AP EAMCET 2002 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin ^{-1} x - \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{6}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(\sin ^{-1} x - \cos ^{-1} x) + (\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2}$
$2 \sin ^{-1} x = \frac{\pi + 3\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$
$\sin ^{-1} x = \frac{\pi}{3}$
$x = \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{|x|}{x}$ છે,જ્યાં $A = \{x \in R, x \neq 0, -4 \leq x \leq 4\}$.
જો $x > 0$ હોય,તો $|x| = x$,તેથી $f(x) = \frac{x}{x} = 1$.
જો $x < 0$ હોય,તો $|x| = -x$,તેથી $f(x) = \frac{-x}{x} = -1$.
$x$ ની કિંમત $0$ હોઈ શકે નહીં,તેથી વિધેય માત્ર $1$ અને $-1$ કિંમતો જ ધારણ કરે છે.
તેથી,$f$ નો વિસ્તાર $\{1, -1\}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \cos^2 x + \sin^4 x$.
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = 1 - \sin^2 x + \sin^4 x = 1 - \sin^2 x(1 - \sin^2 x) = 1 - \sin^2 x \cos^2 x$.
$4$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$f(x) = 1 - \frac{4 \sin^2 x \cos^2 x}{4} = 1 - \frac{(2 \sin x \cos x)^2}{4} = 1 - \frac{\sin^2(2x)}{4}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $0 \leq \sin^2(2x) \leq 1$,તેથી $0 \leq \frac{\sin^2(2x)}{4} \leq \frac{1}{4}$.
$1$ માંથી બાદ કરતા:
$1 - \frac{1}{4} \leq 1 - \frac{\sin^2(2x)}{4} \leq 1 - 0$.
આમ,$\frac{3}{4} \leq f(x) \leq 1$.
તેથી વિસ્તાર $\left[\frac{3}{4}, 1\right]$ છે.

(C) વિધેય $f(x) = x - [x]$ એ અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય છે,જેને $\{x\}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આપણે કોઈપણ પૂર્ણાંક $n \in Z$ પર $f(x)$ ની સાતત્યતા તપાસીએ.
$x = n$ આગળ ડાબી બાજુનું લક્ષ:
$\lim_{x \rightarrow n^-} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} (n - h - [n - h]) = \lim_{h \rightarrow 0} (n - h - (n - 1)) = \lim_{h \rightarrow 0} (1 - h) = 1$.
$x = n$ આગળ જમણી બાજુનું લક્ષ:
$\lim_{x \rightarrow n^+} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} (n + h - [n + h]) = \lim_{h \rightarrow 0} (n + h - n) = \lim_{h \rightarrow 0} h = 0$.
$x = n$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય:
$f(n) = n - [n] = n - n = 0$.
અહીં ડાબી બાજુનું લક્ષ $(1)$ એ જમણી બાજુના લક્ષ $(0)$ જેટલું નથી,તેથી વિધેય $f(x)$ દરેક પૂર્ણાંક $n \in Z$ પર અસતત છે.
તેથી,અસતત બિંદુઓનો ગણ $Z$ છે.

(A) આપેલ વિધેય: $f(x) = \sqrt{ax} + a^2(ax)^{-1/2}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{a} \cdot x^{1/2}) + \frac{d}{dx}(a^2 \cdot \sqrt{a}^{-1} \cdot x^{-1/2})$
$f^{\prime}(x) = \sqrt{a} \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} + a^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{a}} \cdot (-\frac{1}{2}) x^{-3/2}$
$f^{\prime}(x) = \frac{\sqrt{a}}{2\sqrt{x}} - \frac{a^2}{2\sqrt{a} \cdot x\sqrt{x}}$
હવે $x = a$ મૂકતા:
$f^{\prime}(a) = \frac{\sqrt{a}}{2\sqrt{a}} - \frac{a^2}{2\sqrt{a} \cdot a\sqrt{a}}$
$f^{\prime}(a) = \frac{1}{2} - \frac{a^2}{2a^2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$.

(B) આપેલ છે કે $z = \frac{y}{x} \left[ \sin \frac{x}{y} + \cos \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \right]$.
પ્રથમ,$\frac{\partial z}{\partial x}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y}{x} \left[ \cos \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{y} - \sin \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \cdot \left( -\frac{y}{x^2} \right) \right] - \frac{y}{x^2} \left[ \sin \frac{x}{y} + \cos \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \right]$
$x$ વડે ગુણતા:
$x \frac{\partial z}{\partial x} = \cos \frac{x}{y} + \frac{y^2}{x^2} \sin \left( 1 + \frac{y}{x} \right) - \frac{y}{x} \left[ \sin \frac{x}{y} + \cos \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \right]$
$x \frac{\partial z}{\partial x} = \cos \frac{x}{y} + \frac{y^2}{x^2} \sin \left( 1 + \frac{y}{x} \right) - z$ ... $(i)$
હવે,$\frac{\partial z}{\partial y}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x} \left[ \sin \frac{x}{y} + \cos \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \right] + \frac{y}{x} \left[ \cos \frac{x}{y} \cdot \left( -\frac{x}{y^2} \right) - \sin \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \cdot \frac{1}{x} \right]$
$y$ વડે ગુણતા:
$y \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{x} \left[ \sin \frac{x}{y} + \cos \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \right] - \cos \frac{x}{y} - \frac{y^2}{x^2} \sin \left( 1 + \frac{y}{x} \right)$
$y \frac{\partial z}{\partial y} = z - \cos \frac{x}{y} - \frac{y^2}{x^2} \sin \left( 1 + \frac{y}{x} \right)$ ... $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = 0$
તેથી,$x \frac{\partial z}{\partial x} = -y \frac{\partial z}{\partial y}$.

