AP EAMCET 2001 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) अभिक्रिया $PbO_{2(s)} + H_2O_{2(aq)} \longrightarrow PbO_{(s)} + H_2O_{(l)} + O_{2(g)}$ में,$Pb$ की ऑक्सीकरण अवस्था $PbO_2$ में $+4$ से घटकर $PbO$ में $+2$ हो जाती है।
चूंकि $Pb$ का अपचयन (reduction) होता है,इसलिए $H_2O_2$ एक अपचायक के रूप में कार्य करता है।
अन्य अभिक्रियाओं $(B, C, D)$ में,$H_2O_2$ ऑक्सीकारक के रूप में कार्य करता है क्योंकि यह क्रमशः $S^{+4}$ को $S^{+6}$ में,$I^-$ को $I_2$ में,और $N^{+3}$ को $N^{+5}$ में ऑक्सीकृत करता है।

(A) जल की कठोरता को दूर करने के लिए $Calgon$ प्रक्रिया का उपयोग किया जाता है। $Calgon$ सोडियम हेक्सामेटाफॉस्फेट,$Na_2[Na_4(PO_3)_6]$ है,जो $Ca^{2+}$ और $Mg^{2+}$ आयनों को एक घुलनशील संकुल में बांध लेता है,जिससे जल मृदु हो जाता है।

(A) बफर विलयन एक दुर्बल अम्ल और उसके प्रबल क्षार के लवण,या एक दुर्बल क्षार और उसके प्रबल अम्ल के लवण के मिश्रण से बनता है।
जब $1 \ M \ CH_3COOH$ और $0.5 \ M \ NaOH$ को समान आयतन में मिलाया जाता है,तो अभिक्रिया इस प्रकार होती है:
$CH_3COOH + NaOH \longrightarrow CH_3COONa + H_2O$
चूंकि $CH_3COOH$ अधिक मात्रा ($1 \ M$ बनाम $0.5 \ M$) में है,इसलिए आधा $CH_3COOH$ अपने संयुग्मी क्षार $CH_3COONa$ में परिवर्तित हो जाता है।
यह एक दुर्बल अम्ल $(CH_3COOH)$ और उसके लवण $(CH_3COONa)$ का मिश्रण बनाता है,जो एक अम्लीय बफर है।

(A) अम्लीय बफर के लिए हेंडरसन-हैसेलबैक समीकरण है: $pH = pK_a + \log \frac{[\text{salt}]}{[\text{acid}]}$
दिया गया है: $pH = 5.8$ और $pK_a = 4.8$।
मान रखने पर: $5.8 = 4.8 + \log \frac{[\text{salt}]}{[\text{acid}]}$
$\log \frac{[\text{salt}]}{[\text{acid}]} = 5.8 - 4.8 = 1.0$
दोनों तरफ एंटीलॉग लेने पर: $\frac{[\text{salt}]}{[\text{acid}]} = 10^1 = 10$
अतः,$\frac{[\text{acid}]}{[\text{salt}]}$ का अनुपात $= \frac{1}{10} = 0.1$ होगा।

(C) वर्ग की एक भुजा (जैसे,भुजा $AB$) द्वारा केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र परिमित तार के सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (\sin \phi_1 + \sin \phi_2)$
यहाँ,$r = \frac{a}{2}$ और $\phi_1 = \phi_2 = 45^{\circ}$ है।
इन मानों को रखने पर:
$B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi (a/2)} (\sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ})$
$B_1 = \frac{\mu_0 i}{2 \pi a} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\mu_0 i}{2 \pi a} (\frac{2}{\sqrt{2}}) = \frac{\sqrt{2} \mu_0 i}{2 \pi a} = \frac{\mu_0 i}{\sqrt{2} \pi a}$
चूंकि वर्ग में $4$ समान भुजाएँ होती हैं,इसलिए केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र होगा:
$B = 4 \times B_1 = 4 \times \frac{\mu_0 i}{\sqrt{2} \pi a} = \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 i}{\pi a}$

(C) इलेक्ट्रॉन का वेग $\vec{v} = 2 \times 10^5 \hat{i} \ m/s$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = (\hat{i} + 4\hat{j} - 3\hat{k}) \ T$ है।
गतिमान आवेश पर चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
इलेक्ट्रॉन के लिए,$q = -1.6 \times 10^{-19} \ C$ है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{v} \times \vec{B}$ की गणना करें:
$\vec{v} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 \times 10^5 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(0) - \hat{j}(-6 \times 10^5) + \hat{k}(8 \times 10^5) = (6 \times 10^5 \hat{j} + 8 \times 10^5 \hat{k}) \ m/s \cdot T$.
बल सदिश $\vec{F} = -1.6 \times 10^{-19} \times (6 \times 10^5 \hat{j} + 8 \times 10^5 \hat{k}) \ N$ है।
बल का परिमाण $|\vec{F}| = 1.6 \times 10^{-19} \times \sqrt{(6 \times 10^5)^2 + (8 \times 10^5)^2}$ है।
$|\vec{F}| = 1.6 \times 10^{-19} \times \sqrt{36 \times 10^{10} + 64 \times 10^{10}} = 1.6 \times 10^{-19} \times \sqrt{100 \times 10^{10}}$.
$|\vec{F}| = 1.6 \times 10^{-19} \times 10 \times 10^5 = 1.6 \times 10^{-13} \ N$.

