AP EAMCET 2001 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया सीमा: $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x(10^x - 1)}{1 - \cos x}$.
यह $\frac{0}{0}$ रूप है,इसलिए $L$-Hospital नियम का उपयोग करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \cdot 10^x \ln 10 + (10^x - 1)}{\sin x}$.
पुनः $\frac{0}{0}$ रूप होने पर,$L$-Hospital नियम का उपयोग करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \cdot 10^x (\ln 10)^2 + 10^x \ln 10 + 10^x \ln 10}{\cos x}$.
$x = 0$ रखने पर:
$L = \frac{0 + \ln 10 + \ln 10}{1} = 2 \ln 10$.

(D) स्टाइरीन $(C_6H_5CH=CH_2)$ को बेंजीन $(C_6H_6)$ से दो चरणों में तैयार किया जाता है:
$1$. बेंजीन $AlCl_3$ की उपस्थिति में एथिलीन $(CH_2=CH_2)$ के साथ अभिक्रिया करके एथिलबेंजीन $(C_6H_5CH_2CH_3)$ बनाता है।
$2$. इसके बाद एथिलबेंजीन का उच्च तापमान (लगभग $700 \ ^\circ C$) पर उत्प्रेरक (जैसे आयरन ऑक्साइड या $Al_2O_3$) का उपयोग करके डिहाइड्रोजनीकरण किया जाता है,जिससे स्टाइरीन और हाइड्रोजन गैस $(H_2)$ प्राप्त होती है।
अतः,स्टाइरीन के निर्माण में बेंजीन का उपयोग किया जाता है।

(B) ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$ है।
इन मानों को पहले पद में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\cos C+\cos A}{c+a} = \frac{2 \cos \frac{C+A}{2} \cos \frac{C-A}{2}}{2R(\sin C+\sin A)} = \frac{2 \cos \frac{C+A}{2} \cos \frac{C-A}{2}}{2R(2 \sin \frac{C+A}{2} \cos \frac{C-A}{2})} = \frac{1}{2R} \cot \frac{C+A}{2}$.
चूंकि $A+B+C = \pi$,इसलिए $\frac{C+A}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{B}{2}$,अतः $\cot \frac{C+A}{2} = \tan \frac{B}{2}$।
इस प्रकार,पहला पद $\frac{1}{2R} \tan \frac{B}{2}$ है।
दूसरे पद के लिए:
$\frac{\cos B}{b} = \frac{\cos B}{2R \sin B} = \frac{1}{2R} \cot B = \frac{1}{2R} \left( \frac{1-\tan^2 \frac{B}{2}}{2 \tan \frac{B}{2}} \right)$।
दोनों पदों को जोड़ने पर:
$\frac{1}{2R} \left( \tan \frac{B}{2} + \frac{1-\tan^2 \frac{B}{2}}{2 \tan \frac{B}{2}} \right) = \frac{1}{2R} \left( \frac{2 \tan^2 \frac{B}{2} + 1 - \tan^2 \frac{B}{2}}{2 \tan \frac{B}{2}} \right) = \frac{1}{2R} \left( \frac{1+\tan^2 \frac{B}{2}}{2 \tan \frac{B}{2}} \right) = \frac{1}{2R \sin B} = \frac{1}{b}$।

(D) दिया गया है,$\frac{a}{b^2-c^2} + \frac{c}{b^2-a^2} = 0$.
ज्या नियम (sine rule) $a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,$c = 2R \sin C$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2R \sin A}{4R^2(\sin^2 B - \sin^2 C)} + \frac{2R \sin C}{4R^2(\sin^2 B - \sin^2 A)} = 0$
$\frac{\sin A}{\sin(B+C)\sin(B-C)} + \frac{\sin C}{\sin(B+A)\sin(B-A)} = 0$
चूंकि $A+B+C = \pi$,इसलिए $\sin(B+C) = \sin A$ और $\sin(B+A) = \sin C$:
$\frac{\sin A}{\sin A \sin(B-C)} + \frac{\sin C}{\sin C \sin(B-A)} = 0$
$\frac{1}{\sin(B-C)} + \frac{1}{\sin(B-A)} = 0$
$\sin(B-A) = -\sin(B-C) = \sin(C-B)$
$2B = A+C$. चूंकि $A+B+C = \pi$,इसलिए $A+C = \pi - B$.
$2B = \pi - B$ $\Rightarrow 3B = \pi$ $\Rightarrow B = \frac{\pi}{3}$.

(B) हम जानते हैं कि $a = 2R \sin A$ और $c = 2R \sin C$। इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$a^2 \sin 2C + c^2 \sin 2A = (2R \sin A)^2 (2 \sin C \cos C) + (2R \sin C)^2 (2 \sin A \cos A)$
$= 8R^2 \sin^2 A \sin C \cos C + 8R^2 \sin^2 C \sin A \cos A$
$= 8R^2 \sin A \sin C [\sin A \cos C + \cos A \sin C]$
$= 8R^2 \sin A \sin C \sin(A + C)$
चूँकि $A + B + C = 180^{\circ}$,इसलिए $\sin(A + C) = \sin B$।
$= 8R^2 \sin A \sin B \sin C$
त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र $\Delta = \frac{abc}{4R}$ का उपयोग करने पर,$abc = 4R\Delta$। साथ ही,$\sin A = \frac{a}{2R}$,$\sin B = \frac{b}{2R}$,और $\sin C = \frac{c}{2R}$।
$= 8R^2 \left( \frac{a}{2R} \right) \left( \frac{b}{2R} \right) \left( \frac{c}{2R} \right) = \frac{abc}{R} = \frac{4R\Delta}{R} = 4\Delta$.