(B) આપેલ છે કે $f(x)=e^x$ અને $g(x)=\sin ^{-1} x$.
તેથી $h(x)=f(g(x))=e^{\sin ^{-1} x}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\ln(h(x)) = \sin ^{-1} x$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{d}{dx}(\ln(h(x))) = \frac{d}{dx}(\sin ^{-1} x)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{h(x)} \cdot h^{\prime}(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{h^{\prime}(x)}{h(x)} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

(C) આપેલ વિધેય $y = a e^x + b e^{-x} + c$ છે.
પ્રથમ વિકલન: $y^{\prime} = \frac{d}{dx}(a e^x + b e^{-x} + c) = a e^x - b e^{-x}$.
દ્વિતીય વિકલન: $y^{\prime \prime} = \frac{d}{dx}(a e^x - b e^{-x}) = a e^x + b e^{-x}$.
તૃતીય વિકલન: $y^{\prime \prime \prime} = \frac{d}{dx}(a e^x + b e^{-x}) = a e^x - b e^{-x}$.
આને પ્રથમ વિકલન સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $y^{\prime \prime \prime} = y^{\prime}$.

(B) આપેલ છે,$y = a \cos(\log x) + b \sin(\log x)$.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y^{\prime} = -a \sin(\log x) \cdot \frac{1}{x} + b \cos(\log x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{-a \sin(\log x) + b \cos(\log x)}{x}$.
આથી $x y^{\prime} = -a \sin(\log x) + b \cos(\log x)$ મળે.
હવે,ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (ડાબી બાજુ ગુણાકારનો નિયમ વાપરતા):
$x y^{\prime \prime} + y^{\prime} = -a \cos(\log x) \cdot \frac{1}{x} - b \sin(\log x) \cdot \frac{1}{x}$.
આખા સમીકરણને $x$ વડે ગુણતા:
$x^2 y^{\prime \prime} + x y^{\prime} = -a \cos(\log x) - b \sin(\log x)$.
ઋણ ચિહ્ન સામાન્ય લેતા:
$x^2 y^{\prime \prime} + x y^{\prime} = -[a \cos(\log x) + b \sin(\log x)]$.
કારણ કે $y = a \cos(\log x) + b \sin(\log x)$,તેથી:
$x^2 y^{\prime \prime} + x y^{\prime} = -y$.

(A) આપેલ છે કે $z = \sec(y - ax) + \tan(y + ax)$.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન મેળવો:
$\frac{\partial z}{\partial x} = \sec(y - ax) \tan(y - ax) \cdot (-a) + \sec^2(y + ax) \cdot (a) = -a \sec(y - ax) \tan(y - ax) + a \sec^2(y + ax)$.
$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -a [\sec(y - ax) \sec^2(y - ax) \cdot (-a) + \tan(y - ax) \cdot \sec(y - ax) \tan(y - ax) \cdot (-a)] + a [2 \sec(y + ax) \cdot \sec(y + ax) \tan(y + ax) \cdot (a)]$
$= a^2 [\sec^3(y - ax) + \sec(y - ax) \tan^2(y - ax)] + 2a^2 \sec^2(y + ax) \tan(y + ax)$.
હવે,$y$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન મેળવો:
$\frac{\partial z}{\partial y} = \sec(y - ax) \tan(y - ax) + \sec^2(y + ax)$.
$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \sec(y - ax) \sec^2(y - ax) + \tan(y - ax) \cdot \sec(y - ax) \tan(y - ax) + 2 \sec(y + ax) \cdot \sec(y + ax) \tan(y + ax)$
$= \sec^3(y - ax) + \sec(y - ax) \tan^2(y - ax) + 2 \sec^2(y + ax) \tan(y + ax)$.
$a^2$ વડે ગુણતા:
$a^2 \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = a^2 [\sec^3(y - ax) + \sec(y - ax) \tan^2(y - ax) + 2 \sec^2(y + ax) \tan(y + ax)]$.
બંને પદોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે કે $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} - a^2 \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 0$.

(C) ધારો કે $y = f(x) = x^{3000}$.
આપણે $(1 + 0.0002)^{3000}$ ની આશરે કિંમત શોધવાની છે.
અહીં,$x = 1$ અને $\Delta x = 0.0002$ છે.
વિકલન માટેનું સૂત્ર $\Delta y \approx dy = f'(x) \Delta x$ છે.
પ્રથમ,વિકલિત શોધો: $f'(x) = 3000 x^{2999}$.
હવે,કિંમતો મૂકતા: $dy = 3000(1)^{2999} \times 0.0002$.
$dy = 3000 \times 0.0002 = 0.6$.
આમ,આશરે કિંમત $f(x + \Delta x) \approx y + dy = 1^{3000} + 0.6 = 1 + 0.6 = 1.6$ થાય.

(B) ધારો કે થાંભલાની ઊંચાઈ $h$ છે અને બીજા બિંદુથી થાંભલાના પાયા સુધીનું અંતર $x$ છે.
$\triangle BDA$ માં,$\tan 45^{\circ} = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow 1 = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow h = x$.
$\triangle BCA$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{20+x}$.
$x = h$ મૂકતા,આપણને મળે $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{20+h}$.
$20 + h = h\sqrt{3} \Rightarrow h(\sqrt{3}-1) = 20$.
$h = \frac{20}{\sqrt{3}-1} = \frac{20(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{20(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{20(\sqrt{3}+1)}{2} = 10(\sqrt{3}+1) \ m$.