(B) वाइब्रेशन मैग्नेटोमीटर में चुंबक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है और $H$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है।
चूँकि दोलन आवृत्ति $f = \frac{1}{T}$ है,इसलिए $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{MH}{I}}$ होता है।
इसका अर्थ है कि $f \propto \sqrt{H}$,या $H \propto f^2$ है।
यहाँ $f_A = 40 \text{ दोलन/मिनट}$ और $f_B = 20 \text{ दोलन/मिनट}$ दिया गया है।
अतः,$\frac{H_B}{H_A} = \left( \frac{f_B}{f_A} \right)^2$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{H_B}{36 \times 10^{-6}} = \left( \frac{20}{40} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$।
इस प्रकार,$H_B = \frac{36 \times 10^{-6}}{4} = 9 \times 10^{-6} ~T$।

(D) चुंबक को $AB$ पर उसके केंद्र $O$ के साथ रखा गया है। चुंबक की लंबाई $2l = 10 \text{ cm}$ है,इसलिए $l = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$ है। चुंबकीय आघूर्ण $M = 1 \text{ Am}^2$ है।
बिंदु $C$ चुंबक के लंब समद्विभाजक पर स्थित है,जो निरक्षीय स्थिति (equatorial position) को दर्शाता है।
चुंबक के केंद्र $O$ से बिंदु $C$ की दूरी $r$,$10 \text{ cm}$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई है।
$r = \sqrt{a^2 - (a/2)^2} = \sqrt{0.1^2 - 0.05^2} = \sqrt{0.0075} = 5\sqrt{3} \times 10^{-2} \text{ m}$ है।
निरक्षीय स्थिति में चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{(r^2 + l^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $r^2 + l^2 = (5\sqrt{3} \times 10^{-2})^2 + (5 \times 10^{-2})^2 = 100 \times 10^{-4} = 10^{-2} \text{ m}^2$ है।
अतः,$(r^2 + l^2)^{3/2} = (10^{-2})^{3/2} = 10^{-3} \text{ m}^3$ है।
मान रखने पर: $B = 10^{-7} \times \frac{1}{10^{-3}} = 10^{-4} \text{ T}$।

(C) माना कि $x = \frac{\sqrt{8+\sqrt{28}}+\sqrt{8-\sqrt{28}}}{\sqrt{8+\sqrt{28}}-\sqrt{8-\sqrt{28}}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर:
$x = \frac{(\sqrt{8+\sqrt{28}}+\sqrt{8-\sqrt{28}})^2}{(\sqrt{8+\sqrt{28}})^2-(\sqrt{8-\sqrt{28}})^2}$
$x = \frac{(8+\sqrt{28}) + (8-\sqrt{28}) + 2\sqrt{(8+\sqrt{28})(8-\sqrt{28})}}{(8+\sqrt{28}) - (8-\sqrt{28})}$
$x = \frac{16 + 2\sqrt{64-28}}{2\sqrt{28}}$
$x = \frac{16 + 2\sqrt{36}}{2\sqrt{4 \times 7}}$
$x = \frac{16 + 2(6)}{2(2\sqrt{7})}$
$x = \frac{16 + 12}{4\sqrt{7}} = \frac{28}{4\sqrt{7}} = \frac{7}{\sqrt{7}} = \sqrt{7}$.

(D) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2+bx+c=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha+\beta = -b$ है।
साथ ही,$\alpha+h$ और $\beta+h$ समीकरण $x^2+qx+r=0$ के मूल हैं।
अतः,मूलों का योग $(\alpha+h) + (\beta+h) = -q$ होगा।
इसे सरल करने पर $(\alpha+\beta) + 2h = -q$ प्राप्त होता है।
$\alpha+\beta = -b$ प्रतिस्थापित करने पर,$-b + 2h = -q$ मिलता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$2h = b-q$।
अतः,$h = \frac{1}{2}(b-q)$।

(D) माना $y = (x-\alpha)(x-\beta)$ है।
व्यंजक का विस्तार करने पर,हमें $y = x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta$ प्राप्त होता है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग कर सकते हैं:
$y = x^2 - (\alpha+\beta)x + \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)^2 - \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)^2 + \alpha\beta$.
$y = \left(x - \frac{\alpha+\beta}{2}\right)^2 - \frac{(\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta}{4}$.
$y = \left(x - \frac{\alpha+\beta}{2}\right)^2 - \frac{\alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2 - 4\alpha\beta}{4}$.
$y = \left(x - \frac{\alpha+\beta}{2}\right)^2 - \frac{(\alpha-\beta)^2}{4}$.
चूंकि वर्ग पद $\left(x - \frac{\alpha+\beta}{2}\right)^2 \ge 0$ है,इसलिए न्यूनतम मान $x = \frac{\alpha+\beta}{2}$ पर प्राप्त होता है।
अतः,न्यूनतम मान $-\frac{1}{4}(\alpha-\beta)^2$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{x-4}{x^2-5x-2k} = \frac{2}{x-2} - \frac{1}{x+k}$
दाईं ओर को सरल करने पर: $\frac{2(x+k) - (x-2)}{(x-2)(x+k)} = \frac{2x + 2k - x + 2}{x^2 + kx - 2x - 2k} = \frac{x + 2k + 2}{x^2 + (k-2)x - 2k}$
हर (denominator) की तुलना करने पर: $x^2 - 5x - 2k = x^2 + (k-2)x - 2k$
इससे $k-2 = -5$ प्राप्त होता है,अतः $k = -3$
अंश (numerator) की तुलना करने पर: $x-4 = x + 2k + 2$
$k = -3$ रखने पर: $x-4 = x + 2(-3) + 2 = x - 6 + 2 = x - 4$
दोनों पक्ष समान हैं,इसलिए $k = -3$।

