AP EAMCET 2003 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
दिया गया है कि $x + y = 20$,इसलिए $y = 20 - x$।
माना कि अधिकतम किए जाने वाला फलन $f(x) = x^2 y^3 = x^2 (20 - x)^3$ है।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,$f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें:
$f'(x) = 2x(20 - x)^3 + x^2 \cdot 3(20 - x)^2 (-1)$
$f'(x) = x(20 - x)^2 [2(20 - x) - 3x]$
$f'(x) = x(20 - x)^2 [40 - 2x - 3x] = x(20 - x)^2 (40 - 5x)$
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = 0$,$x = 20$,या $5x = 40 \Rightarrow x = 8$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x$ और $y$ धनात्मक होने चाहिए,हम $x = 8$ लेते हैं।
यदि $x = 8$ है,तो $y = 20 - 8 = 12$।
अतः,वे संख्याएँ $8$ और $12$ हैं।

(C) माना $y = 2x^2 + x - 1$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$y' = 4x + 1$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$y' = 0$ रखें:
$4x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{4}$.
अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें:
$y'' = 4$.
चूंकि $y'' > 0$ है,इसलिए फलन का मान $x = -\frac{1}{4}$ पर न्यूनतम है।
$x = -\frac{1}{4}$ को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = 2(-\frac{1}{4})^2 + (-\frac{1}{4}) - 1$
$y = 2(\frac{1}{16}) - \frac{1}{4} - 1$
$y = \frac{1}{8} - \frac{2}{8} - \frac{8}{8} = -\frac{9}{8}$.
अतः,न्यूनतम मान $-\frac{9}{8}$ है।

(B) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है और मीनार का आधार $D$ है। $\triangle E D C$ में,$\tan 3 \alpha = \frac{h}{C D} \Rightarrow C D = h \cot 3 \alpha$.
$\triangle E D B$ में,$\tan 2 \alpha = \frac{h}{B D} \Rightarrow B D = h \cot 2 \alpha$.
$\triangle E D A$ में,$\tan \alpha = \frac{h}{A D} \Rightarrow A D = h \cot \alpha$.
अब,$A B = A D - B D = h(\cot \alpha - \cot 2 \alpha)$ और $B C = B D - C D = h(\cot 2 \alpha - \cot 3 \alpha)$.
अतः,$\frac{A B}{B C} = \frac{\cot \alpha - \cot 2 \alpha}{\cot 2 \alpha - \cot 3 \alpha} = \frac{\sin 3 \alpha}{\sin \alpha} = 3 - 4 \sin^2 \alpha = 1 + 2 \cos 2 \alpha$.

(D) माना $I = \int (1+x-x^{-1}) e^{x+x^{-1}} dx$.
हम समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int e^{x+x^{-1}} dx + \int (x-x^{-1}) e^{x+x^{-1}} dx$.
यहाँ $x e^{x+x^{-1}}$ का अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} (x e^{x+x^{-1}}) = 1 \cdot e^{x+x^{-1}} + x \cdot e^{x+x^{-1}} \cdot (1 - x^{-2}) = e^{x+x^{-1}} + x e^{x+x^{-1}} - x^{-1} e^{x+x^{-1}} = (1 + x - x^{-1}) e^{x+x^{-1}}$.
अतः,समाकलन का मान $x e^{x+x^{-1}} + C$ है।

(A) माना $f(x) = \int_0^x t e^{t^2} dt$.
समाकलन ज्ञात करने के लिए,$u = t^2$ लें,तब $du = 2t dt$,जिसका अर्थ है $t dt = \frac{1}{2} du$.
जब $t = 0$,तब $u = 0$. जब $t = x$,तब $u = x^2$.
अतः,$f(x) = \int_0^{x^2} \frac{1}{2} e^u du = \frac{1}{2} [e^u]_0^{x^2} = \frac{1}{2} (e^{x^2} - 1)$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x^2} \cdot (2x) = x e^{x^2}$.
$f'(x) = 0$ रखने पर हमें $x = 0$ प्राप्त होता है।
अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $f''(x) = e^{x^2} + x(e^{x^2} \cdot 2x) = e^{x^2}(1 + 2x^2)$.
$x = 0$ पर,$f''(0) = e^0(1 + 0) = 1 > 0$.
चूंकि $f''(0) > 0$,फलन का $x = 0$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
न्यूनतम मान $f(0) = \frac{1}{2} (e^0 - 1) = \frac{1}{2} (1 - 1) = 0$ है।

(B) माना $I = \int_0^1 \sin \left(2 \tan ^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right) d x$.
$x = \cos \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$d x = -\sin \theta d \theta$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$,तो $\theta = \frac{\pi}{2}$ और जब $x = 1$,तो $\theta = 0$।
$I = \int_{\pi/2}^0 \sin \left(2 \tan ^{-1} \sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}}\right) (-\sin \theta) d \theta$.
यहाँ $\sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}} = \cot(\theta/2) = \tan(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2})$ है।
अतः,$I = \int_0^{\pi/2} \sin \left(2 \tan^{-1} \tan(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2})\right) \sin \theta d \theta$.
$I = \int_0^{\pi/2} \sin(\pi - \theta) \sin \theta d \theta = \int_0^{\pi/2} \sin^2 \theta d \theta$.
$\sin^2 \theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}$ सूत्र का उपयोग करने पर,$I = \int_0^{\pi/2} \frac{1-\cos 2\theta}{2} d \theta$.
$I = \frac{1}{2} [\theta - \frac{\sin 2\theta}{2}]_0^{\pi/2} = \frac{1}{2} [(\frac{\pi}{2} - 0) - (0 - 0)] = \frac{\pi}{4}$.