(D) माना टॉवर $AB$ की ऊँचाई $h$ है और जब सूर्य का उन्नयन कोण $45^{\circ}$ है,तब छाया की लंबाई $x$ है।
$\triangle ABD$ में,$\tan 45^{\circ} = \frac{AB}{AD} = \frac{h}{x}$. चूँकि $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए $h = x$ है।
$\triangle ABC$ में,छाया की लंबाई $AC = AD + DC = x + 60$ है। सूर्य का उन्नयन कोण $30^{\circ}$ है।
$\tan 30^{\circ} = \frac{AB}{AC} = \frac{h}{x + 60}$.
$x = h$ रखने पर,$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{h + 60}$ प्राप्त होता है।
$h + 60 = h\sqrt{3}$.
$60 = h(\sqrt{3} - 1)$.
$h = \frac{60}{\sqrt{3} - 1}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $h = \frac{60(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{60(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{60(\sqrt{3} + 1)}{2} = 30(\sqrt{3} + 1) \ m$.

(B) एक वर्ग आव्यूह को अदिश आव्यूह कहा जाता है यदि उसके सभी विकर्ण तत्व एक स्थिरांक $k$ के बराबर हों और सभी गैर-विकर्ण तत्व शून्य हों।
यह दिया गया है कि $i \neq j$ के लिए $a_{ij} = 0$ और $i = j$ के लिए $a_{ij} = k$,यह परिभाषा अदिश आव्यूह की परिभाषा से पूरी तरह मेल खाती है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 3 & -4 \end{bmatrix}$.
तब $hA = \begin{bmatrix} 0 & 2h \\ 3h & -4h \end{bmatrix}$.
हमें दिया गया है $hA = \begin{bmatrix} 0 & 3a \\ 2b & 24 \end{bmatrix}$.
संगत अवयवों की तुलना करने पर:
$1$) $-4h = 24 \implies h = -6$.
$2$) $2h = 3a \implies 2(-6) = 3a \implies -12 = 3a \implies a = -4$.
$3$) $3h = 2b \implies 3(-6) = 2b \implies -18 = 2b \implies b = -9$.
अतः,$h, a, b$ के मान क्रमशः $-6, -4, -9$ हैं।

(C) दिया गया सारणिक:
$\left|\begin{array}{cc}1-i & i \\ 1+2 i & -i\end{array}\right| = (1-i)(-i) - (i)(1+2i)$
पदों का विस्तार करने पर:
$= (-i + i^2) - (i + 2i^2)$
चूंकि $i^2 = -1$:
$= (-i - 1) - (i - 2)$
$= -i - 1 - i + 2$
$= 1 - 2i$
इसे $x + iy$ के साथ तुलना करने पर:
$x + iy = 1 - 2i$
अतः,$x = 1$ और $y = -2$।

(A) हम जानते हैं कि $(B^{-1} A^{-1})^{-1} = (A^{-1})^{-1} (B^{-1})^{-1} = AB$ होता है।
दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ है।
अब,$AB$ का गुणनफल ज्ञात करते हैं:
$AB = \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} (-2)(0) + (2)(1) & (-2)(-1) + (2)(0) \\ (-3)(0) + (2)(1) & (-3)(-1) + (2)(0) \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} 0 + 2 & 2 + 0 \\ 0 + 2 & 3 + 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$.

(C) माना $\theta = \tan ^{-1} 2$,तो $\tan \theta = 2$ है। हम जानते हैं कि $\sec ^2 \theta = 1 + \tan ^2 \theta$ होता है।
अतः,$\sec ^2(\tan ^{-1} 2) = 1 + (2)^2 = 1 + 4 = 5$।
माना $\phi = \cot ^{-1} 3$,तो $\cot \phi = 3$ है। हम जानते हैं कि $\operatorname{cosec}^2 \phi = 1 + \cot ^2 \phi$ होता है।
अतः,$\operatorname{cosec}^2(\cot ^{-1} 3) = 1 + (3)^2 = 1 + 9 = 10$।
इन मानों को जोड़ने पर,हमें $5 + 10 = 15$ प्राप्त होता है।

(D) माना कि $\theta = \sinh^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)$.
तब,$\sinh \theta = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.
हम जानते हैं कि $\cosh^2 \theta = 1 + \sinh^2 \theta$.
$\sinh \theta$ का मान रखने पर:
$\cosh^2 \theta = 1 + \left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)^2 = 1 + \frac{x^2}{1-x^2} = \frac{1-x^2+x^2}{1-x^2} = \frac{1}{1-x^2}$.
अतः,$\cosh \theta = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ (धनात्मक वर्गमूल लेने पर क्योंकि $\cosh \theta > 0$).
अब,$\tanh \theta = \frac{\sinh \theta}{\cosh \theta} = \frac{x/\sqrt{1-x^2}}{1/\sqrt{1-x^2}} = x$.
इस प्रकार,$\theta = \tanh^{-1} x$.
अतः,$\sinh^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \tanh^{-1} x$.

