AP EAMCET 2001 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) $PbO_{2(s)} + H_2O_{2(aq)} \longrightarrow PbO_{(s)} + H_2O_{(l)} + O_{2(g)}$ પ્રક્રિયામાં,$Pb$ નો ઓક્સિડેશન આંક $PbO_2$ માં $+4$ થી ઘટીને $PbO$ માં $+2$ થાય છે.
અહીં $Pb$ નું રિડક્શન થાય છે,તેથી $H_2O_2$ રિડક્શનકર્તા તરીકે વર્તે છે.
અન્ય પ્રક્રિયાઓમાં $(B, C, D)$,$H_2O_2$ ઓક્સિડેશનકર્તા તરીકે વર્તે છે કારણ કે તે અનુક્રમે $S^{+4}$ નું $S^{+6}$ માં,$I^-$ નું $I_2$ માં અને $N^{+3}$ નું $N^{+5}$ માં ઓક્સિડેશન કરે છે.

(A) પાણીની કઠિનતા દૂર કરવા માટે $Calgon$ પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ થાય છે. $Calgon$ એ સોડિયમ હેક્ઝામેટાફોસ્ફેટ,$Na_2[Na_4(PO_3)_6]$ છે,જે $Ca^{2+}$ અને $Mg^{2+}$ આયનોને દ્રાવ્ય સંકીર્ણમાં બાંધે છે,જેનાથી પાણી નરમ બને છે.

(A) બફર દ્રાવણ નિર્બળ એસિડ અને તેના પ્રબળ બેઝ સાથેના ક્ષાર અથવા નિર્બળ બેઝ અને તેના પ્રબળ એસિડ સાથેના ક્ષારના મિશ્રણથી બને છે.
જ્યારે $1 \ M \ CH_3COOH$ અને $0.5 \ M \ NaOH$ ને સમાન કદમાં મિશ્ર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રક્રિયા નીચે મુજબ થાય છે:
$CH_3COOH + NaOH \longrightarrow CH_3COONa + H_2O$
અહીં $CH_3COOH$ વધુ માત્રામાં ($1 \ M$ વિરુદ્ધ $0.5 \ M$) હોવાથી,અડધો $CH_3COOH$ તેના સંયુગ્મી બેઝ $CH_3COONa$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
આમ,નિર્બળ એસિડ $(CH_3COOH)$ અને તેના ક્ષાર $(CH_3COONa)$ નું મિશ્રણ એસિડિક બફર બનાવે છે.

(A) એસિડિક બફર માટે હેન્ડરસન-હેસલબેક સમીકરણ: $pH = pK_a + \log \frac{[\text{salt}]}{[\text{acid}]}$
આપેલ છે: $pH = 5.8$ અને $pK_a = 4.8$.
કિંમતો મૂકતા: $5.8 = 4.8 + \log \frac{[\text{salt}]}{[\text{acid}]}$
$\log \frac{[\text{salt}]}{[\text{acid}]} = 5.8 - 4.8 = 1.0$
બંને બાજુ એન્ટિલોગ લેતા: $\frac{[\text{salt}]}{[\text{acid}]} = 10^1 = 10$
તેથી,$\frac{[\text{acid}]}{[\text{salt}]}$ નો ગુણોત્તર $= \frac{1}{10} = 0.1$ થાય.

(C) ચોરસની એક બાજુ (દા.ત.,બાજુ $AB$) દ્વારા કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર સીમિત તાર માટેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (\sin \phi_1 + \sin \phi_2)$
અહીં,$r = \frac{a}{2}$ અને $\phi_1 = \phi_2 = 45^{\circ}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi (a/2)} (\sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ})$
$B_1 = \frac{\mu_0 i}{2 \pi a} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\mu_0 i}{2 \pi a} (\frac{2}{\sqrt{2}}) = \frac{\sqrt{2} \mu_0 i}{2 \pi a} = \frac{\mu_0 i}{\sqrt{2} \pi a}$
ચોરસને $4$ સમાન બાજુઓ હોવાથી,કેન્દ્ર પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B = 4 \times B_1 = 4 \times \frac{\mu_0 i}{\sqrt{2} \pi a} = \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 i}{\pi a}$

(C) ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $\vec{v} = 2 \times 10^5 \hat{i} \ m/s$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = (\hat{i} + 4\hat{j} - 3\hat{k}) \ T$ છે.
ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,$q = -1.6 \times 10^{-19} \ C$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{v} \times \vec{B}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{v} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 \times 10^5 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(0) - \hat{j}(-6 \times 10^5) + \hat{k}(8 \times 10^5) = (6 \times 10^5 \hat{j} + 8 \times 10^5 \hat{k}) \ m/s \cdot T$.
બળ સદિશ $\vec{F} = -1.6 \times 10^{-19} \times (6 \times 10^5 \hat{j} + 8 \times 10^5 \hat{k}) \ N$ છે.
બળનું મૂલ્ય $|\vec{F}| = 1.6 \times 10^{-19} \times \sqrt{(6 \times 10^5)^2 + (8 \times 10^5)^2}$ છે.
$|\vec{F}| = 1.6 \times 10^{-19} \times \sqrt{36 \times 10^{10} + 64 \times 10^{10}} = 1.6 \times 10^{-19} \times \sqrt{100 \times 10^{10}}$.
$|\vec{F}| = 1.6 \times 10^{-19} \times 10 \times 10^5 = 1.6 \times 10^{-13} \ N$.