(A) हमें समाकलन $I = \int_0^3 \frac{3x+1}{x^2+9} dx$ का मान ज्ञात करना है।
समाकलन को दो भागों में विभाजित करें:
$I = \int_0^3 \frac{3x}{x^2+9} dx + \int_0^3 \frac{1}{x^2+9} dx$
पहले भाग के लिए,मान लीजिए $u = x^2+9$,तो $du = 2x dx$,इसलिए $x dx = \frac{du}{2}$.
$\int_0^3 \frac{3x}{x^2+9} dx = \frac{3}{2} \int_9^{18} \frac{1}{u} du = \frac{3}{2} [\log |u|]_9^{18} = \frac{3}{2} (\log 18 - \log 9) = \frac{3}{2} \log 2$.
दूसरे भाग के लिए,सूत्र $\int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करें:
$\int_0^3 \frac{1}{x^2+3^2} dx = [\frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{x}{3})]_0^3 = \frac{1}{3} (\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0)) = \frac{1}{3} (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi}{12}$.
दोनों भागों को जोड़ने पर:
$I = \frac{3}{2} \log 2 + \frac{\pi}{12} = \log (2^{3/2}) + \frac{\pi}{12} = \log (2 \sqrt{2}) + \frac{\pi}{12}$.

(D) हमारे पास है $\int_{-2}^2 |[x]| \, dx = \int_{-2}^{-1} |[x]| \, dx + \int_{-1}^0 |[x]| \, dx + \int_0^1 |[x]| \, dx + \int_1^2 |[x]| \, dx$.
चूंकि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है:
$x \in [-2, -1)$ के लिए,$[x] = -2$,इसलिए $|[x]| = |-2| = 2$.
$x \in [-1, 0)$ के लिए,$[x] = -1$,इसलिए $|[x]| = |-1| = 1$.
$x \in [0, 1)$ के लिए,$[x] = 0$,इसलिए $|[x]| = |0| = 0$.
$x \in [1, 2)$ के लिए,$[x] = 1$,इसलिए $|[x]| = |1| = 1$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\int_{-2}^2 |[x]| \, dx = \int_{-2}^{-1} 2 \, dx + \int_{-1}^0 1 \, dx + \int_0^1 0 \, dx + \int_1^2 1 \, dx$.
$= 2[x]_{-2}^{-1} + [x]_{-1}^0 + 0 + [x]_1^2$.
$= 2(-1 - (-2)) + (0 - (-1)) + (2 - 1)$.
$= 2(1) + 1 + 1 = 4$.

(D) कर्ण पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,आपतन कोण $i$ का मान क्रांतिक कोण $C$ से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए।
यहाँ,किरण आधार के समानांतर यात्रा करती है। समकोण प्रिज्म की ज्यामिति से,कर्ण पर आपतन कोण $i = (90^{\circ} - \theta)$ है,जहाँ $\theta$ आधार कोण है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए,$i \geq C$,जहाँ $\sin C = \frac{1}{\mu}$ है।
अतः,शर्त $i \geq \sin^{-1}\left(\frac{1}{\mu}\right)$ है।
$i = 90^{\circ} - \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $90^{\circ} - \theta \geq \sin^{-1}\left(\frac{1}{\mu}\right)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का साइन लेने पर: $\sin(90^{\circ} - \theta) \geq \frac{1}{\mu}$।
यह $\cos \theta \geq \frac{1}{\mu}$ में सरल हो जाता है।
इसलिए,आधार कोण $\theta$ का अधिकतम मान $\cos^{-1}\left(\frac{1}{\mu}\right)$ है।

(C) प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\mu = \frac{\sin \left(\frac{A+\delta_m}{2}\right)}{\sin \frac{A}{2}}$
दिया गया है कि न्यूनतम विचलन का कोण $\delta_m = A$,इसलिए इस मान को सूत्र में रखने पर:
$\mu = \frac{\sin \left(\frac{A+A}{2}\right)}{\sin \frac{A}{2}}$
$\mu = \frac{\sin A}{\sin \frac{A}{2}}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\mu = \frac{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{A}{2}}$
$\mu = 2 \cos \frac{A}{2}$
$\cos \frac{A}{2} = \frac{\mu}{2}$
$\frac{A}{2} = \cos ^{-1}\left(\frac{\mu}{2}\right)$
$A = 2 \cos ^{-1}\left(\frac{\mu}{2}\right)$

(C) $XeO_3$ में $Xe$ की ऑक्सीकरण अवस्था की गणना इस प्रकार की जाती है:
$x + 3(-2) = 0 \implies x = +6$.
$XeO_3$ में $sp^3$ संकरण होता है और $Xe$ परमाणु पर एक एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म (lone pair) की उपस्थिति के कारण इसकी ज्यामिति त्रिकोणीय पिरामिडीय होती है।
एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म की उपस्थिति के कारण,बंध कोण आदर्श चतुष्फलकीय कोण $109.5^{\circ}$ से घटकर लगभग $103^{\circ}$ हो जाता है।

(A) सोडियम धातु का निर्माण $KCl$ और $KF$ के साथ मिश्रित पिघले हुए सोडियम क्लोराइड के विद्युत अपघटन (electrolysis) द्वारा किया जाता है।
विद्युत अपघटन पर:
आयरन कैथोड पर: $Na^{+} + e^{-} \longrightarrow Na_{(s)}$ (धात्विक सोडियम)
ग्रेफाइट एनोड पर: $2Cl^{-} \longrightarrow Cl_{2(g)} + 2e^{-}$
$NaCl$ का गलनांक $800^{\circ}C$ होता है। इस तापमान को प्राप्त करना और बनाए रखना कठिन है। इसलिए,मिश्रण के गलनांक को लगभग $600^{\circ}C$ तक कम करने के लिए $KCl$ और $KF$ मिलाए जाते हैं। सोडियम के लिए उपयोग की जाने वाली वोल्टेज स्थितियों के तहत $KCl$ और $KF$ का विद्युत अपघटन नहीं होता है।

(C) कास्टनर प्रक्रिया में,सोडियम धातु का निष्कर्षण पिघले हुए सोडियम हाइड्रॉक्साइड $(NaOH)$ के विद्युत अपघटन द्वारा किया जाता है।
सोडियम हाइड्रॉक्साइड का वियोजन इस प्रकार होता है: $4 NaOH \longrightarrow 4 Na^{+} + 4 OH^{-}$.
एनोड पर ऑक्सीकरण होता है,जहाँ हाइड्रॉक्साइड आयन $(OH^{-})$ इलेक्ट्रॉन खोकर जल और ऑक्सीजन गैस बनाते हैं:
$4 OH^{-} \longrightarrow 2 H_2 O + O_2 + 4 e^{-}$.