(B) दिए गए फलन $f(x)$ के लिए:
$1$. $x = -1.75$ के लिए,चूँकि $-1.75 \leq -1$,हम $f(x) = x + 2$ का उपयोग करते हैं। अतः,$f(-1.75) = -1.75 + 2 = 0.25$ प्राप्त होता है।
$2$. $x = 0.5$ के लिए,चूँकि $-1 < 0.5 < 1$,हम $f(x) = x^2$ का उपयोग करते हैं। अतः,$f(0.5) = (0.5)^2 = 0.25$ प्राप्त होता है।
$3$. $x = 1.5$ के लिए,चूँकि $1.5 \geq 1$,हम $f(x) = 2 - x$ का उपयोग करते हैं। अतः,$f(1.5) = 2 - 1.5 = 0.5$ प्राप्त होता है।
इन मानों का योग: $f(-1.75) + f(0.5) + f(1.5) = 0.25 + 0.25 + 0.5 = 1$।

(D) $f$ एकैकी है या नहीं यह जाँचने के लिए: यदि $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$ हो,तो फलन एकैकी होता है। $x_1 = 1$ और $x_2 = 3$ लें। दोनों विषम पूर्णांक हैं। अतः,$f(1) = 0$ और $f(3) = 0$ है। चूँकि $f(1) = f(3)$ है लेकिन $1 \neq 3$,इसलिए फलन एकैकी नहीं है।
$f$ आच्छादक है या नहीं यह जाँचने के लिए: यदि प्रत्येक $y \in Z$ के लिए,एक ऐसा $x \in Z$ मौजूद हो कि $f(x) = y$ हो,तो फलन आच्छादक होता है। $y = 3$ लें। यदि $x$ सम है,तो $\frac{x}{2} = 3 \implies x = 6$। यदि $x$ विषम है,तो $f(x) = 0$। यहाँ कोई ऐसा $x$ नहीं है जिसके लिए $f(x) = 3$ हो,क्योंकि $3$ एक सम संख्या का आधा नहीं है और यह $0$ भी नहीं है। अतः,फलन आच्छादक नहीं है।
इसलिए,$f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(D) दिया गया है $f(x) = (20 - x^4)^{1/4}$.
सबसे पहले,हम $f(1/2)$ की गणना करते हैं:
$f(1/2) = (20 - (1/2)^4)^{1/4} = (20 - 1/16)^{1/4} = ((320 - 1)/16)^{1/4} = (319/16)^{1/4}$.
अब,हम $f(f(1/2)) = f((319/16)^{1/4})$ की गणना करते हैं:
$f((319/16)^{1/4}) = (20 - ((319/16)^{1/4})^4)^{1/4}$.
$= (20 - 319/16)^{1/4}$.
$= ((320 - 319)/16)^{1/4}$.
$= (1/16)^{1/4}$.
$= (1/2^4)^{1/4} = 1/2 = 2^{-1}$.

(C) दिया गया है $x = \log_{0.1} 0.001$। चूंकि $0.001 = (0.1)^3$,इसलिए $x = \log_{0.1} (0.1)^3 = 3 \log_{0.1} 0.1 = 3(1) = 3$।
दिया गया है $y = \log_9 81$। चूंकि $81 = 9^2$,इसलिए $y = \log_9 9^2 = 2 \log_9 9 = 2(1) = 2$।
अब,हमें $\sqrt{x - 2\sqrt{y}}$ का मान ज्ञात करना है।
$x$ और $y$ के मान रखने पर,हमें $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
हम $3 - 2\sqrt{2}$ को $(\sqrt{2})^2 + 1^2 - 2(\sqrt{2})(1) = (\sqrt{2} - 1)^2$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$\sqrt{x - 2\sqrt{y}} = \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2} = \sqrt{2} - 1$।

(B) दिया गया वक्र समीकरण: $6y = 7 - x^3$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$6 \frac{dy}{dx} = -3x^2$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2}{6} = -\frac{x^2}{2}$।
बिंदु $(1, 1)$ पर,ढाल $m$ है:
$m = -\frac{(1)^2}{2} = -\frac{1}{2}$।
बिंदु $(1, 1)$ से गुजरने वाली और $m = -\frac{1}{2}$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण है:
$y - y_1 = m(x - x_1)$
$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1)$
$2(y - 1) = -(x - 1)$
$2y - 2 = -x + 1$
$x + 2y = 3$।

