AP EAMCET 2011 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) वाष्प दाब में अवनमन एक अणुसंख्यक गुणधर्म है,जो विलेय के कणों की संख्या (वांट हॉफ गुणांक,$i$) पर निर्भर करता है।
$0.1 \ M$ जलीय विलयनों के लिए,वाष्प दाब में सापेक्ष अवनमन वियोजन के बाद उत्पन्न आयनों की संख्या के समानुपाती होता है।
$BaCl_2 \rightarrow Ba^{2+} + 2Cl^-$; $i = 3$
$NaCl \rightarrow Na^+ + Cl^-$; $i = 2$
$Al_2(SO_4)_3 \rightarrow 2Al^{3+} + 3SO_4^{2-}$; $i = 5$
अतः,$BaCl_2 : NaCl : Al_2(SO_4)_3$ के वाष्प दाब में अवनमन का अनुपात $3 : 2 : 5$ है।

(D) $NaHCO_3$ की अपघटन अभिक्रिया है: $2NaHCO_3 \rightarrow Na_2CO_3 + H_2O + CO_2$।
माना $NaHCO_3$ का द्रव्यमान $x \ g$ और $Na_2CO_3$ का द्रव्यमान $y \ g$ है।
दिया गया है $x + y = 19$।
उत्पन्न $CO_2$ के मोल = $\frac{1.12 \ L}{22.4 \ L/mol} = 0.05 \ mol$।
अभिक्रिया के अनुसार,$2 \ mol$ $NaHCO_3$ से $1 \ mol$ $CO_2$ उत्पन्न होती है।
अतः,$NaHCO_3$ के मोल = $2 \times 0.05 = 0.1 \ mol$।
$NaHCO_3$ का द्रव्यमान = $0.1 \ mol \times 84 \ g/mol = 8.4 \ g$।
मूल मिश्रण में $Na_2CO_3$ का द्रव्यमान = $19 \ g - 8.4 \ g = 10.6 \ g$।

(C) अंतर-आणविक बलों और गैस अणुओं के परिमित आयतन के कारण वास्तविक गैसें आदर्श व्यवहार से विचलित होती हैं।
$High \text{ temperature}$ (उच्च तापमान) पर,अणुओं की गतिज ऊर्जा अधिक होती है,जिससे अंतर-आणविक बल नगण्य हो जाते हैं।
$Low \text{ pressure}$ (कम दबाव) पर,गैस अणुओं द्वारा घेरा गया आयतन पात्र के कुल आयतन की तुलना में नगण्य हो जाता है।
इसलिए,वास्तविक गैसें $High \text{ temperature}$ और $Low \text{ pressure}$ की स्थितियों में आदर्श गैस व्यवहार के निकट पहुँचती हैं।

(A) बोर की अभिधारणा के अनुसार,हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $(L)$ क्वांटाइज्ड होता है और इसे $L = \frac{n h}{2 \pi}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ एक पूर्णांक $(n = 1, 2, 3, \dots)$ है।
इसे $L = n \times (0.5 \frac{h}{\pi})$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिए गए विकल्पों के लिए:
$A) 1.25 \frac{h}{\pi} = 2.5 \times \frac{h}{2 \pi}$ (यह $\frac{h}{2 \pi}$ का पूर्णांक गुणज नहीं है)
$B) 1 \frac{h}{\pi} = 2 \times \frac{h}{2 \pi}$ ($n = 2$,अनुमत है)
$C) 1.5 \frac{h}{\pi} = 3 \times \frac{h}{2 \pi}$ ($n = 3$,अनुमत है)
$D) 0.5 \frac{h}{\pi} = 1 \times \frac{h}{2 \pi}$ ($n = 1$,अनुमत है)
अतः,$1.25 \frac{h}{\pi}$ एक अनुमत मान नहीं है।

(D) आवृत्ति $(v)$,प्रकाश की गति $(c)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के बीच का संबंध $v = \frac{c}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ और $\lambda = 600 \ nm = 600 \times 10^{-9} \ m$.
मान रखने पर: $v = \frac{3 \times 10^8}{600 \times 10^{-9}} = \frac{3 \times 10^8}{6 \times 10^{-7}} = 0.5 \times 10^{15} = 5.0 \times 10^{14} \ Hz$.

(D) स्पिन-ओनली चुंबकीय आघूर्ण $(\mu)$ की गणना सूत्र: $\mu = \sqrt{n(n+2)} \ BM$ का उपयोग करके की जाती है,जहाँ $n$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या है।
इलेक्ट्रॉनिक विन्यास और अयुग्मित इलेक्ट्रॉन $(n)$:
$I. Fe^{2+}: [Ar] 3d^6 \rightarrow n = 4$
$II. Ti^{2+}: [Ar] 3d^2 \rightarrow n = 2$
$III. Cu^{2+}: [Ar] 3d^9 \rightarrow n = 1$
$IV. V^{2+}: [Ar] 3d^3 \rightarrow n = 3$
चुंबकीय आघूर्ण अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या के साथ बढ़ता है।
$n$ मानों की तुलना: $1 (III) < 2 (II) < 3 (IV) < 4 (I)$।
अतः,बढ़ता हुआ क्रम $III < II < IV < I$ है।

(A) फ्रुंडलिच अधिशोषण समतापी समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$\frac{x}{m} = K p^{1/n}$
दोनों तरफ लॉग लेने पर:
$\log \frac{x}{m} = \log K + \frac{1}{n} \log p$
यह समीकरण एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ $y = \log \frac{x}{m}$,$x = \log p$,ढाल $m = \frac{1}{n}$,और अंतःखंड $c = \log K$ है।
इसलिए,$\log \frac{x}{m}$ और $\log p$ के बीच ग्राफ खींचने पर एक सीधी रेखा प्राप्त होती है।