(B) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરમાં ચુંબકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $H$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે.
દોલન આવૃત્તિ $f = \frac{1}{T}$ હોવાથી,આપણને $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{MH}{I}}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $f \propto \sqrt{H}$,અથવા $H \propto f^2$.
અહીં $f_A = 40 \text{ દોલનો/મિનિટ}$ અને $f_B = 20 \text{ દોલનો/મિનિટ}$ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{H_B}{H_A} = \left( \frac{f_B}{f_A} \right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{H_B}{36 \times 10^{-6}} = \left( \frac{20}{40} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$.
આમ,$H_B = \frac{36 \times 10^{-6}}{4} = 9 \times 10^{-6} ~T$.

(D) ચુંબકને $AB$ પર તેના કેન્દ્ર $O$ સાથે મૂકવામાં આવ્યો છે. ચુંબકની લંબાઈ $2l = 10 \text{ cm}$ છે,તેથી $l = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$. ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 1 \text{ Am}^2$ છે.
બિંદુ $C$ એ ચુંબકના લંબદ્વિભાજક પર આવેલું છે,જે વિષુવવૃત્તીય સ્થિતિ દર્શાવે છે.
ચુંબકના કેન્દ્ર $O$ થી બિંદુ $C$ નું અંતર $r$ એ $10 \text{ cm}$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણની ઊંચાઈ છે.
$r = \sqrt{a^2 - (a/2)^2} = \sqrt{0.1^2 - 0.05^2} = \sqrt{0.0075} = 5\sqrt{3} \times 10^{-2} \text{ m}$.
વિષુવવૃત્તીય સ્થિતિમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{(r^2 + l^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $r^2 + l^2 = (5\sqrt{3} \times 10^{-2})^2 + (5 \times 10^{-2})^2 = 100 \times 10^{-4} = 10^{-2} \text{ m}^2$.
તેથી,$(r^2 + l^2)^{3/2} = (10^{-2})^{3/2} = 10^{-3} \text{ m}^3$.
કિંમતો મૂકતા: $B = 10^{-7} \times \frac{1}{10^{-3}} = 10^{-4} \text{ T}$.

(C) ધારો કે $x = \frac{\sqrt{8+\sqrt{28}}+\sqrt{8-\sqrt{28}}}{\sqrt{8+\sqrt{28}}-\sqrt{8-\sqrt{28}}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$x = \frac{(\sqrt{8+\sqrt{28}}+\sqrt{8-\sqrt{28}})^2}{(\sqrt{8+\sqrt{28}})^2-(\sqrt{8-\sqrt{28}})^2}$
$x = \frac{(8+\sqrt{28}) + (8-\sqrt{28}) + 2\sqrt{(8+\sqrt{28})(8-\sqrt{28})}}{(8+\sqrt{28}) - (8-\sqrt{28})}$
$x = \frac{16 + 2\sqrt{64-28}}{2\sqrt{28}}$
$x = \frac{16 + 2\sqrt{36}}{2\sqrt{4 \times 7}}$
$x = \frac{16 + 2(6)}{2(2\sqrt{7})}$
$x = \frac{16 + 12}{4\sqrt{7}} = \frac{28}{4\sqrt{7}} = \frac{7}{\sqrt{7}} = \sqrt{7}$.

(D) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $x^2+bx+c=0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,$\alpha+\beta = -b$.
વળી,$\alpha+h$ અને $\beta+h$ એ સમીકરણ $x^2+qx+r=0$ ના બીજ છે.
તેથી,બીજનો સરવાળો $(\alpha+h) + (\beta+h) = -q$ થાય.
આને સાદું રૂપ આપતા $(\alpha+\beta) + 2h = -q$ મળે.
$\alpha+\beta = -b$ મૂકતા,$-b + 2h = -q$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$2h = b-q$.
આમ,$h = \frac{1}{2}(b-q)$.