(C) माना $M = xy$.
दिया गया है $x+y = 7$,इसलिए $y = 7-x$.
$M$ में $y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $M = x(7-x) = 7x - x^2$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,$M$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dM}{dx} = 7 - 2x$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$\frac{dM}{dx} = 0$ रखने पर,$7 - 2x = 0$,जिससे $x = \frac{7}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करने पर: $\frac{d^2M}{dx^2} = -2$.
चूंकि $\frac{d^2M}{dx^2} < 0$ है,इसलिए फलन $M$ का मान $x = \frac{7}{2}$ पर अधिकतम है।
अधिकतम मान $M = \frac{7}{2}(7 - \frac{7}{2}) = \frac{7}{2}(\frac{7}{2}) = \frac{49}{4}$ है।

(B) माना $I = \int \frac{dx}{\sqrt{x}(x+9)}$.
$x = t^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2t \, dt$ प्राप्त होता है।
अतः समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \int \frac{2t \, dt}{t(t^2 + 9)} = \int \frac{2 \, dt}{t^2 + 3^2}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1} \left(\frac{x}{a}\right) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \cdot \frac{1}{3} \tan^{-1} \left(\frac{t}{3}\right) + C$.
अब $t = \sqrt{x}$ रखने पर:
$I = \frac{2}{3} \tan^{-1} \left(\frac{\sqrt{x}}{3}\right) + C$.

(A) समाकलन $I = \int \frac{dx}{a^2 \sin^2 x + b^2 \cos^2 x}$ को हल करने के लिए,अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करें:
$I = \int \frac{\sec^2 x dx}{a^2 \tan^2 x + b^2}$
मान लीजिए $u = \tan x$,तब $du = \sec^2 x dx$:
$I = \int \frac{du}{a^2 u^2 + b^2} = \frac{1}{a^2} \int \frac{du}{u^2 + (b/a)^2}$
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{x^2 + k^2} = \frac{1}{k} \tan^{-1}\left(\frac{x}{k}\right) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{a^2} \cdot \frac{1}{b/a} \tan^{-1}\left(\frac{u}{b/a}\right) + C$
$I = \frac{1}{ab} \tan^{-1}\left(\frac{a \tan x}{b}\right) + C$

(NONE OF THE ABOVE) समाकलन $\int_{-2}^1 f(x) dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम समाकलन को $x=0$ पर विभाजित करते हैं क्योंकि इस बिंदु पर फलन की परिभाषा बदल जाती है।
$\int_{-2}^1 f(x) dx = \int_{-2}^0 f(x) dx + \int_0^1 f(x) dx$
प्रत्येक अंतराल के लिए $f(x)$ की दी गई परिभाषाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$= \int_{-2}^0 (1-2x) dx + \int_0^1 (1+2x) dx$
अब,प्रत्येक भाग का समाकलन करने पर:
$= [x - x^2]_{-2}^0 + [x + x^2]_0^1$
निश्चित समाकलनों का मान ज्ञात करने पर:
$= (0 - 0) - (-2 - (-2)^2) + (1 + 1^2) - (0 + 0^2)$
$= 0 - (-2 - 4) + (1 + 1) - 0$
$= -(-6) + 2 = 6 + 2 = 8$

(D) यहाँ हम निश्चित समाकलन के लिए वॉलिस सूत्र का उपयोग करेंगे: $\int_0^{\pi / 2} \sin^m x \cos^n x \, dx = \frac{[(m-1)(m-3)\dots] \times [(n-1)(n-3)\dots]}{(m+n)(m+n-2)\dots} \times \frac{\pi}{2}$ (यदि $m$ और $n$ दोनों सम संख्याएँ हैं)।
यहाँ $m=8$ और $n=2$ है,जो दोनों सम संख्याएँ हैं।
$\int_0^{\pi / 2} \sin^8 x \cos^2 x \, dx = \frac{(7 \times 5 \times 3 \times 1) \times (1)}{(10 \times 8 \times 6 \times 4 \times 2)} \times \frac{\pi}{2}$
$= \frac{105}{3840} \times \frac{\pi}{2}$
$= \frac{105 \pi}{7680}$
अंश और हर को $15$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{7 \pi}{512}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int_{-1}^1 (a x^3 + b x) d x$.
यहाँ फलन $f(x) = a x^3 + b x$ एक विषम फलन (odd function) है क्योंकि $f(-x) = a(-x)^3 + b(-x) = -(a x^3 + b x) = -f(x)$.
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^a f(x) d x = 0$ होता है।
वैकल्पिक रूप से,समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$\int_{-1}^1 (a x^3 + b x) d x = \left[ a \frac{x^4}{4} + b \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^1$
$= \left( \frac{a(1)^4}{4} + \frac{b(1)^2}{2} \right) - \left( \frac{a(-1)^4}{4} + \frac{b(-1)^2}{2} \right)$
$= \left( \frac{a}{4} + \frac{b}{2} \right) - \left( \frac{a}{4} + \frac{b}{2} \right) = 0$.
यह परिणाम $a$ और $b$ के किसी भी वास्तविक मान के लिए सत्य है।

