AP EAMCET 2011 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) बोरॉन सांद्र $HNO_3$ के साथ अभिक्रिया करके ऑर्थोबोरिक अम्ल और नाइट्रोजन डाइऑक्साइड देता है,न कि $N_2O$।
संतुलित रासायनिक समीकरण है: $B + 3HNO_3 \longrightarrow H_3BO_3 + 3NO_2$.

(B) $ClO_2$ की संरचना कोणीय होती है।
$ClO_2$ अणु में,केंद्रीय क्लोरीन परमाणु $sp^3$-संकरित होता है और इसमें एक अयुग्मित इलेक्ट्रॉन होता है।
अयुग्मित इलेक्ट्रॉन और क्लोरीन परमाणु पर मौजूद एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म की उपस्थिति के कारण,बंध कोण $118^{\circ}$ देखा जाता है और $Cl-O$ बंध लंबाई $1.47 \ \mathring{A}$ होती है।

(C) मूल बिंदु से गुजरने वाली सरल रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $ax^2+2hxy+by^2=0$ है।
यदि इनमें से एक रेखा निर्देशांक अक्षों के बीच के कोण को समद्विभाजित करती है,तो उसका समीकरण $y=x$ या $y=-x$ होता है।
$y=x$ को $ax^2+2hxy+by^2=0$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $ax^2+2hx^2+bx^2=0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a+2h+b=0$,या $a+b=-2h$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $(a+b)^2=4h^2$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,यदि $y=-x$ हो,तो हमें $ax^2-2hx^2+bx^2=0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a-2h+b=0$,या $a+b=2h$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $(a+b)^2=4h^2$ प्राप्त होता है।
अतः,एक रेखा के अक्षों के बीच के कोण को समद्विभाजित करने की शर्त $(a+b)^2=4h^2$ है।
दिए गए समीकरण $4x^2+6xy+ky^2=0$ के लिए,$a=4$,$2h=6$ (अतः $h=3$),और $b=k$ है।
इन मानों को शर्त $(a+b)^2=4h^2$ में रखने पर:
$(4+k)^2=4(3)^2$
$(4+k)^2=36$
$4+k = \pm 6$
यदि $4+k=6$,तो $k=2$ है।
यदि $4+k=-6$,तो $k=-10$ है।
इसलिए,$k \in \{-10, 2\}$।

(B) यदि $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ समांतर रेखाओं के युग्म को निरूपित करता है,तो $h^2=ab$ और $bg^2=af^2$ होता है।
$bg^2=af^2$ से,हम लिख सकते हैं $\frac{g^2}{f^2}=\frac{a}{b}$।
समांतर रेखाओं के लिए,$\frac{g^2-ac}{a} = \frac{f^2-bc}{b}$ होता है।
अतः,$\frac{g^2-ac}{f^2-bc} = \frac{a}{b}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\sqrt{\frac{g^2-ac}{f^2-bc}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ प्राप्त होता है।

(B) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $3x^2 - 2xy - 15y^2 = 0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 3$,$2h = -2$ (अतः $h = -1$),और $b = -15$ प्राप्त होता है।
माना रेखाओं की ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं।
ढालों का योग $s = m_1 + m_2 = \frac{-2h}{b} = \frac{-2(-1)}{-15} = -\frac{2}{15}$ है।
ढालों का गुणनफल $p = m_1 m_2 = \frac{a}{b} = \frac{3}{-15} = -\frac{3}{15}$ है।
अतः,अनुपात $s:p = \left(-\frac{2}{15}\right) : \left(-\frac{3}{15}\right) = 2:3$ है।

(A) दी गई रेखा $y=2x+c$ है,जिसे $2x-y+c=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=5$ है,जिसका केंद्र $(0,0)$ और त्रिज्या $r=\sqrt{5}$ है।
यदि रेखा $Ax+By+C=0$ केंद्र $(h,k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त की स्पर्शरेखा है,तो केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए:
$\frac{|A(h)+B(k)+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} = r$
मान रखने पर $A=2, B=-1, C=c, h=0, k=0, r=\sqrt{5}$:
$\frac{|2(0)-1(0)+c|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = \sqrt{5}$
$\frac{|c|}{\sqrt{4+1}} = \sqrt{5}$
$\frac{|c|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$
$|c| = \sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5$
अतः,$c = \pm 5$।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$c$ का मान $5$ है।

(C) दिया गया है कि रेखाएँ $3x + 4y - 14 = 0$ और $6x + 8y + 7 = 0$ दोनों एक वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।
हम देखते हैं कि दोनों रेखाएँ समांतर हैं।
दूसरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $3x + 4y + \frac{7}{2} = 0$ प्राप्त होता है।
दो समांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ द्वारा दी जाती है।
वृत्त का व्यास इन दो समांतर स्पर्श रेखाओं के बीच की दूरी के बराबर होता है।
व्यास $= \frac{|-14 - \frac{7}{2}|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|-\frac{28}{2} - \frac{7}{2}|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|-\frac{35}{2}|}{5} = \frac{35}{10} = \frac{7}{2}$.
अतः,वृत्त की त्रिज्या $r = \frac{\text{व्यास}}{2} = \frac{7/2}{2} = \frac{7}{4}$ है।