(B) આપેલ છે: હવામાં કેન્દ્રલંબાઈ $f_a = 0.15 \ m$,કાચનો વક્રીભવનાંક $\mu_g = 1.5 = \frac{3}{2}$.
જ્યારે તેને પ્રવાહીમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે કેન્દ્રલંબાઈ $0.225 \ m$ વધે છે,તેથી નવી કેન્દ્રલંબાઈ $f_l = 0.15 + 0.225 = 0.375 \ m$.
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f_a} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
$\frac{1}{f_l} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_l} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{f_l}{f_a} = \frac{(\mu_g - 1)}{(\frac{\mu_g}{\mu_l} - 1)}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{0.375}{0.15} = \frac{(1.5 - 1)}{(\frac{1.5}{\mu_l} - 1)}$
$2.5 = \frac{0.5}{(\frac{1.5}{\mu_l} - 1)}$
$\frac{1.5}{\mu_l} - 1 = \frac{0.5}{2.5} = 0.2$
$\frac{1.5}{\mu_l} = 1.2$
$\mu_l = \frac{1.5}{1.2} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} = 1.25$.

(B) દ્વિ-વક્રીભવન (birefringence) માં,કેલ્સાઈટ જેવા સ્ફટિકો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશના કિરણને બે કિરણોમાં વિભાજિત કરે છે: સામાન્ય કિરણ ($O$-ray) અને અસાધારણ કિરણ ($E$-ray).
વિધાન $A$: $E$-કિરણનો વક્રીભવનાંક સ્ફટિકની અંદર પ્રસરણની દિશા પર આધાર રાખે છે,જે ઓપ્ટિકલ અક્ષના સંદર્ભમાં આપાતકોણ સાથે સંબંધિત છે. તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે.
વિધાન $B$: સામાન્ય કિરણ અને અસાધારણ કિરણ બંને સમતલ-ધ્રુવીભૂત હોય છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રકાશના તરંગોના કંપનો એક ચોક્કસ સમતલ પૂરતા મર્યાદિત હોય છે (એકતરફી). તેથી,વિધાન $B$ સાચું છે.
આમ,બંને વિધાનો સાચા છે.

(C) જ્યારે જીપ્સમ $(CaSO_4 \cdot 2H_2O)$ ને એમોનિયમ સલ્ફેટ $((NH_4)_2SO_4)$ ના જલીય દ્રાવણમાં ઓગાળવામાં આવે છે,ત્યારે તે એક દ્વિ ક્ષાર (double salt) બનાવે છે.
રાસાયણિક પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે:
$CaSO_4 \cdot 2H_2O + (NH_4)_2SO_4 \rightarrow CaSO_4 \cdot (NH_4)_2SO_4 \cdot 2H_2O$
આમ,બનતું સંયોજન $CaSO_4 \cdot (NH_4)_2SO_4 \cdot 2H_2O$ છે.

(D) આપેલ છે:
કરંટ ગેઇન $\beta = 50$
લોડ અવરોધ $R_L = 4 \ k\Omega = 4000 \ \Omega$
ઇનપુટ અવરોધ $R_i = 500 \ \Omega$
કોમન એમિટર એમ્પ્લીફાયરનો વોલ્ટેજ ગેઇન $A_v$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$A_v = \beta \times \left( \frac{R_L}{R_i} \right)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$A_v = 50 \times \left( \frac{4000}{500} \right)$
$A_v = 50 \times 8$
$A_v = 400$
આમ,એમ્પ્લીફાયરનો વોલ્ટેજ ગેઇન $400$ છે.

(A) કોમન-એમિટર ટ્રાન્ઝિસ્ટરનો કરંટ ગેઇન $\beta$ એ અચળ કલેક્ટર-એમિટર વોલ્ટેજ પર કલેક્ટર કરંટમાં થતા ફેરફાર અને બેઝ કરંટમાં થતા ફેરફારના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે:
બેઝ કરંટમાં ફેરફાર $\Delta I_b = 50 \mu A = 50 \times 10^{-6} \ A$
કલેક્ટર કરંટમાં ફેરફાર $\Delta I_c = 1 \ mA = 1 \times 10^{-3} \ A$
કરંટ ગેઇનનું સૂત્ર $\beta = \frac{\Delta I_c}{\Delta I_b}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\beta = \frac{1 \times 10^{-3}}{50 \times 10^{-6}} = \frac{1000}{50} = 20$.
તેથી,ટ્રાન્ઝિસ્ટરનો કરંટ ગેઇન $20$ છે.

(D) દિકગુણોત્તરો $(l, m, n)$ માટે આપેલા સમીકરણો:
$l+m-n=0 \quad (i)$
$l^2+m^2-n^2=0 \quad (ii)$
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$l = n-m$ મળે.
આ કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$(n-m)^2 + m^2 - n^2 = 0$
$n^2 + m^2 - 2nm + m^2 - n^2 = 0$
$2m^2 - 2nm = 0$
$2m(m-n) = 0$
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $m=0$. સમીકરણ $(i)$ પરથી,$l=n$. તેથી,દિકગુણોત્તરો $(1, 0, 1)$ છે.
કિસ્સો $2$: $m=n$. સમીકરણ $(i)$ પરથી,$l=0$. તેથી,દિકગુણોત્તરો $(0, 1, 1)$ છે.
ધારો કે $\theta$ એ દિકગુણોત્તરો $\vec{a} = (1, 0, 1)$ અને $\vec{b} = (0, 1, 1)$ ધરાવતી બે રેખાઓ વચ્ચેનો લઘુકોણ છે.
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(1)(0) + (0)(1) + (1)(1)|}{\sqrt{1^2+0^2+1^2} \sqrt{0^2+1^2+1^2}}$
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$ મળે.

(D) કુલ દડાની સંખ્યા = $5 + 4 + 3 = 12$.
કાળા દડાની સંખ્યા = $5$.
લાલ દડાની સંખ્યા = $3$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા (કાળો અથવા લાલ) = $5 + 3 = 8$.
સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.