(B) दिया गया समीकरण $x^3-6x^2+6x-5=0$ है।
मूलों में $h$ की वृद्धि करने के लिए,हम $x$ को $x+h$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
नया समीकरण $(x+h)^3-6(x+h)^2+6(x+h)-5=0$ होगा।
पदों का विस्तार करने पर:
$(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3) - 6(x^2+2xh+h^2) + 6(x+h) - 5 = 0$.
$x$ की घातों के अनुसार पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x^3 + (3h-6)x^2 + (3h^2-12h+6)x + (h^3-6h^2+6h-5) = 0$.
$x^2$ का पद अनुपस्थित होने के लिए,इसका गुणांक शून्य होना चाहिए:
$3h-6 = 0$.
अतः,$h = 2$.

(D) दिया गया समीकरण: $x^3-14x^2+56x-64=0$.
माना $f(x) = x^3-14x^2+56x-64$.
$x=2$ के लिए जाँच करने पर: $f(2) = 8 - 14(4) + 56(2) - 64 = 8 - 56 + 112 - 64 = 0$.
चूँकि $x=2$ एक मूल है,$(x-2)$ एक गुणनखंड है।
बहुपद को $(x-2)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $x^2(x-2) - 12x(x-2) + 32(x-2) = 0$.
$(x-2)(x^2-12x+32) = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x-2)(x-4)(x-8) = 0$.
मूल $2, 4, 8$ हैं।
चूँकि $\frac{4}{2} = 2$ और $\frac{8}{4} = 2$,सार्व अनुपात समान है,इसलिए मूल $GP$ में हैं।

(B) दिया गया बहुपद समीकरण $P(x) = x^4-2x^3+2x-1=0$ है।
चूंकि $1$,$3$ क्रम का एक मूल है,इसलिए $(x-1)^3$,$P(x)$ का एक गुणनखंड होना चाहिए।
$(x-1)^3 = x^3-3x^2+3x-1$ का विस्तार करने पर।
$x^4-2x^3+2x-1$ को $(x-1)^3$ से विभाजित करने पर:
$x^4-2x^3+2x-1 = (x-1)^3(x+1)$।
गुणनखंडों को शून्य के बराबर रखने पर,हमें $(x-1)^3 = 0$ और $x+1 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $1, 1, 1$ और $-1$ हैं।
अन्य मूल $-1$ है।

(A) चूंकि द्विघात समीकरण के गुणांक परिमेय माने जाते हैं,इसलिए अपरिमेय और सम्मिश्र मूल संयुग्मी जोड़े में होते हैं। अतः,मूल $1+i, 1-i, 1-\sqrt{2}, 1+\sqrt{2}$ हैं।
$1+i$ और $1-i$ मूलों के लिए:
योग $= 2$,गुणनफल $= 2$
द्विघात समीकरण $x^2 - 2x + 2 = 0$ है।
$1-\sqrt{2}$ और $1+\sqrt{2}$ मूलों के लिए:
योग $= 2$,गुणनफल $= -1$
द्विघात समीकरण $x^2 - 2x - 1 = 0$ है।
द्विघात समीकरण इन दोनों का गुणनफल है:
$(x^2-2x+2)(x^2-2x-1) = 0$
हल करने पर: $x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 2x - 2 = 0$.

(B) हुक के नियम के अनुसार,एक प्रत्यास्थ डोरी का विस्तार लागू तनाव के समानुपाती होता है। मान लीजिए डोरी की प्राकृतिक लंबाई $L_0$ है और बल नियतांक $k$ है।
तनाव $T$ के तहत लंबाई $L$ को $L = L_0 + \frac{T}{k}$ द्वारा दिया जाता है।
$T_1 = 4 \ N$ के लिए,$L_1 = a = L_0 + \frac{4}{k}$ --- $(1)$
$T_2 = 5 \ N$ के लिए,$L_2 = b = L_0 + \frac{5}{k}$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ में से $(1)$ घटाने पर: $b - a = \frac{5}{k} - \frac{4}{k} = \frac{1}{k} \Rightarrow k = \frac{1}{b-a}$।
$k$ का मान $(1)$ में रखने पर: $L_0 = a - 4(b-a) = a - 4b + 4a = 5a - 4b$।
अब,$T_3 = 9 \ N$ के लिए,लंबाई $x$ है:
$x = L_0 + \frac{9}{k} = (5a - 4b) + 9(b - a)$
$x = 5a - 4b + 9b - 9a$
$x = 5b - 4a$।

(D) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 20 \ m/s$,प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^{\circ}$ और $g = 10 \ m/s^2$ है।
प्रक्षेप्य के पथ का मानक समीकरण $h = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ होता है।
इसे दिए गए समीकरण $h = Ax - Bx^2$ के साथ तुलना करने पर:
$A = \tan \theta = \tan 45^{\circ} = 1$.
$B = \frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta} = \frac{10}{2 \times (20)^2 \times (\cos 45^{\circ})^2} = \frac{10}{2 \times 400 \times (1/\sqrt{2})^2} = \frac{10}{800 \times 1/2} = \frac{10}{400} = \frac{1}{40}$.
अब,$A:B$ का अनुपात:
$\frac{A}{B} = \frac{1}{1/40} = 40$.
अतः,$A:B$ का अनुपात $40:1$ है।