(A) प्रथम वृत्त $S_1: x^2+y^2+8x-4y+c=0$ के लिए,केंद्र $C_1(-4, 2)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{20-c}$ है।
दूसरे वृत्त $S_2: x^2+y^2+2x+4y-11=0$ के लिए,केंद्र $C_2(-1, -2)$ और त्रिज्या $r_2 = 4$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = 5$ है।
चूंकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,$d = r_1 + r_2$,इसलिए $5 = \sqrt{20-c} + 4$,जिसका अर्थ है $c = 19$।
तीसरा वृत्त $S_3: x^2+y^2-6x+8y+k=0$ है।
दो वृत्त लंबकोणीय होते हैं यदि $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ हो।
$S_1$ और $S_3$ के लिए,$g_1=4, f_1=-2, c_1=19$ और $g_3=-3, f_3=4, c_3=k$ है।
अतः,$2(4)(-3) + 2(-2)(4) = 19 + k$,जिससे $k = -59$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया वृत्त $S_1: x^2+y^2+8x-4y+c=0$ का केंद्र $C_1=(-4, 2)$ और त्रिज्या $r_1=\sqrt{(-4)^2+2^2-c}=\sqrt{20-c}$ है।
दिया गया वृत्त $S_2: x^2+y^2+2x+4y-11=0$ का केंद्र $C_2=(-1, -2)$ और त्रिज्या $r_2=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2-(-11)}=\sqrt{1+4+11}=4$ है।
चूंकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = r_1+r_2$ होगी।
$C_1C_2 = \sqrt{(-4 - (-1))^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = 5$.
अतः,$5 = \sqrt{20-c} + 4$ $\Rightarrow \sqrt{20-c} = 1$ $\Rightarrow 20-c = 1$ $\Rightarrow c = 19$.
अब,वृत्त $S_1$ वृत्त $S_3: x^2+y^2-6x+8y+k=0$ को लंबकोणीय काटता है। लंबकोणीय होने की शर्त $2g_1g_3 + 2f_1f_3 = c_1+c_3$ है।
$S_1$ के लिए,$g_1=4, f_1=-2, c_1=c=19$.
$S_3$ के लिए,$g_3=-3, f_3=4, c_3=k$.
$2(4)(-3) + 2(-2)(4) = 19 + k$.
$-24 - 16 = 19 + k$.
$-40 = 19 + k$.
$k = -59$.

(B) दिए गए वृत्तों के समीकरण हैं:
$S_1 \equiv x^2+y^2+2x+2y+1=0$
$S_2 \equiv x^2+y^2-2x+2y+1=0$
वृत्त $S_1$ के लिए,केंद्र $C_1 = (-1, -1)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 - 1} = 1$ है।
वृत्त $S_2$ के लिए,केंद्र $C_2 = (1, -1)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2 - 1} = 1$ है।
केंद्रों $C_1$ और $C_2$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-1 - (-1))^2} = 2$ है।
चूंकि $d = r_1 + r_2 = 2$,इसलिए दोनों वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
स्पर्श बिंदु केंद्रों $C_1$ और $C_2$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य बिंदु है।
स्पर्श बिंदु $= \left( \frac{-1 + 1}{2}, \frac{-1 + (-1)}{2} \right) = (0, -1)$.

(B) माना बिंदु $A$ के निर्देशांक $(a \cos \theta, a \sin \theta)$ हैं क्योंकि यह वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ पर स्थित है।
चूंकि $AM$,$X$-अक्ष के समांतर है और इसकी लंबाई $a$ है,इसलिए $M$ के निर्देशांक $(x, y) = (a \cos \theta + a, a \sin \theta)$ या $(a \cos \theta - a, a \sin \theta)$ के रूप में लिखे जा सकते हैं।
स्थिति $(x, y) = (a \cos \theta + a, a \sin \theta)$ पर विचार करने पर,हमें $x - a = a \cos \theta$ और $y = a \sin \theta$ प्राप्त होता है।
इन समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(x - a)^2 + y^2 = a^2 \cos^2 \theta + a^2 \sin^2 \theta$
$(x - a)^2 + y^2 = a^2$
$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = a^2$
$x^2 + y^2 = 2ax$.
इसी प्रकार,दूसरी स्थिति के लिए,हमें $x^2 + y^2 = -2ax$ प्राप्त होता है।

(D) परवलय का समीकरण $y^2=lx$ है। इस परवलय का अक्ष $x$-अक्ष है,जिसका समीकरण $y=0$ है।
चूंकि रेखा $y=mx+c$,परवलय के अक्ष $(y=0)$ के समांतर है,इसलिए इसका ढाल $m=0$ होगा। अतः रेखा $y=c$ है।
दिया गया है कि बिंदु $\left(\frac{c^2}{8}, c\right)$,परवलय $y^2=lx$ पर स्थित है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$c^2 = l \left(\frac{c^2}{8}\right)$
$c^2 = \frac{lc^2}{8}$
यदि $c \neq 0$ है,तो दोनों पक्षों को $c^2$ से विभाजित करने पर:
$1 = \frac{l}{8} \Rightarrow l = 8$।
परवलय $y^2=lx$ के नाभिलंब की लंबाई $l$ होती है।
अतः,नाभिलंब की लंबाई $8$ है।

(C) माना $P(t^2, 2t)$ परवलय $y^2=4x$ की नाभीय जीवा $PQ$ का एक सिरा है। दूसरे सिरे $Q$ के निर्देशांक $(\frac{1}{t^2}, \frac{-2}{t})$ हैं,जहाँ $tt' = -1$ है।
दिया गया है कि जीवा $X$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ $\theta$ कोण बनाती है,इसलिए जीवा की ढाल $\tan \theta$ है।
$\tan \theta = \frac{\frac{-2}{t} - 2t}{\frac{1}{t^2} - t^2} = \frac{2t}{t^2-1}$.
अतः,$t - \frac{1}{t} = 2 \cot \theta$।
नाभीय जीवा $PQ$ की लंबाई $a(t + \frac{1}{t})^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a=1$ है।
$PQ = (t + \frac{1}{t})^2 = (t - \frac{1}{t})^2 + 4$।
$t - \frac{1}{t} = 2 \cot \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$PQ = (2 \cot \theta)^2 + 4 = 4 \cot^2 \theta + 4 = 4(\cot^2 \theta + 1) = 4 \operatorname{cosec}^2 \theta$।