(A) जब मैग्नीशियम बाइकार्बोनेट के जलीय घोल को उबाला जाता है,तो यह तापीय अपघटन के माध्यम से मैग्नीशियम ऑक्साइड,पानी और कार्बन डाइऑक्साइड गैस बनाता है।
रासायनिक समीकरण है:
$Mg(HCO_3)_2(aq) \xrightarrow{\Delta} MgO(s) + H_2O(l) + 2CO_2(g)$

(C) जब $Na_2O$ और $CaO$ को पानी में घोला जाता है,तो वे क्रमशः $NaOH$ और $Ca(OH)_2$ बनाते हैं।
$Na_2O + H_2O \longrightarrow 2NaOH$
$CaO + H_2O \longrightarrow Ca(OH)_2$
जब इस मिश्रण को अतिरिक्त $CO_2$ के साथ संतृप्त किया जाता है,तो हाइड्रॉक्साइड बाइकार्बोनेट बनाने के लिए प्रतिक्रिया करते हैं:
$2NaOH + 2CO_2 \longrightarrow 2NaHCO_3$
$Ca(OH)_2 + 2CO_2 \longrightarrow Ca(HCO_3)_2$
चूंकि $NaHCO_3$ एक प्रबल क्षार $(NaOH)$ और दुर्बल अम्ल $(H_2CO_3)$ का लवण है,इसलिए बाइकार्बोनेट आयन के जल-अपघटन के कारण विलयन क्षारीय होता है $(HCO_3^- + H_2O \rightleftharpoons H_2CO_3 + OH^-)$.

(A) एक $n-p-n$ ट्रांजिस्टर में,उत्सर्जक $n$-प्रकार का,आधार $p$-प्रकार का और संग्राहक $n$-प्रकार का होता है।
जब इसे एम्पलीफायर के रूप में उपयोग किया जाता है,तो आधार-उत्सर्जक जंक्शन फॉरवर्ड बायस में और संग्राहक-आधार जंक्शन रिवर्स बायस में होता है।
फॉरवर्ड बायस के कारण,इलेक्ट्रॉन उत्सर्जक से आधार में इंजेक्ट किए जाते हैं।
चूंकि आधार बहुत पतला और कम डोपिंग वाला होता है,इसलिए इनमें से अधिकांश इलेक्ट्रॉन आधार से होकर संग्राहक क्षेत्र में विसरित (diffuse) हो जाते हैं।
इन इलेक्ट्रॉनों को आकर्षित करने के लिए संग्राहक को आधार के सापेक्ष धनात्मक विभव पर रखा जाता है।
इसलिए,इलेक्ट्रॉन आधार से संग्राहक की ओर गति करते हैं।

(B) मूलबिंदु $(0,0)$ पर नाभि और $X$-अक्ष पर अक्ष वाले परवलय का मानक समीकरण $(y-0)^2 = 4a(x+a)$ है,जहाँ $a$ एक प्राचल है।
इसे $y^2 = 4ax + 4a^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 4a$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = \frac{y}{2} \frac{dy}{dx}$।
$a$ के इस मान को मूल समीकरण में रखने पर:
$y^2 = 4\left(\frac{y}{2} \frac{dy}{dx}\right)x + 4\left(\frac{y}{2} \frac{dy}{dx}\right)^2$।
$y^2 = 2xy \frac{dy}{dx} + 4\left(\frac{y^2}{4} \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right)$।
$y^2 = 2xy \frac{dy}{dx} + y^2 \left(\frac{dy}{dx}\right)^2$।
$y$ से भाग देने पर (मान लीजिए $y \neq 0$):
$y = 2x \frac{dy}{dx} + y \left(\frac{dy}{dx}\right)^2$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$-y \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 2x \frac{dy}{dx} - y$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x \log x^2 + x}{\sin y + y \cos y}$
चरों को अलग करने पर: $(\sin y + y \cos y) dy = (x \log x^2 + x) dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (\sin y + y \cos y) dy = \int (x \log x^2 + x) dx$
बाएँ पक्ष के लिए,$\int y \cos y dy$ पर खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int \sin y dy + (y \sin y - \int \sin y dy) = y \sin y$
दाएँ पक्ष के लिए,$\int (2x \log x + x) dx = 2 \int x \log x dx + \int x dx$
$\int x \log x dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4}$
अतः,$\int (x \log x^2 + x) dx = 2(\frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4}) + \frac{x^2}{2} + C = x^2 \log x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{2} + C = x^2 \log x + C$
इसलिए,हल $y \sin y = x^2 \log x + C$ है।

(A) मान लीजिए कि शीर्ष $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं।
चूंकि $D, E, F$ क्रमशः $AB, AC, BC$ के मध्य-बिंदु हैं,इसलिए उनके स्थिति सदिश हैं:
$\vec{d} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$,$\vec{e} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$,$\vec{f} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$।
अब,हम सदिशों $\overrightarrow{BE}$ और $\overrightarrow{AF}$ की गणना करते हैं:
$\overrightarrow{BE} = \vec{e} - \vec{b} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} - \vec{b} = \frac{\vec{a} + \vec{c} - 2\vec{b}}{2}$
$\overrightarrow{AF} = \vec{f} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2}$
इन दोनों सदिशों को जोड़ने पर:
$\overrightarrow{BE} + \overrightarrow{AF} = \frac{\vec{a} + \vec{c} - 2\vec{b} + \vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2} = \frac{2\vec{c} - \vec{a} - \vec{b}}{2} = \vec{c} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$
चूंकि $\vec{d} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$,इसलिए हमें प्राप्त होता है $\overrightarrow{BE} + \overrightarrow{AF} = \vec{c} - \vec{d} = \overrightarrow{DC}$।