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक संवेग शून्य है,इसलिए दोनों टुकड़ों के संवेग का परिमाण समान होना चाहिए:
$m_1 v_1 = m_2 v_2$
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{v_2}{v_1} = \frac{1}{3}$
यह मानते हुए कि नाभिक का घनत्व $\rho$ स्थिर है,द्रव्यमान $m$ आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ के समानुपाती होता है,जहाँ $R$ त्रिज्या है।
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{R_1^3}{R_2^3}$
द्रव्यमान अनुपात के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{R_1^3}{R_2^3} = \frac{v_2}{v_1} = \frac{1}{3}$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$\frac{R_1}{R_2} = \left(\frac{1}{3}\right)^{1/3} = 1 : 3^{1/3}$

(B) सरल आवर्त गति $(SHM)$ कर रहे पिंड की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k r^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k = m \omega^2$ बल नियतांक है और $r$ विस्थापन है।
दिया गया है:
$E_1 = \frac{1}{2} k x^2 \implies x = \sqrt{\frac{2 E_1}{k}}$
$E_2 = \frac{1}{2} k y^2 \implies y = \sqrt{\frac{2 E_2}{k}}$
$(x+y)$ विस्थापन पर,स्थितिज ऊर्जा $E$ है:
$E = \frac{1}{2} k (x+y)^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\sqrt{E} = \sqrt{\frac{1}{2} k} (x+y)$
$x$ और $y$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\sqrt{E} = \sqrt{\frac{1}{2} k} \left( \sqrt{\frac{2 E_1}{k}} + \sqrt{\frac{2 E_2}{k}} \right)$
$\sqrt{E} = \sqrt{\frac{1}{2} k} \cdot \sqrt{\frac{2}{k}} (\sqrt{E_1} + \sqrt{E_2})$
$\sqrt{E} = \sqrt{\frac{1}{2} \cdot 2} (\sqrt{E_1} + \sqrt{E_2})$
$\sqrt{E} = \sqrt{E_1} + \sqrt{E_2}$

(B) माना आयाम $A$ है। कोणीय आवृत्तियाँ $\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1} = \frac{2\pi}{3}$ और $\omega_2 = \frac{2\pi}{T_2} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ हैं।
चूंकि वे मूल बिंदु से शुरू करते हैं,उनका विस्थापन $x_1 = A \sin(\omega_1 t)$ और $x_2 = A \sin(\omega_2 t)$ है।
जब वे मिलते हैं,तो $x_1 = x_2$,इसलिए $\sin(\omega_1 t) = \sin(\omega_2 t)$.
इसका अर्थ है $\omega_1 t = \pi - \omega_2 t$ (प्रथम मिलन बिंदु के लिए),इसलिए $t = \frac{\pi}{\omega_1 + \omega_2} = \frac{\pi}{\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3}} = 1 \ s$.
सरल आवर्त गति में कण का वेग $v = A\omega \cos(\omega t)$ होता है।
$t = 1 \ s$ पर,$v_P = A(\frac{2\pi}{3}) \cos(\frac{2\pi}{3} \cdot 1) = A(\frac{2\pi}{3})(-\frac{1}{2}) = -\frac{A\pi}{3}$.
$t = 1 \ s$ पर,$v_Q = A(\frac{\pi}{3}) \cos(\frac{\pi}{3} \cdot 1) = A(\frac{\pi}{3})(\frac{1}{2}) = \frac{A\pi}{6}$.
वेगों के परिमाण का अनुपात $|v_P| : |v_Q| = \frac{A\pi}{3} : \frac{A\pi}{6} = 2 : 1$ है।

(C) बोराजोल,जिसे बोराजिन के रूप में भी जाना जाता है,एक अकार्बनिक यौगिक है जिसका रासायनिक सूत्र $B_3N_3H_6$ है।
इसे अक्सर 'अकार्बनिक बेंजीन' कहा जाता है क्योंकि यह बेंजीन $(C_6H_6)$ के साथ आइसोइलेक्ट्रोनिक और संरचनात्मक रूप से समान है।

(A) श्रृंखलन की प्रवृत्ति बंध वियोजन ऊर्जा के सीधे समानुपाती होती है।
समूह में $C$ से $Ge$ की ओर नीचे जाने पर,परमाणु आकार बढ़ता है,जिससे कक्षकों का अतिव्यापन (overlap) कम हो जाता है और परिणामस्वरूप बंध की मजबूती घट जाती है।
$C-C$,$Si-Si$ और $Ge-Ge$ के लिए बंध वियोजन ऊर्जा क्रमशः लगभग $348 \ kJ \ mol^{-1}$,$180 \ kJ \ mol^{-1}$ और $167 \ kJ \ mol^{-1}$ है।
अतः,बंध ऊर्जा का सही क्रम श्रृंखलन प्रवृत्ति के क्रम से मेल खाता है।