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण: $x^2+4y^2+2x+16y+13=0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(x^2+2x) + 4(y^2+4y) + 13 = 0$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x^2+2x+1) + 4(y^2+4y+4) + 13 - 1 - 16 = 0$.
$(x+1)^2 + 4(y+2)^2 = 4$.
$4$ से भाग देने पर: $\frac{(x+1)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{1} = 1$.
मानक रूप $\frac{X^2}{a^2} + \frac{Y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 4$ और $b^2 = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a^2 > b^2$,उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $b^2 = a^2(1 - e^2)$ है।
$1 = 4(1 - e^2) \Rightarrow 1 = 4 - 4e^2$.
$4e^2 = 3 \Rightarrow e^2 = \frac{3}{4}$.
अतः,$e = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(C) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $x^2-3y^2=3$ है। $3$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{1}=1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^2=3$ और $b^2=1$,इसलिए $a=\sqrt{3}$ और $b=1$ है।
अनंतस्पर्शी के समीकरण $y = \pm \frac{b}{a}x$ हैं,जो $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ और $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x$ देते हैं।
मान लीजिए ढाल $m_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$ और $m_2 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
अनंतस्पर्शी के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \left| \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} - (-\frac{1}{\sqrt{3}})}{1 + (\frac{1}{\sqrt{3}})(-\frac{1}{\sqrt{3}})} \right| = \left| \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{3}} \right| = \left| \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}} \right| = \sqrt{3}$ है।
चूँकि $\tan \theta = \sqrt{3}$ है,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।

(C) सीमा $\lim _{x \rightarrow 8} \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+x}}-2}{x-8}$ का मान ज्ञात करने के लिए,अंश का परिमेयकरण करने पर:
$\lim _{x \rightarrow 8} \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+x}}-2}{x-8} \times \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+x}}+2}{\sqrt{1+\sqrt{1+x}}+2}$
$= \lim _{x \rightarrow 8} \frac{1+\sqrt{1+x}-4}{(x-8)(\sqrt{1+\sqrt{1+x}}+2)}$
$= \lim _{x \rightarrow 8} \frac{\sqrt{1+x}-3}{(x-8)(\sqrt{1+\sqrt{1+x}}+2)}$
पुनः अंश का परिमेयकरण करने पर:
$= \lim _{x \rightarrow 8} \frac{\sqrt{1+x}-3}{(x-8)(\sqrt{1+\sqrt{1+x}}+2)} \times \frac{\sqrt{1+x}+3}{\sqrt{1+x}+3}$
$= \lim _{x \rightarrow 8} \frac{1+x-9}{(x-8)(\sqrt{1+\sqrt{1+x}}+2)(\sqrt{1+x}+3)}$
$= \lim _{x \rightarrow 8} \frac{x-8}{(x-8)(\sqrt{1+\sqrt{1+x}}+2)(\sqrt{1+x}+3)}$
$= \lim _{x \rightarrow 8} \frac{1}{(\sqrt{1+\sqrt{1+x}}+2)(\sqrt{1+x}+3)}$
$x = 8$ रखने पर:
$= \frac{1}{(\sqrt{1+\sqrt{9}}+2)(\sqrt{9}+3)} = \frac{1}{(\sqrt{4}+2)(3+3)} = \frac{1}{(2+2)(6)} = \frac{1}{4 \times 6} = \frac{1}{24}$

(B) पौधों और जानवरों में विभिन्न जीवन प्रक्रियाओं को नियंत्रित करने वाले पॉलिमर को बायो-पॉलिमर कहा जाता है।
सेलुलोज,इंसुलिन,$DNA$,स्टार्च,प्रोटीन आदि बायो-पॉलिमर के उदाहरण हैं।
नायलॉन-$6$ एक सिंथेटिक पॉलिमर है। यह बायो-पॉलिमर नहीं है।

(C) दिया गया है,$\frac{\cos A}{a} = \frac{\cos B}{b} = \frac{\cos C}{c}$.
ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$a = k \sin A$,$b = k \sin B$,और $c = k \sin C$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{\cos A}{k \sin A} = \frac{\cos B}{k \sin B} = \frac{\cos C}{k \sin C}$
$\cot A = \cot B = \cot C$
चूँकि $A, B, C$ त्रिभुज के कोण हैं,$\cot A = \cot B = \cot C$ का अर्थ है $A = B = C$.
अतः,त्रिभुज समबाहु है।

(A) दिया गया है: $a \cos^2 \frac{C}{2} + c \cos^2 \frac{A}{2} = \frac{3b}{2}$
अर्ध-कोण सूत्रों $\cos^2 \frac{C}{2} = \frac{s(s-c)}{ab}$ और $\cos^2 \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{bc}$ का उपयोग करने पर:
$a \cdot \frac{s(s-c)}{ab} + c \cdot \frac{s(s-a)}{bc} = \frac{3b}{2}$
$\frac{s(s-c)}{b} + \frac{s(s-a)}{b} = \frac{3b}{2}$
$\frac{s}{b} (s - c + s - a) = \frac{3b}{2}$
चूँकि $2s = a + b + c$,इसलिए $2s - a - c = b$:
$\frac{s}{b} (b) = \frac{3b}{2}$
$s = \frac{3b}{2} \Rightarrow 2s = 3b$
$2s = a + b + c$ प्रतिस्थापित करने पर:
$a + b + c = 3b$
$a + c = 2b$
अतः,$a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं।

(B) दिया गया है,$A(\alpha, \beta) = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\ -\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & e^\beta \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम सारणिक ज्ञात करते हैं $|A(\alpha, \beta)| = e^\beta (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = e^\beta$.
इसके बाद,हम सहखंडज आव्यूह $C$ ज्ञात करते हैं:
$C_{11} = e^\beta \cos \alpha, C_{12} = e^\beta \sin \alpha, C_{13} = 0$
$C_{21} = -e^\beta \sin \alpha, C_{22} = e^\beta \cos \alpha, C_{23} = 0$
$C_{31} = 0, C_{32} = 0, C_{33} = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$
अतः,$\text{adj}(A(\alpha, \beta)) = C^T = \begin{bmatrix} e^\beta \cos \alpha & -e^\beta \sin \alpha & 0 \\ e^\beta \sin \alpha & e^\beta \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
फिर,$[A(\alpha, \beta)]^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{e^\beta} \begin{bmatrix} e^\beta \cos \alpha & -e^\beta \sin \alpha & 0 \\ e^\beta \sin \alpha & e^\beta \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & e^{-\beta} \end{bmatrix}$.
इसे मूल आव्यूह $A(\alpha, \beta)$ के साथ तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $\cos \alpha = \cos(-\alpha)$,$-\sin \alpha = \sin(-\alpha)$,और $e^{-\beta}$ तीसरे विकर्ण अवयव के अनुरूप है। अतः,परिणाम $A(-\alpha, -\beta)$ है।