(D) ધારો કે $y = (x-\alpha)(x-\beta)$.
પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $y = x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta$ મળે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરી શકીએ:
$y = x^2 - (\alpha+\beta)x + \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)^2 - \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)^2 + \alpha\beta$.
$y = \left(x - \frac{\alpha+\beta}{2}\right)^2 - \frac{(\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta}{4}$.
$y = \left(x - \frac{\alpha+\beta}{2}\right)^2 - \frac{\alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2 - 4\alpha\beta}{4}$.
$y = \left(x - \frac{\alpha+\beta}{2}\right)^2 - \frac{(\alpha-\beta)^2}{4}$.
કારણ કે વર્ગ પદ $\left(x - \frac{\alpha+\beta}{2}\right)^2 \ge 0$ છે,તેથી ન્યૂનતમ કિંમત $x = \frac{\alpha+\beta}{2}$ પર મળે છે.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $-\frac{1}{4}(\alpha-\beta)^2$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x-4}{x^2-5x-2k} = \frac{2}{x-2} - \frac{1}{x+k}$
જમણી બાજુનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{2(x+k) - (x-2)}{(x-2)(x+k)} = \frac{2x + 2k - x + 2}{x^2 + kx - 2x - 2k} = \frac{x + 2k + 2}{x^2 + (k-2)x - 2k}$
છેદની સરખામણી કરતા: $x^2 - 5x - 2k = x^2 + (k-2)x - 2k$
આથી $k-2 = -5$,તેથી $k = -3$
અંશની સરખામણી કરતા: $x-4 = x + 2k + 2$
$k = -3$ મૂકતા: $x-4 = x + 2(-3) + 2 = x - 6 + 2 = x - 4$
બંને બાજુ સમાન છે,તેથી $k = -3$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^3-6x^2+6x-5=0$ છે.
બીજમાં $h$ નો વધારો કરવા માટે,$x$ ને $x+h$ વડે બદલતા:
$(x+h)^3-6(x+h)^2+6(x+h)-5=0$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3) - 6(x^2+2xh+h^2) + 6(x+h) - 5 = 0$.
$x$ ની ઘાત મુજબ પદોને ગોઠવતા:
$x^3 + (3h-6)x^2 + (3h^2-12h+6)x + (h^3-6h^2+6h-5) = 0$.
$x^2$ વાળું પદ ન હોવા માટે,તેનો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$3h-6 = 0$.
તેથી,$h = 2$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x^3-14x^2+56x-64=0$.
ધારો કે $f(x) = x^3-14x^2+56x-64$.
$x=2$ માટે તપાસતા: $f(2) = 8 - 14(4) + 56(2) - 64 = 8 - 56 + 112 - 64 = 0$.
તેથી,$(x-2)$ એ એક અવયવ છે.
બહુપદીને $(x-2)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે $x^2(x-2) - 12x(x-2) + 32(x-2) = 0$.
$(x-2)(x^2-12x+32) = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x-2)(x-4)(x-8) = 0$.
બીજ $2, 4, 8$ છે.
અહીં $\frac{4}{2} = 2$ અને $\frac{8}{4} = 2$ હોવાથી,સામાન્ય ગુણોત્તર સમાન છે,તેથી બીજ $GP$ માં છે.

(B) આપેલ બહુપદી સમીકરણ $P(x) = x^4-2x^3+2x-1=0$ છે.
કારણ કે $1$ એ $3$ ક્રમનું બીજ છે,$(x-1)^3$ એ $P(x)$ નો અવયવ હોવો જોઈએ.
$(x-1)^3 = x^3-3x^2+3x-1$ નું વિસ્તરણ કરતા.
$x^4-2x^3+2x-1$ ને $(x-1)^3$ વડે ભાગતા:
$x^4-2x^3+2x-1 = (x-1)^3(x+1)$.
અવયવોને શૂન્ય સાથે સરખાવતા,આપણને $(x-1)^3 = 0$ અને $x+1 = 0$ મળે છે.
આમ,બીજ $1, 1, 1$ અને $-1$ છે.
બીજું બીજ $-1$ છે.

(A) બાયક્વાડ્રેટિક સમીકરણના સહગુણકો સંમેય હોવાથી,અસંમેય અને સંકર બીજ હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે. તેથી,બીજ $1+i, 1-i, 1-\sqrt{2}, 1+\sqrt{2}$ છે.
$1+i$ અને $1-i$ બીજ માટે:
સરવાળો $= 2$,ગુણાકાર $= 2$
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 2x + 2 = 0$ મળે.
$1-\sqrt{2}$ અને $1+\sqrt{2}$ બીજ માટે:
સરવાળો $= 2$,ગુણાકાર $= -1$
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 2x - 1 = 0$ મળે.
બાયક્વાડ્રેટિક સમીકરણ $(x^2-2x+2)(x^2-2x-1) = 0$ છે.
ગુણાકાર કરતા: $x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 2x - 2 = 0$.

(B) હૂકના નિયમ મુજબ,સ્થિતિસ્થાપક દોરીનું વિસ્તરણ લાગુ પાડવામાં આવેલા તણાવના પ્રમાણમાં હોય છે. ધારો કે દોરીની મૂળભૂત લંબાઈ $L_0$ છે અને બળ અચળાંક $k$ છે.
તણાવ $T$ હેઠળ લંબાઈ $L$ એ $L = L_0 + \frac{T}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T_1 = 4 \ N$ માટે,$L_1 = a = L_0 + \frac{4}{k}$ --- $(1)$
$T_2 = 5 \ N$ માટે,$L_2 = b = L_0 + \frac{5}{k}$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા: $b - a = \frac{5}{k} - \frac{4}{k} = \frac{1}{k} \Rightarrow k = \frac{1}{b-a}$.
$k$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા: $L_0 = a - 4(b-a) = a - 4b + 4a = 5a - 4b$.
હવે,$T_3 = 9 \ N$ માટે,લંબાઈ $x$ નીચે મુજબ છે:
$x = L_0 + \frac{9}{k} = (5a - 4b) + 9(b - a)$
$x = 5a - 4b + 9b - 9a$
$x = 5b - 4a$.

(D) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 20 \ m/s$,પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 45^{\circ}$ અને $g = 10 \ m/s^2$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું પ્રમાણિત સમીકરણ $h = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ છે.
આ સમીકરણને આપેલ સમીકરણ $h = Ax - Bx^2$ સાથે સરખાવતા:
$A = \tan \theta = \tan 45^{\circ} = 1$.
$B = \frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta} = \frac{10}{2 \times (20)^2 \times (\cos 45^{\circ})^2} = \frac{10}{2 \times 400 \times (1/\sqrt{2})^2} = \frac{10}{800 \times 1/2} = \frac{10}{400} = \frac{1}{40}$.
હવે,$A:B$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{A}{B} = \frac{1}{1/40} = 40$.
તેથી,$A:B$ નો ગુણોત્તર $40:1$ છે.