(C) $n$ अंतराल और $h$ चौड़ाई के लिए ट्रेपेज़ॉइडल नियम इस प्रकार है:
$\int_{x_1}^{x_n} y \, dx \approx \frac{h}{2} [y_1 + 2(y_2 + y_3 + \dots + y_{n-1}) + y_n]$
यहाँ,मान $x_1=1, x_2=2, x_3=3, x_4=4$ हैं,इसलिए अंतराल की चौड़ाई $h = x_{i+1} - x_i = 1$ है।
तदनुरूप $y$ के मान $y_1=0.7111, y_2=0.7222, y_3=0.7333, y_4=0.7444$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\int_1^4 y \, dx \approx \frac{1}{2} [0.7111 + 2(0.7222 + 0.7333) + 0.7444]$
$\int_1^4 y \, dx \approx \frac{1}{2} [0.7111 + 2(1.4555) + 0.7444]$
$\int_1^4 y \, dx \approx \frac{1}{2} [0.7111 + 2.9110 + 0.7444]$
$\int_1^4 y \, dx \approx \frac{1}{2} [4.3665]$
$\int_1^4 y \, dx \approx 2.18325 \approx 2.1833$

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$x^2 = 8y$ $(i)$
$x = 4$ (ii)
$y = 0$ ($X$-अक्ष) (iii)
क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $x=0$ से $x=4$ तक $y$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन करेंगे:
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{4} y \, dx$
समीकरण $(i)$ से,$y = \frac{x^2}{8}$.
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{4} \frac{x^2}{8} \, dx$
$= \frac{1}{8} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4}$
$= \frac{1}{8} \left( \frac{4^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right)$
$= \frac{1}{8} \left( \frac{64}{3} \right)$
$= \frac{8}{3} \text{ वर्ग इकाई.}$

(A) दो प्रिज्मों को इस प्रकार संयोजित करने पर कि विचलन के बिना विक्षेपण (achromatic combination) प्राप्त हो, कुल विचलन शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए कि पहले प्रिज्म द्वारा उत्पन्न विचलन $d$ है और दूसरे प्रिज्म द्वारा $d^{\prime}$ है।
शून्य कुल विचलन के लिए शर्त $d + d^{\prime} = 0$ है।
विचलन $d = (\mu - 1)A$ द्वारा दिया जाता है।
विक्षेपण क्षमता $\omega = \frac{\mu_v - \mu_r}{\mu - 1}$ है।
विचलन के बिना विक्षेपण के लिए शर्त $\omega d + \omega^{\prime} d^{\prime} = 0$ है।

(B) दिया गया है: प्रिज्म कोण $A = 60^{\circ}$,न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m = 30^{\circ}$।
तरल के सापेक्ष प्रिज्म के अपवर्तनांक $(\mu)$ के सूत्र का उपयोग करने पर:
$\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$
$\mu = \frac{\sin((60^{\circ} + 30^{\circ})/2)}{\sin(60^{\circ}/2)} = \frac{\sin(45^{\circ})}{\sin(30^{\circ})}$
$\mu = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \sqrt{2}$
क्रांतिक कोण $C$ का सूत्र $\sin C = 1/\mu$ है।
$\sin C = 1/\sqrt{2}$
$C = \sin^{-1}(1/\sqrt{2}) = 45^{\circ}$।

(A) द्रव अमोनिया में सोडियम $(Na/NH_3(l))$ बर्च अपचयन (Birch reduction) के लिए उपयोग किया जाने वाला एक प्रसिद्ध अभिकर्मक है।
यह एक शक्तिशाली अपचायक के रूप में कार्य करता है,जिसका उपयोग आमतौर पर एल्काइन्स को ट्रांस-एल्कीन्स में और एरोमैटिक वलयों को $1,4$-साइक्लोहेक्साडाइन्स में अपचयित करने के लिए किया जाता है।

(B) $NH_4NO_3$,$NH_4^{+}$ और $NO_3^{-}$ आयनों से बना है।
अमोनियम आयन $(NH_4^{+})$ के लिए: मान लीजिए $N$ की ऑक्सीकरण संख्या $x$ है। तब $x + 4(+1) = +1$,जिससे $x = -3$ प्राप्त होता है।
नाइट्रेट आयन $(NO_3^{-})$ के लिए: मान लीजिए $N$ की ऑक्सीकरण संख्या $x$ है। तब $x + 3(-2) = -1$,जिससे $x - 6 = -1$ प्राप्त होता है,अतः $x = +5$।
इस प्रकार,नाइट्रोजन की ऑक्सीकरण संख्याएँ $-3$ और $+5$ हैं।

