int_{-1}^1 (a x^3 + b x) d x = 0 के लिए | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{-1}^1 (a x^3 + b x) d x$.यहाँ फलन $f(x) = a x^3 + b x$ एक विषम फलन (odd function) है क्योंकि $f(-x) = a(-x)^3 + b(-x) = -(a x^3 +

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$a$ और $b$ का कोई भी मान

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(A) माना $I = \int_{-1}^1 (a x^3 + b x) d x$.यहाँ फलन $f(x) = a x^3 + b x$ एक विषम फलन (odd function) है क्योंकि $f(-x) = a(-x)^3 + b(-x) = -(a x^3 + b x) = -f(x)$.निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^a f(x) d x = 0$ होता है।वैकल्पिक रूप से,समाकलन का मूल्यांकन करने पर:$\int_{-1}^1 (a x^3 + b x) d x = \left[ a \frac{x^4}{4} + b \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^1$$= \left( \frac{a(1)^4}{4} + \frac{b(1)^2}{2} \right) - \left( \frac{a(-1)^4}{4} + \frac{b(-1)^2}{2} \right)$$= \left( \frac{a}{4} + \frac{b}{2} \right) - \left( \frac{a}{4} + \frac{b}{2} \right) = 0$.यह परिणाम $a$ और $b$ के किसी भी वास्तविक मान के लिए सत्य है।

$\int_{-1}^1 (a x^3 + b x) d x = 0$ के लिए

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