(A) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે,તેથી બંને ટુકડાઓના વેગમાનના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ:
$m_1 v_1 = m_2 v_2$
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{v_2}{v_1} = \frac{1}{3}$
ધારો કે ન્યુક્લિયસની ઘનતા $\rho$ અચળ છે,દળ $m$ એ કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ ના સમપ્રમાણમાં છે,જ્યાં $R$ એ ત્રિજ્યા છે.
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{R_1^3}{R_2^3}$
દળના ગુણોત્તર માટે બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{R_1^3}{R_2^3} = \frac{v_2}{v_1} = \frac{1}{3}$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$\frac{R_1}{R_2} = \left(\frac{1}{3}\right)^{1/3} = 1 : 3^{1/3}$

(B) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા પદાર્થની સ્થિતિ ઊર્જા $U = \frac{1}{2} k r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = m \omega^2$ એ બળ અચળાંક છે અને $r$ એ સ્થાનાંતર છે.
આપેલ છે:
$E_1 = \frac{1}{2} k x^2 \implies x = \sqrt{\frac{2 E_1}{k}}$
$E_2 = \frac{1}{2} k y^2 \implies y = \sqrt{\frac{2 E_2}{k}}$
$(x+y)$ સ્થાનાંતર પર,સ્થિતિ ઊર્જા $E$ છે:
$E = \frac{1}{2} k (x+y)^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\sqrt{E} = \sqrt{\frac{1}{2} k} (x+y)$
$x$ અને $y$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\sqrt{E} = \sqrt{\frac{1}{2} k} \left( \sqrt{\frac{2 E_1}{k}} + \sqrt{\frac{2 E_2}{k}} \right)$
$\sqrt{E} = \sqrt{\frac{1}{2} k} \cdot \sqrt{\frac{2}{k}} (\sqrt{E_1} + \sqrt{E_2})$
$\sqrt{E} = \sqrt{\frac{1}{2} \cdot 2} (\sqrt{E_1} + \sqrt{E_2})$
$\sqrt{E} = \sqrt{E_1} + \sqrt{E_2}$

(B) ધારો કે કંપવિસ્તાર $A$ છે. કોણીય આવૃત્તિઓ $\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1} = \frac{2\pi}{3}$ અને $\omega_2 = \frac{2\pi}{T_2} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ છે.
તેઓ ઉગમબિંદુથી શરૂઆત કરતા હોવાથી,તેમનું સ્થાનાંતર $x_1 = A \sin(\omega_1 t)$ અને $x_2 = A \sin(\omega_2 t)$ છે.
જ્યારે તેઓ મળે છે,ત્યારે $x_1 = x_2$,તેથી $\sin(\omega_1 t) = \sin(\omega_2 t)$.
આનો અર્થ એ છે કે $\omega_1 t = \pi - \omega_2 t$ (પ્રથમ મુલાકાત બિંદુ માટે),તેથી $t = \frac{\pi}{\omega_1 + \omega_2} = \frac{\pi}{\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3}} = 1 \ s$.
સરળ આવર્ત ગતિમાં કણનો વેગ $v = A\omega \cos(\omega t)$ છે.
$t = 1 \ s$ સમયે,$v_P = A(\frac{2\pi}{3}) \cos(\frac{2\pi}{3} \cdot 1) = A(\frac{2\pi}{3})(-\frac{1}{2}) = -\frac{A\pi}{3}$.
$t = 1 \ s$ સમયે,$v_Q = A(\frac{\pi}{3}) \cos(\frac{\pi}{3} \cdot 1) = A(\frac{\pi}{3})(\frac{1}{2}) = \frac{A\pi}{6}$.
વેગના મૂલ્યોનો ગુણોત્તર $|v_P| : |v_Q| = \frac{A\pi}{3} : \frac{A\pi}{6} = 2 : 1$ થાય.

(C) બોરાઝોલ,જેને બોરાઝિન તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,તે $B_3N_3H_6$ રાસાયણિક સૂત્ર ધરાવતું અકાર્બનિક સંયોજન છે.
તેને ઘણીવાર 'અકાર્બનિક બેન્ઝીન' તરીકે ઓળખવામાં આવે છે કારણ કે તે બેન્ઝીન $(C_6H_6)$ સાથે આઇસોઇલેક્ટ્રોનિક અને બંધારણીય રીતે સમાન છે.

(A) કેટેનેશનની વૃત્તિ એ બંધ વિયોજન ઉર્જાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
સમૂહમાં $C$ થી $Ge$ તરફ નીચે જતાં,પરમાણુ કદ વધે છે,જેના કારણે ઓર્બિટલ્સનું ઓવરલેપ ઘટે છે અને પરિણામે બંધની મજબૂતી ઘટે છે.
$C-C$,$Si-Si$ અને $Ge-Ge$ માટે બંધ વિયોજન ઉર્જા અનુક્રમે આશરે $348 \ kJ \ mol^{-1}$,$180 \ kJ \ mol^{-1}$ અને $167 \ kJ \ mol^{-1}$ છે.
તેથી,બંધ ઉર્જાનો સાચો ક્રમ કેટેનેશનની વૃત્તિના ક્રમને અનુરૂપ છે.