(A) दिया गया है: $\Delta I_c = 8.2 ~mA$ और $\Delta I_e = 8.3 ~mA$.
हम जानते हैं कि एमिटर धारा,कलेक्टर धारा और बेस धारा का योग होती है: $\Delta I_e = \Delta I_c + \Delta I_b$.
इसलिए,बेस धारा में परिवर्तन $\Delta I_b = \Delta I_e - \Delta I_c = 8.3 ~mA - 8.2 ~mA = 0.1 ~mA$ है।
फॉरवर्ड करंट गेन (या करंट एम्प्लीफिकेशन फैक्टर $\beta$) कलेक्टर धारा में परिवर्तन और बेस धारा में परिवर्तन का अनुपात है:
$\beta = \frac{\Delta I_c}{\Delta I_b} = \frac{8.2 ~mA}{0.1 ~mA} = 82$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x dx + y dy = x^2 y dy - x y^2 dx$
$x$ और $y$ चरों को व्यवस्थित करने पर:
$x dx + x y^2 dx = x^2 y dy - y dy$
$x(1 + y^2) dx = y(x^2 - 1) dy$
चरों को पृथक करने पर:
$\frac{x}{x^2 - 1} dx = \frac{y}{1 + y^2} dy$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$\frac{2x}{x^2 - 1} dx = \frac{2y}{1 + y^2} dy$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{2x}{x^2 - 1} dx = \int \frac{2y}{1 + y^2} dy$
$\ln|x^2 - 1| = \ln|1 + y^2| + \ln C$
$\ln|x^2 - 1| = \ln|C(1 + y^2)|$
अतः,$x^2 - 1 = C(1 + y^2)$

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y = e^x$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 1$ और $Q = e^x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int 1 dx} = e^x$ है।
व्यापक हल $y \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dx + C$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$y \cdot e^x = \int e^x \cdot e^x dx + C$ प्राप्त होता है।
$y e^x = \int e^{2x} dx + C$।
$y e^x = \frac{e^{2x}}{2} + C$।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,$2ye^x = e^{2x} + 2C$ प्राप्त होता है।
चूँकि $2C$ एक स्वेच्छ अचर है,हम इसे $C$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$2ye^x = e^{2x} + C$।

(C) दिए गए सदिश $a = \hat{i} + 4 \hat{j}$,$b = 2 \hat{i} - 3 \hat{j}$ (संशोधित),और $c = 5 \hat{i} + 9 \hat{j}$ हैं।
विकल्प $C$ की जाँच करने पर: $3 a + b$.
$3 a + b = 3(\hat{i} + 4 \hat{j}) + (2 \hat{i} - 3 \hat{j})$
$= 3 \hat{i} + 12 \hat{j} + 2 \hat{i} - 3 \hat{j}$
$= (3 + 2) \hat{i} + (12 - 3) \hat{j}$
$= 5 \hat{i} + 9 \hat{j} = c$.

(B) दिए गए सदिश $a = \hat{i} + \hat{j} + t \hat{k}$ और $b = \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,हम योग $(a+b)$ ज्ञात करते हैं:
$a+b = (\hat{i} + \hat{j} + t \hat{k}) + (\hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + (t+3) \hat{k}$.
इसके बाद,हम अंतर $(a-b)$ ज्ञात करते हैं:
$a-b = (\hat{i} + \hat{j} + t \hat{k}) - (\hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) = 0 \hat{i} - \hat{j} + (t-3) \hat{k}$.
चूंकि $(a+b)$ और $(a-b)$ एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होना चाहिए:
$(a+b) \cdot (a-b) = 0$.
$(2 \hat{i} + 3 \hat{j} + (t+3) \hat{k}) \cdot (0 \hat{i} - \hat{j} + (t-3) \hat{k}) = 0$.
अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$(2)(0) + (3)(-1) + (t+3)(t-3) = 0$.
$0 - 3 + (t^2 - 9) = 0$.
$t^2 - 12 = 0$.
$t^2 = 12$.
$t = \pm \sqrt{12} = \pm 2 \sqrt{3}$.

(D) दिया गया है कि,$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a} \cdot \vec{b}|$.
सदिश गुणनफल और अदिश गुणनफल की परिभाषाओं का उपयोग करने पर:
$|\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta = |\vec{a}||\vec{b}| |\cos \theta|$
दोनों पक्षों को $|\vec{a}||\vec{b}|$ से विभाजित करने पर (यह मानते हुए कि सदिश शून्य नहीं हैं):
$|\sin \theta| = |\cos \theta|$
$|\tan \theta| = 1$
चूंकि $\theta$ दो सदिशों के बीच का कोण है,इसलिए $0 \le \theta \le \pi$.
अतः,$\tan \theta = 1$ का अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{4}$.

(B) माना वर्ग की भुजा की लंबाई $a$ है।
माना विकर्ण के शीर्ष $B = (1, -2, 3)$ और $D = (2, -3, 5)$ हैं।
विकर्ण $BD$ की लंबाई दूरी सूत्र द्वारा दी जाती है:
$BD = \sqrt{(2 - 1)^2 + (-3 - (-2))^2 + (5 - 3)^2}$
$BD = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2 + (2)^2}$
$BD = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$
एक वर्ग में,भुजा $a$ और विकर्ण $d$ के बीच का संबंध $d = a\sqrt{2}$ होता है।
इसलिए,$a\sqrt{2} = \sqrt{6}$।
$a = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3}$।
अतः,भुजा की लंबाई $\sqrt{3}$ है।

(C) माना $N$ बिंदु $P(0,2,3)$ से दी गई रेखा पर लंब का पाद है।
रेखा का समीकरण $\frac{x+3}{5}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+4}{3}=r$ है।
रेखा पर कोई भी सामान्य बिंदु $N$ के निर्देशांक $(5r-3, 2r+1, 3r-4)$ होंगे।
रेखा $PN$ के दिक अनुपात $(5r-3-0, 2r+1-2, 3r-4-3)$ अर्थात $(5r-3, 2r-1, 3r-7)$ हैं।
चूँकि $PN$ दी गई रेखा (जिसके दिक अनुपात $(5, 2, 3)$ हैं) पर लंब है,इसलिए उनके दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$5(5r-3) + 2(2r-1) + 3(3r-7) = 0$.
$25r - 15 + 4r - 2 + 9r - 21 = 0$.
$38r - 38 = 0$.
$r = 1$.
$r=1$ का मान $N$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$N = (5(1)-3, 2(1)+1, 3(1)-4) = (2, 3, -1)$.

