u|^2 + |v|^2 - 2|u||v|$
$-2(u \cdot v) = -2|u||v|$
$u \cdot v = |u||v|$
આપણે જાણીએ છીએ કે $u \cdot v = |u||v| \cos \theta$,તેથી $|u||v| \cos \theta = |u||v|$.
આનો અર્થ એ છે કે $\cos \theta = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 0$.
તેથી,$u$ અને $v$ સમાન દિશામાં છે.

(A) હાઈઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન જેવા સૂક્ષ્મ કણનું ચોક્કસ સ્થાન અને ચોક્કસ વેગમાન એકસાથે નક્કી કરવું અશક્ય છે. $\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$.
આ સિદ્ધાંત માત્ર સૂક્ષ્મ કણો માટે જ મહત્વપૂર્ણ છે. મેક્રોસ્કોપિક પદાર્થો માટે,અનિશ્ચિતતા નગણ્ય છે અને વ્યવહારમાં અસ્તિત્વ ધરાવતી નથી.

(B) સહસંયોજક ત્રિજ્યા એ બે સહસંયોજક રીતે બંધાયેલા પરમાણુઓના કેન્દ્ર વચ્ચેના અંતરના અડધા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. કક્ષકોના ઓવરલેપને કારણે,આ અંતર સૌથી નાનું હોય છે.
ધાત્વિક બંધનમાં,પરમાણુઓ સંપર્કમાં હોય છે પરંતુ કોઈ કક્ષકીય ઓવરલેપ હોતું નથી,જેના કારણે ધાત્વિક ત્રિજ્યા સહસંયોજક ત્રિજ્યા કરતા મોટી હોય છે.
વાન્ડર વાલ્સ ત્રિજ્યા એ નજીકના અણુઓમાં બિન-બંધાયેલા પરમાણુઓ વચ્ચેના અંતરને અનુરૂપ છે,જે કોઈપણ રાસાયણિક બંધના અભાવને કારણે સૌથી મોટી હોય છે.
તેથી,સાચો ક્રમ છે: $Covalent \ radius < Metallic \ radius < Van \ der \ Waals \ radius$.

(D) આલેખ બે પ્રવાહી $A$ અને $B$ ના મિશ્રણનો ઠંડક વક્ર દર્શાવે છે.
બિંદુ $B$ $(-25^{\circ} C)$ પર,પ્રવાહી $B$ ઘન બનવાનું શરૂ કરે છે. વક્ર $BC$ પર,પ્રવાહી $B$ ઘનીભૂત થઈ રહ્યું છે,તેથી પ્રવાહી $A$ ની સાથે બે તબક્કાઓ (પ્રવાહી $B$ અને ઘન $B$) સહ-અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
બિંદુ $C$ $(-78^{\circ} C)$ પર,પ્રવાહી $A$ પણ ઘન બનવાનું શરૂ કરે છે.
રેખા $CD$ પર,પ્રવાહી $A$ અને પ્રવાહી $B$ બંનેનું ઘનીકરણ થઈ રહ્યું છે.
તેથી,હાજર તબક્કાઓ છે: પ્રવાહી $A$,ઘન $A$,પ્રવાહી $B$ અને ઘન $B$.
આમ,રેખા $CD$ પર $4$ વિવિધ તબક્કાઓ સહ-અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