(C) ધારો કે $A$ એ $IITJEE$ માં ક્વોલિફાય થવાની ઘટના છે અને $B$ એ $EAMCET$ માં ક્વોલિફાય થવાની ઘટના છે.
આપેલ છે: $P(A) = \frac{1}{5}$ અને $P(B) = \frac{3}{5}$.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર છે તેમ માનતા,ઓછામાં ઓછી એક પરીક્ષામાં ક્વોલિફાય થવાની સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ દ્વારા મળે છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{25}$.
તેથી,$P(A \cup B) = \frac{1}{5} + \frac{3}{5} - \frac{3}{25}$.
છેદ $25$ સમાન કરતા:
$P(A \cup B) = \frac{5}{25} + \frac{15}{25} - \frac{3}{25} = \frac{17}{25}$.

(C) આપેલ છે કે પોઈસન વિતરણનો મધ્યક $\lambda = \frac{1}{2}$ છે.
પોઈસન વિતરણનું સંભાવના દળ વિધેય $P(X=n) = \frac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે ગુણોત્તર $\frac{P(X=3)}{P(X=2)}$ શોધવાનો છે.
$P(X=3) = \frac{(\frac{1}{2})^3 e^{-1/2}}{3!}$.
$P(X=2) = \frac{(\frac{1}{2})^2 e^{-1/2}}{2!}$.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{P(X=3)}{P(X=2)} = \frac{\frac{(\frac{1}{2})^3 e^{-1/2}}{3!}}{\frac{(\frac{1}{2})^2 e^{-1/2}}{2!}} = \frac{(\frac{1}{2})^3}{3!} \times \frac{2!}{(\frac{1}{2})^2}$.
$= \frac{1}{2} \times \frac{2!}{3!} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{6} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.
આમ,ગુણોત્તર $1:6$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે યાદચ્છિક ચલની તમામ શક્ય કિંમતો માટે સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે.
આપેલ છે કે $P(X=0) = 0.4$.
$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1$ હોવાથી,$0.4 + P(X=1) + P(X=2) = 1$ મળે.
આથી $P(X=1) + P(X=2) = 0.6$.
આપેલ છે કે $P(X=1) = P(X=2)$,ધારો કે $P(X=1) = P(X=2) = p$.
તેથી $p + p = 0.6 \Rightarrow 2p = 0.6 \Rightarrow p = 0.3$.
આમ,$P(X=1) = 0.3$ અને $P(X=2) = 0.3$.
યાદચ્છિક ચલ $X$ નો મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$ દ્વારા મળે છે.
$E(X) = (0 \times P(X=0)) + (1 \times P(X=1)) + (2 \times P(X=2))$.
$E(X) = (0 \times 0.4) + (1 \times 0.3) + (2 \times 0.3)$.
$E(X) = 0 + 0.3 + 0.6 = 0.9$.

(B) પાસા માટે નિદર્શાવકાશ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે અને સિક્કા માટે $\{H, T\}$ છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,પાસા પર $5$ મળવાની સંભાવના $P(A) = \frac{1}{6}$ છે.
સિક્કા પર છાપ (tail) મળવાની સંભાવના $P(B) = \frac{1}{2}$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$ છે.

(B) $CO_2$ માં $C$ નું દળ $= \frac{12}{44} \times 12.571 \ g = 3.428 \ g$.
$H_2O$ માં $H$ નું દળ $= \frac{2}{18} \times 5.143 \ g = 0.571 \ g$.
$C + H$ નું કુલ દળ $= 3.428 + 0.571 = 3.999 \ g \approx 4 \ g$ (આપેલ દળ સાથે મેળ ખાય છે).
$C$ ના મોલ $= \frac{3.428}{12} = 0.2857$.
$H$ ના મોલ $= \frac{0.571}{1} = 0.571$.
$C:H$ નો ગુણોત્તર $= 0.2857 : 0.571 = 1 : 2$.
તેથી,પ્રમાણસૂચક સૂત્ર $CH_2$ છે.

(B) કાર્બન મોનોક્સાઇડના ઓક્સિડેશન માટેનું સંતુલિત રાસાયણિક સમીકરણ:
$CO(g) + \frac{1}{2} O_2(g) \longrightarrow CO_2(g)$
પ્રક્રિયાના તત્વયોગમિતિ (stoichiometry) મુજબ,$1 \text{ mole}$ $CO$ એ $1 \text{ mole}$ $CO_2$ ઉત્પન્ન કરે છે.
$STP$ પર,કોઈપણ આદર્શ વાયુનો $1 \text{ mole}$ $22.414 \ L$ કદ રોકે છે.
તેથી,$22.414 \ L$ $CO$ એ $22.414 \ L$ $CO_2$ ઉત્પન્ન કરે છે.
જેમ કે બનતા $CO_2$ નું કદ $11.207 \ L$ છે,તેથી જરૂરી $CO$ $(X)$ નું કદ પણ $11.207 \ L$ થશે કારણ કે મોલર ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(C) મોલારિટી $Y$ નું સૂત્ર: $Y = \frac{X \times 1000}{M_w \times V(mL)}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $Y = \frac{X \times 1000}{106 \times 100} = \frac{10X}{106}$.
તેથી $106Y = 10X$ અથવા $X = 10.6Y$.
વિકલ્પ $(c)$ તપાસતા: જો $X = 1.06$ અને $Y = 0.1$ હોય,તો $1.06 = 10.6 \times 0.1$,એટલે કે $1.06 = 1.06$.
આમ,વિકલ્પ $(c)$ માં આપેલ મૂલ્યો સંબંધનું પાલન કરે છે.

(B) આપેલ છે: $W = 4 \ g$,$V = 5.6035 \ L$,$T = 546 \ K$,$P = 2 \ atm$,$R = 0.0821 \ L \ atm \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $PV = nRT = \frac{W}{M} RT$.
આણ્વીય દળ $M$ માટે સૂત્ર: $M = \frac{WRT}{PV}$.
કિંમતો મૂકતા: $M = \frac{4 \times 0.0821 \times 546}{2 \times 5.6035}$.
$M = \frac{179.2644}{11.207} \approx 16 \ g \ mol^{-1}$.