(A) रेखाखंड $OQ$ के दिक अनुपात $(4-0, -2-0, 1-0)$ हैं,जो $(4, -2, 1)$ हैं।
रेखाखंड $OP$ के दिक अनुपात $(0-0, 1-0, 2-0)$ हैं,जो $(0, 1, 2)$ हैं।
मान लीजिए $OP$ और $OQ$ के बीच का कोण $\theta$ है। दो सदिशों जिनके दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,उनके बीच के कोण के कोसाइन का सूत्र इस प्रकार है:
$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
मान रखने पर:
$\cos \theta = \frac{|(4)(0) + (-2)(1) + (1)(2)|}{\sqrt{4^2 + (-2)^2 + 1^2} \sqrt{0^2 + 1^2 + 2^2}}$
$\cos \theta = \frac{|0 - 2 + 2|}{\sqrt{16 + 4 + 1} \sqrt{0 + 1 + 4}}$
$\cos \theta = \frac{0}{\sqrt{21} \sqrt{5}} = 0$
चूंकि $\cos \theta = 0$,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{2}$।

(D) माना समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है।
चूंकि समतल मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से $h$ की स्थिर दूरी पर है,हमारे पास $\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}} = h$ है,जिसका अर्थ है $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{h^2}$।
$A, B, C$ के निर्देशांक $(a, 0, 0), (0, b, 0),$ और $(0, 0, c)$ हैं।
माना $(x, y, z)$ $\triangle ABC$ का केंद्रक है। तब $x = \frac{a}{3}, y = \frac{b}{3}, z = \frac{c}{3}$।
इससे $a = 3x, b = 3y, c = 3z$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समतल की दूरी के समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{(3x)^2} + \frac{1}{(3y)^2} + \frac{1}{(3z)^2} = \frac{1}{h^2}$
$\frac{1}{9x^2} + \frac{1}{9y^2} + \frac{1}{9z^2} = \frac{1}{h^2}$
$\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = \frac{9}{h^2}$।

(A) दिया गया है,
$P(A) = 0.25$,$P(B) = 0.50$
$P(A \cap B) = 0.14$
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$P(A \cup B) = 0.25 + 0.50 - 0.14 = 0.61$
न तो $A$ और न ही $B$ के होने की प्रायिकता $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ द्वारा दी जाती है:
$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$
$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0.61 = 0.39$

(A) एक द्विपद बंटन के लिए,माध्य $\mu = np = 3$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq = 2$ द्वारा दिया जाता है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें $\frac{npq}{np} = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $q = \frac{2}{3}$।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$।
$p = \frac{1}{3}$ को $np = 3$ में रखने पर,हमें $n \times \frac{1}{3} = 3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n = 9$।
अतः,द्विपद बंटन $(q + p)^n = \left(\frac{2}{3} + \frac{1}{3}\right)^9$ है।

(C) द्विपद वितरण के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = { }^n C_k p^k q^{n-k}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q = 1-p$ है।
दिया गया है $n=4$,समीकरण $P(X=4) = 6 P(X=2)$ है।
मान प्रतिस्थापित करने पर:
${ }^4 C_4 p^4 q^0 = 6 \cdot { }^4 C_2 p^2 q^2$
चूंकि ${ }^4 C_4 = 1$ और ${ }^4 C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$,हमारे पास है:
$1 \cdot p^4 = 6 \cdot 6 \cdot p^2 q^2$
$p^4 = 36 p^2 q^2$
दोनों पक्षों को $p^2$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $p \neq 0$):
$p^2 = 36 q^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$p = 6q$
$q = 1-p$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p = 6(1-p)$
$p = 6 - 6p$
$7p = 6$
$p = \frac{6}{7}$

(A) बेंजीन के दहन के लिए संतुलित रासायनिक समीकरण है: $C_6H_6 + \frac{15}{2} O_2 \rightarrow 6 CO_2 + 3 H_2O$.
बेंजीन $(C_6H_6)$ का मोलर द्रव्यमान $= (6 \times 12) + (6 \times 1) = 78 \text{ g/mol}$.
बेंजीन के मोल $= \frac{39 \text{ g}}{78 \text{ g/mol}} = 0.5 \text{ mol}$.
समीकरण की रससमीकरणमिति (stoichiometry) के अनुसार,$1 \text{ mol}$ बेंजीन को $7.5 \text{ mol}$ $O_2$ की आवश्यकता होती है।
इसलिए,$0.5 \text{ mol}$ बेंजीन को $0.5 \times 7.5 = 3.75 \text{ mol}$ $O_2$ की आवश्यकता होगी।
$STP$ पर $O_2$ का आयतन $= 3.75 \text{ mol} \times 22.4 \text{ L/mol} = 84 \text{ L}$.