(B) जब अमोनिया अधिकता में क्लोरीन के साथ अभिक्रिया करता है,तो नाइट्रोजन ट्राइक्लोराइड $(NCl_3)$ और हाइड्रोजन क्लोराइड $(HCl)$ बनते हैं।
संतुलित रासायनिक समीकरण इस प्रकार है:
$NH_3 + 3Cl_2 \text{ (excess)} \longrightarrow NCl_3 + 3HCl$

(D) जब अमोनिया अधिकता में क्लोरीन के साथ अभिक्रिया करता है,तो अभिक्रिया इस प्रकार होती है:
$NH_3 + 3Cl_2 \longrightarrow NCl_3 + 3HCl$
अतः,प्राप्त उत्पाद नाइट्रोजन ट्राइक्लोराइड $(NCl_3)$ और हाइड्रोजन क्लोराइड $(HCl)$ हैं।

(D) फ्लोरीन $(F_2)$ सबसे अधिक विद्युत ऋणात्मक तत्व है और एक प्रबल ऑक्सीकारक के रूप में कार्य करता है। जब इसे गर्म सांद्र $KOH$ विलयन से गुजारा जाता है,तो यह जल का ऑक्सीकरण करके ऑक्सीजन मुक्त करता है।
रासायनिक अभिक्रिया:
$2F_2 + 4KOH \longrightarrow 4KF + 2H_2O + O_2$.

(C) जब क्लोरीन को सोडियम थायोसल्फेट (हाइपो) के जलीय विलयन से गुजारा जाता है,तो यह एक ऑक्सीकरण एजेंट के रूप में कार्य करता है। अभिक्रिया इस प्रकार है:
$Na_2S_2O_3 + H_2O + Cl_2 \longrightarrow Na_2SO_4 + 2HCl + S \downarrow$
अतः,उत्पाद के रूप में सोडियम सल्फेट $(Na_2SO_4)$,हाइड्रोक्लोरिक अम्ल $(HCl)$ और सल्फर $(S)$ प्राप्त होते हैं।

(A) द्विपद विस्तार $(1-x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \ldots$ का उपयोग करते हुए,$n = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$(1-x)^{-1/2} = 1 + \frac{1}{2}x + \frac{1 \cdot 3}{8}x^2 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{48}x^3 + \ldots$
यहाँ $x = \frac{1}{2}$ रखने पर,हमें दी गई श्रेणी प्राप्त होती है:
$(1 - \frac{1}{2})^{-1/2} = (\frac{1}{2})^{-1/2} = \sqrt{2}$.

(A) हम जानते हैं कि $\sin 5 \theta = 5 \sin \theta - 20 \sin ^3 \theta + 16 \sin ^5 \theta$ होता है।
$\sin \theta$ से भाग देने पर (मान लीजिए $\sin \theta \neq 0$):
$\frac{\sin 5 \theta}{\sin \theta} = 5 - 20 \sin ^2 \theta + 16 \sin ^4 \theta$।
सर्वसमिका $\sin ^2 \theta = 1 - \cos ^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$= 5 - 20(1 - \cos ^2 \theta) + 16(1 - \cos ^2 \theta)^2$
$= 5 - 20 + 20 \cos ^2 \theta + 16(1 - 2 \cos ^2 \theta + \cos ^4 \theta)$
$= -15 + 20 \cos ^2 \theta + 16 - 32 \cos ^2 \theta + 16 \cos ^4 \theta$
$= 16 \cos ^4 \theta - 12 \cos ^2 \theta + 1$।

(A) एक चक्रीय चतुर्भुज में,सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$A + C = 180^{\circ}$ और $B + D = 180^{\circ}$।
इसका अर्थ है कि $C = 180^{\circ} - A$ और $D = 180^{\circ} - B$।
अब,व्यंजक $\cos A + \cos B + \cos C + \cos D$ पर विचार करें।
$C$ और $D$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos A + \cos B + \cos(180^{\circ} - A) + \cos(180^{\circ} - B)$
चूंकि $\cos(180^{\circ} - \theta) = -\cos \theta$,इसलिए:
$\cos A + \cos B - \cos A - \cos B = 0$.

(A) दिया गया है कि $\tan \theta + \cot \theta = 2$.
हम जानते हैं कि $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ और $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$.
इन मानों को रखने पर,$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = 2$.
लघुत्तम समापवर्त्य लेने पर,$\frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = 2$.
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $\frac{1}{\sin \theta \cos \theta} = 2$,जिसका अर्थ है कि $\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2}$.
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,$2 \sin \theta \cos \theta = 1$,अर्थात $\sin 2 \theta = 1$.
अतः,$2 \theta = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{4}$.
इसलिए,$\sin \theta = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) दिया गया है $\operatorname{cosec} \theta = \frac{p+q}{p-q}$.
हम जानते हैं कि $\sin \theta = \frac{p-q}{p+q}$.
सूत्र $\sin \theta = \frac{2 \tan(\theta/2)}{1 + \tan^2(\theta/2)}$ का उपयोग करने पर,$\frac{2 \tan(\theta/2)}{1 + \tan^2(\theta/2)} = \frac{p-q}{p+q}$.
दोनों पक्षों को पलटने पर: $\frac{1 + \tan^2(\theta/2)}{2 \tan(\theta/2)} = \frac{p+q}{p-q}$.
योग-अंतर अनुपात (Componendo and Dividendo) लगाने पर:
$\frac{1 + \tan^2(\theta/2) + 2 \tan(\theta/2)}{1 + \tan^2(\theta/2) - 2 \tan(\theta/2)} = \frac{(p+q) + (p-q)}{(p+q) - (p-q)}$.
$\frac{(1 + \tan(\theta/2))^2}{(1 - \tan(\theta/2))^2} = \frac{2p}{2q} = \frac{p}{q}$.
वर्गमूल लेने पर: $\frac{1 + \tan(\theta/2)}{1 - \tan(\theta/2)} = \sqrt{\frac{p}{q}}$.
चूंकि $\tan(\pi/4) = 1$,यह $\tan(\pi/4 + \theta/2) = \sqrt{\frac{p}{q}}$ है।
अतः,$\cot(\pi/4 + \theta/2) = \frac{1}{\tan(\pi/4 + \theta/2)} = \sqrt{\frac{q}{p}}$.