(C) स्थिर अवस्था में,श्रेणीक्रम में जुड़ी दोनों स्लैब से ऊष्मा प्रवाह की दर $(H)$ समान होनी चाहिए।
$H = \frac{k_1 A (T_1 - T_x)}{L} = \frac{k_2 A (T_x - T_2)}{L}$
चूंकि दोनों स्लैब के लिए मोटाई $(L)$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $(A)$ समान है,इसलिए हमारे पास है:
$k_1 (12 - x) = k_2 (x - 0)$
दिया गया है कि $k_1 = \frac{k_2}{2}$,इसलिए इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{k_2}{2} (12 - x) = k_2 x$
$12 - x = 2x$
$3x = 12 \implies x = 4^{\circ} C$
स्लैब $A$ के आर-पार तापमान अंतर $(12 - x) = 12 - 4 = 8^{\circ} C$ है।

(A) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान और $T_2$ सिंक का तापमान केल्विन में है।
दिया गया है $\eta = \frac{1}{6}$,अतः $1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{1}{6} \implies \frac{T_2}{T_1} = \frac{5}{6} \implies T_1 = 1.2 T_2$.
जब सिंक का तापमान $62^{\circ} C$ कम किया जाता है,तो नया सिंक तापमान $T_2' = T_2 - 62$ होता है। नई दक्षता दोगुनी हो जाती है,इसलिए $\eta' = 2 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$.
अतः,$1 - \frac{T_2 - 62}{T_1} = \frac{1}{3} \implies \frac{T_2 - 62}{T_1} = \frac{2}{3}$.
$T_1 = 1.2 T_2$ को समीकरण में रखने पर: $\frac{T_2 - 62}{1.2 T_2} = \frac{2}{3}$.
$3(T_2 - 62) = 2.4 T_2 \implies 3 T_2 - 186 = 2.4 T_2 \implies 0.6 T_2 = 186 \implies T_2 = 310 \ K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_2 = 310 - 273 = 37^{\circ} C$.
तब $T_1 = 1.2 \times 310 = 372 \ K$. सेल्सियस में बदलने पर: $T_1 = 372 - 273 = 99^{\circ} C$.
अतः,तापमान $99^{\circ} C$ और $37^{\circ} C$ हैं।

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दबाव $p$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $pV^\gamma = k$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\gamma = C_p / C_V$ रुद्धोष्म सूचकांक है। $(i)$
दिया गया है कि $p \propto T^3$,इसलिए हम लिख सकते हैं $p = k' T^3$,जहाँ $k'$ एक स्थिरांक है।
आदर्श गैस समीकरण $pV = nRT$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $T = \frac{pV}{nR}$।
इस मान को दिए गए संबंध में प्रतिस्थापित करने पर:
$p = k' \left( \frac{pV}{nR} \right)^3$
$p = \left( \frac{k'}{n^3 R^3} \right) p^3 V^3$
$1 = \left( \frac{k'}{n^3 R^3} \right) p^2 V^3$
$p^2 V^3 = \text{स्थिरांक}$
$p V^{3/2} = \text{स्थिरांक}$ (ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $\gamma = 3/2$।
अतः,$C_p / C_V$ का मान $3/2$ है।

(D) अभिक्रिया का एन्थैल्पी परिवर्तन,$\Delta_r H$,अग्र अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_f)$ और पश्च अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_b)$ से इस समीकरण द्वारा संबंधित है: $\Delta_r H = E_f - E_b$।
ऊष्माक्षेपी अभिक्रिया के लिए,एन्थैल्पी परिवर्तन ऋणात्मक होता है,अर्थात $\Delta_r H < 0$।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $E_f - E_b < 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $E_f < E_b$।

(D) अवस्था परिवर्तन के लिए एन्ट्रापी परिवर्तन का सूत्र $\Delta S = \frac{q_{rev}}{T}$ है।
बर्फ के पिघलने के लिए अवशोषित ऊष्मा $q = m \times L_f$ है,जहाँ $m = 27.3 \ g$ और $L_f = 330 \ J g^{-1}$ है।
$q = 27.3 \ g \times 330 \ J g^{-1} = 9009 \ J$.
बर्फ का गलनांक $T = 0^{\circ} C = 273 \ K$ है।
अतः,$\Delta S = \frac{9009 \ J}{273 \ K} = 33 \ J K^{-1}$.

(C) व्यंजक $\frac{1}{2} \mu_0 H^2$ चुंबकीय क्षेत्र के ऊर्जा घनत्व को दर्शाता है।
ऊर्जा घनत्व को प्रति इकाई आयतन ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
ऊर्जा का विमीय सूत्र $[ML^2 T^{-2}]$ है और आयतन का $[L^3]$ है।
अतः,ऊर्जा घनत्व का विमीय सूत्र $\frac{[ML^2 T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^{-1} T^{-2}]$ होगा।
वैकल्पिक रूप से,$\mu_0$ और $H$ की विमाओं का उपयोग करते हुए:
$[\mu_0] = [MLT^{-2} A^{-2}]$ और $[H] = [AL^{-1}]$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर: $[\mu_0 H^2] = [MLT^{-2} A^{-2}] \times [AL^{-1}]^2 = [MLT^{-2} A^{-2}] \times [A^2 L^{-2}] = [ML^{-1} T^{-2}]$।