(B) दिया गया सदिश समीकरण $\overrightarrow{r}=(1-p-q) \overrightarrow{a}+p \overrightarrow{b}+q \overrightarrow{c}$ है।
इसे $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{a} + p(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) + q(\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a})$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान लीजिए $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}$ है।
तब समीकरण $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{a} + p\overrightarrow{u} + q\overrightarrow{v}$ बन जाता है।
चूंकि $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ असमतलीय हैं,इसलिए सदिश $\overrightarrow{u}$ और $\overrightarrow{v}$ संरेख नहीं हैं।
$\overrightarrow{r} = \overrightarrow{a} + p\overrightarrow{u} + q\overrightarrow{v}$ के रूप का समीकरण एक ऐसे समतल को दर्शाता है जो $\overrightarrow{a}$ स्थिति सदिश वाले बिंदु से गुजरता है और $\overrightarrow{u}$ तथा $\overrightarrow{v}$ सदिशों के समानांतर है।

(A) दिया गया है कि $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$।
दोनों पक्षों का स्वयं के साथ अदिश गुणन (dot product) करने पर:
$(\overrightarrow{a}) \cdot (\overrightarrow{a}) = (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) \cdot (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})$
$|\overrightarrow{a}|^2 = |\overrightarrow{b}|^2 + |\overrightarrow{c}|^2 + 2(\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c})$
चूंकि $\overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{c}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है,इसलिए उनका अदिश गुणन $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = |\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}| \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ होगा।
अतः,$a^2 = b^2 + c^2$।

(B) $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ स्थिति सदिशों वाले शीर्षों के त्रिभुज का सदिश क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{सदिश क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC})$
चूँकि $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}$,इसलिए:
$\text{सदिश क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} ((\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) \times (\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}))$
$= \frac{1}{2} (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} - \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c} + \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a})$
चूँकि $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} = 0$,$-\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$,और $-\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c} = \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}$,हमें प्राप्त होता है:
$\text{सदिश क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} + \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} + \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})$

(A) दिए गए सदिश $\overrightarrow{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\overrightarrow{b}=\hat{i}+\hat{j}$,और $\overrightarrow{c}=\hat{i}$ हैं।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ ज्ञात करें:
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-1) - \hat{j}(0-1) + \hat{k}(1-1) = -\hat{i} + \hat{j}$.
अब,$(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \times \overrightarrow{c}$ ज्ञात करें:
$(-\hat{i} + \hat{j}) \times \hat{i} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \hat{k}(0-1) = -\hat{k}$.
हमें दिया गया है कि $(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \times \overrightarrow{c} = \lambda \overrightarrow{a} + \mu \overrightarrow{b}$.
सदिशों का मान रखने पर:
$-\hat{k} = \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + \mu(\hat{i} + \hat{j})$
$-\hat{k} = (\lambda + \mu)\hat{i} + (\lambda + \mu)\hat{j} + \lambda\hat{k}$.
$\hat{i}$,$\hat{j}$,और $\hat{k}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$1$) $\lambda + \mu = 0$
$2$) $\lambda + \mu = 0$
$3$) $\lambda = -1$
समीकरण $(1)$ से,चूँकि $\lambda = -1$,इसलिए $-1 + \mu = 0$,जिसका अर्थ है $\mu = 1$.
अतः,$\lambda + \mu = -1 + 1 = 0$.

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$3lm - 4ln + mn = 0$ ... $(i)$
$l + 2m + 3n = 0$ ... (ii)
(ii) से,$l = -(2m + 3n)$.
इसे $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$-3(2m + 3n)m + 4(2m + 3n)n + mn = 0$
$-6m^2 - 9mn + 8mn + 12n^2 + mn = 0$
$-6m^2 + 12n^2 = 0$
$m^2 = 2n^2 \Rightarrow m = \pm \sqrt{2}n$.
स्थिति $1$: $m = \sqrt{2}n$. तब $l = -(2\sqrt{2} + 3)n$.
दिक्-अनुपात $(l_1, m_1, n_1) = (-(3 + 2\sqrt{2}), \sqrt{2}, 1)$.
स्थिति $2$: $m = -\sqrt{2}n$. तब $l = -(-2\sqrt{2} + 3)n = (2\sqrt{2} - 3)n$.
दिक्-अनुपात $(l_2, m_2, n_2) = (2\sqrt{2} - 3, -\sqrt{2}, 1)$.
रेखाओं के बीच कोण $\theta$ के लिए:
$\cos \theta = \frac{l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2}{\sqrt{l_1^2 + m_1^2 + n_1^2} \sqrt{l_2^2 + m_2^2 + n_2^2}}$
अंश: $(-(3 + 2\sqrt{2}))(2\sqrt{2} - 3) + (\sqrt{2})(-\sqrt{2}) + (1)(1)$
$= -((2\sqrt{2})^2 - 3^2) - 2 + 1 = -(8 - 9) - 1 = 1 - 1 = 0$.
चूंकि अंश $0$ है,इसलिए $\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है $\theta = \frac{\pi}{2}$.