(B) ડાલ્ટનના આંશિક દબાણના નિયમ મુજબ,વાયુનું આંશિક દબાણ તેના મોલ અંશના પ્રમાણમાં હોય છે $(p_i = x_i \times P_{total})$. કુલ દબાણ અને તાપમાન અચળ હોવાથી,આંશિક દબાણ મોલની સંખ્યા $(n_i)$ ના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
ધારો કે દરેક વાયુનું વજન $64 \ g$ છે.

$He$	$n = 64/4 = 16 \ mol$
$CH_4$	$n = 64/16 = 4 \ mol$
$SO_2$	$n = 64/64 = 1 \ mol$

કુલ મોલ = $16 + 4 + 1 = 21 \ mol$.
આંશિક દબાણની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$p_1 (He) = (16/21) \times 210 = 160 \ mm$
$p_2 (CH_4) = (4/21) \times 210 = 40 \ mm$
$p_3 (SO_2) = (1/21) \times 210 = 10 \ mm$
તેથી,$p_1 > p_2 > p_3$.

(C) આઈસો-ઈલેક્ટ્રોનિક સ્પીસીઝ એટલે કે જેમાં ઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા સમાન હોય.
$Mg^{2+}$ $(Z=12)$ માટે: $12 - 2 = 10$ ઈલેક્ટ્રોન. $C^{4-}$ $(Z=6)$ માટે: $6 + 4 = 10$ ઈલેક્ટ્રોન. તેથી,$Mg^{2+}, C^{4-}$ એ આઈસો-ઈલેક્ટ્રોનિક જોડી છે.
$N^{3-}$ $(Z=7)$ માટે: $7 + 3 = 10$ ઈલેક્ટ્રોન. $O^{2-}$ $(Z=8)$ માટે: $8 + 2 = 10$ ઈલેક્ટ્રોન. તેથી,$N^{3-}, O^{2-}$ એ આઈસો-ઈલેક્ટ્રોનિક જોડી છે.
$N^{2-}$ $(Z=7)$ માટે: $7 + 2 = 9$ ઈલેક્ટ્રોન. $O^{2-}$ $(Z=8)$ માટે: $8 + 2 = 10$ ઈલેક્ટ્રોન. આમાં ઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા સમાન નથી.
$F^{-}$ $(Z=9)$ માટે: $9 + 1 = 10$ ઈલેક્ટ્રોન. $Al^{3+}$ $(Z=13)$ માટે: $13 - 3 = 10$ ઈલેક્ટ્રોન. તેથી,$F^{-}, Al^{3+}$ એ આઈસો-ઈલેક્ટ્રોનિક જોડી છે.
તેથી,જે જોડી આઈસો-ઈલેક્ટ્રોનિક નથી તે $N^{2-}, O^{2-}$ છે.

(A) વિધાન $A$ સાચું છે: ન્યુક્લિયર ત્રિજ્યા $R$ એ દળ ક્રમાંક $A$ સાથે $R = R_0 A^{1/3}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે,જ્યાં $R_0 \approx 1.2 \times 10^{-15} \ m$ છે.

(D) ફોટોનની ઉર્જા $E$ એ $E = h \nu = \frac{hc}{\lambda} = hc \bar{\nu}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\bar{\nu}$ એ તરંગ સંખ્યા છે.
તરંગ સંખ્યા માટે સૂત્ર: $\bar{\nu} = \frac{E}{hc}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\bar{\nu} = \frac{19.875 \times 10^{-13} \ erg}{(6.625 \times 10^{-27} \ erg \ sec) \times (3 \times 10^{10} \ cm \ sec^{-1})}$.
$\bar{\nu} = \frac{19.875 \times 10^{-13}}{19.875 \times 10^{-17}} \ cm^{-1} = 10^4 \ cm^{-1} = 10000 \ cm^{-1}$.

(NONE) તરંગ સંખ્યા $(\bar{\nu})$ નો એકમ $cm^{-1}$ અથવા $m^{-1}$ છે. રિડબર્ગ અચળાંક $(R_H)$ પણ સમાન એકમો ($cm^{-1}$ અથવા $m^{-1}$) ધરાવે છે,તેથી વિધાન $A$ સાચું છે.
લાયમન શ્રેણી $n=1$ ઉર્જા સ્તર પરના સંક્રમણને અનુરૂપ છે,જે અલ્ટ્રાવાયોલેટ વિસ્તારમાં આવે છે,તેથી વિધાન $B$ સાચું છે.
કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $mvr = \frac{nh}{2 \pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ભૂમિ અવસ્થા માટે,$n=1$,તેથી કોણીય વેગમાન $\frac{h}{2 \pi}$ છે,તેથી વિધાન $C$ સાચું છે.
પ્રથમ બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યા $a_0 = 0.529 \ \mathring{A} = 0.529 \times 10^{-8} \ cm$ છે. આ પણ સાચું છે.
પ્રમાણિત પરમાણુ સિદ્ધાંત મુજબ બધા વિધાનો સાચા હોવાથી,આપેલા વિકલ્પોમાં કોઈ વિધાન ખોટું નથી.