(B) भौतिक राशियाँ और उनके संबंधित $SI$ मात्रक इस प्रकार हैं:
$1$. चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $(H)$: इसका मात्रक एम्पीयर प्रति मीटर $(A \cdot m^{-1})$ है।
$2$. चुंबकीय फ्लक्स $(\phi)$: इसका मात्रक वेबर $(Wb)$ है।
$3$. चुंबकीय ध्रुव प्राबल्य $(m)$: इसका मात्रक एम्पीयर-मीटर $(A \cdot m)$ है।
$4$. चुंबकीय प्रेरण $(B)$: इसका मात्रक वेबर प्रति वर्ग मीटर $(Wb \cdot m^{-2})$ है,जो टेस्ला $(T)$ के बराबर होता है।
इनका मिलान करने पर:
$(A)$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $\rightarrow$ (iv) $A \cdot m^{-1}$
$(B)$ चुंबकीय फ्लक्स $\rightarrow$ $(i)$ $Wb$
$(C)$ चुंबकीय ध्रुव प्राबल्य $\rightarrow$ (iii) $A \cdot m$
$(D)$ चुंबकीय प्रेरण $\rightarrow$ (ii) $Wb \cdot m^{-2}$
अतः,सही मिलान $(A)-(iv), (B)-(i), (C)-(iii), (D)-(ii)$ है। सही विकल्प $(b)$ है।

(C) व्यतिकरण प्रतिरूप में किसी भी बिंदु पर परिणामी तीव्रता $I_R$ का सूत्र $I_R = I_{\max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
दिया गया है कि $I_R = 75 \% \text{ of } I_{\max} = 0.75 I_{\max} = \frac{3}{4} I_{\max}$।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\frac{3}{4} I_{\max} = I_{\max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$।
$\cos^2(\frac{\phi}{2}) = \frac{3}{4}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\cos(\frac{\phi}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
हम जानते हैं कि $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\frac{\phi}{2} = \frac{\pi}{6}$।
अतः,कलांतर $\phi = \frac{\pi}{3}$ है।

(A) मान लीजिए $v$ हवा में ध्वनि का वेग है और $f_0$ तीसरे ध्वनि की आवृत्ति है।
दोनों ध्वनियों की आवृत्तियाँ $f_1 = \frac{v}{\lambda_1} = \frac{v}{40/195} = \frac{195v}{40}$ और $f_2 = \frac{v}{\lambda_2} = \frac{v}{40/193} = \frac{193v}{40}$ हैं।
चूंकि प्रत्येक ध्वनि तीसरे ध्वनि के साथ प्रति सेकंड $9$ बीट्स उत्पन्न करती है,इसलिए:
$|f_1 - f_0| = 9$ और $|f_2 - f_0| = 9$।
इसका अर्थ है कि $f_1 - f_0 = 9$ और $f_0 - f_2 = 9$ (क्योंकि $f_1 > f_2$)।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$(f_1 - f_0) + (f_0 - f_2) = 9 + 9$
$f_1 - f_2 = 18$
$f_1$ और $f_2$ के मान रखने पर:
$\frac{195v}{40} - \frac{193v}{40} = 18$
$\frac{2v}{40} = 18$
$\frac{v}{20} = 18$
$v = 360 ~m/s$।

(B) मान लीजिए $2R$ त्रिज्या वाली बड़ी डिस्क का केंद्र मूल बिंदु $(0,0)$ पर है।
मान लीजिए बड़ी डिस्क का द्रव्यमान $M$ है। प्रति इकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान $\sigma = \frac{M}{\pi(2R)^2} = \frac{M}{4\pi R^2}$ है।
हटाए गए $R$ त्रिज्या वाले छोटे डिस्क का द्रव्यमान $m = \sigma \cdot \pi R^2 = \frac{M}{4\pi R^2} \cdot \pi R^2 = \frac{M}{4}$ है।
बड़ी डिस्क का द्रव्यमान केंद्र $x_1 = 0$ पर है। हटाई गई छोटी डिस्क का द्रव्यमान केंद्र $x_2 = R$ पर है (क्योंकि परिधियाँ स्पर्श करती हैं)।
शेष भाग का द्रव्यमान केंद्र इस प्रकार दिया जाता है:
$x_{CM} = \frac{M x_1 - m x_2}{M - m}$
$x_{CM} = \frac{M(0) - (M/4)(R)}{M - M/4} = \frac{-MR/4}{3M/4} = -\frac{R}{3}$.
बड़ी डिस्क के केंद्र से दूरी $|x_{CM}| = \frac{R}{3}$ है।
इसे $\alpha R$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) केंद्रीय परमाणु पर एकाकी युग्मों की संख्या निर्धारित करने के लिए,हम सूत्र का उपयोग करते हैं: $\text{Lone pairs} = \frac{1}{2} (V - N - C)$,जहाँ $V$ केंद्रीय परमाणु के संयोजी इलेक्ट्रॉनों की संख्या है,$N$ इससे जुड़े एकसंयोजक परमाणुओं की संख्या है,और $C$ प्रजाति पर आवेश है।
$1$. $XeF_2$ के लिए: $V=8, N=2, C=0$. $\text{Lone pairs} = \frac{1}{2}(8-2) = 3$.
$2$. $ICl_2^{-}$ के लिए: $V=7, N=2, C=1$. $\text{Lone pairs} = \frac{1}{2}(7-2+1) = 3$.
$XeF_2$ और $ICl_2^{-}$ दोनों के केंद्रीय परमाणुओं पर $3$ एकाकी युग्म होते हैं।