(C) माना $\Delta = \left|\begin{array}{lll}24 & 25 & 26 \\ 25 & 26 & 27 \\ 26 & 27 & 27\end{array}\right|$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ का प्रयोग करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 24 & 25 & 26 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right|$.
तीसरी पंक्ति $(R_3)$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 1(25 - 26) - 1(24 - 26) + 0(24 - 25)$
$\Delta = 1(-1) - 1(-2) + 0$
$\Delta = -1 + 2 = 1$.

(A) दिया गया समीकरण $(\tan ^{-1} x)^2+(\cot ^{-1} x)^2=\frac{5 \pi^2}{8}$ है।
सर्वसमिका $(\tan ^{-1} x + \cot ^{-1} x)^2 = (\tan ^{-1} x)^2 + (\cot ^{-1} x)^2 + 2 \tan ^{-1} x \cot ^{-1} x$ का उपयोग करने पर:
$(\tan ^{-1} x + \cot ^{-1} x)^2 - 2 \tan ^{-1} x \cot ^{-1} x = \frac{5 \pi^2}{8}$.
हम जानते हैं कि $\tan ^{-1} x + \cot ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,इसलिए:
$(\frac{\pi}{2})^2 - 2 \tan ^{-1} x (\frac{\pi}{2} - \tan ^{-1} x) = \frac{5 \pi^2}{8}$.
$\frac{\pi^2}{4} - \pi \tan ^{-1} x + 2(\tan ^{-1} x)^2 = \frac{5 \pi^2}{8}$.
$2(\tan ^{-1} x)^2 - \pi \tan ^{-1} x + \frac{\pi^2}{4} - \frac{5 \pi^2}{8} = 0$.
$2(\tan ^{-1} x)^2 - \pi \tan ^{-1} x - \frac{3 \pi^2}{8} = 0$.
माना $u = \tan ^{-1} x$,तो $2u^2 - \pi u - \frac{3 \pi^2}{8} = 0$.
द्विघात सूत्र $u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$u = \frac{\pi \pm \sqrt{\pi^2 - 4(2)(-\frac{3 \pi^2}{8})}}{4} = \frac{\pi \pm \sqrt{\pi^2 + 3 \pi^2}}{4} = \frac{\pi \pm 2 \pi}{4}$.
अतः,$u = \frac{3 \pi}{4}$ या $u = -\frac{\pi}{4}$.
चूंकि $x = \tan(u)$,इसलिए $x = \tan(\frac{3 \pi}{4}) = -1$ या $x = \tan(-\frac{\pi}{4}) = -1$.
अतः,$x = -1$.

(A) हम जानते हैं कि प्रतिलोम हाइपरबोलिक साइन फलन का सूत्र $\sinh ^{-1}(y) = \log \left(y + \sqrt{1 + y^2}\right)$ है।
सूत्र में $y = \cot x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sinh ^{-1}(\cot x) = \log \left(\cot x + \sqrt{1 + \cot ^2 x}\right)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \cot ^2 x = \operatorname{cosec}^2 x$ का उपयोग करने पर,हमारे पास है:
$= \log \left(\cot x + \sqrt{\operatorname{cosec}^2 x}\right)$
$= \log (\cot x + \operatorname{cosec} x)$
$= \log \left(\frac{\cos x}{\sin x} + \frac{1}{\sin x}\right)$
$= \log \left(\frac{1 + \cos x}{\sin x}\right)$
अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं $1 + \cos x = 2 \cos ^2 \frac{x}{2}$ और $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= \log \left(\frac{2 \cos ^2 \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}\right)$
$= \log \left(\frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\right)$
$= \log \left(\cot \frac{x}{2}\right)$.

(D) माना $y = \frac{x^2-3x+4}{x^2+3x+4}$.
$y(x^2+3x+4) = x^2-3x+4$
$x^2(y-1) + x(3y+3) + (4y-4) = 0$.
चूंकि $x$ वास्तविक है,इसलिए विविक्तकर $D \geq 0$.
$D = (3y+3)^2 - 4(y-1)(4y-4) \geq 0$.
$9(y+1)^2 - 16(y-1)^2 \geq 0$.
$9(y^2+2y+1) - 16(y^2-2y+1) \geq 0$.
$9y^2 + 18y + 9 - 16y^2 + 32y - 16 \geq 0$.
$-7y^2 + 50y - 7 \geq 0$.
$7y^2 - 50y + 7 \leq 0$.
$(7y-1)(y-7) \leq 0$.
अतः,$\frac{1}{7} \leq y \leq 7$.