(B) જ્યારે એમોનિયા વધારાના ક્લોરિન સાથે પ્રક્રિયા કરે છે,ત્યારે નાઇટ્રોજન ટ્રાયક્લોરાઇડ $(NCl_3)$ અને હાઇડ્રોજન ક્લોરાઇડ $(HCl)$ બને છે.
સંતુલિત રાસાયણિક સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$NH_3 + 3Cl_2 \text{ (excess)} \longrightarrow NCl_3 + 3HCl$

(D) જ્યારે એમોનિયા વધારાના ક્લોરિન સાથે પ્રક્રિયા કરે છે,ત્યારે પ્રક્રિયા નીચે મુજબ થાય છે:
$NH_3 + 3Cl_2 \longrightarrow NCl_3 + 3HCl$
આમ,મળતી નીપજો નાઇટ્રોજન ટ્રાયક્લોરાઇડ $(NCl_3)$ અને હાઇડ્રોજન ક્લોરાઇડ $(HCl)$ છે.

(D) ફ્લોરિન $(F_2)$ સૌથી વધુ વિદ્યુતઋણ તત્વ છે અને તે પ્રબળ ઓક્સિડેશનકર્તા તરીકે વર્તે છે. જ્યારે તેને ગરમ સાંદ્ર $KOH$ દ્રાવણમાંથી પસાર કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે પાણીનું ઓક્સિડેશન કરીને ઓક્સિજન મુક્ત કરે છે.
રાસાયણિક પ્રક્રિયા:
$2F_2 + 4KOH \longrightarrow 4KF + 2H_2O + O_2$.

(C) જ્યારે ક્લોરીનને સોડિયમ થાયોસલ્ફેટ (હાઈપો) ના જલીય દ્રાવણમાંથી પસાર કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે ઓક્સિડેશનકર્તા તરીકે વર્તે છે. પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે:
$Na_2S_2O_3 + H_2O + Cl_2 \longrightarrow Na_2SO_4 + 2HCl + S \downarrow$
આમ,સોડિયમ સલ્ફેટ $(Na_2SO_4)$,હાઈડ્રોક્લોરિક એસિડ $(HCl)$ અને સલ્ફર $(S)$ નીપજો તરીકે મળે છે.

(A) દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \ldots$ નો ઉપયોગ કરતા,$n = \frac{1}{2}$ લેતા:
$(1-x)^{-1/2} = 1 + \frac{1}{2}x + \frac{1 \cdot 3}{8}x^2 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{48}x^3 + \ldots$
અહીં $x = \frac{1}{2}$ મૂકતા,આપણને શ્રેણી મળે છે:
$(1 - \frac{1}{2})^{-1/2} = (\frac{1}{2})^{-1/2} = \sqrt{2}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 5 \theta = 5 \sin \theta - 20 \sin ^3 \theta + 16 \sin ^5 \theta$.
$\sin \theta$ વડે ભાગતા (ધારો કે $\sin \theta \neq 0$):
$\frac{\sin 5 \theta}{\sin \theta} = 5 - 20 \sin ^2 \theta + 16 \sin ^4 \theta$.
નિત્યસમ $\sin ^2 \theta = 1 - \cos ^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 5 - 20(1 - \cos ^2 \theta) + 16(1 - \cos ^2 \theta)^2$
$= 5 - 20 + 20 \cos ^2 \theta + 16(1 - 2 \cos ^2 \theta + \cos ^4 \theta)$
$= -15 + 20 \cos ^2 \theta + 16 - 32 \cos ^2 \theta + 16 \cos ^4 \theta$
$= 16 \cos ^4 \theta - 12 \cos ^2 \theta + 1$.

(A) ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં,સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$A + C = 180^{\circ}$ અને $B + D = 180^{\circ}$.
આનો અર્થ એ છે કે $C = 180^{\circ} - A$ અને $D = 180^{\circ} - B$.
હવે,પદાવલિ $\cos A + \cos B + \cos C + \cos D$ ને ધ્યાનમાં લો.
$C$ અને $D$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\cos A + \cos B + \cos(180^{\circ} - A) + \cos(180^{\circ} - B)$
કારણ કે $\cos(180^{\circ} - \theta) = -\cos \theta$,તેથી:
$\cos A + \cos B - \cos A - \cos B = 0$.