(B) औपचारिक आवेश $(FC)$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $FC = (\text{कुल संयोजी इलेक्ट्रॉन}) - (\text{अनाबंधी इलेक्ट्रॉन}) - \frac{1}{2}(\text{आबंधी इलेक्ट्रॉन})$.
$N_{(1)}$ के लिए ($4$ अनाबंधी इलेक्ट्रॉन और द्वि-आबंध से $4$ आबंधी इलेक्ट्रॉन): $FC = 5 - 4 - \frac{1}{2}(4) = -1$.
$N_{(2)}$ के लिए ($0$ अनाबंधी इलेक्ट्रॉन और दो द्वि-आबंधों से $8$ आबंधी इलेक्ट्रॉन): $FC = 5 - 0 - \frac{1}{2}(8) = +1$.
$O$ के लिए ($4$ अनाबंधी इलेक्ट्रॉन और द्वि-आबंध से $4$ आबंधी इलेक्ट्रॉन): $FC = 6 - 4 - \frac{1}{2}(4) = 0$.
अतः,औपचारिक आवेश $-1, +1, 0$ हैं।

(D) $XeF_6$ में,केंद्रीय परमाणु $Xe$ के पास $8$ संयोजी इलेक्ट्रॉन होते हैं। यह $F$ परमाणुओं के साथ $6$ बंध बनाता है,जिससे $2$ इलेक्ट्रॉन एक एकाकी युग्म (lone pair) के रूप में शेष रह जाते हैं।
स्टेरिक संख्या = (सिग्मा बंधों की संख्या) + (एकाकी युग्मों की संख्या) = $6 + 1 = 7$.
$7$ की स्टेरिक संख्या $sp^3d^3$ संकरण को दर्शाती है।
अतः,$XeF_6$ में $sp^3d^3$ संकरण और $1$ एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म होता है।

(D) ग्रेफाइट की संरचना द्वि-आयामी शीट जैसी होती है।
ग्रेफाइट में प्रत्येक कार्बन परमाणु एक ही तल में अन्य तीन कार्बन परमाणुओं से जुड़ा होता है,जिससे षट्कोणीय वलय बनते हैं।
इसलिए,ग्रेफाइट में प्रत्येक कार्बन परमाणु $sp^2$ संकरित होता है।
इसके विपरीत,हीरे में प्रत्येक कार्बन परमाणु चतुष्फलकीय व्यवस्था में अन्य चार कार्बन परमाणुओं से जुड़ा होता है,जिससे यह $sp^3$ संकरित होता है।

(A) अभिक्रिया $2AB \rightleftharpoons A_2 + B_2$ के लिए,साम्य स्थिरांक $K_c = 49$ है।
जब एक संतुलित रासायनिक समीकरण के गुणांकों को एक कारक $n$ से गुणा किया जाता है,तो नया साम्य स्थिरांक $K'_c = (K_c)^n$ द्वारा दिया जाता है।
इस मामले में,मूल समीकरण को $n = 1/2$ से गुणा किया गया है।
इसलिए,$K'_c = (49)^{1/2} = \sqrt{49} = 7$.

(C) $Na^+$,$Ne^+$,$Mg^+$ और $Al^+$ (प्रथम इलेक्ट्रॉन निकलने के बाद) का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास इस प्रकार है:
$Na^+: 1s^2, 2s^2, 2p^6$ (स्थायी अक्रिय गैस विन्यास)
$Ne^+: 1s^2, 2s^2, 2p^5$
$Mg^+: 1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^1$
$Al^+: 1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2$
आयनन ऊर्जा इलेक्ट्रॉनिक विन्यास की स्थिरता,प्रभावी नाभिकीय आवेश और परमाणु आकार पर निर्भर करती है।
$Na^+$ में एक स्थिर अक्रिय गैस विन्यास $(2p^6)$ होता है,जिससे दूसरा इलेक्ट्रॉन निकालना अत्यंत कठिन होता है,इसलिए इसकी $IE_2$ सबसे अधिक है।
$Mg^+$ का विन्यास $3s^1$ है,जिसे दूसरों की तुलना में निकालना अपेक्षाकृत आसान है।
$Al^+$ का विन्यास $3s^2$ है,जो $Mg^+$ से अधिक स्थिर है।
$Ne^+$ का विन्यास $2p^5$ है,जो $Al^+$ से अधिक स्थिर है।
अतः,$IE_2$ का सही क्रम $Mg < Al < Ne < Na$ है।

(D) दिया गया है कि $\tan A$ और $\tan B$ समीकरण $x^2-px+q=0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों से:
$\tan A + \tan B = p$
$\tan A \tan B = q$
$\tan(A+B)$ के सूत्र का उपयोग करने पर:
$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = \frac{p}{1-q}$
अब,एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें जहाँ सम्मुख भुजा $p$ है और आसन्न भुजा $(1-q)$ है। कर्ण $\sqrt{p^2 + (1-q)^2}$ होगा।
अतः,$\sin(A+B) = \frac{p}{\sqrt{p^2 + (1-q)^2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\sin^2(A+B) = \frac{p^2}{p^2 + (1-q)^2}$।

(D) दिया है,$\frac{x^2+x+1}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}$
दोनों पक्षों को $(x-1)(x-2)(x-3)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^2+x+1 = A(x-2)(x-3) + B(x-1)(x-3) + C(x-1)(x-2)$
$A$ का मान ज्ञात करने के लिए,$x=1$ रखें:
$1^2+1+1 = A(1-2)(1-3) \Rightarrow 3 = A(-1)(-2) \Rightarrow 3 = 2A \Rightarrow A = \frac{3}{2}$
$C$ का मान ज्ञात करने के लिए,$x=3$ रखें:
$3^2+3+1 = C(3-1)(3-2) \Rightarrow 13 = C(2)(1) \Rightarrow 13 = 2C \Rightarrow C = \frac{13}{2}$
अतः,$A+C = \frac{3}{2} + \frac{13}{2} = \frac{16}{2} = 8$