(A) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos^2 A - \sin^2 B = \cos(A+B) \cos(A-B)$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$A = \frac{\pi}{6} + \theta$ और $B = \frac{\pi}{6} - \theta$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos^2\left(\frac{\pi}{6}+\theta\right)-\sin^2\left(\frac{\pi}{6}-\theta\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}+\theta + \frac{\pi}{6}-\theta\right) \cos\left(\frac{\pi}{6}+\theta - (\frac{\pi}{6}-\theta)\right)$
$= \cos\left(\frac{2\pi}{6}\right) \cos(2\theta)$
$= \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos(2\theta)$
चूँकि $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$,इसलिए व्यंजक $\frac{1}{2} \cos 2\theta$ हो जाता है।

(D) हमारे पास है,$\sqrt{3} \sin x + \cos x = 4$.
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x = 2$.
सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए,हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: $\sin(x + \frac{\pi}{6}) = 2$.
चूंकि साइन फलन का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $\sin(x + \frac{\pi}{6}) = 2$ संभव नहीं है।
अतः,इस समीकरण का कोई हल नहीं है।

(C) रेखाएँ $x=1$ और $y=1$ बिंदु $B(1, 1)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
रेखा $x+y=1$,$x=1$ को $A(1, 0)$ पर और $y=1$ को $C(0, 1)$ पर प्रतिच्छेद करती है।
त्रिभुज के शीर्ष $A(1, 0)$,$B(1, 1)$ और $C(0, 1)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई:
$a = BC = \sqrt{(1-0)^2 + (1-1)^2} = 1$
$b = CA = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{2}$
$c = AB = \sqrt{(1-1)^2 + (1-0)^2} = 1$
अंतःकेंद्र $(I_x, I_y)$:
$I_x = \frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c} = \frac{1(1) + \sqrt{2}(1) + 1(0)}{1+\sqrt{2}+1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$I_y = \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a+b+c} = \frac{1(0) + \sqrt{2}(1) + 1(1)}{1+\sqrt{2}+1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,अंतःकेंद्र $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ है।

(C) दिया गया समीकरण $(a+2b)x + (a-b)y + (a+5b) = 0$ है।
$a$ और $b$ के पदों को समूहित करने पर:
$a(x + y + 1) + b(2x - y + 5) = 0$।
$a$ और $b$ के सभी मानों के लिए यह समीकरण सत्य होने हेतु,$a$ और $b$ के गुणांक स्वतंत्र रूप से शून्य होने चाहिए:
$x + y + 1 = 0$ --- $(1)$
$2x - y + 5 = 0$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(x + y + 1) + (2x - y + 5) = 0$
$3x + 6 = 0$
$3x = -6$
$x = -2$।
$x = -2$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$-2 + y + 1 = 0$
$y - 1 = 0$
$y = 1$।
अतः,रेखा निश्चित बिंदु $(-2, 1)$ से होकर गुजरती है।

(A) दी गई रेखाएँ $x+3y=10$ और $6x^2+xy-y^2=0$ हैं।
दूसरे समीकरण का गुणनखंड करने पर: $6x^2+3xy-2xy-y^2=0$ $\Rightarrow 3x(2x+y)-y(2x+y)=0$ $\Rightarrow (3x-y)(2x+y)=0$.
अतः,रेखाएँ $3x-y=0$ और $2x+y=0$ हैं।
माना त्रिभुज के शीर्ष $A, B, C$ हैं।
$2x+y=0$ और $3x-y=0$ को हल करने पर $A(0,0)$ प्राप्त होता है।
$x+3y=10$ और $3x-y=0$ को हल करने पर $B(1,3)$ प्राप्त होता है।
$x+3y=10$ और $2x+y=0$ को हल करने पर $C(-2,4)$ प्राप्त होता है।
$A(0,0)$ से $BC$ $(x+3y=10)$ पर खींचे गए शीर्षलंब की ढाल $3$ है। समीकरण: $y-0=3(x-0) \Rightarrow 3x-y=0$.
$B(1,3)$ से $AC$ $(2x+y=0)$ पर खींचे गए शीर्षलंब की ढाल $1/2$ है। समीकरण: $y-3=\frac{1}{2}(x-1) \Rightarrow x-2y+5=0$.
$3x-y=0$ और $x-2y+5=0$ को हल करने पर: $y=3x$ $\Rightarrow x-2(3x)+5=0$ $\Rightarrow -5x=-5$ $\Rightarrow x=1, y=3$.
लंबकेंद्र $(1,3)$ है।