(C) माना कि $XOZ$-समतल बिंदुओं $A(2, 3, 1)$ और $B(6, 7, 1)$ को मिलाने वाली रेखाखंड को $m: n$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,विभाजन बिंदु के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$\left(\frac{m x_2 + n x_1}{m + n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m + n}, \frac{m z_2 + n z_1}{m + n}\right)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{6m + 2n}{m + n}, \frac{7m + 3n}{m + n}, \frac{m + n}{m + n}\right)$
चूंकि यह बिंदु $XOZ$-समतल पर स्थित है,इसलिए इसका $y$-निर्देशांक $0$ होगा।
अतः,$\frac{7m + 3n}{m + n} = 0$.
$7m + 3n = 0$
$7m = -3n$
$\frac{m}{n} = -\frac{3}{7}$.
अतः,अभीष्ट अनुपात $-3: 7$ है।

(A) समतल का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ होता है,जहाँ $a, b, c$ क्रमशः $X, Y, Z$ अक्षों पर अंतःखंड हैं।
दिया गया है कि समतल $X$-अक्ष पर $4$ $(a=4)$ और $Z$-अक्ष पर $3$ $(c=3)$ का अंतःखंड बनाता है।
चूँकि समतल $Y$-अक्ष के समांतर है,इसलिए $Y$-अक्ष पर अंतःखंड अनंत है,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{b} = 0$ है।
इन मानों को अंतःखंड रूप के समीकरण में रखने पर:
$\frac{x}{4} + \frac{y}{\infty} + \frac{z}{3} = 1$
$\frac{x}{4} + 0 + \frac{z}{3} = 1$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $12$ से गुणा करने पर:
$3x + 4z = 12$.

(B) माना $(1, 1, 1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x - 1) + b(y - 1) + c(z - 1) = 0$ है $\dots (i)$।
चूँकि यह $(1, -1, -1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $a(1 - 1) + b(-1 - 1) + c(-1 - 1) = 0$,जो सरल होकर $-2b - 2c = 0$ या $b + c = 0$ हो जाता है $\dots (ii)$।
समतल $2x - y + z + 5 = 0$ के लंबवत है,इसलिए उनके अभिलंब सदिश (normal vectors) लंबवत हैं। अतः,$2a - b + c = 0$ $\dots (iii)$।
$(ii)$ से,$b = -c$ है। इसे $(iii)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2a - (-c) + c = 0$ प्राप्त होता है,जो $2a + 2c = 0$ या $a = -c$ में बदल जाता है।
माना $c = -1$,तो $a = 1$ और $b = 1$ प्राप्त होता है।
इन मानों को $(i)$ में रखने पर,हमें $1(x - 1) + 1(y - 1) - 1(z - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
$x - 1 + y - 1 - z + 1 = 0$.
$x + y - z - 1 = 0$.

(D) हम जानते हैं कि किन्हीं दो घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ होता है।
दिया गया है $P(A \cup B) = 0.8$ और $P(A \cap B) = 0.3$,अतः:
$P(A) + P(B) = P(A \cup B) + P(A \cap B) = 0.8 + 0.3 = 1.1$।
हम जानते हैं कि $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ और $P(\bar{B}) = 1 - P(B)$ होता है।
इसलिए,$P(\bar{A}) + P(\bar{B}) = (1 - P(A)) + (1 - P(B)) = 2 - (P(A) + P(B))$।
$P(A) + P(B)$ का मान रखने पर:
$P(\bar{A}) + P(\bar{B}) = 2 - 1.1 = 0.9$।

(B) एक सिक्के को उछालने पर चित आने की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ है और पट आने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ है।
$n$ बार सिक्का उछालने पर एक भी बार चित न आने की प्रायिकता $P(\text{no head}) = q^n = (\frac{1}{2})^n$ है।
कम से कम एक बार चित आने की प्रायिकता $P(\text{at least one head}) = 1 - P(\text{no head}) = 1 - (\frac{1}{2})^n$ है।
दिया गया है कि $1 - (\frac{1}{2})^n > 0.8$,इसलिए:
$1 - 0.8 > (\frac{1}{2})^n$
$0.2 > (\frac{1}{2})^n$
$\frac{1}{5} > \frac{1}{2^n}$
$2^n > 5$.
$n = 2$ के लिए,$2^2 = 4 < 5$.
$n = 3$ के लिए,$2^3 = 8 > 5$.
अतः,$n$ का न्यूनतम मान $3$ है।

(C) क्लॉसियस-क्लैपेरॉन समीकरण के अनुसार,वाष्प दाब $(p)$ और परम ताप $(T)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$\log p = -\frac{\Delta H_{vap}}{2.303 R} \cdot \frac{1}{T} + C$
यहाँ,$\Delta H_{vap}$ वाष्पीकरण की एन्थैल्पी है,$R$ गैस स्थिरांक है,और $C$ एक समाकलन स्थिरांक है।
यह समीकरण एक सीधी रेखा $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ $y = \log p$,$x = \frac{1}{T}$,और ढाल $m = -\frac{\Delta H_{vap}}{2.303 R}$ है।
चूँकि ढाल ऋणात्मक है,इसलिए $\log p$ बनाम $\frac{1}{T}$ का ग्राफ ऋणात्मक ढाल वाली एक सीधी रेखा प्राप्त होती है।

(C) सल्फर के दहन के लिए संतुलित रासायनिक समीकरण है:
$S(s) + O_2(g) \longrightarrow SO_2(g)$
अभिक्रिया की रससमीकरणमिति (stoichiometry) के अनुसार,$1 \ mol$ $S$,$1 \ mol$ $O_2$ के साथ अभिक्रिया करता है।
$STP$ पर,किसी भी गैस का $1 \ mol$,$22.4 \ L$ आयतन घेरता है।
अतः,$1 \ mol$ $S$ के लिए $22.4 \ L$ $O_2$ की आवश्यकता होती है।
$1.5 \ mol$ $S$ के लिए आवश्यक $O_2$ का आयतन है:
$V = 1.5 \ mol \times 22.4 \ L/mol = 33.6 \ L$.

(C) दिए गए वेग: $C_1 = 100 \ ms^{-1}, C_2 = 200 \ ms^{-1}, C_3 = 500 \ ms^{-1}$.
$rms$ वेग का सूत्र: $C_{rms} = \sqrt{\frac{C_1^2 + C_2^2 + C_3^2}{n}}$.
मान रखने पर: $C_{rms} = \sqrt{\frac{100^2 + 200^2 + 500^2}{3}}$.
$C_{rms} = \sqrt{\frac{10000 + 40000 + 250000}{3}} = \sqrt{\frac{300000}{3}}$.
$C_{rms} = \sqrt{100000} = 100 \sqrt{10} \ ms^{-1}$.