(B) दिया गया है,${ }^{15}P_8 = A + 8 \cdot { }^{14}P_7$
हम जानते हैं कि ${ }^{n}P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$।
अतः,$\frac{15!}{7!} = A + 8 \cdot \frac{14!}{7!}$
$A = \frac{15!}{7!} - 8 \cdot \frac{14!}{7!}$
$A = \frac{15 \cdot 14!}{7!} - 8 \cdot \frac{14!}{7!}$
$A = \frac{14!}{7!} (15 - 8)$
$A = \frac{14!}{7!} (7)$
$A = \frac{14!}{6!} = { }^{14}P_8$

(B) पाँच अंकों की संख्या $5$ से विभाज्य होती है यदि उसका इकाई अंक $0$ या $5$ हो।
स्थिति $I$: जब इकाई के स्थान पर $0$ हो।
शेष $4$ स्थानों को शेष $5$ अंकों $(1, 2, 3, 4, 5)$ द्वारा $^5P_4 = 5! = 120$ तरीकों से भरा जा सकता है।
स्थिति $II$: जब इकाई के स्थान पर $5$ हो।
प्रथम स्थान (दस हजार का स्थान) $0$ नहीं हो सकता। अतः,प्रथम स्थान को $4$ अंकों $(1, 2, 3, 4)$ में से किसी एक से भरा जा सकता है।
शेष $3$ स्थानों को शेष $4$ अंकों ($0$ सहित) द्वारा $^4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$ तरीकों से भरा जा सकता है।
अतः,स्थिति $II$ के लिए कुल तरीके $= 4 \times 24 = 96$।
कुल संख्या $= 120 + 96 = 216$।

(D) दी गई असमिका: ${ }^{n-1} C_3+{ }^{n-1} C_4>{ }^n C_3$
पास्कल सर्वसमिका ${ }^{n} C_r+{ }^{n} C_{r-1}={ }^{n+1} C_r$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है ${ }^{n-1} C_3+{ }^{n-1} C_4={ }^n C_4$
इस मान को असमिका में रखने पर: ${ }^n C_4>{ }^n C_3$
सूत्र ${ }^n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{n!}{4!(n-4)!} > \frac{n!}{3!(n-3)!}$
$\frac{1}{4(n-4)!} > \frac{1}{(n-3)(n-4)!}$
$\frac{1}{4} > \frac{1}{n-3}$
$n-3 > 4$
$n > 7$
अतः,$n$ का न्यूनतम पूर्णांक मान $8$ है।

(B) कुल गेंदों की संख्या $2n$ है। हम $n$ जोड़े एक-एक करके निकालते हैं।
पहले जोड़े के लिए,एक सफेद और एक काली गेंद चुनने के तरीकों की संख्या $\binom{n}{1} \times \binom{n}{1} = n^2$ है।
दूसरे जोड़े के लिए,तरीकों की संख्या $\binom{n-1}{1} \times \binom{n-1}{1} = (n-1)^2$ है।
अंतिम जोड़े तक इसी प्रकार गणना करने पर,कुल तरीकों की संख्या $(n^2) \times (n-1)^2 \times \dots \times 1^2 = (n!)^2$ होगी।
दिया गया है कि $(n!)^2 = 14400$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$n! = \sqrt{14400} = 120$।
चूंकि $5! = 120$ है,इसलिए $n = 5$ है।

(C) भोपाल गैस त्रासदी,जो $1984$ में हुई थी,मिथाइल आइसोसाइनेट $(CH_3NCO)$ गैस के आकस्मिक रिसाव के कारण हुई थी।
मिथाइल आइसोसाइनेट को आमतौर पर $MIC$ के रूप में संक्षिप्त किया जाता है।

(C) हम जानते हैं कि $60^{\circ} 1^{\prime} = 60^{\circ} + \left(\frac{1}{60}\right)^{\circ}$.
चूंकि $1^{\circ} = \alpha$ रेडियन है,इसलिए $1^{\prime} = \frac{\alpha}{60}$ रेडियन होगा।
छोटे $B$ के लिए $\cos(A + B) \approx \cos A - B \sin A$ का उपयोग करने पर:
$\cos(60^{\circ} + 1^{\prime}) \approx \cos(60^{\circ}) - \left(\frac{\alpha}{60}\right) \sin(60^{\circ})$.
$\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$ और $\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ रखने पर:
$\cos(60^{\circ} 1^{\prime}) \approx \frac{1}{2} - \frac{\alpha \sqrt{3}}{120}$.

(C) दिया है,$f(x) = \sin^6 x + \cos^6 x$.
हम इसे $f(x) = (\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 + b^2 - ab)$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x + \cos^4 x - \sin^2 x \cos^2 x)$.
चूंकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,यह सरल होकर प्राप्त होता है:
$f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x - \sin^2 x \cos^2 x$.
$2\sin^2 x \cos^2 x$ जोड़ने और घटाने पर:
$f(x) = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 3\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x$.
$4$ से गुणा और भाग करने पर,$f(x) = 1 - \frac{3}{4}(2\sin x \cos x)^2 = 1 - \frac{3}{4}\sin^2(2x)$.
चूंकि $0 \leq \sin^2(2x) \leq 1$,इसलिए:
$1 - \frac{3}{4}(1) \leq f(x) \leq 1 - \frac{3}{4}(0)$.
$\frac{1}{4} \leq f(x) \leq 1$.
अतः,$f(x) \in \left[\frac{1}{4}, 1\right]$.