(B) दी गई सरल रेखाओं का युग्म $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है।
निर्देशांक अक्षों के बीच के कोण को समद्विभाजित करने वाली रेखाएं $y = x$ और $y = -x$ हैं।
यदि $y = x$ एक रेखा है,तो समीकरण में $y = x$ रखने पर:
$ax^2 + 2h(x)(x) + b(x)^2 = 0$
$ax^2 + 2hx^2 + bx^2 = 0$
$(a + 2h + b)x^2 = 0$
इसका अर्थ है $a + b + 2h = 0$,या $a + b = -2h$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(a + b)^2 = (-2h)^2 = 4h^2$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,यदि $y = -x$ एक रेखा है,तो $y = -x$ रखने पर:
$ax^2 + 2h(x)(-x) + b(-x)^2 = 0$
$ax^2 - 2hx^2 + bx^2 = 0$
$(a - 2h + b)x^2 = 0$
इसका अर्थ है $a + b = 2h$,जिसका वर्ग करने पर $(a + b)^2 = 4h^2$ प्राप्त होता है।
अतः,शर्त $(a + b)^2 = 4h^2$ है।

(B) दी गई सरल रेखाओं का युग्म $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है।
माना रेखाओं की ढाल $m_1$ और $m_2$ है।
दिया गया है कि $m_1 = 2m_2$ ...$(i)$
हम जानते हैं कि $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ ...(ii)
और $m_1 m_2 = \frac{a}{b}$ ...(iii)
$(i)$ को (ii) में रखने पर: $2m_2 + m_2 = -\frac{2h}{b} \implies 3m_2 = -\frac{2h}{b} \implies m_2 = -\frac{2h}{3b}$ ...(iv)
$(i)$ को (iii) में रखने पर: $2m_2 \cdot m_2 = \frac{a}{b} \implies 2m_2^2 = \frac{a}{b}$ ...$(v)$
(iv) को $(v)$ में रखने पर: $2(-\frac{2h}{3b})^2 = \frac{a}{b} \implies 2 \cdot \frac{4h^2}{9b^2} = \frac{a}{b} \implies \frac{8h^2}{9b^2} = \frac{a}{b} \implies 8h^2 = 9ab$.

(B) माना वृत्त $x^2+y^2=p^2$ पर स्थित बिंदु $(x_1, y_1)$ है।
अतः $x_1^2+y_1^2=p^2$।
वृत्त $x^2+y^2=q^2$ के सापेक्ष $(x_1, y_1)$ का ध्रुवीय समीकरण $x x_1+y y_1=q^2$ है।
यह रेखा वृत्त $x^2+y^2=r^2$ को स्पर्श करती है।
केंद्र $(0, 0)$ से रेखा $x x_1+y y_1-q^2=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर है।
अतः,$\frac{|0(x_1)+0(y_1)-q^2|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}} = r$।
इसे सरल करने पर $\frac{q^2}{\sqrt{p^2}} = r$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{q^2}{p} = r$।
इसलिए,$q^2 = pr$,जो दर्शाता है कि $p, q, r$ गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ में हैं।

(C) दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2+2x-2y+2=0$ और $S_2: x^2+y^2-\frac{2}{5}x-\frac{16}{5}y+\frac{13}{5}=0$ हैं।
सह-अक्षीय वृत्तों का परिवार $S_1 + \lambda(S_1 - S_2) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
सीमित बिंदु प्रणाली में बिंदु वृत्तों के केंद्र हैं,जो तब होते हैं जब त्रिज्या $r = 0$ होती है।
वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के लिए,त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ है। $r=0$ रखने पर $g^2+f^2=c$ प्राप्त होता है।
रेडिकल अक्ष $S_1 - S_2 = 0 \Rightarrow 4x + 2y - 1 = 0$ है।
प्रणाली का कोई भी वृत्त $S_1 + \lambda(4x + 2y - 1) = 0 \Rightarrow x^2+y^2+(2+4\lambda)x+(-2+2\lambda)y+(2-\lambda)=0$ है।
सीमित बिंदुओं के लिए,$g^2+f^2=c \Rightarrow (1+2\lambda)^2 + (-1+\lambda)^2 = 2-\lambda$।
$5\lambda^2+3\lambda=0$ हल करने पर,$\lambda=0$ या $\lambda=-\frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
$\lambda=0$ के लिए,केंद्र $(-1, 1)$ है।
$\lambda=-\frac{3}{5}$ के लिए,केंद्र $(\frac{1}{5}, \frac{8}{5})$ है।
अतः,सीमित बिंदु $(-1, 1)$ और $(\frac{1}{5}, \frac{8}{5})$ हैं।

(C) परवलय का दिया गया समीकरण $y^2+8x-2y+17=0$ है।
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने हेतु पदों को व्यवस्थित करने पर:
$y^2-2y+1 = -8x-17+1$
$(y-1)^2 = -8x-16$
$(y-1)^2 = -8(x+2)$
इसे मानक रूप $(y-k)^2 = -4a(x-h)$ से तुलना करने पर,हमें $4a = 8$ प्राप्त होता है।
अतः,नाभिलंब की लंबाई $8$ है।