(B) द्रव्यमान क्षति $3.32 \times 10^{-26} \ g$ दी गई है।
सबसे पहले,द्रव्यमान क्षति को ग्राम से परमाणु द्रव्यमान इकाई $(amu)$ में परिवर्तित करें,जहाँ $1 \ amu = 1.66 \times 10^{-24} \ g$ है।
$\text{द्रव्यमान क्षति } amu \text{ में} = \frac{3.32 \times 10^{-26} \ g}{1.66 \times 10^{-24} \ g/amu} = 0.02 \ amu$.
बंधन ऊर्जा की गणना $amu$ में द्रव्यमान क्षति को $931 \ MeV/amu$ से गुणा करके की जाती है।
$\text{बंधन ऊर्जा} = 0.02 \ amu \times 931 \ MeV/amu = 18.62 \ MeV$.

(C) इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(KE)$ $= \frac{1}{2}mv^2$ है।
स्थिर वैद्युत बल संतुलन से,$\frac{mv^2}{r} = \frac{e^2}{r^2}$,जिसका अर्थ है $mv^2 = \frac{e^2}{r}$।
इसे $KE$ के व्यंजक में रखने पर: $KE = \frac{1}{2} \times \frac{e^2}{r} = \frac{e^2}{2r}$।
स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ $= \frac{-e^2}{r}$ है।
कुल ऊर्जा $(E)$ $= KE + PE = \frac{e^2}{2r} - \frac{e^2}{r} = \frac{-e^2}{2r}$।

(A) फोटॉन की ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{hc}{\lambda}$ है।
दिया गया है: $\lambda = 2000 \ \mathring{A} = 2000 \times 10^{-8} \ cm = 2 \times 10^{-5} \ cm$.
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^{10} \ cm/s$.
प्लांक स्थिरांक $h = 6.626 \times 10^{-27} \ erg \ s$.
मान रखने पर: $E = \frac{6.626 \times 10^{-27} \ erg \ s \times 3 \times 10^{10} \ cm/s}{2 \times 10^{-5} \ cm}$.
$E = \frac{19.878 \times 10^{-17}}{2 \times 10^{-5}} \ erg = 9.939 \times 10^{-12} \ erg \approx 9.94 \times 10^{-12} \ erg$.

(B) फ्रुंडलिच अधिशोषण समतापी को निम्नलिखित अनुभवजन्य संबंध द्वारा दर्शाया जाता है:
$\frac{x}{m} = K p^{1/n}$
जहाँ:
$x$ अधिशोष्य का द्रव्यमान है,
$m$ अधिशोषक का द्रव्यमान है,
$p$ दाब है,
$K$ और $n$ स्थिरांक हैं जो एक निश्चित तापमान पर अधिशोषक और गैस की प्रकृति पर निर्भर करते हैं।

(C) प्रति इकाई समय में उत्सर्जित ऊर्जा स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम द्वारा दी जाती है: $E = \sigma A T^4$,जहाँ $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है और $A = 4\pi R^2$ तारे का सतही क्षेत्रफल है।
सूर्य के लिए: $E_{\text{sun}} = \sigma (4\pi R_{\text{sun}}^2) T_{\text{sun}}^4$.
तारे $A$ के लिए: $E_{\text{star}} = \sigma (4\pi R_{\text{star}}^2) T_{\text{star}}^4$.
दिया गया है कि $E_{\text{star}} = 10000 E_{\text{sun}}$,इसलिए:
$\sigma (4\pi R_{\text{star}}^2) T_{\text{star}}^4 = 10000 \times \sigma (4\pi R_{\text{sun}}^2) T_{\text{sun}}^4$.
दोनों पक्षों से $\sigma$ और $4\pi$ को हटाने पर:
$R_{\text{star}}^2 T_{\text{star}}^4 = 10000 R_{\text{sun}}^2 T_{\text{sun}}^4$.
त्रिज्याओं का अनुपात ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\left(\frac{R_{\text{star}}}{R_{\text{sun}}}\right)^2 = 10000 \left(\frac{T_{\text{sun}}}{T_{\text{star}}}\right)^4$.
दिए गए मान $T_{\text{sun}} = 6000 \ K$ और $T_{\text{star}} = 2000 \ K$ रखने पर:
$\left(\frac{R_{\text{star}}}{R_{\text{sun}}}\right)^2 = 10000 \left(\frac{6000}{2000}\right)^4 = 10000 \times (3)^4 = 10000 \times 81 = 810000$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{R_{\text{star}}}{R_{\text{sun}}} = \sqrt{810000} = 900$.
अतः,अनुपात $R_{\text{star}} : R_{\text{sun}} = 900 : 1$ है।

(B) $0^{\circ} C$ पर घनत्व,$\rho_0 = 1.0127$.
$100^{\circ} C$ पर घनत्व,$\rho_{100} = 1$.
द्रव का वास्तविक प्रसार गुणांक,$\gamma_{\text{real}} = \frac{\rho_0 - \rho_{100}}{\rho_{100} \times \Delta t} = \frac{1.0127 - 1}{1 \times 100} = 1.27 \times 10^{-4} /^{\circ} C$.
कांच का आयतन प्रसार गुणांक,$\gamma_g = 3 \alpha = 3 \times 9 \times 10^{-6} = 2.7 \times 10^{-5} = 0.27 \times 10^{-4} /^{\circ} C$.
आभासी प्रसार गुणांक,$\gamma_{\text{app}} = \gamma_{\text{real}} - \gamma_g = 1.27 \times 10^{-4} - 0.27 \times 10^{-4} = 1 \times 10^{-4} /^{\circ} C$.
बाहर निकले द्रव्यमान को $\frac{m_1}{m_2} = 1 + \gamma_{\text{app}} \Delta t$ संबंध द्वारा ज्ञात किया जा सकता है।
यहाँ,$m_1 = 300 \ g$.
$\frac{300}{m_2} = 1 + (10^{-4} \times 100) = 1 + 0.01 = 1.01$.
$m_2 = \frac{300}{1.01}$.
बाहर निकला द्रव्यमान $= m_1 - m_2 = 300 - \frac{300}{1.01} = 300 \left(1 - \frac{1}{1.01}\right) = 300 \left(\frac{0.01}{1.01}\right) = \frac{3}{1.01} \ g$.