(C) ભૌતિક અધિશોષણ (physisorption) એ અધિશોષિત અને અધિશોષક વચ્ચેના નિર્બળ વાન્ડર વાલ્સ બળો દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે.
$1$. આ એક ઉષ્માક્ષેપક પ્રક્રિયા છે,તેથી તાપમાન વધવાથી તે ઘટે છે.
$2$. વાન્ડર વાલ્સ બળોની બિન-વિશિષ્ટ પ્રકૃતિને કારણે તે બહુસ્તરીય છે.
$3$. અધિશોષણની એન્થાલ્પી ઓછી હોય છે,જે સામાન્ય રીતે $20-40 \ kJ \ mol^{-1}$ ની રેન્જમાં હોય છે.
$4$. તેમાં નિર્બળ બળો સામેલ હોવાથી,ભૌતિક અધિશોષણ માટે જરૂરી સક્રિયકરણ ઊર્જા ખૂબ ઓછી હોય છે,ઊંચી નહીં.
તેથી,ભૌતિક અધિશોષણની સક્રિયકરણ ઊર્જા ખૂબ ઊંચી હોય છે તે વિધાન ખોટું છે.

(B) થર્મો e.m.f $E$ સમીકરણ $E = 16T - 0.04T^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇન્વર્ઝન તાપમાન $(T_i)$ પર,થર્મો e.m.f $E$ શૂન્ય થાય છે.
$E = 0$ લેતા:
$0 = 16T_i - 0.04T_i^2$
$16T_i = 0.04T_i^2$
$T_i = \frac{16}{0.04} = 400^{\circ} C$.
તટસ્થ તાપમાન $(T_n)$ એ ઠંડા જંકશનના તાપમાન $(T_c)$ અને ઇન્વર્ઝન તાપમાન $(T_i)$ ની સરેરાશ છે.
અહીં $T_c = 0^{\circ} C$ આપેલ છે:
$T_n = \frac{T_i + T_c}{2} = \frac{400 + 0}{2} = 200^{\circ} C$.
આમ,ઇન્વર્ઝન તાપમાન $400^{\circ} C$ છે અને તટસ્થ તાપમાન $200^{\circ} C$ છે.

(C) રિવર્બરેશન સમય $T$ એ સેબિનના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $T = \frac{0.161 V}{\sum A}$,જ્યાં $V$ એ ઓડિટોરિયમનું કદ છે અને $\sum A$ એ કુલ શોષણ છે.
આપેલ છે: $V = 10^5 \ m^3$,કુલ શોષણ ક્ષેત્રફળ $S = 2 \times 10^4 \ m^2$,અને સરેરાશ શોષણ ગુણાંક $a = 0.2$.
કુલ શોષણ $\sum A = a \times S = 0.2 \times 2 \times 10^4 = 4000 \ m^2$ થાય.
પાઠ્યપુસ્તકોમાં વપરાતા પ્રમાણિત અચળાંક $0.17$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T = \frac{0.17 \times V}{a \times S} = \frac{0.17 \times 10^5}{0.2 \times 2 \times 10^4} = \frac{17000}{4000} = 4.25 \ s$.

(D) આપેલ છે: $\lambda_1 = 0.26 \mu m$,$\lambda_2 = 0.13 \mu m$.
વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,$\lambda_m T = \text{અચળ}$.
તેથી,$\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2$.
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{0.13}{0.26} = \frac{1}{2}$.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થની કુલ ઉત્સર્જક શક્તિ $E$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના ચતુર્થ ઘાતને સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E \propto T^4$.
આમ,ઉત્સર્જક શક્તિઓનો ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^4$ થશે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{E_1}{E_2} = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$.
તેથી,ગુણોત્તર $1:16$ છે.

(C) કંપન કરતા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ લંબાઈ,$T$ એ તણાવ અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
તારનું દળ $M$ અચળ હોવાથી,$\mu = \frac{M}{l}$. આ કિંમત મૂકતા,$n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T \cdot l}{M}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{T}{M \cdot l}}$.
આમ,$n \propto \frac{1}{\sqrt{l}}$.
અહીં $30^{\circ} C$ તાપમાને $n_1 = 1 \ kHz$ અને $10^{\circ} C$ તાપમાને $n_2 = 1.001 \ kHz$ આપેલ છે,તેથી $\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$.
$\frac{1}{1.001} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}} \Rightarrow \frac{l_2}{l_1} = \frac{1}{(1.001)^2} \approx 1 - 2(0.001) = 0.998$.
રેખીય પ્રસરણના સૂત્ર $l_2 = l_1(1 - \alpha \Delta t)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\Delta t = 30^{\circ} C - 10^{\circ} C = 20^{\circ} C$.
$\frac{l_2}{l_1} = 1 - \alpha(20) = 1 - 0.002$.
$20 \alpha = 0.002 \Rightarrow \alpha = \frac{0.002}{20} = 0.0001 = 1 \times 10^{-4} /^{\circ} C$.

(A) ઘન ગોળાની ચાકગતિ ઉર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
ઘન ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} m r^2$ છે.
કોણીય વેગ $\omega = 2 \pi n$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$KE = \frac{1}{2} \times (\frac{2}{5} m r^2) \times (2 \pi n)^2 = \frac{1}{5} m r^2 \times 4 \pi^2 n^2 = \frac{4}{5} m r^2 \pi^2 n^2$.
આપેલ છે કે આ ઉર્જાના $50 \%$ તાપમાન વધારવા માટે વપરાય છે,તેથી ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $\Delta Q$ છે:
$\Delta Q = \frac{1}{2} \times KE = \frac{1}{2} \times (\frac{4}{5} m r^2 \pi^2 n^2) = \frac{2}{5} m r^2 \pi^2 n^2$.
$\Delta Q = m S \Delta t$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $S$ વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે અને $\Delta t$ તાપમાનમાં થતો વધારો છે:
$m S \Delta t = \frac{2}{5} m r^2 \pi^2 n^2$.
$\Delta t$ માટે ઉકેલતા:
$\Delta t = \frac{2 \pi^2 n^2 r^2}{5 S}$.