(A) આપેલ છે કે $\tan \theta + \cot \theta = 2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ અને $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = 2$.
લસાઅ લેતા,$\frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = 2$.
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી $\frac{1}{\sin \theta \cos \theta} = 2$,જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2}$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,$2 \sin \theta \cos \theta = 1$,એટલે કે $\sin 2 \theta = 1$.
આમ,$2 \theta = \frac{\pi}{2}$,તેથી $\theta = \frac{\pi}{4}$.
તેથી,$\sin \theta = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) આપેલ છે $\operatorname{cosec} \theta = \frac{p+q}{p-q}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \theta = \frac{p-q}{p+q}$.
સૂત્ર $\sin \theta = \frac{2 \tan(\theta/2)}{1 + \tan^2(\theta/2)}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{2 \tan(\theta/2)}{1 + \tan^2(\theta/2)} = \frac{p-q}{p+q}$.
બંને બાજુ ઉલટાવતા: $\frac{1 + \tan^2(\theta/2)}{2 \tan(\theta/2)} = \frac{p+q}{p-q}$.
યોગ-વિયોગની રીત (Componendo and Dividendo) વાપરતા:
$\frac{1 + \tan^2(\theta/2) + 2 \tan(\theta/2)}{1 + \tan^2(\theta/2) - 2 \tan(\theta/2)} = \frac{(p+q) + (p-q)}{(p+q) - (p-q)}$.
$\frac{(1 + \tan(\theta/2))^2}{(1 - \tan(\theta/2))^2} = \frac{2p}{2q} = \frac{p}{q}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{1 + \tan(\theta/2)}{1 - \tan(\theta/2)} = \sqrt{\frac{p}{q}}$.
$\tan(\pi/4) = 1$ હોવાથી,આ $\tan(\pi/4 + \theta/2) = \sqrt{\frac{p}{q}}$ થાય.
તેથી,$\cot(\pi/4 + \theta/2) = \frac{1}{\tan(\pi/4 + \theta/2)} = \sqrt{\frac{q}{p}}$.

(A) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos^2 A - \sin^2 B = \cos(A+B) \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$A = \frac{\pi}{6} + \theta$ અને $B = \frac{\pi}{6} - \theta$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\cos^2\left(\frac{\pi}{6}+\theta\right)-\sin^2\left(\frac{\pi}{6}-\theta\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}+\theta + \frac{\pi}{6}-\theta\right) \cos\left(\frac{\pi}{6}+\theta - (\frac{\pi}{6}-\theta)\right)$
$= \cos\left(\frac{2\pi}{6}\right) \cos(2\theta)$
$= \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos(2\theta)$
કારણ કે $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$,તેથી પદાવલિ $\frac{1}{2} \cos 2\theta$ થાય છે.

(D) આપણી પાસે છે,$\sqrt{3} \sin x + \cos x = 4$.
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x = 2$.
નિત્યસમ $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ: $\sin(x + \frac{\pi}{6}) = 2$.
કારણ કે સાઈન વિધેયનો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે,તેથી $\sin(x + \frac{\pi}{6}) = 2$ શક્ય નથી.
તેથી,આ સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(C) રેખાઓ $x=1$ અને $y=1$ એ $B(1, 1)$ પર છેદે છે.
રેખા $x+y=1$ એ $x=1$ ને $A(1, 0)$ પર અને $y=1$ ને $C(0, 1)$ પર છેદે છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(1, 0)$,$B(1, 1)$ અને $C(0, 1)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ:
$a = BC = \sqrt{(1-0)^2 + (1-1)^2} = 1$
$b = CA = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{2}$
$c = AB = \sqrt{(1-1)^2 + (1-0)^2} = 1$
અંતઃકેન્દ્ર $(I_x, I_y)$:
$I_x = \frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c} = \frac{1(1) + \sqrt{2}(1) + 1(0)}{1+\sqrt{2}+1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$I_y = \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a+b+c} = \frac{1(0) + \sqrt{2}(1) + 1(1)}{1+\sqrt{2}+1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
આમ,અંતઃકેન્દ્ર $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $(a+2b)x + (a-b)y + (a+5b) = 0$ છે.
$a$ અને $b$ ના પદોને અલગ પાડતા:
$a(x + y + 1) + b(2x - y + 5) = 0$.
$a$ અને $b$ ની તમામ કિંમતો માટે આ સમીકરણ સાચું હોવા માટે,$a$ અને $b$ ના સહગુણકો સ્વતંત્ર રીતે શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$x + y + 1 = 0$ --- $(1)$
$2x - y + 5 = 0$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(x + y + 1) + (2x - y + 5) = 0$
$3x + 6 = 0$
$3x = -6$
$x = -2$.
$x = -2$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મુકતા:
$-2 + y + 1 = 0$
$y - 1 = 0$
$y = 1$.
આમ,રેખા નિશ્ચિત બિંદુ $(-2, 1)$ માંથી પસાર થાય છે.