(D) कथन $(A)$ असत्य है क्योंकि डडेल का थर्मो गैल्वेनोमीटर धारा के ऊष्मीय प्रभाव का उपयोग करके प्रत्यावर्ती धारा $(AC)$ और दिष्ट धारा $(DC)$ दोनों को मापने के लिए डिज़ाइन किया गया है।
कथन $(B)$ सत्य है क्योंकि थर्मोपाइल श्रेणीक्रम में जुड़े कई थर्मोकपल से बना एक अत्यधिक संवेदनशील उपकरण है,जो इसे बहुत छोटे तापमान अंतर,आमतौर पर $10^{-3} {}^{\circ}C$ की कोटि का,मापने में सक्षम बनाता है।

(C) नली की कुल लंबाई $100 \ cm$ है। पारे का स्तंभ $10 \ cm$ लंबा है, इसलिए हवा के स्तंभों की कुल लंबाई $100 - 10 = 90 \ cm$ है। प्रारंभ में, दोनों तरफ हवा के स्तंभ समान हैं, प्रत्येक $45 \ cm$ है।
प्रारंभिक स्थिति: $P_0 = 76 \ cm$ $Hg$, $T_0 = 31 + 273 = 304 \ K$, $V_0 = 45 \ A$ (जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है)।
अंतिम स्थिति: मान लीजिए कि $0^{\circ} C$ $(273 \ K)$ पर हवा के स्तंभ की लंबाई $l$ है। दबाव $P$ है। $273^{\circ} C$ $(546 \ K)$ पर दूसरे हवा के स्तंभ की लंबाई $(90 - l)$ है। चूंकि पारे का स्तंभ स्थिर है, इसलिए दोनों तरफ दबाव समान होना चाहिए, अतः $P_1 = P_2 = P$।
आदर्श गैस समीकरण $\frac{PV}{T} = \text{स्थिरांक}$ का उपयोग करते हुए:
पहली तरफ के लिए: $\frac{76 \times 45}{304} = \frac{P \times l}{273}$ --- $(1)$
दूसरी तरफ के लिए: $\frac{76 \times 45}{304} = \frac{P \times (90 - l)}{546}$ --- $(2)$
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$\frac{P \times l}{273} = \frac{P \times (90 - l)}{546}$
$2l = 90 - l \Rightarrow 3l = 90 \Rightarrow l = 30 \ cm$।
समीकरण $(1)$ में $l = 30 \ cm$ रखने पर:
$\frac{76 \times 45}{304} = \frac{P \times 30}{273}$
$P = \frac{76 \times 45 \times 273}{30 \times 304} = 102.4 \ cm$ $Hg$।

(C) मीथेन की दहन अभिक्रिया: $CH_4 + 2O_2 \longrightarrow CO_2 + 2H_2O$ है।
मीथेन $(CH_4)$ का मोलर द्रव्यमान $12 + (4 \times 1) = 16 \ g \ mol^{-1}$ है।
दिया गया है कि $10 \ g \ CH_4$ के लिए उत्पन्न ऊष्मा $560 \ kJ$ है,इसलिए $\Delta H = -560 \ kJ$ है।
एक मोल $(16 \ g)$ के लिए दहन ऊष्मा ज्ञात करने के लिए:
दहन ऊष्मा $= \frac{-560 \ kJ}{10 \ g} \times 16 \ g \ mol^{-1} = -896 \ kJ \ mol^{-1}$।

(B) दी गई तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6000 \text{ } \mathring{A} = 6 \times 10^{-7} \text{ m}$ है।
यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में अदीप्त फ्रिंज के लिए पथ अंतर $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ अदीप्त फ्रिंज का क्रम है।
तीसरी अदीप्त फ्रिंज के लिए, हम $n = 3$ लेते हैं।
मान रखने पर: $\Delta x = (2 \times 3 - 1) \frac{6 \times 10^{-7}}{2} \text{ m}$.
$\Delta x = 5 \times 3 \times 10^{-7} \text{ m} = 15 \times 10^{-7} \text{ m}$.
$\Delta x = 1.5 \times 10^{-6} \text{ m} = 1.5 \text{ } \mu\text{m}$.

(A) तनी हुई डोरी की मूल आवृत्ति $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $l$ लंबाई है,$T$ तनाव है और $m$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
प्रारंभिक आवृत्ति $n_1 = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$.
नई लंबाई $l' = l - 0.40l = 0.6l$.
नया तनाव $T' = T + 0.44T = 1.44T$.
नई आवृत्ति $n_2 = \frac{1}{2l'} \sqrt{\frac{T'}{m}}$.
अंतिम और प्रारंभिक आवृत्ति का अनुपात लेने पर: $\frac{n_2}{n_1} = \frac{l}{l'} \sqrt{\frac{T'}{T}}$.
मान रखने पर: $\frac{n_2}{n_1} = \frac{l}{0.6l} \sqrt{\frac{1.44T}{T}} = \frac{1}{0.6} \times \sqrt{1.44} = \frac{1.2}{0.6} = 2$.
अतः,अनुपात $n_2 : n_1 = 2 : 1$ है।

(B) तनी हुई डोरी की मूल आवृत्ति $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m = \pi r^2 \rho$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
अतः,$n = \frac{1}{2lr} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
$p$-वाँ ओवरटोन $(p+1)n$ होता है।
डोरी $A$ के लिए,पहला ओवरटोन $2n_A = \frac{2}{2l_A r_A} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}} = \frac{1}{l_A r_A} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
डोरी $B$ के लिए,दूसरा ओवरटोन $3n_B = \frac{3}{2l_B r_B} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
दिया गया है कि $2n_A = 3n_B$ और $r_A = 2r_B$:
$\frac{1}{l_A r_A} = \frac{3}{2l_B r_B}$
$\frac{l_A}{l_B} = \frac{2 r_B}{3 r_A} = \frac{2 r_B}{3(2 r_B)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
अतः,लंबाई का अनुपात $l_A : l_B = 1 : 3$ है।