(D) પ્રવાહીના વાસ્તવિક વિસ્તરણનો સહગુણક અચળ હોય છે અને તે નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\gamma_{\text{real}} = \gamma_{\text{app}} + \gamma_{\text{vessel}}$.
પાત્ર $A$ માટે,આભાસી વિસ્તરણનો સહગુણક $\gamma_1$ છે અને રેખીય વિસ્તરણનો સહગુણક $\alpha$ છે. તેથી,કદ વિસ્તરણનો સહગુણક $\gamma_A = 3\alpha$ થશે.
તેથી,$\gamma_{\text{real}} = \gamma_1 + 3\alpha$.
પાત્ર $B$ માટે,આભાસી વિસ્તરણનો સહગુણક $\gamma_2$ છે અને ધારો કે રેખીય વિસ્તરણનો સહગુણક $\alpha_B$ છે. તેથી,કદ વિસ્તરણનો સહગુણક $\gamma_B = 3\alpha_B$ થશે.
તેથી,$\gamma_{\text{real}} = \gamma_2 + 3\alpha_B$.
કારણ કે $\gamma_{\text{real}}$ બંને કિસ્સાઓમાં પ્રવાહી માટે સમાન છે,આપણે બંને સમીકરણોને સરખાવીએ:
$\gamma_1 + 3\alpha = \gamma_2 + 3\alpha_B$.
$\alpha_B$ માટે ગોઠવતા:
$3\alpha_B = \gamma_1 - \gamma_2 + 3\alpha$.
$\alpha_B = \frac{\gamma_1 - \gamma_2}{3} + \alpha$.

(B) આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,આંતરિક ઉર્જામાં વધારો $\Delta U = n C_v (T_2 - T_1)$ છે.
આપેલ છે:
$n = 5 \ mol$
$T_1 = 0^{\circ} C = 273.15 \ K$
$T_2 = 400^{\circ} C = 673.15 \ K$
$\Delta T = T_2 - T_1 = 400 \ K$
$\gamma = 7/5 = 1.4$
$C_v = \frac{R}{\gamma - 1} = \frac{8.30}{1.4 - 1} = \frac{8.30}{0.4} = 20.75 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$.
$\Delta U$ ની ગણતરી:
$\Delta U = 5 \times 20.75 \times 400 \ J$
$\Delta U = 41500 \ J = 41.50 \ kJ$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,આંતરિક ઉર્જામાં વધારો $41.55 \ kJ$ છે.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $PV = nRT = \frac{m}{M}RT$
આપેલ છે: $P = 760 \text{ mm of Hg} = 1 \text{ atm}$,$V = 11.2 \text{ L}$,$T = 27^{\circ}C = 300 \text{ K}$,$M = 32 \text{ g/mol}$,$R = 0.0821 \text{ L atm K}^{-1} \text{ mol}^{-1}$.
દળ $m$ માટે સૂત્ર: $m = \frac{PVM}{RT}$
$m = \frac{1 \times 11.2 \times 32}{0.0821 \times 300}$
$m = \frac{358.4}{24.63} \approx 14.55 \text{ g}$
કિલોગ્રામમાં રૂપાંતર કરતા: $m = \frac{14.55}{1000} \approx 0.01456 \text{ kg}$.

(A) વાન્ડર વાલ્સ વાયુ સમીકરણ $(P+\frac{a}{V^2})(V-b)=nRT$ છે.
સંગતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ઉમેરવામાં આવતા અથવા બાદ કરવામાં આવતા પદોના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
$\frac{a}{V^2}$ નું પરિમાણ = $P$ નું પરિમાણ.
તેથી,$[a] = [V^2] \times [P] = [L^3]^2 \times [ML^{-1} T^{-2}] = [ML^5 T^{-2}]$.
$b$ નું પરિમાણ = $V$ નું પરિમાણ = $[L^3]$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{b}{a} = \frac{[L^3]}{[ML^5 T^{-2}]} = [M^{-1} L^{-2} T^2]$.

(A) મિથેનની દહન પ્રક્રિયા છે: $CH_{4(g)} + 2O_{2(g)} \rightarrow CO_{2(g)} + 2H_2O_{(l)} \quad \Delta H = ?$
આ મેળવવા માટે,આપણે આપેલા સમીકરણોમાં ફેરફાર કરીએ છીએ:
$1$. સમીકરણ $(I)$ ને ઉલટાવો: $CH_{4(g)} \rightarrow C_{(graphite)} + 2H_{2(g)} \quad \Delta H = +74.8 \ kJ$
$2$. સમીકરણ $(II)$ ને એમ જ રાખો: $C_{(graphite)} + O_{2(g)} \rightarrow CO_{2(g)} \quad \Delta H = -393.5 \ kJ$
$3$. સમીકરણ $(III)$ ને $2$ વડે ગુણો: $2H_{2(g)} + O_{2(g)} \rightarrow 2H_2O_{(l)} \quad \Delta H = 2 \times (-286.2) = -572.4 \ kJ$
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $CH_{4(g)} + 2O_{2(g)} \rightarrow CO_{2(g)} + 2H_2O_{(l)}$
$\Delta H = 74.8 - 393.5 - 572.4 = -891.1 \ kJ$