(A) આપેલ રેખાઓ $x+3y=10$ અને $6x^2+xy-y^2=0$ છે.
બીજા સમીકરણના અવયવ પાડતા: $6x^2+3xy-2xy-y^2=0$ $\Rightarrow 3x(2x+y)-y(2x+y)=0$ $\Rightarrow (3x-y)(2x+y)=0$.
તેથી,રેખાઓ $3x-y=0$ અને $2x+y=0$ છે.
ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ છે.
$2x+y=0$ અને $3x-y=0$ ઉકેલતા $A(0,0)$ મળે છે.
$x+3y=10$ અને $3x-y=0$ ઉકેલતા $B(1,3)$ મળે છે.
$x+3y=10$ અને $2x+y=0$ ઉકેલતા $C(-2,4)$ મળે છે.
$A(0,0)$ માંથી $BC$ $(x+3y=10)$ પરના વેધનો ઢાળ $3$ છે. સમીકરણ: $y-0=3(x-0) \Rightarrow 3x-y=0$.
$B(1,3)$ માંથી $AC$ $(2x+y=0)$ પરના વેધનો ઢાળ $1/2$ છે. સમીકરણ: $y-3=\frac{1}{2}(x-1) \Rightarrow x-2y+5=0$.
$3x-y=0$ અને $x-2y+5=0$ ઉકેલતા: $y=3x$ $\Rightarrow x-2(3x)+5=0$ $\Rightarrow -5x=-5$ $\Rightarrow x=1, y=3$.
લંબકેન્દ્ર $(1,3)$ છે.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડી $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે.
યામ અક્ષો વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગતી રેખાઓ $y = x$ અને $y = -x$ છે.
જો $y = x$ એક રેખા હોય,તો સમીકરણમાં $y = x$ મૂકતા:
$ax^2 + 2h(x)(x) + b(x)^2 = 0$
$ax^2 + 2hx^2 + bx^2 = 0$
$(a + 2h + b)x^2 = 0$
આથી $a + b + 2h = 0$,અથવા $a + b = -2h$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(a + b)^2 = (-2h)^2 = 4h^2$ મળે.
તે જ રીતે,જો $y = -x$ એક રેખા હોય,તો $y = -x$ મૂકતા:
$ax^2 + 2h(x)(-x) + b(-x)^2 = 0$
$ax^2 - 2hx^2 + bx^2 = 0$
$(a - 2h + b)x^2 = 0$
આથી $a + b = 2h$,જેનો વર્ગ કરતા $(a + b)^2 = 4h^2$ મળે.
આમ,શરત $(a + b)^2 = 4h^2$ છે.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડી $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
આપેલ છે કે $m_1 = 2m_2$ ...$(i)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ ...(ii)
અને $m_1 m_2 = \frac{a}{b}$ ...(iii)
$(i)$ ને (ii) માં મૂકતા: $2m_2 + m_2 = -\frac{2h}{b} \implies 3m_2 = -\frac{2h}{b} \implies m_2 = -\frac{2h}{3b}$ ...(iv)
$(i)$ ને (iii) માં મૂકતા: $2m_2 \cdot m_2 = \frac{a}{b} \implies 2m_2^2 = \frac{a}{b}$ ...$(v)$
(iv) ને $(v)$ માં મૂકતા: $2(-\frac{2h}{3b})^2 = \frac{a}{b} \implies 2 \cdot \frac{4h^2}{9b^2} = \frac{a}{b} \implies \frac{8h^2}{9b^2} = \frac{a}{b} \implies 8h^2 = 9ab$.

(B) ધારો કે વર્તુળ $x^2+y^2=p^2$ પરનું બિંદુ $(x_1, y_1)$ છે.
તેથી $x_1^2+y_1^2=p^2$.
વર્તુળ $x^2+y^2=q^2$ ની સાપેક્ષ $(x_1, y_1)$ ની ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $x x_1+y y_1=q^2$ છે.
આ રેખા વર્તુળ $x^2+y^2=r^2$ ને સ્પર્શે છે.
કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખા $x x_1+y y_1-q^2=0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું થાય.
તેથી,$\frac{|0(x_1)+0(y_1)-q^2|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}} = r$.
આનું સાદુરૂપ આપતા $\frac{q^2}{\sqrt{p^2}} = r$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{q^2}{p} = r$.
તેથી,$q^2 = pr$,જે સૂચવે છે કે $p, q, r$ એ $GP$ માં છે.

(C) આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2+2x-2y+2=0$ અને $S_2: x^2+y^2-\frac{2}{5}x-\frac{16}{5}y+\frac{13}{5}=0$ છે.
સહ-અક્ષીય વર્તુળોની શ્રેણી $S_1 + \lambda(S_1 - S_2) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સીમિત બિંદુઓ એ પ્રણાલીમાં બિંદુ વર્તુળોના કેન્દ્રો છે,જે ત્યારે મળે છે જ્યારે ત્રિજ્યા $r = 0$ હોય.
વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ માટે,ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ છે. $r=0$ લેતા $g^2+f^2=c$ મળે.
રેડિકલ અક્ષ $S_1 - S_2 = 0 \Rightarrow 4x + 2y - 1 = 0$ છે.
પ્રણાલીનું કોઈપણ વર્તુળ $S_1 + \lambda(4x + 2y - 1) = 0 \Rightarrow x^2+y^2+(2+4\lambda)x+(-2+2\lambda)y+(2-\lambda)=0$ છે.
સીમિત બિંદુઓ માટે,$g^2+f^2=c \Rightarrow (1+2\lambda)^2 + (-1+\lambda)^2 = 2-\lambda$ થાય.
$5\lambda^2+3\lambda=0$ મળતા,$\lambda=0$ અથવા $\lambda=-\frac{3}{5}$ મળે.
$\lambda=0$ માટે,કેન્દ્ર $(-1, 1)$ છે.
$\lambda=-\frac{3}{5}$ માટે,કેન્દ્ર $(\frac{1}{5}, \frac{8}{5})$ છે.
તેથી,સીમિત બિંદુઓ $(-1, 1)$ અને $(\frac{1}{5}, \frac{8}{5})$ છે.

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2+8x-2y+17=0$ છે.
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$y^2-2y+1 = -8x-17+1$
$(y-1)^2 = -8x-16$
$(y-1)^2 = -8(x+2)$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(y-k)^2 = -4a(x-h)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = 8$ મળે છે.
આમ,નાભિલંબની લંબાઈ $8$ છે.