(D) दिया गया है $f(x) = [\frac{x}{5}]$। हमें $|x| < 71$ के लिए $f(x)$ का परिसर ज्ञात करना है।
इसका अर्थ है $-71 < x < 71$।
$5$ से विभाजित करने पर,हमें $-\frac{71}{5} < \frac{x}{5} < \frac{71}{5}$ प्राप्त होता है।
यह $-14.2 < \frac{x}{5} < 14.2$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $f(x) = [\frac{x}{5}]$ है,$f(x)$ के लिए संभावित पूर्णांक मान $(-14.2, 14.2)$ अंतराल में स्थित पूर्णांक हैं।
यदि $x$,$-71$ से थोड़ा बड़ा है,जैसे $x = -70.9$,तो $f(x) = [\frac{-70.9}{5}] = [-14.18] = -15$ प्राप्त होता है।
यदि $x$,$71$ से थोड़ा छोटा है,जैसे $x = 70.9$,तो $f(x) = [\frac{70.9}{5}] = [14.18] = 14$ प्राप्त होता है।
अतः,मानों का समुच्चय $\{-15, -14, \ldots, 0, \ldots, 13, 14\}$ है।

(D) फलन $f(x) = 7 + \cos(5x + 3)$ द्वारा दिया गया है।
हम जानते हैं कि फलन $\cos(ax + b)$ का मूल आवर्तनांक $\frac{2\pi}{|a|}$ होता है।
यहाँ,$a = 5$ है।
अतः,$\cos(5x + 3)$ का आवर्तनांक $\frac{2\pi}{|5|} = \frac{2\pi}{5}$ है।
चूंकि फलन में एक अचर $7$ जोड़ने से इसके आवर्तनांक में कोई परिवर्तन नहीं होता है,इसलिए $f(x)$ का आवर्तनांक $\frac{2\pi}{5}$ ही रहेगा।

(B) फलन $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,$LHL$ पर विचार करें: $\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{a+2 \cos x}{x^2}$।
इस सीमा के अस्तित्व और परिमित होने के लिए,अंश को $x \rightarrow 0$ होने पर $0$ की ओर अग्रसर होना चाहिए। अतः,$a + 2 \cos(0) = 0 \implies a + 2 = 0 \implies a = -2$।
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$ के लिए टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$LHL = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-2 + 2(1 - \frac{x^2}{2} + \dots)}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-x^2}{x^2} = -1$।
अब,$RHL$ पर विचार करें: $\lim_{x \rightarrow 0^+} b \tan \frac{\pi}{[x+4]}$।
जैसे ही $x \rightarrow 0^+$,$[x+4] = 4$ होता है। अतः,$RHL = b \tan \frac{\pi}{4} = b(1) = b$।
चूंकि फलन सतत है,$LHL = RHL$,जिसका अर्थ है $b = -1$।
अतः,क्रमित युग्म $(a, b)$ का मान $(-2, -1)$ है।

(C) दिया गया है $y = (1+x)(1+x^2)(1+x^4) \dots (1+x^{2^n})$।
$(1-x)$ से गुणा और भाग करने पर:
$y = \frac{(1-x)(1+x)(1+x^2)(1+x^4) \dots (1+x^{2^n})}{1-x}$
सर्वसमिका $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ का बार-बार उपयोग करने पर:
$y = \frac{(1-x^2)(1+x^2)(1+x^4) \dots (1+x^{2^n})}{1-x} = \frac{(1-x^4)(1+x^4) \dots (1+x^{2^n})}{1-x} = \dots = \frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}$
अब,भागफल नियम $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu' - uv'}{v^2}$ का उपयोग करके अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(1-x)(-2^{n+1}x^{2^{n+1}-1}) - (1-x^{2^{n+1}})(-1)}{(1-x)^2}$
$x=0$ पर:
$(\frac{dy}{dx})_{x=0} = \frac{(1-0)(0) - (1-0)(-1)}{(1-0)^2} = \frac{0 + 1}{1} = 1$.

(D) दिया गया है,$y=\frac{\log _e x}{x}$ और $z=\log _e x$।
चूंकि $z=\log _e x$,इसलिए $x=e^z$ होगा।
$y$ में $x$ का मान रखने पर,$y=\frac{z}{e^z} = z e^{-z}$ प्राप्त होता है।
अब,$y$ का $z$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d z} = \frac{d}{d z}(z e^{-z}) = e^{-z} - z e^{-z} = (1-z)e^{-z}$।
इसके बाद,द्वितीय अवकलज प्राप्त करने के लिए $\frac{d y}{d z}$ का $z$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{d z^2} = \frac{d}{d z}((1-z)e^{-z}) = -e^{-z} - (1-z)e^{-z} = (-1-1+z)e^{-z} = (z-2)e^{-z}$।
अंत में,योग ज्ञात करने पर:
$\frac{d^2 y}{d z^2} + \frac{d y}{d z} = (z-2)e^{-z} + (1-z)e^{-z} = (z-2+1-z)e^{-z} = -1 \cdot e^{-z} = -e^{-z}$।

(A) दिया गया है,$\cos ^{-1}\left(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right)=k$
$\Rightarrow \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\cos k$
माना $\cos k = C$ (एक स्थिरांक)।
अतः,$x^2 - y^2 = C(x^2 + y^2)$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x^2 - y^2) = \frac{d}{dx}(C(x^2 + y^2))$
$2x - 2y \frac{dy}{dx} = C(2x + 2y \frac{dy}{dx})$
$x - y \frac{dy}{dx} = C(x + y \frac{dy}{dx})$
$x - Cx = Cy \frac{dy}{dx} + y \frac{dy}{dx}$
$x(1 - C) = y \frac{dy}{dx}(1 + C)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{x(1 - C)}{y(1 + C)}$
चूँकि $C = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$,मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{x(1 - \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2})}{y(1 + \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2})} = \frac{x(\frac{x^2 + y^2 - x^2 + y^2}{x^2 + y^2})}{y(\frac{x^2 + y^2 + x^2 - y^2}{x^2 + y^2})} = \frac{x(2y^2)}{y(2x^2)} = \frac{2xy^2}{2x^2y} = \frac{y}{x}$

(D) दिया गया वक्र $y = 5^x$ है।
सबसे पहले,अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(5^x) = 5^x \log_e 5$.
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_1, y_1)} = 5^{x_1} \log_e 5$ है।
अधिस্পর্শक की लंबाई का सूत्र $\left| \frac{y_1}{\frac{dy}{dx}} \right|$ है।
मान रखने पर:
अधिस্পর্শक की लंबाई $= \frac{y_1}{5^{x_1} \log_e 5}$.
चूंकि बिंदु $(x_1, y_1)$ वक्र $y = 5^x$ पर स्थित है,इसलिए $y_1 = 5^{x_1}$ है।
अतः,अधिस্পর্শक की लंबाई $= \frac{5^{x_1}}{5^{x_1} \log_e 5} = \frac{1}{\log_e 5}$.