(D) વિધાન: આ વિધાન ખોટું છે કારણ કે પ્રવાહીનું પ્રમાણિત ઉત્કલનબિંદુ ($1 \ bar$ દબાણે ઉત્કલનબિંદુ) એ સામાન્ય ઉત્કલનબિંદુ ($1 \ atm$ દબાણે ઉત્કલનબિંદુ) કરતા થોડું ઓછું હોય છે.
કારણ: આ વિધાન સાચું છે કારણ કે $1 \ atm = 1.01325 \ bar$,જેનો અર્થ છે કે $1 \ bar$ દબાણ એ $1 \ atm$ દબાણ કરતા થોડું ઓછું છે.
તેથી,વિધાન ખોટું છે અને કારણ સાચું છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) જે તાપમાને પ્રવાહીનું બાષ્પ દબાણ બાહ્ય દબાણ જેટલું થાય છે તેને પ્રવાહીનું ઉત્કલનબિંદુ કહેવામાં આવે છે.
$1.013 \ bar$ $(1 \ atm)$ ના પ્રમાણિત વાતાવરણીય દબાણે,આ તાપમાનને સામાન્ય ઉત્કલનબિંદુ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(B) $STP$ પર એક મોલ વાયુ $22.4 \ L$ જગ્યા રોકે છે.
તેથી,$STP$ પર $5.6 \ L$ વાયુમાં $n = \frac{5.6}{22.4} = 0.25 \ \text{મોલ}$ હોય છે.
મોલની સંખ્યા = $\frac{\text{ગ્રામમાં વજન}}{\text{આણ્વીય દળ (M)}}$.
$0.25 = \frac{7.5}{M}$.
$M = \frac{7.5}{0.25} = 30 \ \text{g/mol}$.
$NO$ નું આણ્વીય દળ $14 + 16 = 30 \ \text{g/mol}$ છે.
તેથી,તે વાયુ $NO$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) મિથેનના દહન માટેનું સંતુલિત રાસાયણિક સમીકરણ:
$CH_4 + 2O_2 \rightarrow CO_2 + 2H_2O$
$CH_4$ નું મોલર દળ $= 12 + 4(1) = 16 \text{ g/mol}$
$CO_2$ નું મોલર દળ $= 12 + 2(16) = 44 \text{ g/mol}$
પ્રક્રિયાના તત્વયોગમિતિ (stoichiometry) મુજબ,$16 \text{ g}$ $CH_4$ એ $44 \text{ g}$ $CO_2$ ઉત્પન્ન કરે છે.
તેથી,$32 \text{ g}$ $CH_4$ ઉત્પન્ન કરશે:
$\text{Amount of } CO_2 = \frac{44 \times 32}{16} = 88 \text{ g}$

(B) ધાતુ ક્લોરાઈડનું આણ્વીય વજન $= 2 \times \text{બાષ્પ ઘનતા} = 2 \times 83 = 166$.
ધારો કે ધાતુની સંયોજકતા $n$ છે. ધાતુ ક્લોરાઈડનું સૂત્ર $MCl_n$ છે.
આણ્વીય વજન $= \text{ધાતુનું પરમાણ્વીય વજન} + n \times 35.5$.
કારણ કે $\text{પરમાણ્વીય વજન} = n \times \text{તુલ્ય વજન} = n \times 6$,તેથી:
$166 = 6n + 35.5n$.
$166 = 41.5n$.
$n = \frac{166}{41.5} = 4$.
ધાતુનું પરમાણ્વીય વજન $= n \times \text{તુલ્ય વજન} = 4 \times 6 = 24$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) પગલું $1$: પ્રક્રિયકોના મોલની ગણતરી કરો.
$Cu$ નું આણ્વીય દળ $\approx 63.5 \ g/mol$,$I_2$ નું આણ્વીય દળ $\approx 253.8 \ g/mol$.
$Cu$ ના મોલ $= \frac{10}{63.5} \approx 0.157 \ mol$.
$I_2$ ના મોલ $= \frac{10}{253.8} \approx 0.0394 \ mol$.
પગલું $2$: સીમિત પ્રક્રિયક નક્કી કરો.
સમીકરણ $2Cu + I_2 \longrightarrow 2CuI$ મુજબ,$1 \ mol$ $I_2$ માટે $2 \ mol$ $Cu$ ની જરૂર પડે છે.
$0.0394 \ mol$ $I_2$ માટે,આપણને $2 \times 0.0394 = 0.0788 \ mol$ $Cu$ ની જરૂર છે.
આપણી પાસે $0.157 \ mol$ $Cu$ હોવાથી,$I_2$ એ સીમિત પ્રક્રિયક છે.
પગલું $3$: $CuI$ ની નીપજની ગણતરી કરો.
ઉત્પન્ન થયેલ $CuI$ ના મોલ $= 2 \times I_2$ ના મોલ $= 2 \times 0.0394 = 0.0788 \ mol$.
$CuI$ નું આણ્વીય દળ $= 63.5 + 126.9 = 190.4 \ g/mol$.
$CuI$ નું દળ $= 0.0788 \ mol \times 190.4 \ g/mol \approx 15 \ g$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) સંતુલિત રાસાયણિક સમીકરણ: $3 NO_2 + H_2O \longrightarrow 2 HNO_3 + NO$.
પ્રક્રિયાના તત્વયોગમિતિ (stoichiometry) મુજબ,$3$ મોલ $NO_2$ માંથી $2$ મોલ $HNO_3$ મળે છે.
$4$ મોલ $HNO_3$ મેળવવા માટે જરૂરી $NO_2$ ના મોલ:
$\text{મોલ} = \frac{3}{2} \times 4 = 6 \text{ મોલ}$.
$NO_2$ નું આણ્વીય દળ $= 14 + (2 \times 16) = 46 \ g/mol$.
તેથી,જરૂરી $NO_2$ નું દળ $= 6 \text{ મોલ} \times 46 \ g/mol = 276 \ g$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ છે,$HCl$ દ્રાવણની ઘનતા $(d)$ $= 1.2 \ g \ mL^{-1}$.
દળથી ટકાવારી $(w/w)$ $= 40 \%$.
$HCl$ નું આણ્વીય દળ $(M_{HCl})$ $= 1 + 35.5 = 36.5 \ g \ mol^{-1}$.
મોલારિટી માટેનું સૂત્ર: $\text{Molarity} = \frac{\text{Percentage}(w/w) \times d \times 10}{M_{HCl}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\text{Molarity} = \frac{40 \times 1.2 \times 10}{36.5} = \frac{480}{36.5} \approx 13.15 \ M$.
તેથી,મોલારિટી આશરે $13 \ M$ છે.