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2=4x$ છે.
પરવલય $y^2=4ax$ પરના બિંદુ $P(x_1, y_1)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y-y_1 = -\frac{y_1}{2a}(x-x_1)$ છે.
અહીં,$a=1$ અને $P=(1,2)$ હોવાથી,અભિલંબનો ઢાળ $m = -\frac{2}{2(1)} = -1$ થાય.
$P(1,2)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y-2 = -1(x-1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x+y=3$ અથવા $x=3-y$ થાય.
$x=3-y$ ને પરવલયના સમીકરણ $y^2=4x$ માં મૂકતા:
$y^2 = 4(3-y)$
$y^2 = 12-4y$
$y^2+4y-12=0$
$(y-2)(y+6)=0$
આથી $y=2$ (જે $P$ બિંદુ દર્શાવે છે) અને $y=-6$ મળે.
$y=-6$ માટે,$x = 3-(-6) = 9$.
તેથી,બિંદુ $Q$ ના યામ $(9,-6)$ છે.

(D) આપણી પાસે છે,$\frac{(1-3x)^2}{(1-2x)} = (1 - 6x + 9x^2)(1 - 2x)^{-1}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$(1-2x)^{-1} = 1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + 16x^4 + \dots$.
હવે,$(1 - 6x + 9x^2)$ ને $(1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + 16x^4 + \dots)$ સાથે ગુણતા.
$x^4$ નો સહગુણક આ રીતે મળે છે:
$1 \times 16 - 6 \times 8 + 9 \times 4 = 16 - 48 + 36 = 4$.

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 16$ અને $b^2 = 9$ મળે છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નું સૂત્ર $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$e = \sqrt{1 - \frac{9}{16}}$.
$e = \sqrt{\frac{16 - 9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}}$.
તેથી,$e = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $16 x^2+y^2+8 x y-74 x-78 y+212=0$ છે.
તેને સામાન્ય દ્વિઘાત સમીકરણ $a x^2+b y^2+2 h x y+2 g x+2 f y+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a=16, b=1, h=4, g=-37, f=-39, c=212$.
હવે,આપણે વિવેચક $h^2 - ab$ ની ગણતરી કરીએ:
$h^2 - ab = (4)^2 - (16)(1) = 16 - 16 = 0$.
કારણ કે $h^2 - ab = 0$ છે,તેથી આ સમીકરણ પરવલય દર્શાવે છે.

(B) આપેલ ધ્રુવીય સમીકરણ: $\frac{l}{r} = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $2 \sin^2 \frac{\theta}{2} = 1 - \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{l}{r} = 1 - \cos \theta$
$l = r(1 - \cos \theta)$
$l = r - r \cos \theta$
$x = r \cos \theta$ અને $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ મૂકતા:
$l = \sqrt{x^2 + y^2} - x$
$l + x = \sqrt{x^2 + y^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(l + x)^2 = x^2 + y^2$
$l^2 + 2lx + x^2 = x^2 + y^2$
$y^2 = 2lx + l^2$
$y^2 = 2l(x + \frac{l}{2})$
આ પરવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ છે.

(C) અતિવલયનું સમીકરણ $x^2 - y^2 = 8$ છે.
અતિવલય $x^2 - y^2 = a^2$ ના અનંતસ્પર્શકો $x^2 - y^2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે $x = \pm y$,એટલે કે $x + y = 0$ અને $x - y = 0$.
ધારો કે $P(x, y)$ એ અતિવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ છે.
બિંદુ $P(x, y)$ થી રેખા $x - y = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $d_1 = \frac{|x - y|}{\sqrt{2}}$ છે.
બિંદુ $P(x, y)$ થી રેખા $x + y = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $d_2 = \frac{|x + y|}{\sqrt{2}}$ છે.
લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર $d_1 \times d_2 = \frac{|x^2 - y^2|}{2}$ થાય.
બિંદુ $(x, y)$ અતિવલય $x^2 - y^2 = 8$ પર હોવાથી,$d_1 \times d_2 = \frac{8}{2} = 4$ મળે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ અને $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{-1} x}{x} = 1$.
આપેલ લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x \sin ^{-1} x}{x^2}$ છે.
આને $\lim _{x \rightarrow 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right) \left(\frac{\sin ^{-1} x}{x}\right)$ તરીકે લખી શકાય.
લક્ષના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $1 \times 1 = 1$ મળે છે.

(A) આપણે લક્ષ $\lim _{x \rightarrow \infty} \left(\frac{x+a}{x+b}\right)^{x}$ ની ગણતરી કરીએ.
આ $1^{\infty}$ સ્વરૂપમાં છે.
આપણે પદાવલિને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \left(\frac{x+b+a-b}{x+b}\right)^{x} = \lim _{x \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{a-b}{x+b}\right)^{x}$.
પ્રમાણિત લક્ષના સૂત્ર $\lim _{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{k}{x})^x = e^k$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{a-b}{x+b}\right)^{x} = \lim _{x \rightarrow \infty} \left[\left(1 + \frac{a-b}{x+b}\right)^{\frac{x+b}{a-b}}\right]^{\frac{x(a-b)}{x+b}}$.
કારણ કે $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x(a-b)}{x+b} = a-b$,તેથી લક્ષ $e^{a-b}$ થાય છે.