(C) આપેલ છે: $\lambda = 6000 \text{ } \mathring{A} = 6 \times 10^{-7} \text{ m}$ અને પથ તફાવત $\Delta x = 1.5 \text{ } \mu\text{m} = 1.5 \times 10^{-6} \text{ m}$.
સહાયક વ્યતિકરણ (પ્રકાશિત શલાકા) માટે, પથ તફાવત $\Delta x = n\lambda$ હોય છે, જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$.
$n = \frac{\Delta x}{\lambda} = \frac{1.5 \times 10^{-6}}{6 \times 10^{-7}} = \frac{15}{6} = 2.5$.
અહીં $n$ પૂર્ણાંક નથી, તેથી તે પ્રકાશિત શલાકા નથી.
વિનાશક વ્યતિકરણ (અપ્રકાશિત શલાકા) માટે, પથ તફાવત $\Delta x = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$ હોય છે, જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$.
$1.5 \times 10^{-6} = (2n + 1) \times \frac{6 \times 10^{-7}}{2}$.
$1.5 \times 10^{-6} = (2n + 1) \times 3 \times 10^{-7}$.
$2n + 1 = \frac{1.5 \times 10^{-6}}{3 \times 10^{-7}} = 5$.
$2n = 4 \Rightarrow n = 2$.
$n = 0$ માટે પ્રથમ અપ્રકાશિત શલાકા, $n = 1$ માટે બીજી અપ્રકાશિત શલાકા અને $n = 2$ માટે ત્રીજી અપ્રકાશિત શલાકા મળે છે. આમ, બિંદુ $P$ પર ત્રીજી અપ્રકાશિત શલાકા મળે છે.

(D) ઢળતા સમતલ પર ઉપર તરફ ગતિ કરતા પદાર્થ પર લાગતા બળોમાં ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin \theta$ અને ઘર્ષણ બળ $f = \mu R = \mu mg \cos \theta$ છે,જે બંને સમતલની નીચેની દિશામાં લાગે છે.
કુલ અવરોધક બળ $F_{net} = mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta = mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ છે.
મંદન (deceleration) $a = \frac{F_{net}}{m} = g(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,બધા બળો દ્વારા થયેલું કાર્ય ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W_{total} = \Delta K = K_f - K_i = 0 - E = -E$.
કુલ કાર્ય એ ગુરુત્વાકર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય $(W_g)$ અને ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય $(W_f)$ નો સરવાળો છે:
$W_g + W_f = -E$.
અહીં $W_g = -mg \sin \theta \cdot s$ અને $W_f = -\mu mg \cos \theta \cdot s$ છે,જ્યાં $s$ એ સમતલ પર કાપેલું અંતર છે:
$s = \frac{v^2}{2a} = \frac{u^2}{2g(\sin \theta + \mu \cos \theta)} = \frac{2E/m}{2g(\sin \theta + \mu \cos \theta)} = \frac{E}{mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)}$.
ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય $W_f = \mu mg \cos \theta \cdot s = \mu mg \cos \theta \cdot \frac{E}{mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)} = \frac{\mu E \cos \theta}{\sin \theta + \mu \cos \theta}$ થાય.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 2 ~kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$,$t = 4 ~s$ સમયે અંતિમ વેગ $v = 20 ~ms^{-1}$.
સૌ પ્રથમ,$v = u + at$ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને સમાન પ્રવેગ $a$ શોધો:
$a = \frac{v - u}{t} = \frac{20 - 0}{4} = 5 ~ms^{-2}$.
પદાર્થ પર લાગતું બળ $F = ma = 2 ~kg \times 5 ~ms^{-2} = 10 ~N$.
હવે,$t' = 2 ~s$ સમયે પદાર્થનો વેગ $v'$ શોધવા માટે $v' = u + at'$ નો ઉપયોગ કરો:
$v' = 0 + 5 \times 2 = 10 ~ms^{-1}$.
$t' = 2 ~s$ સમયે પદાર્થ પર લાગતો પાવર $P = F \times v'$ છે:
$P = 10 ~N \times 10 ~ms^{-1} = 100 ~W$.

(D) આલ્કલાઇન ફોર્માલ્ડિહાઇડ દ્રાવણ $H_2 O_2$ સાથે નીચે મુજબ પ્રક્રિયા કરે છે:
$2HCHO + H_2 O_2 \rightarrow 2HCOOH + H_2 \uparrow$
આ પ્રક્રિયામાં,ફોર્માલ્ડિહાઇડ $(HCHO)$ નું ફોર્મિક એસિડ $(HCOOH)$ માં ઓક્સિડેશન થાય છે અને હાઇડ્રોજન વાયુ $(H_2)$ મુક્ત થાય છે.

(C) એસીટીલીન $(HC \equiv CH)$ નું આલ્કલાઇન પોટેશિયમ પરમેંગેનેટ $(KMnO_4 / KOH)$ ની હાજરીમાં $25^{\circ}C$ તાપમાને ઓક્સિડેશન થવાથી ઓક્ઝેલિક એસિડ $(HOOC-COOH)$ બને છે.
આ પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે:
$HC \equiv CH + 4[O] \xrightarrow{KMnO_4 / KOH, 25^{\circ}C} HOOC-COOH$

(A) નિશ્ચિત બિંદુથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_{cm}$ નું અંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$x_{cm} = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$x_{cm} = \frac{m(l) + 2m(2l) + 3m(3l) + \ldots + nm(nl)}{m + 2m + 3m + \ldots + nm}$
$x_{cm} = \frac{ml(1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2)}{m(1 + 2 + 3 + \ldots + n)}$
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રો $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x_{cm} = \frac{l \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{\frac{n(n+1)}{2}}$
$x_{cm} = l \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \cdot \frac{2}{n(n+1)}$
$x_{cm} = \frac{l(2n+1)}{3}$

(B) $NH_4^{+}$ નો સંયુગ્મી બેઝ તેમાંથી પ્રોટોન $(H^{+})$ દૂર કરીને મેળવવામાં આવે છે.
$NH_4^{+} \rightarrow NH_3 + H^{+}$.
સંયુગ્મી બેઝ $NH_3$ છે.
$NH_3$ માં,મધ્યસ્થ નાઇટ્રોજન પરમાણુ પાસે $3$ બંધકારક ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મ અને $1$ અબંધકારક ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મ છે.
કુલ ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મ = $3 + 1 = 4$.
તેથી,નાઇટ્રોજન પરમાણુની સંકરણ અવસ્થા $sp^3$ છે.