(D) કાર્બનિક સંયોજનમાં ફોસ્ફરસનું અનુમાન મેગ્નેશિયા મિશ્રણનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.
$Mg_2P_2O_7$ ના $1 \ mol$ માં $2 \ mol$ ફોસ્ફરસ $(P)$ હોય છે.
$Mg_2P_2O_7$ નું મોલર દળ $= 222.6 \ g/mol$.
$0.22 \ g$ $Mg_2P_2O_7$ માં ફોસ્ફરસનું દળ $= \frac{2 \times 31}{222.6} \times 0.22 \ g = 0.06127 \ g$.
ફોસ્ફરસની ટકાવારી $= \frac{0.06127}{0.12} \times 100 \approx 51.06 \%$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ સાચો જવાબ $51.20 \%$ છે.

(D) પ્રક્રિયા માટેનું સંતુલિત રાસાયણિક સમીકરણ: $2H_2(g) + O_2(g) \rightarrow 2H_2O(g)$ છે.
સ્ટોઇકિયોમેટ્રી મુજબ,$2 \ \text{કદ }\ H_2$ એ $1 \ \text{કદ }\ O_2$ સાથે પ્રક્રિયા કરે છે.
આપેલ પ્રારંભિક કદ: $V(H_2) = 30 \ mL$ અને $V(O_2) = 20 \ mL$.
અહીં $H_2$ એ સીમિત પ્રક્રિયક હોવાથી,$30 \ mL \ H_2$ સંપૂર્ણ વપરાઈ જશે.
$30 \ mL \ H_2$ સાથે પ્રક્રિયા કરવા માટે જરૂરી $O_2$ નું કદ $30 \ mL \times (1/2) = 15 \ mL$ છે.
તેથી,બાકી રહેલ $O_2$ નું કદ $20 \ mL - 15 \ mL = 5 \ mL \ O_2$ છે.

(C) $Na_2CO_3$ માટે $n$-ફેક્ટર $2$ છે કારણ કે તે બેઝ તરીકે વર્તે છે અને $2 \ H^+$ આયનો સ્વીકારી શકે છે.
નોર્માલિટી અને મોલારિટી વચ્ચેનો સંબંધ: $\text{Normality} = n\text{-factor} \times \text{Molarity}$.
આપેલ છે: $\text{Normality} = 0.2 \ N$ અને $n\text{-factor} = 2$.
તેથી,$\text{Molarity} = \frac{0.2}{2} = 0.1 \ M$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ગ્રેહામના નિયમ મુજબ,વાયુનો પ્રસરણ દર $(r)$ તેના આણ્વીય દળ $(M)$ ના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $r \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
પ્રથમ,આપેલા અણુઓના આણ્વીય દળની ગણતરી કરો:
$CO_2: 44 \ g/mol$
$SO_2: 64 \ g/mol$
$SO_3: 80 \ g/mol$
$PCl_3: 137.5 \ g/mol$
જે અણુનું આણ્વીય દળ ઓછું હોય તેનો પ્રસરણ દર સૌથી વધુ હોય છે.
આણ્વીય દળનો ક્રમ: $CO_2 < SO_2 < SO_3 < PCl_3$.
તેથી,પ્રસરણ દરનો સાચો ક્રમ: $CO_2 > SO_2 > SO_3 > PCl_3$.

(A) આઈસોકોર્સ અચળ કદ,$\Delta V = 0$ પર દોરવામાં આવે છે.
આપણને દબાણ $(p)$ $vs$ તાપમાન $(T$,$K$ માં) નો આલેખ મળે છે.
આદર્શ વાયુના $1 \ mol$ માટે,$pV = nRT$.
આઈસોકોરિક સ્થિતિમાં,$V$ અચળ છે,તેથી $p \propto T$.