(B) दिया गया फलन $f(x) = x^2 - 4x + 5$ है,जिसका प्रांत $[2, \infty)$ है।
बाइजेक्शन होने के लिए,सह-प्रांत $B$ को फलन के परिसर (range) के बराबर होना चाहिए।
हम फलन के व्यवहार का विश्लेषण करके परिसर ज्ञात करते हैं।
सबसे पहले,अवकलन करने पर: $f'(x) = 2x - 4$ प्राप्त होता है।
$f'(x) = 0$ रखने पर $x = 2$ प्राप्त होता है।
सभी $x \in [2, \infty)$ के लिए,$f'(x) \geq 0$ है,जिसका अर्थ है कि फलन इस अंतराल में वर्धमान (increasing) है।
न्यूनतम मान सीमा बिंदु $x = 2$ पर प्राप्त होता है।
$f(2) = (2)^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$ है।
जैसे-जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to \infty$ होता है।
चूंकि फलन निरंतर और वर्धमान है,इसलिए परिसर $[f(2), \infty) = [1, \infty)$ है।
अतः,$B = [1, \infty)$।

(C) माना $h = 2500 \ m$ झील के ऊपर अवलोकन बिंदु की ऊँचाई है। माना $H$ झील के ऊपर बादल की ऊँचाई है। झील में बादल के प्रतिबिंब की गहराई भी झील की सतह से $H$ नीचे होगी।
अवलोकन बिंदु से बादल की दूरी $H-h$ है।
अवलोकन बिंदु से प्रतिबिंब की दूरी $H+h$ है।
माना $d$ अवलोकन बिंदु से बादल के ठीक नीचे के बिंदु तक की क्षैतिज दूरी है।
अवलोकन बिंदु,बादल और उसके ठीक नीचे के बिंदु द्वारा निर्मित त्रिभुज में:
$\cot 15^{\circ} = \frac{d}{H-h} \Rightarrow d = (H-h)(2+\sqrt{3}) \quad \dots(i)$
अवलोकन बिंदु,प्रतिबिंब और उसके ठीक नीचे के बिंदु द्वारा निर्मित त्रिभुज में:
$\cot 45^{\circ} = \frac{d}{H+h}$ $\Rightarrow 1 = \frac{d}{H+h}$ $\Rightarrow d = H+h \quad \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$(H-h)(2+\sqrt{3}) = H+h$
$H(2+\sqrt{3}) - h(2+\sqrt{3}) = H+h$
$H(2+\sqrt{3}-1) = h(2+\sqrt{3}+1)$
$H(1+\sqrt{3}) = h(3+\sqrt{3})$
$H = h \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}+1} = h\sqrt{3}$
यहाँ $h = 2500 \ m$ दिया गया है,अतः $H = 2500\sqrt{3} \ m$।

(D) माना $I = \int \frac{1+\cos 4 x}{\cot x-\tan x} d x$.
सर्वसमिका $1+\cos 4x = 2\cos^2 2x$ और $\cot x - \tan x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{\cos 2x}{\frac{1}{2}\sin 2x} = 2\cot 2x$ का उपयोग करने पर।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{2\cos^2 2x}{2\cot 2x} d x = \int \frac{\cos^2 2x}{\frac{\cos 2x}{\sin 2x}} d x = \int \cos 2x \sin 2x d x$.
$2$ से गुणा और भाग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \int 2\sin 2x \cos 2x d x = \frac{1}{2} \int \sin 4x d x$.
$\sin 4x$ का समाकलन करने पर:
$I = \frac{1}{2} \left( -\frac{\cos 4x}{4} \right) + C = -\frac{1}{8} \cos 4x + C$.

(B) माना $I = \int \left( \sqrt{\frac{a+x}{a-x}} + \sqrt{\frac{a-x}{a+x}} \right) dx$ है।
समाकल्य को सरल करने पर:
$\sqrt{\frac{a+x}{a-x}} + \sqrt{\frac{a-x}{a+x}} = \frac{a+x + a-x}{\sqrt{(a-x)(a+x)}} = \frac{2a}{\sqrt{a^2-x^2}}$।
अब,$I = \int \frac{2a}{\sqrt{a^2-x^2}} dx$।
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = 2a \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C$।

(A) दिए गए मान $f(0)=1, f(0.5)=\frac{5}{4}, f(1)=2, f(1.5)=\frac{13}{4}, f(2)=5$ हैं,जहाँ $n=4$ अंतराल हैं।
स्टेप साइज़ $h = \frac{b-a}{n} = \frac{2-0}{4} = 0.5$ है।
सिम्पसन के नियम के अनुसार:
$\int_a^b f(x) dx = \frac{h}{3} [ (y_0 + y_4) + 4(y_1 + y_3) + 2(y_2) ]$.
मान रखने पर:
$\int_0^2 f(x) dx = \frac{0.5}{3} [ (1 + 5) + 4(\frac{5}{4} + \frac{13}{4}) + 2(2) ]$.
$\int_0^2 f(x) dx = \frac{0.5}{3} [ 6 + 4(\frac{18}{4}) + 4 ]$.
$\int_0^2 f(x) dx = \frac{0.5}{3} [ 6 + 18 + 4 ] = \frac{0.5}{3} [ 28 ] = \frac{14}{3}$.