(B) मीथेन के दहन के लिए संतुलित रासायनिक समीकरण है:
$CH_4(g) + 2O_2(g) \longrightarrow CO_2(g) + 2H_2O(l)$
स्टोइकियोमेट्री के अनुसार,$1 \ mol$ $CH_4$ $(16 \ g)$ को $2 \ mol$ $O_2$ की आवश्यकता होती है।
$STP$ पर,किसी भी गैस का $1 \ mol$ $22.4 \ L$ आयतन घेरता है।
अतः,$16 \ g$ $CH_4$ के लिए $2 \times 22.4 \ L = 44.8 \ L$ $O_2$ की आवश्यकता होती है।
$32 \ g$ $CH_4$ के लिए,आवश्यक $O_2$ का आयतन है:
$\frac{44.8 \ L}{16 \ g} \times 32 \ g = 89.6 \ L$.

(B) सबसे पहले,प्रारंभिक $250 \ mL$ विलयन की मोलरता $(M_1)$ की गणना करें:
$Na_2CO_3$ का मोलर द्रव्यमान = $(2 \times 23) + 12 + (3 \times 16) = 106 \ g/mol$.
$M_1 = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{मोलर द्रव्यमान} \times \text{आयतन (L में)}} = \frac{2.65 \ g}{106 \ g/mol \times 0.250 \ L} = 0.1 \ M$.
अब,तनुकरण सूत्र $M_1V_1 = M_2V_2$ का उपयोग करें:
$0.1 \ M \times 10 \ mL = M_2 \times 1000 \ mL$.
$M_2 = \frac{0.1 \times 10}{1000} = 0.001 \ M$.

(A) आदर्श गैस समीकरण से: $P V = n R T$
सांद्रता को प्रति इकाई आयतन मोल की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $\text{Concentration} = \frac{n}{V}$
आदर्श गैस समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $\frac{n}{V} = \frac{P}{R T}$
अतः,सांद्रता $\frac{P}{R T}$ $mol / L$ है।

(A) r.m.s. वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
$CO_2$ के लिए: $v_{CO_2} = x = \sqrt{\frac{3RT}{M_{CO_2}}}$.
$N_2O$ के लिए: $v_{N_2O} = 4x = \sqrt{\frac{3RT_{N_2O}}{M_{N_2O}}}$.
परमाणु भार $C=12, N=14, O=16$ हैं। अतः,$M_{CO_2} = 12 + 2(16) = 44 \ g \ mol^{-1}$ और $M_{N_2O} = 2(14) + 16 = 44 \ g \ mol^{-1}$.
चूंकि $M_{CO_2} = M_{N_2O}$,इसलिए $\frac{v_{N_2O}}{v_{CO_2}} = \frac{4x}{x} = \sqrt{\frac{T_{N_2O}}{T}}$.
$4 = \sqrt{\frac{T_{N_2O}}{T}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$16 = \frac{T_{N_2O}}{T}$,अतः $T_{N_2O} = 16T$.

(B) आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत के अनुसार,$E = mc^2$ होता है।
$1 \ a.m.u.$ (परमाणु द्रव्यमान इकाई) के लिए,द्रव्यमान $1.6605 \times 10^{-27} \ kg$ है।
$c = 2.998 \times 10^8 \ m/s$ का उपयोग करते हुए,जूल में ऊर्जा $E = (1.6605 \times 10^{-27} \ kg) \times (2.998 \times 10^8 \ m/s)^2 \approx 1.4924 \times 10^{-10} \ J$ है।
चूंकि $1 \ eV = 1.602 \times 10^{-19} \ J$,इसलिए $eV$ में ऊर्जा $\frac{1.4924 \times 10^{-10}}{1.602 \times 10^{-19}} \approx 931.5 \times 10^6 \ eV$ है।
अतः,$1 \ a.m.u. = 931.5 \ MeV = 931.5 \times 10^6 \ eV$।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र है: $E_n = \frac{-1312}{n^2} \ kJ \ mol^{-1}$।
दूसरी कक्षा के लिए,$n = 2$ है।
सूत्र में $n$ का मान रखने पर:
$E_2 = \frac{-1312}{2^2} \ kJ \ mol^{-1} = \frac{-1312}{4} \ kJ \ mol^{-1} = -328 \ kJ \ mol^{-1}$।

(B) $M$ कोश का अर्थ $n = 3$ कोश है।
किसी तत्व के $M$ कोश में $13$ इलेक्ट्रॉन होने के लिए,विन्यास में $3s^2, 3p^6, 3d^5$ होना चाहिए।
यह इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2, 3p^6, 3d^5, 4s^1$ के अनुरूप है।
इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $2 + 2 + 6 + 2 + 6 + 5 + 1 = 24$ है।
$24$ परमाणु क्रमांक वाला तत्व $\text{क्रोमियम}$ $(Cr)$ है।