(A) $STP$ પર $1$ મોલ $O_{2(g)}$ માં એવોગેડ્રો આંક $(N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1})$ જેટલા $O_2$ ના અણુઓ હોય છે.
$O_2$ નું મોલર દળ $32 \ g/mol$ હોવાથી,તે $32 \ g$ ઓક્સિજન વાયુ દર્શાવે છે.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે તેમાં $6.022 \times 10^{23}$ ઓક્સિજનના અણુઓ હોય છે.

(B) વાયુની ઘનતા $(d)$ શોધવાનું સૂત્ર: $d = \frac{pM}{RT}$
આપેલ છે:
દબાણ $(p)$ = $5 \text{ atm}$
$O_2$ નું આણ્વીય દળ $(M)$ = $32 \text{ g mol}^{-1}$
વાયુ અચળાંક $(R)$ = $0.082 \text{ L atm K}^{-1} \text{ mol}^{-1}$
તાપમાન $(T)$ = $127 + 273 = 400 \text{ K}$
કિંમતો મૂકતા:
$d = \frac{5 \times 32}{0.082 \times 400}$
$d = \frac{160}{32.8} \approx 4.878 \text{ g L}^{-1}$
આમ,ઘનતા આશરે $4.88 \text{ g L}^{-1}$ થાય છે.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,તાપમાન $T = \frac{PV}{nR}$ થાય.
આપેલ કિંમતો: $P = 3.32 \ bar$,$V = 5 \ dm^3 = 5 \ L$,$n = 4 \ mol$,અને વાયુ અચળાંક $R = 0.08314 \ bar \ L \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$T = \frac{3.32 \times 5}{4 \times 0.08314} = \frac{16.6}{0.33256} \approx 49.91 \ K$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$T \approx 50 \ K$ મળે છે.

(A) બોયલના નિયમ મુજબ,અચળ તાપમાને,$PV = k$.
$1.$ $y = P$ અને $x = V$ માટે,સંબંધ $P = k/V$ એ અતિવલય દર્શાવે છે. તેથી,$(A)$ એ $2$ સાથે જોડાય છે.
$2.$ $y = P$ અને $x = 1/V$ માટે,સંબંધ $P = k(1/V)$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે. તેથી,$(B)$ એ $3$ સાથે જોડાય છે.
$3.$ $y = PV$ અને $x = P$ માટે,સંબંધ $PV = k$ એ $x$-અક્ષને સમાંતર આડી રેખા દર્શાવે છે. તેથી,$(C)$ એ $1$ સાથે જોડાય છે.

(B) આપેલ છે: $n = 4 \ mol$,$V = 5 \ L$,$P = 3.32 \ bar$,$R = 0.083 \ bar \ L \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $PV = nRT$.
તાપમાન માટે સૂત્ર: $T = \frac{PV}{nR}$.
કિંમતો મૂકતા: $T = \frac{3.32 \times 5}{4 \times 0.083}$.
$T = \frac{16.6}{0.332} = 50 \ K$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) તાપમાન સાથે વાયુના કદમાં થતા ફેરફારનો અભ્યાસ સૌપ્રથમ જેક્સ ચાર્લ્સ $(1787)$ દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો અને તેને ચાર્લ્સના નિયમ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
ચાર્લ્સનો નિયમ જણાવે છે કે,"અચળ દબાણે વાયુના આપેલા દળનું કદ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે."
ગાણિતિક રીતે,અચળ દબાણે $V \propto T$ અથવા $\frac{V}{T} = k$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(D) બોઈલના નિયમ મુજબ,અચળ તાપમાને $P_1V_1 = P_2V_2$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક કદ $V_1 = V$ છે.
નવું કદ $V_2 = V + 0.10V = 1.10V$ થશે.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $P_1V = P_2(1.10V)$.
$P_2 = P_1 / 1.10 \approx 0.9091 P_1$.
દબાણમાં ફેરફાર $P_2 - P_1 = 0.9091 P_1 - P_1 = -0.0909 P_1$ છે.
આ આશરે $9.09 \%$ નો ઘટાડો દર્શાવે છે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સૌથી નજીકની કિંમત $10 \%$ નો ઘટાડો છે,જે વિકલ્પ $(D)$ ને અનુરૂપ છે.

(B) ચાર્લ્સનો નિયમ જણાવે છે કે અચળ દબાણે આદર્શ વાયુના નિશ્ચિત જથ્થાનું કદ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
અચળ દબાણે,$V \propto T$.
અથવા,$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.