(D) दिए गए वक्र $x=y^2$ और $x=3-2y^2$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y^2 = 3-2y^2$ रखें।
$3y^2 = 3 \Rightarrow y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm 1$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 1)$ और $(1, -1)$ हैं।
यह क्षेत्र $x$-अक्ष के परितः सममित है।
अभीष्ट क्षेत्रफल $= 2 \int_0^1 (x_{right} - x_{left}) dy = 2 \int_0^1 ((3-2y^2) - y^2) dy$.
$= 2 \int_0^1 (3-3y^2) dy = 6 \int_0^1 (1-y^2) dy$.
$= 6 [y - \frac{y^3}{3}]_0^1 = 6 (1 - \frac{1}{3}) = 6 (\frac{2}{3}) = 4$ वर्ग इकाई।

(C) माध्यम $2$ और $3$ के बीच के इंटरफेस पर स्नेल के नियम के अनुसार,किरण क्रांतिक कोण $C$ पर आपतित होती है। इसलिए,$\sin C = \frac{\mu_3}{\mu_2} = \frac{1.3}{1.8}$ है।
चूंकि पहले इंटरफेस पर अपवर्तन कोण $r$ है,और किरण दूसरे इंटरफेस पर क्रांतिक कोण पर आपतित होती है,इसलिए $r = C$ है।
पहले इंटरफेस (माध्यम $1$ और $2$ के बीच) पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
$\mu_1 \sin \theta = \mu_2 \sin r$
$\sin r = \sin C = \frac{1.3}{1.8}$ रखने पर:
$1.6 \times \sin \theta = 1.8 \times \left(\frac{1.3}{1.8}\right)$
$1.6 \times \sin \theta = 1.3$
$\sin \theta = \frac{1.3}{1.6} = \frac{13}{16}$
$\theta = \sin ^{-1}\left(\frac{13}{16}\right)$

(B) फास्फोरस अम्ल $(H_3PO_3)$ एक द्वि-क्षारकीय (dibasic) अम्ल है,जिसका $n$-कारक $2$ है।
उदासीनीकरण के लिए,अम्ल के तुल्यांक और क्षार के तुल्यांक बराबर होने चाहिए: $N_1V_1 = N_2V_2$।
नॉर्मलता $(N) = \text{मोलरता} \times n\text{-कारक}$।
$H_3PO_3$ के लिए: $N = 0.3 \ M \times 2 = 0.6 \ N$।
$NaOH$ के लिए: $N = 0.1 \ M \times 1 = 0.1 \ N$।
समीकरण का उपयोग करने पर: $0.1 \ N \times V_{NaOH} = 0.6 \ N \times 100 \ mL$।
$V_{NaOH} = \frac{0.6 \times 100}{0.1} = 600 \ mL$।

(B) $NaOH$ की सल्फर के साथ अभिक्रिया में सोडियम सल्फाइड $(Na_2S)$ और सोडियम थायोसल्फेट $(Na_2S_2O_3)$ जल $(H_2O)$ के साथ बनते हैं,लेकिन हाइड्रोजन गैस मुक्त नहीं होती है।
$4S + 6NaOH \rightarrow 2Na_2S + Na_2S_2O_3 + 3H_2O$
अन्य विकल्पों में:
$1$. $2NaOH + C \rightarrow Na_2CO_3 + 2H_2$
$2$. $Si + 2NaOH + H_2O \rightarrow Na_2SiO_3 + 2H_2$
$3$. $Zn + 2NaOH \rightarrow Na_2ZnO_2 + H_2$

(C) दिया गया है: अवरोध विभव,$V = 0.3 ~V$।
अवक्षय परत की मोटाई,$d = 2 \times 10^{-6} ~m$।
विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र $E = \frac{V}{d}$ है।
मान रखने पर: $E = \frac{0.3}{2 \times 10^{-6}} = 0.15 \times 10^6 = 1.5 \times 10^5 ~V/m$।
एक $p-n$ जंक्शन में,अवक्षय परत $n$-साइड से $p$-साइड की ओर इलेक्ट्रॉनों और $p$-साइड से $n$-साइड की ओर होल्स के विसरण (diffusion) के कारण बनती है। इससे $n$-साइड पर धनात्मक आवेश और $p$-साइड पर ऋणात्मक आवेश उत्पन्न होता है। इसलिए,विद्युत क्षेत्र की दिशा $n$-साइड से $p$-साइड की ओर होती है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\left(\frac{2+\sin x}{y+1}\right) \frac{d y}{d x}+\cos x=0$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{d y}{y+1} = -\frac{\cos x}{2+\sin x} d x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{d y}{y+1} = -\int \frac{\cos x}{2+\sin x} d x$।
माना $2+\sin x = t$,तो $\cos x dx = dt$।
अतः,$\ln|y+1| = -\ln|2+\sin x| + C$।
इसे सरल करने पर $\ln|y+1| + \ln|2+\sin x| = C$,या $(y+1)(2+\sin x) = C'$ प्राप्त होता है।
$y(0)=1$ दिया गया है,इसलिए $x=0$ और $y=1$ रखने पर: $(1+1)(2+\sin 0) = C' \Rightarrow 2(2) = C' \Rightarrow C'=4$।
अतः,समीकरण $(y+1)(2+\sin x) = 4$ है।
$x=\frac{\pi}{2}$ पर,$(y(\frac{\pi}{2})+1)(2+\sin \frac{\pi}{2}) = 4$।
$(y(\frac{\pi}{2})+1)(2+1) = 4$।
$3(y(\frac{\pi}{2})+1) = 4 \Rightarrow y(\frac{\pi}{2})+1 = \frac{4}{3}$।
$y(\frac{\pi}{2}) = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$।

(B) मान लीजिए कि $D$,भुजा $BC$ का मध्य-बिंदु है। $A$ से गुजरने वाली माध्यिका सदिश $\vec{AD}$ है।
चूंकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,$A$ के सापेक्ष $D$ का स्थिति सदिश,सदिशों $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ के औसत द्वारा दिया जाता है:
$\vec{AD} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$
$\vec{AD} = \frac{1}{2}((-3\hat{i} + 4\hat{k}) + (5\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}))$
$\vec{AD} = \frac{1}{2}(2\hat{i} - 2\hat{j} + 8\hat{k}) = \hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$
माध्यिका $\vec{AD}$ की लंबाई,सदिश $\vec{AD}$ का परिमाण है:
$|\vec{AD}| = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2 + (4)^2}$
$|\vec{AD}| = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18}$