(B) परवलय का दिया गया समीकरण $y^2=4x$ है।
परवलय $y^2=4ax$ पर बिंदु $P(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $y-y_1 = -\frac{y_1}{2a}(x-x_1)$ होता है।
यहाँ,$a=1$ और $P=(1,2)$ है,इसलिए अभिलंब की ढाल $m = -\frac{2}{2(1)} = -1$ है।
बिंदु $P(1,2)$ पर अभिलंब का समीकरण $y-2 = -1(x-1)$ है,जिसे सरल करने पर $x+y=3$ या $x=3-y$ प्राप्त होता है।
$x=3-y$ को परवलय के समीकरण $y^2=4x$ में रखने पर:
$y^2 = 4(3-y)$
$y^2 = 12-4y$
$y^2+4y-12=0$
$(y-2)(y+6)=0$
इससे $y=2$ (जो बिंदु $P$ को दर्शाता है) और $y=-6$ प्राप्त होता है।
$y=-6$ के लिए,$x = 3-(-6) = 9$ है।
अतः,बिंदु $Q$ के निर्देशांक $(9,-6)$ हैं।

(D) हमारे पास है,$\frac{(1-3x)^2}{(1-2x)} = (1 - 6x + 9x^2)(1 - 2x)^{-1}$.
द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$(1-2x)^{-1} = 1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + 16x^4 + \dots$.
अब,$(1 - 6x + 9x^2)$ को $(1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + 16x^4 + \dots)$ से गुणा करने पर.
$x^4$ का गुणांक इस प्रकार प्राप्त होता है:
$1 \times 16 - 6 \times 8 + 9 \times 4 = 16 - 48 + 36 = 4$.

(C) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ है।
मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 16$ और $b^2 = 9$ प्राप्त होता है।
उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ है।
मान रखने पर,$e = \sqrt{1 - \frac{9}{16}}$।
$e = \sqrt{\frac{16 - 9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}}$।
अतः,$e = \frac{\sqrt{7}}{4}$।

(B) दिया गया समीकरण $16 x^2+y^2+8 x y-74 x-78 y+212=0$ है।
इसे सामान्य द्विघात समीकरण $a x^2+b y^2+2 h x y+2 g x+2 f y+c=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a=16, b=1, h=4, g=-37, f=-39, c=212$.
अब,हम विविक्तकर $h^2 - ab$ की गणना करते हैं:
$h^2 - ab = (4)^2 - (16)(1) = 16 - 16 = 0$.
चूंकि $h^2 - ab = 0$ है,इसलिए यह समीकरण एक परवलय को दर्शाता है।

(B) दिया गया ध्रुवीय समीकरण: $\frac{l}{r} = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $2 \sin^2 \frac{\theta}{2} = 1 - \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$\frac{l}{r} = 1 - \cos \theta$
$l = r(1 - \cos \theta)$
$l = r - r \cos \theta$
चूंकि $x = r \cos \theta$ और $r = \sqrt{x^2 + y^2}$,इन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$l = \sqrt{x^2 + y^2} - x$
$l + x = \sqrt{x^2 + y^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(l + x)^2 = x^2 + y^2$
$l^2 + 2lx + x^2 = x^2 + y^2$
$y^2 = 2lx + l^2$
$y^2 = 2l(x + \frac{l}{2})$
यह एक परवलय का मानक समीकरण है।

(C) अतिपरवलय का समीकरण $x^2 - y^2 = 8$ है।
अतिपरवलय $x^2 - y^2 = a^2$ के अनंतस्पर्शी $x^2 - y^2 = 0$ द्वारा दिए जाते हैं,जिसका अर्थ है $x = \pm y$,अर्थात $x + y = 0$ और $x - y = 0$।
मान लीजिए $P(x, y)$ अतिपरवलय पर कोई बिंदु है।
बिंदु $P(x, y)$ से रेखा $x - y = 0$ पर लंब की लंबाई $d_1 = \frac{|x - y|}{\sqrt{2}}$ है।
बिंदु $P(x, y)$ से रेखा $x + y = 0$ पर लंब की लंबाई $d_2 = \frac{|x + y|}{\sqrt{2}}$ है।
लंबों की लंबाइयों का गुणनफल $d_1 \times d_2 = \frac{|x^2 - y^2|}{2}$ है।
चूंकि बिंदु $(x, y)$ अतिपरवलय $x^2 - y^2 = 8$ पर स्थित है,इसलिए $d_1 \times d_2 = \frac{8}{2} = 4$ प्राप्त होता है।

(B) हम जानते हैं कि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ और $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{-1} x}{x} = 1$ होता है।
दिया गया सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x \sin ^{-1} x}{x^2}$ है।
इसे $\lim _{x \rightarrow 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right) \left(\frac{\sin ^{-1} x}{x}\right)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सीमा के गुणों का उपयोग करने पर,हमें $1 \times 1 = 1$ प्राप्त होता है।

(A) हम सीमा $\lim _{x \rightarrow \infty} \left(\frac{x+a}{x+b}\right)^{x}$ का मूल्यांकन करते हैं।
यह $1^{\infty}$ के रूप में है।
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \left(\frac{x+b+a-b}{x+b}\right)^{x} = \lim _{x \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{a-b}{x+b}\right)^{x}$.
मानक सीमा सूत्र $\lim _{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{k}{x})^x = e^k$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{a-b}{x+b}\right)^{x} = \lim _{x \rightarrow \infty} \left[\left(1 + \frac{a-b}{x+b}\right)^{\frac{x+b}{a-b}}\right]^{\frac{x(a-b)}{x+b}}$.
चूंकि $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x(a-b)}{x+b} = a-b$,इसलिए सीमा $e^{a-b}$ है।