(D) दिया गया व्यंजक: $32 \sin \left(\frac{A}{2}\right) \sin \left(\frac{5A}{2}\right)$
$= 16 \left[ 2 \sin \left(\frac{A}{2}\right) \sin \left(\frac{5A}{2}\right) \right]$
सूत्र $2 \sin X \sin Y = \cos(X-Y) - \cos(X+Y)$ का उपयोग करने पर:
$= 16 \left[ \cos \left( \frac{5A}{2} - \frac{A}{2} \right) - \cos \left( \frac{5A}{2} + \frac{A}{2} \right) \right]$
$= 16 [ \cos 2A - \cos 3A ]$
$= 16 [ (2 \cos^2 A - 1) - (4 \cos^3 A - 3 \cos A) ]$
$\cos A = \frac{3}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= 16 \left[ 2 \left( \frac{3}{4} \right)^2 - 1 - 4 \left( \frac{3}{4} \right)^3 + 3 \left( \frac{3}{4} \right) \right]$
$= 16 \left[ 2 \left( \frac{9}{16} \right) - 1 - 4 \left( \frac{27}{64} \right) + \frac{9}{4} \right]$
$= 16 \left[ \frac{9}{8} - 1 - \frac{27}{16} + \frac{9}{4} \right]$
$= 16 \left[ \frac{18 - 16 - 27 + 36}{16} \right]$
$= 18 - 16 - 27 + 36 = 11$

(B) दिए गए त्रिकोणमितीय समीकरण $\tan \theta = -1$ और $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ हैं।
चूंकि $\tan \theta$ ऋणात्मक है और $\cos \theta$ धनात्मक है,इसलिए $\theta$ चौथे चतुर्थांश में स्थित होना चाहिए।
$\tan \theta = -1$ का सामान्य हल $\theta = n \pi + \frac{3 \pi}{4}$ है।
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ का सामान्य हल $\theta = 2 n \pi \pm \frac{\pi}{4}$ है।
दोनों समीकरणों को संतुष्ट करने के लिए,चौथे चतुर्थांश में कोण $\theta = 2 n \pi + \frac{7 \pi}{4}$ (या $2 n \pi - \frac{\pi}{4}$) प्राप्त होता है।

(A) रेखा $AB$ की ढाल $m = \frac{1-0}{3-2} = 1$ है।
चूंकि $\tan \theta = 1$,इसलिए $AB$ द्वारा धनात्मक $x$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
जब रेखा को बिंदु $A$ के परितः वामावर्त दिशा में $45^{\circ}$ घुमाया जाता है,तो धनात्मक $x$-अक्ष के साथ नया कोण $45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}$ हो जाता है।
रेखाखंड $AB$ की लंबाई $r = \sqrt{(3-2)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ है।
मान लीजिए $B$ की नई स्थिति $C(x, y)$ है। लंबाई समान रहने के कारण,$AC = AB = \sqrt{2}$।
$C$ के निर्देशांक $(x_A + r \cos \phi, y_A + r \sin \phi)$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $\phi = 90^{\circ}$ है।
$x = 2 + \sqrt{2} \cos 90^{\circ} = 2 + \sqrt{2}(0) = 2$.
$y = 0 + \sqrt{2} \sin 90^{\circ} = 0 + \sqrt{2}(1) = \sqrt{2}$.
अतः,नए निर्देशांक $(2, \sqrt{2})$ हैं।

(C) चतुर्भुज $x = 0$ ($y$-अक्ष),$y = 0$ ($x$-अक्ष),$2x + y = 2$ और $x + y = 5$ रेखाओं से घिरा है।
प्राकृतिक संख्या निर्देशांकों $(x \geq 1, y \geq 1)$ वाले बिंदु $(x, y)$ के चतुर्भुज के अंदर होने के लिए,इसे निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा:
$1) \ x + y < 5$
$2) \ 2x + y > 2$
चूंकि $x, y \geq 1$,इसलिए $2x + y > 2$ शर्त सभी प्राकृतिक संख्याओं $(x, y)$ के लिए हमेशा संतुष्ट होती है।
अब हम प्राकृतिक संख्याओं के लिए $x + y < 5$ शर्त की जाँच करते हैं:
यदि $x = 1$,तो $1 + y < 5 \implies y < 4$। $y$ के संभावित मान $1, 2, 3$ हैं। बिंदु: $(1, 1), (1, 2), (1, 3)$।
यदि $x = 2$,तो $2 + y < 5 \implies y < 3$। $y$ के संभावित मान $1, 2$ हैं। बिंदु: $(2, 1), (2, 2)$।
यदि $x = 3$,तो $3 + y < 5 \implies y < 2$। $y$ का संभावित मान $1$ है। बिंदु: $(3, 1)$।
यदि $x = 4$,तो $4 + y < 5 \implies y < 1$। कोई प्राकृतिक संख्या $y$ संभव नहीं है।
कुल बिंदु $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1)$ हैं।
ऐसे कुल $6$ बिंदु हैं।

(C) रेखा $x + 3y = 7$ के लंबवत रेखा का समीकरण $3x - y + \lambda = 0$ के रूप का है।
चूंकि यह रेखा $(3, 8)$ से गुजरती है,इसलिए: $3(3) - 8 + \lambda = 0$ $\Rightarrow 9 - 8 + \lambda = 0$ $\Rightarrow \lambda = -1$.
अतः,लंबवत रेखा का समीकरण $3x - y - 1 = 0$ है।
$x + 3y = 7$ और $3x - y - 1 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु लंबपाद है। समीकरणों को हल करने पर:
$y = 3x - 1$ को पहले समीकरण में रखने पर: $x + 3(3x - 1) = 7$ $\Rightarrow 10x = 10$ $\Rightarrow x = 1$.
तब $y = 3(1) - 1 = 2$. अतः लंबपाद $(1, 2)$ है।
माना बिंदु $(3, 8)$ का प्रतिबिंब $(x_1, y_1)$ है। $(1, 2)$ बिंदु $(3, 8)$ और $(x_1, y_1)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु है:
$\frac{3 + x_1}{2} = 1 \Rightarrow x_1 = -1$.
$\frac{8 + y_1}{2} = 2 \Rightarrow y_1 = -4$.
अतः,बिंदु का प्रतिबिंब $(-1, -4)$ है।