(C) कथन $A$ के लिए: एक नियत बल $F$ के तहत विरामावस्था से शुरू होने वाले पिंड की गतिज ऊर्जा $KE = \frac{1}{2}mv^2$ होती है। चूंकि $v = at$,इसलिए $KE = \frac{1}{2}m(at)^2 = \frac{1}{2}ma^2t^2$ होगा।
गतिज ऊर्जा के परिवर्तन की दर $\frac{d(KE)}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{1}{2}ma^2t^2) = ma^2t$ है।
चूंकि $m$ और $a$ नियत हैं,इसलिए $\frac{d(KE)}{dt} \propto t$ है। अतः,गतिज ऊर्जा के परिवर्तन की दर समय के साथ रैखिक रूप से बदलती है। कथन $A$ सही है।
कथन $B$ के लिए: एक पिंड विरामावस्था में होने पर संतुलन में तभी होता है जब उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य हो। एक पिंड क्षणिक रूप से विरामावस्था में हो सकता है (जैसे,ऊपर फेंकी गई गेंद अपने उच्चतम बिंदु पर),जबकि उस पर गुरुत्वाकर्षण बल कार्य कर रहा हो। इसलिए,यह आवश्यक नहीं है कि वह संतुलन में हो। कथन $B$ गलत है।

(D) दो कणों के टकराने के लिए,समय $t$ पर उनके स्थिति सदिश समान होने चाहिए: $r_1(t) = r_2(t)$.
दिया गया है $r_1(t) = r_1 + v_1 t$ और $r_2(t) = r_2 + v_2 t$,इसलिए टक्कर की शर्त $r_1 + v_1 t = r_2 + v_2 t$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है: $r_1 - r_2 = (v_2 - v_1) t$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$r_1 - r_2 = (3 \hat{i} + 5 \hat{j}) - (-5 \hat{i} - 3 \hat{j}) = 8 \hat{i} + 8 \hat{j}$.
$v_2 - v_1 = (a \hat{i} + 7 \hat{j}) - (4 \hat{i} + 3 \hat{j}) = (a - 4) \hat{i} + 4 \hat{j}$.
$t = 2 \ s$ दिया गया है,समीकरण में मान रखने पर:
$8 \hat{i} + 8 \hat{j} = ((a - 4) \hat{i} + 4 \hat{j}) \times 2$.
$2$ से विभाजित करने पर:
$4 \hat{i} + 4 \hat{j} = (a - 4) \hat{i} + 4 \hat{j}$.
$\hat{i}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$a - 4 = 4 \implies a = 8$.

(A) सल्फ्यूरिक एसिड $(H_2SO_4)$ का एनहाइड्राइड सल्फर ट्राइऑक्साइड $(SO_3)$ है।
$SO_3$ की संरचना में,तीन $S=O$ द्वि-आबंध होते हैं।
प्रत्येक द्वि-आबंध में एक $\sigma$-आबंध और एक $\pi$-आबंध होता है।
अतः,$\sigma$-आबंधों की कुल संख्या $3$ है और $\pi$-आबंधों की कुल संख्या $3$ है।

(D) $Cl$ $(Z=17)$ का मूल अवस्था इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ne] 3s^2 3p_x^2 3p_y^2 3p_z^1$ है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था में,$3p$ से एक इलेक्ट्रॉन $3d$ में जाता है,जिससे $3$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन मिलते हैं।
द्वितीय उत्तेजित अवस्था में,$3s$ से एक इलेक्ट्रॉन $3d$ में जाता है,जिससे $5$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन मिलते हैं।
तृतीय उत्तेजित अवस्था में,$3p$ से एक और इलेक्ट्रॉन $3d$ में जाता है,जिसके परिणामस्वरूप $7$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन $(3s^1, 3p_x^1, 3p_y^1, 3p_z^1, 3d^3)$ प्राप्त होते हैं।
ये $7$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन $7$ फ्लोरीन परमाणुओं के साथ अभिक्रिया करके $ClF_7$ बनाते हैं।
इसका संकरण $sp^3d^3$ है,जो पेंटागोनल बाइपिरामिडल ज्यामिति को दर्शाता है।

(B) जब $SO_3$ को भारी जल $(D_2O)$ में घोला जाता है,तो यह यौगिक $X$ के रूप में ड्यूटेरेटेड सल्फ्यूरिक एसिड $(D_2SO_4)$ बनाता है।
रासायनिक अभिक्रिया: $SO_3 + D_2O \longrightarrow D_2SO_4$ $(X)$.
$D_2SO_4$ में,केंद्रीय सल्फर परमाणु दो $OD$ समूहों से जुड़ा होता है और दो ऑक्सीजन परमाणुओं के साथ द्वि-आबंध द्वारा जुड़ा होता है।
सल्फर की स्टेरिक संख्या की गणना इस प्रकार की जाती है: $\text{सिग्मा आबंधों की संख्या} + \text{एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्मों की संख्या} = 4 + 0 = 4$.
$4$ की स्टेरिक संख्या $sp^3$ संकरण को दर्शाती है।

(A) $H_2O$ में,ऑक्सीजन परमाणु $sp^3$ संकरित होता है और इसमें दो एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म (lone pairs) तथा दो बंधित इलेक्ट्रॉन युग्म होते हैं,जिसके परिणामस्वरूप इसकी आकृति कोणीय (angular) होती है।
$NH_4^+$ $sp^3$ संकरित है और चतुष्फलकीय है।
$CH_4$ $sp^3$ संकरित है और चतुष्फलकीय है।
अतः,सही सेट $H_2O, sp^3$,कोणीय है।