(D) दिया है: $|a|=1, |b|=2$ और कोण $\theta = 120^{\circ}$ है।
हमें व्यंजक ${(a+3b) \times (3a-b)}^2$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,कोष्ठक के अंदर के सदिश गुणनफल का विस्तार करें:
$(a+3b) \times (3a-b) = a \times (3a) - a \times b + (3b) \times (3a) - (3b) \times b$
चूंकि $a \times a = 0$ और $b \times b = 0$,इसलिए:
$= 0 - (a \times b) + 9(b \times a) - 0$
गुणधर्म $b \times a = -(a \times b)$ का उपयोग करने पर:
$= -(a \times b) - 9(a \times b) = -10(a \times b)$
अब,परिमाण का वर्ग करने पर:
${-10(a \times b)}^2 = 100 |a \times b|^2$
सूत्र $|a \times b| = |a||b| \sin \theta$ का उपयोग करने पर:
$|a \times b| = 1 \times 2 \times \sin(120^{\circ}) = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$
अतः,$100 |a \times b|^2 = 100 \times (\sqrt{3})^2 = 100 \times 3 = 300$.

(B) माना रेखा की दिशा में इकाई सदिश $\hat{v}$ है। चूँकि रेखा निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण $\alpha$ बनाती है,इसलिए इसके दिक्-कोसाइन $\cos \alpha, \cos \alpha, \cos \alpha$ हैं।
हम जानते हैं कि $\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$,जिसका अर्थ है $3\cos^2 \alpha = 1$,इसलिए $\cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,रेखा की दिशा में इकाई सदिश $\hat{v} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ है।
सदिश $\vec{a} = 4\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ का रेखा पर प्रक्षेप अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \hat{v}$ का परिमाण है।
$|\vec{a} \cdot \hat{v}| = |(4\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot \pm \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})|$
$= |\pm \frac{1}{\sqrt{3}}(4 - 3 + 2)| = |\pm \frac{3}{\sqrt{3}}| = \sqrt{3}$.

(C) मान लीजिए कि रेखा के दिशा कोण $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ हैं। हमें दिया गया है कि $\alpha_1 = \alpha$,$\alpha_2 = \frac{\pi}{2} - \alpha$,और $\alpha_3 = \beta$ है।
दिक् कोज्या (direction cosines) का गुणधर्म कहता है कि $\cos^2 \alpha_1 + \cos^2 \alpha_2 + \cos^2 \alpha_3 = 1$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos^2 \alpha + \cos^2 \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) + \cos^2 \beta = 1$
चूंकि $\cos \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin \alpha$ होता है,समीकरण इस प्रकार हो जाता है:
$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + \cos^2 \beta = 1$
सर्वसमिका $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1 + \cos^2 \beta = 1$
$\cos^2 \beta = 0$
$\cos \beta = 0$
अतः,$\beta = \frac{\pi}{2}$।

(A) दी गई रेखा का ध्रुवीय समीकरण $\sin \theta - \cos \theta = \frac{1}{r}$ है।
$r$ से गुणा करने पर,हमें $r \sin \theta - r \cos \theta = 1$ प्राप्त होता है।
कार्तीय निर्देशांक में,$x = r \cos \theta$ और $y = r \sin \theta$ होता है,इसलिए समीकरण $y - x = 1$ या $x - y + 1 = 0$ बन जाता है।
इस रेखा की ढाल $m_1 = 1$ है।
इस रेखा के लंबवत रेखा की ढाल $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -1$ होगी।
$-1$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $x + y = k$ है।
यह रेखा बिंदु $\left(2, \frac{\pi}{6}\right)$ से गुजरती है।
इस बिंदु को कार्तीय निर्देशांक में बदलने पर:
$x = 2 \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$
$y = 2 \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$
$(\sqrt{3}, 1)$ को $x + y = k$ में रखने पर,हमें $k = \sqrt{3} + 1$ प्राप्त होता है।
अतः,कार्तीय समीकरण $x + y = \sqrt{3} + 1$ है।
इसे वापस ध्रुवीय रूप में बदलने पर:
$r \cos \theta + r \sin \theta = \sqrt{3} + 1$
$\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{3} + 1}{r}$.

(A) कुल छात्रों की संख्या = $15 + 5 = 20$।
$20$ में से $3$ छात्रों को चुनने के तरीके = $^{20}C_3 = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$।
$15$ में से $2$ लड़कों को चुनने के तरीके = $^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$।
$5$ में से $1$ लड़की को चुनने के तरीके = $^5C_1 = 5$।
अभीष्ट प्रायिकता = $\frac{^{15}C_2 \times ^5C_1}{^{20}C_3} = \frac{105 \times 5}{1140} = \frac{525}{1140} = \frac{35}{76}$।

(B) $7$ सफेद गेंदों और $3$ काली गेंदों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $\frac{10!}{7!3!} = 120$ हैं।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो काली गेंदें एक साथ न हों,हम पहले $7$ सफेद गेंदों को व्यवस्थित करते हैं,जिससे $8$ संभावित स्थान (सिरों सहित) बनते हैं जहाँ $3$ काली गेंदें रखी जा सकती हैं।
$8$ में से $3$ स्थानों को चुनने के तरीके $\binom{8}{3} = 56$ हैं।
अतः,आवश्यक प्रायिकता $\frac{\binom{8}{3}}{\binom{10}{3}} = \frac{56}{120} = \frac{7}{15}$ है।

(B) पोटेशियम $BCC$ सिस्टम में क्रिस्टलीकृत होता है।
पोटेशियम के मोल की संख्या $= \frac{39 \ g}{39 \ g/mol} = 1 \ mol$.
परमाणुओं की कुल संख्या $= 1 \ mol \times N = N \ \text{परमाणु}$.
$BCC$ यूनिट सेल में,प्रति यूनिट सेल परमाणुओं की संख्या $2$ होती है।
अतः,यूनिट सेल की संख्या $= \frac{\text{परमाणुओं की कुल संख्या}}{2} = \frac{N}{2}$.