(C) माना $P(x, y)$ बिंदुपथ पर कोई बिंदु है। प्रश्न के अनुसार,$P$ से $F_1(0, 2)$ और $F_2(0, -2)$ तक की दूरियों का योग $6$ है।
$\sqrt{x^2 + (y - 2)^2} + \sqrt{x^2 + (y + 2)^2} = 6$
दोनों पक्षों का वर्ग करने और सरल करने पर:
$\sqrt{x^2 + (y - 2)^2} = 6 - \sqrt{x^2 + (y + 2)^2}$
$x^2 + (y - 2)^2 = 36 + x^2 + (y + 2)^2 - 12\sqrt{x^2 + (y + 2)^2}$
$-8y - 36 = -12\sqrt{x^2 + (y + 2)^2}$
$2y + 9 = 3\sqrt{x^2 + (y + 2)^2}$
पुनः वर्ग करने पर:
$(2y + 9)^2 = 9(x^2 + y^2 + 4y + 4)$
$4y^2 + 36y + 81 = 9x^2 + 9y^2 + 36y + 36$
$9x^2 + 5y^2 = 45$

(D) साइक्लोऐल्केन्स में,साइक्लोहेक्सेन की दहन ऊष्मा $(657.9 \ kJ \ mol^{-1})$ सबसे कम होती है,इसलिए यह सबसे अधिक स्थिर साइक्लोऐल्केन है।
साइक्लोप्रोपेन और साइक्लोब्यूटेन कोणीय तनाव और मरोड़ी तनाव के कारण कम स्थिर होते हैं,इसलिए वे अधिक अभिक्रियाशील होते हैं।
अतः,$(A)$ और $(R)$ दोनों सत्य हैं और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(B) एक यौगिक इनैन्टीओमेरिज्म प्रदर्शित करता है यदि उसमें कम से कम एक कायरल केंद्र (एक असममित कार्बन परमाणु,जो चार अलग-अलग समूहों से जुड़ा हो) मौजूद हो।
$CH_3-CH(Br)-CH_2-CH_3$ ($2$-ब्रोमोब्यूटेन) में,दूसरा कार्बन परमाणु चार अलग-अलग समूहों से जुड़ा है: $-H$,$-CH_3$,$-Br$,और $-CH_2CH_3$।
चूंकि इसमें एक कायरल केंद्र है,इसलिए यह प्रकाशिक रूप से सक्रिय है और इनैन्टीओमेरिज्म प्रदर्शित करता है।
अन्य विकल्पों में कोई कायरल कार्बन परमाणु नहीं है।

(A) सल्फर का प्रतिशत निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है:
$\text{सल्फर का प्रतिशत} = \frac{32 \times BaSO_4 \text{ का भार } \times 100}{233 \times \text{यौगिक का भार}}$
दिया गया है:
$BaSO_4 \text{ का भार } = 0.233 \ g$
$\text{यौगिक का भार} = 0.16 \ g$
मान रखने पर:
$\text{सल्फर का प्रतिशत} = \frac{32 \times 0.233 \times 100}{233 \times 0.16} = 20 \%$

(C) बेंजीन $(C_6H_6)$ की ओजोन $(O_3)$ के साथ अभिक्रिया ओजोनोलिसिस अभिक्रिया है।
बेंजीन ओजोन के तीन अणुओं के साथ अभिक्रिया करके बेंजीन ट्रायोजोनाइड $(X)$ बनाता है।
बेंजीन ट्रायोजोनाइड का $Zn / H_2O$ के साथ अपचयात्मक जल-अपघटन करने पर ग्लाइओक्सल $(Y)$ $(CHO-CHO)$ के तीन अणु प्राप्त होते हैं।
अतः,$X$ ट्रायोजोनाइड है और $Y$ ग्लाइओक्सल है।

(D) हाइड्रोजन $(H_2)$ और ड्यूटेरियम $(D_2)$ दोनों अणुओं की बंध लंबाई $74 \ pm$ समान होती है।
हालाँकि, उनके समस्थानिक द्रव्यमान में अंतर के कारण उनके भौतिक और रासायनिक गुण जैसे बंध ऊर्जा, गलनांक और क्वथनांक अलग-अलग होते हैं।
दिए गए आंकड़ों के अनुसार:
- बंध लंबाई: $74 \ pm$ (समान)
- बंध ऊर्जा: $H_2$ के लिए $436 \ kJ \ mol^{-1}$ और $D_2$ के लिए $443.3 \ kJ \ mol^{-1}$
- गलनांक: $H_2$ के लिए $0.00 \ ^\circ C$ और $D_2$ के लिए $3.81 \ ^\circ C$
- क्वथनांक: $H_2$ के लिए $100.0 \ ^\circ C$ और $D_2$ के लिए $101.42 \ ^\circ C$
इसलिए, बंध लंबाई समान है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = |x| + |\sin x|$ है।
$x=0$ पर बायां अवकलज $(LHD)$ ज्ञात करने के लिए,हम परिभाषा का उपयोग करते हैं:
$LHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h}$
चूंकि $f(0) = |0| + |\sin 0| = 0$,इसलिए:
$LHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{|-h| + |\sin(-h)|}{-h}$
छोटे $h > 0$ के लिए,$|-h| = h$ और $|\sin(-h)| = |-\sin h| = \sin h$ होता है (क्योंकि $h \in (0, \pi/2)$ के लिए $\sin h > 0$ है)।
$LHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{h + \sin h}{-h}$
$LHD = \lim_{h \to 0^+} -\left( \frac{h}{h} + \frac{\sin h}{h} \right)$
$LHD = -(1 + 1) = -2$.

(D) $CH_3COOH \rightleftharpoons H^{+} + CH_3COO^{-}$
$K_a = \frac{[H^{+}][CH_3COO^{-}]}{[CH_3COOH]} = \frac{[H^{+}]^2}{[CH_3COOH]}$
$[H^{+}] = \sqrt{K_a \times [CH_3COOH]}$
$[H^{+}] = \sqrt{2 \times 10^{-5} \times 0.05}$
$[H^{+}] = \sqrt{10^{-6}} = 10^{-3} \ M$
$pH = -\log[H^{+}]$
$pH = -\log(10^{-3}) = 3$

(B) मान लीजिए कि चेन का रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\lambda$ है। चेन का कुल द्रव्यमान $M = \lambda L$ है।
मान लीजिए कि $l'$ किनारे से लटकने वाली चेन की लंबाई है। मेज पर चेन की लंबाई $(L - l')$ है।
लटकते हुए भाग का द्रव्यमान $m_h = \lambda l'$ है और मेज पर स्थित भाग का द्रव्यमान $m_t = \lambda (L - l')$ है।
चेन को नीचे खींचने वाला बल लटकते हुए भाग का भार है: $F_g = m_h g = \lambda l' g$।
मेज पर स्थित भाग पर कार्य करने वाला अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max} = \mu N = \mu m_t g = \mu \lambda (L - l') g$ है।
चेन के फिसलने की स्थिति में होने के लिए,खींचने वाला बल अधिकतम स्थैतिक घर्षण के बराबर होना चाहिए:
$\lambda l' g = \mu \lambda (L - l') g$
$l' = \mu (L - l')$
$l' = \mu L - \mu l'$
$l' (1 + \mu) = \mu L$
$l' = \frac{\mu L}{(1 + \mu)}$

(D) मान लीजिए रस्सी में अधिकतम तनाव $T = 60 ~kg-wt = 60g ~N$ है। दो लड़कों का द्रव्यमान $m_1 = 20 ~kg$ और $m_2 = 30 ~kg$ है। मान लीजिए उनके त्वरण क्रमशः $a_1$ और $a_2$ हैं।
रस्सी पर लगने वाला कुल बल प्रत्येक लड़के द्वारा लगाए गए बलों का योग है: $T = m_1(g + a_1) + m_2(g + a_2)$.
दिए गए मानों को रखने पर: $60g = 20(g + a_1) + 30(g + a_2)$.
$60g = 20g + 20a_1 + 30g + 30a_2$.
$60g = 50g + 20a_1 + 30a_2$.
$10g = 20a_1 + 30a_2$.
$10$ से विभाजित करने पर,हमें $g = 2a_1 + 3a_2$ प्राप्त होता है।
अधिकतम त्वरण का अनुपात ज्ञात करने के लिए,हम व्यक्तिगत सीमाओं पर विचार करते हैं। यदि लड़का $1$ अधिकतम त्वरण $a_1$ के साथ चढ़ता है,तो $a_2 = 0$,इसलिए $g = 2a_1 \Rightarrow a_1 = g/2$। यदि लड़का $2$ अधिकतम त्वरण $a_2$ के साथ चढ़ता है,तो $a_1 = 0$,इसलिए $g = 3a_2 \Rightarrow a_2 = g/3$।
उनके अधिकतम संभव त्वरण का अनुपात $a_1 : a_2 = (g/2) : (g/3) = 3 : 2$ है।

(C) दिया गया दूरी फलन $s = t^2 - 2t + 5$ है।
वेग $v$,समय के सापेक्ष विस्थापन का प्रथम अवकलज है: $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 - 2t + 5) = 2t - 2$.
त्वरण $a$,समय के सापेक्ष वेग का अवकलज है: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(2t - 2) = 2$.
अतः,कण का त्वरण $2$ इकाई है।

(A) माना $I = \int \frac{\sin^8 x - \cos^8 x}{1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x} dx$.
हम जानते हैं कि $\sin^8 x - \cos^8 x = (\sin^4 x - \cos^4 x)(\sin^4 x + \cos^4 x)$.
साथ ही,$\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x$.
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{(\sin^4 x - \cos^4 x)(1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x)}{1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x} dx$.
$I = \int (\sin^4 x - \cos^4 x) dx$.
चूंकि $\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) = -\cos 2x$.
$I = \int -\cos 2x dx = -\frac{\sin 2x}{2} + B$.
इसकी तुलना $I = A \sin 2x + B$ से करने पर,हमें $A = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है,$I_n = \int_0^{\pi / 4} \tan^n \theta \, d\theta$.
हमें $I_{n-1} + I_{n+1}$ का मान ज्ञात करना है।
$I_{n-1} + I_{n+1} = \int_0^{\pi / 4} \tan^{n-1} \theta \, d\theta + \int_0^{\pi / 4} \tan^{n+1} \theta \, d\theta$.
$ an^{n-1} \theta$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$I_{n-1} + I_{n+1} = \int_0^{\pi / 4} \tan^{n-1} \theta (1 + \tan^2 \theta) \, d\theta$.
चूंकि $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$,इसलिए:
$I_{n-1} + I_{n+1} = \int_0^{\pi / 4} \tan^{n-1} \theta \sec^2 \theta \, d\theta$.
माना $u = \tan \theta$,तब $du = \sec^2 \theta \, d\theta$.
जब $\theta = 0$,तो $u = 0$ और जब $\theta = \pi / 4$,तो $u = 1$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I_{n-1} + I_{n+1} = \int_0^1 u^{n-1} \, du = \left[ \frac{u^n}{n} \right]_0^1 = \frac{1}{n} - 0 = \frac{1}{n}$.